DE19963841A1 - Computergesteuertes Verfahren zur Erzeugung einer geordneten Reihenfolge von Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen - Google Patents

Abstract

Eine Reihenfolge für z Einzel-Objekte mit n Einzelmerkmalen wird mit diesem Verfahren so generiert, daß jedes der n Einzelmerkmale für sich - im Rahmen der Ganzzahligkeit und der kombinatorischen Ist-Ausprägungen der Objekt-Einzel-Merkmale - gleichverteilt/äquidistant in der Reihenfolge untergebracht ist.

Description

1. Beschreibung

Die Erfindung bezieht sich auf ein computergestütztes Verfahren zur Erzeugung einer ge­ ordneten Reihenfolge von z Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen. Zielsetzung in dieser geordneten Reihenfolge ist eine möglichst gleichmäßige Verteilung aller Einzelmerkmale für sich, d. h., die Äquidistanz aller Einzelmerkmale.

Die bei dieser Problemstellung üblicherweise verwendeten mathematischen Methoden der ganzzahligen, kombinatorischen Optimierung kommen hier nicht zum Einsatz; die Gefahr der kombinatorischen Explosion wird mit diesem Verfahren gezielt umgangen: Das Verfahren zeichnet sich so durch große Schnelligkeit aus (siehe Kapitel 5).

Es ist deshalb Aufgabe der Erfindung, ein computergesteuertes Verfahren zur Erzeugung einer geordneten Reihenfolge von Objekten mit jeweils n Einzelmerkmalen unter Erzielung einer möglichst gleichmäßigen, optimalen, äquidistanten Verteilung der Einzelmerkmale in der ge­ ordneten Reihenfolge anzugeben, welches exakt rechenbar und nur einen geringen Rechen­ aufwand erfordert (Synthese-Verfahren).

Diese Aufgabe der Erfindung wird in vorteilhafter Weise durch die im Anspruch 1 angegebenen Verfahren/Merkmale gelöst.

Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung wird in den Unteransprüchen gekennzeichnet.

Die Erfindung wird anhand verschiedener Beispiele erläutert und beschrieben.

2. Aufgabenstellung 2.1 Definitionen

Vorgegeben sei eine ungeordnete Anzahl z von Objekten, die in die gesuchte Reihenfolge zu bringen sind. Über alle z Objekte gibt es n unterschiedliche, voneinander unabhängige Einzel­ merkmale, zur Unterscheidung bezeichnet mit M₀. . .M_n-1.

Beispiel

Die Objekte seien Fahrzeuge (PkW) mit 3 unabhängigen Ausstattungs-Merkmalen, z. B.:

M₀ ≘ "Airbag"
M₁ ≘ "Ledersitze"
M₂ ≘ "Schiebedach"

Jedes Einzel-Merkmal M₀. . .M₂ kann unabhängig vom anderen im Objekt "Automobil" eingebaut werden.

In der Menge z der Objekte befinden sich I ≦ z Einzel-Merkmals-Kombinationen, diese werden "Sorten" genannt: zu einer Sorte S_j (j = 0. . .I-1) gehören alle die Objekte, die dieselbe Einzel- Merkmals-Kombination besitzen.

Die Sorte S_j wird als Spalten-Vektor definiert wie folgt:

Insgesamt gibt es 2ⁿ mögliche Sorten.

Beispiel

Im obigen Beispiel "Automobil" mit n = 3 unabhängigen Merkmalen kann es maximal 2³ = 8 Sorten geben:

Enthalten die z Objekte (Automobile) z. B. mindestens eine Einzelmerkmals-Kombination mit beispielsweise

M₀ vorhanden ≘ Fahrzeug hat "Airbag" ⇒ s₀ = 1
M₁ fehlt ≘ Fahrzeug ohne "Ledersitze" ⇒ s₁ = 0
M₂ vorhanden ≘ Fahrzeug hat "Schiebedach" ⇒ s₂ = 1,

so ist die Sorte

im Objekt-Vorrat vorhanden (der Sortenindex j berechnet sich zu j = 1 × 2⁰ + 0 × 2¹ + 1 × 2² = 5).

Die Anzahlen, mit dem die Sorten S_j jeweils im vorgegebenen Objektvorrat z vorkommen, werden mit a_j bezeichnet.

Die Summe aller a_j ergibt dann die Anzahl z.

Mit I wird die Anzahl der Sorten bezeichnet, die im Vorrat z überhaupt vorkommen, für die also gilt a_j < 0.

Die Häufigkeiten, mit denen die Einzel-Merkmale M₀. . .M_n-1 in allen z Objekten auftreten, seien mit m₀. . .m_n-1, bezeichnet. Diese errechnen sich über das Bilanzgleichungssystem

mit b = 2ⁿ-1.

(In der letzten Zeile des obigen Systems ist die Summe aller a_j mit aufgeführt.)

Mit p wird der Platz in der Reihenfolge (p = 1. . .z) bezeichnet.

Zusammenfassung der Definitionen Größe Beschreibung

z Vorgegebene Zahl von Einzelobjekten, die

• - in die Soll-Reihenfolge gebracht werden sollen und die
• - I Sorten S_j, j = 0. . .I-1 an Einzelmerkmals-Kombinationen
• - mit jeweils den Sorten-Anzahlen a_j enthalten

z < 0, ganzzahlig
n Über alle Einzel-Objekte hinweg vorhandene Anzahl von unab­ hängigen Einzel-Merkmalen, die einzeln miteinander beliebig kombinierbar sind.
n < 0, ganzzahlig
(1) M_i

Bezeichnung des Einzelmerkmals i, i = 0. . .n-1
S_j

Sorte j:

a_j Anzahl Objekte, die der Sorte j angehören:

m_i Summe der Einzelmerkmale, in allen z Objekten enthalten, errechnet nach Gleichungssystem (0)
I Sortenanzahl: Anzahl aller Sorten S_j, für die gilt a_j < 0
p Platzziffer in der Reihenfolge

2.2 Die Aufgabenstellung Aufgabenstellung Gleichverteilung (Äquidistanz) der Einzelmerkmale

Vorgegeben seien
z Objekte mit
n unabhängigen Einzelmerkmalen

M₀. . .M_n-1,

deren Häufigkeiten

m₀. . .m_n-1,

betragen - wie in 2.1 definiert.

