DE19963841A1 - Computergesteuertes Verfahren zur Erzeugung einer geordneten Reihenfolge von Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen - Google Patents

Computergesteuertes Verfahren zur Erzeugung einer geordneten Reihenfolge von Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen

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Abstract

Eine Reihenfolge für z Einzel-Objekte mit n Einzelmerkmalen wird mit diesem Verfahren so generiert, daß jedes der n Einzelmerkmale für sich - im Rahmen der Ganzzahligkeit und der kombinatorischen Ist-Ausprägungen der Objekt-Einzel-Merkmale - gleichverteilt/äquidistant in der Reihenfolge untergebracht ist.

Description

1. Beschreibung
Die Erfindung bezieht sich auf ein computergestütztes Verfahren zur Erzeugung einer ge­ ordneten Reihenfolge von z Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen. Zielsetzung in dieser geordneten Reihenfolge ist eine möglichst gleichmäßige Verteilung aller Einzelmerkmale für sich, d. h., die Äquidistanz aller Einzelmerkmale.
Die bei dieser Problemstellung üblicherweise verwendeten mathematischen Methoden der ganzzahligen, kombinatorischen Optimierung kommen hier nicht zum Einsatz; die Gefahr der kombinatorischen Explosion wird mit diesem Verfahren gezielt umgangen: Das Verfahren zeichnet sich so durch große Schnelligkeit aus (siehe Kapitel 5).
Es ist deshalb Aufgabe der Erfindung, ein computergesteuertes Verfahren zur Erzeugung einer geordneten Reihenfolge von Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen unter Erzielung einer möglichst gleichmäßigen, optimalen, äquidistanten Verteilung der Einzelmerkmale in der ge­ ordneten Reihenfolge anzugeben, welches exakt rechenbar und nur einen geringen Rechen­ aufwand erfordert (Synthese-Verfahren).
Diese Aufgabe der Erfindung wird in vorteilhafter Weise durch die im Anspruch 1 angegebenen Verfahren/Merkmale gelöst.
Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung wird in den Unteransprüchen gekennzeichnet.
Die Erfindung wird anhand verschiedener Beispiele erläutert und beschrieben.
2. Aufgabenstellung 2.1 Definitionen
Vorgegeben sei eine ungeordnete Anzahl z von Objekten, die in die gesuchte Reihenfolge zu bringen sind. Über alle z Objekte gibt es n unterschiedliche, voneinander unabhängige Einzel­ merkmale, zur Unterscheidung bezeichnet mit M0. . .Mn-1.
Beispiel
Die Objekte seien Fahrzeuge (PkW) mit 3 unabhängigen Ausstattungs-Merkmalen, z. B.:
M0 ≘ "Airbag"
M1 ≘ "Ledersitze"
M2 ≘ "Schiebedach"
Jedes Einzel-Merkmal M0. . .M2 kann unabhängig vom anderen im Objekt "Automobil" eingebaut werden.
In der Menge z der Objekte befinden sich I ≦ z Einzel-Merkmals-Kombinationen, diese werden "Sorten" genannt: zu einer Sorte Sj (j = 0. . .I-1) gehören alle die Objekte, die dieselbe Einzel- Merkmals-Kombination besitzen.
Die Sorte Sj wird als Spalten-Vektor definiert wie folgt:
Insgesamt gibt es 2n mögliche Sorten.
Beispiel
Im obigen Beispiel "Automobil" mit n = 3 unabhängigen Merkmalen kann es maximal 23 = 8 Sorten geben:
Enthalten die z Objekte (Automobile) z. B. mindestens eine Einzelmerkmals-Kombination mit beispielsweise
M0 vorhanden ≘ Fahrzeug hat "Airbag" ⇒ s0 = 1
M1 fehlt ≘ Fahrzeug ohne "Ledersitze" ⇒ s1 = 0
M2 vorhanden ≘ Fahrzeug hat "Schiebedach" ⇒ s2 = 1,
so ist die Sorte
im Objekt-Vorrat vorhanden (der Sortenindex j berechnet sich zu j = 1 × 20 + 0 × 21 + 1 × 22 = 5).
Die Anzahlen, mit dem die Sorten Sj jeweils im vorgegebenen Objektvorrat z vorkommen, werden mit aj bezeichnet.
Die Summe aller aj ergibt dann die Anzahl z.
Mit I wird die Anzahl der Sorten bezeichnet, die im Vorrat z überhaupt vorkommen, für die also gilt aj < 0.
Die Häufigkeiten, mit denen die Einzel-Merkmale M0. . .Mn-1 in allen z Objekten auftreten, seien mit m0. . .mn-1, bezeichnet. Diese errechnen sich über das Bilanzgleichungssystem
mit b = 2n-1.
(In der letzten Zeile des obigen Systems ist die Summe aller aj mit aufgeführt.)
Mit p wird der Platz in der Reihenfolge (p = 1. . .z) bezeichnet.
Zusammenfassung der Definitionen Größe Beschreibung
z Vorgegebene Zahl von Einzelobjekten, die
  • - in die Soll-Reihenfolge gebracht werden sollen und die
  • - I Sorten Sj, j = 0. . .I-1 an Einzelmerkmals-Kombinationen
  • - mit jeweils den Sorten-Anzahlen aj enthalten
z < 0, ganzzahlig
n Über alle Einzel-Objekte hinweg vorhandene Anzahl von unab­ hängigen Einzel-Merkmalen, die einzeln miteinander beliebig kombinierbar sind.
n < 0, ganzzahlig
(1) Mi
Bezeichnung des Einzelmerkmals i, i = 0. . .n-1
Sj
Sorte j:
aj Anzahl Objekte, die der Sorte j angehören:
mi Summe der Einzelmerkmale, in allen z Objekten enthalten, errechnet nach Gleichungssystem (0)
I Sortenanzahl: Anzahl aller Sorten Sj, für die gilt aj < 0
p Platzziffer in der Reihenfolge
2.2 Die Aufgabenstellung Aufgabenstellung Gleichverteilung (Äquidistanz) der Einzelmerkmale
Vorgegeben seien
z Objekte mit
n unabhängigen Einzelmerkmalen
M0. . .Mn-1,
deren Häufigkeiten
m0. . .mn-1,
betragen - wie in 2.1 definiert.
