DE19605416B4

DE19605416B4 - Linearer Aktiver Resonator (LAR)

Info

Publication number: DE19605416B4
Application number: DE1996105416
Authority: DE
Inventors: Damir Filipović
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1996-02-14
Filing date: 1996-02-14
Publication date: 2004-05-13
Anticipated expiration: 2016-02-15
Also published as: DE19605416A1

Abstract

Verfahren zur Schwingungsabsorption mit einem zu dämpfenden Primärsystem und einem linearen aktiven Schwingungsdämpfer (LAR), wobei der lineare aktive Schwingungsdämpfer (LAR) folgende Merkmale aufweist:
a) einen passiven Schwingungsdämpfer, der dem zu dämpfenden Körper im Primärsystem zugeordnet wird,
b) der passive Schwingungsdämpfer wird um eine zusätzliche Komponente ergänzt, die bei lateralen Systemen eine Kraft und bei rotatorischen Systemen ein Moment zwischen dem zu dämpfenden Körper im Primärsystem und dem Körper des passiven Schwingungsdämpfers einprägt,
c) diese Kraft bei lateralen Systemen bzw. dieses Moment bei rotatorischen Systemen wird aus der absoluten oder der relativen Position der beiden Körper zueinander bzw. deren Ableitungen und einem zu wählenden linearen Filter mit einer linearen Übertragungsfunktion G_a(s) ermittelt, und
d) ein Differenzsignal wird aus der absoluten oder der relativen Position der beiden Körper zueinander bzw. deren Ableitungen erzeugt, wobei das Differenzsignal dem linearen Filter als Eingangssignal zugeführt wird und das Ausgangssignal des linearen...