Gesucht ist die Aneinander-Reihung, diejenige Reihenfolge der Länge z - gebildet aus den z vorgegebenen Objekten -, in der

jedes Einzelmerkmal M₀. . .M_n-1 einzeln für sich

bei jedem Auftreten der Merkmale M₀. . .M_n-1, in der gesuchten Folge gleich weit vom nächsten Auftreten eines jeden Merkmals M₀. . .M_n-1 entfernt ist.

D. h., alle Einzelmerkmale in der gesuchten Folge sind (möglichst) äquidistant anzuordnen.

Diese Aufgabenstellung sei hier als "Gleichverteilung der Einzelmerkmale" bezeichnet.

Problematik der Aufgabenstellung

Die Schwierigkeit besteht nun darin, daß die Einzel-Merkmale nicht einzeln für sich unabhängig, sondern beliebig miteinander kombiniert sind: es entsteht so ein kombinatorisches Optimie­ rungsproblem.

Wie ein einfaches Beispiel in Erläuterung 1 (Kapitel 6 dieser Beschreibung) zeigt, sind aufgrund der Kombinatorik von Einzel-Merkmalen untereinander die Ideal-Abstände von z/m_i für alle n Einzel-Merkmale gleichzeitig i. d. R. nicht einzuhalten - abgesehen vom Problem der Ganz­ zahligkeit. D. h., Äquidistanz aller Merkmale gibt es i. d. R. nicht, es läßt sich jedoch mit dieser Erfindung schnell eine optimale Näherung finden (siehe Kapitel 3).

3. Verfahren zur Synthese einer Reihenfolge mit optimaler Gleichverteilung aller Einzelmerkmale 3.1 Bilanzbildung

Man bildet aus dem Vorrat von z Objekten mit I Sorten das reduzierte Bilanzgleichungs­ system (2):

und zählt somit alle m_i aus.

Anmerkung

In das reduzierte Bilanzgleichungssystem werden nur die Sortenvektoren S_ik, ik = 0. . .I-1, auf­ genommen, deren Häufigkeiten a_k < 0 sind.

3.2 Merkmals-Dichte-Bestimmung

Man bildet aus den Summen der Einzel-Merkmale m₀. . .m_n-1 die "Merkmals-Dichte"

je Einzelmerkmal i.

Es entsteht das theoretische, nichtganzzahlige Einzel-Merkmals-Soll, mit dem jedes Objekt (aus z) mit dem Einzel-Merkmal M_i anteilig beaufschlagt sein müßte, um nach z Plazierungen die An­ zahl m_i zu erreichen.

In Vektorschreibweise erhält man für alle n einzelnen Merkmale die Grund-Ist-Dichte

(alle d_i ≦ 1, rational).

Man setzt die Merkmals-Dringlichkeit für den 1. Platz (p = 1) der zu generierenden Reihenfolge zu

(4a) D_p=1 = D₁: = D₀+C.

Dabei ist der Offset-Vektor eine Konstante

mit beliebigen Elementen 0 ≦ c_i ≦ 1, mit der die Start-Präsenz eines Einzel-Merkmals am Beginn der Reihenfolge beeinflußt werden kann.

3.3 Synthese Soll-Merkmalskombination und Rangbildung

Man bestimmt eine beliebige, binäre Soll-Merkmals-Kombination G_p für jeden Platz p nach folgender Vorschrift:

wobei σ_i ein (beliebiger) Schwellwert zum Zwecke der Binär-Wert-Erzeugung ist:

(5c) 0 ≦ σ_i ≦ 1

G_p entspricht dann einer Sorte S_x, die am Platz p in der gesuchten Reihenfolge unterzubringen wäre - (sofern S_{x im} Vorrat z vorhanden, siehe Kapitel 3.4). Eine Platzierung von G_p (der Sorte S_x) am Platz p bewirkt durch die Binärwertigkeit der Merkmale in G_p (g_i,p = 0 oder 1) eine Abweichung von der Soll-Dringlichkeit (≘ p . d_i) eines jeden Einzelmerkmals am Platz p, die als Fehler-Betrag |F_p| berechnet wird zu:

Aus |F_p| errechnet man für den weiteren Gang des Verfahrens einen Rang-Vektor

mittels absteigender Sortierung der Elemente von |F_p|.

Dabei erhält der größte Fehlerbetrag |g_i,p-d_i,p|_max die Rangzahl r_i,p: = 0, der kleinste Fehlerbe­ trag |g_j,p-d_j,p|_min die Rangzahl r_j,p: = n-1. Die anderen Rangzahlen werden entsprechend der absteigenden Sortierung aller |f_k| zwischen 0 und n-1 vollständig, lückenlos und eindeutig vergeben (siehe Erläuterung 2).

Anmerkung

Setzt man in (5d)

alle σ_i = 0,5

so entsteht mit G_p per Konstruktion die Sorte S_x, die im Rahmen der erforderlichen Ganzzahligkeit am wenigsten vom durchschnittlichen Merkmals-Soll D_p des Platzes p abweicht.

Die summarische Abweichung ist dann am minimalsten

3.4 Sortensuche Merkmals-Kombination G_p im Vorrat

Man sucht die Sorte S_x = G_p im Objekt-Vorrat.

Ist eine solche (noch) vorhanden (a_x < 0), so hat man ein zu plazierendes
Objekt gefunden; → weiter mit 3.6.
Sonst: → weiter mit 3.5.

3.5 Sortensuche nächstgeringere Abweichung

Ist die Sorte S_x = G_p nicht (mehr) im Vorrat (a_x = 0), sucht man in einer Iteration die Sorte mit der "nächstgeringsten" Abweichung von G_p. Dies sei NG_q.

Für den 1. Suchschritt (Iterationsindex q = 1) setzt man

(7) NG₁: = G_p ⊕ T₁(R_p)

⊕ ist dabei der Boolsche Exklusiv-Oder-Operator "XOR".

Der n-zeilige Schalt-("Toggle")-Vektor T_q(R) wird errechnet zu:

(Herleitung und Beispiel siehe Erläuterung 3.)

Gibt es eine Sorte S_x = NG₁ → weiter mit 3.6.

