DE102017012033A1 - Zahnrad mit verbesserten mechanischen Eigenschaften - Google Patents

Abstract

Ein Zahnrad 7 mit Wälzkreisdurchmesser R weist eine mittlere stirnseitige Krümmung mit Krümmungsradius ρ auf, wobei 20·R ≤ ρ ≤ 160·R ist.

Description

• Die vorliegende Erfindung betrifft ein Zahnrad mit Wälzkreisradius R.
• Eine erste Aufgabe der Erfindung besteht darin, ein Zahnrad aus einem metallischen oder polymeren Werkstoff mit verbesserten mechanischen Eigenschaften bereitzustellen. Insbesondere soll ein Zahnrad mit erhöhter axialer Steifigkeit geschaffen werden. Im Weiteren soll ein Zahnrad mit axialer Elastizität - analog zu einer Tellerfeder - bereitgestellt werden.
• Die Erfindung verbessert insbesondere die mechanischen Eigenschaften von dünnwandigen Zahnrädern. Alternativ eröffnet die Erfindung die Möglichkeit, unter Beibehaltung der axialen Steifigkeit die Wanddicke von Zahnrädern und damit deren Gewicht zu reduzieren.
• Die Aufgabe, die sich die Erfindung stellt, wird gelöst durch ein Zahnrad mit Wälzkreisradius R, wobei das Zahnrad eine mittlere stirnseitige Krümmung mit Krümmungsradius ρ aufweist derart, dass 20·R ≤ ρ ≤ 160·R ist.
• Weitere Ausführungsformen des erfindungsgemäßen Zahnrades sind nachfolgend dargelegt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei 20·R ≤ ρ ≤ 60·R, 40·R ≤ ρ ≤ 80·R, 60·R ≤ ρ ≤ 100·R, 80·R≤ ρ ≤ 120·R oder 100·R≤ ρ ≤ 160·R ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei der Wälzkreisradius R im Bereich von 1 bis 2000 mm liegt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei der Wälzkreisradius R im Bereich von 1 bis 15 mm, 10 bis 100 mm, 50 bis 150 mm, 100 bis 300 mm, 200 bis 500 mm, 400 bis 800 mm, 600 bis 1000 mm, 800 bis 1600 mm oder 1200 bis 2000 mm liegt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁-ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R approximieren.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R approximieren.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ_i-ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ|≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass in jedem Punkt der stirnseitigen Oberfläche ein Abstand ρ_p von einem Mittelpunkt M die Bedingung |ρ_p - ρ| ≤ 0,3 · R² / ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁-ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass in jedem Punkt der stirnseitigen Oberfläche ein Abstand ρ_p von einem Mittelpunkt M die Bedingung |ρ_p - ρ| ≤ 0,2 · R² / ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - _­ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass in jedem Punkt der stirnseitigen Oberfläche ein Abstand ρ_p von einem Mittelpunkt M die Bedingung |ρ_p - ρ| ≤ 0,1·R² / ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁-ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ p ≤ 160·R derart approximieren, dass für n repräsentativ situierte Punkte der stirnseitigen Oberfläche mit n ≥ 10 die Standardabweichung σ der Abstände der n Punkte von einem Mittelpunkt M die Bedingung σ ≤ 0,1 · R²/ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirriseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - p| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass für n repräsentativ situierte Punkte der stirnseitigen Oberfläche mit n ≥ 10 die Standardabweichung σ der Abstände der n Punkte von einem Mittelpunkt M die Bedingung σ ≤ 0,05·R²/ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁-ρ| ≤ 0,05·ρ , |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass für n repräsentativ situierte Punkte der stirnseitigen Oberfläche mit n ≥ 10 die Standardabweichung σ der Abstände der n Punkte von einem Mittelpunkt M die Bedingung σ ≤ 0,025 · R²/ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M und Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ|≤ 0,05·ρund 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass in jedem Punkt der stirnseitigen Oberfläche ein Abstand ρ_p von dem Mittelpunkt M die Bedingung |ρ_p - ρ| ≤ 0,3 · R² / ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M und Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ|≤ 0,05·ρ und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass in jedem Punkt der stirnseitigen Oberfläche ein Abstand ρ_p von dem Mittelpunkt M die Bedingung |ρ_p - ρ| ≤ 0,2 · R² / ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M und Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - p| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρund 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass in jedem Punkt der stirnseitigen Oberfläche ein Abstand ρ_p von dem Mittelpunkt M die Bedingung |ρ_p - ρ| ≤ 0,1 · R² / ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M und Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass für n repräsentativ situierte Punkte der stirnseitigen Oberfläche mit n ≥ 10 die Standardabweichung σ der Abstände der n Punkte von dem Mittelpunkt M die Bedingung σ ≤ 0,1 · R ²/ ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M und Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁-ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass für n repräsentativ situierte Punkte der stirnseitigen Oberfläche mit n ≥ 10 die Standardabweichung σ der Abstände der n Punkte von dem Mittelpunkt M die Bedingung σ ≤ 0,05 · R²/ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M und Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρund 20·R ≤ ρ ≤ 160·R derart approximieren, dass für n repräsentativ situierte Punkte der stirnseitigen Oberfläche mit n ≥ 10 die Standardabweichung σ der Abstände der n Punkte von dem Mittelpunkt M die Bedingung σ ≤ 0,025 · R²/ρ erfüllt.