DE202014104037U1

DE202014104037U1 - Messkörper, Durchflussmesssystem und Computerprogramm dafür

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Publication number: DE202014104037U1
Application number: DE202014104037.4U
Authority: DE
Original assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Current assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Priority date: 2014-08-28
Filing date: 2014-08-28
Publication date: 2015-12-04
Anticipated expiration: 2024-08-29
Also published as: DE102015113999A1

Abstract

Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) eines Durchflussmesssystems (10) zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids, wobei der Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) wenigstens ein für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildetes Messrohr (1) und wenigstens eine Zulaufkammer (5) aufweist, wobei die Zulaufkammer (5) in Strömungsrichtung des strömenden Fluids vor dem wenigstens einen Messrohr (1) angeordnet ist und eine Zulaufstrecke (4) für das strömende Fluid aufweist, wobei der Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) wenigstens einen Sensor (11, 12) zur Messung wenigstens einer physikalischen Größe des strömenden Fluids aufweist, der zur Messung der wenigstens einen physikalischen Größe im Bereich der Zulaufkammer (5) eingerichtet ist.

Description

Die Erfindung betrifft einen Messkörper eines Durchflussmesssystems zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids gemäß dem Anspruch 1. Die Erfindung betrifft ferner ein Durchflussmesssystem gemäß Anspruch 5 sowie ein Computerprogramm gemäß Anspruch 10.
Allgemein betrifft die Erfindung das Gebiet der Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids durch Durchflussmessung durch einen Messkörper. Das strömende Fluid kann z. B. ein kompressibles oder inkompressibles Fluid sein, z. B. ein Gas, ein Gasgemisch, eine Flüssigkeit oder ein Flüssigkeitsgemisch. Der Begriff der Messung bezieht sich dabei auf die quantitative Erfassung wenigstens einer physikalischen Größe des Volumenstroms bzw. Massenstroms des strömenden Fluids, z. B. eine Messung der Strömungsgeschwindigkeit, der Durchflussmenge pro Zeiteinheit und/oder zeitlicher und/oder räumlicher Veränderungen solcher Größen.
Hiervon ausgehend soll ein verbesserter Messkörper eines Durchflussmesssystems, ein verbessertes Durchflussmesssystem sowie ein Computerprogramm dafür angegeben werden.
Diese Aufgabe wird gemäß Anspruch 1 gelöst durch einen Messkörper eines Durchflussmesssystems zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids, wobei der Messkörper wenigstens ein für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildetes Messrohr und wenigstens eine Zulaufkammer aufweist, wobei die Zulaufkammer in Strömungsrichtung des strömenden Fluids vor dem wenigstens einen Messrohr angeordnet ist und eine Zulaufstrecke für das strömende Fluid aufweist, wobei der Messkörper wenigstens einen Sensor zur Messung wenigstens einer physikalischen Größe des strömenden Fluids aufweist, der zur Messung der wenigstens einen physikalischen Größe im Bereich der Zulaufkammer eingerichtet ist.
Die Aufgabe wird ferner gemäß Anspruch 5 gelöst durch ein Durchflussmesssystem zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids, mit

a) wenigstens einem Messkörper, der wenigstens ein für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildetes Messrohr aufweist,
b) einem oder mehreren Sensoren zur Messung physikalischer Größen des durch das wenigstens eine Messrohr strömenden Fluids,
c) wenigstens einer Auswerteeinrichtung, der die von dem oder den Sensoren abgegebenen Signale entsprechend den gemessenen physikalischen Größen zugeführt sind, dadurch gekennzeichnet, dass
d) die Auswerteeinrichtung dazu eingerichtet ist, anhand der zugeführten Signale von dem oder den Sensoren eine den Volumenstrom und/oder Massenstrom des durch das wenigstens eine Messrohr strömenden Fluids charakterisierende Größe mittels numerischer Lösung von das wenigstens eine Messrohr charakterisierenden Strömungsdifferenzialgleichungen mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung zu bestimmen.

Die Aufgabe wird ferner gemäß Anspruch 10 gelöst durch ein Computerprogramm mit Programmcodemitteln, eingerichtet zur Durchführung der folgenden Schritte, wenn das Computerprogramm auf einem Rechner einer Auswerteeinrichtung eines Durchflussmesssystem der zuvor angegebenen Art ausgeführt wird: Bestimmen anhand der zugeführten Signale von dem oder den Sensoren eine den Volumenstrom und/oder Massenstrom des durch das wenigstens eine Messrohr strömenden Fluids charakterisierende Größe mittels nummerischer Lösung von das wenigstens eine Messrohr charakterisierenden Strömungsdifferenzialgleichungen mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung.
Die eingangs genannte Aufgabe kann ferner durch ein Verfahren zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids mit folgenden Merkmalen gelöst werden:

a) Leiten des strömenden Fluids, dessen Volumen- und/oder Massenstrom zu messen ist, oder wenigstens eines Teiles davon mit laminarer Strömung durch wenigstens ein Messrohr,
b) Messen physikalischer Größen des durch das wenigstens eine Messrohr strömenden Fluids mittels eines oder mehrerer Sensoren,
c) Auswerten der Signale des Sensors oder der Sensoren, indem anhand der zugeführten Signale eine den Volumenstrom und/oder Massenstrom des durch das Messrohr strömenden Fluids charakterisierende Größe mittels numerischer Lösung von das wenigstens eine Messrohr charakterisierenden Strömungsdifferenzialgleichungen mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung bestimmt wird.

