DE19811490C2 - Verfahren zur Erstellung eines regelbasierten Fuzzy-Systems mit vorgegebenem Übertragungsverhalten - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Gewinnung geeigneter linguistischer Werte und Regeln für ein Fuzzy-System nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1, das ein vorgegebenes Übertragungsverhalten aufweisen soll.

Fuzzy-Systeme sind Systeme, die auf der Theorie der Fuzzy Logic basieren. Die Grundlagen sind z. B. in [1] dargestellt. In der Automatisierungstechnik haben Fuzzy-Systeme zwei wichtige Einsatzgebiete: Dies ist zum einen der Einsatz als Fuzzy Controller, also als Regel-, Steuer- und Überwachungssystem, dessen Verhalten in Abhängigkeit von den Eingangs­ größen durch linguistische WENN-DANN-Regeln angegeben ist. Zum anderen ist dies der Einsatz als Fuzzy-Modell, bei dem das Verhalten eines Teils oder der gesamten regelungs­ technischen Strecke mit Hilfe von linguistischen WENN-DANN-Regeln modelliert wird. Die Formulierung in Form solcher linguistischen WENN-DANN-Regeln bietet eine einfache Möglichkeit, bekanntes Prozeßwissen, z. B. heuristische Regelungsstrategien oder grund­ legende Kenntnisse über die inneren Wirkzusammenhänge in der zu modellierenden Strecke in mathematisch exakter und maschinell verarbeitbarer Form zu beschreiben. Gleichzeitig wird das Übertragungsverhalten des Fuzzy-Systems durch die Regeln in anschaulicher und transparenter Form beschrieben, wodurch es einfacher verifiziert, modifiziert oder erweitert werden kann.

Wegen dieser Möglichkeit zur anschaulichen Darstellung ist es auch dann sinnvoll, Fuzzy- Systeme einzusetzen, wenn das gewünschte Übertragungsverhalten sich nicht aus vorhande­ nem Prozeßwissen ergibt, sondern in anderer Form, z. B. als Meßdaten oder als mathemati­ sche Funktion vorliegt. Dies kann z. B. das durch Messungen bestimmte Verhalten eines menschlichen Operators sein, die Übertragungsfunktion eines Reglers oder das gemessene Übertragungsverhalten einer zu modellierenden Strecke. Es ist dann ein Verfahren notwen­ dig, mit dem sich aus dem vorgegebenen Übertragungsverhalten geeignete Fuzzy Sets und Regeln bestimmen lassen. Das mit diesem Verfahren gewonnene Fuzzy-System soll dabei zum einen das vorgegebene Übertragungsverhalten gut nachbilden, zum anderen sollen die ermittelten Fuzzy Sets und Regeln anschaulich und für den Menschen interpretierbar sein. Für die Bestimmung von Fuzzy-Systemen aus Meßdaten wurden bereits verschiedene Verfahren vorgeschlagen. Verfahren, die die Abweichung zwischen dem vorgegebenen Übertragungsverhalten und dem Übertragungsverhalten des Fuzzy Systems mit Hilfe eines Optimierungsansatzes durch Veränderung der Parameter des Fuzzy Systems minimieren [2, 3], arbeiten nur dann zufriedenstellend, wenn ihnen gute Startwerte für die Parameter vorgegeben werden. Das heißt, der Anwender muß ein Fuzzy-System vorgeben, das eine geeignete Zahl an Fuzzy Sets und Regeln hat und das gewünschte Übertragungsverhalten bereits grob aufweist. Ansätze, die allein anhand des vorgegebenen Übertragungsverhaltens ohne zusätzliche Vorgaben alle Parameter des Fuzzy-Systems ermitteln, verwenden üblicherweise Clusterungsverfahren zur Bestimmung geeigneter Fuzzy Sets. In der DE-OS 44 39 505 wird vorgeschlagen, nacheinander für die verschiedenen Eingangsgrößen eine eindimensionale Clusterung der das Übertragungsverhalten beschreibenden Daten­ punkte durchzuführen, um Häufungspunkte zu bestimmen. Das gleiche Ziel verfolgt das in der DE-OS 196 24 614 beschriebene Verfahren, das die Suche nach Häufungspunkten auf andere Weise realisiert und dadurch den Speicheraufwand verkleinert. Bei dieser Vorgehens­ weise bleibt jedoch der durch die Übertragungsfunktion beschriebene Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen und der Ausgangsgröße unberücksichtigt. Die gewonnenen Fuzzy Sets sind schlecht interpretierbar und häufig ist auch die Approximation des Übertragungsverhaltens schlecht. Auch bei mehrdimensionaler Clusterung [4] wird die Lage der gewonnenen Fuzzy Sets weitgehend durch die Dichteverteilung der Datenpunkte und weniger durch die nachzubildende Übertragungsfunktion bestimmt. In [5] wird die Verwendung von Clusterungsverfahren vorgeschlagen, die als Cluster keine Sphären, sondern Hyperebenen verwenden. Dadurch sind sie besser geeignet, eine Übertragungsfunktion nachzubilden. Diese Clusterungsverfahren sind jedoch sehr rechen­ aufwendig und konvergieren in vielen Fällen nicht oder nur in lokalen Optima. Allen genannten Ansätzen ist gemeinsam, daß die Zahl der Cluster und damit die Zahl der erzeugten Fuzzy Sets vom Benutzer vorgegeben bzw. durch Ausprobieren bestimmt werden muß. Die Festlegung der Regelbasis erfolgt bei den meisten Ansätzen zusammen mit der Bestimmung der Fuzzy Sets. Da bei dem Verfahren der DE-OS 44 39 505 die Fuzzy Sets der Ein- und Ausgangsgrößen unabhängig voneinander bestimmt werden, schließt sich dort ein zusätzlicher Verarbeitungsschritt an, in dem die Regelbasis bestimmt wird.