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad eine Höhe bzw. Dicke H hat und die Krümmungsradien ρ' und ρ'' zweier stirnseitiger Oberflächen des Zahnrades die Bedingung |ρ' - p''| ≤ H erfüllen.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem metallischen Werkstoff, wie beispielsweise Stahl gefertigt ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem metallischen Werkstoff gefertigt und thermochemisch behandelt ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem metallischen Werkstoff gefertigt und einsatzgehärtet behandelt ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem metallischen Werkstoff gefertigt und thermochemisch behandelt, insbesondere aufgekohlt ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem metallischen Werkstoff gefertigt und thermochemisch behandelt, insbesondere nitriert ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem metallischen Werkstoff gefertigt und thermochemisch behandelt, insbesondere carbonitriert ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem polymeren Werkstoff gefertigt ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das aus einem polymeren Werkstoff, beispielsweise auf Basis von Polacetal, Nylon (PA), Polyethylen mit ultrahoher Molmasse (UHMWPE), Polycarbonat (PC) oder Polyetheretherketon (PEEK) gefertigt ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das als Stirnrad bzw. Zylinderrad ausgebildet ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das als Kegelrad ausgebildet ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das mit einer geraden Verzahnung (spur gear wheel) ausgerüstet ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das mit einer schrägen Verzahnung (helical gear wheel) ausgerüstet ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das mit einer Außenverzahnung ausgerüstet ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das mit einer Innenverzahnung ausgerüstet ist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das ein Innenloch aufweist.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das einen Flansch umfasst.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das einen Flansch mit Rundlöchern umfasst.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das einen Flansch und einen Zahnkranz umfasst.
• Zahnrad, wie vorstehend beschrieben, das einen Flansch und einen Zahnkranz umfasst und der Zahnkranz dicker bzw. höher als der Flansch ist.
• Der Erfindungsgedanke beruht unter anderem auf der Erkenntnis der Erfinderin, dass eine stirnseitige Krümmung der vorstehend beschriebenen Art mit 20·R ≤ ρ ≤ 160·R einen vernachlässigbaren Einfluss auf den Durchmesser und die Rundheit des Zahnrades hat. Eine einfache mathematische Näherungsrechnung unter Verwendung der Taylorreihenentwicklung von Sinus und Cosinus, jeweils bis einschließlich des zweiten Gliedes, ergibt für die Änderung ΔR des Wälzkreisradius R als Funktion der Höhenänderung bzw. Aufwölbung ΔH (siehe 2, Bezugszeichen 8') die Beziehung ΔR = ⅓ (R/ρ)·ΔH, d.h. dass erfindungsgemäß ΔR ≤ ΔH/60 und damit vernachlässigbar ist.
• Eine weitere Aufgabe der Erfindung besteht darin, ein Spritzgussverfahren zur wirtschaftlichen Herstellung eines Zahnrades aus einem polymeren Werkstoff mit verbesserten mechanischen Eigenschaften bereitzustellen.
• Diese Aufgabe wird gelöst durch ein Spritzgussverfahren, wobei eine Spritzgussform mit Wälzkreisradius R und einer mittleren stirnseitigen Krümmung mit Krümmungsradius ρ mit 20·R ≤ ρ ≤ 160·R verwendet wird.
• Eine weitere Aufgabe der Erfindung besteht darin, ein wirtschaftliches Verfahren bereitzustellen, das es ermöglicht, konventionellen Zahnrädern aus einem metallischen oder polymeren Werkstoff verbesserte mechanische Eigenschaften zu verleihen.
• Diese Aufgabe wird gelöst durch ein Verfahren, umfassend die Schritte
1. (a) Bereitstellen eines ebenen Zahnrades mit Wälzkreisradius R aus einem polymeren oder metallischen Werkstoff mit einer Erweichungstemperatur in einem Bereich von T_a bis T_b mit 60 °C ≤ T_a ≤ 1200 °C , 60 °C ≤ T_b ≤ 1200 °C und T_b>T_a;
2. (b) Erwärmen des Zahnrades auf eine Temperatur T_E mit T_a ≤ T_E ≤ T_b;
3. (c) Halten des Zahnrades bei der Temperatur T_E über einen Zeitraum von 1 min bis 10 h; und
4. (d) Abkühlen des Zahnrades;
wobei das Zahnrad in Schritt (c) randseitig oder mittig abgestützt ist und durch sein Eigengewicht und/oder ein radiales Biegemoment verformt wird.
• Weitere Ausführungsformen des erfindungsgemäßen Verfahrens sind nachfolgend dargelegt.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $0\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot {10}^5\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 1\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 10\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 5\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 20\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 10\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 200\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 100\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 1000\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 500\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 5000\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 1000\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 10000\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 5000\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 20000\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 10000\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 50000\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mit einem radialen Biegemoment M_r mit $\frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 20000\text{ N}\le {\text{M}}_{\text{r}}\le \frac{\text{R}}{2\mathrm{\pi }}\cdot 100000\text{ N}$