Mit der Erfindung können gleich mehrere Verbesserungen gegenüber dem Stand der Technik erzielt werden. So ist es mit ein und demselben Messkörper bzw. demselben Durchflussmesssystem möglich, Messungen sowohl an kompressiblen als auch inkompressiblen Fluiden durchzuführen. Ferner ist nicht wie im Stand der Technik eine aufwendige und in manchen Fällen gar nicht ausreichend realisierbare Wärmedämmung des Messrohrs erforderlich, um adiabate Verhältnisse zu realisieren, wie sie beim Stand der Technik vorausgesetzt werden. Durch Erfassung entsprechender physikalischer Größen, wie z. B. Temperaturdifferenzen zwischen der Innenseite und der Außenseite des Messrohrs und einer Bestimmung des Wärmeübergangs durch das Messrohr, das auch als Laminar Flow Element bezeichnet wird, können solche Einflüsse rechnerisch mittels der Auswerteeinrichtung bzw. durch dessen Computerprogramm kompensiert werden. Durch Durchführung einer numerischen Lösung der Strömungsdifferenzialgleichungen ist die Erfindung viel unempfindlicher gegenüber den Abweichungen realer Messkomponenten von den idealisierten Bedingungen, die bei bisherigen Ansätzen unterstellt wurden. Durch gegebenenfalls entsprechende Anpassung der Strömungsdifferenzialgleichungen an die reale Situation können auch solche Effekte rechnerisch kompensiert werden. Insbesondere ist es bei der Erfindung nicht mehr erforderlich, dass sich der Gradient des Druckabfalls entlang des Messrohrs bzw. zwischen den Druckmessstellen nicht ändert, was beim Stand der Technik eine wesentliche einschränkende Bedingung ist.
Auf diese Weise kann die Messgenauigkeit eines Durchflussmesssystems gesteigert werden und die Kosten für dessen Komponenten reduziert werden.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung weist der Messkörper mehrere jeweils für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildete, strömungsmäßig parallel zueinander angeordnete Messrohre auf, die gleich oder unterschiedlich ausgebildet sein können. Die Messrohre können z. B. nach Art eines parallel geschalteten Bündels bzw. einer Matrix kombiniert sein. Hierdurch kann eine Vergrößerung des Messbereichs des Messkörpers und damit auch des Durchflussmesssystems erzielt werden. In vorteilhafter Weise sind dabei die Druckmessstellen zur Bestimmung des Eingangsdrucks und des Ausgangsdrucks des strömenden Fluids in dem Messkörper jeweils nur einmal erforderlich, z. B. nur an einem der Messrohre.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung ist eine gemeinsame Zulaufkammer für mehrere oder alle der Messrohre vorhanden. Dies hat den Vorteil, dass der Messkörper einfach aufgebaut sein kann und damit kostengünstig realisiert werden kann. Insbesondere müssen nicht gesonderte Sensoren im Bereich der Zulaufkammer vor der Zulaufstrecke für jedes der Messrohre vorgesehen werden.
Der oder die Sensoren, die zur Messung der wenigstens einen physikalischen Größe des strömenden Fluids im Bereich der Zulaufkammer vor der Zulaufstrecke eingerichtet sind, können außerhalb der Zulaufkammer oder im Bereich der Zulaufkammer angeordnet sein. Sind sie außerhalb der Zulaufkammer angeordnet, z. B. in oder an der Wand des Messkörpers, so erfolgt die Messung der physikalischen Größe durch ein Fernmessprinzip, z. B. durch Schallwellenreflexion und/oder Dopplermessungen. Im Bereich der Zulaufkammer können insbesondere Sensoren zur Erfassung einer oder mehrerer der Größen Druck, Dichte und Temperatur des strömenden Mediums angeordnet sein.
Ferner können einer oder mehrere Sensoren zur Ermittlung von Drücken an verschiedenen axialen Positionen des wenigstens einen Messrohrs vorgesehen sein, um zumindest eine Druckdifferenz zwischen diesen axialen Positionen und damit den Druckabfall entlang der Strömungsrichtung durch das wenigstens einen Messrohr zu bestimmen. Die axiale Position der Druckentnahmestellen kann z. B. kurz hinter dem Eintrittsquerschnitt und kurz vor dem Austrittsquerschnitt des wenigstens einen Messrohrs angeordnet sein. Der Differenzdruck kann z. B. mittels eines Differenzdrucksensors, mit dem beide Druckentnahmestellen verbunden sind, ermittelt werden, oder durch zwei Drucksensoren, aus deren Sensorsignalen dann mittels Signalverarbeitung die Druckdifferenz bestimmt wird.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung kann der Messkörper des Durchflussmesssystems als Messkörper der zuvor beschriebenen Art ausgebildet sein. Damit können in dem Durchflussmesssystem auch sämtliche Vorteile des Messkörpers realisiert werden.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung ist die Auswerteeinrichtung zur numerischen Lösung der Strömungsdifferenzialgleichungen unter Berücksichtigung eines möglichen Wärmeübergangs zwischen dem durch das wenigstens eine Messrohr strömenden Fluids und der Rohrwand des wenigstens einen Messrohrs eingerichtet. Hierdurch kann auf aufwendige Wärmedämmmaßnahmen verzichtet werden.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung ist die Auswerteeinrichtung dazu eingerichtet, die mittlere Geschwindigkeit des homogenen Geschwindigkeitsprofils des durch das wenigstens eine Messrohr strömenden Fluids im Einströmquerschnitt numerisch iterativ in mehreren Wiederholungsschleifen zu ermitteln. Auf diese Weise kann die für die Lösung der Strömungsdifferenzialgleichungen erforderliche mittlere Geschwindigkeit mit hoher Genauigkeit und ohne zusätzlichen apparativen Aufwand bestimmt werden.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung ist die Auswerteeinrichtung dazu eingerichtet, bei der numerischen Lösung und der Strömungsdifferenzialgleichungen zwischen inkompressiblen und kompressiblen Fluiden zu unterscheiden. Dies hat den Vorteil, dass das Durchflussmesssystem für beide Arten von Fluiden eingesetzt werden kann. Die Auswerteeinrichtung kann diese Unterscheidung z. B. anhand eines manuell einstellbaren Parameters, der vom Benutzer eingestellt wird, durchführen. Die Unterscheidung kann auch automatisch erfolgen, indem durch einen Sensor erfasst wird, ob es sich um ein kompressibles oder inkompressibles Fluid handelt.
Die Erfindung wird nachfolgend anhand von Ausführungsbeispielen unter Verwendung von Zeichnungen näher erläutert.
Es zeigen
1 ein Messrohr in schematischer Darstellung zur Definition der verwendeten Maße und Koordinaten und
2 ein Durchflussmesssystem und
3 Verläufe des Druckabfalls P(X) über die Koordinate X.
In den Figuren werden gleiche Bezugszeichen für einander entsprechende Elemente verwendet.
Bezeichnungen