Gesucht ist die Aneinander-Reihung, diejenige Reihenfolge der Länge z - gebildet aus den z vorgegebenen Objekten -, in der
jedes Einzelmerkmal M0. . .Mn-1 einzeln für sich
bei jedem Auftreten der Merkmale M0. . .Mn-1, in der gesuchten Folge gleich weit vom nächsten Auftreten eines jeden Merkmals M0. . .Mn-1 entfernt ist.
D. h., alle Einzelmerkmale in der gesuchten Folge sind (möglichst) äquidistant anzuordnen.
Diese Aufgabenstellung sei hier als "Gleichverteilung der Einzelmerkmale" bezeichnet.
Problematik der Aufgabenstellung
Die Schwierigkeit besteht nun darin, daß die Einzel-Merkmale nicht einzeln für sich unabhängig, sondern beliebig miteinander kombiniert sind: es entsteht so ein kombinatorisches Optimie­ rungsproblem.
Wie ein einfaches Beispiel in Erläuterung 1 (Kapitel 6 dieser Beschreibung) zeigt, sind aufgrund der Kombinatorik von Einzel-Merkmalen untereinander die Ideal-Abstände von z/mi für alle n Einzel-Merkmale gleichzeitig i. d. R. nicht einzuhalten - abgesehen vom Problem der Ganz­ zahligkeit. D. h., Äquidistanz aller Merkmale gibt es i. d. R. nicht, es läßt sich jedoch mit dieser Erfindung schnell eine optimale Näherung finden (siehe Kapitel 3).
3. Verfahren zur Synthese einer Reihenfolge mit optimaler Gleichverteilung aller Einzelmerkmale 3.1 Bilanzbildung
Man bildet aus dem Vorrat von z Objekten mit I Sorten das reduzierte Bilanzgleichungs­ system (2):
und zählt somit alle mi aus.
Anmerkung
In das reduzierte Bilanzgleichungssystem werden nur die Sortenvektoren Sik, ik = 0. . .I-1, auf­ genommen, deren Häufigkeiten ak < 0 sind.
3.2 Merkmals-Dichte-Bestimmung
Man bildet aus den Summen der Einzel-Merkmale m0. . .mn-1 die "Merkmals-Dichte"
je Einzelmerkmal i.
Es entsteht das theoretische, nichtganzzahlige Einzel-Merkmals-Soll, mit dem jedes Objekt (aus z) mit dem Einzel-Merkmal Mi anteilig beaufschlagt sein müßte, um nach z Plazierungen die An­ zahl mi zu erreichen.
In Vektorschreibweise erhält man für alle n einzelnen Merkmale die Grund-Ist-Dichte
(alle di ≦ 1, rational).
Man setzt die Merkmals-Dringlichkeit für den 1. Platz (p = 1) der zu generierenden Reihenfolge zu
(4a) Dp=1 = D1: = D0+C.
Dabei ist der Offset-Vektor eine Konstante
mit beliebigen Elementen 0 ≦ ci ≦ 1, mit der die Start-Präsenz eines Einzel-Merkmals am Beginn der Reihenfolge beeinflußt werden kann.
3.3 Synthese Soll-Merkmalskombination und Rangbildung
Man bestimmt eine beliebige, binäre Soll-Merkmals-Kombination Gp für jeden Platz p nach folgender Vorschrift:
wobei σi ein (beliebiger) Schwellwert zum Zwecke der Binär-Wert-Erzeugung ist:
(5c) 0 ≦ σi ≦ 1
Gp entspricht dann einer Sorte Sx, die am Platz p in der gesuchten Reihenfolge unterzubringen wäre - (sofern Sx im Vorrat z vorhanden, siehe Kapitel 3.4). Eine Platzierung von Gp (der Sorte Sx) am Platz p bewirkt durch die Binärwertigkeit der Merkmale in Gp (gi,p = 0 oder 1) eine Abweichung von der Soll-Dringlichkeit (≘ p . di) eines jeden Einzelmerkmals am Platz p, die als Fehler-Betrag |Fp| berechnet wird zu:
Aus |Fp| errechnet man für den weiteren Gang des Verfahrens einen Rang-Vektor
mittels absteigender Sortierung der Elemente von |Fp|.
Dabei erhält der größte Fehlerbetrag |gi,p-di,p|max die Rangzahl ri,p: = 0, der kleinste Fehlerbe­ trag |gj,p-dj,p|min die Rangzahl rj,p: = n-1. Die anderen Rangzahlen werden entsprechend der absteigenden Sortierung aller |fk| zwischen 0 und n-1 vollständig, lückenlos und eindeutig vergeben (siehe Erläuterung 2).
Anmerkung
Setzt man in (5d)
alle σi = 0,5
so entsteht mit Gp per Konstruktion die Sorte Sx, die im Rahmen der erforderlichen Ganzzahligkeit am wenigsten vom durchschnittlichen Merkmals-Soll Dp des Platzes p abweicht.
Die summarische Abweichung ist dann am minimalsten
3.4 Sortensuche Merkmals-Kombination Gp im Vorrat
Man sucht die Sorte Sx = Gp im Objekt-Vorrat.
Ist eine solche (noch) vorhanden (ax < 0), so hat man ein zu plazierendes
Objekt gefunden; → weiter mit 3.6.
Sonst: → weiter mit 3.5.
3.5 Sortensuche nächstgeringere Abweichung
Ist die Sorte Sx = Gp nicht (mehr) im Vorrat (ax = 0), sucht man in einer Iteration die Sorte mit der "nächstgeringsten" Abweichung von Gp. Dies sei NGq.
Für den 1. Suchschritt (Iterationsindex q = 1) setzt man
(7) NG1: = Gp ⊕ T1(Rp)
⊕ ist dabei der Boolsche Exklusiv-Oder-Operator "XOR".
Der n-zeilige Schalt-("Toggle")-Vektor Tq(R) wird errechnet zu:
(Herleitung und Beispiel siehe Erläuterung 3.)
Gibt es eine Sorte Sx = NG1 → weiter mit 3.6.
3.5.1 Sorten-Inkrement
Gibt es die Sorte NGq nicht, so bildet man die Sorte NGq+1 mit der nächstgeringsten Ab­ weichung:
(9) NGq+1: = NGq ⊕ Tq+1(Rp).
