DE19757045A1 - Verfahren zur fraktalen Codierung von Bild- oder Audiosignalen - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur fraktalen Codierung von Signalen, insbesondere von Bild- oder Audiosignalen.

Bei der fraktalen Codierung von beispielsweise Bildern, deren Grundlagen in dem Artikel von Jaquin, A.E., "Image Coding Based on a Fractal Theory of iterated Contractive Image Transformations", IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 1, No. 1, January 1992, beschrieben ist, wird die sogenannte Selbstähnlichkeit eines zu übertragenden Signals ausgenutzt. Handelt es sich bei dem zu übertragenden Signal um ein Bildsignal, so wird hierbei ausgenutzt, daß sich Teile des Bildes durch andere Bildteile, die sich geometrisch an anderen Stellen im gleichen Bild befinden, darstellen lassen, wenn diese Bildteile in einer bestimmten Weise verändert werden. Handelt es sich bei dem zu übertragenden Signal um ein Audiosignal, so gilt entsprechend, daß sich bestimmte Abschnitte des Audiosignals durch andere Signalabschnitte nachbilden lassen, wenn diese Signalabschnitte in bestimmter Weise manipuliert werden.

Hierbei wird so vorgegangen, daß zu einem Signalabschnitt, der übertragen werden soll, dem üblicherweise sogenannten Rangeblock r, ein sogenannter Domainblock d gesucht wird, aus dem durch Anwendung einer bestimmten Rechenvorschrift ein approximierter Rangeblock r* gebildet wird, der den Rangeblock r möglichst gut nachbildet. Die verwendete Rechenvorschrift lautet hierbei:

r* = ν.d + b mit b^T = (b,b . . . b) (1).

Dabei ist ν.d eine lineare Abbildung und der Term b beschreibt einen "Offset", und zwar im allgemeinen der Art, daß die Komponenten durch ν.d im allgemeinen unterschiedliche "Verschiebungen" erfahren. In der oben genannten Druckschrift von Jaquin wird aus Gründen der Datenreduktion vorgeschlagen, für den Offset einen aus gleichen Komponenten bestehenden Offset-Vektor zu wählen:

b = (b,b . . . b)^T (2)

wobei b^T die Transponierte des Vektors b ist.

Der in Gleichung (1) verwendete Domainblockvektor d wird hierbei vielfach aus dem Originalsignal dadurch gewonnen, daß ein in seinen Abmessungen größerer Signalblock als der nachzubildende Rangeblockvektor r aus den Originalsignal ausgeschnitten wird. Dieser größere Signalblock wird dann vielfach einer geometrischen Transformation (Spiegelung, Rotation oder ähnlich) unterzogen und anschließend durch eine weitere Operation (Unterabtastung und Filterung oder ähnlich) auf die Abmessungen des Rangeblockvektors r verkleinert.

Um den Domainblock d zu ermitteln, der den zu übertragenden Signalabschnitt am besten nachbildet, wird ein Suchverfahren eingesetzt. Hierbei wird im allgemeinen als Entscheidungskriterium für die Güte der Nachbildung das mittlere Fehlerquadrat gemäß Gleichung (3) verwendet.

mit:
e² mittleres Fehlerquadrat
r_i i-tes Element des aus N Komponenten bestehenden Rangeblockvektors r, und
r*_i i-tes Element des approximierten Rangeblockvektors r*.

Außer der Lage des Domainblockes im Originalsignal hat das eingesetzte Suchverfahren weiterhin die Aufgabe zu ermitteln, welches die optimalen Parameter für die Verstärkung ν und den Offset b sind bzw. welche geometrische Transformation gegebenenfalls auf den Signalblock angewendet werden soll.

Der fraktale Code für den zu übertragenden Signalblock besteht nun aus den gefundenen optimalen Parametern: Lage des Domainblocks im Signal, angewendete geometrische Operation auf diesen Domainblock, Verstärkungsfaktor ν sowie Offset b. Diese Parameter werden codiert und übertragen.

Im Empfänger kann der Signalabschnitt bis auf eine je nach Güte der Codierung größere oder kleinere Abweichung dadurch rekonstruiert werden, daß auf ein beliebiges Anfangssignal die Abbildungsvorschrift mehrfach angewendet wird. D.h. im ersten Schritt wird jeder approximierte Rangeblock dadurch erzeugt, daß die Vorschrift (4) auf den entsprechenden Domainblock aus dem beliebigen Anfangssignal angewendet wird, nachdem der Domainblock verkleinert und der entsprechend zugeordneten geometrischen Operation dieses Rangeblockes unterzogen worden ist.

r*₁ = ν.d₀ + b (4)

d₀ Domainblock im Anfangssignal
r*₁ Rangeblock in der 1. Annäherung.