A_∞, A₀ Flächen der Strömungsquerschnitte in der Zulaufkammer und im Eintritt des LFM
a Rohrradius
Cs_u Sutherland-Konstante, c_Su = 110,4 K
d Rohrdurchmesser
∂/∂ partielle Ableitung
d/d Ableitung
f() Funktion von (Liste von Variablen)
j Laufindex
Ma₀ Machzahl im Eintrittsquerschnitt,
n Laufindex einer Iteration zur Nullstellenberechnung
p statischer Druck
p_∞, p₀ statischer Druck in der Zulaufkammer und im Eintrittsquerschnitt (d. h. bei x = 0)
P dimensionsloser Druck, P = (p – p₀)/(ρ₀u 2 / m0 )
Pr Prandtlzahl, Verhältnis von kinematischer Zähigkeit und Temperaturleitfähigkeit
Q_M Massenstrom
Q_V Volumenstrom
r Koordinate in radialer Richtung, siehe 1
R dimensionslose Koordinate in radialer Richtung, R = r/a
R_G spezielle Gaskonstante
Re Reynoldszahl, Re = u_m0dρ₀/μ₀
T statische Temperatur
T_∞, T₀ statische Temperatur in der Zulaufkammer und im Eintrittsquerschnitt (d. h. bei x = 0)
T_W(x) axialer Verlauf der Temperatur an der Rohrwand
T_Ref. Referenztemperatur
u Geschwindigkeit in axialer Richtung
u_∞, u_m0 mittlere Geschwindigkeit in der Zulaufkammer und im Eintrittsquerschnitt (d. h. bei x = 0)
U dimensionslose Geschwindigkeit in axialer Richtung, U = u/u_m0
ν Geschwindigkeit in radialer Richtung
v dimensionslose Geschwindigkeit in radialer Richtung, V = ν·Re/(2·u_m0)
x Koordinate längs der Rohrachse, siehe auch 1 und 2
x → Vektor der Unbekannten bzw. Lösungsvektor x → def / = (u_m0, u_∞, p₀, T₀, X₁, X₂, Re, Ma₀, μ₀)^T
X dimensionslose Koordinate längs der Rohrachse, x = k·2/(a·Re), siehe auch 1 und 2
x → Hilfsvektor
κ Isentropenexponent
μ dynamische Zähigkeit
μ_∞, u₀ dynamische Zähigkeit in der Zulaufkammer und im Eintrittsquerschnitt (d. h. bei x = 0)
μ_Ref dynamische Zähigkeit eines Gases bei Referenztemperatur
ρ Dichte
ρ_∞, ρ₀ Dichte in der Zulaufkammer und im Eintrittsquerschnitt (d. h. bei x = 0) dimensionslose Dichte, σ = ρ/ρ₀
M dimensionslose dynamische Zähigkeit, M = μ/μ₀
T dimensionslose Temperatur, T = T/T₀

