DE19542261A1

DE19542261A1 - Verfahren zur Gewinnung des Wertes mindestens einer nichtgemessenen Systemgröße eines dynamischen Systems

Info

Publication number: DE19542261A1
Application number: DE19542261A
Authority: DE
Inventors: Rolf Zoeller
Original assignee: Carl Schenck AG
Current assignee: NSK Ltd
Priority date: 1995-11-13
Filing date: 1995-11-13
Publication date: 1997-05-15
Also published as: EP0773501A1; EP0773501B1; DE59609329D1

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Gewinnung des Wertes mindestens einer nichtgemessenen Systemgröße eines dyna mischen, insbesondere nichtlinearen Systems. Bei komplexen dynamischen Systemen sind interessierende physikalische Größen oft nicht oder nur mit sehr hohem meßtechnischem Aufwand direkt meßbar. So müssen beispielsweise Meßeinrichtungen für die Ma schinenüberwachung mit einer sehr großen Anzahl von Meßkanälen ausgestattet sein, um eine ausreichende Erfassung von Betriebs zuständen sicherzustellen. Bei der Ermittlung von meßtechnisch schwer zugänglichen Systemgrößen, wie beispielsweise Drehmomen ten an rotierenden Maschinenwellen kommt zu dem Problem der hohen Anzahl von Meßwertaufnehmern noch der hohe apparative Aufwand als solcher hinzu.

Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren vorzuschlagen, welches die Ermittlung von Zustandsgrößen kom plexer dynamischer Systeme, insbesondere nichtlinearer Systeme, mit besonders geringem meßtechnischem Aufwand ermöglicht. Dies soll zum einen eine deutliche Verringerung der Anzahl der benö tigten Meßwertaufnehmer ermöglichen und es sollen darüberhinaus auch nicht direkt meßbare Größen ermittelbar sein.

Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß durch ein Verfahren nach dem Patentanspruch 1 gelöst.

Die Erfindung nutzt die Erkenntnis, daß es mit Methoden der nichtlinearen Dynamik möglich ist, mehrere physikalische Größen aus einer gemessenen Zeitreihe zu rekonstruieren, wenn in die ser Zeitreihe die Systemdynamik ausreichend repräsentiert ist. Hierdurch kann auf ein systembeschreibendes mathematisches Modell verzichtet werden. Gemäß der Erfindung wird also eine Trainingsdatenbasis zunächst im Phasenraum erstellt und an schließend nach der Time-delay-Technik nach Takens im rekon struierten Phasenraum abgebildet (Takens, F. Detecting strange attractors in turbulence. Dynamical Systems and Turbulence, 898, 1981).

Während der Phasenraum durch verschiedene Größen aufgespannt ist, die den Systemzustand kennzeichnen, ist der rekonstruierte Phasenraum die Darstellung von der Meßgröße X in Abhängigkeit von X_T, das ist der Wert der Meßgröße X zu einem um ein defi niertes Maß verschobenen Zeitpunkt. Die in der Meßphase ermit telte Meßgröße wird nun ebenfalls im rekonstruierten Phasenraum dargestellt. Da diese Darstellung die gesamte benötigte System dynamik enthält, kann nach Inter- bzw. Extrapolation im rekon struierten Phasenraum die gesuchte Systemgröße aus der Trai ningsdatenbasis bestimmt werden.

Bei einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung ist vor gesehen, daß die Inter- bzw. Extrapolation mittels aller näch sten trainierten Nachbardynamiken erfolgt. Dieses Verfahren ist mit einem relativ geringen Rechenaufwand verbunden und liefert zumindest für feste Systemparameter sehr gute Ergebnisse.

Eine andere Weiterbildung der Erfindung sieht vor, daß die trainierten Dynamiken über Zugehörigkeitsfunktionen in Bezug auf die gemessene Dynamik gewichtet werde, und daß die Inter- oder Extrapolationen mittels dieser gewichteten Dynamiken er folgen. Dabei werden gemäß der Methoden der Fuzzy-Logik den trainierten Dynamiken Werte zwischen 0 und 1 zugeordnet, die angeben, wie ähnlich eine gemessene Dynamik einem Trainings datensatz ist. Dadurch läßt sich die Schätzgenauigkeit und insbesondere Extrapolationsergebnisse deutlich verbessern. Diese Ausführungsform der Erfindung arbeitet auch bei einer weiten Parametervariation sehr genau.