Wird die Abbildungsvorschrift auf alle Rangeblöcke angewendet, so entsteht durch Aneinanderfügen der approximierten Rangeblöcke aus dem beliebigen Anfangssignal eine erste Annäherung an das Originalsignal.

Im zweiten Schritt wird jeder approximierte Rangeblock, dadurch erzeugt, das die Vorschrift (5) auf den entsprechenden Domainblock aus der ersten Annäherung angewendet wird, nachdem wiederum der Domainblock verkleinert und der entsprechend zugeordneten geometrischen Operation dieses Rangeblockes unterzogen worden ist.

r*₂ = ν.d₁ + b (5)

mit:
d₁ Domainblock in der 1. Annäherung, und
r*₂: Rangeblock in der 2. Annäherung.

Es entsteht damit eine zweite Annäherung an das Originalsignal.

Diese Vorgehensweise wird nun so oft wiederholt bis eine gute Rekonstruktion des Originalsignals gegeben ist. Bei Bildvorlagen sind dies in der Regel 10 bis 20 Iterationen.

Untersuchungen zur fraktalen Codierung von Audiosignalen unter Verwendung der Gleichung (1) haben ergeben, daß mit der Annahme entsprechend Gleichung (2) ausreichend gute Nachbildungen der Rangeblöcke im allgemeinen nur dann gelingen, wenn man sehr kleine Rangeblöcke wählt. Kleine Rangeblöcke bedingen aber eine geringe Datenreduktion. Eine im Hinblick auf die Datenre­ duktion günstigere Lösung erhält man mit ungleichen Werten für die Komponenten des Offset-Vektors und großen Rangeblöcken.

Ferner kann die Anwendung der fraktalen Codierung in der Bildcodierung bei bestimmten Bildern mit dicht aneinanderliegenden periodischen Strukturen dazu führen, daß diese Strukturen nicht fehlerarm wiedergegeben werden.

Wendet man die fraktale Codierung in der Audiocodierung an, so kommt man bei periodischen Signalen ebenfalls zu dem Ergebnis, daß sich diese Signale nur sehr unzureichend mit dem Verfahren reproduzieren lassen. Dies ist darin begründet, daß die fraktale Codierung stets eine Verkleinerung der Domainblöcke beinhaltet. Diese Verkleinerung führt im Falle von periodischen Signalen dazu, daß sich die Signalperiode durch die angewendete Stauchung verändert. Sind in der Signalpassage, die die Domainblöcke beinhaltet, keine Signalanteile vorhanden, die durch Stauchung zu einem den Rangeblöcken in der Periodendauer ähnlichen Signal führen, so können die entsprechenden Rangeblöcke nur sehr unzureichend reproduziert werden.

Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der fraktalen Signalcodierung für Bild- oder Audiosignale zu schaffen, das eine höhere Datenreduktion und eine bessere Reproduktion periodischer Strukturen ermöglicht.

Die Aufgabe wird durch den Gegenstand des Anspruchs 1 gelöst. Bevorzugte Ausgestaltungen der Erfindung sind Gegenstand der Unteransprüche.

Erfindungsgemäß werden günstige Offset-Vektoren b zur fraktalen Codierung verwendet, wobei der Offset-Vektor b aus gewichteten orthogonalen Basisfunktionen einer orthogonalen Transformation gebildet wird. Günstigere Offset-Vektoren b lassen sich finden, indem man die nachzubildenden und nachbildenden Blöcke spektral mit Hilfe einer geeignet ausgewählten Transformation, z. B. der Diskreten Cosinustransformation (DCT), analysiert und die Ergebnisse dazu nutzt, den Offset-Vektor b durch die Summe einiger weniger gewichteten Basisvektoren der ausgewählten Transformation darzustellen. Das Verfahren ist nicht auf die Anwendung der DCT-Transformation begrenzt, es ist möglich andere orthogonale Transformationen zu verwenden, wie beispielsweise die Diskrete Fouriertransformation DFT, die ebenfalls in der Audiocodierung verwendet wird.

Vorteilhafterweise können die orthogonalen Basisvektoren dann dazu genutzt werden, periodischen Signalanteile zu reproduzieren. Ferner ist ein Vorteil des erfindungsgemäßen Verfahrens darin zu sehen, daß die Signalrekonstruktion auf der Wiedergabeseite in gewohnter Weise unter Verwendung des üblichen Iterationsvorgangs (also ohne Aufwandserhöhung) ablaufen kann.

