DE19523252A1

DE19523252A1 - Teaching blocks on binomial basis

Info

Publication number: DE19523252A1
Application number: DE19523252A
Authority: DE
Inventors: Rolf Schaefer
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1994-07-13
Filing date: 1995-06-27
Publication date: 1996-06-27

Abstract

The prisms can be described by (a3-u) and (b3-v). (a = m.L) and (b = n.L), taking (n) and (m) as whole numbers in excess of U and (u + v) = 3 where (u) is greater than (I) and less than (v). Each of the three edge dimensions of the prism amount to (k)-times a whole number multiple of a, taking k as between O and k and m and n factors having the value (1). Thus when (m) or (n) equal (1), the second edge dimension becomes 2.L. The prisms are the product of the relationship (a + b)3 such that the maximum edge length remains below (4L). Where (m + n = 7) the members (a2), (3.a2b), (3.ab2) and (b3) obtain for edge lengths (a = 1.L-b = 6.L0), (a = 2.L-b = 5.L) and (a = 3.L-b = 4.L). The single parts of each combination can be built into a cube of edge length 7.L.

Description

Die Erfindung betrifft einen pädagogisch-mathematischen Bauka sten zur Verwendung bei Unterricht und Erziehung insbesondere in Verbindung mit dem Binomschen Lehrsatz.The invention relates to an educational-mathematical Bauka Most for use in teaching and education in particular in connection with the binomial theorem.

Zur Verwendung zu Lehrzwecken verwendbare Baukästen sind an sich bekannt. Für den Mathematikunterricht fehlen sie jedoch oder erfüllen, soweit vorhanden, nur unvollkommen ihren Zweck. Dies betrifft insbesondere den bei vielen Schülern vornehmlich der unteren Klassen auf Verständnisschwierigkeiten stoßenden Binomschen Lehrsatz.Modules that can be used for teaching purposes are on known. However, they are missing for math lessons or, if available, only incompletely fulfill their purpose. This applies especially to that of many students of the lower classes encounter difficulties in understanding Binomial theorem.

Daher stellt sich die Aufgabe, ein insbesondere zur Erleich terung des Umgangs mit dem Binomschen Lehrsatz beitragendes Hilfsmittel zur Verfügung zu stellen. Die Aufgabe wird durch einen Pädagogisch-mathematischen Baukasten zur Verwendung bei Unterricht und Erziehung insbesondere in Verbindung mit dem Bi nomschen Lehrsatz gelöst, bei dem die Bauklötze Prismen sind, deren Begrenzungsflächen durch Rechtecke oder/und Quadrate gebildet sind, wobei die Prismenkanten Längen aufweisen, die das ganzzahlige Vielfache eines Grundmaßes l sind und daß die Prismen durch eine erste Beziehung a^3-u · b^3-v beschrieben sind. Hierbei ist a = m · L und b = n · L, die Faktoren m und n sind jeweils ganze Zahlen < 0, während bei der Bedingung u 0 v die Summe der Zahlen u und v den Wert 3 ergibt. Die drei Kan ten eines Prismas können beispielsweise auch Abmessungen haben, welche jeweils ein k-faches ganzzahliges Vielfaches von a sind, wobei k ein Wert zwischen 0 und k ist und die Faktoren m und n jeweils den Wert "1" haben (zur Vermeidung von Ver wechslungen zwischen l und 1 ist das Grundmaß mit "L" bezeich net).Therefore, the task arises of making available an aid, in particular to facilitate the handling of the Binomian theorem. The task is solved by a pedagogical-mathematical construction kit for use in teaching and education, in particular in connection with the nom nom theorem, in which the building blocks are prisms, the boundary surfaces of which are formed by rectangles and / or squares, the prism edges having lengths that are the integer multiples of a basic dimension l and that the prisms are described by a first relationship a ^3-u · b ^3-v . Here, a = m · L and b = n · L, the factors m and n are each integers <0, while with the condition u 0 v the sum of the numbers u and v gives the value 3. The three edges of a prism can, for example, also have dimensions which are each a k-fold integer multiple of a, where k is a value between 0 and k and the factors m and n each have the value "1" (to avoid Confusion between l and 1 is the basic dimension with "L".