  

  beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 1 bis 20 min bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 10 bis 40 min bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 20 bis 60 min bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 40 bis 90 min bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 60 bis 120 min bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 90 min bis 180 min bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 2 bis 4 h bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 3 bis 6 h bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 5 bis 8 h bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) über einen Zeitraum von 7 bis 10 h bei der Temperatur T_E gehalten wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem polymeren Werkstoff besteht, 60 °C ≤ T_a ≤ 180 °C und 60 °C ≤ T_b ≤ 180 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem polymeren Werkstoff besteht, 80 °C ≤ T_a ≤ 150 °C und 80 °C ≤ T_b ≤ 150 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem polymeren Werkstoff besteht, 80 °C ≤ T_a ≤ 120 °C und 80 °C ≤ T_b ≤ 120 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht, 500 °C ≤ T_a ≤ 1200 °C und 500 °C ≤ T_b ≤ 1200 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht, 600 °C ≤ T_a ≤ 800 °C und 600 °C ≤ T_b ≤ 800 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht, 700 °C ≤ T_a ≤ 900 °C und 700 °C ≤ T_b ≤ 900 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht, 800 °C ≤ T_a ≤ 1000 °C und 800 °C ≤ T_b ≤ 1000 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht, 900 °C ≤ T_a ≤ 1100 °C und 900 °C ≤ T_b ≤ 1100 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht, 1000 °C ≤ T_a ≤ 1200 °C und 1000 °C ≤ T_b ≤ 1200 °C ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht und in Schritt (c) aufgekohlt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht und in Schritt (c) nitriert wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht und in Schritt (c) carbonitriert wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht und in Schritt (d) mit einer spezifischen Kühlrate von 2 bis 20 kJ·kg^-1·s^-1 abgeschreckt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad aus einem metallischen Werkstoff besteht und in Schritt (d) mit einem Öl oder einem Gas, wie Stickstoff abgeschreckt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) randseitig abgestützt ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) mittig abgestützt ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine randseitig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad auf einer ringförmigen Abstützung angeordnet ist und sich in Schritt (c) unter seinem Eigengewicht verformt. Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer ringförmigen Abstützung angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a und einem Innendurchmesser D_i = 2·R_i mit 0,6·R ≤ R_i < R_a ≤ R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a und einem Innendurchmesser D_i = 2·R_i mit 0,7·R ≤ R_i < R_a ≤ R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a und einem Innendurchmesser D_i = 2·R_i mit 0,8·R ≤ R_i < R_a ≤ R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a und einem Innendurchmesser D_i = 2·R_i mit 0,9·R ≤ R_i < R_a ≤ R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei die ringförmige Abstützung als Zylinder mit Außendurchmesser D_a = 2·R_a und Innendurchmesser D_i = 2·R_i mit R_i < R_a ausgebildet ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer kreisförmigen oder ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a mit 0,1-R ≤ R_a ≤ 0,7·R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer kreisförmigen oder ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a mit 0,1-R ≤ R_a ≤ 0,6·R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer kreisförmigen oder ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a mit 0,1-R ≤ R_a ≤ 0,5·R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer kreisförmigen oder ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a mit 0,1·R ≤ R_a ≤ 0,4·R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer kreisförmigen oder ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a mit 0,1·R ≤ R_a ≤ 0,3·R angeordnet ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in Schritt (c) auf einer kreisförmigen oder ringförmigen Abstützung mit einem Außendurchmesser D_a = 2·R_a mit 0,1-R ≤ R_a ≤ 0,2·R angeordnet ist durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei die Abstützung als Zylinder oder Kreisscheibe mit Außendurchmesser D_a = 2·R_a und Innendurchmesser D_i = 2·R_i mit 0·R ≤ R_i < R_a ≤ 0,7·R ausgebildet ist.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad randseitig abgestützt und mittig mit einer Kraft beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad randseitig abgestützt und mittig mit einem Gewicht bzw. einer Masse belastet wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mittig abgestützt und randseitig mit einer Kraft beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mittig abgestützt und randseitig mit einer rotationssymmetrisch einwirkenden Kraft beaufschlagt wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad mittig abgestützt und randseitig mit einem Gewicht bzw. einer Masse belastet wird.
• Verfahren, wie vorstehend beschrieben, wobei das Zahnrad in einer Spannvorrichtung angeordnet ist.
• Zudem betrifft die Erfindung ein Zahnrad, das nach einem der vorstehend beschriebenen Verfahren verformt worden ist.
• In der vorliegenden Erfindung bezieht sich der Begriff „stirnseitig“ auf äußere Oberflächen des Zahnrades sowie auf Querschnitte des Zahnrades, wobei ein Normalvektor in einem beliebigen Punkt der äußeren Oberfläche oder des Querschnitts mit der Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse des Zahnrades einen Winkel φ mit 0° ≤ φ ≤ 3° einschließt.
• Bei dem in 1 gezeigten Zahnrad 1 bezieht sich der Begriff „stirnseitig“ auf eine das Zahnrad 1 begrenzende Oberfläche oder einen Querschnitt des Zahnrades 1, wobei ein Normalvektor in jedem Punkt einer begrenzenden stirnseitigen Oberfläche oder respektive eines stirnseitigen Querschnitts mit dem Basisvektor (0,0,1) einen Winkel φ mit 0° ≤ φ ≤ 3° einschließt.
• Im Sinne der Erfindung bezeichnet der Begriff „stirnseitiger Querschnitt“ insbesondere einen Teil einer Ebene, einer Kugelfläche oder einer Ellipsoidfläche, welche die Masse des Zahnrades in zwei gleich große Hälften teilt und deren Normalvektor in jedem Punkt mit der Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse des Zahnrades einen Winkel φ mit 0° ≤ φ ≤ 3° einschließt. Im Rahmen der Erfindung wird ein derartiger „stirnseitiger Querschnitt“ als „Hauptquerschnitt“ bezeichnet.
• Im Sinne der Erfindung bezeichnet der Begriff „mittlere stirnseitige Krümmung mit Krümmungsradius p“ den Sachverhalt, dass
• - eine oder mehrere stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ_i-ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R approximieren;
• - ein Hauptquerschnitt des Zahnrades ein Paraboloid mit Scheitelradien ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ, ρ = ½ (ρ₁ + ρ₂) und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R approximiert;
• - eine oder mehrere stirnseitige Oberflächen des Zahnrades jeweils ein Ellipsoid mit Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ| ≤ 0,05·ρ und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R approximieren; und/oder
• - ein Hauptquerschnitt des Zahnrades ein Ellipsoid mit Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ mit |ρ₁ - ρ| ≤ 0,05·ρ, |ρ₂ - ρ|≤ 0,05·ρ und 20·R ≤ ρ ≤ 160·R approximiert.
• In einem kartesischen Koordinatensystem mit Achsen (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) wird ein Paraboloid mit Scheitelpunkt S bei (x_s , y_s , z_s ) und Scheitelradien ρ_x , ρ_y durch die Gleichung $$\frac{{\left(\text{x}-{\text{x}}_{\text{M}}\right)}^2}{2{\mathrm{\rho }}_{\text{x}}}+\frac{{\left(\text{y}-{\text{y}}_{\text{M}}\right)}^2}{2{\mathrm{\rho }}_{\text{y}}}=\text{z}-{\text{z}}_{\text{M}}$$

  

  beschrieben (https://de.wikipedia.org/wiki/Paraboloid). Erfindungsgemäß sind die Scheitelradien des Paraboloids identisch oder unterscheiden sich nur geringfügig, derart dass |ρ_x - ρ| ≤ 0,05·ρ; |ρ_y - ρ| ≤ 0,05·ρ; ρ = ½ (ρ_x + ρ_y) und 20·R ≤ ρ ≤ 160-R , wobei R den Wälzkreisradius des erfindungsgemäßen Zahnrades bezeichnet. Im Weiteren liegt der Scheitelpunkt des Paraboloids auf oder nahe der Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse des Zahnrades und insbesondere bei der Koordinate (0, 0, 0), d.h. x_s = 0, y_s = 0 und z_s = 0.
• In einem kartesischen Koordinatensystem mit Achsen (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) wird ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M bei (x_M , y_M , z_M ) und Halbachsen ρ_x , ρ_y , ρ_z durch die Gleichung $$\frac{{\left(\text{x}-{\text{x}}_{\text{M}}\right)}^2}{{\mathrm{\rho }}_{\text{x}}{}^2}+\frac{{\left(\text{y}-{\text{y}}_{\text{M}}\right)}^2}{{\mathrm{\rho }}_{\text{y}}{}^2}+\frac{{\left(\text{z}-{\text{z}}_{\text{M}}\right)}^2}{{\mathrm{\rho }}_{\text{z}}{}^2}=\text{1}$$