Die Blockfensterungen mit weichberandeten Fenstern stellen zusätzliche vorteilhafte Maßnahmen der fraktalen Codierung dar, die sich als besonders vorteilhaft bei der Codierung von Audiosignalen zur Vermeidung von sogenannten "blocking"-Effekten erweisen. Letztere entstehen durch sprungartige Werteänderungen an den Blockgrenzen im wiedergegebenen Signal.

Im folgenden erfolgt eine detaillierte Beschreibung des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Bei der herkömmlichen Anwendung der fraktalen Codierung wird ein Rangeblock durch einen Domainblock nachgebildet mit Hilfe der Gleichung (1). Der in dieser Gleichung verwendete, dort über den gesamten Blockbereich konstante Offset b wird nun erfindungsgemäß, wie dies in der folgenden Gleichung (6) dargestellt ist, durch einen Vektor b mit unterschiedlichen Komponenten ersetzt.

r* = ν.d + b; b = (b₁, b₂, . . . b_N) (6)

mit:
r*: Nachbildung des Rangeblockes r,
d: Domainblock (gegebenenfalls nach Anwendung einer geometrischen Operation),
ν: Verstärkungsfaktor,
b: Offset-Vektor, der sich aus gewichteten orthogonalen Basisfunktionen ergibt.

Dieser Vektor b soll sich gemäß der folgenden Gleichung (7) aus gewichteten orthogonalen Basisfunktionen zusammensetzen. Die im hier beschriebenen Verfahren benutzten orthogonalen Basisfunktionen können beispielsweise die Basisfunktionen der Cosinustransformation sein. Welche Basisfunktionen und wieviele Basisfunktionen verwendet werden, muß je nach Anwendungsfall entschieden werden und hat keinen Einfluß auf die hier beschriebenen prinzipielle Vorgehensweise. Damit lassen sich die Vektorkomponenten b_i des Vektors b durch die Gleichung (7) beschreiben.

mit:
b_i: i-tes Element des Vektors b mit N Werten,
t_i,m: i-tes Element des Basisvektors t_m mit N Werten
a_m: Wichtungsfaktor des m-ten Basisvektors t_m.

Hierbei werden in Gleichung (7) die ersten M Basisvektoren mit steigenden Frequenzindex einer orthogonalen Transformation benutzt. Diese Auswahl ist rein willkürlich und soll nur als Beispiel benutzt werden. Es soll weiterhin unterstellt werden, daß der Rangeblockvektor r aus N Elementen besteht und die verwendeten Basisvektoren t_m Basisvektoren einer orthogonalen Transformation sind, die zur vollständigen Darstellung eines Originalvektors mit N Elementen gerade N Basisvektoren benötigt.

Bei der Suche nach dem optimalen Domainblock wird das mittlere Fehlerquadrat gemäß Gleichung (3) benutzt. Durch Minimierung des mittleren Fehlerquadrates bei vorgegebenem Rangeblockvektor r und vorgegebenem Domainblockvektor d lassen sich die optimalen Werte für den Verstärkungsfaktor ν und die Koeffizienten a_m der orthogonalen Basisvektoren t_m angeben durch:

Hierbei sind R_k und D_k gemäß (11) und (13) das jeweilige Vektorprodukt des Rangeblockvektors r^T bzw. des Domainblockvektors d und des Basisvektor t_k, also der k-te Spektralkoeffizient, wenn auf den Rangeblockvektor r bzw. den Domainblockvektor d die den Basisvektoren zuzuordnende Transformation angewendet wird.

R_i* bzw. D_i* sind die i-ten Elemente der Vektoren, die entstehen, wenn lediglich die Spektralkoeffizienten M+1 bis N zur Reproduktion des Rangeblockvektors r bzw. des Domainblockvektors d verwendet werden.

Damit ergibt sich, daß der Verstärkungsfaktor ν gemäß Gleichung (8) sich lediglich mit Hilfe der Restanteile von Rangeblockvektor r und Domainblockvektor d berechnet. Die Restanteile enthalten nur Spektralkomponenten, die nicht im Vektor b enthalten sind. Im vorliegenden Beispiel enthält der Vektor b die Spektralkomponenten mit den Frequenzindizes 0 bis M gemäß Gleichung (7) und damit enthalten die Restanteile nur die Spektralkomponenten M+ 1 bis N.