Gibt es die Sorte "NGq+1" → weiter mit 3.6
sonst → zurück zu 3.5.1.
3.6 Plazierung und Adaption
Man plaziert die gefundene Sorte Sx (≘ Gp oder NGq) auf dem Platz p der Reihenfolge.
Dann reduziert man die gefundene Sorten-Summe um das entnommene Element
(10) ax: = ax -1
Die Adaption des durch die notwendige Ganzzahligkeit und die notgedrungene Verwendung von (noch) vorhandenen Sorten NGq anstelle von Gp verfälschten Rest-Merkmal-Solls (≘ Dringlichkeit) erfolgt ab dem 2. Platz durch den Korrektur-Term
Ist p = z?
→ weiter mit 3.7. (Ende)
→ sonst zurück zu 3.3. (nächster Platz).
3.7 Ende des Verfahrens
Alle z Plätze der gesuchten Reihenfolge wurden per Konstruktion und Adaption mit einzelnen Objekten/Sorten bezüglich der Einzel-Merkmale gleichverteilt besetzt.
3.8 Zusammenfassung
Eine graphische Übersicht über den Verfahrensablauf findet sich in Fig. 2. Erläuterung 4 zeigt ein um der Anschaulichkeit Willen sehr einfaches, aber vollständiges Beispiel für die Synthese einer Reihenfolge für z = 12, n = 3, I = 5.
4. Weitere Verfeinerungen des Verfahrens 4.1 Zyklische Verschiebung
Man kann die im Verfahren nach Kapitel 3 generierte Reihenfolge nicht an Platz 1, sondern an Platz p' (2 ≦ p' ≦ z) verschoben beginnen lassen, indem man die Objekte 1. . .p'-1 vorne "abschneidet" und diese hinten an die Reihenfolge anfügt.
Bild 4.1
Zyklische Verschiebung innerhalb der Folge
Dabei bleiben alle Eigenschaften der alten Reihenfolge bezüglich der Äquidistanzen der Ein­ zelmerkmale in vollem Umfang erhalten. Lediglich die Start-Einzel-Merkmals-Kombinationen sind ggf. anders.
Die so erzeugte Reihenfolge ist absolut gleichwertig zur alten, nicht grundlegend neu.
Insgesamt fassen sich bis zu z-1 "andere" Reihenfolgen erzeugen, dann beginnt der Zyklus von neuem.
4.2 Priorisierung von Einzelmerkmalen
Das Beispiel Erläuterung 1 zeigt, daß es die "optimale" Reihenfolge, die alle Einzel-Merkmale gleich gut gleichverteilt, i. a. nicht gibt. Mit der folgenden Verfahrens-Verfeinerung lassen sich aber beliebige Einzel-Merkmale der Objekte gegenüber anderen Einzelmerkmalen bevorzugen dergestalt, daß die Äquidistanz der bevorzugten Einzelmerkmale besser eingehalten werden gegenüber den anderen.
  • - Man gibt einen Vorrang-Vektor aus ganzen Zahlen vor
    der die Rangfolge der Einzelmerkmale M0. . .Mn-1 untereinander ordnet (alle vi eindeutig und lückenlos, keine Wiederholungen erlaubt).
    Die Zuordnung von Vorrang-Vektor-Elementen zu Einzelmerkmalen sei:
    wobei vx = 0 niederste, vx = n-1 die höchste Priorität darstellt.
  • - Dabei wählt man die Priorität am höchsten für das Merkmal Mk, für das man die beste Äquidistanz erzielen will (vk = n-1), alle anderen entsprechend kleiner.
Beispiel
M0 = Airbag v0 = 2 → am wichtigsten
M1 = Leder v1 = 0 → am unwichtigsten
M2 = Schiebedach v2 = 1 → mittel
  • - Das Verfahren wird wie in Kapitel 3 ff beschrieben durchgeführt mit folgender Abän­ derung/Verfeinerung:
    • - Bei der "Sortensuche nächstgeringere Abweichung", Kapitel 3.5 - wenn also die Sorte Gp am Platz p nicht (mehr) im Vorrat der z Objekte vorhanden ist - wird immer zwangsweise gesetzt
      (15) Rp: = V
    • - Es wird also nicht der über |Fp| errechnete Rangvektor an diesem Platz p verwendet, sondern der Vorrangs-Vektor V an seiner Stelle.
    • - Formel (15) gilt für alle freien Plätze p, an denen die Soll-Merkmalskombina­ tion Gp (Kapitel 3.3) nicht (mehr) im Vorrat ist.
Die Priorisierung von Einzelmerkmalen führt dazu, daß die Abstände zwischen den höher­ prioren Merkmalen besser eingehalten werden - im Rahmen der Ganzzahligkeit -, d. h.,
  • - die Abstands-Varianz der höhe-rprioren Merkmale fällt,
  • - auf Kosten der nieder-prioren Merkmale, deren Abstands-Varianz steigt.
(Siehe hierzu Beispiel in Erläuterung 4.)
4.3 Sortensuche bei großem n
Ist die Anzahl der theoretisch möglichen Einzelmerkmals-Kombinationen sehr viel größer (1. . .2 Zehnerpotenzen) als die Ist-Sorten-Anzahl I im Objekt-Vorrat z, wenn also gilt
2n << I
so ersetzt man zweckmäßigerweise die "Sortensuche nächstgeringere Abweichung" nach Kapitel 3.5 durch die direkte, lineare Suche in den vorhandenen Sorten Si0. . .Si,I-1.
Die Verfahrensvorschrift lautet dann:
  • - Man bilde für alle Sorten Sk (k = 0. . .I-1), für die ak < 0 ist, die Abweichung
    und
  • - Diejenige Sorte Sk, für die die Summe aller Abweichungen "Soll-Merkmals-Kombination Gp von den (noch) vorhandenen Ist-Sorten Sk" am minimalsten oder unterhalb einer beliebigen Toleranzschwelle τ ist, für die also gilt
    ist die für den Platz p zu wählende Sorte Sx.
Damit wird die kombinatorische Explosion für größere n vermieden, die Zahl der Suchschritte je Platz p beträgt dann stets I ≦ z.