  

  beschrieben (https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid). Erfindungsgemäß sind die Halbachsen des Ellipsoids identisch oder unterscheiden sich nur geringfügig, derart dass |ρ_x - ρ_z| ≤ 0,05·ρ_z; |ρ_y - ρ_z| ≤ 0,05·ρ_z; 20·R ≤ ρ_z ≤ 160·R , wobei R den Wälzkreisradius des erfindungsgemäßen Zahnrades bezeichnet. Im Weiteren liegt der Mittelpunkt M des Ellipsoids auf oder nahe der Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse des Zahnrades und insbesondere bei der Koordinate (0, 0, p_z ), d.h. x_M = 0, y_M = 0 und z_M = ρ_z.
• Im Sinne der Erfindung bedeutet der Begriff „repräsentativ situierte Punkte“, dass die Punkte näherungsweise radial äquidistant über nahezu die volle Ausdehnung einer stirnseitigen Oberfläche oder eines Hauptquerschnitts des Zahnrades verteilt sind.
• Im Sinne der Erfindung hat der Begriff „Standardabweichung“, die übliche Bedeutung und wird gemäß der Beziehung $\mathrm{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{\text{n}-1}{\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^{\text{n}}{\left({\text{z}}_{\text{i}}-\overline{\text{z}}\right)}^2}}$

  

  berechnet, wobei z den Mittelwert bezeichnet.
• Zwei voneinander verschiedene stirnseitige Oberflächen des erfindungsgemäßen Zahnrades können Krümmungsradien ρ' und ρ'' aufweisen, die nicht gleich groß sind, jedoch der Bedingung |ρ' - ρ''| ≤ H genügen, wobei H eine Höhe bzw. Dicke des Zahnrades bezeichnet und H klein ist im Vergleich zu den Krümmungsradien ρ' und ρ'', beispielsweise H ≤ p'/20 , H ≤ ρ'/40 oder H ≤ p'/60 und respektive H ≤ ρ''/20, H ≤ ρ''/40 oder H ≤ ρ''/60.
• Bei dem in 1 gezeigten Zahnrad 1 entspricht die Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse einer in Richtung des Basisvektors (0,0,1) durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufenden Geraden.
• Wie weiter unten anhand eines erfindungsgemäßen Beispiels erläutert, wird der Krümmungsradius ρ durch Anpassung eines Kreises, einer Parabel, einer Kugelfläche oder eines Paraboloids an eine oder mehrere stirnseitige Oberflächen eines Zahnrades nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt. Hierzu wird
1. (i) eine oder mehrere stirnseitige Oberflächen des Zahnrades mittels eines Koordinatenmesssystems (KMS) punktuell abgetastet, um einen Satz von Oberflächenpunkten bzw. Oberflächenkoordinaten (x_i , y_i , z_i ) mit i = 1, ... , N und N ≥ 5, N ≥ 10 und insbesondere N ≥ 15 zu bestimmen, wobei die Oberflächenpunkte vorzugsweise in einer zentralen, durch den Masseschwerpunkt des Zahnrades verlaufenden Frontalebene und/oder Sagittalebene liegen (siehe Bezugszeichen 21 und 22 in 1); und
2. (ii) mittels nichtlinearer Regression, beispielsweise nach dem Levenberg-Marquardt-Verfahren eine Kugelfläche oder insbesondere ein Kreis an die Oberflächenkoordinaten (x_i , y_i , z_i ) angepasst, wobei als variabler Parameter lediglich der Kugelradius bzw. Kreis- oder Krümmungsradius ρ ggf. zuzüglich einer ein- oder zweiparametrigen Verkippung dient.
• Für die Anpassung mittels nichtlinearer Regression stehen diverse OpenSource und kommerzielle Softwareprogramme (beispielsweise SciPy, https://www.scipy.org/; R, https://www.r-project.org/; CurveExpert, https://www.curveexpert.net/; Unistat, https://www.unistat.com/) zur Verfügung. Zudem umfasst die im Lieferumfang von Koordinatenmesssystemen enthaltene Software in der Regel Unterprogramme für die nichtlineare Anpassung von Kugelflächen oder Kreisen an gemessene Koordinaten.
• Anstelle nichtlinearer Regression kann die Anpassung eines Kreises oder einer Kugelfläche an die Oberflächenkoordinaten (x_i , y_i , z_i ) auch mithilfe des Add-ins „Solver“ des Tabellenkalkulationsprogramms Excel^® durchgeführt werden.
• Im Weiteren kann - da der Wälzkreisradius R des Zahnrades im Vergleich zu dem Krümmungsradius ρ klein ist (ρ ≥ 20·R), die Kreisgleichung und damit das Regressionsverfahren ohne merklichen Verlust an Präzision auch mittels der in der technischen Mechanik üblichen Kleinwinkelnäherung linearisiert werden.
• Insbesondere kann im Rahmen der Kleinwinkelnäherung (φ ≤ 3°) eine Kugelfläche oder ein Kreis durch ein Paraboloid bzw. eine Parabel mit hoher Genauigkeit angenähert werden, wie nachfolgend am Beispiel eines Kreises mit Radius ρ erläutert. In kartesischen Koordinaten (x, z) wird ein Kreis mit Radius ρ und Mittelpunkt bei der Koordinate (0, p) durch die folgenden Gleichungen beschrieben $$\begin{array}{l}\text{x}=\mathrm{\rho }\text{ sin }\mathrm{\phi }\approx \mathrm{\rho }\left(\mathrm{\phi }-\frac{1}{6}{\mathrm{\phi }}^3\right)=\mathrm{\rho }\mathrm{\phi }\left(1-\frac{1}{6}{\mathrm{\phi }}^2\right)\\ \mathrm{\phi }\le \frac{\mathrm{\pi }}{180}3°\Rightarrow \frac{1}{6}{\mathrm{\phi }}^2=\mathrm{2,7}\cdot {10}^{-3}\\ \Rightarrow \text{x}\approx \mathrm{\rho }\mathrm{\phi }\\ \text{z}\mathrm{=\rho }\left[1-\text{cos }\mathrm{\phi }\right]\approx \mathrm{\rho }\left[1-\left(1-\frac{1}{2}{\mathrm{\phi }}^2\right)\right]=\frac{1}{2}\mathrm{\rho }{\mathrm{\phi }}^2\\ \Rightarrow \text{z}=\frac{1}{2\mathrm{\rho }}{\text{x}}^2\end{array}$$

  
• Hierbei wurde die Taylor-Reihenentwicklung für Sinus und Kosinus verwandt. Bei der vorstehenden Approximation eines Kreises durch eine Parabel beträgt die mittlere Abweichung zwischen Kreis und Parabel 2·10^-7 ρ und ist vernachlässigbar klein.
• Um einen Offset sowie eine eventuelle Neigung oder Kippung des Zahnrades relativ zu dem Koordinatenmesssystem zu berücksichtigen, wird die Parabelgleichung (1) mit einem konstanten und linearen Glied a und respektive b·x ergänzt $$\text{z}=\text{a}+\text{b}\cdot \text{x}+\frac{1}{2\mathrm{\rho }}{\text{x}}^2$$