Description

In vielen technischen Systemen können durch Anregungen Schwingungen auftreten, die unerwünscht sind, da sie beispielsweise zur Ermüdung von Bauteilen des technischen Systems führen können. Andere unerwünschte Ergebnisse sind Geräusche, die durch die Schwingungen verursacht werden. Ebenso können durch Schwingungen ungünstige oder unerwünschte Beeinflussungen der Produktqualität auftreten.
Grundsätzlich gibt es die unterschiedlichsten Verfahren und Lösungen, um diese unerwünschten Ergebnisse zu vermeiden. Eine erste Abhilfemaßnahme ist die Schwingungsisolation, die zweite Maßnahme ist die Schwingungsabsorption. Im vorliegenden Fall wird nur die Schwingungsabsorption betrachtet. Bei der Schwingungsabsorption sind wiederum zwei unterschiedliche Varianten zu unterscheiden, die passive und die aktive Schwingungsabsorption. Wenn das Primärsystem durch eine harmonische Kraft f_p(t) angeregt wird, dann bewegt es sich entsprechend den Daten des Systems sowie der Amplitude und der Frequenz der anregenden Kraft. Bei passiver Schwingungsabsorption wird nun auf das Primärsystem ein passiver Schwingungsdämpfer (passive Absorption) mit den Daten m_a, k_a und c_a befestigt, es bildet sich ein Gesamtsystem bestehend aus Primärsystem und passivem Schwingungsdämpfer (passiver Absorber) und somit ein schwingungsfähiges Mehrmassensystem, bei dem der passive Schwingungsdämpfer einen Teil der das Primäsystem anregenden Energie übernimmt und somit die Schwingungen im Primärsystem gedämpft wird.
Das Verhalten des passiven Schwingungsdämpfers alleine wird im Laplace-Bereich durch die folgende Gleichung beschrieben: ma s2 + cas + ka = 0 (1)
Wenn die Dämpfung ca = 0 ist, dann ist der passive Schwingungsdämpfer ein idealer Resonator und würde die Schwingungsenergie des Primärsystems vollständig übernehmen. In der Realität ist c_a ≠ 0, so daß keine vollständige Schwingungsdämpfung zu erreichen ist. Der passive Schwingungsdämpfer ist aufgrund Gleichung (1) außerdem nur zur Dämpfung in einem engen Frequenzbereich geeignet, wenn die Daten m_a und k_a nicht geändert werden.
Bei der aktiven Schwingungsdämpfung gibt es eine Vielzahl von Lösungsvarianten, die in der Literatur ausführlich beschrieben werden. Eine vorzügliche Zusammenfassung findet sich in der US-PS 5,431,261 .
In dieser Patentschrift erfolgt eine kritische Gegenüberstellung der unterschiedlichsten Lösungen, die wie in der Literatur als auch in anderen Patenten für die aktive Schwingungsdämpfung beschrieben werden und damit bekannt sind. Es soll deshalb darauf hier nicht mehr weiter eingegangen werden und diese Patentschrift als Ausgangspunkt der weiteren Überlegungen verwendet werden.
Kritik am Stand der Technik
Wie in der amerikanischen Patentschrift ausführlich beschrieben wird, sollte ein aktiver Schwingungsdämpfer prinzipiell wie ein idealer Resonator (c_a = 0) nach Gleichung (1) wirken und in der Frequenz während des Betriebs und somit in Echtzeit verstellbar sein. Die wesentlich neue Grundidee der US-PS 5.431.261 ist, neben der Feder mit der Federkonstanten k_a und dem Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten c_a noch eine aktive Kraft f_a(t) mit dem Verstärkungsfaktor g und der Totzeit τ nach 2 einzufügen, wobei g und τ frei einstellbar sein sollen. Die um die Totzeit τ verzögernd wirkende Kraft f_a(t) wird gesteuert vom Differenzabstand zwischen dem Schwingungsdämpfer und dem Primärsystem. Damit ergibt sich für diesen speziellen aktiven Schwingungsdämpfer nach der amerikanischen Patentschrift (Delayed Resonator genannt, DR) im Laplace-Bereich die folgende beschreibende Gleichung ma s2 + cas + ka + ge–τ s = 0 (2)
Wie aus dieser Gleichung (2) zu erkennen ist, wirken nun k_a und g bei τ = 0 in gleicher Weise, d.h. durch g kann – bei τ = 0 – die Resonanzfrequenz des aktiven Schwingungsdämpfers eingestellt werden. Die Gleichung (2) ist allerdings transzendent und deshalb ist die Lösung mit erheblichem Berechnungsaufwand verbunden. Grundsätzlich hat aber Gleichung (2) unendlich viele Pole in Abhängigkeit von den Parametern g und τ, die abhängig von g und τ sowohl in der stabilen als auch einige von ihnen in der instabilen s-Halbebene liegen können. Wesentlich beim Entwurf des DR ist, daß in dieser Patentschrift ein konjugiert komplexes Polpaar auf der imaginären Achse (idealer Resonator) und alle anderen Pole in der stabilen linken s-Halbebene gefordert werden. Die Erfüllung dieser Bedingungen ist absolut notwendig. In der Patentschrift wird nun weiter ausgeführt und bewiesen, daß bei einer gewünschten Resonanzfrequenz w_c des DR, die Parameter g und τ wie folgt gewählt werden müssen, um den DR auf die Grenzstabilität einzustellen.
Wie weiter aus der Literatur bekannt ist, können durch entsprechende Wahl der Parameter g und τ auch zwei konjugiert komplexe Polpaare auf der imaginären Achse der s-Ebene angeordnet werden. Dies bedeutet, der DR kann zwei unterschiedliche Frequenzen, die das Primärsystem harmonisch anregen, unterdrücken. Diese zwei Frequenzen können aber für einen bestimmten Parametersatz m_a, c_a, k_a nicht frei gewählt werden.
Neues Verfahren der Schwingungsabsorption
Wie aus den vorliegenden Erläuterungen des DR zu entnehmen ist, nützt der DR als zusätzliches Signal den Abstand zwischen dem Primärsystem und der Masse m_a des DRs. Dieses Signal wird im Faktor g – wirkend wie eine Federkonstante – verstärkt und um die Zeit τ zeitlich verschoben. Damit lassen sich eine oder zwei harmonisch anregende Frequenzen beim Primärsystem unterdrücken bzw. dämpfen.

