DE19547121A1

DE19547121A1 - Verfahren zur Ermittlung der analytischen inversen Kinematik eines Roboter-Arms mit sieben Freiheitsgraden

Info

Publication number: DE19547121A1
Application number: DE1995147121
Authority: DE
Inventors: Percy Dahm
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1995-12-16
Filing date: 1995-12-16
Publication date: 1996-05-30

Description

Die Erfindung bezieht sich auf die Steuerung eines redundanten Roboter-Arms mit 7 Freiheitsgraden.

Allgemein sind bei Roboter-Armen zwei Koordinatenbereiche zu unterscheiden: zum einen Position und Orientierung des Greifers, zum anderen die Gelenkwinkel des Arms.

Die grundsätzliche Aufgabe besteht nun in der Ermittlung der sog. inversen Kinematik, d. h. der Abbildung der 6 kartesischen Endeffektor-Koordinaten (drei Positionskoordinaten, drei Orien tierungskoordinaten) in den n-dimensionalen Gelenkwinkelraum,

Für bis zu sechs Roboter-Gelenkwinkel sind nach den Grundlagen der Robotik zumeist analytische Lösungen angebbar. In dem hier vorliegenden Fall sind jedoch sieben Gelenkwinkel zu ermitteln.

Zur Lösung dieser Aufgabe wird häufig eine Taylor-Entwicklung der Vorwärts-Kinematik bis zur 1. Ordnung vorgenommen:

Hierbei ist ₀ die aktuelle Endeffektorposition und -orientierung und ₀ die aktuelle Gelenkwinkel-Konfiguration des Roboters.

wird auch Jakobi-Matrix (J) an der Stelle ₀ genannt und kann leicht aus den aktuellen Drehachsen des Arms gewonnen werden. Um nun die inverse Kinematik zu erhalten, muß J invertiert werden:

In dem betrachteten Fall von 7 Freiheitsgraden tritt jedoch das Problem auf, daß die Matrix J nicht quadratisch ist, und daher nur näherungsweise (numerisch) invertiert werden kann, was sich auf Präzison und Rechenzeit auswirkt. Weitere Nachteile sind:

1. Näherung durch Taylor-Entwicklung
2. Problem im Fall von Singularitäten, d. h.
3. Aufwendige Behandlung der Redundanz (Null-Space-Analyse)

Die eben beschriebene Vorgehensweise gehört zu den sogenannten Jakobi-Verfahren und entspricht dem Standard der Robotik.

Es ist deshalb die Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren anzugeben, das analytisch exakte Lösungen liefert. Hierin enthalten ist der Vorteil einer geringeren Rechenzeit, präziserer Endeffektor bahnen und die Bestimmung der Redundanz unter Berücksichtigung kinematischer Einschränkungen (z. B. Gelenkwinkelbeschränkungen).

Hierzu betrachte man Abb. 1, die einen allgemeinen Aufbau eines Roboter-Armes mit sieben Freiheitsgraden darstellt. Es ist ersichtlich, daß eine Abfolge von Roll- und Knickgelenken vorliegt. Faßt man nun formal jeweils ein Roll- und ein Knickgelenk zu einem sphärischen Gelenk (siehe Abb. 2) zusammen, so ändert dies zunächst nichts an der Kinematik. Man erhält lediglich anstelle von Gelenk 1 und 2 ein Kugelgelenk an der Position von Gelenk 2. Ebenso ersetzt ein Kugelgelenk an der Position von Gelenk 4 die Gelenke 3 und 4 bzw. an der Position von Gelenk 6 die Gelenke 5 und 6. Der siebte Freiheitsgrad (Gelenk 7) bleibt unverändert.

Die formale Einführung von Kugelgelenken ist nicht unbedingt an den hier gezeigten Aufbau (Abb. 1) gebunden. Auch andere Gelenk folgen erlauben meist eine Zusammenfassung der Gelenke 1&2, 3&4 und 5&6. In diesen Fällen müssen lediglich Transformationen vorgenommen werden.

Für die weiteren Betrachtungen seien folgende Bezeichnungen (siehe a. Abb. 3) eingeführt:

- Gelenk 1&2: Schultergelenk; Ursprung des Basis koordinatensystems
- Gelenk 3&4: Ellbogen; kartesische Position: _E
- Gelenk 5&6: Handgelenk; kartesische Position: _HG
- kartesische Endeffektorposition: _EEF
- Oberarm: _O = _E
- Unterarm: _U = _E - _HG
- Hand: _H = _EEF - _HG
- Orientierung der Greiferbacken: _G

Redundanz

Position und Orientierung des Endeffektors sind vorgegeben, d. h. _EEF, _G und _HG sind im Sinne der inversen Kinematik konstant zu halten. Unter Berücksichtigung der formal eingeführten Kugelgelenke (Schultergelenk und Handgelenk) besteht die verbleibende Freiheit des Systems in einer Kreisbewegung des Ellbogens um die Schultergelenk-Handgelenk-Achse.

Dies läßt sich leicht aus dem Umstand ableiten, daß sich der Endpunkt des Oberarms auf einer Sphäre um das Schultergelenk und der Anfangspunkt des Unterarms auf einer Sphäre um das Handgelenk befindet. Da beide Punkte sich berühren müssen, entspricht die Redundanz der Schnittlinie zweier Sphären, also einem Kreis (siehe a. Abb. 3).

