DE102021125628B3 - Geschwindigkeitsvorgaben zur Trajektorienbestimmung von Kinematiken - Google Patents

Abstract

Die vorliegende Erfindung betrifft die Bestimmung einer Trajektorie in einem Posenraum einer Kinematik im Einklang mit einem gegebenen Pfad der Trajektorie. Die Trajektorie ist hierbei von der Kinematik für eine bestimmte Anwendung zu durchlaufen. Eine Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht, wird basierend auf der Anwendung bestimmt. Basierend auf dem Pfad wird die Trajektorie so bestimmt, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich einer vorgegebenen Maximalgeschwindigkeit ist.

Description

• Die vorliegende Erfindung betrifft Vorrichtungen und Verfahren zum Bestimmen einer Trajektorie im Posenraum einer Kinematik unter Berücksichtigung einer vorgegebenen Maximalgeschwindigkeit.
• DE 11 2019 007 488 T5 beschreibt ein Verfahren zur Vereinfachung einer Trajektorie eines industriellen Roboters durch Entfernung von Pfadpunkten der Trajektorie, wobei für einen zu entfernenden Pfadpunkt die Differenz zwischen Sehnen und Bogenlänge vom vorherigen Pfadpunkt zum zu entfernenden Pfadpunkte kleiner gleich einer gegebenen Fehlertoleranz ist.
• DE 10 2018 203 078 B3 beschreibt ein Verfahren zum Erzeugen einer Bewegungstrajektorie auf Grundlage einer in einem Überschleifmodus auszuführenden ersten Bewegungsanweisung und einer der ersten Bewegungsanweisung folgenden zweiten Bewegungsanweisung, wobei sich zwischen den beiden Bewegungsanweisungen eine bedingte Programmabzweigung befindet.
• DE 10 2015 118 918 B3 beschreibt einen Eingabemodus für einen mehrgliedrigen Roboter, in dem der Roboter Positionen eines ausgezeichneten Punkts eines ausgezeichneten Strukturelements im Arbeitsraum lernt. Hierfür übt der Nutzer eine Eingabekraft auf den ausgezeichneten Punkt aus, wodurch sich die Position und/oder Orientierung des ausgezeichneten Strukturelements in diskreten Schritten ändern lässt.
• DE 10 2014 110 355 B3 beschreibt ein Verfahren zur Roboter-Geschwindigkeitssteuerung unter Verwendung eines vordefinierten Flussvektorfeldes und Eingabe einer tatsächlichen Position des Endeffektors, der Zielposition des Endeffektors und eines vorgeführten Bezugspfads des Endeffektors werden. Ein vorbestimmter Satz von Differentialgleichungen wird verwendet, um eine Bewegungstrajektorie des Endeffektors in Echtzeit zu generieren und den vorgeführten Bezugspfad anzunähern.
• DE 60 2005 006 126 T2 beschreibt ein Verfahren zum Offline-Programmieren mehrerer interagierender Roboter, die wenigstens einen Handling-Roboter, der ein Teil hält, und einen Roboter mit einem Werkzeug zum Bearbeiten des Teils aufweisen. Basierend auf einer Trajektorie des Teils und einem Randbedingungsparameter wird ein Pfad in Bezug auf geometrische Merkmale des Teils erzeugt. Ein Programmcode wird automatisch basierend auf dem erzeugten Pfad erzeugt, in einer Simulation verifiziert und auf eine Robotersteuerung heruntergeladen.
• EP 3 511 126 A1 betrifft ein Verfahren zur rechnergestützten Planung eines durch einen Roboter ausführbaren Arbeitsablaufs zur Erfüllung einer Arbeitsaufgabe, wobei durch probabilistische Auswahl von Zuständen ein Pfad aus Trajektorien bestimmt wird. Der Zustand des Roboters wird dabei durch einen diskreten Arbeitszustand in Bezug auf die Arbeitsaufgabe und die räumliche Lage und Geschwindigkeit der Roboterachsen beschrieben.
• Ein häufig auftauchendes Problem bei der Steuerung eines Roboters ist die Berechnung einer Trajektorie basierend auf einem gegebenen Pfad im Posenraum. Zum Beispiel aus Sicherheitsgründen sind hierbei in der Regel Geschwindigkeitsvorgaben zu beachten. Ein wichtiger Aspekt hierbei ist, dass es sich um eine Trajektorie im Posenraum der Kinematik handelt, die Geschwindigkeit des Roboters soll aber meist im „realen“ dreidimensionalen Raum beschränkt werden. Dies erschwert die Handhabung solcher Geschwindigkeitsvorgaben und kann unter anderem zu ungleichmäßigen Bewegungen des Roboters führen.
• Der vorliegenden Erfindung liegt somit die Aufgabe zugrunde, die Handhabung von Geschwindigkeitsvorgaben bei der Bestimmung von Trajektorien zu verbessern und, insbesondere, flexibler zu gestalten.
• Die Aufgabe wird erfindungsgemäß mit den Merkmalen der unabhängigen Patentansprüche gelöst. Einige vorteilhafte Ausführungsformen sind Gegenstand der abhängigen Patentansprüche.
• Der Erfindung liegt der Gedanke zugrunde, bei der Bestimmung einer Trajektorie eine Geschwindigkeit der Kinematik basierend auf Punkten im Arbeitsraum zu bestimmen, die an die durchzuführende Anwendung angepasst sind.
• Gemäß einem ersten Aspekt der vorliegenden Erfindung wird ein Verfahren zum Bestimmen einer Trajektorie in einem Posenraum einer Kinematik zur Verfügung gestellt, wobei die Trajektorie von der Kinematik für eine bestimmte Anwendung zu Durchlaufen ist. Das Verfahren umfasst einen Schritt des (i) Erhaltens einer Maximalgeschwindigkeit und eines Pfads der Trajektorie in dem Posenraum; (ii) einen Schritt des Bestimmens, basierend auf der Anwendung, einer Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht; und (iii) einen Schritt des Bestimmens der Trajektorie basierend auf dem Pfad, so dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Maximalgeschwindigkeit ist.
• Im Allgemeinen, in Ausführungsformen des ersten Aspekt, kann die Trajektorie einem zeitlichen Verlauf einer Position und Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad entsprechen; die Punkte jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik angeben, und (i) sich beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mitbewegen, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern; und/oder (ii) beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht, ruhen; und (iii) die Posengeschwindigkeit einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entspricht, mit denen sich die Punkte beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen.
• Die Punkte können z.B. einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum entsprechen, und die Posengeschwindigkeit können einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entsprechen, mit denen jeweils die Punkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum überstrichen werden.
• Im Allgemeinen, in Ausführungsformen des ersten Aspekt, kann die die Trajektorie einem zeitlichen Verlauf einer Position und einer Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad entsprechen, und die Punkte Relativpunkte und Absolutpunkte beinhalten. Relativpunkte geben jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik an. Zum Beispiel (i) bewegen sich Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mit, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern; und/oder (ii) ruhen Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht. Die Absolutpunkte entsprechen einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum. Die Posengeschwindigkeit entspricht einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten, mit denen (i) sich die Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen, und (ii) jeweils die Absolutpunkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum überstrichen werden.
• Das Bestimmen der Trajektorie kann, in Ausführungsformen des ersten Aspekt, umfassen (i) einen Schritt des Aufteilens des Pfads in Pfadabschnitte; (ii) einen Schritt des Schätzens einer maximalen Verschiebung unter den Verschiebungen, die die Punkte beim Durchlaufen eines der Pfadabschnitte erfahren; (iii) einen Schritt des Schätzens, basierend auf der Maximalgeschwindigkeit und der geschätzten maximalen Verschiebung, einer Zeitdauer, in der der Pfadabschnitt beim Durchlaufen der Trajektorie zu durchlaufen ist; und (iv) einen Schritt des Bestimmens der Trajektorie, so dass der Pfadabschnitt in mindestens der geschätzten Zeitdauer durchlaufen wird.
• Zum Beispiel kann die maximale Verschiebung basierend auf Verschiebungen von einem oder mehreren der Punkte geschätzt werden, die sich auf der Oberfläche eines Raumvolumens befinden, das den Punkten entspricht.
• Im Allgemeinen, in Ausführungsformen des ersten Aspekt, kann die Trajektorie so bestimmt werden, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft (i) eine auf der Metrik basierende Posenbeschleunigung kleiner gleich einer vorbestimmten Maximalbeschleunigung ist, und/oder (ii) ein auf der Metrik basierende Posenruck kleiner gleich einem vorbestimmten Maximalruck ist.
• In einigen Ausführungsformen des ersten Aspekt wird die Menge von Punkten bestimmt basierend auf (i) der Lage eines Tool- und/oder Work-Koordinatensystems; und/oder (ii) der Lage eines Pivotpunkts.
• Gemäß einem zweiten Aspekt der vorliegenden Erfindung wird eine Steuerungsvorrichtung zum Steuern einer Kinematik zur Verfügung gestellt. Die Steuerungsvorrichtung ist dazu eingerichtet (i) eine Maximalgeschwindigkeit, (ii) einen Pfad der Trajektorie in dem Posenraum, und (iii) eine Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht, zu erhalten. Die Steuerungsvorrichtung ist ferner dazu eingerichtet, die Trajektorie basierend auf dem Pfad zu bestimmen, so dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Maximalgeschwindigkeit ist.
• Im Allgemeinen, in Ausführungsformen des zweiten Aspekt, kann die Trajektorie einem zeitlichen Verlauf einer Position und Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad entsprechen; die Punkte jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik angeben, und (i) sich beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mitbewegen, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern; und/oder (ii) beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht, ruhen; und (iii) die Posengeschwindigkeit einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entspricht, mit denen sich die Punkte beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen.
• Die Punkte können z.B. einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum entsprechen, und die Posengeschwindigkeit können einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entsprechen, mit denen jeweils die Punkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum überstrichen werden.
• Im Allgemeinen, in Ausführungsformen des zweiten Aspekt, kann die die Trajektorie einem zeitlichen Verlauf einer Position und einer Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad entsprechen, und die Punkte Relativpunkte und Absolutpunkte beinhalten. Relativpunkte geben jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik an. Zum Beispiel (i) bewegen sich Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mit, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern; und/oder (ii) ruhen Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht. Die Absolutpunkte entsprechen einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum. Die Posengeschwindigkeit entspricht einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten, mit denen (i) sich die Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen, und (ii) jeweils die Absolutpunkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum überstrichen werden.
• In Ausführungsformen des zweiten Aspekt ist die Steuerungsvorrichtung dazu eingerichtet, (i) den Pfad in Pfadabschnitte aufzuteilen; (ii) eine maximalen Verschiebung unter den Verschiebungen zu schätzen, die die Punkte beim Durchlaufen eines der Pfadabschnitte erfahren; (iii) eine Zeitdauer, in der der Pfadabschnitt beim Durchlaufen der Trajektorie zu durchlaufen ist, basierend auf der Maximalgeschwindigkeit und der geschätzten maximalen Verschiebung zu schätzen; und (iv) die Trajektorie zu bestimmen, so dass der Pfadabschnitt in mindestens der geschätzten Zeitdauer durchlaufen wird.
• Zum Beispiel kann die maximale Verschiebung basierend auf Verschiebungen von einem oder mehreren der Punkte geschätzt wird, die sich auf der Oberfläche eines Raumvolumens befinden, das den Punkten entspricht.
• Im Allgemeinen, in Ausführungsformen des zweiten Aspekt, kann die Trajektorie so bestimmt wird, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft (i) eine auf der Metrik basierende Posenbeschleunigung kleiner gleich einer vorbestimmten Maximalbeschleunigung ist, und/oder (ii) ein auf der Metrik basierende Posenruck kleiner gleich einem vorbestimmten Maximalruck ist.