  
• Die unbekannten Parameter a, b und 1/(2p) werden durch lineare Anpassung bzw. Regression der Gleichung (2) an die mit dem Koordinatenmesssystem ermittelten Oberflächenkoordinaten bestimmt. Die lineare Regression kann beispielsweise mithilfe des Programms Excel^® durchgeführt werden.
• Wie weiter unten gezeigt, ist im Rahmen der Kleinwinkelnäherung, die Beschreibung bzw. Approximation einer stirnseitigen Oberfläche oder eines Hauptquerschnitts des Zahnrades durch Parabeln, Ellipsen oder Kreise bzw. durch ein Paraboloid oder Ellipsoid praktisch äquivalent.
• Die Erfindung wird nachfolgend anhand von Figuren und Beispielen näher erläutert. Gleiche, ähnliche und/oder funktionsgleiche Teile sind mit gleichen Bezugszeichen versehen. Es zeigt
• 1 eine schematische Perspektivansicht eines ebenen Zahnrades vor Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens;
• 2 ein erfindungsgemäß gekrümmtes Zahnrad neben einem ebenen Zahnrad;
• 3 ein erfindungsgemäß gekrümmtes Zahnrad mit variierendem Krümmungsradius;
• 4 ein Diagramm mit drei jeweils durch eine Parabel approximierten Krümmungskreisen;
• 5 eine schematische Schnittansicht eines ebenen Zahnrades mit Flansch und Innenloch;
• 6 eine schematische Schnittansicht eines auf einer ringförmigen Abstützung angeordneten Zahnrades;
• 7 eine schematische Schnittansicht eines gekrümmten Zahnrades;
• 8 ein Diagramm mit Messwerten, die mittels eines Koordinatenmesssystems an einem ebenen Zahnrad mit Zahnkranz, Flansch und Innenloch bestimmt wurden;
• 9 die Messwerte der 8 nach Höhenabgleich zwischen dem Zahnkranz und dem Flansch;
• 10 ein Diagramm mit Messwerten, die mittels eines Koordinatenmesssystems an einem gekrümmten Zahnrad mit Zahnkranz, Flansch und Innenloch bestimmt wurden;
• 11 die Messwerte der 10 nach Höhenabgleich zwischen dem Zahnkranz und dem Flansch.
• 1 zeigt eine schematische Perspektivansicht eines konventionellen ebenen Zahnrades 1 mit Wälzkreisradius 2 bzw. R in einem Koordinatensystem mit orthogonalen Basisvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Der Ursprung des Koordinatensystems liegt auf der zu dem Basisvektor (0,0,1) kollinearen Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse des Zahnrades 1. Der Wälzkreisradius R entspricht der Hälfte des im Maschinenbau als Maßangabe gebräuchlichen Wälzkreisdurchmessers (siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnrad) und gibt in etwa den Abstand der Zahnmitte von der Rotationsachse an. Die Ziffern 20, 21 und 22 bezeichnen eine Transversal-, Frontal- und Sagittalebene des Zahnrades 1. Die Transversalebene 20 teilt die Masse des Zahnrades 1 in zwei gleich große Hälften und entspricht somit dem Hauptquerschnitt des Zahnrades 1.
• 2 zeigt in schematischer Perspektivansicht ein erfindungsgemäß gekrümmtes Zahnrad 7 mit Wälzkreisradius 2' bzw. R-ΔR und Krümmungsradius 10 bzw. ρ neben einem konventionellen ebenen Zahnrad 1 mit Wälzkreisradius 2 bzw. R (und unendlich großem Krümmungsradius). Insbesondere wird das erfindungsgemäße Zahnrad 7 durch thermisches Verformen aus einem ebenen Zahnrad 1 hergestellt. Das Zahnrad 7 hat praktisch den gleichen Wälzkreisradius 2' wie das Zahnrad 1, weil die durch die Krümmung bedingte Verringerung ΔR seines Wälzkreisradius vernachlässigbar klein ist (ΔR/R << 1).
• Zur Veranschaulichung der Krümmung des Zahnrades 7 ist auf bzw. oberhalb der Zahnräder 1 und 7 jeweils ein Kugelflächennetz 8 mit Krümmungsradius 10 bzw. ρ gezeigt. Der Krümmungsmittelpunkt 9 bzw. M liegt auf der Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse des Zahnrades 7, die kollinear ist zu dem in 1 gezeigten Basisvektor (0,0,1). Im Weiteren ist in 2 ein von der Hauptträgheitsachse bzw. Rotationsachse und einem randseitigen Krümmungsradius 10 bzw. ρ eingeschlossener Winkel φ gezeigt sowie ein randseitiger Höhenunterschied bzw. eine randseitige Aufwölbung 8' bzw. ΔH. Eine einfache Näherungsrechnung mit Taylorreihenentwicklung von sin φ und cos φ bis jeweils zum zweiten Glied ergibt ΔR = ⅓ (R/ρ)·ΔH. Da erfindungsgemäß ρ ≥ 20·R ist, folgt daraus, dass ΔR≤ΔH/60 und somit vernachlässigbar klein ist. In der Beziehung ΔR ≤ ΔH/60 bezeichnet - abweichend von 2 - der Term ΔH nicht den randseitigen Höhenunterschied sondern den Höhenunterschied am Wälzkreisradius R. Dessen ungeachtet repräsentiert die vorstehende Beziehung eine mathematisch korrekte Näherung. Zudem ist der Unterschied zwischen dem Außen- bzw. Kopfkreisradius und dem Wälzkreisradius R eines Zahnrades gering und für die vorstehende Betrachtung vernachlässigbar bzw. unbeachtlich.
• Aus der erfindungsgemäßen Relation ρ ≥ 20·R ergibt sich für den Winkel φ die Bedingung φ ≤ 3°.
• 3 zeigt ein erfindungsgemäß gekrümmtes Zahnrad 7 mit variierendem Krümmungsradius in einem globalen Koordinatensystem mit Achsen (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Eine Sagittalebene 22' wird von Koordinatenachsen x' und z' und eine Frontalebene 22' von Koordinatenachsen y' und z' aufgespannt. Die Koordinatenachse z' deckt sich mit der globalen (0,0,1)-Achse. Das Zahnrad 7 der 3 entspricht dem in 2 gezeigten Zahnrad 7 und hat in der Frontalebene 21' einen Krümmungsradius ρ₁ und in der Sagittalebene 22' einen Krümmungsradius ρ₂ , die sich geringfügig voneinander unterscheiden können und den Bedingungen $$\left|{\mathrm{\rho }}_1-\mathrm{\rho }\right|\le \mathrm{0,05}\mathrm{\rho }$$