Mittelpunkt und Radius dieses Redundanz-Kreises lassen sich aus der Konstruktion leicht bestimmen:

wobei R den Radius und _M- den Mittelpunkt des Kreises bezeichnet.

Die karthesische Position des Ellbogens _E ist durch die Angabe einer einzigen Variablen - nämlich des Winkels, bezogen auf die Drehung um die Schultergelenk-Handgelenk-Achse - bestimmt.

Drückt man die Position des Handgelenks beispielsweise in Kugel koordinaten aus

so ergibt sich _E zu:

mit R_y, R_z als Rotationsmatrizen und α als Redundanzwinkel.

Der Wert von α sei zunächst gegeben. Dann läßt sich die Aufgabe der Bestimmung der inversen Kinematik leicht lösen:

Bestimmung der Gelenkwinkel

Die Gelenkwinkel müssen natürlich in ihrem jeweiligen Bezugssystem ermittelt werden. Für den Oberarm ist dies die Basis (also die Position des Schultergelenks), für den Unterarm das Ellbogen koordinatensystem, für den Endeffektor das des Handgelenks und für die Orientierung der Greiferbacken das des Endeffektors.

Der im folgenden eingeführte linke obere Index ^{. . .} beschreibt das Koordinatensystem, in dem der entsprechende Vektor jeweils betrachtet wird (Abb. 4: B: Basis, Elb: Ellbogen, Hnd: Handgelenk, EEF: Endeffektor). αtan2(y,x) ist die sogenannte Arkustangens2- Funktion.

R_y, R_z sind wie zuvor Rotationsmatrizen.

Bei der Steuerung des Roboters vermittels oben berechneter Winkel müssen eventuell die kinematischen Beschränkungen der Gelenke berücksichtigt werden. Hierzu läßt sich beispielsweise die Mehrdeutigkeit (Φ, ϕ) = (Φ+π,-ϕ) nutzen. Der Wechsel zwischen beiden Winkel-Domänen entspricht einer Änderung der Konfiguration des Roboters und läßt sich sicher detektieren und behandeln.

Es verbleibt noch die bisher vorausgesetzte Bestimmung des Re dundanzwinkels α:

Bestimmung des Redundanzwinkels α

Sofern keine kinematischen Gelenkwinkelbeschränkungen vorliegen, ist α im Intervall [0,2 π] frei wählbar und kann für definierte Teile des Arbeitsbereiches konstant gehalten werden. In der Regel ist man jedoch gezwungen, die Redundanz, bezogen auf die Vermeidung von Endlagen und Hindernissen im Arbeitsbereich, auszunutzen.

Ferner wird man energetisch günstige Armstellungen bevorzugen, z. B. die Minimierung der potentiellen Energie. In diesem Fall wird α so gewählt werden, daß der Ellbogen die tiefstmögliche Position erhält. Falls der Roboter-Arm ein Objekt greifen soll, das auf einem Tisch steht, so muß der Ellbogen sich mindestens auf der Höhe des Endeffektors befinden, um eine Kollision des Unterarms mit dem Tisch zu vermeiden. In beiden Fällen ist die Beziehung zwischen α und der Position des Ellbogens leicht be rechenbar.

Wie oben angedeutet, wirken sich auch Gelenkwinkelbeschränkungen auf den Redundanzbereich aus, wodurch bestimmte Abschnitte des Redundanzkreises kinematisch ausgeschlossen sein können. Um zu zeigen, daß auch diese innerhalb des hier beschriebenen Verfahrens analytisch berechenbar sind, soll exemplarisch eine häufig auftretende Beschränkung behandelt werden:

Bei vielen Roboter-Armen ist der Winkel zwischen Endeffektor und Unterarm auf mindestens 90° beschränkt (Abb. 5).

Zur Ermittlung derjenigen Punkte auf dem Redundanzkreis, die diese Bedingung gerade noch erfüllen, läßt sich eine geometrische Konstruktion (Abb. 6) angeben.

Zunächst muß die Handgelenk-Schulter-Achse auf eine Hauptachse (z. B. die z-Achse) transformiert worden sein. Anschließend lassen sich folgende Berechnungen durchführen:

Der in dem betrachteten Fall kinematisch nicht erlaubte Bereich des Redundanzkreises lautet κ±δ. Der Redundanzwinkel darf sich daher nur im verbleibenden freien Bereich des Kreises befinden. Zur weitergehenden Festlegung lassen sich Optimierungsverfahren anwenden, die - wie oben bereits genannt - zum Beispiel die po tentielle Energie bei gleichzeitiger Vermeidung von Kollisionen minimieren.

Claims

1. Verfahren zur Ermittlung der analytischen inversen Kinematik eines Roboter-Arms mit sieben Freiheitsgraden, gekennzeichnet durch folgende Schritte:

- formale Substitution zweier aufeinanderfolgender Gelenke durch ein Kugelgelenk
- Bestimmung der Redundanz als Kreis im kartesischen Raum
- Festlegung eines Punktes auf diesem Kreis (und damit Beseitigung der Unterbestimmtheit der inversen Kinematik)
- Berechnung der Gelenkwinkel durch sukzessive Trans formation der jeweiligen Koordinatensysteme in das Basis-Koordinatensystem.

2. Verfahren nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch

- Verwendung des Redundanzkreises zur Energieoptimierung.

3. Verwendung nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch

- Verwendung des Redundanzkreises zur Vermeidung von Endlagen.

4. Verfahren nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch

- Verwendung des Redundanzkreises zur Vermeidung von Hindernissen.