Das in der EP 0378689 A1 beschriebene Verfahren hat ebenfalls zum Ziel, ein Fuzzy-System zu bestimmen, das ein vorgegebenes Übertragungsverhalten nachbildet. Für die Bestimmung der Fuzzy Sets verwendet es Clusterungsverfahren, was die bereits angeführten Nachteile hat. Die Inferenz der Regeln, bei der die Fuzzy Sets der Eingänge und der Ausgänge miteinander verknüpft werden, wird dort mit Künstlichen Neuronalen Netzen realisiert. Die übliche Regelstruktur eines Fuzzy-Systems wird dadurch zerstört, eine Interpretation im üblichen Sinne ist unmöglich. In der DE-OS 196 06 480 wird ein weiteres Verfahren zur Adaption eines Fuzzy-Reglers beschrieben. Es unterscheidet sich schon in der Zielsetzung vom erfindungsgemäßen Verfahren dadurch, daß es nur für Fuzzy Sliding Mode-Regler einsetzbar ist und diesen im Hinblick auf die Regelgüte im geschlossenen Regelkreis und nicht auf eine möglichst gute Nachbildung eines vorgegebenen Übertragungsverhaltens adaptiert.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, aus einem vorgegebenen Übertragungsverhalten Fuzzy Sets und Regeln für ein Fuzzy-System zu ermitteln, das dieses vorgegebene Über­ tragungsverhalten nachbildet. Das hierfür verwendete Verfahren soll die oben genannten Nachteile vermeiden.

Diese Aufgabe wird von einem Verfahren nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1 durch dessen kennzeichnende Merkmale gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen 2 bis 12 angegeben.

Das erfindungsgemäße Entwurfsverfahren hat den Vorteil, daß das ermittelte Fuzzy-System anschaulich interpretierbar ist, da die Fuzzy Sets im Hinblick auf das gewünschte Über­ tragungsverhalten sinnvoll gewählt werden. Gleichzeitig ergibt sich dadurch auch eine gute Nachbildung des Übertragungsverhaltens. Das Verfahren kann zudem selbsttätig eine sinnvolle Zahl von Fuzzy Sets für die einzelnen Ein- und Ausgangsgrößen und damit die Regelanzahl festlegen. Das Verfahren benötigt daher keinerlei Benutzervorgaben. Es kann auf einer üblichen Datenverarbeitungsanlage durchgeführt werden. Es ist aber auch möglich, einen selbstlernenden Fuzzy Controller zu erhalten, indem ein Fuzzy Controller um eine Einrichtung zur Durchführung des Verfahrens erweitert wird.