Bei dem hier neu vorgeschlagenen Verfahren LAR (Linearer Aktiver Resonator) genannt, wird, statt der DR-Rückführung mit g und τ, eine lineare Rückführung – die eine vorgebbare Übertragungsfunktion hat – verwendet. Durch die Vorgabe der Rückführung mittels einer Übertragungsfunktion können mehr als nur zwei notwendige linear unabhängige Parameter g und τ beim DR genützt werden. Dadurch können vorteilhaftere Pollagen-Kombination erreicht werden und – ganz wesentlich – mehr als nur ein oder zwei anregende Frequenzen im Primärsystem unterdrückt werden. Da die Parameter der Übertragungsfunktion zeitvariant sein können, ist ebenso eine Anpassung der Frequenzen des LARs in Echtzeit möglich bzw. es können alle zu unterdrückende Frequenzen zeitvariant geändert werden. Um die bisherigen Überlegungen nicht zu verlassen, sollen weiterhin laterale Bewegungen des Gesamtsystems angenommen werden. Es können aber selbstverständlich auch rotatorische Bewegungen vorausgesetzt werden, die mathematische Beschreibung des LAR ändert sich damit nicht.

Beim LAR wird somit ein Rückführungssignal verwendet, daß mittels einer linearen vorgebbaren Übertragungsfunktion gefiltert wird. Das Eingangssignal der Übertragungsfunktion ist entweder die absolute oder relative Position von m_a gegenüber dem Primärsystem bzw. die Ableitungen bei lateralen Gesamtsystemen. Bei rotatorischen Systemen wird statt dessen die absolute oder relative Position oder Geschwindigkeit bzw. die Ableitungen verwendet (2). Das Ausgangssignal des Übertragungssystems ist die Kraft f_a bei lateralen Systemen bzw. das Moment t_a bei rotatorischen Systemen.
Unter der Annahme der 2 ergibt sich die folgende Bewegungsgleichung für den lateralen LAR alleine:
Im Laplace-Bereich gilt: C(s) ≡ s2 + 2ζwas + w2 a + snGa(s) = 0 (6)mit der Resonanzfrequenz w_a = √k_a/m_a, dem Dämpfungskoeffizient ζ = c_aw_a/(2k_a) für C(s) mit G_a(s) = 0, und n = 0 für Positions-Rückführung, n = 1 für Geschwindigkeitsrückführung und n = 2 für Beschleunigungs-Rückführung.
Wenn nun angenommen wird, daß l anregende Frequenzen unterdrückt werden sollen, dann müssen l konjugiert komplexe Polpaare auf der imaginären Achse der s-Ebene vorhanden sein und damit muß die charakteristische Gleichung des LAR zumindestens die Ordnung 2l haben. In Erweiterung dieses Ansatzes kann damit ebenso gefordert werden, daß die Übertragungsfunktions zumindestens 2l Parameter aufweisen muß. Aus dieser Überlegung der 2l Parameter ist ein weiterer Vorteil bei dem Vorgehen mittels LAR zu erkennen. Die Übertragungsfunktion G_a(s) = Z(s)/N(s) kann sowohl ein Zähler- Z(s) als auch ein Nennerpolynom N(s) aufweisen. Bei der Auflösung der Übertragungsfunktion G_a(s) des linearen Filters
