DE10247714B4 - Verfahren zur Filterung von Meßwerten - Google Patents

Abstract

Verfahren zur Tiefpaßfilterung von Meßpunkten (pi) eines Meßgerätes durch Einpassen eines beliebigen Splines in eine durch die Meßpunkte definierte unbekannte Raumkurve derart, daß Abweichungen mit Wellenlängen kleiner als eine vorgegebene Grenzwellenlänge (λc) durch Approximation der Meßpunkte (pi) durch den Spline unterdrückt werden, dadurch gekennzeichnet, daß die Meßpunkte (pi) durch Einpassen eines Splines (sn) beliebiger Ordnung (m) approximiert werden, wobei dieser Spline durch seine Weglänge (s) parametrisiert ist.

Description

• Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Tiefpaßfilterung von Meßpunkten eines Meßgerätes durch Einpassen eines beliebigen Splines derart, daß Abweichungen mit Wellenlängen kleiner als eine vorgegebene Grenzwellenlänge durch Approximation der Messpunkte durch den Spline unterdrückt werden. Die Erfindung betrifft ferner ein entsprechendes Meßgerät, mit dem ein solches Verfahren durchgeführt werden kann.
• Ein solches Verfahren ist beispielsweise aus dem Artikel ”Form filtering by splines” von Dr. Michael Krystek, erschienen im Jahre 1996 in der Zeitschrift ”Measurement”, Vol. 18, No. 1, Seiten 9–15 beschrieben. Die Besonderheit des hierin beschriebenen Verfahrens ist hierbei darin zu sehen, daß ein Spline dritter Ordnung (auch als kubischer Spline bezeichnet) in die Meßpunkte eingepaßt wird, indem unter anderem das Integral über das Quadrat der zweiten Ableitung des Splines minimiert wird. Die Minimierung geschieht hierbei derart, daß die Durchbiegung des Splines vernachlässigt wird.
• Das beschriebene Verfahren weist hierbei die Besonderheit auf, daß nur Meßpunkte approximiert werden können, die in einer Ebene liegen. Die in die Meßpunkte einzupassende Kurve ist hierbei durch die Abszisse parametrisiert, so daß keine Meßpunkte zulässig sind, die singuläre Punkte, wie z. B. Umkehrpunkte oder Selbstüberschneidungen in der Kurve erzeugen. Außerdem ist die Trennschärfe des Filters nur begrenzt.
• Aus dem Artikel „Anwendung von Filtern bei der Auswertung gemessener Oberflächenprofile” von Michael Hernla, erschienen im Jahre 2000 in der Zeitschrift Technisches Messen 67 (2000) 3, Oldenbourg Verlag ist ebenfalls ein Verfahren beschrieben, bei dem kubische Splines, also Splines dritter Ordnung in die Messwerte eingepasst werden.
• Damit weist das hierin beschriebene Verfahren genau dieselben Besonderheiten auf, wie der vorangegangene Artikel von Herr Dr. Krystek. Es können hiermit ebenfalls nur Meßpunkte approximiert werden, die in einer Ebene liegen. Die in die Meßpunkte einzupassende Kurve ist hierbei ebenfalls durch die Abszisse parametrisiert, so daß keine Meßpunkte zulässig sind, die singuläre Punkte, wie z. B. Umkehrpunkte oder Selbstüberschneidungen in der Kurve erzeugen. Außerdem ist die Trennschärfe des Filters nur begrenzt.
• Aufgabe ist es hiervon ausgehend ein Verfahren oben genannter Art, sowie ein entsprechendes Meßgerät vorzuschlagen, mit dem sich Meßpunkte verbessert tiefpaßfiltern lassen, die nominal auf einer beliebigen unbekannten Kurve liegen.
• Die Aufgabe wird gemäß den Merkmalen der unabhängigen Ansprüche 1 und 12 gelöst.
• Die Besonderheit des lösungsgemäßen Verfahrens ist hierbei darin zu sehen, daß ein durch seine Weglänge parametrisierter Spline beliebiger Ordnung in die Meßpunkte eingepaßt wird.
• Durch die Parametriesierung des eingepaßten Splines nach der Weglänge kann die durch die Meßpunkte definierte Kurve nunmehr beliebig im Raum liegen und ist nicht mehr auf die Ebene beschränkt. Insbesondere kann die Kurve auch singuläre Punkte, wie Umkehrpunkte und Überschneidungen aufweisen. Durch die Tatsache, daß der Spline beliebiger Ordnung sein kann, kann außerdem durch Wahl einer höheren Ordnung des Splines die Trennschäfe verbessert werden, wenn dies gewünscht ist.
• In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird man zum Einpassen des Splines das Integral oder dessen diskrete Variante über das Quadrat der Krümmung des Splines oder das Quadrat der verallgemeinerten Krümmung des Splines minimieren, ohne die Durchbiegung zu vernachlässigen. Hierdurch wird es möglich nicht äquidistante Abstände der Meßpunkte zueinander im Raum zuzulassen. Außerdem wird durch das Anwenden des physikalischen Prinzips der Biegung eine glattere eingepaßte Kurve erzielt.
• Vorteilhaft wird man hierbei insbesondere das Funktional