5. Rechenbarkeit und Geschwindigkeit
Üblicherweise verwendet man mathematische Methoden der kombinatorischen, ganzzahligen Optimierung zur Erzeugung solcher Reihenfolgen [vergl. hierzu z. B. "Mergenthaler et al. Optimi­ zing Automotive Manufacturing Sequences Using Simulated Annealing and Genetic Algorithms", Control Eng. Practice, Vol. 3, No. 4, pp 569-573, 1995]. Diese Verfahren weisen jedoch grundsätzlich den Nachteil auf, daß sie stets vor einem drohenden Potential von z! Möglichkeiten stehen, wie eine solche Reihenfolge aus z Elementen gebildet werden könnte (kombinatorische Optimierung impliziert stets intelligentes "Probieren" aller Kombinationen).
Schon bei wenigen (100) Objekten besteht so die Gefahr der kombinatorischen Explosion dergestalt, daß hohe Rechenzeiten bzw. komplette Nicht-Rechenbarkeit auftreten und/oder Näherungslösungen akzeptiert und Kompromisse eingegangen werden müssen.
Die hier beschriebene Erfindung stellt ein Synthese-Verfahren dar, das je zu besetzenden Platz p die optimalen Objekte nicht "probiert" (≠ Kombinatorik!). Dieses Verfahren generiert vielmehr je Platz p ein eindeutiges Objekt/eine eindeutige Sorte, geht dann zum nächsten Platz, generiert das nächste Objekt etc.
Besonders vorteilhaft ist, daß man damit um viele Größenordnungen weg vom (Rechen-)­ Aufwand der kombinatorischen Optimierung um viele Größenordnungen schneller ist. Man endet mit einer Anzahl von ca.
< z.I
Arbeitsschritten (worst-case) zur Generierung der gesuchten Reihenfolge der Aufgabenstellung Kapitel 2, im Fall von 2n ≈ I erfahrungsgemäß sogar mit deutlich weniger.
Dieses Verfahren berechnet das in obiger Literaturstelle beschriebene Reihenfolge-Problem (228 Objekte, 5 Merkmale) anstelle der dort benötigten 14 Minuten in weit unter einer Sekunde - bei vergleichbarem Rechner.
6. Erläuterungen Erläuterung 1 Erläuterung der Aufgabenstellung am Beispiel "Fahrzeugbau"
Beispiel-Objekte seien Fahrzeuge (Automobile, PKW, . . .).
Im Planungs-/Produktionsintervall (z Fahrzeuge) eines Automobil-Werkes sollen
  • - 12 Fahrzeuge gebaut werden lt. folgendem Produktionsplan: z = 12
  • - Das Auftragsvolumen für diese 12 Fahrzeuge liegt in der folgenden Kombinatorik der Einzel­ merkmale vor:
  • - D. h., es sind 5 (von theoretisch 23 = 8 möglichen) Fahrzeug-Sorten im Objekt-/Fahrzeug-Vorrat tatsächlich vorhanden:
  • - Die Summe aller aj = 5 + 1 + 2 + 2 + 2 = Objekt-Anzahl z = 12.
  • - Zur Anschauung die graphische Darstellung des Objekt-Bestandes von z = 12 Fahrzeuge in der folgenden, nach Sorten geordneten Form:
Bild A1.1
Gantt-Diagramm Fahrzeug-Merkmale/-Ausstattungen, geordnet nach Sorten
Daraus ergeben sich einige mögliche, optimale Reihenfolgen mit Gleichverteilung der Einzel-Merkmale M0, M1 und M2:
1. Ideale Gleichverteilung bezüglich des Merkmals M2 "Schiebedach"
2. Ideale Gleichverteilung bezüglich des Merkmals M1 "Leder"
3. Ideale Gleichverteilung bezüglich des Merkmals M0 "Airbag"
Fazit:
Keine Reihenfolge erfüllt die Anforderung der gleichzeitigen Äquidistanz aller Merkmale.
Erläuterung 2 Ein Beispiel zur Rangbestimmung
Das Beispiel in Anlage 1 wird auch hier verwendet:
z = 12, n = 3, m2 = 6, m1 = 4, m0 = 3.
Bild A2.1
Gantt-Diagramm Fahrzeug-Merkmale/-Ausstattungen, geordnet nach Sorten
Es ergeben sich folgende Verhältnisse für den Platz p = 1 (alle σi, = 0,5 alle ci = 0 gewählt):
1. Grund-Merkmals-Dichte aus Formeln (3, 4)
2. Synthese Wunsch-Merkmals-Kombination (5)
3. Fehler-Bestimmung nach (6a)
4. Rangbestimmung nach (6b) in absteigender Folge
  • - größtes Element in Vektor |F| ist f2 = 0,5; Rang r2 = 0
  • - nächstkleineres Element in |F| ist f1 = 0,33; Rang r1 = 1
  • - nächstkleineres Element in |F| ist f0 = 0,25; Rang r0 = 2.
Ergebnis
Der Rang-Vektor ist in diesem Beispiel für den 1. Platz p = 1
Erläuterung 3 Ermittlung von G und NG anhand von Beispielen 1. Veranschaulichung von G und NGq im zweidimensionalen Raum
Gegeben sei eine Objekt-Menge z mit n = 2 Merkmalen M0 und M1. Die Dichte der Merkmale (Anteile) betrage für M0 30% (d0 = 0,3), für M1 80% (d1 = 0,8).
Unter Anwendung der Vorschrift in Formel (5d) "alle σi = 0,5" findet man diejenige Merkmalskombina­ tion G mit der geringsten Abweichung von der Soll-Merkmals-Dichte D = {0,3; 0,8} anschaulich aus der Grafik gemäß Fig. 1 (Darstellung der Sortenwahl nach der Methode des nächstgeringsten Fehlers (σi = 0,5) im 2-dimensionalen Raum):
G = {0; 1}.
Man bildet |F| und Σ|F|:
Die Abweichung von D zu G ("Rest-Fehler") beträgt Σ|F| = 0,3 + 0,2 = 0,5; im Rahmen der Ganzzahlig­ keit ist dies die geringst-mögliche, also das Optimum (Gleichwertigkeit der Merkmale vorausgesetzt).