  

  $$\left|{\mathrm{\rho }}_2-\mathrm{\rho }\right|\le \mathrm{0,05}\mathrm{\rho }$$

  

  genügen, wobei ρ den mittleren Krümmungsradius bezeichnet. Die Krümmungskreise in der Frontalebene 21' und der Sagittalebene 22' sind in 3 mit P1 und respektive P2 bezeichnet und können, wie vorstehend beschrieben, jeweils durch eine Parabel, der folgenden Form $$\text{P}1:\text{ z'}=\frac{1}{2{\mathrm{\rho }}_1}{\text{y'}}^2$$

  

  $$\text{P}2:\text{ z'}=\frac{1}{2{\mathrm{\rho }}_2}{\text{y'}}^2$$

  

  mit hoher Genauigkeit approximiert werden. Abgesehen von lokaler Oberflächenrauheit sind stirnseitige Oberflächen des Zahnrades 7 als stetige bzw. reguläre Flächen ausgebildet. Hierbei bezeichnet der Begriff „reguläre Fläche“ eine Punktmenge S des dreidimensionalen Raumes, wobei zu jedem Punkt (x₀ , y₀ , z₀ ) ∈ S eine Umgebung V ⊆ ℝ³ und eine differenzierbare Funktion f: V → ℝ existieren, derart dass Null ein regulärer Wert von f ist und S n V = {(x, y, z) ∈ V : f(x, y, z) = 0} gilt (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Fläche_ (Mathematik)). Eine stirnseitige Oberfläche des Zahnrades 7 kann beispielweise in geschlossener Form durch ein Paraboloid der Form (3) $$\text{z'}=\frac{{\text{y'}}^2}{2{\mathrm{\rho }}_1}+\frac{{\text{x'}}^2}{2{\mathrm{\rho }}_2}$$

  

  approximiert werden. In der Frontalebene 21' ist x' = 0, so dass das Paraboloid (3) in die Parabel P1 übergeht. Analog hierzu ist y' = 0 in der Sagittalebene 22', so dass das Paraboloid (3) in die Parabel P2 übergeht.
• 4 zeigt den Verlauf eines Paraboloids (3) für drei Querschnitte eines in 3 gezeigten Zahnrades 7 mit einem Wälzkreisradius R von 200 mm, einer mittleren stirnseitigen Krümmung mit einem mittleren Krümmungsradius ρ von 10000 mm und Krümmungs- bzw. Scheitelradien ρ₁ = 10500 mm und ρ₂ = 9500 mm in der Frontalebene 21' und respektive Sagittalebene 22'. Die radiale Laufvariable r' gibt den Abstand von der Hauptträgheitsachse (0,0,1) an. Die in dem Diagramm der 4 als geschlossene Linie dargestellte Kurve korrespondiert zu dem Winkel 0° und der Parabel P2 in der Sagittalebene 22' mit Krümmungs- bzw. Scheitelradius ρ₂ . Die in dem Diagramm der 4 durch als kurz gestrichelte Linie dargestellte Kurve korrespondiert zu dem Winkel 90° und der Parabel P1 in der Frontalebene 21' mit Krümmungs- bzw. Scheitelradius ρ₁ . Die den drei Kurven der 4 jeweils zugeordneten Winkel von 0°, 45° und 90° sind auf die x'-Achse bezogen und korrespondieren zu einem Winkel ϕ in Zylinderkoordinaten, derart dass die radiale Laufvariable r' die kartesischen Koordinaten x' = r'·cos ϕ und y' = r'·sin ϕ hat. Dementsprechend repräsentiert die lang gestrichelte Kurve den Krümmungskreis bzw. die Krümmungsparabel der stirnseitigen Oberfläche in einem Querschnitt der gegenüber der Sagittalebene 22' um einen Winkel von 45° gedreht ist. Der zu dem Winkel von 45° korrespondierende Krümmungs- bzw. Scheitelradius ρ entspricht - abgesehen von einer vernachlässigbar kleinen Abweichung - dem Mittelwert der Krümmungs- bzw. Scheitelradien ρ₁ und ρ₂ , d.h. ρ = 10000 mm.
• Die 3 und 4 und die hierauf bezogenen Ausführungen illustrieren, dass der erfindungsgemäße Begriff des Krümmungsradius ρ nicht auf einen einzigen Wert beschränkt ist. Vielmehr umfasst die Erfindung Zahnräder mit einer mittleren stirnseitigen Krümmung, die durch Krümmungskreise mit Krümmungsradien, die um einen mittleren Krümmungsradius ρ innerhalb enger Grenzen variieren, charakterisiert sind.
• Alternativ zu der vorstehenden, mathematisch vereinfachten Darstellung mittels Krümmungskreisen bzw. Krümmungsparabeln kann die stirnseitige Krümmung eines erfindungsgemäßen Zahnrades durch ein Ellipsoid mit Halbachsen ρ, ρ₁ und ρ₂ beschrieben werden, wobei die Länge der Halbachsen ρ, ρ₁ , ρ₂ lediglich geringfügig voneinander abweicht und das Ellipsoid nahezu einer Kugel entspricht. Wie nachfolgend gezeigt, führt die Beschreibung der Zahnradkrümmung durch ein Ellipsoid im Rahmen der Kleinwinkelnäherung auf ein Paraboloid gemäß Gleichung (3).
• In einem kartesischen Koordinatensystem in dem zu jedem Raumpunkt ein Vektor (x, y, z) korrespondiert, kann ein Ellipsoid mit Halbachsen ρ, ρ₁ und ρ₂ , dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung (0, 0, 0) liegt, durch die Gleichung (4a) $$\frac{{\text{x}}^2}{{\mathrm{\rho }}_2{}^2}+\frac{{\text{y}}^2}{{\mathrm{\rho }}_1{}^2}+\frac{{\text{z}}^2}{{\mathrm{\rho }}^2}=1$$