Das Verfahren wird zunächst für ein System mit einer Eingangsgröße u und einer Ausgangs­ größe y betrachtet. In Fig. 1 sind die Fuzzy Sets und die Übertragungskennlinie eines Fuzzy- Systems mit einem Eingang u und einem Ausgang y dargestellt. Als Defuzzifizierungs­ methode wird in dem Beispiel die Höhenmethode verwendet. Die Regelbasis ist aus der Kennlinie unmittelbar ersichtlich. Es wird deutlich, daß in der Kennlinie nur für die Werte von u Knicke, also Änderungen der Steigung, auftreten, für die die dreieckförmigen Zugehörigkeitsfunktionen der Eingangsgröße ihr Maximum annehmen. Man kann dies auch so interpretieren, daß durch die Fuzzy Sets der Eingangsgrößen Stützstellen der Über­ tragungskennlinie vorgegeben werden und durch die Fuzzy Sets oder Singletons der Ausgangsgröße der zugehörige Wert an dieser Stützstelle. Zwischen diesen Stützstellen wird vom Fuzzy Controller näherungsweise linear interpoliert.

Um aus einer Kennlinie auf geeignete Fuzzy Sets zu schließen, wird die Kennlinie daher in Bereiche gleicher oder ähnlicher Steigung unterteilt. Hierfür muß zunächst die Steigung der vorgegebenen Kennlinie bestimmt werden. Liegt die Übertragungskennlinie als Funktion vor, kann sie direkt über die Ableitung der Funktion bestimmt werden. Ist die Übertragungs­ kennlinie in Form von Datenpunkten gegeben, muß die zugehörige Steigung auf numeri­ schem Wege bestimmt werden. Entsprechende Verfahren hierfür sind bekannt. Günstig ist es, ein künstliches neuronales Netz mit den gegebenen Daten zu trainieren. Aus der erlernten Übertragungsfunktion des neuronalen Netzes läßt sich dann die Steigung numerisch bestimmen. Gleichzeitig werden die gemessenen Daten in geeigneter Weise vorverarbeitet, indem beispielsweise den Daten überlagertes Rauschen geglättet wird.

Der Wertebereich der Eingangsgröße wird so in n - 1 Intervalle U_i unterteilt, daß sich die Steigung der Übertragungsfunktion innerhalb dieser Intervalle möglichst wenig ändert. Der Wertebereich der Eingangsgröße u ergibt sich dabei entweder aus dem minimalen und maximalen Wert von u in den Daten oder wird vorgegeben. Die Zahl n gibt die Anzahl der Fuzzy Sets an, die auf dem Wertebereich definiert werden. Nach Bestimmung der n - 1 Intervalle werden n dreieckförmige Fuzzy Sets so festgelegt, daß ihre Spitzen auf einer Intervallgrenze liegen und ihre Fußpunkte auf den benachbarten Intervallgrenzen. Ist die Steigung der Übertragungsfunktion in einem Intervall näherungsweise Null, so können die zugehörigen dreieckförmigen Fuzzy Sets auch zu einem trapezförmigen Fuzzy Set zusammengefaßt werden (s. Fig. 1).

Die Unterteilung in n - 1 Intervalle erfolgt durch die Festlegung von n - 2 Intervallgrenzen u₂ bis u_n-1. Ein Intervall U_i hat die Grenzen u_i und u_i+1: U_i = [u_i, u_i+1]. Die Intervallgrenzen u₁ und u_n entsprechen den Grenzen des Wertebereichs der Eingangsgröße u. Die Bestimmung geeigneter Intervallgrenzen läßt sich als Optimierungsproblem mit folgender Kostenfunktion formulieren:

d_i = d(u_i, u_i+1) ist ein Maß für die Änderung der Steigung der Kennlinie innerhalb des Intervalls U_i. Die Intervallgrenzen u₂ bis u_n-1 werden so gewählt, daß der Wert der Kosten­ funktion J minimal wird. Wählt man für den Exponenten k große Werte, so erreicht man, daß die d_i für alle Intervalle U_i etwa denselben Wert annehmen.