3.5.1 Sorten-Inkrement

Gibt es die Sorte NG_q nicht, so bildet man die Sorte NG_q+1 mit der nächstgeringsten Ab­ weichung:

(9) NG_q+1: = NG_q ⊕ T_q+1(R_p).

Gibt es die Sorte "NG_q+1" → weiter mit 3.6
sonst → zurück zu 3.5.1.

3.6 Plazierung und Adaption

Man plaziert die gefundene Sorte S_x (≘ G_p oder NG_q) auf dem Platz p der Reihenfolge.

Dann reduziert man die gefundene Sorten-Summe um das entnommene Element

(10) a_x: = a_x -1

Die Adaption des durch die notwendige Ganzzahligkeit und die notgedrungene Verwendung von (noch) vorhandenen Sorten NG_q anstelle von G_p verfälschten Rest-Merkmal-Solls (≘ Dringlichkeit) erfolgt ab dem 2. Platz durch den Korrektur-Term

Ist p = z?
→ weiter mit 3.7. (Ende)
→ sonst zurück zu 3.3. (nächster Platz).

3.7 Ende des Verfahrens

Alle z Plätze der gesuchten Reihenfolge wurden per Konstruktion und Adaption mit einzelnen Objekten/Sorten bezüglich der Einzel-Merkmale gleichverteilt besetzt.

3.8 Zusammenfassung

Eine graphische Übersicht über den Verfahrensablauf findet sich in Fig. 2. Erläuterung 4 zeigt ein um der Anschaulichkeit Willen sehr einfaches, aber vollständiges Beispiel für die Synthese einer Reihenfolge für z = 12, n = 3, I = 5.

4. Weitere Verfeinerungen des Verfahrens 4.1 Zyklische Verschiebung

Man kann die im Verfahren nach Kapitel 3 generierte Reihenfolge nicht an Platz 1, sondern an Platz p' (2 ≦ p' ≦ z) verschoben beginnen lassen, indem man die Objekte 1. . .p'-1 vorne "abschneidet" und diese hinten an die Reihenfolge anfügt.

Bild 4.1

Zyklische Verschiebung innerhalb der Folge

Dabei bleiben alle Eigenschaften der alten Reihenfolge bezüglich der Äquidistanzen der Ein­ zelmerkmale in vollem Umfang erhalten. Lediglich die Start-Einzel-Merkmals-Kombinationen sind ggf. anders.

Die so erzeugte Reihenfolge ist absolut gleichwertig zur alten, nicht grundlegend neu.

Insgesamt fassen sich bis zu z-1 "andere" Reihenfolgen erzeugen, dann beginnt der Zyklus von neuem.

4.2 Priorisierung von Einzelmerkmalen

Das Beispiel Erläuterung 1 zeigt, daß es die "optimale" Reihenfolge, die alle Einzel-Merkmale gleich gut gleichverteilt, i. a. nicht gibt. Mit der folgenden Verfahrens-Verfeinerung lassen sich aber beliebige Einzel-Merkmale der Objekte gegenüber anderen Einzelmerkmalen bevorzugen dergestalt, daß die Äquidistanz der bevorzugten Einzelmerkmale besser eingehalten werden gegenüber den anderen.

• - Man gibt einen Vorrang-Vektor aus ganzen Zahlen vor
  der die Rangfolge der Einzelmerkmale M₀. . .M_n-1 untereinander ordnet (alle v_i eindeutig und lückenlos, keine Wiederholungen erlaubt).
  Die Zuordnung von Vorrang-Vektor-Elementen zu Einzelmerkmalen sei:
  wobei v_x = 0 niederste, v_x = n-1 die höchste Priorität darstellt.
• - Dabei wählt man die Priorität am höchsten für das Merkmal M_k, für das man die beste Äquidistanz erzielen will (v_k = n-1), alle anderen entsprechend kleiner.

Beispiel

M0 = Airbag	v0 = 2 → am wichtigsten
M1 = Leder	v1 = 0 → am unwichtigsten
M2 = Schiebedach	v2 = 1 → mittel

• - Das Verfahren wird wie in Kapitel 3 ff beschrieben durchgeführt mit folgender Abän­ derung/Verfeinerung:
  • - Bei der "Sortensuche nächstgeringere Abweichung", Kapitel 3.5 - wenn also die Sorte G_p am Platz p nicht (mehr) im Vorrat der z Objekte vorhanden ist - wird immer zwangsweise gesetzt
    (15) R_p: = V
  • - Es wird also nicht der über |F_p| errechnete Rangvektor an diesem Platz p verwendet, sondern der Vorrangs-Vektor V an seiner Stelle.
  • - Formel (15) gilt für alle freien Plätze p, an denen die Soll-Merkmalskombina­ tion G_p (Kapitel 3.3) nicht (mehr) im Vorrat ist.

Die Priorisierung von Einzelmerkmalen führt dazu, daß die Abstände zwischen den höher­ prioren Merkmalen besser eingehalten werden - im Rahmen der Ganzzahligkeit -, d. h.,

• - die Abstands-Varianz der höhe-rprioren Merkmale fällt,
• - auf Kosten der nieder-prioren Merkmale, deren Abstands-Varianz steigt.

(Siehe hierzu Beispiel in Erläuterung 4.)

4.3 Sortensuche bei großem n

Ist die Anzahl der theoretisch möglichen Einzelmerkmals-Kombinationen sehr viel größer (1. . .2 Zehnerpotenzen) als die Ist-Sorten-Anzahl I im Objekt-Vorrat z, wenn also gilt

2ⁿ << I

so ersetzt man zweckmäßigerweise die "Sortensuche nächstgeringere Abweichung" nach Kapitel 3.5 durch die direkte, lineare Suche in den vorhandenen Sorten S_i0. . .S_i,I-1.

Die Verfahrensvorschrift lautet dann:

• - Man bilde für alle Sorten S_k (k = 0. . .I-1), für die a_k < 0 ist, die Abweichung
  und
  
• - Diejenige Sorte S_k, für die die Summe aller Abweichungen "Soll-Merkmals-Kombination G_p von den (noch) vorhandenen Ist-Sorten S_k" am minimalsten oder unterhalb einer beliebigen Toleranzschwelle τ ist, für die also gilt
  ist die für den Platz p zu wählende Sorte S_x.