Die nächstbesten Binär-Kombinationen lassen sich leicht anschaulich ermitteln:
  • - NG1 {1; 1}, die Abweichung zu D ist jetzt gestiegen auf Σ|F| 0,7 + 0,2 = 0,9 im Bild: [1]
  • - NG2 = {0; 0}, die Abweichung zu D ist jetzt gestiegen auf Σ|F| = 0,3 + 0,8 = 1,1 im Bild: [2]
  • - NG3 = {1; 0}, die Abweichung zu D ist jetzt gestiegen auf Σ|F| = 0,7 + 0,8 = 1,5 im Bild: [3]
Nach 2n-1 = 3 Schritten sind alle Möglichkeiten erschöpft.
2. Systematische Herleitung der Vorschrift für NGq anhand eines Beispiels
Ein anderes Beispiel mit n = 3 Merkmalen:
M0 habe den Anteil 70% (d0 = 0,7), M1 40% (d1 = 0,4) und M2 20% (d2 = 0,2). (Die Anzahl z der Objekte ist hier ohne Belang.)
Dies führt für den 1. Platz auf (alle σi = 0,5, ci = 0).
Ist das Einzel-Merkmals-Wunsch-Muster G1 nicht im Objekt-Vorrat, dann wird dasjenige Ersatzmuster mit dem "Nächstgeringsten Fehler", mit der nächstgeringsten Abweichung von D1, das Muster NG1 gesucht. Ist auch dies nicht vorhanden, so sucht man nach NG2, etc. Dies führt über alle Suchschritte hinweg auf:
Bild A3.2
Alle möglichen Suchmuster NGq
Erläuterungen zu Bild A3.2
Ausgehend von G = {1; 0; 0} wird im 1. Suchschritt q = 1 das Muster NGq=1 gesucht, das die Abweichung zur Dringlichkeit D = {0,7; 0,4; 0,2} am wenigsten vergrößert. Dieses Merk­ mals-Muster wird dann als das "nächstbeste" bezeichnet.
Im obigen Fall ist dies NGq=1 = {1; 1; 0}; die Abweichung zu D ist dort gestiegen auf Σ|Restfehler| von 0,9 auf 1,1.
Im nächsten Suchschritt q = 2 wird ausgehend von NG1 als nächstbestes Merkmals-Muster NG2 = {0; 0; 0} gefunden, die Abweichung steigt jetzt auf 1,3. Im 3. Schritt sucht man NG3 etc.
Man endet nach qmax = 2n-1 = 7 Schritten, dann sind alle möglichen Kombinationen aus n = 3 Merkmalen durchschritten worden.
Die Bestimmung der nächstbesten Merkmals-Kombination geschieht mit folgendem Verfahren:
Im obigen Beispiel erzeugt man, von G ausgehend, NG1, NG2, .... NGqmax mit folgender Regel:
"Beim Fortschalten der Schritt-Variablen q auf q + 1
  • - beim Merkmal M0: variiere Merkmal (Bit) M0 jedes 2. Mal (⇒ 21 = 2r0=1)
  • - beim Merkmal M1: variiere Merkmal (Bit) M1 jedes 1. Mal (⇒ 20 = 2r1=0)
  • - beim Merkmal M2: variiere Merkmal (Bit) M2 jedes 4. Mal (⇒ 22 = 2r2=2)".
Dies führt auf untenstehendes Bild:
Bild A3.3
Systematische Darstellung Erzeugung NGi
Zum Erzeugen des neuen Suchmusters benutzt man das alte Suchmuster selbst, verknüpft über den Boolschen XOR-Operator ⊕ mit einem Schalt/Toggle-Vektor. Es gilt:
NG1 = G ⊕ T1
NG2 = NG1 ⊕ T2
. . .
NGq+1 = NGq ⊕ Tq+1, für q = 1. . .2n-1.
Im Beispiel:
Die allgemeine Regel lautet dann:
Zu obigem Beispiel wurden die Toggle-Vektoren unter Verwendung des Rangvektors
wie folgt bestimmt:
Erläuterung 4 Ein geschlossenes Beispiel
Das Verfahren wird anhand des Beispiels in Anlage 1 erläutert:
Bild A4.1
Gantt-Diagramm Fahrzeug-Merkmale/-Ausstattungen, geordnet nach Sorten
Dieser Objekt-Bestand beinhaltet die Sorten
die in diejenige Reihenfolge gebracht werden sollen, in der jedes Einzelmerkmal M0, M1 und M2 jeweils optimal gleichverteilt sein sollen, d. h., alle Mi sollen - möglichst - äquidistant zueinander sein.
Bei diesem Verfahren ist die Vorgehensweise entsprechend den Regeln in Kapitel 3 und 4 die unten folgende (die bezogenen Verfahrensvorschriften der einzelnen Teil-Kapitel sind kursiv aufgeführt):
4.1 Verfahren ohne Priorisierung - alle Merkmale sind gleichberechtigt I. Grunddaten errechnen 1. Bilanz-Bildung Auszählen der Einzel-Merkmale im Ist-Vorrat
Das reduzierte Bilanzgleichungssystem ist für dieses Beispiel
in anderer Schreibweise:
2. Grund-Merkmals-Dichte für die Merkmale M0, M1 und M2 errechnen
Die statistische Grund-Merkmals-Dichte für alle Plätze der Reihenfolge beträgt:
Zum Start des Verfahrens wird die Merkmalsdichte (Dringlichkeit) für den ersten Platz gleich der Grund-Merkmals-Dichte gesetzt:
3. Schwellwerte festlegen
Im Beispiel seien alle σi = 0,5 (5d).
4. Offset-Konstante festlegen
Im Beispiel seien alle ci = 0
II. Besetzung der Plätze/Bildung der Reihenfolge durch z = 12 Iterationsschritte 1. Durchlauf (Platz p = 1 der gesuchten Reihenfolge) <Kap. 3.3.2.< Synthese Soll-Merkmals-Kombination und Rang-Berechnung
Es wird Sorte G1 am Platz p = 1 bestimmt, die der Merkmalsdichte D1 am nächsten kommt
Den Fehler-Vektor berechnet man dann für den 1. Platz:
Der Rang-Vektor wird aus |F1| bestimmt:
  • - kleinstes Element ist |f0,1| = 0,25 → r0,1 = 2
  • - nächstkleineres Element ist |f1,1| = 0,33 → r1,1 = 1
  • - größtes Element ist |f2,1| = 0,5 → r2,1 = 0
(6c) Σ|F1|min = 0,25 + 0,33 + 0,50 = 1,08.