ergibt sich: C(s) ≡ N(s) (s2 + 2ζwas + w2 a) + Z(s) = 0 (8)d.h. sowohl das Zähler- als auch das Nennerpolynom sind in der charakteristischen Gleichung des LAR wirksam. Wenn die Koeffizientenzahl größer als 2l gewählt wird, z. B. 2l + 1, dann ergibt sich ein weiterer Parameter zur Beeinflussung des Einschwingverhaltens. Dies sind weitere Freiheitsgrade beim Entwurf. Entscheidend ist aber gegenüber dem DR-Entwurf, daß die Zahl der Polpaare linear berechenbar und frei vorgebbar ist.
Die beiden folgenden Tabellen zeigen eine mögliche Auswahl von Übertragungsfunktionen G_a(s). In Tabelle 1 wird beispielhaft eine Auswahl von Übertragungsfunktionen für einen LAR mit einer Resonanzfrequenz, in Tabelle 2 mit Mehrfachfrequenzen gezeigt. Es soll nochmals darauf hingewiesen werden, daß dies nur eine kleine Auswahl von möglichen Übertragungsfunktionen ist. Wenn diese Überlegungen beispielhaft auf einen LAR für rotatorische Schwingungsdämpfung übertragen wird, dann muß nur m_a durch das Trägheitsmoment J_a ersetzt werden. In 3 sind Simulationsergebnisse für unterschiedliche Schwingungsdämpfer mittels LAR gezeigt. Das obere linke Bild zeigt die Antwort eines passiven Schwingungsdämpfers bei einem Dämpfungsfaktor ζ = 0, 985, die Schwingungsdämpfung kann aufgrund der hohen Dämpfung ζ praktisch nicht vorhanden sein. Mit aktiver Rückkopplung beim LAR weisen die Ergebnisse für eine, zwei, drei bzw. vier zu dämpfende Frequenzen Resonanzeigenschaften auf. Damit ist der Nachweis des Konzeptes des LARs erbracht. Mittels der vorgebbaren Übertragungsfunktion G_a(s) können somit ideale Resonatoren an vorgebbaren l Frequenzen erzeugt werden.
Bisher wurde der LAR nur alleine betrachtet, das bedeutet es werden sowohl der Realteil
[C(jw_i)] = 0 als auch der Imaginärteil
[C(jw_i)] = 0 der Gleichung (7) zu Null gesetzt für alle i = 1, 2,.... Es ergibt sich damit ein Gleichungssystem mit dem einerseits die Frequenzen und andererseits die Dämpfung der Pole der charakteristischen Gleichung festgelegt werden können. Damit liegen die Koeffizienten von G_a(s) für entsprechende w_i fest.
Damit können die prinzipiellen Überlegungen bezüglich des LARs an sich angeschlossen werden.
Wie aber bereits 1 zeigt, besteht das Gesamtsystem aus dem LAR an sich und dem Primärsystem. Das Primärsystem kann im allgemeinen selbst aus einem System mit mehreren Resonanzfrequenzen bestehen (4). Es gilt nun erstens die charakteristische Gleichung des Gesamtsystems zu ermitteln und für dieses Gesamtsystem alle Pole in den stabilen linken Halbebene der s-Ebene zu fixieren, um die Stabilität des Gesamtsystems (asymptotische Stabilität) sicherzustellen. Zweitens ist es notwendig, daß der LAR – wie vorher beschrieben – grenzstabil ist. Dies sind die beiden Bedingungen die hinreichend und notwendig eingehalten werden müssen. Um diese Bedingungen zu erfüllen, kann ein bekanntes Verfahren wie beispielsweise im Buch von A. Netushil "Theory of Automatic Control", Mir