Mit den vorhergehend angegebenen Beziehungen lassen sich bei spielsweise durch rechte Winkel begrenzte Raumformen wie a³; a²b; ab²; b³; a² · (a + b); a · (a + b)²; a² · 2b; a · (2b)²; usf. be schreiben.With the relationships given above, at for example space shapes limited by right angles such as a³; a²b; ab²; b³; a² · (a + b); a · (a + b) ²; a² · 2b; a · (2b) ²; etc. be write.

Eine bevorzugte Ausführung des neuerungsgemäßen Baukastens enthält nur Prismen, die dem Ergebnis der BeziehungA preferred embodiment of the modular system according to the innovation contains only prisms that are the result of the relationship

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

entsprechen. Hat dabei einer der Faktoren m und n der weiter oben angegebenen ersten Beziehung zur Bestimmung von a und b den Wert 1, so hat bei einer bevorzugten Weiterbildung das zweite Kantenmaß mindestens den Wert 2 · L.correspond. Has one of the factors m and n further First relationship given above for determining a and b has the value 1, in a preferred further development this has second edge dimension at least 2 · L.

Bei der Ausführung der Baukästen hat sich gezeigt, daß beim Überschreiten einer maximale Kantenlänge der Bauklötze < 6 · L, welches mindestens dem Wert a + b = 7 · L entspricht, eine Ver besserung der pädagogischen Wirkung nicht mehr beobachtet werden kann, wobei vorteilhaft das Maß L nicht kleiner als 10 mm, besser nicht kleiner als 15 bis 20 mm gewählt werden soll te; als griffgünstig haben sich - abhängig vom Alter der Kin der bzw. Schüler - Mindestabmessungen zwischen ca. 20 mm und ca. 35-40 mm gezeigt.In the execution of the kits has been shown that the Exceeding a maximum edge length of the building blocks <6 · L, which corresponds at least to the value a + b = 7 · L, a ver improvement in pedagogical impact was no longer observed can be, with the dimension L advantageously not less than 10th mm, better not less than 15 to 20 mm should be selected te; have been found within easy reach - depending on the age of the children the pupil - minimum dimensions between approx. 20 mm and approx. 35-40 mm shown.

Auch um die Anzahl der jeweils möglichen Variationsformen in überschaubaren Grenzen zu halten, sollten die vorhergehend genannten Faktoren m und n jeweils in Grenzen 6 liegen, wobei gelten soll, daß entsprechend die Summe (m + n) 7 ist. In allen Fällen gilt, daß alle Kantenmaße ganzzahlige Viel fache von L sind.Also about the number of possible variations in To keep manageable limits, the previous ones should mentioned factors m and n are each within limits 6, whereby it should apply that the sum (m + n) is 7 accordingly. In all cases it applies that all edge dimensions are whole numbers times L are.

Der erfindungsgemäße Baukasten ist in einer besonders bevor zugten Ausführung derart aufgebaut, daß, beispielsweise bei m + n = 7, mindestens die Glieder a³, 3 · a²b, 3 · ab², b³ der Auf lösungen für die KantenlängenThe kit according to the invention is in a particularly before drafted design constructed such that, for example m + n = 7, at least the terms a³, 3 · a²b, 3 · ab², b³ the up solutions for edge lengths

a = 1 · L    b = 6 · L
a = 2 · L    b = 5 · L
a = 3 · L    b = 4 · La = 1 · L b = 6 · L
a = 2 · L b = 5 · L
a = 3 · L b = 4 · L

vorhanden sind, wobei der Baukasten erfindungsgemäß im Prinzip erst als vollständig anzusehen ist, wenn auch die weiteren Werte bis a = 6 · L und b = 1 · L vorliegen. Mit ihm läßt sich demonstrieren, daß sich bei allen jeweils zusammengehörenden Werten für a und b aus den zugehörigen Bauklötzen der gleiche Würfel mit der Kantenlänge 7 · L zusammensetzen läßt.are present, the kit according to the invention in principle is only to be regarded as complete, even if the others Values up to a = 6 · L and b = 1 · L are available. With him you can demonstrate that all belong together Values for a and b from the corresponding building blocks the same Let cubes with the edge length 7 · L put together.