Damit wird die kombinatorische Explosion für größere n vermieden, die Zahl der Suchschritte je Platz p beträgt dann stets I ≦ z.

5. Rechenbarkeit und Geschwindigkeit

Üblicherweise verwendet man mathematische Methoden der kombinatorischen, ganzzahligen Optimierung zur Erzeugung solcher Reihenfolgen [vergl. hierzu z. B. "Mergenthaler et al. Optimi­ zing Automotive Manufacturing Sequences Using Simulated Annealing and Genetic Algorithms", Control Eng. Practice, Vol. 3, No. 4, pp 569-573, 1995]. Diese Verfahren weisen jedoch grundsätzlich den Nachteil auf, daß sie stets vor einem drohenden Potential von z! Möglichkeiten stehen, wie eine solche Reihenfolge aus z Elementen gebildet werden könnte (kombinatorische Optimierung impliziert stets intelligentes "Probieren" aller Kombinationen).

Schon bei wenigen (100) Objekten besteht so die Gefahr der kombinatorischen Explosion dergestalt, daß hohe Rechenzeiten bzw. komplette Nicht-Rechenbarkeit auftreten und/oder Näherungslösungen akzeptiert und Kompromisse eingegangen werden müssen.

Die hier beschriebene Erfindung stellt ein Synthese-Verfahren dar, das je zu besetzenden Platz p die optimalen Objekte nicht "probiert" (≠ Kombinatorik!). Dieses Verfahren generiert vielmehr je Platz p ein eindeutiges Objekt/eine eindeutige Sorte, geht dann zum nächsten Platz, generiert das nächste Objekt etc.

Besonders vorteilhaft ist, daß man damit um viele Größenordnungen weg vom (Rechen-)­ Aufwand der kombinatorischen Optimierung um viele Größenordnungen schneller ist. Man endet mit einer Anzahl von ca.

< z.I

Arbeitsschritten (worst-case) zur Generierung der gesuchten Reihenfolge der Aufgabenstellung Kapitel 2, im Fall von 2ⁿ ≈ I erfahrungsgemäß sogar mit deutlich weniger.

Dieses Verfahren berechnet das in obiger Literaturstelle beschriebene Reihenfolge-Problem (228 Objekte, 5 Merkmale) anstelle der dort benötigten 14 Minuten in weit unter einer Sekunde - bei vergleichbarem Rechner.

6. Erläuterungen Erläuterung 1 Erläuterung der Aufgabenstellung am Beispiel "Fahrzeugbau"

Beispiel-Objekte seien Fahrzeuge (Automobile, PKW, . . .).

Im Planungs-/Produktionsintervall (z Fahrzeuge) eines Automobil-Werkes sollen

• - 12 Fahrzeuge gebaut werden lt. folgendem Produktionsplan: z = 12
  
• - Das Auftragsvolumen für diese 12 Fahrzeuge liegt in der folgenden Kombinatorik der Einzel­ merkmale vor:
  
• - D. h., es sind 5 (von theoretisch 2³ = 8 möglichen) Fahrzeug-Sorten im Objekt-/Fahrzeug-Vorrat tatsächlich vorhanden:
  
• - Die Summe aller a_j = 5 + 1 + 2 + 2 + 2 = Objekt-Anzahl z = 12.
• - Zur Anschauung die graphische Darstellung des Objekt-Bestandes von z = 12 Fahrzeuge in der folgenden, nach Sorten geordneten Form:

Bild A1.1

Gantt-Diagramm Fahrzeug-Merkmale/-Ausstattungen, geordnet nach Sorten

Daraus ergeben sich einige mögliche, optimale Reihenfolgen mit Gleichverteilung der Einzel-Merkmale M₀, M₁ und M₂:

1. Ideale Gleichverteilung bezüglich des Merkmals M₂ "Schiebedach"

2. Ideale Gleichverteilung bezüglich des Merkmals M₁ "Leder"

3. Ideale Gleichverteilung bezüglich des Merkmals M₀ "Airbag"

Fazit:
Keine Reihenfolge erfüllt die Anforderung der gleichzeitigen Äquidistanz aller Merkmale.

Erläuterung 2 Ein Beispiel zur Rangbestimmung

Das Beispiel in Anlage 1 wird auch hier verwendet:

z = 12, n = 3, m₂ = 6, m₁ = 4, m₀ = 3.

Bild A2.1

Gantt-Diagramm Fahrzeug-Merkmale/-Ausstattungen, geordnet nach Sorten

Es ergeben sich folgende Verhältnisse für den Platz p = 1 (alle σ_i, = 0,5 alle c_i = 0 gewählt):

1. Grund-Merkmals-Dichte aus Formeln (3, 4)

2. Synthese Wunsch-Merkmals-Kombination (5)

3. Fehler-Bestimmung nach (6a)

4. Rangbestimmung nach (6b) in absteigender Folge

• - größtes Element in Vektor |F| ist f₂ = 0,5; Rang r₂ = 0
• - nächstkleineres Element in |F| ist f₁ = 0,33; Rang r₁ = 1
• - nächstkleineres Element in |F| ist f₀ = 0,25; Rang r₀ = 2.

Ergebnis

Der Rang-Vektor ist in diesem Beispiel für den 1. Platz p = 1

Erläuterung 3 Ermittlung von G und NG anhand von Beispielen 1. Veranschaulichung von G und NG_q im zweidimensionalen Raum

Gegeben sei eine Objekt-Menge z mit n = 2 Merkmalen M₀ und M₁. Die Dichte der Merkmale (Anteile) betrage für M₀ 30% (d₀ = 0,3), für M₁ 80% (d₁ = 0,8).

Unter Anwendung der Vorschrift in Formel (5d) "alle σ_i = 0,5" findet man diejenige Merkmalskombina­ tion G mit der geringsten Abweichung von der Soll-Merkmals-Dichte D = {0,3; 0,8} anschaulich aus der Grafik gemäß Fig. 1 (Darstellung der Sortenwahl nach der Methode des nächstgeringsten Fehlers (σ_i = 0,5) im 2-dimensionalen Raum):

G = {0; 1}.

Man bildet |F| und Σ|F|:

Die Abweichung von D zu G ("Rest-Fehler") beträgt Σ|F| = 0,3 + 0,2 = 0,5; im Rahmen der Ganzzahlig­ keit ist dies die geringst-mögliche, also das Optimum (Gleichwertigkeit der Merkmale vorausgesetzt).