Die 1 zeigt ein beispielhaftes Messrohr 1 eines Messkörpers eines Durchflussmesssystems. Das strömende Fluid strömt durch eine Einlassöffnung 2 in das Messrohr 1 hinein und aus einer Auslassöffnung 3 wieder heraus. Die 1 enthält ferner Definitionen des nachfolgend verwendeten Zylinderkoordinatensystems zur Beschreibung der laminaren Durchströmung eines geraden Kreisrohrs wie des Messrohrs 1. Da die Strömung rotationssymmetrisch ist und somit die Strömungsgrößen nur von der axialen und der radialen Koordinate abhängen, ist die Koordinate in Umfangsrichtung nicht eingetragen.
Die 2 zeigt ein Durchflussmesssystem 10 mit einem Messkörper, der wenigstens ein für eine Laminardurchströmung eines strömenden Fluids ausgebildetes Messrohr 1 aufweist, z. B. in Form des Messrohrs der 1. Der Messkörper weist ferner eine der Einlassöffnung 2 des Messrohrs 1 vorgeschaltete Zulaufkammer 5 auf, die eine Einströmöffnung 6 für das strömende Fluid aufweist. Der Messkörper weist ferner eine dem Messrohr 1 nachgeordnete Ablaufkammer 7 auf, über die das aus der Auslassöffnung 3 des Messrohrs 1 abströmende Fluid abgeführt wird. Die Zulaufkammer 5 dient zur Beruhigung der Strömung. Sie besitzt eine sehr viel größere Querschnittsfläche als das Messrohr 1 selbst, z. B. eine 10- bis 50-fach größere Querschnittsfläche. Aus diesem Grund ist in der Zulaufkammer 5 die Strömungsgeschwindigkeit des strömenden Fluids sehr viel geringer als die mittlere Geschwindigkeit des strömenden Fluids im Messrohr 1, bis die Strömung auf sehr kurzer Distanz unmittelbar vor dem Eintritt in das Messrohr 1 wieder beschleunigt wird. Dieser Abschnitt der Zulaufkammer 5 wird als Zulaufstrecke 4 bezeichnet. Der Zustand des strömenden Fluids hinsichtlich Druck, Dichte und Temperatur wird durch Sensoren im Bereich der Zulaufkammer 5 vor der Zulaufstrecke 4 ermittelt. Die hiervon abhängigen Stoffgrößen Zähigkeit, Wärmeleitfähigkeit und Wärmekapazität werden hieraus bestimmt. Falls erforderlich, kann bei Gasen auch die relative Feuchte für eine genauere Bestimmung der Viskosität gemessen werden. Im dargestellten Ausführungsbeispiel ist als Sensor zur Messung wenigstens einer physikalischen Größe des strömenden Fluids im Bereich der Zulaufstrecke 4 ein Sensor 11 zur Ermittlung von Druck und Temperatur des strömenden Fluids dargestellt. Hiermit erfolgt die Messung des statischen Drucks und der statischen Temperatur des strömenden Fluids. Weitere Sensoren zur Erfassung weiterer physikalischen Größen können zusätzlich vorgesehen sein.
Die Zulaufkammer 5 hat gemäß 2 eine Längserstreckung L1 (in X-Richtung), die Zulaufstrecke 4 hat eine Längserstreckung 12 (die sehr viel kleiner ist als die Längserstreckung L1 der Zulaufkammer 5), das Messrohr 1 hat eine Längserstreckung 13 und die Ablaufkammer 7 hat eine Längserstreckung 14.
Zur Messung des Druckabfalls entlang des Messrohrs 1 ist ein Differenzdrucksensor 12 über Rohrleitungen an Druckentnahmestellen 13, 14 mit dem Messrohr verbunden. Auf diese Weise wird der Differenzdruck zwischen den Koordinaten x₁ und x₂, d. h. den Positionen der Druckentnahmestellen 13 und 14, ermittelt. Die Sensoren 11, 12 sind mit einer Auswerteeinrichtung 8 des Durchflussmesssystems 10 verbunden. Die Auswerteeinrichtung 8 weist einen Rechner zur Ausführung eines Computerprogramms, das in der Auswerteeinrichtung 8 gespeichert sein kann, auf. Mittels des Computerprogramms und des Rechners 8 werden die von den Sensoren 11, 12 zugeführten Signale ausgewertet und eine den Volumenstrom und/oder Massenstrom des durch das Messrohr 1 strömenden Fluids charakterisierende Größe mittels numerischer Lösung von das Messrohr 1 charakterisierenden Strömungsdifferenzialgleichungen mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung bestimmt.
Die 3 zeigt den Verlauf des Druckabfalls P(X) für die laminare Rohrströmung von Gasen ohne Wärmeaustausch bei verschiedenen Machzahlen im Eintrittsquerschnitt des Messrohrs 1; der Grenzfall inkompressibler Strömung (Flüssigkeiten) bei verschwindender Machzahl ist mit eingetragen; Temperatur im Eintrittsquerschnitt: T₀ = 293,15 K.
Nachfolgend wird die Funktion des Durchflussmesssystems 10 an Beispielen für inkompressible und kompressible Fluide erläutert.
Grundgleichungen zur Beschreibung der laminaren Durchströmung eines geraden Kreisrohres
Das der Erfindung zugrunde liegende Messverfahren basiert darauf, den gemessenen Druckabfall längs eines laminar durchströmten, z. B. geraden Kreisrohres mit dem Volumen- und Massenstrom des durchfließenden Mediums in Beziehung zu setzen. Hierzu werden, anders als bei bisherigen Messgeräten die nach diesem Prinzip arbeiten, die Ergebnisse einer numerischen Lösung der Strömungsdifferentialgleichungen für kompressible oder inkompressible Medien mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung unter Berücksichtigung eines möglichen Wärmeüberganges zwischen strömendem Medium und Rohrwand verwendet. Der zu lösende Gleichungssatz lautet:
Die Gleichungen (1), (2) und (3) beschreiben Massen-, Impuls- und Energieerhalt der Strömung in differentieller Form, Gleichung (4) die Kontinuität in integraler Form über den Querschnitt des Rohres. Die Gleichungen sind in dem in 1 gezeigten Zylinderkoordinatensystem aufgestellt worden, wobei ausgenutzt wurde, dass die Strömung rotationssymmetrisch ist, d. h. die Strömungsgrößen sind für gegebenen Radius r in Umfangsrichtung konstant. Darüber hinaus wurden die sogenannte „Thin Shear Layer” Vereinfachungen angewendet, als deren Konsequenz der Druck keine Funktion der radialen sondern nur noch der axialen Koordinaten ist, d. h. P = P(X). Die Gleichungen sind dimensionslos geschrieben, mit den in der Liste der Bezeichnungen gegebenen Definitionen.