  

  durch Wahl der r _i minimieren, wobei

  

  und wobei

s_i

= Wegparameter des i-ten Meßpunktes

p_i

= Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten Meßpunktes sind

r_i

= Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten gefilterten Meßpunktes sind

w_i

= Gewichtsfaktor des i-ten Meßpunktes

m

= Ordnung des Splines

ħ

= Mittelwert aller Abstände zwischen den Meßpunkten

λ_c

= die besagte Grenzwellenlänge

H(λ)

= die Übertragungsfunktion des Filters

und wobei f(w_i, p_i, r_i) eine beliebige Funktion seiner Argumente ist.
• Die Funktion f(w_i, p_i, r_i) kann hierbei völlig unterschiedlich gewählt werden, wobei sich durch entsprechende Wahl der Funktion die Empfindlichkeit gegen Ausreißer verändern läßt. Beispielsweise kann die Funktion f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i|² gewählt werden, wenn der Ansatz der kleinsten Fehlerquadrate nach Gauß gewählt werden soll. Alternativ kann die Funktion f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i| gewählt werden, wenn der Ansatz nach Tschebyschew gewählt werden soll.
• Natürlich kann der Gewichtsfaktor w_i für jeden Meßpunkt wie folgt gewählt sein: w_i = 1, so daß also keine Gewichtung stattfindet. Für diesen Fall gilt für den Ansatz nach Gauß f(w_i, p_i, r_i) = |p_i – r_i|², für den Ansatz nach Tschebyschew f(w_i, p_i, r_i) = |p_i – r_i|. Vorteilhaft kann man die Anpassung der Kurve an die Meßpunkte durch Wahl des Gewichtsfaktors w_i jedoch individuell beeinflussen.
• Die Übertragungseigenschaften des Filters lassen sich durch die Wahl der Grenzwellenlänge λ_c charakterisieren.
• Für den Spline lassen sich beliebige Randbedingungen festlegen. Insbesondere kann als Randbedingung festgelegt werden, daß der Spline eine geschlossene Kurve ist.
• Eine Raumkurve, deren Komponenten vom Grad m – 1 sind, wird durch das Filterverfahren mit der Ordnung m unverändert übertragen.
• Die Trennschäfe wird über die Ordnung m beeinflußt, wobei mit wachsendem m die Trennschärfe zunimmt.
• Die unbekannte Kurve, auf der die Meßpunkte liegen können, kann auch auf einer beliebigen Fläche im Raum liegen, wie insbesondere auf einer Ebene, einer Kugel oder einem Zylinder.
• Durch eine Vektorsubtraktion der gefilterten Punkte von den Meßpunkten kann eine Hochpaßfilterung durchgeführt werden.
• Weitere Vorteile und Weiterbildungen der Erfindung können dem Ausführungsbeispiel das im folgenden im Zusammenhang mit den Figuren beschrieben ist, entnommen werden. Hierin zeigen:
• 1: Ein Koordinatenmeßgerät vom Portaltyp, mit dem ein Werkstück (7) vermessen werden kann;
• 2: schematische Darstellung eines in erfindungsgemäßer Weise eingepaßten Splines, mit dem die Meßpunkte in erfindungsgemäßer Weise gefiltert werden.
• 3: schematische Darstellung der Biegelinie eines elastischen Stabes;
• 4: schematische Darstellung der Elongation einer gespannten Saite
• 1 zeigt rein beispielhaft ein Koordinatenmeßgerät vom sogenannten Portaltyp, mit dem ein Werkstück (7) vermessen werden kann. Das Koordinatenmeßgerät weist einen Meßtisch (1) auf, auf dem ein Portal (2) in Richtung des Pfeiles (y) beweglich gelagert ist.