  

  beschrieben werden (https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid).
• Für die weitere mathematische Betrachtung ist es zweckmäßig, das Ellipsoid (4a) derart zu verschieben, dass sein Mittelpunkt bei der Koordinate (0, 0, p) liegt. Die Gleichung (4b) des derart verschobenen Ellipsoids lautet: $$\frac{{\text{x}}^2}{{\mathrm{\rho }}_2{}^2}+\frac{{\text{y}}^2}{{\mathrm{\rho }}_1{}^2}+\frac{{\left(\text{z}-\mathrm{\rho }\right)}^2}{{\mathrm{\rho }}^2}=1$$

  
• Erfindungsgemäß ist der Wälzkreisradius des Zahnrades klein im Vergleich zu dem Krümmungsradius, so dass z/p ≤ 1/20, x/ρ₂ ≤ 1/20 und y/ρ₁ ≤ 1/20 gilt. Auflösen der Gleichung (4b) nach z und Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung liefert die folgenden Beziehungen: $$\text{z}=\mathrm{\rho }\left[1-{\left(1-\frac{{\text{x}}^2}{{\mathrm{\rho }}_2{}^2}-\frac{{\text{y}}^2}{{\mathrm{\rho }}_1{}^2}\right)}^{1\text{/}2}\right]$$

  

  $$\text{z}\approx \mathrm{\rho }\frac{{\text{x}}^2}{\mathrm{2}{\mathrm{\rho }}_2{}^2}+\mathrm{\rho }\frac{{\text{y}}^2}{\mathrm{2}{\mathrm{\rho }}_1{}^2}$$

  

  $$\text{z}=\frac{{\text{x}}^2}{2{\mathrm{\Lambda }}_2}+\frac{{\text{y}}^2}{2{\mathrm{\Lambda }}_1}$$

  

  mit Λ₂ = (ρ₂)²/ρ; 0,95·ρ ≤ Λ₂ ≤ ρ; Λ₁ = (ρ₁)²/ρ und ρ ≤ Λ₁ ≤ 1,05·ρ, wobei Gleichung (4e) formal und parametrisch dem Paraboloid (3) entspricht und im Rahmen der Kleinwinkelnäherung das Ellipsoid (4b) mit hoher Genauigkeit approximiert.
• 5 zeigt eine schematische Schnittansicht eines ebenen Zahnrades 1 mit Wälzkreisdurchmesser 2A bzw. D, einem Flansch 5, einem Zahnkranz 6 und einem Innenloch mit Durchmesser D_i . Im Weiteren ist in 5 der Hauptquerschnitt 3 und die Rotationsachse 4 des Zahnrades 1 dargestellt. Auf die weiteren in 5 gezeigten Abmessungen D_k , D_f , H_z , D_F und H_F wird im Zusammenhang mit dem erfindungsgemäßen Beispiel näher eingegangen. In Anlehnung an die im Maschinenbau übliche Terminologie bezeichnen D_k und D_f den Kopfkreisdurchmesser und respektive den Fußkreisdurchmesser des Zahnrades 1.
• 6 zeigt eine Lagerung des Zahnrades 1 der 5 auf einer ringförmigen Abstützung 30. Die Abstützung 30 ist als dünnwandiger Zylinder gestaltet mit Außen- und Innendurchmesser 30A und respektive 30B, die geringfügig vom Wälzkreisdurchmesser D abweichen, so dass das Zahnrad 1 lediglich randseitig abgestützt wird. Die Abstützung 30 ist vorgesehen für eine thermische, insbesondere thermochemische Behandlung des Zahnrades 1 in einem Ofen. Hierbei wird das Zahnrad 1 über einen vorgegebenen Zeitraum von 1 min bis zu 10 h auf einer Temperatur gehalten, bei welcher ein polymerer oder metallischer Werkstoff, aus dem das Zahnrad 1 gefertigt ist, erweicht und sich das Zahnrad 1 unter seinem Eigengewicht verformt bzw. mittig durchbiegt. Optional wird das Zahnrad 1 bei der thermischen Behandlung mit einer Kraft beaufschlagt, beispielsweise indem auf dem Zahnrad 1 ein Gewicht 31 bzw. eine Masse 31 mittig angeordnet wird.
• 7 zeigt eine schematische Schnittansicht eines erfindungsgemäß gekrümmten Zahnrades 7 mit Flansch 5, Zahnkranz 6 und Hauptquerschnitt 3'. Insbesondere wird das Zahnrad 7 erhalten, indem das in 5 und 6 gezeigte ebene Zahnrad 1 mittels der vorstehend beschriebenen thermischen Behandlung verformt wird. Im Weiteren ist in 7 ein Tastkopf 32 eines Koordinatenmesssystems (beispielsweise des Typs SMART der Firma Thome, http://www.thome-praezision.de) gezeigt. Mittels des Koordinatenmesssystems werden die Oberfläche des Flansches 5 und des Zahnkranzes 6 punktuell abgetastet und die Koordinaten des jeweils abgetasteten Oberflächenpunktes aufgezeichnet. Vorzugsweise erfolgt die Abtastung der Oberflächen des Flansches 5 und des Zahnkranzes 6 in einer Frontal- oder Sagittalebene des Zahnrades 7 (siehe 1, Bezugszeichen 21 und 22).
• Beispiel
• Mittels eines 3D-Druckers des Typs Felix 3.1 (http://www.felixprinters.com/) wurde ein Zahnrad mit dem in 5 gezeigten Schnittprofil aus Acrylnitril-Butadien-Styrol-Copolymer (nachfolgend mit ABS abgekürzt) hergestellt. Die nominellen Abmessungen bzw. CAD-Maße des ABS-Zahnrades sind in Tabelle 1 wiedergegeben. Tabelle 1

  Abmessung gemäß 5	Wert [mm]
  D	186
  Dk	200
  Df	172
  Di	60
  DF	130
  HF	10
  Hz	26