Der m-te Koeffizient a_m des Vektors b ergibt sich gemäß Gleichung (8) mit Hilfe der entsprechenden Spektralkoeffizienten R_m des Rangeblocks und D_m des Domainblocks mit Hilfe des Verstärkungsfaktors ν.

Mit den oben angegebenen Beziehungen wird deutlich, daß mit dem angegebenen Verfahren eine Verbindung zwischen Transformationscodierung und fraktaler Codierung geschaffen wird. Die Herleitungen der Gleichungen (8) und (9) wird im Anhang 1 gegeben.

Anhang 2 gibt ein Beispiel einer eindimensionalen DCT-Transformation.

Im folgenden wird eine Erweiterung des oben erläuterten erfindungsgemäßen Verfahrens durch Nutzung einer weich berandeten Fensterfunktion erläutert.

Beim heutigem Einsatz der fraktalen Codierung entstehen Range- und Domainblöcke, indem die entsprechenden Signalab­ schnitte aus dem Originalsignal mit Hilfe eines Rechteckfen­ sters ausgeschnitten werden. Durch diese Vorgehensweise können bei der Rekonstruktion sogenannte Blockeffekte auftreten. Abhilfe kann geschaffen werden, indem hier weich berandete Fensterfunktionen eingesetzt werden. Sollen Fensterfunktionen eingesetzt werden, so müssen sich die Rangeblöcke überlappen.

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, Fensterfunktionen einzusetzen.

a) Weich berandete Fensterfunktionen nur bei der Rekon­ struktion

Die Fensterfunktionen werden nur bei der Rekonstruktion eingesetzt. D.h. im Sender werden zur Bestimmung der optimalen Domainblöcke weiterhin Rechteckfensterfunktionen benutzt. Die Rangeblöcke müssen sich jedoch gemäß der im Empfänger verwendeten weich berandeten Fensterfunktion überlappen. Auch die Domainblöcke werden weiterhin mit Hilfe von Rechteckfenstern aus dem Originalsignal ausgeschnitten. Lediglich im Empfänger werden zur Rekonstruktion weich berandete Fensterfunktionen verwendet, damit benachbarte Rangeblöcke weich ineinander überführt werden. Die Überlappung muß so gewählt werden, daß sich die Randbereiche der Rangeblöcke überlappen, die durch die Fensterfunktion mit Werten ungleich 1 gewichtet werden. Die Fenster­ funktionen, die bei der Rekonstruktion eingesetzt werden, müssen sich im Überlappungsbereich bei der überlappenden Addition benachbarter Rangeblöcke bei der Signalrekonstruktion zu 1 ergänzen. Es werden zweckmäßigerweise Überlappungsgrade der Rangeblöcke von z. B. 0% bis 50% verwendet werden.

b) Weich berandete Fensterfunktionen im Sender und im Empfänger

In Ergänzung zu Fall a) können auch bei der Suche nach dem fraktalen Code im Sender weich berandete Fensterfunktionen benutzt werden. Die hier verwendete Fensterfunktion kann einen anderen Funktionsverlauf besitzen als die bei der Rekonstruktion im Empfänger eingesetzte Fensterfunktion. Die im Sender eingesetzten Fensterfunktionen müssen auch nicht die unter a) aufgeführte Einschränkung einhalten, d. h. sich im Überlappungsbereich zu 1 ergänzen. Die Fensterfunktion kann nach Zeckmäßig­ keitsgesichtspunkten so gewählt werden, daß beispielsweise die bei Einsatz der fraktalen Codierung erzeugte Reproduktionsqualität besonders gut ist.

Die folgenden Figuren zeigen schematische Beispiele von verwendbaren Fensterfunktionen.

Fig. 1 zeigt schematisch die Lage der Fensterfunktionen in Sender und Empfänger im Fall a, und

Fig. 2 zeigt schematisch die Lage der Fensterfunktionen in Sender und Empfänger im Fall b.

Fig. 1 zeigt den Fall a, bei dem senderseitig (obere Hälfte der Fig. 1) keine Fensterung eingesetzt wird, sondern nur auf der Empfängerseite (untere Hälfte der Fig. 1) Fensterfunktionen eingesetzt werden, die sich im Überlappungsbereich zu "1" ergänzen müssen. Dargestellt ist in der oberen Hälfte der Fig. 1 ein Signal S, das durch Rechteckfunktionen in Rangeblöcke 1, 2, 3 und 4 unterteilt wird, die sich überlappen. In der unteren Hälfte der Fig. 1 ist das rekonstruierte Signal S* sowie die Rangeblöcke 5, 6, 7 und 8 mit entsprechenden Fensterfunktionen, die sich im Überlappungsbereich zu "1" ergänzen, dargestellt.