Die nächstbesten Binär-Kombinationen lassen sich leicht anschaulich ermitteln:

• - NG₁ {1; 1}, die Abweichung zu D ist jetzt gestiegen auf Σ|F| 0,7 + 0,2 = 0,9 im Bild: [1]
• - NG₂ = {0; 0}, die Abweichung zu D ist jetzt gestiegen auf Σ|F| = 0,3 + 0,8 = 1,1 im Bild: [2]
• - NG₃ = {1; 0}, die Abweichung zu D ist jetzt gestiegen auf Σ|F| = 0,7 + 0,8 = 1,5 im Bild: [3]

Nach 2ⁿ-1 = 3 Schritten sind alle Möglichkeiten erschöpft.

2. Systematische Herleitung der Vorschrift für NGq anhand eines Beispiels

Ein anderes Beispiel mit n = 3 Merkmalen:
M₀ habe den Anteil 70% (d₀ = 0,7), M₁ 40% (d₁ = 0,4) und M₂ 20% (d₂ = 0,2). (Die Anzahl z der Objekte ist hier ohne Belang.)

Dies führt für den 1. Platz auf (alle σ_i = 0,5, c_i = 0).

Ist das Einzel-Merkmals-Wunsch-Muster G₁ nicht im Objekt-Vorrat, dann wird dasjenige Ersatzmuster mit dem "Nächstgeringsten Fehler", mit der nächstgeringsten Abweichung von D₁, das Muster NG₁ gesucht. Ist auch dies nicht vorhanden, so sucht man nach NG₂, etc. Dies führt über alle Suchschritte hinweg auf:

Bild A3.2

Alle möglichen Suchmuster NG_q

Erläuterungen zu Bild A3.2

Ausgehend von G = {1; 0; 0} wird im 1. Suchschritt q = 1 das Muster NG_q=1 gesucht, das die Abweichung zur Dringlichkeit D = {0,7; 0,4; 0,2} am wenigsten vergrößert. Dieses Merk­ mals-Muster wird dann als das "nächstbeste" bezeichnet.
Im obigen Fall ist dies NG_q=1 = {1; 1; 0}; die Abweichung zu D ist dort gestiegen auf Σ|Restfehler| von 0,9 auf 1,1.
Im nächsten Suchschritt q = 2 wird ausgehend von NG₁ als nächstbestes Merkmals-Muster NG₂ = {0; 0; 0} gefunden, die Abweichung steigt jetzt auf 1,3. Im 3. Schritt sucht man NG₃ etc.
Man endet nach q_max = 2ⁿ-1 = 7 Schritten, dann sind alle möglichen Kombinationen aus n = 3 Merkmalen durchschritten worden.

Die Bestimmung der nächstbesten Merkmals-Kombination geschieht mit folgendem Verfahren:
Im obigen Beispiel erzeugt man, von G ausgehend, NG₁, NG₂, .... NG_qmax mit folgender Regel:
"Beim Fortschalten der Schritt-Variablen q auf q + 1

• - beim Merkmal M₀: variiere Merkmal (Bit) M₀ jedes 2. Mal (⇒ 2¹ = 2^r0=1)
• - beim Merkmal M₁: variiere Merkmal (Bit) M₁ jedes 1. Mal (⇒ 2⁰ = 2^r1=0)
• - beim Merkmal M₂: variiere Merkmal (Bit) M₂ jedes 4. Mal (⇒ 2² = 2^r2=2)".

Dies führt auf untenstehendes Bild:

Bild A3.3

Systematische Darstellung Erzeugung NG_i

Zum Erzeugen des neuen Suchmusters benutzt man das alte Suchmuster selbst, verknüpft über den Boolschen XOR-Operator ⊕ mit einem Schalt/Toggle-Vektor. Es gilt:
NG₁ = G ⊕ T₁
NG₂ = NG₁ ⊕ T₂
. . .
NG_q+1 = NG_q ⊕ T_q+1, für q = 1. . .2ⁿ-1.

Im Beispiel:

Die allgemeine Regel lautet dann:

Zu obigem Beispiel wurden die Toggle-Vektoren unter Verwendung des Rangvektors

wie folgt bestimmt:

Erläuterung 4 Ein geschlossenes Beispiel

Das Verfahren wird anhand des Beispiels in Anlage 1 erläutert:

Bild A4.1

Gantt-Diagramm Fahrzeug-Merkmale/-Ausstattungen, geordnet nach Sorten

Dieser Objekt-Bestand beinhaltet die Sorten

die in diejenige Reihenfolge gebracht werden sollen, in der jedes Einzelmerkmal M₀, M₁ und M₂ jeweils optimal gleichverteilt sein sollen, d. h., alle M_i sollen - möglichst - äquidistant zueinander sein.

Bei diesem Verfahren ist die Vorgehensweise entsprechend den Regeln in Kapitel 3 und 4 die unten folgende (die bezogenen Verfahrensvorschriften der einzelnen Teil-Kapitel sind kursiv aufgeführt):

4.1 Verfahren ohne Priorisierung - alle Merkmale sind gleichberechtigt I. Grunddaten errechnen 1. Bilanz-Bildung Auszählen der Einzel-Merkmale im Ist-Vorrat

Das reduzierte Bilanzgleichungssystem ist für dieses Beispiel

in anderer Schreibweise:

2. Grund-Merkmals-Dichte für die Merkmale M₀, M₁ und M₂ errechnen

Die statistische Grund-Merkmals-Dichte für alle Plätze der Reihenfolge beträgt:

Zum Start des Verfahrens wird die Merkmalsdichte (Dringlichkeit) für den ersten Platz gleich der Grund-Merkmals-Dichte gesetzt:

3. Schwellwerte festlegen

Im Beispiel seien alle σ_i = 0,5 (5d).