Das Maß d_i kann auf verschiedene Arten gewählt werden, beispielsweise

• - als Differenz von minimaler und maximaler Steigung innerhalb des Intervalls U_i
• - als Standardabweichung von der mittleren Steigung innerhalb des Intervalls U_i.

Liegt die Übertragungsfunktion in Form einzelner Datenpunkte vor, werden bei Berechnung der d_i jeweils nur die Datenpunkte berücksichtigt, für die der Wert u innerhalb des betrachteten Intervalls U_i liegt. Liegt kein Datenpunkt innerhalb des Intervalls, nimmt d_i den Wert 0 an. Liegt die Übertragungsfunktion als Funktion vor, kann die Standardabweichung durch ein dem bekannten Summenausdruck für die Standardabweichung entsprechendes Integral berechnet werden:

Das beschriebene Optimierungsproblem läßt sich durch ein beliebiges Optimierungs­ verfahren lösen. Vorteilhaft ist die Verwendung eines agglomerativen Clusterungsverfahrens, wie es im folgenden beschrieben wird. Dabei erhält man gleichzeitig eine aussagekräftige Information über eine sinnvolle Wahl von n und damit über die Zahl der notwendigen Fuzzy Sets. Außerdem stellt das Clusterungsverfahren eine sehr recheneffiziente Lösung für das Optimierungsproblem dar. Das Clusterungsverfahren kann auch mit einem anderen Optimierungsverfahren kombiniert werden, indem nach den einzelnen Clusterungsschritten eine Nachoptimierung durchgeführt wird.

Für die Clusterung wird der gesamte Wertebereich in eine große Zahl (z. B. 100) von Intervallen bzw. Clustern unterteilt. Die Intervallgrenzen können beispielsweise äquidistant gewählt werden. Anschließend werden sukzessive je zwei benachbarte Cluster verschmol­ zen, d. h. ein neues Intervall U_i' mit der kleineren unteren Intervallgrenze und der größeren oberen Intervallgrenze gebildet. Dabei werden jeweils die zwei Cluster ausgewählt, für die sich nach der Verschmelzung der resultierende Cluster mit dem kleinsten d ergibt. Das d des resultierenden Clusters kann einfach berechnet werden, wenn für die einzelnen Cluster nicht das jeweilige d, sondern die minimale und maximale Steigung bzw. die Erwartungswerte der Steigung und der quadrierten Steigung sowie gegebenenfalls die Anzahl der innerhalb des Intervalls liegenden Datenpunkte gespeichert werden. Es müssen also für jeden der Cluster zwei bzw. drei Register eines Speichers vorgesehen werden. Der Wert d des in einem Clusterungsschritt neu gebildeten Clusters ist anfangs sehr klein. Er wächst bei abnehmender Clusteranzahl zunächst sehr langsam und schließlich stark an. An dieser Entwicklung des Wertes d läßt sich ablesen, wann eine sinnvolle Anzahl von Fuzzy Sets erreicht ist. (s. Fig. 2) Diese Vorgehensweise wird im folgenden auf Systeme mit p verschiedenen Eingangsgrößen u, v, w usw., sowie einem Ausgang y übertragen. Fuzzy-Systeme mit mehreren Ausgängen lassen sich äquivalent durch mehrere Fuzzy-Systeme mit einem Ausgang beschreiben und werden daher nicht gesondert betrachtet.