• In einigen Ausführungsformen des zweiten Aspekt wird die Menge von Punkten bestimmt basierend auf (i) der Lage eines Tool- und/oder Work-Koordinatensystems; und/oder (ii) der Lage eines Pivotpunkts.
• Weitere Einzelheiten, Vorteile und Merkmale der Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung und den Zeichnungen, auf die bezüglich aller nicht im Text beschriebenen Einzelheiten ausdrücklich verwiesen wird. Es zeigen:
• 1 eine schematische Darstellung einer beispielhaften seriellen Kinematik.
• 2 eine schematische Darstellung einer beispielhaften Parallelkinematik.
• 3 eine schematische Darstellung der Beziehung von Konfigurationsraum, Arbeitsraum, direkter Kinematik und indirekter Kinematik.
• 4 eine schematische Darstellung einer allgemeinen Bestimmung einer Posenmetrik.
• 5 eine schematische Darstellung einer Bestimmung einer Posenmetrik bei Verwendung der DISP-Metrik.
• 6 eine schematische Darstellung der Verschiebungen von Relativpunkten bei Änderung der Pose.
• 7 eine schematische Darstellung eines seriellen Roboters mit 2 Freiheitsgraden.
• 8 eine schematische Darstellung der Verschiebungen, die ein Relativpunkt erfährt, wenn der Roboter aus 7 eine beispielhafte Bewegung ausführt.
• 9 eine schematische Darstellung der Verschiebungen, die ein Absolutpunkt erfährt, wenn der Roboter aus 7 eine beispielhafte Bewegung ausführt.
• 10 eine schematische Darstellung einer Schraubenbewegung.
• 11 ein Flussdiagram das bespielhafte Schritte zur Bestimmung einer Trajektorie zeigt.
• 12 ein Blockdiagramm einer bespielhaften Vorrichtung zur Bestimmung einer Trajektorie.
• 13 eine schematische Darstellung der Bogenlänge eines Pfadabschnitts.
• 14 eine schematische Darstellung einer Abfolge von Posen.
• 15 eine schematische Darstellung der der in 14 gezeigten Abfolge von Posen entsprechenden Pfadlängen.
• 16 eine schematische Darstellung eines ersten beispielhaften Geschwindigkeitsprofiles.
• 17 eine schematische Darstellung eines zweiten beispielhaften Geschwindigkeitsprofiles.
• 18 eine schematische Darstellung der Verschiebung zweier Körper durch die Änderung der Pose.
• Die vorliegende Erfindung betrifft Verfahren zum Bestimmen von Trajektorien einer Kinematik (z.B. eines Roboters), sowie Steuerungsvorrichtungen zum Bestimmen von Trajektorien, die dazu eingerichtet sind solche Verfahren auszuführen. Die Erfindung umfasst parallele Kinematiken ebenso wie serielle, hybride Kinematiken und insbesondere auch gestapelte Kinematiken z.B. mit Drehverstellern.
• Kinematiken
• Man unterscheidet in der Robotertechnik grundsätzlich zwischen den Hauptklassen der seriellen und der parallelen Kinematik. Während serielle Kinematiken aus einer Aneinanderreihung von Gliedern (z.B. Linearachsen und/oder rotatorische Achsen) zu einer offenen kinematischen Kette bestehen, bestehen Parallelkinematiken aus einer Anzahl geschlossener kinematischer Ketten. Dies wird im Folgenden genauer erklärt. Des Weiteren gibt es auch sogenannte Hybridkinematiken, welche eine Kombination aus der vorhin erwähnten parallelen und seriellen Kinematiken darstellen.
• Serielle Kinematiken
• Als serielle Kinematik bezeichnet man den klassischen Aufbau einer offenen kinematischen Kette, bei welcher die einzelnen Bewegungsachsen der Reihe nach aufeinander aufbauend, also in Serie, angeordnet sind. Unter einer kinematischen Kette versteht man somit eine Aneinanderreihung von mehreren Körpern (den Gliedern der Kette), die miteinander durch Gelenke beweglich verbunden sind. Bei den einzelnen Gliedern der Kette kann es sich um starre Körper handeln oder zum Beispiel um längenverstellbare Elemente. Sie werden, je nach Roboter, auch als Arm-/Beinteile bezeichnet.
• Das Gelenk verbindet zwei Glieder und kann unterschiedliche Freiheitsgerade aufweisen. Die Anordnung und Art der Gelenke sowie der Glieder haben Einfluss auf die Bahnkurven, die von den einzelnen Gliedern beschrieben werden können. Kinematische Ketten spielen eine wichtige Rolle bei Planung und Berechnung der möglichen Bewegung von Industrie- und anderen Robotern.
• Ein klassisches Beispiel für eine serielle Kinematik ist ein SCARA-Roboter (Abkürzung für engl. „Selective Compliance Assembly Robot Arm“), bei dem eine bestimmte Pose meist mit zwei verschiedenen Konfigurationsvektoren realisiert werden.
• 1 zeigt schematisch eine beispielhafte serielle Kinematik mit mehreren Gliedern und Gelenken. Wie angedeutet, können sich diese Glieder linear in eine oder mehrere Richtungen bewegen, können eine Rotationsbewegung in einer Ebene durchführen, besitzen eine Gelenkstruktur, und/oder sind längenverstellbar.
• Parallelkinematiken
• Als Parallelkinematik bezeichnet man eine Kinematik, die aus einer Anzahl geschlossener kinematischer Ketten besteht. In der Praxis werden für die parallel verlaufenden Bewegungsachsen häufig parallele Stabkinematiken eingesetzt, die zwei relativ zueinander zu bewegenden Ebenen miteinander koppeln. Es ist somit jeder Antrieb direkt mit dem (End-) Effektor (z.B. einem Werkzeugträger) verbunden. Dadurch werden die Antriebe nicht wie bei einer seriellen Kinematik mit den Massen aller folgenden Glieder und Antriebe belastet. Da alle Antriebe gleichzeitig, also parallel zueinander, bewegt werden, teilen sich die Belastungen gleichmäßig(er) auf alle Führungselemente auf. Die daraus resultierenden geringen bewegten Eigenmassen ermöglichen eine extreme Dynamik mit hohen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bei gleichzeitig hoher Präzision der Mechanik. Ein weiterer Unterschied zu seriellen Mechaniken besteht darin, dass bei einer Parallelkinematik Antriebe, insbesondere die Motoren und Getriebe, ortsfest bleiben. Dies optimiert nicht nur die Dynamik und Leistung derartiger Roboter, sondern auch deren Energiebilanz. Parallelkinematiken werden daher gerne eingesetzt, wenn einfache Bewegungsabläufe mit hoher Wiederholgenauigkeit und Geschwindigkeit gefordert sind. Klassische Beispiele für Parallelkinematiken sind Hexapoden und Delta-Roboter.
• 2 zeigt schematisch eine beispielhafte Parallelkinematik mit 6 Stabkinematiken, also Beinen veränderlicher Länge, und 12 passiven Gelenken. Es handelt es sich bei der dargestellten Kinematik also um eine Stewart Plattform, die in dieser Schrift auch als Hexapod bezeichnet wird.
• Posenraum (Pose, Posenparameter)
• Unter einer Pose wird in der Regel Position und Orientierung eines Objekts verstanden. Eine Pose kann somit mit einem Element der Speziellen Euklidische Gruppe, SE(3), identifiziert werden. Posen werden durch sogenannte Posenparameter angegeben. Die Wahl der Parametrisierung ist nicht eindeutig. Die Pose kann z.B. durch drei kartesische Koordinaten und drei Orientierungswinkel in einem sogenannten Weltkoordinatensystem oder Basiskoordinatensystem angegeben werden. Eine beispielhafte Parametrisierung der Pose eines Hexapoden kann z.B. durch die Posenparametern (X,Y,Z,U,V,W) erfolgen. (X, Y, Z) geben hierbei die Position in kartesischen Achsen/Koordinaten an und können z.B. die Einheit „Millimeter“ haben. (U, V, W) sind hierbei Winkel, z.B. Kardanwinkel (360/360), eine Unterart der Eulerwinkel, und geben die Orientierung bzw. Drehung an.
• Das Weltkoordinatensystem liegt dabei unveränderlich im Raum und ist unabhängig von der Bewegung des Roboters. Man sagt daher auch, dass die Pose in Weltkoordinaten gegeben ist. Die Beschreibung der Pose erfolgt also raumbezogen, d.h. Position und Orientierung werden im „realen“ dreidimensionalen Raum, dem sogenannten Arbeitsraum, beschrieben. Es ist aber auch möglich eine Pose mit Hilfe anderer Koordinaten oder Parameter (eindeutig) anzugeben. Im Folgenden bezeichnet der Begriff Posenparameter daher allgemein jene Koordinaten oder Parameter die verwendet werden, um eine Pose anzugeben. Eine Pose entspricht dabei für jeden der Posenparameter einem bestimmten, der Pose entsprechenden, Wert. Diese Werte können zu einem eine Pose eindeutig kennzeichnenden Vektor der Posenparameter zusammengefasst werden. Umgekehrt ist eine Pose durch Angabe eines Vektors der Posenparameter, also durch Angabe eines Wertes für jeden der Posenparameter, festgelegt bzw. angegeben. Die Posenparameter können dabei insbesondere auch „normale“ Weltkoordinaten sein (also zum Beispiel drei Raumkoordinaten zur Angabe der Position und drei Winkel zur Angabe der Orientierung).
• Der Begriff Pose bezieht sich hier z.B. auf die Pose eines Endeffektors der jeweiligen Kinematik. Der Endeffektor bezeichnet hierbei zum Beispiel das letzte Glied einer kinematischen Kette. Er ist in der Regel die Komponente oder Baugruppe zur Ausführung der eigentlichen Handhabungsaufgabe. Anders gesagt, bewirkt der Effektor die eigentliche Interaktion des Roboters (d.h., der Kinematik) mit seiner Umwelt. Bei einem Endeffektor kann es sich insbesondere um ein Werkzeug, einen Werkzeugträger, einen Greifer, oder eine zu bewegende Plattform (z.B., bei Hexapoden) handeln.
• Der Posenraum bezeichnet hier den Raum der theoretisch denkbaren Posen, also die Menge der Lagemöglichkeiten eines starren Körpers im Raum. Eine Pose entspricht also einem Element des Posenraums. Der Posenraum lässt sich mit der speziellen euklidischen Gruppe SE(3), welche aus allen Rotationen und Translationen im euklidischen Raum besteht, identifizieren. Jedes Element aus SE(3) entspricht dabei (genau) einer Pose (und umgekehrt). Genauer gesagt wird ein Element aus SE(3) mit der Pose identifiziert, die sich ergibt, wenn man jenes Element auf eine gegebene Referenzpose anwendet. Es gibt viele Parametrierungen des Arbeitsraumes, bzw. von SE(3). Eine mögliche Parametrierung ist die Angabe einer Verschiebung plus Kardanwinkel. Die Angabe der Verschiebung kann zum Beispiel durch den Abstand zu einem Referenzpunkt in kartesischen Koordinaten erfolgen. Die Kardanwinkel geben die Orientierung an. Statt Kardanwinkeln können natürlich auch eigentliche Eulerwinkel oder andere Winkel verwendet werden.
• Es ist ferner angemerkt, dass ein Roboter im Allgemeinen nicht in der Lage ist jede beliebige Pose, z.B. des Endeffektors, im Posenraum tatsächlich zu verwirklichen. Zum einen sind die tatsächlich einnehmbaren Posen durch die Geometrie der Kinematik, insbesondere die Länge der Glieder, eingeschränkt. Ferner muss ein Roboter nicht 6 Freiheitsgrade bei den Gelenken besitzen. In diesem Fall wird der Raum der tatsächlich einnehmbaren Posen in der Regel nicht 6-dimensional sein und eine Pose kann durch weniger als 6 Parameter angegeben werden. Es ist z.B. denkbar, dass die Bewegungsfreiheit des Roboters (z.B. die Position des Effektors) auf eine Ebene eingeschränkt ist.
• Konfigurationsraum (Gelenkkoordinaten)
• Der Konfigurationsraum bezeichnet den Raum der möglichen Konfigurationen der einzelnen Maschinenkomponenten (Gelenke, Arme, etc.). Er hat somit die Dimension der unabhängigen Freiheitsgrade der Kinematik. Diese Freiheitsgrade können Gelenkwinkel und/oder zum Beispiel Längen von längenverstellbaren Elementen (Armen/Beinen) sein. Die einzelnen Gelenkkoordinaten (Winkel, Längen) können zu einem Konfigurationsvektor, also einem Vektor im Konfigurationsraum, zusammengefasst werden. Dies entspricht einer Darstellung des Konfigurationsraum als kartesisches Produkt der einzelnen den Gelenkkoordinaten entsprechenden Wertebereiche (Winkelbereiche und/oder Längenbereiche).
• Bei einer Stewart Plattform (auch Hexapod genannt) bespielweise ist der Konfigurationsraum durch die sechs variablen Beinlängen gegeben und ein Konfigurationsvektor gibt für jede der sechs Beine eine entsprechende Länge an. Der Konfigurationsraum K_Hex eines Hexapoden kann also als das kartesisches Produkt der einzelnen den möglichen Längen der Beine entsprechenden Intervalle aufgefasst werden $$K_{Hex}={\displaystyle \prod _{i=1}^6\left[L_{min}\left(i\right)L_{max}\left(i\right)\right]}=\left[L_{min}\left(1\right)L_{max}\left(1\right)\right]\times \dots \times \left[L_{min}\left(6\right)L_{max}\left(6\right)\right]$$