4. Offset-Konstante festlegen

Im Beispiel seien alle c_i = 0

II. Besetzung der Plätze/Bildung der Reihenfolge durch z = 12 Iterationsschritte 1. Durchlauf (Platz p = 1 der gesuchten Reihenfolge) <Kap. 3.3.2.< Synthese Soll-Merkmals-Kombination und Rang-Berechnung

Es wird Sorte G₁ am Platz p = 1 bestimmt, die der Merkmalsdichte D₁ am nächsten kommt

Den Fehler-Vektor berechnet man dann für den 1. Platz:

Der Rang-Vektor wird aus |F₁| bestimmt:

• - kleinstes Element ist |f_0,1| = 0,25 → r_0,1 = 2
• - nächstkleineres Element ist |f_1,1| = 0,33 → r_1,1 = 1
• - größtes Element ist |f_2,1| = 0,5 → r_2,1 = 0

(6c) Σ|F₁|_min = 0,25 + 0,33 + 0,50 = 1,08.

<Kap. 3.4.< Sortensuche Merkmals-Kombination G1 im Vorrat der Objekte

Sorte S₄ = G₁ ist vorhanden, d. h. der Platz p = 1 kann mit S₄ besetzt werden
→ 4 weiter mit Kap 3.6.

<Kap. 3.5. <. . .übersprungen. . . <Kap. 3.6.< Plazierung und Adaption

Der 1. Platz wird besetzt mit Sorte S₄.

Reduktion der Sorten-Summe:

(10) a₄: = a₄-1 = 2-1 = 1

Adaption der Dichte für den nächsten Platz:

(11) D_p+1 = D₂: = D₁ + D₀ - G₁

Der Vektor D₂ drückt die resultierende Dringlichkeit aus, mit der jedes Einzel-Merkmal nun auf dem 2. Platz untergebracht werden müßte.

Im Beispiel hat man auf dem 1. Platz ein Fahrzeug mit Schiebedach plaziert, also um 50% zuviel, da dort eigentlich nur zu "50% Schiebedach" vorhanden sein sollte; dies gleicht sich durch die Adaption der Formel in (11) aus, so daß d_2,p=2 = 0 ist.

Umgekehrt hat man an Platz 1 den Airbag "vernachlässigt", man hat 25% zu wenig plaziert. Durch (11) wird dies zum Platz 2 kumuliert, so daß sich jetzt eine Dringlichkeit von d_0,p=2 = 0,25 + 0,25 = 0,5 am Platz 2 für das Merkmal M₀ einstellt. Dasselbe gilt analog für das Merkmal M₁, für das jetzt am Platz 2 mit der Einzel-Merkmals-Dringlichkeit d_1,p=2 = 0,67 plaziert werden sollte.

Das Über- und Untererfüllen von Merkmalen an bestimmten Plätzen ist charakteristisch für das Verfahren. Es gleicht sich aber im Laufe der Iteration baldmöglichst, am Ende nach z Schritten immer im Rahmen der Möglichkeiten optimal aus, so daß alle Einzelmerkmale äquidistant untergebracht werden.

2. Der 2. Durchlauf des Verfahrens für Platz p = 2 ergibt

Von der Besetzung des ersten Platzes verbleibt für Platz p = 2 eine resultierende Merkmalsdichte von

<Kap. 3.3.2.< Synthese Soll-Merkmals-Kombination und Rang-Berechnung

Die nächstbeste, ganzzahlige Einzelmerkmalskombination wäre

Diese würde dann eine Abweichung an Platz 2 verursachen von

Daraus ermittelt man den Rang:

<Kap. 3.4.< Sortensuche Merkmals-Kombination G_p im Vorrat der Objekte

Da es kein Fahrzeug im Rest-Vorrat (nunmehr 11 Fahrzeuge/Objekte) mit den Merkmalen {M₀ = 1; M₁ = 1; M₂ = 0} ≘ Sorte S₃ gibt, muß das "nächstbeste" gewählt werden, also dasjenige, das die nächstgeringste Abweichung vom Merkmals-Soll G_p an diesem Platz (p = 2) aufweist.

<Kap. 3.5.< Sortensuche nächstgeringere Abweichung

Aus D₂ = {0,5; 0,67; 0} kann man ersehen, daß die nächstbeste Strategie ist, das Merkmal M₀ von 1 auf 0 zu ändern, die anderen beizubehalten:

weil so der Fehler in der Summe am wenigsten steigt.

Auch diese Merkmalskombination NG₁ ≘ S₂ gibt es nicht im Vorrat. Die Betrachtung von D₂ führt dann auf die nächstbeste Kombination: M₀ in G₂ beibehalten, M₁ in G₂ ändern

die nun endlich als Sorte S₁ im Rest-Vorrat vorhanden ist.

<Kap. 3.6.< Plazierung und Adaption

Auf Platz 2 der gesuchten Reihenfolge wird die so gefundene Sorte NG₂ ≘ S₁ plaziert.

Dann erfolgt die Buchhaltung über die plazierte Sorte

a₁: = a₁ - 1 = 1 - 1 = 0

und die Adaption der Dichte für den folgenden, den 3. Platz

3. Der 3. Platz

Die Merkmalskombination, die D₃ am nächsten kommt, ist

was Sorte S₆ entspricht.

Sorte S₆ gibt es noch ausreichend im Vorrat, sie wird an Platz 3 gesetzt.

etc. Die weiteren Plätze

Es geht weiter mit Adaption, p = 4. . ., nächste Iteration etc. Ende nach Platz 12.

In der Gesamtheit ergibt sich die resultierende Reihenfolge:
(Die Plätze 2, 6, 7 und 10 können nicht direkt mit G_p besetzt werden, Besetzung folgt über Rang und Toggle.)

Bild A4.2

Beispiel-Reihenfolge-Ermittlung ohne Priorisierung

Im obigen Beispiel erfolgte die Suche nach Alternativ-Sorten NG_i gemäß

<Kap. 3.5.1.< Sorten-Inkrement (durch Toggle-Funktion)

Man berechnet zunächst aus den Rest-Fehlern-Werten an Platz p = 2:

Daraus ergibt sich der Rang zu:

Die Toggle-Funktion nach (7) und (8a, b) generiert an Platz 2 das nächst-dringliche Fahrzeug:

• - der erste Suchschritt q = 1 ergibt für T_q=1 (R_p=2)
  
• - NG₁ = G₂ ⊕ T₁(R₂)
  
• - NG₁ ≘ Sorte S₂ ist im Rest-Vorrat nicht vorhanden, daher der nächste Suchschritt q = 2,
  für T₂ (R₂) ergibt sich:
  
• - NG₂ = NG₁ ⊕ T₂(R₂)
  NG₂ ≘ Sorte S₁ gibt es im Rest-Vorrat, Sorte S₁ wird auf Platz 2 gesetzt.
• - Ende der Suche für Platz 2.