<Kap. 3.4.< Sortensuche Merkmals-Kombination G1 im Vorrat der Objekte
Sorte S4 = G1 ist vorhanden, d. h. der Platz p = 1 kann mit S4 besetzt werden
→ 4 weiter mit Kap 3.6.
<Kap. 3.5. <. . .übersprungen. . . <Kap. 3.6.< Plazierung und Adaption
Der 1. Platz wird besetzt mit Sorte S4.
Reduktion der Sorten-Summe:
(10) a4: = a4-1 = 2-1 = 1
Adaption der Dichte für den nächsten Platz:
(11) Dp+1 = D2: = D1 + D0 - G1
Der Vektor D2 drückt die resultierende Dringlichkeit aus, mit der jedes Einzel-Merkmal nun auf dem 2. Platz untergebracht werden müßte.
Im Beispiel hat man auf dem 1. Platz ein Fahrzeug mit Schiebedach plaziert, also um 50% zuviel, da dort eigentlich nur zu "50% Schiebedach" vorhanden sein sollte; dies gleicht sich durch die Adaption der Formel in (11) aus, so daß d2,p=2 = 0 ist.
Umgekehrt hat man an Platz 1 den Airbag "vernachlässigt", man hat 25% zu wenig plaziert. Durch (11) wird dies zum Platz 2 kumuliert, so daß sich jetzt eine Dringlichkeit von d0,p=2 = 0,25 + 0,25 = 0,5 am Platz 2 für das Merkmal M0 einstellt. Dasselbe gilt analog für das Merkmal M1, für das jetzt am Platz 2 mit der Einzel-Merkmals-Dringlichkeit d1,p=2 = 0,67 plaziert werden sollte.
Das Über- und Untererfüllen von Merkmalen an bestimmten Plätzen ist charakteristisch für das Verfahren. Es gleicht sich aber im Laufe der Iteration baldmöglichst, am Ende nach z Schritten immer im Rahmen der Möglichkeiten optimal aus, so daß alle Einzelmerkmale äquidistant untergebracht werden.
2. Der 2. Durchlauf des Verfahrens für Platz p = 2 ergibt
Von der Besetzung des ersten Platzes verbleibt für Platz p = 2 eine resultierende Merkmalsdichte von
<Kap. 3.3.2.< Synthese Soll-Merkmals-Kombination und Rang-Berechnung
Die nächstbeste, ganzzahlige Einzelmerkmalskombination wäre
Diese würde dann eine Abweichung an Platz 2 verursachen von
Daraus ermittelt man den Rang:
<Kap. 3.4.< Sortensuche Merkmals-Kombination Gp im Vorrat der Objekte
Da es kein Fahrzeug im Rest-Vorrat (nunmehr 11 Fahrzeuge/Objekte) mit den Merkmalen {M0 = 1; M1 = 1; M2 = 0} ≘ Sorte S3 gibt, muß das "nächstbeste" gewählt werden, also dasjenige, das die nächstgeringste Abweichung vom Merkmals-Soll Gp an diesem Platz (p = 2) aufweist.
<Kap. 3.5.< Sortensuche nächstgeringere Abweichung
Aus D2 = {0,5; 0,67; 0} kann man ersehen, daß die nächstbeste Strategie ist, das Merkmal M0 von 1 auf 0 zu ändern, die anderen beizubehalten:
weil so der Fehler in der Summe am wenigsten steigt.
Auch diese Merkmalskombination NG1 ≘ S2 gibt es nicht im Vorrat. Die Betrachtung von D2 führt dann auf die nächstbeste Kombination: M0 in G2 beibehalten, M1 in G2 ändern
die nun endlich als Sorte S1 im Rest-Vorrat vorhanden ist.
<Kap. 3.6.< Plazierung und Adaption
Auf Platz 2 der gesuchten Reihenfolge wird die so gefundene Sorte NG2 ≘ S1 plaziert.
Dann erfolgt die Buchhaltung über die plazierte Sorte
a1: = a1 - 1 = 1 - 1 = 0
und die Adaption der Dichte für den folgenden, den 3. Platz
3. Der 3. Platz
Die Merkmalskombination, die D3 am nächsten kommt, ist
was Sorte S6 entspricht.
Sorte S6 gibt es noch ausreichend im Vorrat, sie wird an Platz 3 gesetzt.
etc. Die weiteren Plätze
Es geht weiter mit Adaption, p = 4. . ., nächste Iteration etc. Ende nach Platz 12.
In der Gesamtheit ergibt sich die resultierende Reihenfolge:
(Die Plätze 2, 6, 7 und 10 können nicht direkt mit Gp besetzt werden, Besetzung folgt über Rang und Toggle.)
Bild A4.2
Beispiel-Reihenfolge-Ermittlung ohne Priorisierung
Im obigen Beispiel erfolgte die Suche nach Alternativ-Sorten NGi gemäß
<Kap. 3.5.1.< Sorten-Inkrement (durch Toggle-Funktion)
Man berechnet zunächst aus den Rest-Fehlern-Werten an Platz p = 2:
Daraus ergibt sich der Rang zu:
Die Toggle-Funktion nach (7) und (8a, b) generiert an Platz 2 das nächst-dringliche Fahrzeug:
  • - der erste Suchschritt q = 1 ergibt für Tq=1 (Rp=2)
  • - NG1 = G2 ⊕ T1(R2)
  • - NG1 ≘ Sorte S2 ist im Rest-Vorrat nicht vorhanden, daher der nächste Suchschritt q = 2,
    für T2 (R2) ergibt sich:
  • - NG2 = NG1 ⊕ T2(R2)
    NG2 ≘ Sorte S1 gibt es im Rest-Vorrat, Sorte S1 wird auf Platz 2 gesetzt.
  • - Ende der Suche für Platz 2.
Analoges Vorgehen auch für Platz 6 (1 Suchschritt) und Platz 7 (2 Suchschritte) und 10 (1 Suchschritt).