In den Gleichungen (1) bis (4) treten als Unbekannte die sechs abhängigen Variablen U, V, M, σ, P und T auf, die unabhängigen Variablen sind die dimensionslosen Koordinaten X und R. Zur Bestimmung aller Unbekannten des Systems sind dann noch zwei weitere Gleichungen erforderlich. Handelt es sich um ein kompressibles Medium, wird hier die Zustandsgleichung idealer Gase, Gleichung (5), und das Zähigkeitsgesetz nach Sutherland, Gleichung (6), verwendet.
Im Falle von Flüssigkeiten, also inkompressiblen Medien, wird ein modifizierter Gleichungssatz gelöst. Dieser entsteht dadurch, dass in Gleichung (3) die Machzahl Mao zu Null gesetzt wird und damit in der Energiegleichung die Terme, welche die Auswirkungen der Kompressibilität auf das Temperaturfeld beschreiben, fortfallen. Darüber hinaus vereinfacht sich die Zustandsgleichung (5) dergestalt, dass die Dichte nur noch eine Funktion der Temperatur gemäß σ = f_σ(T) (5a) ist. Der genaue Funktionsverlauf wird dabei für die jeweilige Flüssigkeit aus Datenbanken für Stoffeigenschaften entnommen, z. B. aus der Dortmunder Datenbank DBB. Gleiches gilt für die Abhängigkeit der dynamischen Zähigkeit von der Temperatur M = f_M(T) (6a) wobei hier für die meisten Flüssigkeiten die Arrhenius-Andrade Beziehung angesetzt werden kann.
Als weitere rein stoffabhängige Größe tritt in der Energiegleichung (3) die Prandtlzahl Pr auf. Diese dimensionslose Kennzahl ist im Allgemeinen eine Funktion von Druck und Temperatur, also Pr = f(P, T). (7)
Für Gase gilt allerdings, dass im Rahmen der vorliegenden Anwendung die Prandtlzahl als konstant angesehen werden kann, da sowohl die Druck- als auch die Temperaturänderungen im betrachteten Strömungsfeld nur gering sind. Demgegenüber kann bei vielen Flüssigkeiten, wenn es zu einem Wärmeübergang zwischen Rohrwand und Strömung kommt, diese Vereinfachung häufig nicht mehr vorgenommen werden und es muss wiederum ein Funktionsverlauf für Gleichung (7) aus einer Datenbank für die Stoffeigenschaften des entsprechenden Mediums erzeugt werden.
Bei den Gleichungssätzen (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) bzw. (1), (2), (3), (4), (5a), (6a), (7) handelt es sich um parabolische Differentialgleichungssysteme die ein sogenanntes Anfangs-Randwertproblem konstituieren. Als Anfangswerte werden hier die Strömungsgrößen im Eintrittsquerschnitt des Rohres (x bzw. X = 0) wie folgt gesetzt: X = 0, 0 ≤ R ≤ 1: U = 1, V = 0, P = 0, σ = 1, T = 1, M = 1 (8)
Physikalisch wird durch die Anfangswerte (8) ausgedrückt, dass die Strömungsgeschwindigkeit beim Eintritt in das Kreisrohr, d. h. im Querschnitt x = 0, nur eine Komponente in axialer Richtung mit dem an allen radialen Positionen gleichen Betrag u_m0 besitzt (siehe hierzu nochmals 1). Damit ist auch der Zustand des Fluids in allen Punkten des Eintrittsquerschnitts konstant, mit den Werten p₀, ρ₀, T₀ und μ₀ für Druck, Dichte, Temperatur und Zähigkeit.
Die Randbedingungen an der Rohrwand ergeben sich aus der Haftbedingung und lauten für den Fall einer wärmeundurchlässigen (also adiabaten) Wand 0 < X ≤ X_L, R = 1: U = 0, V = 0, ∂T/∂R = 0, (9) bzw. für den Fall, dass eine Wandtemperaturverteilung und damit ein Wärmeübergang von der Wand in die Strömung vorliegt: 0 < X ≤ X_L, R = 1: U = 0, V = 0, T = T_W(x)/T₀. (9a)
Die numerische Lösung des Differentialgleichungssystems liefert die Verläufe von U, V, M, σ, P und T als Funktionen der unabhängigen Variablen. Für das Messverfahren ist insbesondere die Lösung für den dimensionslosen Druck P in Abhängigkeit der axialen Koordinate X von Interesse. Die 3 zeigt hierzu unter anderem die Lösung P(X) für die laminare Rohrströmung eines beliebigen inkompressiblen Fluids (d. h. einer Flüssigkeit, für welche die Kurve mit verschwindender Machzahl, also Mao = 0, gültig ist bei wärmeundurchlässiger (also adiabater) Wand.
Darüber hinaus ist in 3 der Verlauf des Druckabfalls P für die Strömung eines beliebigen kompressiblen Fluids (d. h. eines Gases) ohne Wärmeaustausch mit der Rohrwand eingetragen. Dieser ist neben der dimensionslosen Koordinate X auch von der Einströmmachzahl Ma₀ und der Einströmtemperatur T₀ als weiteren Parametern abhängig, so dass P = P(X, Ma₀, T₀) angesetzt werden muss.
Für den Fall eines Wärmeüberganges von der Rohrwand in die Strömung erhält man, abhängig von der aktuellen Verteilung der Wandtemperatur T_W(x), der Temperatur des strömenden Mediums im Eintrittsquerschnitt, T₀, sowie den speziellen Stoffeigenschaften des strömenden Mediums, von 2 abweichende Verläufe des dimensionslosen Drucks P.
Im Folgenden wird erläutert, wie die Verläufe P = P(X) bzw. P = P(X, Ma₀, T₀) bei der Berechnung von Massen- und Volumenstrom aus einer Druckabfallmessung an einem Laminar Flow Element verwendet werden. Da der genaue Rechengang davon abhängt, ob es sich um ein inkompressibles oder kompressibles Fluid handelt, werden beide Fälle gesondert betrachtet.
Massen- und Volumenstromermittlung für Flüssigkeiten (inkompressible Fluide)
Es wird das Durchflussmesssystem 10 gemäß 2 verwendet. Wie erwähnt, erfolgt in der Zulaufkammer 5 die Messung des statischen Drucks und der statischen Temperatur der Flüssigkeit. Mit diesen Messwerten als Grundlage werden Dichte und Zähigkeit in der Zulaufkammer (Index ∞) berechnet, d. h. p_∞, T_∞, ρ_∞ und μ_∞ stehen als bekannte Größen zur Verfügung.