• In Richtung der den Meßtisch (1) überspannenden Traverse des Portales (2) ist ein Schlitten (3) in Richtung des Pfeiles (x) beweglich gelagert, wobei der Schlitten wiederum in Richtung des Pfeiles (z) eine Pinole (4) beweglich lagert. Am unteren Ende der Pinole (4) ist ein sogenannter messender Testkopf (5) befestigt, an dem wiederum auswechselbar ein Taststift (6) befestigt werden kann. Der Taststift (6) kann in den drei Koordinatenrichtungen (x, y, z) gegenüber dem Tastkopf (5) ausgelenkt werden, wobei die Auslenkung über entsprechende Sensoren im Inneren des Tastkopfes (5) gemessen wird. Außerdem werden über die Maßstäbe (8a, 8b, 8c) die Stellungen des Portals (2), des Schlittens (3) und der Pinole (4) in den betreffenden Koordinatenrichtungen (x, y, z) erfaßt. Zur Vermessung des Werkstückes (7) wird der Taststift (6) mit dem Werkstück (7) in Anlage gebracht und kontinuierlich entlang seiner Kontur abgefahren, wobei die Auslenkung des Taststiftes (6) gegenüber dem Tastkopf (5) entsprechend mit den Maßstabswerten der Maßstäbe (8a–8c) verrechnet wird und hieraus Meßwerte erzeugt werden. Die Steuerung der Antriebe und die Auswertung der Meßwerte erfolgt in einer Steuer- und Auswerteeinheit (9), die hier als Meßrechner ausgeführt ist.
• Bei der Vermessung des Werkstückes (7) werden, wie dies 2 zeigt, Meßpunkte p_i = (x_i, y_i, z_i), wobei (i = 1...n) aufgezeichnet. Die hier rein schematisch gezeigten Meßpunkte sind von einer der Bohrungen des Werkstückes (7). Wie zu sehen, streuen die Meßpunkte relativ stark, so daß diese entsprechend gefiltert werden müssen. Die Filterung erfolgt durch Einpassen eines Splines (an) mit dem erfindungsgemäßen Verfahren.
• Das Vorgehen hierbei werden wir im folgenden erläutern. Dazu sei zunächst etwas zu Raumkurven zu sagen. Der Ortsvektor (r(s)) zu einem beliebigen Punkt auf einer Raumkurve kann allgemein wie folgt dargestellt werden:

  
• Hierbei bezeichnet der Parameter (s) die Weglänge entlang der Raumkurve und die Funktionen (x(s), y(s), z(s)) bezeichnen den x-Wert, den y-Wert und den z-Wert des Vektors an dem Punkt auf der Raumkurve, der durch die Weglänge (s) definiert ist. Für ein differentielles Wegelement (ds) auf der Raumkurve gilt gemäß dem Satz von Pythagoras:

  
• Wie man leicht zeigen kann gilt für derartige Raumkurven folgende Beziehung

  

  wobei (K(s)) die lokale Krümmung der Raumkurve (r(s)) für die Weglänge (s) ist, so daß man hierdurch eine Gleichung zur Berechnung zur lokalen Krümmung erhält.
• Nach der Abhandlung der Raumkurve soll nunmehr anhand zweier Modelle das Verhalten von Splines erläutert werden.
• Als erstes Modell von Splines kann für einen Spline zweiten Grades die Biegelinie von elastischen Stäben herangezogen werden, wie dies rein schematisch 3 zeigt. In 3 ist hierbei rein schematisch ein an seinem linken Ende eingespannter quaderförmiger elastischer Stab gezeigt, der an seinem rechten Ende durch Krafteinwirkung in vertikaler Richtung verbogen ist. Die strichlinierte Darstellung zeigt hierbei die ursprüngliche Position ohne Krafteinwirkung. Der elastische Stab weist eine Länge (a), eine Breite (b) und eine Höhe (c) auf. Das Koordinatensystem (x, y, z) ist genau in der Mitte des Stabes angeordnet. Für einen differentiellen Abstand (ds) auf der Biegelinie (b1) gilt allgemein ds = ρ(x)dα Gleichung 4 wobei (ρ(x)) den Krümmungsradius im Bereich des differentiellen Abstandes (ds) bei konstanter Krümmung der Biegelinie (b1) bezeichnet und wobei (dα) den differentiellen Winkel angibt. Man kann nunmehr zeigen, daß die Arbeit (W_B), die zur Verformung des elastischen Stabes gemäß 3 notwendig ist, sich wie folgt berechnen läßt:

  
• Hierin bedeuten:

E:

Der lineare Elastizitätsmodul des Balkens, der für den gesamten Balken als konstant angenommen werden darf.

I_x:

Axiales Flächenträgheitsmoment.

r(s):

Eine Raumkurve die hier in Form der Biegelinie (b1) ausgeführt ist.

s:

Den Weg entlang der Raumkurve r(s), also hier der Biegelinie (b1) des Biegestabes.

L:

Ist die Länge des Biegestabes und entspricht damit der Länge a.

• Da die Arbeit (W_B) zur Verformung des elastischen Stabes ein Minimum anstrebt, stellt sich die Biegelinie (r(s)) bei Verbiegung des elastischen Stabes gemäß 1 zwangsläufig so ein, daß das Integral gemäß Gleichung 5 minimal wird. Das Integral gemäß Gleichung 5 ist aber nichts anderes, als das Integral über das Quadrat der Krümmung des Splines (vgl. Gleichung 3)
• Ein anderes Modell, mit dem sich ein Spline ersten Grades beschreiben läßt, ist die Auslenkung einer gespannten Saite, wie 4 dies zeigt. Wie in 4 zu sehen, ist die Saite (st) an den Punkten (k) und (l) eingespannt, wobei die Saite an der Stelle (x_q) mit der Kraft (F_q) normal zur Längsrichtung der Saite, also in Richtung des Vektors (n) ausgelenkt wird. Nimmt man vereinfachend an, die Saite sei ein runder Stab von konstantem Querschnitt und vollkommen homogen und außerdem so dünn, daß sie einer Biegung keinen nennenswerten Widerstand entgegensetzt, so ergibt sich für die bei der Auslenkung der Saite entstehenden Energie (W_E) nachfolgende Beziehung:

  
• Hierin bezeichnet:

D:

Den Durchmesser der Saite.

σ:

Die Spannung der Saite.

L:

Länge der Saite.

r(s):

Die Raumkurve, die hier entlang der Elongationsline der Saite führt.

s:

Den Weg entlang der Raumkurve r(s), also hier entlang der Elongationsline der Saite.

• Da auch hier die zur Auslenkung der Saite notwendige Arbeit (W_E) ein Minimum annimmt, muß sich die Raumkurve (r(s)) entlang der Elongationslinie der Saite nunmehr derart einstellen, daß das Integral oben genannter Gleichung 6 ein Minimum annimmt.
• Verallgemeinert man oben genanntes Prinzip für einen Spline beliebiger Ordnung m, so kann also gesagt werden, daß die Raumkurve (r(s)) für einen Spline sich allgemein so einstellt, daß nachfolgendes Integral minimal wird:

  
• Es muß also das Integral des Quadrates der verallgemeinerten Krümmung des Splines minimimal werden. Der Begriff ”verallgemeinerte Krümmung” soll hierbei erläutert werden. Wählt man einen Spline dritten Grades, so ist m = 2 zu wählen, sodaß für einen solchen Spline tatsächlich das Integral des Quadrates der Krümmung des Splines minimal wird. Für alle Splines anderer Ordnung m ≠ 2 wird gemäß Gleichung 7 nur das Integral über das Quadrat einer verallgemeinerten Form der Krümmung minimal, was in dieser Beschreibung als ”verallgemeinerte Krümmung” definiert werden soll.
• Für einen Spline m-ten Grades gilt also verallgemeinert
• 
• Diese Bedingung, daß für einen best eingepaßten Spline m-ter Ordnung der Term gemäß Gleichung 8 minimal werden soll, kann neben dem standardmäßig in der Meßtechnik verwendeten Bestfit-Verfahren, wie beispielsweise dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate (Least-squares-Verfahren) oder dem Verfahren der kleinsten Fehler von Tschebyshew als Bedingung hinzugefügt werden. Für eine Anzahl von durch das Koordinatenmeßgerät gelieferten Meßpunkten p_i = (x_i, y_i, z_i) (i = 1...n), mit den Abkürzungen x_i = x(s_i), y_i = y(s_i) und z_i = (s_i), wobei (s_i) streng monoton steigend nach dem Parameter (s_i) geordnet ist, d. h. (s₁ < s₂ < ... < s_n-1 < s_n), so lassen sich die Werte (p _i) durch den folgenden Variationssatz parametrischer Ausgleichssplines (r(s)) vom Grad 2m – 1, wobei m > 0, für ein Funktional über die Kurvenlänge (L) zuordnen:

  
• Hierin bedeuten:

w_i:

Gewichte, die beispielsweise umgekehrt proportional zur Varianz der Meßwerte gewählt werden können.

q:

Ein Parameter, der die Güte der Approximation der Meßwerte durch die Splinefunktion beschreibt.

• Wie aus Gleichung 9 zu sehen ist, umfaßt diese zwei Terme. Der linke Term zeigt hierbei die Bedingung des Splines m-ter Ordnung gemäß Gleichung 8. Der rechte Term des Splines zeigt einen klassischen Ansatz gemäß einem Least-Squares-Verfahren nach Gauß, mit dem die Summe der Fehlerquadrate minimiert werden soll. Ein Fehler ist hierbei durch den Abstand eines Meßpunktes (p_i(si)) von dem Ausgleichsspline (r(s_i)) definiert, also |p_i – r(s_i)|. Der Term wurde nur gegenüber dem klassischen Term um Gewichte (w_i) und den Güteparameter (q) erweitert.
• Für einen optimal eingepaßten Ausgleichsspline (r(s)) muß die Funktion I[r(s)] minimal werden also: I[r(s)] = min Gleichung 10
• Bei der über das Variationsproblem in Gleichung 9 eingeführten Funktion (r(s)) handelt es sich um kontinuierliche parametrische Ausgleichssplines. Ersetzt man in Gleichung 9 im linken Term das Integral durch eine diskrete Summe und den Differentialquotienten durch einen Differenzenquotienten, so erhält man

  

  wobei der Differenzenquotient [s_i, ... s_i+m]r wie folgt definiert ist:

  

  und wobei ferner in Gleichung 12 bedeuten:

s_i

= Wegparameter des i-ten Meßpunktes (p_i)

r_i

= Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten gefilterten Meßpunktes sind

• Der rechte Term der Gleichung 11, der den Ansatz über das Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate repräsentiert, kann auch allgemeiner geschrieben werden. Es kann beispielsweise, wie bereits oben ausgeführt, anstelle des Ansatzes der kleinsten Fehlerquadrate genauso gut auch ein anderer Ansatz, wie beispielsweise das Verfahren der kleinsten Fehler nach Tschebyshew verwendet werden, so daß Gleichung 11 allgemeiner wie folgt beschrieben werden kann:

  
• Hierin bedeutet:

f(w_i, p_i, r_i):

Eine definierte Ausgleichsfunktion.

• Wie bereits oben ausgeführt muß zum Einpassen eines geeigneten Splines die Funktion J[r₁‚ ... r_n] minimal werden. Dies ist bekanntermaßen dann der Fall, wenn die Ableitung der Funktion zu null wird, so daß also:

  

  formuliert werden kann. Die entsprechende Gleichung, die hierdurch entsteht, kann dann nach den üblichen mathematischen Verfahren, wie beispielsweise Newton-Raphson oder ähnlichen Verfahren gelöst werden.
• Erfindungsgemäß erfolgt die Approximation also, indem durch die besagte Minimierung ein beliebiger, durch die Weglänge der Kurve parimetrisierter Spline beliebiger Ordnung eingepaßt wird.
• Durch die Diskretisierung des Integrals über das Quadrat der Krümmung des Splines oder über das Quadrat der verallgemeinerten Krümmung des Splines, wie dies in Gleichungen 11 und 12 dargestellt ist, ist es nunmehr sehr einfach möglich dieses Integral sehr genau zu berechnen, ohne die Durchbiegung des Splines vernachlässigen zu müssen, wie dies in der Vergangenheit immer notwendig war.
• Außerdem muß der Abstand zwischen den Einzelnen Meßpunkten im Raum nunmehr nicht mehr äquidistant sein, sondern kann vielmehr auch variieren.
• Abweichungen mit Wellenlängen kleiner als eine vorgegebenen Grenzwellenlänge werden hierbei unterdrückt, indem die Einpassung des Splines derart erfolgt, daß der Parameter q wie folgt gewählt wird:

  

  wobei die Parameter folgendes bezeichnen:

ħ:

Mittelwert aller Abstände zwischen den Meßpunkten

λ_c:

Die Grenzwellenlänge.

β:

Ein Parameter, der sich wie folgt berechnet:


und wobei in Gleichung 16 bedeutet:

H(λ):

Die Übertragungsfunktion des Filters

• Durch diese rein beispielhafte Ausgestaltung des Parameters q werden Abweichungen mit Wellenlängen kleiner der vorgegebenen Grenzwellenlänge (λ_c) unterdrückt.
• Die besagte Funktion f(w_i, p_i, r_i) kann, wie wir dies bereits oben bezeichnet haben, unterschiedlich ausgestaltet sein und beispielsweise wie folgt definiert sein: f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i|² Gleichung 17 oder wie folgt: f(w_i‚ p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i| Gleichung 18
• Zur Lösung der Gleichung 14 können für den Spline unterschiedliche Randbedingungen festgelegt werden. Beispielsweise kann festgelegt werden, daß der Spline eine geschlossene Kurve ist. Alternativ könnte der Spline auch als offene Kurve gestaltet sein, die einen Anfang und ein Ende besitzt.

Claims (22)

1. Verfahren zur Tiefpaßfilterung von Meßpunkten (p_i) eines Meßgerätes durch Einpassen eines beliebigen Splines in eine durch die Meßpunkte definierte unbekannte Raumkurve derart, daß Abweichungen mit Wellenlängen kleiner als eine vorgegebene Grenzwellenlänge (λ_c) durch Approximation der Meßpunkte (p_i) durch den Spline unterdrückt werden, dadurch gekennzeichnet, daß die Meßpunkte (p_i) durch Einpassen eines Splines (sn) beliebiger Ordnung (m) approximiert werden, wobei dieser Spline durch seine Weglänge (s) parametrisiert ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zum Einpassen das Integral oder dessen diskrete Variante über das Quadrat der Krümmung des Splines oder das Quadrat der verallgemeinerten Krümmung des Splines ohne Vernachlässigung der Durchbiegung des Splines minimiert wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß das Funktional

   

   durch Wahl der r_i zu einem Minimum wird, wobei

   