Die Bestimmung der Fuzzy Sets erfolgt nacheinander für die p verschiedenen Eingangs­ größen. Es wird dabei die partielle Ableitung der Übertragungsfunktion nach der jeweils betrachteten Eingangsgröße geclustert. Es muß jedoch berücksichtigt werden, daß sich die partielle Ableitung nicht allein in Abhängigkeit von der betrachteten Eingangsgröße, sondern auch von den anderen Eingangsgrößen ändern kann. Die Wertebereiche der anderen Eingangsgrößen werden daher für die Clusterung der betrachteten Eingangsgröße u in mehrere Intervalle unterteilt, innerhalb derer die Eingangsgrößen als näherungsweise konstant und die partielle Ableitung der Übertragungsfunktion nach u als unabhängig von ihnen angenommen werden kann. Liegt die Kennfläche als Funktional vor, können für die nicht betrachteten Eingänge verschiedene feste Werte vorgegeben werden. Ist sie in Form von Meßdaten angegeben, werden bei der Clusterung jeweils nur die Meßdaten berücksich­ tigt, die innerhalb eines festgelegten Teilbereichs des Eingangswerteraums liegen. Dabei ist meistens eine Unterteilung in etwa fünf Teilbereiche pro Eingangsgröße ausreichend. Betrachtet man beispielsweise ein System mit 4 Eingängen, ergeben sich dann für drei Eingänge insgesamt 5³ = 125 Teilbereiche, wobei jeweils die partielle Ableitung nach dem vierten Eingang geclustert wird. Die d_ij für die einzelnen Cluster werden für jeden Teil­ bereich j des Eingangswerteraums getrennt bestimmt und anschließend zu einem d_i zusammengefaßt. Als Operator für die Zusammenfassung kommt eine s-Norm (ODER- Verknüpfung), eine Mittelwertbildung oder eine Addition in Frage:

Wie im betrachteten Fall mit einer Eingangsgröße werden jeweils die zwei Cluster der Eingangsgröße u verschmolzen, für die sich das kleinste resultierende d_i ergibt. Die Verschmelzung muß wiederum getrennt für die einzelnen Teilbereiche des Eingangswerte­ raums durchgeführt werden.

Dieser beschriebene erste Schritt zur Bestimmung der Fuzzy Sets der Eingangsgrößen durch agglomerative Clusterung wird nun an einem Ausführungsbeispiel demonstriert. Dabei wird ein System mit zwei Eingangsgrößen u und v betrachtet. Gegeben sind fünf Datenpunkte (Fig. 3a), für die die Werte u und v sowie die partielle Ableitung nach u a = ∂^f/∂_u angegeben ist. Der Wertebereich der Eingangsgröße v ist in die zwei Bereiche [-1, 0] und [0, 1] unterteilt, für u werden drei Cluster mit den Intervallgrenzen u₀ = 0, u₁ = 1, u₂ = 2, u₃ = 3 festgelegt. Im ersten Schritt werden die gegebenen Daten den vordefinierten Bereichen zugeordnet. Für jeden Bereich werden in diesem Beispiel die Summen Σ(∂^f/∂_u)_k = Σa_k und Σ(∂^f/∂_u ²)_k = Σa_k ² und die Anzahl n_ij der Datenpunkte in dem Bereich gespeichert. k ist der Index für die einzelnen Datenpunkte und läuft von 1 bis zur Anzahl der Datenpunke, die hier gleich 5 ist. Mit diesen Werten können die Erwartungswerte der Steigung und der quadrierten Steigung sowie die d_ij's berechnet werden, für die in dem Beispiel die Standard­ abweichung verwendet wird. Für n_ij = 0 und n_ij = 1 ergibt sich d_ij = 0. Ein d_i wird hier durch Addition der d_ij gebildet. In der Tabelle in Fig. 3b sind die zugehörigen Werte für die einzelnen Cluster von u und die beiden Teilbereiche von v eingetragen. In Fig. 3c und 3d ist die entsprechende Tabelle nach Verschmelzung der Cluster 1 und 2 bzw. der Cluster 2 und 3 dargestellt. Dabei ergibt sich bei Verschmelzung der Cluster 1 und 2 der kleinere Wert d_i' für das resultierende Cluster (0,0625 zu 0,187), so daß diese Verschmelzung beibehalten wird. Aus diesen Clustern ergeben sich dann die Fuzzy Sets für die Eingangsgröße u wie in Fig. 3e dargestellt.

Nachdem die Fuzzy Sets für die Eingangsgrößen festgelegt sind, läßt sich die Bestimmung der Fuzzy Sets für die Ausgangsgröße als lineares Optimierungsproblem formulieren. Hierzu wird eine kanonische Regelbasis aufgestellt, das heißt eine Regelbasis, bei der jede mögliche Kombination von Fuzzy Sets der verschiedenen Eingangsgrößen in genau einer Regel­ prämisse auftritt. Die Anzahl der Regeln beträgt dann

wobei n_i die Zahl der Fuzzy Sets für die i-te Eingangsgröße ist. Jeder Regel wird als Konklusion ein Singleton s_i zugeordnet. Die s_i werden so optimiert, daß sich eine möglichst gute Approximation des gewünschten Übertragungsverhaltens ergibt. Am einfachsten ist dies möglich, wenn Daten­ punkte gegeben sind, die das Übertragungsverhalten beschreiben. Liegt dieses als Funktion vor, so muß es diskretisiert werden, d. h. geeignete Datenpunkte durch Abtastung der Funktion erzeugt werden.