  

  wobei L_min(i) und L_max(i) die kleineste bzw. die größte mögliche (zulässige oder verwendete) Länge des i-ten Beines bezeichnen.
• Direkte Kinematik
• Wie in 3 veranschaulicht, befasst sich die direkte Kinematik, Vorwärtskinematik oder Vorwärtstransformation mit der Frage wie aus gegebenen Gelenkwinkeln und/oder gegebener Längen längenverstellbarer Glieder eines Roboters die Pose (Position und Orientierung) des Endeffektors bestimmt werden kann. Sie ist das logische Gegenstück zur indirekten Kinematik. Die direkte Kinematik erlaubt also die Berechnung der Pose aus gegebenen Beinlängen und/oder Beinwinkeln, d.h., aus einem gegebenen Konfigurationsvektor, und entspricht einer Abbildung vom Konfigurationsraum in den Arbeits- bzw. den Posenraum.
• Indirekte Kinematik
• Die indirekte Kinematik, inverse Kinematik, Inverskinematik oder Rückwärtstransformation wandelt eine durch Weltkoordinaten oder Posenparameter gegebene Position und Orientierung des Effektors in die einzelnen Gelenkkoordinaten um. Wie in 3 veranschaulicht, ist sie somit das logische Gegenstück zur direkten Kinematik und entspricht einer Abbildung vom Arbeits- bzw. dem Posenraum in den Konfigurationsraum. Die indirekte Kinematik erlaubt also die Berechnung von Gelenkwinkeln und/oder Längen der Glieder aus einer gegebenen Pose. Hierbei sollte angemerkt werden, dass die indirekte Kinematik nicht eindeutig sein muss. In anderen Worten kann es sein, dass eine gegebene Pose durch verschiedene Konfigurationsvektoren realisiert werden kann. Dies ist zum Beispiel bei SCARA-Roboter häufig der Fall.
• Eine Berechnung der indirekten Kinematik ist typischerweise nötig, wenn eine bestimmte Pose (Zielpose) eingenommen werden soll und deshalb eine der Zielpose entsprechende Gelenkkonfiguration benötigt wird. Die Kinematik kann dann mit dem ermittelten Konfigurationsvektor angesteuert werden, zum Beispiel um die Zielpose einzunehmen. Dieses Ansteuern beinhaltet gegebenenfalls die Berechnung einer Bahn im Konfigurationsraum basiert auf dem aktuellen Konfigurationsvektor und dem der Zielpose entsprechenden Konfigurationsvektor als Start bzw. Endpunkt besagter Bahn. Die Kinematik kann so zum Durchlaufen einer Trajektorie gebracht werden, deren Endpunkt der Zielpose entspricht.
• Trajektorie und Pfad
• Die Aufeinanderfolge von Posen heißt Pfad. Die Aufeinanderfolge kann z.B. eine lückenlose Folge von den von der Kinematik angenommen Posen sein.
• Davon unterschieden ist der Begriff der Trajektorie, bei dem zusätzlich Pfadgeschwindigkeiten definiert sind. Genauer gesagt, wird der zeitliche Verlauf der von einem Roboter während einer Bewegung eingenommenen Posen als Trajektorie bezeichnet. Anders gesagt ist eine Trajektorie eine Abbildung von einem Zeitintervall in den Posenraum. Das Bild dieser Abbildung bildet die Posenmenge des Pfades. Es ist hier anzumerken, dass es zu einem Pfad viele verschiedene Trajektorien gibt, d.h. verschiedene Trajektorien können denselben Pfad haben.
• Eine häufige Aufgabenstellung in der Robotik ist die Bestimmung einer Trajektorie basierend auf einem gegebenen Pfad (und der Angabe, welches Ende des Pfads der Startpose und/oder welches der Endpose entspricht). Dabei ist eine Trajektorie zu bestimmen, so dass die Kinematik beim Durchlaufen der Trajektorie die Posen des Pfads in der durch den Pfad gegebenen Reihenfolge durchläuft. Die bestimmte Trajektorie entspricht also einem zeitlichen Verlauf einer Position und Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad.
• Bei der Trajektorienbestimmung wird also - basierend auf einer Metrik des Posenraumes und der sich hieraus ergebenden Länge des Pfades - die Geschwindigkeit festgelegt, mit der der Roboter den Pfad in jeder Pose des Pfads durchläuft. Dabei soll in der Regel eine bestimme Geschwindigkeitsvorgabe, die sich auf eine Geschwindigkeit des Roboters im Arbeitsraum bezieht, eingehalten werden.
• Metrikform
• Eine Metrikform ist eine Metrik auf einem Posenraum, die sich als Funktion einer qualifizierten Punktmenge des Arbeitsraumes und einer Metrik des Arbeitsraumes ausdrücken lässt. Eine Punktmenge ist qualifiziert, wenn nur die Posentransformation der identischen Abbildung dieser Menge alle Punktkoordinaten der Punktmenge auf sich selbst abbildet. Beispielsweile kann eine nur aus einem Punkt bestehende Menge Drehungen um diesen Punkt nicht zu einer Posenänderung abbilden.
• Metrikbegründende Menge
• Wie im Weiteren genauer erklärt, wird erfindungsgemäß eine metrikbegründende Menge aus Arbeitsraumpunkten verwendet, um so basierend auf einer Mengenmetrik eine Posenmetrik zu definieren. Bei der metrikbegründenden Menge kann, muss es sich aber nicht um eine Punktmenge einer endlichen Anzahl von Punkten des Arbeitsraums handeln. Die metrikbegründende Menge ist eine qualifizierte Punktmenge.
• So können Geschwindigkeitsvorgaben bei der Trajektorienbestimmung, insbesondere bei einer Trajektorienberechnung, effektiv und flexibel definiert und/oder berücksichtigt werden.
• Da eine Posenmetrik einen Abstand zwischen 2 Posen definiert, ist es nun auch möglich Pfadlängen und Geschwindigkeiten im Posenraum zu berechnen, z.B. indem Pfadabschnitte definierter Länge durch die in entsprechenden Zeiten, in denen die Pfadabschnitte durchschritten werden geteilt werden. Eine metrikbegründende Menge macht klar (bzw. legt fest), an welcher Stelle des Arbeitsraumes die gesetzte Systemgeschwindigkeit den lokalen herrschenden Punktgeschwindigkeiten entspricht, denn bei Drehungen sind die Punktgeschwindigkeiten im Arbeitsraum ortsabhängig und hängen überdies von der Lage des Pivotpunkts beziehungsweise von der aktuellen Drehachse ab. Punkte mit großem Abstand zum Pivotpunkt weisen die größten Geschwindigkeiten auf. Durch den Einsatz von metrikbegründenden Mengen kann definiert werden, welche kartesischen Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten beim Faseralignment im bewegten Faserende vorliegen sollen. Eine umfassende Kontrolle der Scangeschwindigkeiten kann z.B. das Scanergebnis verbessern. Insbesondere können Geschwindigkeitsbegrenzungen in der unmittelbaren Nähe eines Fiberalignment die Scangeschwindigkeiten besser kontrollierbar machen und die Ergebnisse verbessern.
• Durch die Verwendung einer metrikbegründenden Menge kann z.B. erreicht werden, dass sich alle Punkte in einem frei gewählten kleinen Volumen zumindest näherungsweise mit derselben vorgegebenen Systemgeschwindigkeit bewegen. In einem großen Volumen kann sich die Geschwindigkeitsdefinition an den schnellsten Punkten in dem Volumen orientieren. Alle Arten von Drehbewegungen, insbesondere die Drehachse der Drehbewegungen als auch die Lage des Pivotpunkts - auch in Verbindungen mit kartesischen Bewegungen - können beherrscht werden. Diese Flexibilität verbessert insbesondere die Genauigkeit von Scanvorgängen, da lokal durch einen frei wählbaren Faktor die Winkelgeschwindigkeiten an die kartesischen Geschwindigkeiten gekoppelt werden können.
• Ferner wird es möglich Kollisionsgefahren zu mindern. Hat ein Algorithmus zur Kollisionserkennung Bereiche drohender Annäherung ermittelt, so können dort lokal sichere Geschwindigkeitsvorgaben gemacht werden. Frei konfigurierbare und änderbare Geschwindigkeiten in Volumen und/oder von mitbewegten Körpern erbringen eine technologische Aufwertung von Hexapoden in der Mikromontage, als Operationsroboter, Werkzeugmaschine etc.
• Die metrikbegründende Menge kann z.B. im Arbeitsraum über eine Hostsoftware oder über Kommandos des Controllers frei wählbar im Arbeitsraum definiert werden. Diese Menge kann beispielsweise durch eine Zusammenfassung einzelner Punkte, Kugeln, und dergleichen erhalten werden. Insbesondere können einzelne Punkte einer empfindlichen Apparatur als zu kontrollierende Geschwindigkeitspunkte der metrikbegründenden Menge hinzugefügt werden.
• Diese parametriert eine Metrik auf Posen und ermöglicht es so, eine auf diese Menge bezogene Geschwindigkeit zu definieren, die hier als Mengengeschwindigkeit oder Posengeschwindigkeit bezeichnet wird. Da die Posengeschwindigkeit auf die metrikbegründende Menge bezogen ist und ein enger Zusammenhang zwischen der Posengeschwindigkeit und den Geschwindigkeiten der Punkte dieser Menge besteht, ist zur besseren Anschaulichkeit der mit der Posengeschwindigkeit identische Begriff der Mengengeschwindigkeit eingeführt. Die Posengeschwindigkeit kann eine über ein Teil des Pfades oder ein Zeitintervall gemittelte Geschwindigkeit sein.
• Dies erlaubt eine einheitliche Geschwindigkeitsvorgabe für kartesische Bewegungen, Drehbewegungen und gemischte Bewegungen. Ein Vorteil dieser Mengengeschwindigkeit ist, dass man ein umschließendes Volumen um zu bewegende Dinge zur Definition einer geeigneten Metrik heranziehen kann und damit sicherstellen kann, dass sich der schnellste Punkt „auf oder innerhalb der Dinge“ höchstens mit der Systemgeschwindigkeit (also der vorgegebenen Maximalgeschwindigkeit) bewegt.
• Die Systemgeschwindigkeit ist eine für die gesamte Trajektorie vorgegebene Maximalgeschwindigkeit, die nicht überschritten werden soll. Die Systemgeschwindigkeit ist also die maximale Geschwindigkeit mit der sich der Roboter beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen soll, was nicht immer die tatsächlich erreichte oder erreichbare Maximalgeschwindigkeit sein muss (aber sein kann). Insbesondere kann es sich bei der Systemgeschwindigkeit um die anzustrebende Geschwindigkeit der Trajektorie handeln, also die Geschwindigkeit sein, die der Roboter beim Durchlaufen der Trajektorie möglichst haben soll. Sie kann also eine Zielgeschwindigkeit für das System (also den Roboter) sein, die beim Durchlaufen der Trajektorie realisiert werden soll. Die Systemgeschwindigkeit ist ein Parameter zur Gestaltung einer zeitoptimalen Trajektorie unter Einhaltung von gegebenenfalls weiteren Randbedingungen (z.B. eine beschränkte Beschleunigung). Insbesondere ist es bei kurzen Pfaden oftmals der Fall, dass eine anzustrebende Systemgeschwindigkeit wegen begrenzender Maximalbeschleunigungen nicht erreicht wird.
• Damit können Geschwindigkeiten sowohl sicher, schnell und unkompliziert vorgegeben werden. Des Weiteren lassen sich die Geschwindigkeiten speziell auf die zu bewegenden Körper zugeschneiden.
• Bei den Punkten der metrikbegründenden Menge kann es sich um Relativpunkte und/oder Absolutpunkte handeln. Anders gesagt können die Punkte der metrikbegründenden Menge Relativpunkte und/oder Absolutpunkte beinhalten. Wie im Folgenden erklärt, beziehen sich die Begriffe Relativpunkte und/oder Absolutpunkte dabei auf das Transformationsverhalten der Punkte bei Änderungen der Position und/oder der Orientierung der Kinematik. Die Verschiebungsabstände relativer Punkte werden also im Vergleich mit Absolutpunkten algorithmisch unterschiedlich behandelt.
• Relativpunkte
• Relativpunkte geben jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik an. Sie bewegen sich beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mit, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern. Anders gesagt ruhen Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht. Ein Relativpunkt ist also ein Punkt, der Posentransformation unterworfen ist, wenn er mitbewegt wird, denn ein Aspekt jeder Pose ist eine Transformation bzw. Koordinatentransformation.
• Relativpunkte können z.B. Punkte im Arbeitsraum der Kinematik sein, die sich beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik mitbewegen und der Form eines mitbewegten Körpers (z.B. ein Werkzeug) entsprechen. Sie können den Körper umhüllen, bzw. eine Hülle des Körpers definieren. Der Begriff des mitbewegten Körpers kann sich auf die bewegte Plattform bzw. den Endeffektor beziehen, die ja auch mitbewegt werden. Es kann sich aber auch um einen anderen Gegenstand, etwa ein Werkzeug oder anderes Objekt handeln. Relativpunkte können sich auch im Innern des Körpers befinden, oder in der Nähe des Körpers, wenn es sich z.B. um eine geschätzte Form des Körpers handelt. Eine echte Abschätzung der Maximalgeschwindigkeit aller Punkte des Körpers ist möglich, wenn die konvexe Hülle von Körperpunkten den Körper einbettet, also beinhaltet.
• An dieser Stelle wird angemerkt, dass sich der Begriff Position und Orientierung der Kinematik in der vorliegenden Anmeldung zum Beispiel auf die Position und Orientierung (also die Pose) eines/des Endeffektors der Kinematik bezieht.
• Die Weltkoordinaten $\overrightarrow{a}\left(P\right)$

  

  eines Relativpunkts $\overrightarrow{a}$

  

  hängt also von der Pose der Kinematik ab. Die Posentransformation eines Punktes $\overrightarrow{a}$

  

  kann dabei durch die Formel $\overrightarrow{a}\left(P\right)=\widehat{R}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{T}$

  

  beschrieben werden, wobei R̂ die der Pose P entsprechende Drehmatrix, und $\overrightarrow{T}$

  

  der der Pose P entsprechende Translationsvektor ist.
• Nimmt die Kinematik also z.B. die Pose p₀ an und wird die Position des Relativpunkts relativ zu der Position und Orientierung der Kinematik mit $\overrightarrow{a}$

  

  bezeichnet, so sind die der Pose p₀ entsprechenden Weltkoordinaten $\overrightarrow{a}\left(p_0\right)$

  

  des Relativpunkts, durch $$\overrightarrow{a}\left(p_0\right)={\widehat{R}}_0\overrightarrow{a}+{\overrightarrow{T}}_0,$$

  

  gegeben. Hierbei gibt R₀ ∈ SO(3) die Orientierung (Drehung) der Pose p₀ im Weltkoordinatensystem und ${\overrightarrow{T}}_0\in {ℝ}^3$

  

  die Position der Pose p₀ im Weltkoordinatensystem (Verschiebung/Translation bzgl. des Ursprungs des Weltkoordinatensystems) an. Die Weltkoordinaten $\overrightarrow{a}\left(p_0\right)$

  

  eines Relativpunkts ändern sich also bei Änderungen der Position und/oder der Orientierung der Kinematik, während sich seine Position $\overrightarrow{a}$