   und wobei s_i = Wegparameter des i-ten Meßpunktes p_i = Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten Meßpunktes sind r_i = Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten gefilterten Meßpunktes sind w_i = Gewichtsfaktor des i-ten Meßpunktes m = Ordnung des Splines ħ = Mittelwert aller Abstände zwischen den Meßpunkten λ_c = die besagte Grenzwellenlänge H(λ) = die Übertragungsfunktion des Filters und wobei f(w_i, p_i, r_i) eine beliebige Funktion ihrer Argumente ist.
4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Funktion f(w_i, p_i, r_i) entweder f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i|² oder f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i| ist.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß für den Spline beliebige Randbedingungen festgelegt werden können.
6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Spline eine geschlossene Kurve ist.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Abstände zwischen den Meßpunkten nicht äquidistant sind.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß eine Raumkurve, deren Komponenten vom Grad m – 1 sind, durch das Filterverfahren mit der Ordnung m unverändert übertragen werden.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Trennschäfe über die Ordnung m beeinflußt werden kann, wobei mit wachsendem m die Trennschärfe zunimmt.
10. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die beliebige unbekannte Kurve auf einer beliebigen Fläche im Raum liegen kann, wie insbesondere auf einer Ebene, einer Kugel oder einem Zylinder.
11. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Vektorsubtraktion der gefilterten Punkte von den Meßpunkten zur Hochpaßfilterung führt.
12. Meßgerät mit einem in wenigstens zwei Koordinaten relativ zu einem Werkstück verfahrbaren Tastkopf (5) zur Aufnahme von Meßpunkten (p_i) des zu vermessenden Werkstückes (7) und einer Auswerteeinheit (9), in der die gemessenen Meßpunkte durch Einpassen eines Splines in eine unbekannte, durch die Meßpunkte definierte Kurve tiefpaßgefiltert werden können, derart, daß Abweichungen mit Wellenlängen kleiner als eine vorgegebene Grenzwellenlänge (λ_c) durch Approximation der Meßpunkte (p_i) durch den Spline unterdrückt werden, dadurch gekennzeichnet, daß die Meßpunkte (p_i) durch Einpassen eines Splines (sn) beliebiger Ordnung (m) approximiert werden, wobei dieser Spline durch seine Weglänge (s) parametrisiert ist.
13. Meßgerät nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, daß zum Einpassen das Integral oder dessen diskrete Variante über das Quadrat der Krümmung des Splines oder das Quadrat der verallgemeinerten Krümmung des Splines ohne Vernachlässigung der Durchbiegung des Splines minimiert wird.
14. Meßgerät nach Anspruch 12 oder 13, dadurch gekennzeichnet, daß die Auswerteeinheit zur Tiefpaßfilterung das Funktional

    

    durch Wahl der r_i minimiert, wobei

    

    

    und wobei s_i = Wegparameter des i-ten Meßpunktes p_i = Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten Meßpunktes sind r_i = Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des i-ten gefilterten Meßpunktes sind w_i = Gewichtsfaktor des i-ten Meßpunktes m = Ordnung des Splines ħ = Mittelwert aller Abstände zwischen den Meßpunkten λ_c = die besagte Grenzwellenlänge H(λ) = die Übertragungsfunktion des Filters und wobei f(w_i, p_i, r_i) eine beliebige Funktion ihrer Argumente ist.
15. Meßgerät nach Anspruch 14, dadurch gekennzeichnet, daß die Auswerteeinheit die Funktion f(w_i, p_i, r_i) entweder mit f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i|² wählt oder mit f(w_i, p_i, r_i) = w_i|p_i – r_i| wählt.
16. Meßgerät nach einem der Ansprüche 12 bis 15, dadurch gekennzeichnet, daß in der Auswerteeinheit für den Spline beliebige Randbedingungen festgelegt werden können.
17. Meßgerät nach Anspruch 16, dadurch gekennzeichnet, daß der Spline eine geschlossene Kurve ist.
18. Meßgerät nach einem der Ansprüche 12 bis 17, dadurch gekennzeichnet, daß die Abstände zwischen den durch das Meßgerät ermittelten Meßpunkten nicht äquidistant sind
19. Meßgerät nach einem der Ansprüche 12 bis 18, dadurch gekennzeichnet, daß die Auswerteeinheit die Filterung derart durchführt, daß eine Raumkurve, deren Komponenten vom Grad m – 1 sind durch das Filterverfahren mit der Ordnung m unverändert übertragen werden.
20. Meßgerät nach einem der vorhergehenden Ansprüche 12–19, dadurch gekennzeichnet, daß die Auswerteeinheit die Filterung derart durchführt, daß die Trennschäfe über die Ordnung m beeinflußt werden kann, wobei mit wachsendem m die Trennschärfe zunimmt.
21. Meßgerät nach einem der vorhergehenden Ansprüche 12–20, dadurch gekennzeichnet, daß die Auswerteeinheit die Filterung derart durchführt, daß die beliebige unbekannte Kurve auf einer beliebigen Fläche im Raum liegen kann, wie insbesondere auf einer Ebene, einer Kugel oder einem Zylinder.
22. Meßgerät nach einem der vorhergehenden Ansprüche 12 bis 21, dadurch gekennzeichnet, daß die Auswerteeinheit die Filterung derart durchführt, daß die Vektorsubtraktion der gefilterten Punkte von den Meßpunkten zur Hochpaßfilterung führt.

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