Bezüglich der Ausgestaltung der Baukastenteile hat es sich als hilfreich erwiesen, auf den Außenflächen jedes Bauklotzes den Aufbau aus dem Grundmaß L durch Striche oder Kerben zu markie ren. Dabei kann bevorzugt ein dem Grundmaß L entsprechendes Raster in Form von präzisen flachen Kerben in alle Oberflächen der Klötze eingearbeitet werden. Statt dessen oder auch zu sätzlich kann es vorteilhaft sein, die unterschiedlichen Ab messungen der Bauklötze durch jeweils zugeordnete Farben zu kennzeichnen.With regard to the design of the modular parts, it has proven to be proved to be helpful on the outer surfaces of each block Build up from the basic dimension L by lines or notches to markie Ren. Preferably, a corresponding to the basic dimension L Grid in the form of precise flat notches in all surfaces the blocks are incorporated. Instead of it or too In addition, it can be advantageous to use the different Ab measurements of the building blocks by assigned colors mark.

Als Werkstoff wird für die Bauklötze bevorzugt Holz, insbeson dere Hartholz verwandt.Wood is the preferred material for the building blocks, in particular hardwood related.

Es ist hier allerdings darauf zu verweisen, daß die vorherge hend und auch im weiteren aufgezeigten Bauklotzformen in Form von Ausschneidebogen oder - besonders bevorzugt - von Karton bogen ausgeführt werden können, in denen die jeweiligen Abwick lungen der einzelnen Körper derart in das Material eingeprägt sind, daß vorzugsweise die gesamte Abwicklung aus dem Bogen herausgebrochen werden kann. Dabei sind die Ränder zweckmäßig in an sich bekannter Weise mit Montage- oder Klebestreifen versehen. Auch bei dieser Form der Bauklotzmodelle kann es zweckmäßig sein, die weiter oben beschriebene Markierung des Grundmaßes L - zweckmäßig durch das Einprägen entsprechender Rillen - ebenfalls vorzusehen.However, it should be pointed out here that the previous hend and also in the further shown block shapes in shape of cutting sheets or - particularly preferred - of cardboard can be executed in which the respective settlement lungs of the individual bodies so imprinted in the material are that preferably the entire settlement from the sheet can be broken out. The edges are useful in a manner known per se with assembly or adhesive strips Mistake. With this form of the block model it can be useful, the marking of the described above Basic dimension L - appropriate by stamping the corresponding one Grooves - also to be provided.

Als praxisfreundlich hat sich zwar auch die Unterbringung der einem - beispielsweise dem vorhergehend beschriebenen ent sprechenden - Sortiment zugehörigen Bauklötze in einem zu ihrer geordneten Aufnahme mit entsprechender Einteilung ver sehenen Koffer erwiesen, dies ist jedoch mit ziemlichem Auf wand verbundenen, weshalb in der Regel darauf verzichtet wird. Insgesamt hat sich bewährt, daß jedem Sortiment mindestens ein Grundrißplan zur Einordnung der unterschiedlichen Bauklotzfor men beigegeben ist.The accommodation of the one - for example the previously described ent speaking - assortment associated building blocks in one their orderly inclusion with appropriate classification seen case, but this is with quite an open wall connected, which is why it is usually dispensed with. Overall, it has been proven that each assortment has at least one Floor plan for the classification of the different blocks men is added.

Anhand der in der beigegebenen Zeichnung dargestellten Ausfüh rungsformen der Erfindung wird diese erläutert.Based on the design shown in the attached drawing tion forms of the invention, this will be explained.