Fig. 2 zeigt schematisch den Fall b, worin in der oberen Hälfte der Fig. 2 weich umrandete senderseitige Rangeblöcke 1, 2, 3 und 4 einer zu übertragenden Funktion S dargestellt ist, und im unteren Teil der Fig. 2 die entsprechend mit einer überlappenden, weich berandeten Fensterfunktion versehenen Rangeblöcke 5, 6, 7 und 8 zur Rekonstruktion des Signal S+.

Anhang 1: Herleitung der Gleichungen (8) und (9)

Es gilt:

r* = ν.d + b (a1)

Das mittlere Fehlerquadrat ist gegeben durch:

Zur Bestimmung der optimalen Parameter ν und a_m wird zunächst die partielle Ableitung nach einem der Koeffizienten a_k gebildet und Null gesetzt. Dies ergibt nach Ableiten und Umformen die folgende Gleichung:

Mit Hilfe von:

und der Beziehung:

ergibt sich aus (a4) die Gleichung (8)

a_k = R_k - ν.D_k (a9).

Mit (a9) läßt sich (a3) umformen zu:

Die vollständige Rekonstruktion jedes i-ten Elements des Vektors r aus den gewichteten N Basisvektoren ergibt sich aus:

Damit lassen sich die beiden gleichartigen Terme der Gleichung (a10) angeben:

und

Dies sind die Teilrekonstruktionen der Vektoren r und d aus den gewichteten Basisvektoren t_m mit den Indizes M+1 bis N, gegeben durch ihre jeweiligen i-ten Elemente. Damit läßt sich das mittlere Fehlerquadrat angeben durch:

Zur Bestimmung von ν wird die partielle Ableitung von e² nach Gleichung (a14) zu Null gesetzt und es ergibt sich hieraus die Gleichung (8), nämlich:

Anhang 2: Beispiel einer DCT-Transformation

Die eindimensionale Gleichung für die DCT-Transformation lautet:

mit k = 0, 1, . . ., N-1,
wobei x(m) die Eingangsvektorkomponenten und X(k) die sich ergebenden Ausgangsvektorkomponenten eines entsprechenden Vektorblocks mit N-Komponenten sind.

Bezugszeichenliste

1

Rangeblock

2

Rangeblock

3

Rangeblock

4

Rangeblock

5

Rangeblock mit Fensterung

6

Rangeblock mit Fensterung

7

Rangeblock mit Fensterung

8

Rangeblock mit Fensterung
S Senderseitiges Signal
S* Empfängerseitiges Signal

Claims (9)

1. Verfahren zur fraktalen Codierung von Signalen, bei dem zu einem zu übertragenden Rangeblock r eines Originalsignals ein Domainblock d gesucht wird, so daß nach Anwendung der Rechenvorschrift r* = ν.d + b ein approximierter Rangeblock r* erzeugt wird, wobei ν eine lineare Funktion und b ein Offsetvektor ist, dadurch gekennzeichnet, daß der Offsetvektor b im allgemeinen unterschiedliche Komponenten b = (b₁, b₂, . . ., b_n) aufweist.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Offset-Vektor b aus gewichteten orthogonalen Basisfunktionen tm einer orthogonalen Transformation besteht.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die orthogonale Transformation die diskrete Cosinustransformation DCT ist.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bestimmung des optimalen Domainblocks d das mittlere Fehlerquadrat e² verwendet wird, wobei die optimalen Werte für die lineare Funktion ν und die Koeffizienten a_m der orthogonalen Basisvektoren t_m sich ergeben zu:
mit:

5. Verfahren nach einem der vorangegangenen Ansprüche, da­ durch gekennzeichnet, daß sich die zu übertragenden Rangeblöcke (1, 2, 3, 4) im Sender überlappen und zur Rekonstruktion im Empfänger weich berandete Fensterfunktionen (5, 6, 7, 8) verwendet werden.

6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß Überlappungsgrade der Rangeblöcke zwischen 0 und 50% verwendet werden.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Fensterfunktionen im Überlappungsbereich benachbarter Rangeblöcke Werte kleiner 1 aufweisen.

8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß die Fensterfunktionen im Überlappungsbereich benachbarter Rangeblöcke sich bei der Signalrekonstruktion auf einen Gewichtswert von 1 ergänzen müssen.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 5-7, dadurch gekenn­ zeichnet, daß senderseitig die überlappenden Rangeblöcke mit weich berandeten Fensterfunktionen gewichtet werden.