Analoges Vorgehen auch für Platz 6 (1 Suchschritt) und Platz 7 (2 Suchschritte) und 10 (1 Suchschritt).

4.2 Verfahren mit Priorisierung

Will man bestimmte Einzel-Merkmale bevorzugen, dann wendet man das Verfahren nach

<Kap. 4.2< Priorisierung von Einzelmerkmalen

An durch Vorgabe eines Vorrang-Vektors V.

Dabei läßt man das Grund-Verfahren solange unverändert, bis dieses an einem Platz p vom "normalen Weg" abweichen und anstelle von G_p eine alternative Merkmalskombination NG_i suchen würde.

Immer dann, an einem solchen Platz p, setzt man anstelle des selbst-errechneten Rang-Vektors R_p' (6b) den Vorrang-Vektor V (13) ein. Damit zwingt man den Algorithmus, nach Ersatz-Objekten für G_p mit der Priorisierung des Vorrang-Vektors zu suchen, und damit die Objekt-Einzel-Merk­ male entsprechend der Priorisierung in der Reihenfolge zu platzieren.

Wählt man z. B. zum obigen Beispiel

bevorzugt man also M₀ gegenüber M₁; M₁ gegenüber M₂, so erhält man die Reihenfolge in Bild A4.3.

Erläuterungen

An Platz 1 ist alles unverändert: G₁ ist als Sorte S₄ vorhanden, Platz 1 wird damit besetzt.

Am Platz 2 wird nun eine Sorte gefordert, die nicht vorhanden ist im Rest-Vorrat. Beim Priorisierungsverfahren wird jetzt

d. h., es wird entsprechend V und Toggle nach G_p-Ersatz NG_i gesucht. Man erhält für p = 2 die Sorte S₇ als Lösung.

Die nächsten Engpässe treten dann bei p = 8 und p = 10 auf, die entsprechend mit dem Toggle-Verfahren gelöst werden.

Die resultierende Reihenfolge in Bild A5.3 ist nunmehr optimal gleichverteilt bezüglich des am meisten priorisierten Merkmals M₀, alle sind im Ideal-Ab­ stand 4 = 1/d₀ untergebracht; die anderen Merkmale sind demgegenüber schlechter gestellt - ein unvermeidbarer Nebeneffekt.

Bild A4.3

Beispiel-Reihenfolge-Ermittlung bei Priorisierung {2; 1; 0}

Claims (9)

1. Computergesteuertes Verfahren zur Bestimmung einer geordneten Reihenfolge von z Objekten mit jeweils n frei wählbaren Merkmalen (M₀, M₁, M₂, . . ., M_n-1) gekennzeichnet durch folgende Verfahrensschritte:

• a) Bildung einer ungeordneten Folge der Objekte in Form einer n-zeiligen und z-spaltigen Matrix,
  wobei jeder Zeile ein Merkmal zugeordnet ist
  und jedes Matrixelement (mit dem Index i, p; p = 1, 2, 3, . . ., z als Spalten- bzw. Platznummer und i = 0, 1, 2, . . ., n-1 als Zeilennummer)
  in binärer Kennzeichnung 0 oder 1 das Fehlen oder Vorhandensein eines Merkmals M_i und wobei jede Spalte ein Objekt darstellt;
• b) Bildung einer geordneten Folge der Objekte in Form einer n-zeiligen und z-spaltigen Matrix,
  wobei jeder Zeile ein Merkmal zugeordnet ist
  und jedes Matrixelement in binärer Kennzeichnung 0 oder 1 das Fehlen oder Vorhandensein eines Merkmals und
  wobei jede Spalte ein Objekt darstellt durch
  • - Bildung von n Basis-Dringlichkeitswerten d_i für jede Zeile i der Matrix der ungeordneten Folge gemäß Anzahl aller binären 1en in einer Matrixzeile geteilt durch Anzahl z der Objekte, so daß für den ein­ spaltigen, n-zeiligen Grunddringlichkeitsvektor D_o gilt:
    für alle Zeilen des Vektors
    i = 0,1,2. . .n-1;
  • - Bildung einer ersten binären Soll-Merkmalskombination G₁ (für G_p mit p = 1) für ein gedachtes Objekt aus den Basis-Dringlichkeitswerten unter Vorgabe eines Schwellwertes σ_i (0 ≦ σ_i ≦ 1) durch Zuordnung einer
  • - binären 0 für einen Basis-Dringlichkeitswert d_i < σ_i oder einer
  • - binären 1 für einen Basis-Dringlichkeitswert d_i ≧ σ_i;

so daß für den n-zeiligen Soll-Merkmals-Kombinations-Vektor G₁ (am Platz p = 1) gilt
mit
für alle Zeilen i = 0, 1, 2, . . . n-1

• - Aufsuchen eines Objektes in der ungeordneten Folge, dessen binäre Kennzeichnung mit der ersten binären Soll-Merkmalskombination G₁ übereinstimmt und Anordnung dieses Objektes an dem ersten Platz p = 1 der geordneten Folge oder
  bei Fehlen eines solchen Objektes in der ungeordneten Folge Bestim­ mung eines in der ungeordneten Folge vorkommenden Objektes, dessen binäre Merkmalskombination die geringste Abweichung von den Basis-Dringlichkeitswerten aufweist oder dessen binäre Kennzeichnung in einem bezüglich der Basis-Dringlichkeitswerte vorgegeben Abweichungsbereich liegt und Anordnung dieses Objektes an dem ersten Platz (p = 1) der geordneten Folge;
• - Bestimmung des jeweils auf den nächsten Platz der geordneten Folge anzuordnenden Objektes durch
• - Bildung neuer Dringlichkeitswerte D_p+1 für diesen nächsten Platz p+1 gemäß
  • - neuer Dringlichkeitswert = Dringlichkeitswert des vorhergehenden Platzes + Basis-Dringlichkeitswert - Binärwert der binären Merkmalskombination des auf dem vorhergehenden Platz in der geordneten Folge angeordneten Objektes, so daß für den neuen Dringlichkeitswerte-Vektor D_p+1 des nächsten Platzes p+1 gilt
    

und durch

• - Bildung einer neuen binären Soll-Merkmalskombination eines gedachten Objektes für diesen nächsten Platz aus den neuen Dringlichkeitswerten unter Berücksichtigung der Schwellwerte (0 ≦, σ_i ≦ 1) durch Zuordnung einer
  • - binären 0 für einen neuen Dringlichkeitswert
    d_i,p+1 < σ_ioder einer
  • - binären 1 für einen neuen Dringlichkeitswert
    d_i,p+1 ≧ σ_i
  so daß für den neuen Soll-Merkmalskombinations-Vektor G_p+1 am Platz p+1 gilt
  