Es zeigt:It shows:

Fig. 1 unterschiedlich kombinierte Bauklotzformen mit den Werten für den Faktor m = 0 oder 1 und den Werten 0, 1 oder 2 für n; Fig. 1 different Bauklotzformen combined with the values for the factor m = 0 or 1, and the values 0, 1 or 2 for n;

Fig. 2 eine in der jeweiligen Anzahl unvollständige Aufrei hung der Bauklotzformen mit dem Wert n = 0, 2, 3 und 4 bei einem Wert m = 0 oder 1; Figure 2 is an incomplete in the respective number of blocks of the block shapes with the value n = 0, 2, 3 and 4 at a value m = 0 or 1;

Fig. 3 in Explosionsdarstellung die Klötze für a = 2 · L und b = 3 · L; Figure 3 is an exploded view of the blocks for a = 2 · L and b = 3 · L.

Fig. 4A den aus den einzelnen Elementen der Fig. 3 zusammen gesetzten Kubus in nach links gedrehter Ansicht; FIG. 4A is the 3 composite cube of the individual elements of FIG leftward rotated view.

Fig. 4B den aus den einzelnen Elementen der Fig. 3 zusammen gesetzten Kubus in nach rechts gedrehter Ansicht; FIG. 4B from the individual elements of figure 3 in the assembled cube to the right rotated view.

Fig. 5 wie Fig. 3, jedoch für a = 1 · L und b = 4 · L; Fig. 5 is as Figure 3 but for a = 1 · L and b = 4 · L.

Fig. 6A wie Fig. 4A, jedoch Zusammensetzung zu Fig. 5; FIG. 6A like FIG. 4A, but with the composition of FIG. 5;

Fig. 6B wie Fig. 4B, jedoch Zusammensetzung zu Fig. 5; FIG. 6B like FIG. 4B, but with the composition of FIG. 5;

Fig. 7 bis Fig. 10 Muster zu einer bevorzugten Ausführungsform des er findungsgemäßen Baukastens beigegebenen Informati onstafeln. Fig. 7 to Fig. 10 patterns on a preferred embodiment of the inventive he included information boards.

Die Fig. 1 zeigt eine Reihe unterschiedlicher, erfindungsgemäß gestalteter Bausteine (Baustein 12 ist gestrichen, da er irr tümlich aufgenommen wurde, jedoch nicht in die Reihe paßt). Sie sind eine willkürliche Auswahl und stellen der Reihe nach die Entsprechungen für die Werte a², 3 · a²b, 3 · ab², b³ für a = L und b = 2L, weiter 3 · a²b, ab², für a = L und b = 3L sowie a²b und ab² für a = 2L und b = 3L dar. Fig. 1 shows a series of different, according to the invention designed blocks (block 12 is deleted as it was added irr neously, however, does not fit in the series). They are an arbitrary selection and, in turn, represent the correspondences for the values a², 3 · a²b, 3 · ab², b³ for a = L and b = 2L, further 3 · a²b, ab², for a = L and b = 3L as well as a²b and ab² for a = 2L and b = 3L.

Die Fig. 2 zeigt eine Auswahl an Bausteinen, bei denen a in allen Fällen = L ist, während b die Maße 2L, 3L und 4L an nimmt. Auch diese Aufstellung zeigt - bezogen auf die bevor zugte Zusammenstellung eines Baukastens - als vollständige Reihe nur die den Ausdrücken a³, 3 · a²b, 3 · ab², b³ für a = L und b = 2L entsprechenden Bausteine. Fig. 2 shows a selection of building blocks in which a is = L in all cases, while b takes the dimensions 2L, 3L and 4L. This list also shows - based on the preferred assembly of a modular system - as a complete series only the building blocks corresponding to the expressions a³, 3 · a²b, 3 · ab², b³ for a = L and b = 2L.