  

  relativ zu der Position und Orientierung der Kinematik nicht ändert.
• Relativpunkte können dazu verwendet werden, die Geschwindigkeit einzelner mitbewegter Körper vorzugeben. Geschwindigkeiten mitgeführter Körper können dadurch gezielt beeinflusst werden. Dies ermöglicht die Kommandierung von Geschwindigkeiten, die weit oberhalb unserer üblichen Systemgeschwindigkeiten liegen. Betroffen hiervon sind beispielsweise Körper, die über einen Ausleger an der beweglichen Plattform befestigt sind und darum bei Winkeldrehungen weiträumig geschwenkt werden. Man denke etwa an die Bewegung von mitgeführten Motorhauben bei der KFZ-Montage. Motorhauben wären dann normalerweise erheblich größer als der Roboter/Hexapod selbst.
• Absolutpunkte
• Absolutpunkte geben jeweilige Positionen im Arbeitsraum an. Absolutpunkte entsprechen also einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum, z.B. die durch die Absolutpunkte gegebene konvexe Hülle. Natürlich lässt sich auch eine Absolutpunkt relativ bezüglich einer Pose der Kinematik ausdrücken, seine Position in Weltkoordinaten ändert sich aber bei Änderungen der Position und/oder der Orientierung der Kinematik nicht. Anders gesagt bleiben die Weltkoordinaten eines Absolutpunkts, bei Änderungen der Position und/oder der Orientierung der Kinematik unverändert, während sich seine Relativposition zu der Position der Kinematik ändert.
• Ein Absolutpunkt bewegt sich also nicht mit der Kinematik mit, wenn diese eine Trajektorie durchläuft. Absolutpunkte können verwendet werden, um die Geschwindigkeit an von Kollisionen bedrohten Orten zu begrenzen, also um eine Schutzzone zu definieren (wo sich z.B. Menschen aufhalten können).
• Die Möglichkeit der Geschwindigkeitsvorgabe innerhalb beliebiger Raumvolumen verbessert die Ergebnisse von Scanalgorithmen beispielsweise beim Faseralignment. Ebenso wird die Kontrolle der kartesischen Raumgeschwindigkeiten verbessert, wenn es darum geht, empfindliche Apparaturen und dergleichen durch lokale Geschwindigkeitsbegrenzungen zu schützen.
• Posenmetrik
• Die Posenmetrik weist jedem Posenpaar einen nichtnegativen, reellen Funktionswert zu. Der Begriff umfasst hier Funktionen die die mathematischen Kriterien einer Metrik erfüllen. Es können aber auch andere geeignete Funktionen etwa heuristischer Art eingesetzt werden, die beispielsweise Pseudometriken sind, oder nicht auf dem gesamten Posenraum definiert sind etc.. Die Metrik kann im Betrieb einer Kinematik wahlfrei geändert bzw. an die jeweilige Anwendung angepasst werden. Dies kann insbesondere durch Änderung/Anpassung der Punkte metrikbegründenden Menge (Hinzufügen und/oder Entfernen von Punkten) und oder der zugrundeliegenden Norm des ℝ³ geschehen.
• Der durch eine Posenmetrik definierte Abstand zwischen zwei Posen wird auch als Posenabstand oder Mengenabstand bezeichnet. Aufbauend auf dieser Metrik kann dann auch eine Posengeschwindigkeit definiert werden. Diese Posengeschwindigkeit ist bei der somit auf eine Punktmenge im Arbeitsraum bestehend aus mitbewegten und/oder nichtmitbewegten Punkten bezogen. Die Geschwindigkeit des schnellsten Punktes dieser Punktmenge entspricht bei einer bevorzugten Metrik definitionsgemäß der aktuellen Posengeschwindigkeit. Die Mengengeschwindigkeit ist z.B. Mengenabstand dividiert durch die Zeit, der Posenabstand ist gleich dem durch die Posentransformation bewirkte Mengenabstand. Die Geschwindigkeit von Posen im Posenraum wird also auf Punktgeschwindigkeiten in ℝ³ heruntergebrochen. Die Posengeschwindigkeit umfasst dabei kartesische Bewegungen und zugleich die Winkelgeschwindigkeiten der Pose. In analogerweise können dann eine Posenbeschleunigung, ein Posenjerk, ein Posensnap usw. definiert werden.
• Die Definition eines Abstandsbegriffs von Posen, insbesondere einer Metrik, ermöglicht die Vorgabe einer einzigen Maximalgeschwindigkeit, hier auch als Systemgeschwindigkeit bezeichnet. Es müssen also nicht etwa sowohl eine Translationsgeschwindigkeit als auch eine Winkelgeschwindigkeit vorgegeben werden. Winkelgeschwindigkeiten und Translationsgeschwindigkeiten sind miteinander verknüpft. Die Systemgeschwindigkeit ist dann die Mengengeschwindigkeit und bezieht sich in einer bevorzugten Metrik auf die in ihren Punkten auftretende Geschwindigkeit. Die Systemgeschwindigkeit fußt also auf dem Mengenabstand. Die auftretenden Mengenabstände wiederum können durch die Wahl einer geeigneten metrikbegründenden Menge beeinflusst werden. Die metrikbegründende Menge lässt sich jederzeit situationsbedingt und opportunistisch anpassen.
• Um einen Abstand zwischen zwei Posen p₁ und p₂ und/oder eine Posenmetrik zu definieren, kann im Allgemeinen eine beliebige geeignete Funktion verwendet werden, die von (nicht notwendigerweise allen) Verschiebungen der Punkten der metrikbegründenden Menge im Weltkoordinatensystem (für die Relativpunkte) und/oder den (virtuellen) Verschiebungen im mitbewegten Koordinatensystem (für die Absolutpunkte) abhängt. Insbesondere kann eine Funktion die von den Beträgen dieser Verschiebungen abhängt, basierend auf einer beliebige auf ℝ³ definierte Norm, als Posenmetrik verwendet werden. Die Posenmetrik wird also über die oben definierte Mengenmetrik bestimmt, die von der metrikbegründenden Menge abhängt. Dabei kann es um Punkte handeln, die einem sich mitbewegenden Starrkörper(n) und/oder ortsfesten Raumbereich(en) entsprechen.
• Ist z.B. ein Pfad von der Startpose P(0) einer Bewegung zur Zielpose P(n) gegeben, der gegebenenfalls in weitere Abschnitte eingeteilt sein kann. Die vollständige Posenfolge auf dem Pfad sei P(0), P(1),P(2)...P(n), n >0. Dabei ist anzumerken, dass in der Regel abgestrebt wird, die Längen der einzelnen Posenabstände sehr klein auszulegen, um der Bewegungsinterpolation während der Bewegungsausführung viele Stützstelle zu liefern. Eine Unterteilung eines Point to Point - Pfades in mehrere hundert Zwischenpositionen ist oft sinnvoll.
• Sei a nun ein Punkt des Arbeitsraumes, gegeben in Weltkoordinaten. Gesucht wird der Verschiebungsabstand des Punktes zwischen der Pose P(s) und P(s+1), s<n.
• Betrachtet wird zunächst ein Relativpunkt $\overrightarrow{a}.$

  

  Hierbei erfolgt eine Verschiebung des Punktes in Weltkoordinaten bei der Posenänderung von P(s) zu P(s+1). Innerhalb des betrachteten Pfadabschnittes wird der Punkt von $\overrightarrow{a}\left(\text{P}\left(\text{s}\right)\right)$

  

  nach $\overrightarrow{a}\left(\text{P}\left(\text{s+1}\right)\right)$

  

  verschoben. Hierbei ist $\overrightarrow{a}\left(P\left(s\right)\right)=\widehat{R}\left(P\left(s\right)\right)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{T}\left(P\left(s\right)\right),$

  

  $$

  

  wie bereits oben erklärt. Der Abstand der Verschiebung ist deshalb $\Vert \overrightarrow{a}\left(\text{P}\left(\text{s}\right)\right)-\overrightarrow{a}\text{P}\left(\text{s+1}\right)\Vert .$

  

  $$

  

  Da die Metrikformen auf Punktabstände gründen, ist durch die Ermittlung der Verschiebungsabstände alle Punkte einer metrikbegründenden Menge der Posenabstand zwischen P(s) und P(s+a) festgelegt.
• Betrachtet sei jetzt ein Absolutpunkt $\overrightarrow{a}.$

  

  Er verbleibt im Weltkoordinatensystem unverändert, und es wird lediglich seine virtuelle Verschiebung von Zwischenpose zu Zwischenpose betrachtet, ebenfalls in Weltkoordinaten. Im Wechsel von Pose P(s) zu Pose P(s+1) wird der Punkt $\overrightarrow{a}$

  

  virtuell hin zum Punkt $\overrightarrow{a}$

  

  (P(s+1) ° P(s)^-1) verschoben.
• P(s+1) ° P(s)^-1 ist dabei die Posentransformation, welche die Pose P(s) in die Pose P(s+1) überführt. P(s)^-1 bezeichnet dabei das inverse Element der Posentransformation P(s) in SE(3), ° ist die Verknüpfung von Posentransformationen. Pose, Posentransformation und Element von SE(3) bezeichnen dasselbe. Der virtuelle Verschiebungsabstand des Absolutpunktes hat damit die Größe $\text{d=}\Vert \overrightarrow{a}\text{P}\left(\text{s+1}\right)°\text{P}{\left(\text{s}\right)}^{-1}-\overrightarrow{a}\Vert .$

  

  Da sich Punktabstände bei Posentransformationen nicht ändern kann man wie folgt umformen: $$\begin{array}{l}\text{d=}\Vert \overrightarrow{a}\text{P}\left(\text{s+1}\right)°\text{P}{\left(\text{s}\right)}^{-1}-\overrightarrow{a}\Vert =\\ \Vert \overrightarrow{a}\left(\text{P}{\left(\text{s+1}\right)}^{-1}°\text{P}\left(\text{s+1}\right)\right)-\overrightarrow{a}\left(\text{P}{\left(\text{s+1}\right)}^{-1}\right)\Vert =\\ \Vert \overrightarrow{a}\left(\text{P}{\left(\text{s}\right)}^{-1}\right)-\overrightarrow{a}=\left(\text{P}{\left(\text{s+1}\right)}^{-1}\right)\Vert .\end{array}$$

  
• Hierbei kann die zu der Posentransformation inverse Abbildung, entsprechend dem inversen Element aus SE(3) von P, durch Auflösen obiger Gleichung nach $\overrightarrow{a}$

  

  ermittelt werden, wodurch sich $\overrightarrow{a}\left(P^{-1}\right)={\widehat{R}}^{-1}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{T}\right)$

  

  ergibt.
• Im Folgenden wird eine beispielhafte Mengenmetrik vorgestellt.
• Robot displacement metric (DISP-Metrik)
• Die unter der Bezeichnung robot displacement metric bekannte Metrik weist zwei Posen p₁ und p₂, basierend auf einer metrikbegründenden Menge A, den Wert $d_A\left(p_1,p_2\right):=\underset{{\overrightarrow{a}}_i\in A}{\text{max}}\Vert {\overrightarrow{a}}_i\left(p_1\right)-{\overrightarrow{a}}_i\left(p_2\right)\Vert$

  

  $$

  

  zu, wobei ${\overrightarrow{a}}_i\left(p_j\right)=\widehat{R}\left(p_j\right){\overrightarrow{a}}_i+\overrightarrow{T}\left(p_j\right),$

  

  falls ${\overrightarrow{a}}_i$

  

  ein Relativpunkt ist; und ${\overrightarrow{a}}_i\left(p_j\right)={\widehat{R}}^{-1}\left(p_j\right)\left({\overrightarrow{a}}_i-\overrightarrow{T}\left(p_j\right)\right)$