• Kurz nach dem 3D-Druck wurde die Oberfläche des Zahnkranzes und des Flansches des ABS-Zahnrades entlang einer Frontalebene (siehe 2, Bezugszeichen 21) mittels eines manuellen Koordinatenmesssystems des Typs SMART der Firma Thome Präzision (http://www.thome-praezision.de) gemessen. Die entsprechenden Messwerte sind in den Diagrammen der 8 und 9 in unveränderter Form und respektive mit numerischem Höhen- bzw. Dickenabgleich zwischen Flansch und Zahnkranz gezeigt. In 8 ist die Zuordnung der Messwerte zum Zahnkranz und Flansch durch die Bezugszeichen 6 und respektive 5 angezeigt. Aus dem Diagramm der 9 ist ersichtlich, dass die Oberflächen des Zahnkranzes und Flansches, abgesehen von einer konstanten Neigung und lokalen Schwankungen bzw. Rauheit mit einer Amplitude von einigen Zehn Mikrometer im Wesentlichen eben sind.
• Nachfolgend wurde das ABS-Zahnrad in einem Ofen auf einer zylinderförmigen Abstützung der in 6 gezeigten Art mit Außen- und Innendurchmesser von 170 mm und respektive 162 mm randseitig abgestützt und mittig mit einem Gewicht von 300 g belastet und über einen Zeitraum von 60 min bei einer Temperatur von 95 °C gehalten. Das derart thermisch behandelte ABS-Zahnrad wurde über einen Zeitraum von etwa 48 h unter Normalbedingungen, d.h. ohne Abstützung und Gewichtsbelastung aufbewahrt. Anschließend wurden die Oberfläche des Zahnkranzes und Flansches in der vorstehend beschriebenen Weise, d.h. entlang einer Frontalebene mittels des manuellen Koordinatenmesssystems gemessen. Die entsprechenden Messwerte sind in den Diagrammen der 10 und 11 in unveränderter Form und respektive mit numerischem Höhenabgleich zwischen Flansch und Zahnkranz wiedergegeben. Zudem ist in 11 ein mittels nichtlinearer Regression an die Messwerte angepasster Krümmungskreis 3" mit einem Krümmungsradius von 5330 mm gezeigt.
• Die in der vorstehenden Beschreibung durch Ausführungsbeispiele näher illustrierte und erläuterte Erfindung ist durch die offenbarten Beispiele nicht eingeschränkt. Der Fachmann kann aus der Beschreibung eine Vielzahl zusätzlicher Variationen ableiten, ohne den Schutzumfang der Erfindung zu verlassen. In der Beschreibung beispielhaft offenbarte Ausführungsformen repräsentieren lediglich Beispiele, die in keiner Weise als Begrenzung des Schutzbereichs, der Anwendungsmöglichkeiten oder der Konfiguration der Erfindung aufzufassen sind. Vielmehr versetzen die Beschreibung und die Figuren den Fachmann in die Lage, die Beispiele nachzuarbeiten. Hierbei kann der Fachmann in Kenntnis des offenbarten Erfindungsgedankens vielfältige Änderungen hinsichtlich Funktion, Gestaltung und Anordnung einzelner Elemente der Beispiele vornehmen, ohne den Schutzbereich zu verlassen, der durch die Ansprüche und deren, in der Beschreibung offenbarten rechtlichen Entsprechungen, definiert ist.
• Bezugszeichenliste

1

ebenes Zahnrad

2

Wälzkreisradius R des Zahnrades 1

3

Hauptquerschnitt des Zahnrades 1

4

Rotationsachse des Zahnrades 1

5

Flansch

6

Zahnkranz

7

Zahnrad mit stirnseitiger Krümmung

2'

Wälzkreisradius R - ΔR des Zahnrades 7

3'

Hauptquerschnitt des Zahnrades 7

3"

Krümmungskreis

8

Kugelflächennetz

8'

Höhenänderung bzw. Aufwölbung ΔH des Zahnrades 7

9

Krümmungsmittelpunkt M

10

Krümmungsradius ρ

20

Transversalebene

21

Frontalebene

22

Sagittalebene

30

ringförmige Abstützung

31

Gewicht

32

Tastkopf eines Koordinatenmesssystems

P1

Approximationsparabel für Krümmungskreis mit Radius ρ₁

P2

Approximationsparabel für Krümmungskreis mit Radius ρ₂

Claims (10)

1. Zahnrad mit Wälzkreisradius R, dadurch gekennzeichnet, dass das Zahnrad eine mittlere stirnseitige Krümmung mit Krümmungsradius ρ aufweist derart, dass 20·R ≤ ρ ≤ 160·R ist.
2. Zahnrad nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass 20·R ≤ ρ ≤ 60·R , 40·R ≤ ρ ≤ 80·R, 60·R ≤ ρ ≤ 100·R, 80·R≤ ρ ≤ 120·R oder 100·R≤ ρ ≤ 160·R ist.
3. Zahnrad nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass der Wälzkreisradius R im Bereich von 10 bis 2000 mm liegt.
4. Zahnrad nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass der Wälzkreisradius R im Bereich von 1 bis 15 mm, 10 bis 100 mm, 50 bis 150 mm, 100 bis 300 mm, 200 bis 500 mm, 400 bis 800 mm, 600 bis 1000 mm, 800 bis 1600 mm oder 1200 bis 2000 mm liegt.
5. Zahnrad nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass es aus einem metallischen Werkstoff, wie beispielsweise Stahl gefertigt ist.
6. Zahnrad nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass es aus einem metallischen Werkstoff gefertigt und thermochemisch behandelt ist.
7. Zahnrad nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass es aus einem polymeren Werkstoff gefertigt ist.
8. Verfahren zur Herstellung eines Zahnrades mit Wälzkreisradius R aus einem polymeren Werkstoff mittels Spritzgießen, dadurch gekennzeichnet, dass eine Spritzgussform mit Wälzkreisradius R und einer mittleren stirnseitigen Krümmung mit Krümmungsradius p mit 20·R ≤ ρ ≤ 160·R verwendet wird.
9. Verfahren zur Herstellung eines Zahnrades mit Wälzkreisradius R und einer mittleren stirnseitigen Krümmung mit Krümmungsradius ρ mit 20·R ≤ ρ ≤ 160·R, umfassend die Schritte (a) Bereitstellen eines ebenen Zahnrades mit Wälzkreisradius R aus einem polymeren oder metallischen Werkstoff mit einer Erweichungstemperatur in einem Bereich von T_a bis T_b mit 60 °C ≤ T_a ≤ 1200 °C, 60 °C ≤ T_b ≤ 1200 °C und T_b > T_a; (b) Erwärmen des Zahnrades auf eine Temperatur T_E mit T_a ≤ T_E ≤ T_b; (c) Halten des Zahnrades bei der Temperatur T_E über einen Zeitraum von 1 min bis 10 h; und (d) Abkühlen des Zahnrades; wobei das Zahnrad in Schritt (c) randseitig oder mittig abgestützt ist und durch sein Eigengewicht und/oder ein radiales Biegemoment verformt wird.
10. Verfahren nach Anspruch9, dadurch gekennzeichnet, dass das Zahnrad in Schritt (c) randseitig abgestützt ist und durch sein Eigengewicht und/oder eine mittig einwirkende Gewichtslast verformt wird.

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