Die Fig. 3 bis 6 schließlich zeigen zwei vollständige Bau steinsätze für eine Ausführung mit m + n = 5, wobei in der Ausführung nach Fig. 3 der Wert a = 2L und b = 3L, in der Ausführung nach Fig. 5 der Wert a = L und b = 4L ist. Der Aufbau der Bausteine entspricht jeweils den vorhergehend an gegebenen Gliedern der darzustellenden Beziehung, ihre jewei lige Anordnung wiederholt sich in den in den Fig. 4A und 4B sowie den Fig. 6A und 6B gezeigten zusammengesetzten Kuben; um diese Zusammensetzung deutlich zu machen, sind beide Kuben jeweils nach links und nach rechts gedreht dargestellt. FIGS. 3 to 6, finally, show two complete building stone sets for an embodiment with m + n = 5, wherein in the embodiment according to Fig. 3, the value a = 2L and b = 3L, in the embodiment of FIG., The value 5 a = L and b = 4L. The structure of the blocks corresponds in each case to the previously given members of the relationship to be represented, their respective arrangement is repeated in the composite cubes shown in FIGS . 4A and 4B and FIGS. 6A and 6B; To make this composition clear, both cubes are shown turned to the left and to the right.

Bei allen in den Fig. 1 bis 6 dargestellten Bausteinen ist ihr Aufbau aus dem Grundmaß L deutlich markiert.In all of the components shown in FIGS. 1 to 6, their construction from the basic dimension L is clearly marked.

Die Fig. 7 bis 10 zeigen jeweils erläuternde Grundrißpläne in der Form, wie sie den Baukästen beigegeben werden. Im Hin blick auf die aufgedruckten Erläuterungen erscheinen weitere Hinweise überflüssig. FIGS. 7 to 10 respectively show explanatory floor plans in the form in which they are added to the kits. With regard to the printed explanations, further information appears to be superfluous.

Claims

1. Pedagogical-mathematical construction kit for use in teaching and education, in particular in connection with the Binomian theorem, characterized in that
that the building blocks are prisms, the boundary surfaces of which are formed by rectangles and / or squares, the prism edges having lengths which are the integer multiple of a basic dimension L and
that the prisms are described by a ^3-u · b ^3-v , wherein
a = mL and b = nL with m and n as integers <0 and (u + v) = 3 at u 0 v.

2. Kit according to claim 1, characterized in that the three edges of a prism have dimensions, which are each a k-fold integer multiple of a, where k is a value between 0 and k and the factors m and n each have the value "1".

3. Kit according to claim 1, characterized in that with m or n = 1 the second edge dimension at least the Value 2 · L.

4. Kit according to claim 3, characterized in that the prisms of a modular system the result of the relationship (a + b) ³, with the largest channel occurring length does not exceed 4L.

5. Kit according to claim 4, characterized in that the greatest edge length is 6L.

6. Kit according to one of claims 1 to 5, characterized in that at m + n = 7 the links
a³, 3 · a²b, 3 · ab², b³
at least for the edge lengths
a = 1 * Lb = 6 * L;
a = 2 * Lb = 5 * L;
a = 3Lb = 4L
are available and the individual parts of each of the combinations can be assembled into a cube with an edge length of 7 · L.

7. Kit according to one of the preceding claims, characterized in that the dimension L is not less than 10 mm, better not is less than 15 to 20 mm.

8. Construction kit according to one of the preceding claims, characterized in that as a material for wooden building blocks, especially hard wood, serves.

9. Kit according to one of the preceding claims, characterized in that on the outer surfaces of each block, the structure from the Basic dimension L is marked by lines or notches.

10. Construction kit according to one of the preceding claims, characterized in that the different dimensions of the building blocks assigned colors are marked.

11. Construction kit according to claim 9, characterized in that a grid corresponding to the basic dimension L as precise Flat notches are made in all surfaces of the blocks is being processed.

12. Kit according to one of the preceding claims, characterized in that the building blocks in one with their orderly inclusion appropriate classification provided solid container are classified.

13. Construction kit according to claim 11, characterized in that Each assortment has at least one floor plan for classification added the different block shapes is.