Die Erfindung wird im folgenden anhand eines Anwendungsbei spiels näher dargestellt. Hierzu zeigt Fig. 1 Zustandsräume im Trainings- und Rekonstruktionsmodus, Fig. 2 einen Meßaufbau und Fig. 3 eine Darstellung von mit dem erfindungsgemäßen Verfahren bestimmten Werten und ihre Fehlerabweichung.

Ein dynamisches, insbesondere nichtlineares System bei defi niert durch die Gleichung.

= F_µ(X)

wobei X = (X₁, X₂₁ . . . ) den Systemzustand als Punkt im Phasen raum S repräsentiert (Fig. 1). Das Vektorfeld F ist dabei ab hängig von den Systemparametern µ. Die Lösung der oben genann ten Gleichung ergibt die Trajektorie.

Das Ausführungsbeispiel bezieht sich auf eine Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens auf die Ermittlung von Wellenbah nen rotierender Maschinen, wobei eine zweidimensionale Bewegung durch Messung nur einer einzigen Koordinate, beispielsweise der Horizontalbewegung, ermittelt wird.

In der Trainingsphase werden bei unterschiedlichen Para metereinstellungen die Koordinaten X₁ und X₂ gemessen und als Orbit im Phasenraum S dargestellt. Anschließend wird aus einer Meßgröße, in diesem Fall der Horizontalkoordinate X₁, eine Pha senraumrekonstruktion nach der Time-delay-Technik (Takens) abgeleitet.

Ein Punkt im rekonstruierten Phasenraum RT ergibt sich gemäß der Gleichung

z_T(t) = (₁(t),₁(t - T),₁(t - 2T), . . . ,₁(t - (m - 1)T) ∈ R_T = R ^m

mit m potentiellen Freiheitsgraden. Bei geeigneter Wahl von m und T ist die Abbildung zwischen tatsächlicher und rekonstru ierter Dynamik umkehrbar (Φ; Φ^-1).

Die Trainingsdatenbasis ergibt sich also durch Ablage der Or bits bei verschiedenen Parametereinstellungen im Phasenraum und der Darstellung dieser Orbits im rekonstruierten Phasenraum. Nach Abschluß der Trainingsphase wird nur noch die Meßgröße (Horizontalkoordinate X₁) gemessen und die Systemgröße (Ver tikalkoordinate X₂) wird mit Hilfe der Meßgröße und der Trai ningsdatenbasis vorausgesagt.

Hierzu wird mit den Meßgrößen eine Phasenraumrekonstruktion Z_r in den rekonstruierten Phasenraum R_R durchgeführt. Anschließend werden die nächsten Nachbarn von Z_r im trainierten rekonstru ierten Phasenraum R_T gesucht und man erhält die Übertragungs funktion ψ vom rekonstruierten Phasenraum R_R zum trainierten rekonstruierten Phasenraum R_T. Weil die genannten Nachbarn Bestandteile der Trainingsdatenbasis sind, sind auch die zu gehörigen Werte der zu ermittelnden Systemgröße X₂ bekannt.

Um die nicht gemessene Systemgröße möglichst genau bestimmen zu können, wird jedem Trainingsorbit ein Maß zwischen 0 und 1 zugeordnet, welches die Ähnlichkeit des gemessenen Orbit (2) bezüglich des betreffenden Trainingsorbits angibt. Hierfür werden Zugehörigkeitsfunktionen gemäß der Fuzzy-Logik verwendet und bei der Interpolation berücksichtigt.

Die Fig. 2 zeigt ein Anwendungsbeispiel anhand eines Meßaufbaus zur Wellenbahnbestimmung. Hierbei wird an einer durch einen Motor M angetriebenen Welle W in der Trainingsphase sowohl die vertikale, als auch die horizontale Koordinate aufgenommen. Dabei werden wie in nachstehender Tabelle angegeben 6 Trai ningsdatensätze angelegt.