• - für alle Zeilen i = 0, 1,2. . .n-1
• - und Aufsuchen eines Objektes in der verbliebenen unge­ ordneten Folge, dessen binäre Merkmalskombination mit der neuen Soll-Merkmalskombination G_p+1 übereinstimmt und Anordnung dieses Objektes an diesem nächsten Platz p+1 in der geordneten Folge oder
  bei Fehlen eines solchen Objektes in der ungeordneten Folge Bestimmung eines in der verbliebenen ungeordneten Folge vorkommenden Objektes, dessen binäre Merkmals­ kombination die geringste Abweichung von den neuen Dringlichkeitswerten D_p+1 aufweist oder dessen binäre Kennzeichnung in einem vorgegebenen Abweichungs­ bereich liegt und Anordnung dieses Objektes an diesem nächsten Platz der geordneten Folge;
• - Wiederholung obiger Schritte bis zum Platz p = z.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß alle Schwellwerte σ_i = 0,5 sind.

3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Bestimmung eines Objektes in der ungeordneten Folge mit der geringsten Abweichung seiner binären Merkmalskombination von den platzspezifischen Dringlichkeitswerten G_p eines gedachten Objektes in der geordneten Folge in folgenden Schritten erfolgt:

• - Bildung der Absolutbeträge der Differenzwerte zwischen den Dringlichkeits­ werten für einen bestimmten Platz in der geordneten Folge und den diesen Dringlichkeitswerten zugeordneten Binärwerten der Soll-Merkmalskombination des gedachten Objektes, definiert als n-zeiliger Fehlervektor |F_p| des Platzes p:
  für alle Vektor-Zeilen i = 0, 1, 2,. . .n-1
• - Sortierung dieser Absolutbeträge der Differenzwerte in |F_p| in absteigender Reihenfolge zur Bildung einer Merkmals-Rangfolge (prioritätshöchster Rang = 0 ≘ größter Absolutbetrag, . . ., Rang = n-1 ≘ kleinster Absolutbetrag), so daß ein n-zeiliger Rangvektor R_p des Platzes p entsteht:
  für alle Vektor-Zeilen i = 0, 1, 2,. . .n-1
• - schrittweise Veränderung der Binärwerte des gedachten Objektes G_p, wobei sich
  • - der Binärwert für das Merkmal in der Rangstufe 0 mit jedem 2⁰-ten Schritt,
  • - der Binärwert für das Merkmal in der Rangstufe 1 mit jedem 2¹-ten Schritt,
  • - der Binärwert für das Merkmal in der Rangstufe k mit jedem 2^k-ten Schritt ändert,
  wobei G_p zu G'_p verändert wird,
• - bis für die veränderte binäre Merkmalskombination G'_p in der verbliebenen ungeordneten Folge ein Objekt mit dieser Merkmalskombination gefunden wird.

4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Veränderung des Binärwertes einer Merkmalskombination durch Anwendung der Exklusiv-Oder-Funktion XOR auf diese Merkmalskombination G_p und auf eine aus der Ganzzahl-Division
(q modulo 2 hoch Rangstufenzahl r_i der Zeilen i = 0, 1, 2,. . .n-1 für q = 1, 2, 3, . . . als Anzahl der Schritte, die erforderlich sind, bis für eine veränderte Binär­ kombination ein Objekt der ungeordneten Folge mit dieser Binärkombination auftritt)
abgeleiteter n-zeiliger Hilfs-Vektor T_q erfolgt,
wobei an jeder Stelle dem Restwert 0 im Ergebnis der Ganzzahl-Division der Binär­ wert 1 und dem Restwert ungleich 0 der Binärwert 0 zugeordnet wird, so daß gilt
für alle Vektor-Zeilen i = 0, 1, 2, . . . n-1 und
für alle Iterationsschritte q = 1. . .2ⁿ-1
und daß sich die neue Merkmalskombination NG_q+1 aus der vorhergehenden Merk­ malskombination N_q durch eine Exclusiv-Oder-Verknüpfung mit der jeweiligen Hilfs- Binärwertkombination T_q+1 ergibt wie folgt:
NG_q+1: = NQ_q ⊕ T_q+1(R_p),
wobei ⊕ der XOR-(Exklusiv-Oder)-Operator ist.

5. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß für einen bestimmten zu besetzenden Platz in der geordneten Folge anstelle der gedachten errechenbaren Rangfolgewerte R_p willkürlich vorgebbare (eine andere Abweichung bedingende) Rangfolgewerte verwendet werden.

6. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß für alle in der ungeordneten Folge verbliebenen Objekte mit einer voneinander ab­ weichenden Merkmalskombination die Abweichung als Summe der Absolutbeträge der Differenzwerte zwischen den Dringlichkeitswerten für einen zu besetzenden Platz der geordneten Folge und den Binärwerten der Merkmalskombinationen der Objekte in der ungeordneten Folge berechnet wird und
daß das Objekt in der ungeordneten Folge mit der geringsten Abweichung ausgewählt und auf dem zu besetzenden Platz angeordnet wird.

7. Verfahren nach Anspruch 6, gekennzeichnet durch seine Anwendung für den Fall 2ⁿ » Anzahl von Objektgruppen in der ungeordneten Folge mit jeweils übereinstimmender Merkmalskombination.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß die geordnete Folge dahingehend verändert wird, daß eine Anzahl von Objekten vom Anfang derselben an das Ende der Folge verschoben wird.

9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die veränderte Folge mit einem Objekt für ein vorgegebenes Merkmal oder für eine vorgegebene teilweise oder vollständige Merkmalskombination beginnt.