Verlag, engl. Version 1978, unter "D-decomposition" beschrieben, angewendet werden. Diese ist besonders einfach, da für Einfrequenz-LARs nur eine Parameterebene und für Zweifrequenz-LARs eine Frequenzebene (4 Parameterraum-Hyperraum) benötig wird. In analoger Weise kann dieses Verfahren auf Drei- und Mehrfrequenz-LARs übertragen werden, in denen die Methoden der linearen Analyse verwendet werden, um die obigen beiden Bedingungen einzuhalten.
In 5 sind Simulationsergebnisse für ein LAR-gedämpftes System mit einer Resonanzfrequenz dargestellt. Der LAR nützt eine Vorhalt-Verzögerungs-Übertragungsfunktion entsprechend Tabelle 1. Das System sei rotatorisch, das anregende Moment m_p(t) habe die Gleichung mp(t) = sin 120t (9)
Das Signal n₂ ist die Drehzahl des zu dämpfenden Systems, n_a ist die Drehzahl des LARs die Grunddrehzahl ist unterdrückt. In 5a ist anfangs ein passiver Schwingungsdämpfer während der Zeit t < t₁ angenommen. Es erfolgt während dieser Zeit praktisch keine Schwingungsdämpfung, da der Dämpfungskoeffizient ζ ≈ 0,985 angenommen wird. Die Übertragungsfunktion G_a(s) wird zum Zeitpunkt t = 0,15s eingeschaltet und bewirkt, daß der LAR aktiviert wird. Diese Aktivierung des LAR zum Zeitpunkt t = 0,15s führt dazu, daß nach dem Einschwingungsvorgang der Dämpfung Δt ≥ 0, 31s eine vollständige Schwingungsdämpfung des Primärsystems erfolgt ist. In 5b ist ein Wechsel der anregenden Frequenz von w₁ = 120rad/s zu w₂ = 50rad/s angenommen. Weiterhin wird angenommen, daß die Parameter g und T₁ der Vorhalt-Verzögerungs-Übertragungsfunktion gleichzeitig mit dem Wechsel der Frequenzen korrigiert werden. Auch in diesem Fall erfolgt nach einem kurzen Einschwingvorgang eine volle Schwingungsdämpfung.
Die Dauer des Einschwingvorgangs des Gesamtsystems ist ein Resultat der Pollagen des Gesamtsystems. Durch die Lage der Pole der charakteristischen Gleichung des Gesamtsystems wird das Einschwingverhalten des Gesamtsystems beeinflußt, d.h. wenn sich die Amplitude oder die Phasenlage der Störung ändert, dann erfolgt jeweils ein Einschwingvorgang, der durch die Pollagen des Gesamtsystems beeinflußt wird.
In 6 wird die Funktion eines Zweifrequenz-LARs entsprechend Tabelle 2 dargestellt. Die Parameter des Filters berechnet man wie folgt: q = (2ζ + waT3)wa (10)
T₃ kann frei gewählt werden
Das Primärsystem wird angeregt mit zwei Kreisfrequenzen, die Kreisfrequenzen sind w₁ = 120rad/s und w₂ = 50rad/s. Bis zum Zeitpunkt t₁ ≤ 0,3s ist nur ein passiver Schwingungsdämpfer wirksam, d.h. die Übertragungsfunktion G_a(s) ist abgeschaltet. Es erfolgt praktisch keine Schwingungsdämpfung. Nach dem Zeitpunkt t₁ > 0,3s wird die Übertragungsfunktion G_a(s) aktiviert, damit ist der Zweifrequenz-LAR aktiviert, und es erfolgt nach einem kurzen Einschwingvorgang die vollständige Schwingungsunterdrückung beim Primärsystem.