  

  falls ${\overrightarrow{a}}_i$

  

  ein Absolutpunkt ist. Hierbei bezeichnet || || eine beliebige auf ℝ³ defnierte Norm, z.B. die euklidische Norm. Jede Norm induziert also eine eigene DISP-Metrik und die vorliegende Erfindung ist nicht auf eine spezielle Norm eingeschränkt. Ein solcher mit der DISP-Metrik bestimmter Posenabstand wird hier auch als DISP-Abstand bezeichnet. Die so definierte Abstandsfunktion erweist sich als Metrik auf Posen.
• Eine besondere physikalische Bedeutung hat die DISP-Metrik, wenn die Norm || || die Euklidische Norm ist. Diese DISP-Metrik wird im Folgenden als Euklidische DISP-Metrik bezeichnet.
• In 4 ist der allgemeine Fall dargestellt, wie aus einer metrikbegründenden Menge, einer Metrikform und einer beliebigen Metrik auf R³ eine Posenmetrik erhalten wird. Die Metrikform bildet also die Posenmetrik aus zwei Argumenten.
• In 5 ist ein bevorzugter Fall dargestellt, hier wird aus der Euklidischen Metrik des R³ und der DISP-Metrik die Euklidische DISP-Metrik gebildet.
• Enthält die metrikbegründende Menge nur Relativpunkte, so wird den Posen p₁ und p₂ also die betragsmäßig maximale Verschiebung unter den Verschiebungen, die die Punkte der metrikbegründenden Menge erfahren, wenn man sich von einer der beiden Posen zu der anderen bewegt, als Abstand zugeordnet. Der Abstand zweier Posen ist dann der maximale Abstand, den ein Punkt der metrikbegründenden Menge bei Bewegung von einer der zwei Posen zu der anderen der zwei Posen verschoben wird. Der Posenabstand ist also gegeben durch die Translationsdistanz jener Punkte der metrikbegründenden Menge, die durch die Translation die betragsmäßig größte Verschiebung erfahren.
• Was Absolutpunkte angeht ordnet die DISP-Metrik den beiden Posen p₁ und p₂ die betragsmäßig maximale Verschiebung unter den Verschiebungen zu, um die sich Absolutpunkte in einem mit der Pose von p₁ zu p₂ mitbewegtem Koordinatensystem erfahren. Die Posengeschwindigkeit eines durch Absolutpunkte gegeben Raumvolumens gibt also an, welche Geschwindigkeit ein Körper annimmt, wenn er sich diesem Raumelement nähert.
• Enthält die metrikbegründende Menge Relativpunkte und Absolutpunkte, so entspricht der Abstand der beiden Posen betragsmäßig der maximalen Verschiebung unter den Verschiebungen der Relativpunkte im Weltkoordinatensystem und den Verschiebungen der Absolutpunkte in einem mitbewegten Koordinatensystem (z.B. dem TOOL- Koordinatensystem). Die Posengeschwindigkeit entspricht dann (betragsmäßig) einer maximalen Geschwindigkeit unter den Geschwindigkeiten mit denen:
• (i) sich die Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie (z.B. im Weltkoordinatensystem) bewegen, und
• (ii) jeweils die Absolutpunkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum (z.B. vom TOOL-Koordinatensystem) überstrichen werden, und/oder sich die Absolutpunkte jeweils beim Durchlaufen der Trajektorie im TOOL-Koordinatensystem bewegen.
• Die Posengeschwindigkeit eines mitbewegten Körpers kann also beispielsweise einen empfindlichen mitbewegten Körper vor Beschädigung schützen, indem seine Geschwindigkeit klein gehalten wird. Die Posengeschwindigkeit eines Raumelements dagegen kann einen im Arbeitsraum ortsfesten Körper vor Bewegungen des Roboters schützen, der sich in diesem Raumelement befindet.
• Der Spezialfall der DISP-Metrik, bei der die euklidische Norm verwendet wird, wird wie oben beschrieben Euklidische DISP-Metrik bezeichnet.
• Beinhaltet, wie in 6 veranschaulicht, die metrikbegründende Menge z.B. drei Relativpunkte a1, a2 und a3, so ist die DISP-Metrik durch d_A,1(p₁,p₂) = max{||V₁||,||V₂||,||V₃||} gegeben, wobei $V_i={\overrightarrow{d}}_i\left(p_1\right)-{\overrightarrow{d}}_i\left(p_2\right)$

  

  die durch den Übergang von der Pose p1 zur Pose p2 induzierte Verschiebung des Punktes ${\overrightarrow{a}}_i$

  

  ist. Ein Beispiel für eine von der DISP-Metrik verschiedenen Metrik ist durch $d_{A\mathrm{,2}}\left(p_1,p_2\right)=\frac{\left(\Vert V_1\Vert +\Vert V_2\Vert +\Vert V_3\Vert \right)}{2}$

  