Für jeden gegebenen Datenpunkt läßt sich mit den ermittelten Fuzzy Sets der Erfülltheitsgrad der Regeln berechnen. Verwendet man für die Inferenz und Defuzzifizierung die bekannte Höhenmethode, so läßt sich der resultierende Ausgangswert als Linearkombination der verschiedenen s_i beschreiben, die mit den zugehörigen Erfülltheitsgraden m_wi gewichtet sind. Dieser Ausgangswert muß gleich dem durch die Datenpunkte vorgegebenen Wert sein, so daß man für jeden Datenpunkt eine Gleichung mit r Unbekannten s₁ bis s_r erhält. Das resultierende Gleichungssystem ist im allgemeinen überbestimmt, wenn mehr Datenpunkte vorhanden sind als freie Parameter, und läßt sich mit bekannten Verfahren (Least Square- Verfahren, Recursive Least Square, Householder) lösen. Regeln, deren Erfülltheitsgrad für keinen der gegebenen Datenpunkte über einem Schwellwert ε liegen, sollten nicht berück­ sichtigt werden, um sicherzustellen, daß das Gleichungssystem eindeutig lösbar und gut konditioniert ist. Dadurch reduziert sich die Zahl der Unbekannten im Gleichungssystem.

Dieser Fall tritt zum Beispiel auf, wenn der Eingangswerteraum nicht vollständig durch die gegebenen Daten abgedeckt ist. Bei Fuzzy-Systemen mit mehreren Eingängen und vielen Daten kann das Gleichungssystem sehr groß werden. Es kann dann sinnvoll sein, nicht alle gegebenen Daten zu verwenden, sondern nur solche, für die sich ein sehr hoher Erfülltheits­ grad einer Regel ergibt. Dadurch wird vor allem eine gute Approximation in der Nähe der durch die Fuzzy Sets gegebenen Stützstellen gewährleistet. Insgesamt kann die Approximationsgenauigkeit jedoch leiden.

Um die Zahl der Singletons zu verringern, werden diese durch ein weiteres Clusterungs­ verfahren zusammengefaßt. Die Singletons, die jeweils am dichtesten beieinander liegen, werden hierbei zu einem Singleton zusammengefaßt. In dem Gleichungssystem wirkt sich das so aus, daß die Koeffizienten in den zugehörigen Spalten addiert werden. Die Schritte "Lösen des Gleichungssystems" und "Zusammenfassen von Singletons" werden mehrfach wiederholt, bis die gewünschte Zahl von Singletons erreicht ist. In jedem Schritt können dabei ein oder mehrere Singletons zusammengefaßt werden. Werden zuviele Singletons auf einmal zusammengefaßt, kann dies jedoch zu einem schlechteren Ergebnis führen. Wenn die Zahl der Singletons bereits stark verringert ist, sollten in jedem Schritt immer nur zwei Singletons zusammengefaßt werden. Am Verlauf des Ausgangsfehlers des Gleichungs­ systems kann man dann erkennen, wann eine sinnvolle Anzahl von Singletons erreicht ist. Dieser Fehler steigt zunächst sehr langsam an, wird die Zahl der Singletons jedoch zu klein, steigt er sehr stark an. Erreicht er beispielsweise das doppelte des Startwertes, sollten die Singletons nicht weiter zusammengefaßt werden.

Die so erhaltene Regelbasis kann nun noch verkleinert werden, indem Regeln mit gleicher Konklusion zusammengefaßt werden. Hierzu können einfache kombinatorische Verfahren verwendet werden.