Tabelle 1

Datensätze der Trainingsdatenbasis

Die Trainingsdatensätze enthalten 1024 Datenpunkte und wurde mit einer Abtastfrequenz von 2500 Hz bei den aufgeführten ver schiedenen Motordrehzahlen aufgenommen. Anschließend wurde aus der X₁-Koordinate eine Phasenraumrekonstruktion mit m = 3 vor genommen. In der eigentlichen Meßphase wird die Welle mit einer Drehzahl von 1480 U angetrieben und es wird die Koordinate X₂ aus der Koordinate X₁ rückgewonnen. Als Einbettungszeit wurde jeweils der in der Tabelle 1 angegebene Wert gewählt. Pro Trai ningsdatensatz wurde nur ein nächster Nachbar berücksichtigt. Die wichtenden Zugehörigkeitsfunktionen zur gemessenen Dynamik sind in nachstehender Tabelle angegeben.

Tabelle 2

Zugehörigkeit der Messung zu den Trainingsdatensätzen aus der Daten basis

Der Trainingsdatensatz mit der höchsten Zugehörigkeit ist ver ständlicherweise der Datensatz Nr. 3 (Drehzahl 1600 U/min).

In Fig. 3 ist die gemessene Vertikalkoordinate X₂ (Kurve 10) über der rückgewonnenen vertikalen Koordinate X₂ (Kurve 11), die durch die gemessene horizontale Koordinate X₁ ermittelt wurde, dargestellt. Als Schwingung mit der sehr kleinen Ampli tude (12) erkennt man den Fehler zwischen der gemessenen und der rückgewonnen Koordinate.

Es sei abschließend darauf hingewiesen, daß die Erfindung in keiner Weise auf das oben geschilderte Ausführungsbeispiel der Maschinenüberwachung eingeschränkt ist, sondern daß mit dem erfindungsgemäßen Verfahren auch ganz andere physikalische Grö ßen auf anderen technischen Anwendungsgebieten bestimmt werden können. So wäre dies beispielsweise bei der Motorenprüfung die Bestimmung von Drehmomenten, Drücken, Ölviskositäten und so weiter aus einer anderen zu messenden Größe. Ein anderes Anwen dungsbeispiel ist die Bestimmung der Zusammensetzung und des Mischungsverhältnisses unterschiedlicher Materialien in einem Mischer durch Messung von beispielsweise Schwingungen oder Stromaufnahme des Antriebsmotores. Generell wird die Hauptan wendung der Erfindung in Diagnoseeinrichtungen sein, bei wel chen die intressierenden Systemgrößen nicht mit vertretbarem Aufwand direkt ermittelt werden können.

Claims

1. Verfahren zur Gewinnung des Wertes mindestens einer nicht gemessenen Systemgröße eines dynamischen, insbesondere nichtlinearen Systems, mittels mindestens einer Meßgröße, wobei in einer Trainingsphase bei einer geeigneten Anzahl von Betriebszuständen unterschiedlicher Systemdynamik die Meßgröße und die Systemgröße gemessen und im Phasenraum zugeordnet werden, in einem weiteren Schritt eine rekon struierte Dynamik aus der Meßgröße nach dem Takens-Verfah ren im rekonstruierten Phasenraum gebildet wird, wobei in der Meßphase lediglich die Meßgröße ermittelt wird, diese zunächst im rekonstruierten Phasenraum dargestellt wird und im nächsten Verfahrens schritt eine Inter- oder Extrapola tion im rekonstruierten Phasenraum mittels der trainierten Dynamiken erfolgt, und wobei mittels dieser inter- oder extrapolierten Dynamik der Wert der zu schätzenden System größe aus dem Phasenraum rückgewonnen wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Inter- oder Extrapolation mittels aller nächsten trainier ten Nachbardynamiken im rekonstruierten Phasenraum erfolgt.

3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die trainierten Dynamiken über Zugehörigkeitsfunktionen zur gemessenen Dynamik gewichtet werden, und daß die Inter- oder Extrapolationen mittels dieser gewichteten Dynamiken erfolgt.