  gegeben, wobei || || wieder eine beliebige Norm, z.B. die euklidische Norm ist.
• Die d_A,2 ist eine bevorzugte Metrik, deren Implementation wegen ihrer Vorzüge sich sogar parallel bzw. zur DISP-Metrik lohnen kann. Denn in diesem Falle kann man - falls || || die Euklidische Metrik ist - so etwas wie die angenäherte Durchschnittsgeschwindigkeit eines Volumens vorgeben, indem man beispielsweise ein Volumen gitterartig mit Punkten füllt, oder auch nur das Volumen in einen Quader setzt und die 8 Eckpunkte betrachtet und deren durchschnittlichen Verschiebungsbeträge betrachtet.
• Es wird im Folgenden noch auf die Metrikeigenschaft von d_A,1 eingegangen. Sei X eine beliebige Menge. Eine : X x X -> R heißt Metrik auf X, wenn für beliebige Elemente x,y,z von X die folgenden Eigenschaften gegeben sind
1. 1. Positive Definitheit; d(x,y) = 0 <=> x=y
2. 2. Symmetrie: d(x,y) = d(y,x)
3. 3. Dreiecksungleichung: d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z)
• Da unsere metrikbegründenden Mengen qualifizierte Punktmengen sind, erfüllt die DISP-Metrik (1).
• Die DISP-Metrik erfüllt definitionsgemäß (2).
• Die Eigenschaft (3) überträgt sich unmittelbar von der Euklidischen Metrik einzelner Punkte auf die metrikbegründenden Menge, denn auch schon in der Euklidischen Metrik gilt ja die Dreiecksungleichung. Dasselbe gilt für d_A,2 .
• Die unterschiedliche Behandlung von Relativ- und Absolutpunkten wird nun mit Bezug zu 7 bis 9 veranschaulicht. In 7 ist ein serieller Roboter mit 2 Freiheitsgraden gezeigt, links in der Draufsicht und rechts in der Seitenansicht. Bei diesem Roboter sitzt ein Drehversteller 102, 104 auf einem linearen Versteller 101, 103. Der lineare Versteller ermöglicht eine Bewegung in X-Richtung, der Drehversteller 102 eine überlagerte Bewegung in W-Richtung.
• 8 stellt die Bewegung eines mitbewegten Körpers (d.h. hier vereinfachend dargestellt durch einen Relativpunkt) dar und veranschaulicht also die Behandlung von Relativpunkten. Der Körper 201 bewegt sich im Arbeitsraum während der Roboter eine Trajektorie durchläuft. Hier wird der Roboter in der Posenfolge 202, 203, 204 und 205 bewegt. Ein am Drehversteller befestigter Körper 201 folgt den Bewegungen des Roboters. Seine Lage ist jeweils rechts neben dem Roboter dargestellt. Dabei erfährt der Körper Verschiebungen in der Folge 206, 207 und 208. Der entsprechende Pfeil gibt die Richtung der Verschiebung an, seine Länge ergibt sich aus der zugrunde gelegten Metrik. Sollen die Bewegungen in der Folge von 202 bis 205 jeweils mit derselben Posengeschwindigkeit durchgeführt werden, dann wird die der jeweiligen Bewegung eine Zeit zugemessen, die der Pfeillänge proportional ist. Die Vorgabe einer einheitlichen Posengeschwindigkeit eines Körpers bewirkt, dass der bewegte Körper auf dem Weg zwischen zwei Posen immer dieselbe Geschwindigkeit aufnimmt. Mithin ist hier die Posengeschwindigkeit eines Körpers vorgegeben.
• 9 stellt die virtuellen Bewegungen eines Raumvolumens 301 des Arbeitsraums dar. Die Bewegung wird hier als virtuell bezeichnet, da die Pose dieses Raumvolumens von den Bewegungen des Roboters unberührt bleibt. Der Roboter wird wieder in der Posenfolge 202, 203, 204 und 205 bewegt. Beschreibt man die Pose des Volumenelements 301 ( hier dargestellt durch einen Absolutpunkt) relativ zur Pose des Roboters, so kann dem Volumenelement eine veränderliche, abhängige Pose zugeordnet werden. Beispielsweise kommt es beim Wechsel von Pose 302 zu Pose 303 zu einer solchen Verschiebung, dargestellt durch den Pfeil 306, da die Verschiebung des Punktes im Gegensatz zur Verschiebung des Roboters virtuell ist. Die Pfeilrichtungen in 9 sind gleich den entsprechenden Pfeilrichtungen der 8 gewählt. Bei einer auf die Bewegung des Raumes um den Punkt bezogenen Betrachtung wären die Richtungen invertiert zu zeichnen, da man sich ja für die scheinbare Bewegung des Raumes um ein Volumenelement interessiert. Wie in den Bildern 302 bis 305 gezeigt, verbleibt das Raumelement an seinem Ort, erfährt aber nacheinander die virtuellen Verschiebungen 306, 307, 308. Aufgrund dieser Verschiebungen kann dem Raumelement auch eine virtuelle Geschwindigkeit zugeschrieben werden. Man erhält die Pfadlänge in 9 also nicht, indem man auf eine Punktmenge die Abfolge der ursprünglichen Posen anwendet, sondern stattdessen indem man die Abfolge der hierzu jeweilig inversen Posenänderungen heranzieht, wobei jede neue Posenänderung in der ursprünglichen Ausgangspose ansetzt.
• 8 und 9 zeigen, dass Abstände basierend auf derselben Abstandsfunktion auf zweierlei Weise gewonnen werden können: Einmal betrachtet man den Fall eines bezüglich des Arbeitsraumes bewegten Objekts (8), das andere Mal ein ruhendes Objekt (9) bei der sich die Umgebung scheinbar bewegt. Gezeigt wird dann, wie sich aus ein und derselben Abstandsfunktion derselben Punktmenge und identischer Folge kommandierter Posen verschiedene Pfadlängen ergeben, je nachdem, ob das Objekt als mitbewegt oder ruhend behandelt wird. Die unterschiedlichen Pfadlängen führen auch zu einer anderen Trajektorie bzw. zu einem anderen Geschwindigkeitsverlauf. Im Beispiel unterscheidet sich die Länge des Pfeiles 208 in 8 von der Länge des Pfeiles 308, wobei die Länge der Pfeile für die Längen eines Pfadabschnitts stehen. Man erkennt damit anschaulich, dass beim Algorithmus der Trajektorienbestimmung zwischen der Posengeschwindigkeit eines Körpers und der virtuellen Posengeschwindigkeit eines Raumvolumens unterschieden werden muss.
• Eine beliebige Punktmenge, deren konvexe Hülle ein nichtleerer Volumen bildet, kann zur Geschwindigkeitsdefinition zur metrikbegründenden Menge hinzugefügt werden oder diese ausmachen. Umgekehrt kann zu einer endlichen, ein Volumen aufspannenden Punktmenge im Raum die entsprechende konvexe Hülle gebildet werden. Die konvexe Hülle einer qualifizierten Punktmenge im Anschauungsraum hat z.B. die Gestalt eines Polyeders. Wird die Euklidische DISP-Metrik verwendet, kann bei der erfindungsgemäßen Trajektoriengenerierung kein Punkt innerhalb des gebildeten Polyeders die maximale Punktgeschwindigkeit in seinen Ecken überschreiten. Empfindliche Bereiche können dadurch flexibel und mit geringem Rechenaufwand geschützt werden. Als metrikbegründende Menge kann auch eine Kugel im Arbeitsraum vorgeben werden, die beispielsweise eine empfindliche Apparatur einhüllt. Dabei wird die Kugel durch eine endliche Punktmenge sie umhüllender Punkte umhüllt. Die Punkte werden zur metrikbegründenden Menge hinzugefügt bzw. die metrikbegründenden Menge beinhaltet Punkte des Kugelvolumens und/oder der Kugeloberfläche. Dabei können Kugeldurchmesser und Kugelursprung vorgegeben werden. Wie oben gezeigt, kann kein Punkt innerhalb einer Kugel die Mengengeschwindigkeit der Kugeloberfläche überschreiten. Zur einfacheren Berechenbarkeit kann bei der Pfaddefinition, statt Kardanwinkeln eine vorbestimmte Drehachse in den Pivotpunkt bzw. TCP (Tool Center Point) gelegt werden. Wie im Anschluss gezeigt, kann dies eine schnellere Berechnung von Mengenabständen erlauben. Es ist angemerkt, dass eine Kugel auch beliebig genau durch ein Polyeder, z.B. eine reguläres Icosahedron, approximiert werden kann.
• Vereinfachte Berechnung der Mengengeschwindigkeit
• Wie im folgendem erklärt, ist es in vielen Fällen möglich die Mengengeschwindigkeit einer Menge unendlich vieler Punkte wie Raumvolumen durch das Ermitteln der Mengengeschwindigkeit einer aus wenigen Punkten bestehenden Teilmenge zu ermitteln, oder gegebenenfalls nur abzuschätzen. Dies kann die Berechnung der Mengengeschwindigkeiten erheblich vereinfachen.
• Zum Beispiel kann im Allgemeinen die maximale Verschiebung basierend auf Verschiebungen von einem oder mehreren der metrikbegründenden Punkte geschätzt werden, die sich auf der Oberfläche eines Raumvolumens befinden, dessen Bewegung betrachtet werden soll. Anders gesagt kann die maximale Verschiebung basierend auf Verschiebungen einer insbesondere endlichen Teilmenge der metrikbegründenden Punkte geschätzt werden. Dies kann z.B. basierend auf einem, mehreren, oder den Punkten, die sich auf der Oberfläche eines Raumvolumens befinden, das den metrikbegründenden Punkten entspricht, passieren. In manchen Ausführungsformen werden für die Bestimmung der Mengengeschwindigkeit daher nur die oder einige der Randpunkte angeschaut.
• 1) Geschwindigkeitsbeschränkung innerer Punkte
• Es wird nun gezeigt, dass die Maximalgeschwindigkeit der Punkte eines konvexen Polyeders von mindestens einem auf der Oberfläche des Polyeders liegenden Punkt realisiert wird. Es wird insbesondere gezeigt, dass in jedem Punkt eines Polyeders eine Geschwindigkeit herrscht, die kleiner gleich der Geschwindigkeit mindestens eines seiner Eckpunkte ist (zu unterschiedlichen Zeitpunkten kann dies natürlich ein anderer Eckpunkt sein). Diese Geschwindigkeitsbeschränkung gibt der Euklidischen DISP-Metrik eine besondere Bedeutung, weil man eine Geschwindigkeitsbegrenzung der konvexen Hülle einer aus einer endlichen Menge bestehenden metrikbegründenden Menge erreichen kann.
• Unter Geschwindigkeit wird hier der Betrag des Geschwindigkeitsvektors verstanden. Für den Fall, dass sich das Polyeder nur translatorisch bewegt, ist nichts zu zeigen, da alle Punkte die gleiche Geschwindigkeit haben.
• Im Folgenden werden daher nur Verschiebungen behandelt, die auch Drehungen umfassen. Dabei wird ausgenutzt, dass jede allgemeinste Verschiebung jedes Körpers im Raum gemäß Chasles Theorem durch eine Schraubung dargestellt werden kann. Dieser Begriff der Schraubung umfasst auch den Fall einer reinen Drehung.
• Chasles Theorem besagt, wie in 10 veranschaulicht, dass jede Verschiebung eines starren Körpers eine Schraubenbewegung ist, d.h., es gibt stets eine Achse Q, so daß eine Drehung um den Winkel w bei gleichzeitiger Translation h entlang der Achse Q die gegebene Verschiebung hervorbringt. H und/oder w können dabei den Wert 0 annehmen.
• Wie auch aus 10 ersichtlich, hängt die Momentangeschwindigkeit eines Polyederpunktes nur von seinem Abstand zur Schraubungsachse ab. Genauer gesagt nimmt die Geschwindigkeit eines Punktes mit dem Abstand zur Schraubungsachse zu. Dies lässt sich natürlich ebenso rechnerisch zeigen. Die Bestimmung der Orte maximaler Geschwindigkeit reduziert sich also auf eine rein geometrische Aufgabe.
• Um die Aussage zu zeigen, wird im Folgenden die Lage von Polyederpunkten in Äquivalenzklassen eingeteilt. Wichtig ist hier der Nachweis, dass es in einigen Klassen bei all ihren Vertretern gilt, dass kein Punkt einen Abstand zur Drehachse hat, der eine obere Schranke des Abstandes von der Drehachse realisiert, weil zu jedem Punkt ein Punkt mit noch größerem Abstand existiert. Die Existenz eines Maximums der Geschwindigkeit im Polyeder folgt aus seiner Kompaktheit und der Stetigkeit der Geschwindigkeitsverteilung im Polyeder.
• 1. Das Innere des Polyeders
• Im Inneren des Polyeders kann in keinem Punkt eine obere Schranke des Abstands realisiert werden, da in offene Mengen definitionsgemäß um jedem ihrer Punkte eine Epsilon-Umgebung gefunden werden kann, und jede Epsilon-Umgebung einen „Bewegungsspielraum“ hin zu größeren Abständen bietet.
• 2. Das Innere einer Facette
• Betrachtet wird ein beliebiger Punkt im Inneren einer Facette (Seitenfläche eines Polyeders). Dann kann man durch diesen Punkt 2 beliebige verschiedene Geraden legen, die in der Ebene der Facette verlaufen.
• Fall 1: Eine der Geraden schneidet die Schraubungsachse. Dann betrachtet man eine Epsilon-Umgebung auf der Grade um diesen Punkt und schließt auf die Existenz von Punkten mit noch größerem Abstand zur Schraubungsachse. Darum wird im gewählten Punkt der Menge keine obere Schranke realisiert.
• Fall 2: Keine Gerade schneidet die Schraubungsachse. Dann ist mindestens eine der beiden Geraden windschief mit der Schraubungsachse, da ja höchstens eine der beiden Geraden parallel zur Schraubungsachse verlaufen kann. Er gibt dann also eine mit der Schraubungsachse windschiefe Gerade durch diesen Punkt. Sind zwei Geraden windschief, dann haben diese aber bezüglich ihres Abstandes keinen Ort des lokalen Maximums. Darum wird im gewählten Punkt der Menge keine obere Schranke des Abstandes realisiert.
• 3. Das Innere einer Kante
• Fall 1: Die Gerade der Kante schneidet die Schraubungsachse: Man betrachtet man wieder eine Epsilon-Umgebung um jeden beliebigen Punkt und folgert, dass andere Punkte mit noch größerem Anstand zur Schraubungsachse existieren. Darum wird in keinem inneren Punkt der Kante eine obere Schranke realisiert.
• Fall 2: Drehachse und Gerade der Kante liegen windschief zueinander. Der Fall windschiefer Geraden wurde oben schon behandelt.
• Fall 3: Verläuft die Kante parallel zur Achse dann gehören die beiden begrenzenden Ecken und die inneren Kantenelemente entweder beide zur Menge der Punkte des maximalen Anstands oder sie gehören beide nicht dazu. Wenn im Inneren der Kante ein Maximum des Abstandes liegt, dann ist das Maximum auch in den beiden Eckpunkten der Kante zu finden.
• Insgesamt ergibt sich, dass eine obere Schranke des Abstandes in einem Eckpunkt realisiert sein muss, und es handelt sich dann um ein Maximum.
• Ganz analog zeigt man, dass auch im Inneren einer Kugel kein Punkt gefunden werden kann, in dem die Geschwindigkeit größer ist als auf der Oberfläche der Kugel.
• 2) Rotierende Kugel
• Eine stabil um eine Gerade rotierende Kugel weist eine konstante Mengengeschwindigkeit auf, insbesondere wenn die Gerade durch ihren Mittelpunkt geht. Der Kugelrotation kann dabei eine translatorische Bewegung überlagert sein. Die Geschwindigkeiten aller Punkte, die auf der der Kugeloberflächen aber nicht auf der Drehachse liegen werden sich im Allgemeinen ständig ändern und periodisch wiederholen. Auch ändert sich ständig der Punkt, der die größte Geschwindigkeit aufweist. Dennoch bleibt die Mengengeschwindigkeit konstant. Eingangswerte für die Berechnung der Mengengeschwindigkeit sind der Richtungsvektor der Translation, der Geschwindigkeit der Translation, der Kugelradius, und die Winkelgeschwindigkeit. Ergebnis ist der Richtungsvektor größter Geschwindigkeit sowie sein Betrag.