4.2 Verfahren mit Priorisierung
Will man bestimmte Einzel-Merkmale bevorzugen, dann wendet man das Verfahren nach
<Kap. 4.2< Priorisierung von Einzelmerkmalen
An durch Vorgabe eines Vorrang-Vektors V.
Dabei läßt man das Grund-Verfahren solange unverändert, bis dieses an einem Platz p vom "normalen Weg" abweichen und anstelle von Gp eine alternative Merkmalskombination NGi suchen würde.
Immer dann, an einem solchen Platz p, setzt man anstelle des selbst-errechneten Rang-Vektors Rp' (6b) den Vorrang-Vektor V (13) ein. Damit zwingt man den Algorithmus, nach Ersatz-Objekten für Gp mit der Priorisierung des Vorrang-Vektors zu suchen, und damit die Objekt-Einzel-Merk­ male entsprechend der Priorisierung in der Reihenfolge zu platzieren.
Wählt man z. B. zum obigen Beispiel
bevorzugt man also M0 gegenüber M1; M1 gegenüber M2, so erhält man die Reihenfolge in Bild A4.3.
Erläuterungen
An Platz 1 ist alles unverändert: G1 ist als Sorte S4 vorhanden, Platz 1 wird damit besetzt.
Am Platz 2 wird nun eine Sorte gefordert, die nicht vorhanden ist im Rest-Vorrat. Beim Priorisierungsverfahren wird jetzt
d. h., es wird entsprechend V und Toggle nach Gp-Ersatz NGi gesucht. Man erhält für p = 2 die Sorte S7 als Lösung.
Die nächsten Engpässe treten dann bei p = 8 und p = 10 auf, die entsprechend mit dem Toggle-Verfahren gelöst werden.
Die resultierende Reihenfolge in Bild A5.3 ist nunmehr optimal gleichverteilt bezüglich des am meisten priorisierten Merkmals M0, alle sind im Ideal-Ab­ stand 4 = 1/d0 untergebracht; die anderen Merkmale sind demgegenüber schlechter gestellt - ein unvermeidbarer Nebeneffekt.
Bild A4.3
Beispiel-Reihenfolge-Ermittlung bei Priorisierung {2; 1; 0}

Claims (9)

1. Computergesteuertes Verfahren zur Bestimmung einer geordneten Reihenfolge von z Objekten mit jeweils n frei wählbaren Merkmalen (M0, M1, M2, . . ., Mn-1) gekennzeichnet durch folgende Verfahrensschritte:
  • a) Bildung einer ungeordneten Folge der Objekte in Form einer n-zeiligen und z-spaltigen Matrix,
    wobei jeder Zeile ein Merkmal zugeordnet ist
    und jedes Matrixelement (mit dem Index i, p; p = 1, 2, 3, . . ., z als Spalten- bzw. Platznummer und i = 0, 1, 2, . . ., n-1 als Zeilennummer)
    in binärer Kennzeichnung 0 oder 1 das Fehlen oder Vorhandensein eines Merkmals Mi und wobei jede Spalte ein Objekt darstellt;
  • b) Bildung einer geordneten Folge der Objekte in Form einer n-zeiligen und z-spaltigen Matrix,
    wobei jeder Zeile ein Merkmal zugeordnet ist
    und jedes Matrixelement in binärer Kennzeichnung 0 oder 1 das Fehlen oder Vorhandensein eines Merkmals und
    wobei jede Spalte ein Objekt darstellt durch
    • - Bildung von n Basis-Dringlichkeitswerten di für jede Zeile i der Matrix der ungeordneten Folge gemäß Anzahl aller binären 1en in einer Matrixzeile geteilt durch Anzahl z der Objekte, so daß für den ein­ spaltigen, n-zeiligen Grunddringlichkeitsvektor Do gilt:
      für alle Zeilen des Vektors
      i = 0,1,2. . .n-1;
    • - Bildung einer ersten binären Soll-Merkmalskombination G1 (für Gp mit p = 1) für ein gedachtes Objekt aus den Basis-Dringlichkeitswerten unter Vorgabe eines Schwellwertes σi (0 ≦ σi ≦ 1) durch Zuordnung einer
    • - binären 0 für einen Basis-Dringlichkeitswert di < σi oder einer
    • - binären 1 für einen Basis-Dringlichkeitswert di ≧ σi;
so daß für den n-zeiligen Soll-Merkmals-Kombinations-Vektor G1 (am Platz p = 1) gilt
mit
für alle Zeilen i = 0, 1, 2, . . . n-1
  • - Aufsuchen eines Objektes in der ungeordneten Folge, dessen binäre Kennzeichnung mit der ersten binären Soll-Merkmalskombination G1 übereinstimmt und Anordnung dieses Objektes an dem ersten Platz p = 1 der geordneten Folge oder
    bei Fehlen eines solchen Objektes in der ungeordneten Folge Bestim­ mung eines in der ungeordneten Folge vorkommenden Objektes, dessen binäre Merkmalskombination die geringste Abweichung von den Basis-Dringlichkeitswerten aufweist oder dessen binäre Kennzeichnung in einem bezüglich der Basis-Dringlichkeitswerte vorgegeben Abweichungsbereich liegt und Anordnung dieses Objektes an dem ersten Platz (p = 1) der geordneten Folge;
  • - Bestimmung des jeweils auf den nächsten Platz der geordneten Folge anzuordnenden Objektes durch
  • - Bildung neuer Dringlichkeitswerte Dp+1 für diesen nächsten Platz p+1 gemäß
    • - neuer Dringlichkeitswert = Dringlichkeitswert des vorhergehenden Platzes + Basis-Dringlichkeitswert - Binärwert der binären Merkmalskombination des auf dem vorhergehenden Platz in der geordneten Folge angeordneten Objektes, so daß für den neuen Dringlichkeitswerte-Vektor Dp+1 des nächsten Platzes p+1 gilt
und durch
  • - Bildung einer neuen binären Soll-Merkmalskombination eines gedachten Objektes für diesen nächsten Platz aus den neuen Dringlichkeitswerten unter Berücksichtigung der Schwellwerte (0 ≦, σi ≦ 1) durch Zuordnung einer
    • - binären 0 für einen neuen Dringlichkeitswert
      di,p+1 < σioder einer
    • - binären 1 für einen neuen Dringlichkeitswert
      di,p+1 ≧ σi
    so daß für den neuen Soll-Merkmalskombinations-Vektor Gp+1 am Platz p+1 gilt
  • - für alle Zeilen i = 0, 1,2. . .n-1
  • - und Aufsuchen eines Objektes in der verbliebenen unge­ ordneten Folge, dessen binäre Merkmalskombination mit der neuen Soll-Merkmalskombination Gp+1 übereinstimmt und Anordnung dieses Objektes an diesem nächsten Platz p+1 in der geordneten Folge oder
    bei Fehlen eines solchen Objektes in der ungeordneten Folge Bestimmung eines in der verbliebenen ungeordneten Folge vorkommenden Objektes, dessen binäre Merkmals­ kombination die geringste Abweichung von den neuen Dringlichkeitswerten Dp+1 aufweist oder dessen binäre Kennzeichnung in einem vorgegebenen Abweichungs­ bereich liegt und Anordnung dieses Objektes an diesem nächsten Platz der geordneten Folge;
  • - Wiederholung obiger Schritte bis zum Platz p = z.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß alle Schwellwerte σi = 0,5 sind.