Claims

Verfahren zur Schwingungsabsorption mit einem zu dämpfenden Primärsystem und einem linearen aktiven Schwingungsdämpfer (LAR), wobei der lineare aktive Schwingungsdämpfer (LAR) folgende Merkmale aufweist: a) einen passiven Schwingungsdämpfer, der dem zu dämpfenden Körper im Primärsystem zugeordnet wird, b) der passive Schwingungsdämpfer wird um eine zusätzliche Komponente ergänzt, die bei lateralen Systemen eine Kraft und bei rotatorischen Systemen ein Moment zwischen dem zu dämpfenden Körper im Primärsystem und dem Körper des passiven Schwingungsdämpfers einprägt, c) diese Kraft bei lateralen Systemen bzw. dieses Moment bei rotatorischen Systemen wird aus der absoluten oder der relativen Position der beiden Körper zueinander bzw. deren Ableitungen und einem zu wählenden linearen Filter mit einer linearen Übertragungsfunktion G_a(s) ermittelt, und d) ein Differenzsignal wird aus der absoluten oder der relativen Position der beiden Körper zueinander bzw. deren Ableitungen erzeugt, wobei das Differenzsignal dem linearen Filter als Eingangssignal zugeführt wird und das Ausgangssignal des linearen Filter die Kraft bei lateralen Systemen bzw. das Moment bei rotatorischen Systemen ist.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Übertragungsfunktion G_a (s) = Z(s)/N(s) genau 2·l Parameter im Zähler- Z(s) und Nennerpolynom N(s) aufweist, um durch entsprechende Wahl der Koeffizienten von Z(s) und N(s) l konjugiert komplexe Polpaare der charakteristischen Gleichung des Systems zu erreichen, diese konjugiert komplexen Polpaare auf der imaginären Achse der s-Ebene angeordnet werden, wenn dieser LAR direkt dem zu dämpfenden Körper des Primärsystems zugeordnet ist und damit ein idealer Resonator mit l Resonanzfrequenzen und der Dämpfung ζ = 0 entsteht.
Verfahren nach den Ansprüchen 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Übertragungsfunktion G_a(s) so entworfen wird, daß 2·l + n Pole der charakteristischen Gleichung des LAR entstehen, wobei 1 konjugiert komplexe Polpaare erzeugt werden, die auf der imaginären Achse der s-Ebene angeordnet werden und n Pole, n = 1, 2,... in der stabilen Halbebene der s-Ebene angeordnet sind, wobei mit diesen zusätzlichen n Polen das Einschwingverhalten des Systems beeinflußt werden kann.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass der LAR nicht direkt auf den zu dämpfenden Körper des Primärsystems wirkt und in diesem Fall die Übertragungsfunktion G_a(s) so verändert wird, dass die Übertragungsfunktion G_a(s) den relevanten Teil der Übertragungsfunktion zwischen dem Angriffspunkt des LAR und dem zu dämpfenden Körper des Gesamtsystems berücksichtigt.
Verfahren nach den Ansprüchen 1–4, dadurch gekennzeichnet, dass bei zeitvarianten, anregenden, harmonischen Frequenzen auf den zu dämpfenden Körper des Primärsystems die Übertragungsfunktion G_a(s) entsprechend den anregenden harmonischen Frequenzen ebenso zeitvariant in den Koeffizienten verstellt wird (Adaption).
Verfahren nach den Ansprüchen 1–5, dadurch gekennzeichnet, dass sicherzustellen ist, dass erstens die Pole des Gesamtsystems bestehend aus dem Primärsystem und dem LAR in der stabilen Halbebene der s-Ebene angeordnet sind (Asymptotische Stabilität) und zweitens der LAR an sich grenzstabil ist.
Verfahren nach den Ansprüchen 1–6, dadurch gekennzeichnet, dass bei zusätzlichen nichtlinearen Einflüssen, diese nichtlinearen Einflüsse durch Störgrößenaufschaltung kompensiert werden.
Verfahren nach den Ansprüchen 1–7, dadurch gekennzeichnet, dass Sensoren vorhanden sind, die die Differenzsignale ermitteln, dass weiterhin eine Auswerteeinheit vorhanden ist, die die zu dämpfenden Frequenzen ermittelt, falls diese nicht bekannt sind, bzw. falls nicht diese Frequenzen aus anderen Daten zu ermitteln sind, und dass weiterhin eine Recheneinheit vorhanden ist, die entsprechend den zu dämpfenden Frequenzen die Koeffizienten der Übertragungsfunktion G_a(s) bestimmt, falls diese nicht schon vorher in einer Tabelle für die jeweiligen zu dämpfenden Frequenzen gespeichert sind.