• Wird ein Pfad von einer Pose A zu einer Pose B, der sowohl Drehungen als auch Translation umfasst, durch eine Rotation um eine Gerade mit überlagerter Translation ausgedrückt, so vereinfacht sich die Trajektorienbestimmung, da die Mengenabstände zum Drehwinkel beziehungsweise der Translationsweite auf dem Pfad proportional sind. Jede Drehung im Raum um einen Punkt kann nach einem Satz von Euler als eine Drehung um eine Drehachse durch diesen Punkt realisiert werde.
• Erfindungsgemäß wird eine Trajektorie von Posen auf der Basis einer Posenmetrik bestimmt, wobei ein Pfad der Posen vorgegeben ist. Ein beispielhaftes Verfahren zum Bestimmen einer Trajektorie ist in 11 dargestellt. Die Trajektorie ist von der Kinematik für eine bestimmte Anwendung zu Durchlaufen.
• Der Begriff Anwendung kann sich hierbei auf eine bestimmte Aufgabe oder Tätigkeit, also z.B. welche Werkzeuge und/oder Objekte der Roboter bei Durchlaufen mitbewegt beziehen. Der Begriff Anwendung kann sich aber auch (alternativ oder zusätzlich) auf die spezielle Situation, also Umstände, Gegebenheiten, Umfeld und/oder Rahmenbedingungen unter denen eine solche Aufgabe auszuführen ist beziehen. Dies beinhaltet z.B. ob und, wenn ja, wo sich Menschen aufhalten können und somit erhöhte Sicherheitsbedingungen einzuhalten sind.
• Das Verfahren umfasst einen Schritt S1 120, in dem, basierend auf der Anwendung, die Punkte der metrikbegründenden Menge bestimmt werden. Wie bereits oben erklärt, handelt es sich um Punkte im Arbeitsraum der Kinematik auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht. Das Verfahren umfasst einen Schritt S1100, in dem eine Maximalgeschwindigkeit (also die Systemgeschwindigkeit) erhalten S1100 wird. Das Verfahren umfasst einen Schritt S1100, in dem der Pfads der Trajektorie im Posenraum erhalten wird. Das Erhalten der Systemgeschwindigkeit und das Erhalten des Pfads kann im selben oder in getrennten Schritten erfolgen. Der Pfad kann durch eine Berechnung basierend auf einer Ziel- und einer Endpose erfolgen. Die Systemgeschwindigkeit kann z.B. von einem Benutzer eingegeben werden. Die Schritte S1100 und S1120 können in beliebiger Reihenfolge stattfinden.
• Das Verfahren umfasst ferner einen Schritt S1140, in dem die Trajektorie, basierend auf dem gegebenen Pfad so bestimmt, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Systemgeschwindigkeit ist.
• Dem eben vorgestellten Verfahren entsprechend wird, gemäß einem anderen Ausführungsbeispiel, eine Steuerungsvorrichtung 1200 zum Steuern einer Kinematik bereitgestellt. Eine solche Steuerungsvorrichtung 1200 ist in 12 veranschaulicht und dazu eingerichtet, (i) eine Systemgeschwindigkeit, (ii) einen Pfad der Trajektorie in dem Posenraum, und (iii) eine Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht, zu erhalten. Die Steuerungsvorrichtung 1200 ist ferner dazu eingerichtet, die Trajektorie basierend auf dem Pfad zu bestimmen, so dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Systemgeschwindigkeit ist.
• Die Steuerungsvorrichtung 1200 kann in einer beliebigen Hardware umgesetzt werden. Beispielsweise kann diese als Software auf einem programmierbaren Prozessor 1210 laufen. Alternativ kann eine spezialisierte Hardware-Einheit die Steuerungsvorrichtung 1200 darstellen. Es kann eine Mischung aus Spezialhardware und programmierbarer Hardware vorliegen. In einer vorteilhafter Ausführungsform ist die Steuerungsvorrichtung 1200 verteilt und ihre Funktionen können auf mehreren Prozessoren 1210, 1220 beziehungsweise Hardwareeinheiten durchgeführt werden. Insbesondere können die Funktionen des Steuerns der seriellen oder parallelen Kinematik durch eine lokale Steuerung erfolgen und die Berechnung der Interpolation und/oder die Aufteilung des Raumes in die Raumeinheiten kann in einem externen Gerät, wie zum Beispiel einem Rechner erfolgen. Weitere Konfigurationen sind möglich.
• Trajektorienbestimmung - Schritt S1140
• Im Schritt der Trajektorienbestimmung S1140 wird die Trajektorie basierend auf dem gegebenen Pfad und der gegebenen Systemgeschwindigkeit bestimmt. Die Angabe des Pfads kann auch eine Angabe des Start- und/oder Endpunkts umfassen. Genauer gesagt wird die Trajektorie so bestimmt, dass (beim Durchlaufen der Trajektorie) die Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Systemgeschwindigkeit ist. Insbesondere kann die Trajektorie so bestimmt werden, dass die die Posengeschwindigkeit stets möglichst groß, jedoch kleiner gleich der Systemgeschwindigkeit ist. Die Systemgeschwindigkeit kann also die Zielgeschwindigkeit bei der Trajektorienbestimmung sein. Gibt es auch noch Vorgaben für die Posenbeschleunigung, den Posenruck usw. werden diese auch berücksichtigt. Wie bereits erwähnt ist die Trajektorie eine Abbildung von einem Zeitintervall auf die Menge der Posen des Pfades, wobei der Pfad von einem Ende zum anderen Durchlaufen wird. Der Pfad legt die Reihenfolge der Posen fest, die die Kinematik anzunehmen hat. Die Trajektorie legt zusätzlich fest mit welchen Geschwindigkeit die gegebene Reihenfolge zu durchlaufen ist. Die Trajektorie entspricht also einem zeitlichen Verlauf einer Position und Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad.
• Bei der Trajektorienbestimmung kann die Trajektorie aus einem vorgegebenen Pfad der Posen gewonnen werden, indem dem Pfad auf Basis einer Posenmetrik eine Pfadlänge zugeordnet wird und eine Funktion der Pfadlänge auf die verstrichene Zeit definiert wird. Die Funktion kann nach Vorgaben kinematischer Posenmetrikparameter (z.B. Posengeschwindigkeit, Posenbeschleunigung, usw.) bestimmt werden. Zum Beispiel kann der Pfad nach der durch die Posenmetrik gegebenen Pfadlänge, s, parametrisiert werden. Wird darin die Pfadlänge s(t) = t · v_max, wobei v_max die vorgegebene Maximalgeschwindigkeit, also die Systemgeschwindigkeit, bezeichnet, eingesetzt, wird der Pfad mit der vorgegebenen Maximalgeschwindigkeit durchlaufen. Begrenzungen beispielsweise der Beschleunigung erzwingen in der Praxis jedoch komplexere Geschwindigkeitsprofile.
• Der Pfad kann z.B. zunächst auch in mehrere Pfadabschnitte aufgeteilt werden. Eine Aufteilung kann durch eine Linearkombination des Parametervektors a der Startposition und des Parametervektors der Zielposition b erhalten werden. Eine Zwischenposition wird erhalten mit einem Parametervektor c = s*a + (1-s) b mit s aus ]0,1[. Für einen, mehrere, oder alle der Pfadabschnitte können dann die folgenden Schritte, insbesondere bei Verwendung der DISP-Metrik, ausgeführt werden:
• (i) Schätzen des Posenabstandes anhand der Punktverschiebungsabstände der metrikbegründenden Menge. Insbesondere, falls z.B. Euklidische DISP-Metrik verwendet wird, kann in diesem Schritt die maximale Verschiebung unter den Verschiebungen, die die Punkte beim Durchlaufen des Pfadabschnitts erfahren, geschätzt werden. Anders gesagt wird hier der Posenabstand (basierend auf der Posenmetrik) zwischen den beiden Posen, die den beiden Enden des Pfadabschnittes entsprechen, berechnet.
• (ii) Schätzen, basierend auf der Systemgeschwindigkeit und der geschätzten maximalen Verschiebung, einer Zeitdauer, in der der Pfadabschnitt beim Durchlaufen der Trajektorie zu durchlaufen ist. In diesem Schritt kann die Zeitdauer zum Beispiel geschätzt werden, indem die geschätzte maximale Verschiebung durch die Systemgeschwindigkeit geteilt wird.
• Die Trajektorie wird dann so bestimmt, dass der Pfadabschnitt in mindestens der geschätzten Zeitdauer durchlaufen wird. Hierdurch ist die Geschwindigkeit in dem Pfadabschnitt kleiner gleich der Systemgeschwindigkeit.
• Beschleunigung, Ruck, etc.
• Wie bereits erwähnt lassen sich mit der Posenmetrik analog zur Definition einer Posengeschwindigkeit, basierend auf einer Posenmetrik auch eine Posenbeschleunigung, ein Rosenruck usw. definieren. Das erfindungsgemäße für Geschwindigkeiten beschriebene Verfahren zur Trajektorienbestimmung lässt sich auch auf die Posenbeschleunigung, den Posenruck und die anderen verallgemeinerten kinematischen Größen anwenden bzw. erweitern. Insbesondere kann eine Trajektorie ausgehend von einem Pfad im Allgemeinen so bestimmt werden, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft: (i) eine auf der Metrik basierende Posenbeschleunigung kleiner gleich einer vorbestimmten Maximalbeschleunigung ist, und/oder (ii) ein auf der Metrik basierende Posenruck kleiner gleich einem vorbestimmten Maximalruck ist.
• Spezielle Koordinatensysteme
• Die Geschwindigkeitsvorgabe durch eine metrikbegründende Menge kann auch im Zusammenwirken mit speziellen Koordinatensystemen, wie dem Work- oder Tool-Koordinatensystem eingesetzt werden. Insbesondere kann die metrikbegründende Menge basierend auf der Lage des Tool- und/oder des Work-Koordinatensystems bestimmt werden. Die metrikbegründende Menge wird also durch Hinzufügen und/oder Entfernen von Punkten jeweils an die Lage des Work- und/oder Tool-Koordinatensystems angepasst. So können Anpassungen optional über einen Automatismus an die Lage dieser Koordinatensysteme gekoppelt werden, so dass sie bei Konfigurationsänderungen der Koordinatensysteme automatisch z.B. in der Steuerungsvorrichtung angepasst werden.
• Soll z.B. ein Motorblock mit einem Fräser bearbeitet werden, so haftet dem Motorblock das Work-Koordinatensystem und dem Fräser das Tool-Koordinatensystem an. Das Werkzeug, der Fräser, wird bewegt, Work als Lage und Orientierung des Werkstücks verbleibt ortsfest. Das Toolkoordinatensystem bezieht sich zunächst auf die Initialisierungspose der Kinematik und wandert mit.
• Beim Setzen dieser Koordinatensysteme könnte man automatisch Punkte setzen, die beispielsweise den Ursprung des Tool-Koordinatensystems umhüllen, oder einen Bereich um den Ursprung Work-Koordinatensystems umhüllen. Punkte um das Tool-Koordinatensystem definieren die Geschwindigkeiten des Fräsers und sind als Relativpunkte zur metrikbegründenden Menge hinzuzufügen. Punkte um den Bereich des Work-Nullpunktes können bewirken, dass alle Dinge (wie der Fräser) in der Nähe der Konvexen Hülle dieser Punkte eine moderate Geschwindigkeit nicht überschreiten. diese Punkte (Work-Koordinatensystem) dürfen natürlich nicht mitwandern, sind also einer metrikbegründenden Menge von Absolutpunkten hinzuzufügen.
• In einer bevorzugten Ausführung wird z.B. als metrikbegründende Menge eine Kugel, angenähert beispielsweise als reguläres Icosahedron, um den Ursprung des Tool-Koordinatensystem gelegt. Als Folge hiervon ändert sich die Relation zwischen kartesischen Bewegungen und Drehbewegungen bei einer Ortsänderung des Werkzeuges nicht, und die Trajektorie der Drehbewegungen bleibt auch nach einer Ortsänderung des Werkzeugs unverändert. Wiederum können die Winkelgeschwindigkeiten über die Kugelgröße an die Systemgeschwindigkeit gekoppelt werden.
• Pivotpunkt(e)
• Die Geschwindigkeitsvorgabe durch eine metrikbegründende Menge kann auch im Zusammenwirken mit Pivotpunkten eingesetzt werden. Insbesondere kann die metrikbegründende Menge basierend auf der Lage eines Pivotpunkts bestimmt werden.
• Zum Beispiel, insbesondere bei Winkelscans bei Faseralignments, kann man eine metrikbegründende Menge in Form einer Kugelschale um den Pivotpunkt setzen. Es werden hierbei also Relativpunkt im bewegten Faserende verwendet. Hierdurch lassen sich Winkelgeschwindigkeiten bezüglich kartesischer Geschwindigkeiten in ihrem Einfluss auf die Trajektorie durch den Radius der Kugelschale skalieren. Ist die Menge gesetzt, dann kann der Ort des Scans vor überhöhten Punkt-Geschwindigkeiten geschützt werden. Insbesondere bestimmt der Radius einer Kugeloberfläche, auf der gleichmäßig Punkte angeordnet sind bei Drehungen um den Kugelmittelpunkt (z.B. Fräserspitze) das Verhältnis zwischen kartesischer Geschwindigkeit und Drehgeschwindigkeit, was auch bei der Bewegung eines Werkzeuges relevant ist.
• Mit einer geeigneten Auslegung eines Pfades von einer Startpose A zu einer Endpose B, deren Posenparameter sich beispielsweise auf einen Pivotpunkt beziehen erreicht man eine Vereinfachungen und Beschleunigungen bei der Trajektorienberechnung . Ausgenutzt wird dabei ein Satz von Euler, wonach alle Drehungen im R³ um einen Punkt durch eine Drehung um eine Drehachse durch diesen Punkt realisiert werden können. Man wählt hier zweckmäßigerweise zur Handhabung der Drehungen und der Umformung in der Parametrierung einer Drehung das Quaternionenkalkül. Die Drehachse und der Drehwinkel ergeben sich beispielsweise durch die Umrechnung der Orientierungsänderung von Pose A nach Pose B in Quaternionendarstellung. Bei der Bewegung einer Kugel von Pose A nach Pose B bleibt, wie oben gezeigt, die Geschwindigkeit des schnellsten Punktes der Kugeloberfläche konstant, wenn die kartesische Geschwindigkeit und die Drehgeschwindigkeit konstant sind und die Drehung um eine Drehachse erfolgt, die durch den Kugelmittelpunkt geht. Bei einer sich translatorisch und sich um eine Achse durch ihren Mittelpunkt sich drehenden Kugel, die sich frei „im Weltraum ungezwungen“ bewegt, kann man eine konstante Maximalgeschwindigkeit finden die in mindestens einem (auch wechselnden) Punkt der Kugeloberfläche auftritt, das ist eine passende Analogie und entspricht dem Pfad Bewegung.
• Wählt man als Winkelparameter des Pfades Drehachse und Drehwinkel um eine feste Achse, also die Quaternionendarstellung, dann treten beim Durchlaufen des Pfades jedenfalls nicht wie bei den Kardandrehungen unnötige Kreiselkräfte auf, was bei Shakerhexapoden relevant sein kann und im Allgemeinen Anregungen von Eigenschwingungen z.B. eines Hexapoden reduzieren kann. Auch bleibt dann die Transformationsmatrix von Posenabschnitt zu Posenabschnitt konstant, falls die Posenparameter auf dem Pfad linear interpoliert werden und die Pfadabschnittslängen gleich sind. Dann müssen die Drehmatrizen nicht ständig neu errechnet werden. Diese Rechenersparnis kann bei der Verwendung kostengünstiger Steuerungen von Hexapoden (Flugsimulatoren) relevant sein.
• Bogenlänge des Pfads eines bewegten Starrkörpers
• Die Berechnung der Bogenlänge der Bahnkurve (oder auch Bahn genannt) eines bewegten Massepunktes ist in 13 veranschaulicht, um die Berechnung der Bogenlänge des Pfades eines bewegten Starrkörpers - genauer gesagt seiner Pose - als Analogie zu erläutern. Mit der anschaulichen Bezeichnung der Bogenlänge eines Pfades ist hier dasselbe gemeint wie mit Pfadlänge, die gleichbedeutend mit der Pfadlänge im Posenraum ist.
• Die Bogenlänge der Bahnkurve lässt sich berechnen, indem man die einzelnen Züge $\Delta \overrightarrow{r}$