Die Berechnung der Singletons wird im folgenden Ausführungsbeispiel für ein System mit einem Eingang demonstriert. Für die Eingangsgröße u sind die in Fig. 4a dargestellten drei Fuzzy Sets ermittelt worden. Entsprechend hat die kanonische Regelbasis drei Regeln, für die drei Singletons s₁, s₂ und s₃ bestimmt werden müssen. In Fig. 4b sind die das Übertragungsverhalten beschreibenden Datenpunkte sowie die zugehörigen Erfülltheitsgrade der drei Regeln angegeben. Damit ergibt sich das Gleichungssystem in Fig. 4c, das als Lösung s₁ = 5, s₂ = 0 und s₃ = 5 liefert. Die Singletons s₁ und s₃ können nun zu einem Fuzzy Set s₁' zusammengefaßt werden, so daß sich das neue Gleichungssystem nach Fig. 4d ergibt. Als Lösung erhält man s₁' = 5 und s₂ = 0. Werden die beiden verbleibenden Singletons ebenfalls zusammengefaßt, steigt der Ausgangsfehler des resultierenden Gleichungssystems mit einer Unbekannten stark an. Die Verwendung von weniger als zwei Singletons für die Ausgangsgröße ist also nicht sinnvoll. Durch Zusammenfassen der Regeln erhält man schließlich die Regelbasis in Bild 4e.

Schrifttum

• 1. [1] H. Kiendl: "Fuzzy methodenorientiert", Oldenbourg Verlag, München/Wien 1997.
• 2. [2] Nomura, H., Hayashi, L, Wakami, N.: A learning method of fuzzy inference rules by descent method. Proc. IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems, San Diego 1992, S. 203- 210.
• 3. [3] Nelles, O., Fischer, M., Müller, B.: Fuzzy Rule Extraction by a Genetic Algorithm and Constrained Nonlinear Optimization - of Membership Functions. Fifth IEEE International Conference on Fuzzy Systems, New Orleans 1996, S. 213-219.
• 4. [4] Klawonn, F., Kruse, R.: Constructing a fuzzy controller from data. Fuzzy Sets and Systems 85 (1997), S. 177-193.
• 5. [5] Kim, E., Park, M., Ji, S., Park, M.: A New Approach to Fuzzy Modeling. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol. 5, No. 3, 1997, S. 328-337.

Claims (12)

1. Verfahren zur Gewinnung geeigneter linguistischer Werte und Regeln für ein Fuzzy-System mit einer beliebigen Anzahl von Ein- und Ausgängen, das ein vor­ gegebenes Übertragungsverhalten aufweisen soll, wobei dieses Übertragungsverhalten in Form einer Funktion, abgelegt in einem neuronalen Speicher oder in Form von einzelnen Meßdaten vorliegt, dadurch gekennzeichnet,

• 1. daß die Steigung der Übertragungsfunktion in bezug auf die einzelnen Eingangsgrößen durch Bildung der Ableitung oder der partiellen Ableitungen der Übertragungsfunktion oder durch numerische Berechnung der Steigung in den durch die Meßdaten gegebenen Punkten berechnet wird,
• 2. daß die Wertebereiche der Eingangsgrößen so in Intervalle U_i = [u_i, u_i+1] zerlegt werden, daß innerhalb dieser Intervalle die Steigung der Übertragungsfunktion in bezug auf die jeweilige Eingangsgröße sich möglichst wenig ändert,
• 3. daß die Fuzzy Sets für die Eingangsgrößen so festgelegt werden, daß die Maxima der dreieckförmigen Zugehörigkeitsfunktionen auf den ermittelten Grenzen der Intervalle positioniert sind,
• 4. daß mit den ermittelten Fuzzy Sets für die Eingangsgrößen eine kanonische Regelbasis aufgestellt wird, bei der jede Regelkonklusion durch einen unabhängigen Fuzzy Set oder ein Singleton gegeben ist, und die Position dieser Fuzzy Sets oder Singletons anschlie­ ßend durch ein Optimierungsverfahren so bestimmt wird, daß sich eine möglichst gute Approximation des vorgegebenen Übertragungsverhaltens ergibt.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß ein Maß d_i = d(u_i, u_i+1) für jedes Intervall U_i = [u_i, u_i+1] im Wertebereich einer Eingangsgröße berechnet wird, das angibt, wie stark sich die Steigung innerhalb des Inter­ valls ändert, und daß die Grenzen der Intervalle mit einem Optimierungsverfahren so bestimmt werden, daß die quadratische Summe aller d_i oder ein Gütekriterium J mit
minimal wird.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß als Maß d die Differenz zwischen der minimalen und maximalen Steigung innerhalb des betrachteten Teilbereichs oder die Standardabweichung von der mittleren Steigung innerhalb des Teilbereichs verwendet wird.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß bei Systemen mit mehreren Eingängen die Wertebereiche der Eingänge in mehrere Bereiche unterteilt werden, wobei bei der Bestimmung der Fuzzy Sets eines Eingangs u die Maße d_i für die einzelnen Intervalle getrennt für die festgelegten Bereiche der anderen Eingänge bestimmt werden und anschließend mit einer s-Norm, einer Summation oder einer vergleichbaren Funktion zusammengeführt werden.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 4 dadurch gekennzeichnet, daß als Optimierungsverfahren ein agglomeratives Clusterungsverfahren verwendet wird, wobei auf dem Wertebereich der betrachteten Eingangsgröße eine große Zahl von Intervallen festgelegt wird, die anschließend sukzessive zusammengefaßt werden, so daß in jedem Schritt das Maß d für das jeweils resultierende Intervall und damit das Gütekriterium J minimal wird, und bei dem aus dem Verlauf des Wertes von J in Abhängigkeit von der Zahl der Cluster Rückschlüsse auf eine sinnvolle Anzahl von Clustern und damit ein Abbruch­ kriterium für das Clusterungsverfahren gewonnen werden kann.