3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Bestimmung eines Objektes in der ungeordneten Folge mit der geringsten Abweichung seiner binären Merkmalskombination von den platzspezifischen Dringlichkeitswerten Gp eines gedachten Objektes in der geordneten Folge in folgenden Schritten erfolgt:
  • - Bildung der Absolutbeträge der Differenzwerte zwischen den Dringlichkeits­ werten für einen bestimmten Platz in der geordneten Folge und den diesen Dringlichkeitswerten zugeordneten Binärwerten der Soll-Merkmalskombination des gedachten Objektes, definiert als n-zeiliger Fehlervektor |Fp| des Platzes p:
    für alle Vektor-Zeilen i = 0, 1, 2,. . .n-1
  • - Sortierung dieser Absolutbeträge der Differenzwerte in |Fp| in absteigender Reihenfolge zur Bildung einer Merkmals-Rangfolge (prioritätshöchster Rang = 0 ≘ größter Absolutbetrag, . . ., Rang = n-1 ≘ kleinster Absolutbetrag), so daß ein n-zeiliger Rangvektor Rp des Platzes p entsteht:
    für alle Vektor-Zeilen i = 0, 1, 2,. . .n-1
  • - schrittweise Veränderung der Binärwerte des gedachten Objektes Gp, wobei sich
    • - der Binärwert für das Merkmal in der Rangstufe 0 mit jedem 20-ten Schritt,
    • - der Binärwert für das Merkmal in der Rangstufe 1 mit jedem 21-ten Schritt,
    • - der Binärwert für das Merkmal in der Rangstufe k mit jedem 2k-ten Schritt ändert,
    wobei Gp zu G'p verändert wird,
  • - bis für die veränderte binäre Merkmalskombination G'p in der verbliebenen ungeordneten Folge ein Objekt mit dieser Merkmalskombination gefunden wird.
4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Veränderung des Binärwertes einer Merkmalskombination durch Anwendung der Exklusiv-Oder-Funktion XOR auf diese Merkmalskombination Gp und auf eine aus der Ganzzahl-Division
(q modulo 2 hoch Rangstufenzahl ri der Zeilen i = 0, 1, 2,. . .n-1 für q = 1, 2, 3, . . . als Anzahl der Schritte, die erforderlich sind, bis für eine veränderte Binär­ kombination ein Objekt der ungeordneten Folge mit dieser Binärkombination auftritt)
abgeleiteter n-zeiliger Hilfs-Vektor Tq erfolgt,
wobei an jeder Stelle dem Restwert 0 im Ergebnis der Ganzzahl-Division der Binär­ wert 1 und dem Restwert ungleich 0 der Binärwert 0 zugeordnet wird, so daß gilt
für alle Vektor-Zeilen i = 0, 1, 2, . . . n-1 und
für alle Iterationsschritte q = 1. . .2n-1
und daß sich die neue Merkmalskombination NGq+1 aus der vorhergehenden Merk­ malskombination Nq durch eine Exclusiv-Oder-Verknüpfung mit der jeweiligen Hilfs- Binärwertkombination Tq+1 ergibt wie folgt:
NGq+1: = NQq ⊕ Tq+1(Rp),
wobei ⊕ der XOR-(Exklusiv-Oder)-Operator ist.
5. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß für einen bestimmten zu besetzenden Platz in der geordneten Folge anstelle der gedachten errechenbaren Rangfolgewerte Rp willkürlich vorgebbare (eine andere Abweichung bedingende) Rangfolgewerte verwendet werden.
6. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß für alle in der ungeordneten Folge verbliebenen Objekte mit einer voneinander ab­ weichenden Merkmalskombination die Abweichung als Summe der Absolutbeträge der Differenzwerte zwischen den Dringlichkeitswerten für einen zu besetzenden Platz der geordneten Folge und den Binärwerten der Merkmalskombinationen der Objekte in der ungeordneten Folge berechnet wird und
daß das Objekt in der ungeordneten Folge mit der geringsten Abweichung ausgewählt und auf dem zu besetzenden Platz angeordnet wird.
7. Verfahren nach Anspruch 6, gekennzeichnet durch seine Anwendung für den Fall 2n » Anzahl von Objektgruppen in der ungeordneten Folge mit jeweils übereinstimmender Merkmalskombination.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß die geordnete Folge dahingehend verändert wird, daß eine Anzahl von Objekten vom Anfang derselben an das Ende der Folge verschoben wird.
9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die veränderte Folge mit einem Objekt für ein vorgegebenes Merkmal oder für eine vorgegebene teilweise oder vollständige Merkmalskombination beginnt.
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Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
DE10235816A1 (de) * 2002-08-05 2004-02-26 Infineon Technologies Ag Verfahren zum Vorgeben einer Bearbeitungsreihenfolge und zugehörige Einheiten
CN108861276A (zh) * 2018-07-26 2018-11-23 昆山岩古风智能科技有限公司 一种基于agv跟随式仓库拣货方法

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