Unmittelbar vor dem Eintritt in das Laminar Flow Element wird die Flüssigkeit in der Zulaufstrecke wieder beschleunigt, bis sie im Eintrittsquerschnitt (Index 0) gerade die Geschwindigkeit Limo erreicht. Da die Beschleunigung in der Zulaufstrecke reversibel adiabat (d. h. isentrop) verläuft, gelten für Temperatur, Dichte und Zähigkeit im Eintrittsquerschnitt x = 0: T₀ = T_∞, ρ₀ = ρ_∞, μ₀ = μ_∞ (10)
Wie sich aus der Definition für den dimensionslosen Druck
ergibt, steht der längs des Laminar Flow Meters gemessene Abfall des statischen Drucks Δp = P₂ – P₁ mit der Geschwindigkeit u_m0 über den Verlauf P(X) (d. h. der Lösung des Differentialgleichungssystems) wie folgt im Zusammenhang:
Hierin sind X₁ und X₂ die dimensionslosen Koordinaten der Druckentnahmestellen x₁ und x₂ am Laminar Flow Element X₁ = x₁·2/(a·Re) (13) X₂ = x₂·2/(a·Re) (14) und Re die Reynoldszahl gemäß: Re = u_m0·d·ρ₀/μ₀ (15)
Es ist anzumerken, dass die axiale Position der Druckentnahmestellen grundsätzlich beliebig gewählt werden kann, es sich aber empfiehlt, diese kurz hinter dem Eintrittsquerschnitt und kurz vor dem Austrittsquerschnitt des Kreisrohres anzubringen.
Verwendet man nun Gleichung (15) um in Gleichung (13) und Gleichung (14) die Reynoldszahl zu eliminieren und benutzt das Ergebnis zur Darstellung von X₁ und X₂ in Gleichung (12), so erkennt man, dass in Gleichung (12) als einzige Unbekannte die mittlere Geschwindigkeit u_m0 auftaucht. Mit Gleichung (12) liegt also eine nichtlineare Bestimmungsgleichung für u_m0 vor, zu deren Lösung die Funktion f gemäß
definiert wird. Die positive Nullstelle dieser Funktion ist gerade die gesuchte mittlere Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt des Laminar Flow Elements. Die Ermittlung der Nullstelle erfolgt iterativ wobei sich im vorliegenden Fall das Newtonsche Verfahren als besonders effizient erwiesen hat. Die Iterationsvorschrift lautet:
Hierin bezeichnet der hochgestellte Index den n-ten Iterationsschritt. Der Startwert u (0) / m0 der Folge wird aus den zur Verfügung stehenden Messwerten mit Hilfe des Gesetzes von Hagen-Poiseulle wie folgt berechnet:
Erfüllt u (n+1) / m0 ein vorher festgelegtes Konvergenzkriterium, wird die Iteration beendet und das eigentliche Messergebnis, der Volumen- und Massenstrom gemäß Q_V = (πd²/4)·u_m0 bzw. Q_M = ρ·Q_V (19) berechnet.
Massen- und Volumenstromermittlung für Gase (kompressible Fluide) Das für die Massen- und Volumenstromermittlung von Gasen benötigte Durchflussmesssystem ist baugleich zu dem in 2 gezeigten Durchflussmesssystem 10 für Flüssigkeiten. Auch hier ist es so, dass die Strömung aus der Beruhigungskammer (Zustand „∞”) bis zum Eintritt in das Laminar Flow Element (Zustand „0”) isentrop beschleunigt wird. Im Fall eines Gases ändern sich dabei aber neben dem statischen Druck auch statische Temperatur und Dichte, was durch die folgenden Gleichungen wiedergegeben wird:
Die Gleichungen Gleichung (20) und Gleichung (21) beschreiben Energie- und Massenerhalt der Strömung in der Zulaufstrecke, wobei sich der Zustand des Gases reversibel adiabat, also isentrop, ändert, was durch Gleichung (22) ausgedrückt wird. Mit A_∞, A₀ werden dabei in Gleichung (21) die Flächen der Strömungsquerschnitte in Beruhigungskammer und im Eintritt des Laminar Flow Meter bezeichnet.
Das Gasgesetz Gleichung (23) kann dann verwendet werden, um in Gleichung (21) die Dichte ρ zu eliminieren: p_∞/(R_G·T_∞)·u_∞·A_∞ = p₀/(R_G·T₀)·u_m0·A₀ (21a)
Die Zähigkeit des Gases im Eintrittszustand „0” lässt sich nach Sutherland gemäß μ₀ = μ(T₀) = μ_Ref·(T₀/T_Ref)^3/2·(T_Ref + C_Su)/(T₀ + C_Su) (24) aus der statischen Temperatur T₀ berechnen. Hierin bezeichnet T_Ref die dynamische Zähigkeit des betreffenden Gases bei einer Referenztemperatur T_Ref.
Analog zum inkompressiblen Fall wird auch hier der Zusammenhang zwischen gemessenem Druckabfall Δp längs des Laminar Flow Elements und der Lösung des Differentialgleichungssystems über die Definition des dimensionslosen Drucks P hergestellt. Man erhält, wenn, wie oben, die Dichte durch Druck und Temperatur ersetzt wird:
Hierin sind die dimensionslosen Koordinaten X₁ und X₂ wiederum durch X₁ = x₁·2/(a·Re) (26) X₂ = x₂·2/(a·Re) (27) gegeben, die Reynoldszahl wird, unter Verwendung des Gasgesetzes Gleichung (22), durch Re = u_m0·d·p₀/(R_G·T₀·μ₀) (28) ausgedrückt, während die Machzahl wie folgt definiert ist:
In den Gleichungen (20), (21a), (22), (24), (25), (26), (27), (28) und (29) fließen die Messwerte p₀, T₀, Δp als bekannte Größen ein, während u_m0, u_∞, p₀, T₀, X₁, X₂, Re, Ma₀, μ₀ die Unbekannten sind. Damit stehen insgesamt neun nichtlineare, algebraische Gleichungen zur Bestimmung von neun Unbekannten zur Verfügung. Zur Vorbereitung der Lösung werden, analog zum inkompressiblen Fall, neun Funktionen gemäß
definiert, worin x → der Vektor der Unbekannten gemäß x → def / = (u_m0, u_∞, p₀, T₀, X₁, X₂, Re, Ma₀, μ₀)^T. (39) Ist. Gesucht ist nun der Vektor als x → Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems, für den gilt: f_j(x →) = 0; 1 ≤ j ≤ 9 (40)
Die Lösung des Systems erfolgt nach der Methode von Newton-Kantorowitsch und stellt eine Verallgemeinerung der Lösungsmethode nach Newton für die Nullstellenberechnung einer nichtlinearen Gleichung dar, welche im inkompressiblen Fall Verwendung gefunden hatte. Das Verfahren mündet in folgende Iterationsvorschrift:

1. Berechnung der Jacobischen Matrix für die n-te Näherung des Lösungsvektors x →⁽ⁿ⁾ gemäß
2. Die Lösung des linearen Gleichungssystems
liefert eine neue Näherung
3. Beginnend mit einem Startvektor x →⁽⁰⁾ wird die Iteration so lange wiederholt, bis ein vorher festgelegtes Konvergenzkriterium erreicht ist. Dabei hat es sich bewährt, die Komponente u_m0 des Startvektors gemäß Gleichung (18) zu berechnen und mit u_∞ gleichzusetzen. Alle anderen Komponenten des Vektors x →⁽⁰⁾ werden unter der Annahme bestimmt, dass der Zustand des Gases im Eintrittsquerschnitt (Index 0) mit den gemessenen Werten in der Beruhigungskammer (Index ∞) identisch ist.

Ist u_m0 ermittelt, werden Volumen- und Massenstrom wiederum gemäß Gleichung (19) berechnet, wobei sich die Dichte ρ₀ im Eintrittsquerschnitt aus den Komponenten p₀, T₀ des Lösungsvektors über die Anwendung von Gleichung (23) ergibt.
Berücksichtigung eines Wärmestromes bzw. einer Wandtemperaturverteilung
Liegt ein Temperaturgefälle zwischen Wand und Strömung vor, so kommt es zu einem Wärmeaustausch bzw. Wärmestrom. Um diesen bei der Ermittlung des dimensionslosen Druckabfalls P berücksichtigen zu können, ist es erforderlich, den aktuellen Verlauf der Wandtemperatur, T_W(x), zu messen und als Randbedingung bei der Lösung des Differentialgleichungssystems einzubringen. Das weitere Vorgehen zur Ermittlung von Volumen- und Massenstrom erfolgt dann genauso wie oben für Gase und Flüssigkeiten beschrieben.
Obwohl es also grundsätzlich möglich ist, einen Wärmeübergang zu berücksichtigen, kann durch konstruktive Maßnahmen angestrebt werden, diesen zu verhindern. Hierzu ist die Realisierung einer wärmeundurchlässigen (adiabaten) Wand erforderlich. Diese sollte an der inneren Rohrwand aus dünnem Material geringer Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit gefertigt sein, mit einer zusätzlichen wärmeisolierenden Ummantelung. Es ist allerdings im Einzelfall zu entscheiden, welche Lösung (rechnerische Kompensation des Wärmeübergangs oder Isolierung des oder der Messrohre) die kostengünstigere ist.