6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß nach der Durchführung des Clusterungsverfahrens oder nach einem beliebigen Zwischenschritt des Clusterungsverfahrens eine zusätzliche Optimierung der Intervall­ grenzen mit einem anderen Optimierungsverfahren durchgeführt wird.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß für die Defuzzifizierung des resultierenden Fuzzy-Systems die Höhenmethode verwendet wird, so daß man bei der Bestimmung der Singletons für jeden, das Übertragungsverhalten vorgebenden Datenpunkt eine lineare Gleichung aufstellen kann und man insgesamt ein im allgemeinen überbestimmtes lineares Gleichungssystem erhält, das mit einem linearen Optimierungsverfahren wie dem LeastSquare oder RecursiveLeastSquare- Verfahren gelöst werden kann.

8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß beim Aufstellen des Gleichungssystems nur solche Singletons berücksichtigt werden, die zu einer Regel gehören, die für mindestens einen der gegebenen Datenpunkte einen Erfülltheitsgrad m_w hat, der über einer Schwelle ε liegt, um so die Lösbarkeit des Gleichungssystems sicherzustellen und die Größe des Gleichungssystems zu verringern.

9. Verfahren nach Anspruch 7 oder 8, dadurch gekennzeichnet, daß zum Aufstellen des Gleichungssystems nur ein Teil der insgesamt gegebenen Datenpunkte ausgewählt wird, beispielsweise solche, für die der Erfülltheitsgrad mindestens einer Regel eine vorgegebene Schwelle δ überschreitet, oder solche, die eine möglichst gleichmäßige Abdeckung des gesamten Eingangswerteraums bewirken, um so die Größe des Gleichungssystems zu verringern.

10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, daß nach dem Lösen des Gleichungssystems Singletons, die dicht beieinander liegen, zu einem Singleton zusammengefaßt werden, die Regelbasis entsprechend geändert wird und gegebenenfalls ein neues Gleichungssystem aufgestellt und gelöst wird, wobei sich diese Schritte mehrmals wiederholen können und aus dem Verlauf des Ausgangsfehlers des Gleichungssystems Informationen darüber gewonnen werden können, wann ein weiteres Zusammenfassen der Singletons nicht mehr sinnvoll ist.

11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß in der kanonischen Regelbasis Regeln mit gleicher Konklusion zu allgemeineren Regeln zusammengefaßt werden.

12. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, daß auf alle oder auf einen Teil der problemorientierten Parameter des gewonnenen Fuzzy- Systems ein Optimierungsverfahren angewendet wird, um das Fuzzy-System nach einem vorgegebenen Kriterium weiter zu optimieren.