  

  gegen 0 gehen lässt und integriert. Parametriert man die Kurve mit der Zeit, dann ist jedem Punkt auf der Kurve jederzeit eine Geschwindigkeit zugeordnet. Dies ist bei der Bahn eines Massepunktes in dieser Weise möglich, weil ein Punkt in einem Euklidischen Vektorraum bewegt wird. Der Euklidische Abstand ist (gemäß Pythagoras) bei zweidimensionalen Vektoren (a,b) und (c,d) als $\sqrt{{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-d\right)}^2}$

  

  gegeben. Solch eine Abstandsfestlegung ist ein Beispiel für eine Metrik auf ℝ². Kommen (dreidimensionale) Starrkörper ins Spiel, müssen auch noch Drehungen betrachtet werden. Wohlgemerkt geht es dabei nicht einfach um den Abstand beispielsweise des Schwerpunkts, stattdessen sollen auch Verdrehungen durch den Abstandsbegriff umfasst werden.
• Es braucht also ein Abstandsmaß für Posen, das sowohl die Verdrehung als auch die kartesische Verschiebung umfasst, wie nun mit Bezug auf 14 bis 17 genauer erklärt wird. 14 zeigt eine Folge von Posen eines zweidimensionalen Körpers im zweidimensionalen Raum, wobei der Euklidische DISP-Abstand benachbarter Posen dargestellt ist. 15 veranschaulicht die Gewinnung einer Pfadlänge aus dem Posenpfad eines bewegten Körpers auf der Basis einer Metrik anhand des in 14 gezeigten Posenpfads. In 16 und 17 sind Geschwindigkeitsverläufe gezeigt, die einem Pfad wie in 14 zugeordnet werden können und den Pfad damit zu einer Trajektorie ergänzen können.
• In 14 ist eine unterbrochene geschwungene Linie dargestellt. Die linke Seite beschreibt den ersten Teil eines Pfades eines dreieckigen Körpers beginnend in der Pose 401, die rechte Seite zeigt das Endstück des Pfades. Bewegt wird ein dreieckiger Körper der Ausgangspose 401, wobei zur Abstandsbestimmung aufeinander folgender Posen nur seine drei Eckpunkte herangezogen werden. Auf dem Pfad, in der Folge von links nach rechts, wird das Dreieck in verschiedenen Zwischenposen dargestellt. Durch die Menge der Zwischenposen auf der geschwungenen Linie sei ein Pfad vorgegeben, dessen genauer Verlauf durch Interpolationen festgelegt werden muß. In der Abfolge der Posen sind die Verschiebungen und Drehungen jeweils zwischen zwei Posen des Körpers sowie die Unregelmäßigkeiten zur Verdeutlichung in 14 in ihrem Ausmaß besonders betont. Es soll hier nur das Prinzip dargestellt werden. Die hier dargestellte Metrik ist die Euklidische DISP-Metrik. Der Abstand zwischen zwei Posen ist das Maximum der Verschiebungsabstände jener Punkte, die zu dieser Abstandsdefinition gewählt sind, nämlich die Eckpunkte der Dreiecke. Durch die Pfeile zwischen den Eckpunkten aufeinander folgender Dreiecke, wie 401 und 402, ist ein Punktepaar bezeichnet, das einen Maximalen Abstand aufweiset. Dieser Abstand gilt als zugrundeliegender Abstand einer Abstandsfunktion zwischen zwei Posen.
• In 15 sind die in 14 aufgezeigten Abstände als Balkengrafik dargestellt. 501 bezieht sich auf den linken Teil des Pfades, 502 auf den rechten Abschnitt des Pfades. Die Höhe der Balken entspricht dem Abstand zwischen zwei Posen, die Breite der Balken ist 1. Die Höhe des Balkens 503 entspricht dem Abstand der Posen 401 und 402, der letzte Balken 504 entspricht dem Abstand der Pose 404 zu ihrem Vorgänger. Die Summe der Flächen aller Balken entspricht der Pfadlänge des Pfades, die sich aus der Folge der Posen ergibt. Eine Trajektorie lässt sich gestalten, wenn eine Dauer einer Bewegung zwischen jeweils zwei aufeinanderfolgender Posen festgesetzt wird.
• In 16 und 17 sind Geschwindigkeitsprofile über der Zeit aufgetragen. Die Profile zeigen, die durch verschiedene Vorgaben unter entsprechender Verwendung der Pfadlänge gewonnen werden können, indem Zeiten festgelegt werden, in denen ein Intervall durchschritten wird. Das gezeigte Geschwindigkeitsprofil zusammen mit dem Pfad definiert die Trajektorie. Bei der Darstellung in 16 und 17 wurde angenommen, dass der Pfad lang genug ist, dass eine anzustrebende Geschwindigkeit erreicht werden kann. Bei dafür zu kurzen Pfaden wären die Geschwindigkeitsverläufe der 16 bzw. 17 qualitativ anders darzustellen.
• In 16 ist ein Geschwindigkeitsprofil im S-Profile-Mode gezeigt. Die Fläche unter dem Profil entspricht der Pfadlänge. Hier kann der Jerk die Werte {-j, 0, j} annehmen, der Betrag der Beschleunigung ist auf ein Intervall [-a, a] begrenzt. Der Betrag der angestrebten maximalen Geschwindigkeit v, hier gezeigt am Ort 601, entspricht der in der Robotersteuerung gewählten Systemgeschwindigkeit.
• In 17 ist ein Trapezprofil gezeigt. Die Fläche unter dem Profil entspricht wieder der Pfadlänge. Diesem Profil vorgegeben ist die Pfadlänge, und die Beschleunigung, welche die Werte {-a, 0, a} annehmen kann sowie der Betrag der Systemgeschwindigkeit, die unter Umständen auch die anzustrebende Geschwindigkeit ist, hier gezeigt am Ort 701. Der Betrag der zulässigen maximalen Geschwindigkeit v entspricht der in der Robotersteuerung gewählten Systemgeschwindigkeit.
• Neben den häufig verwendeten Geschwindigkeitsprofilen der 5 und 6 ist eine Vielzahl anderer Geschwindigkeitsprofile denkbar. Die Geschwindigkeitsprofile 5 und 6 werden bei Bewegungen zwischen zwei Posen, sogenannten Point-to-Point-Bewegungen häufig eingesetzt. Sollen auf der Bahn zusätzlich Zwischenposen erreicht oder angenähert werden, man spricht von VIA-Punkten, sind die Geschwindigkeitsprofile in der Regel komplexer. Die hier anhand der Geschwindigkeitsprofile vorgestellten Momentangeschwindigkeiten sind Posengeschwindigkeiten, die auf einer Metrik auf Posen beruhen. Wie erkennbar, ist diese Geschwindigkeit auch das Geschwindigkeitsmaximum aller Punkte der Dreiecksfläche in 14, die sich auf die Euklidische DISP-Metrik bezieht. Ebenso übertragen sich Beschleunigung und Jerk der 16 bzw. 17 als kinematische Angaben auf die Eckpunkte des Dreiecks.
• Bei hoch dynamischen Kinematiken mit häufiger Richtungsumkehr (Shaker-Hexapoden) kann die Trajektorienbestimmung auch um vektorielle Betrachtungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung und anderer Parameter ergänzt werden. In Bereichen der Richtungsumkehr oder zu beachtender Richtungsänderungen des Pfades wird man der Trajektorie beispielsweise eine geringere Geschwindigkeit vorgeben, was auch zu geringeren Beschleunigungen etc. führt.
• Kontrolle und Begrenzung der Bein-Hubgeschwindigkeiten
• Die Geschwindigkeitsvorgaben im Zusammenhang mit einer Posenmetrik haben zunächst keinen Bezug zu den Auslenkgeschwindigkeiten der Beine bei der Stewart Plattform. Mit Auslenkgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit eines Beines gemeint, wenn es isoliert als linearer Versteller betrachtet wird. Diese Auslenkgeschwindigkeiten müssen prinzipiell begrenzt werden. Eine einfache Möglichkeit besteht darin, die oberen sechs Anlenkpunkte der Beine 10, 219 zu einer metrikbegründenden Menge zusammenzufassen und die Posengeschwindigkeit dieser Menge auf die maximal zulässige Auslenkgeschwindigkeit der Beine zu begrenzen. Aus geometrischen Gründen begrenzt dies die Auslenkgeschwindigkeiten der Beine auf diesen Wert, wobei die Geschwindigkeit der Plattform dabei auch noch zusätzlich auf ein sinnvolles Maß begrenzt wird.
• Eine andere Möglichkeit besteht darin, die metrikbegründende Menge der oberen sechs Anlenkpunkte als Grundlage einer Metrik des Konfigurationsraumes (= Joint Space) zu nehmen und Abstände im Konfigurationsraumes zu betrachten. Diese resultierenden Abstände entsprechen bei der Euklidischen DISP-Metrik - diesmal im Konfigurationsraum - der maximalen Beinauslenkgeschwindigkeit. In heuristischer Weise ist es nämlich möglich, Metriken des Posenraumes mit Metriken des Arbeitsraumes miteinander zu verknüpfen und daraus eine Trajektorie zu generieren. Wie Metriken miteinander verknüpft werden können, ist weiter unten unter der Überschrift „Gleichzeitige Berücksichtigung von mehreren Körpern“ behandelt. Solche speziellen Berücksichtigungen des Konfigurationsraumes sind eher bei seriellen Robotern wie Industrierobotern von Bedeutung, da die Betrachtung der Beingeschwindigkeiten beim Hexapoden eine nachgeordnete Bedeutung hat.
• Gleichzeitige Berücksichtigung von mehreren Körpern
• Die Festlegung von Geschwindigkeiten auf der Basis einer einzigen Punktmenge mit der durch sie gegebene Metrik kann, wie im Folgenden erklärt, verallgemeinert werden.
• Diese Verallgemeinerungen kann einen erheblichen Nutzen erbringen. Wenn man z.B. in der Robotik Handhabungstechnik betreibt, dann ist es interessant, unterschiedliche Maximalgeschwindigkeiten (=Posengeschwindigkeiten) für verschiedene Körper gleichzeitig einzuhalten, also unterschiedlich Systemgeschwindigkeiten vorzugeben. Denn es werden ja auch immer mehrere Körper (Rauminhalte) gleichzeitig bewegt, wenn mehrere Körper am Endeffektor befestigt sind, beziehungsweise mehrere im Bezugskoordinatensystem unbewegte Körper berücksichtigt werden.
• Als einen Sonderfall eines Körpers möchte man vielleicht ein großes Volumen festlegen, indem die Geschwindigkeit pauschal erst einmal beschränkt ist. Dieses Volumen könnte etwa die unmittelbare Umgebung der bewegten Plattform des Roboters/Hexapoden sein, definiert durch ein umhüllendes Rechteck. Ein solches umhüllendes Volumen möchte man in der Regel ja zusätzlich betrachten. Die Rauminhalte, deren unterschiedliche Maximalgeschwindigkeiten überwacht/definiert werden, dürfen sich durchdringen.
• Die Vorgehensweise ist in 18 für den zweidimensionalen Fall anhand von 2 Punktmengen erläutert. Zwei Körper K1 und K2 werden infolge derselben Posentransformation verschoben. Beide Körper werden im Folgenden mit ihren Eckpunkten identifiziert. Der erste Körper K1 wird durch eine Posentransformation von der Lage 801 in die Lage 802 verschoben, der zweite Körper K2 wird durch dieselbe Posentransformation von der Lage 804 in die Lage 805 verschoben.
• Jeder der beiden Körper definiert seine eigene Metrik, so dass im Posenraum zwei Metriken durch die beiden Körper definiert sind. Die Metriken seien mit M₁ und M₂ bezeichnet. Damit sind zwei Abbildungen von einem Posenpaar (P_a,P_b) auf die nicht-negativen reellen Zahlen definiert, die Metriken darstellen. Der Typ beider Metriken sei im Beispiel identisch, es sei z.B. die Euklidische „DISP-Metrik”. Die Posenabstände sind mit 803 bzw. 804 bezeichnet.
• Basierend auf den Abbildungen M₁ und M₂ kann eine dritte Abbildung $$M_3\left(P_a,P_b\right):=\text{max}\left(M_1\left(P_a,P_b\right),M_2\left(P_a,P_b\right)\right)$$

  

  definiert werden. Diese Abbildung ist ebenfalls eine Metrik M₃ und, angewandt auf die beiden Körper, kann die Posengeschwindigkeit beider Körper gleichermaßen begrenzen. Alternativ oder zusätzlich können zwei oder mehr metrikbegründende Punktmengen von Relativpunkten können auch zu einer metrikbegründenden Punktmenge vereinigt werden. Ebenso können zwei oder mehr metrikbegründende Punktmengen von Absolutpunkten auch zu einer metrikbegründende Punktmenge vereinigt werden.
• Ferner ist es möglich eine neue Metrik durch die Vorschrift $$M_4\left(P_1,P_2\right):=\text{max}\left(M_1\left(P_1,P_2\right),s\cdot M_2\left(P_1,P_2\right)\right)$$

  

  wobei s eine positive reelle Zahl ist, zur Darstellung maximaler Posengeschwindigkeiten zu definieren. Wird diese Metrik M₄ verwendet, so ist die Posengeschwindigkeit beim Körper K2 auf eine maximale Posengeschwindigkeit begrenzt, die um den Faktor 1/s gegenüber der maximalen Körpergeschwindigkeit von K1 verschieden ist. Das Beispiel bezieht sich auf 2 Körper. Das Verfahren ist jedoch nicht auf 2 Körper begrenzt.
• Ebenso können aus Metriken des Jointspace und des Posenraumes in dieser Weise neue Metriken gebildet werden.
• Zusammengefasst, betrifft die vorliegende Erfindung die Bestimmung einer Trajektorie in einem Posenraum einer Kinematik im Einklang mit einem gegebenen Pfad der Trajektorie. Die Trajektorie ist hierbei von der Kinematik für eine bestimmte Anwendung zu durchlaufen. Eine Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht, wird basierend auf der Anwendung bestimmt. Basierend auf dem Pfad wird die Trajektorie so bestimmt, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich einer vorgegebenen Maximalgeschwindigkeit ist.

Claims (9)

1. Ein Verfahren zum Bestimmen einer Trajektorie in einem Posenraum einer Kinematik, wobei die Trajektorie von der Kinematik für eine bestimmte Anwendung zu Durchlaufen ist und das Verfahren folgende Schritte umfasst: Erhalten (S1100) - einer Maximalgeschwindigkeit, und - eines Pfads der Trajektorie in dem Posenraum; Bestimmen (S1120), basierend auf der Anwendung, einer Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht; und Bestimmen (S1140) der Trajektorie basierend auf dem Pfad, so dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Maximalgeschwindigkeit ist.
2. Das Verfahren gemäß Anspruch 1, wobei die Trajektorie einem zeitlichen Verlauf einer Position und Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad entspricht; die Punkte jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik angeben, und: - sich beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mitbewegen, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern; und/oder - beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht, ruhen; und die Posengeschwindigkeit einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entspricht, mit denen sich die Punkte beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen.
3. Das Verfahren gemäß Anspruch 1, wobei die Punkte einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum entsprechen; und die Posengeschwindigkeit einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entspricht, mit denen jeweils die Punkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum überstrichen werden.
4. Das Verfahren gemäß Anspruch 1, wobei die Trajektorie einem zeitlichen Verlauf einer Position und Orientierung der Kinematik in Übereinstimmung mit dem Pfad entspricht; die Punkte Relativpunkte und Absolutpunkte beinhalten, wobei die Relativpunkte jeweilige Positionen im Arbeitsraum relativ bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik angeben, und: - sich beim Durchlaufen der Trajektorie mit der Kinematik so mitbewegen, dass sich die Relativpositionen bezüglich der Position und der Orientierung der Kinematik nicht ändern; und/oder - beim Durchlaufen der Trajektorie in einem Koordinatensystem, das dem zeitlichen Verlauf der Position und der Orientierung der Kinematik entspricht, ruhen; die Absolutpunkte einem ortsfesten Bereich im Arbeitsraum entsprechen; und die Posengeschwindigkeit einer maximalen Geschwindigkeit unter Geschwindigkeiten entspricht, mit denen: - sich die Relativpunkte beim Durchlaufen der Trajektorie bewegen, und - jeweils die Absolutpunkte von einem mit der Kinematik mitbewegten Raum überstrichen werden.
5. Das Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das Bestimmen der Trajektorie umfasst: Aufteilen des Pfads in Pfadabschnitte; Schätzen einer maximalen Verschiebung unter den Verschiebungen, die die Punkte beim Durchlaufen eines der Pfadabschnitte erfahren; Schätzen, basierend auf der Maximalgeschwindigkeit und der geschätzten maximalen Verschiebung, einer Zeitdauer, in der der Pfadabschnitt beim Durchlaufen der Trajektorie zu durchlaufen ist; und Bestimmen der Trajektorie, so dass der Pfadabschnitt in mindestens der geschätzten Zeitdauer durchlaufen wird.
6. Das Verfahren gemäß Anspruch 5, wobei die maximale Verschiebung basierend auf Verschiebungen von einem oder mehreren der Punkte geschätzt wird, die sich auf der Oberfläche eines Raumvolumens befinden, das den Punkten entspricht.
7. Das Verfahren gemäß eines der Ansprüche 1 bis 6, wobei die Trajektorie so bestimmt wird, dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft: - eine auf der Metrik basierende Posenbeschleunigung kleiner gleich einer vorbestimmten Maximalbeschleunigung ist, und/oder - ein auf der Metrik basierende Posenruck kleiner gleich einem vorbestimmten Maximalruck ist.
8. Das Verfahren gemäß eines der Ansprüche 1 bis 7, wobei die Menge von Punkten bestimmt wird basierend auf einer Lage - eines Tool- und/oder Work-Koordinatensystems; und/oder - eines Pivotpunkts.
9. Eine Steuerungsvorrichtung zum Steuern einer Kinematik, wobei die Steuerungsvorrichtung dazu eingerichtet ist: zu erhalten: - eine Maximalgeschwindigkeit, - einen Pfad der Trajektorie in dem Posenraum, und - eine Menge von Punkten im Arbeitsraum der Kinematik, auf denen eine zur Bestimmung der Trajektorie zu verwendende Metrik des Posenraums beruht; und die Trajektorie basierend auf dem Pfad zu bestimmen, so dass, wenn die Kinematik die Trajektorie durchläuft, eine auf der Metrik basierende Posengeschwindigkeit kleiner gleich der Maximalgeschwindigkeit ist.

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