Claims

Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) eines Durchflussmesssystems (10) zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids, wobei der Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) wenigstens ein für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildetes Messrohr (1) und wenigstens eine Zulaufkammer (5) aufweist, wobei die Zulaufkammer (5) in Strömungsrichtung des strömenden Fluids vor dem wenigstens einen Messrohr (1) angeordnet ist und eine Zulaufstrecke (4) für das strömende Fluid aufweist, wobei der Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) wenigstens einen Sensor (11, 12) zur Messung wenigstens einer physikalischen Größe des strömenden Fluids aufweist, der zur Messung der wenigstens einen physikalischen Größe im Bereich der Zulaufkammer (5) eingerichtet ist.
Messkörper nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass der Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) mehrere jeweils für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildete, strömungsmäßig parallel zueinander angeordnete Messrohre (1) aufweist, die gleich oder unterschiedlich ausgebildet sein können.
Messkörper nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass eine gemeinsame Zulaufkammer (5) für mehrere oder alle der Messrohre (1) vorhanden ist.
Messkörper nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass der oder die Sensoren (11, 12) im Bereich der Zulaufkammer (5) vor der Zulaufstrecke (4) angeordnet sind.
Durchflussmesssystem (10) zur Messung eines Volumen- und/oder Massenstroms eines strömenden Fluids, mit a) wenigstens einem Messkörper (1, 5, 7, 11, 12), der wenigstens ein für eine Laminardurchströmung des strömenden Fluids ausgebildetes Messrohr (1) aufweist, b) einem oder mehreren Sensoren (11, 12) zur Messung physikalischer Größen des durch das wenigstens eine Messrohr (1) strömenden Fluids, c) wenigstens einer Auswerteeinrichtung (8), der die von dem oder den Sensoren (11, 12) abgegebenen Signale entsprechend den gemessenen physikalischen Größen zugeführt sind, dadurch gekennzeichnet, dass d) die Auswerteeinrichtung (8) dazu eingerichtet ist, anhand der zugeführten Signale von dem oder den Sensoren (11, 12) eine den Volumenstrom und/oder Massenstrom des durch das wenigstens eine Messrohr (1) strömenden Fluids charakterisierende Größe mittels numerischer Lösung von das wenigstens eine Messrohr (1) charakterisierenden Strömungsdifferenzialgleichungen mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung zu bestimmen.
Durchflussmesssystem nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass der Messkörper (1, 5, 7, 11, 12) nach einem der Ansprüche 1 bis 4 ausgebildet ist.
Durchflussmesssystem nach einem der Ansprüche 5 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerteeinrichtung (8) zur numerischen Lösung der Strömungsdifferenzialgleichungen unter Berücksichtigung eines möglichen Wärmeübergangs zwischen dem durch das wenigstens eine Messrohr (1) strömenden Fluids und der Rohrwand des wenigstens einen Messrohrs (1) eingerichtet ist.
Durchflussmesssystem nach einem der Ansprüche 5 bis 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerteeinrichtung (8) dazu eingerichtet ist, die mittlere Geschwindigkeit des homogenen Geschwindigkeitsprofils des durch das wenigstens eine Messrohr (1) strömenden Fluids im Einströmquerschnitt numerisch iterativ zu ermitteln.
Durchflussmesssystem nach einem der Ansprüche 5 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerteeinrichtung (8) dazu eingerichtet ist, bei der numerischen Lösung der Strömungsdifferenzialgleichungen zwischen inkompressiblen und kompressiblen Fluiden zu unterscheiden.
Computerprogramm mit Programmcodemitteln, eingerichtet zur Durchführung der folgenden Schritte, wenn das Computerprogramm auf einem Rechner (9) einer Auswerteeinrichtung (8) eines Durchflussmesssystems (10) nach einem der Ansprüche 5 bis 8 ausgeführt wird: Bestimmen anhand der zugeführten Signale von dem oder den Sensoren (11, 12) eine den Volumenstrom und/oder Massenstrom des durch das wenigstens eine Messrohr (1) strömenden Fluids charakterisierende Größe mittels nummerischer Lösung von das wenigstens eine Messrohr (1) charakterisierenden Strömungsdifferenzialgleichungen mit den Randbedingungen einer laminaren Rohreinlaufströmung.