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Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Planen der Trajektorie eines Roboterarms.
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Robotersysteme, die in dynamischen Umgebungen arbeiten, sind auf eine sichere Steuerung angewiesen. Derartige dynamische Umgebungen enthalten Gegenstände, die in Bewegung sein können. Der Zustand dieser Gegenstände (Position, Orientierung und Geschwindigkeit) kann durch ein mathematisches Modell vorhergesagt werden. Auch die Geometrie der Gegenstände wird als bekannt angenommen. Eine derartige Steuerungsaufgabe ist nicht linear. Ferner weist das mathematische Modell, durch das der Zustand von Gegenständen in der Umgebung des Roboters vorhergesagt werden soll, Unsicherheiten auf. Hierbei kann es sich beispielsweise um eine Unsicherheit in der Vorhersage der Bewegung eines Zielpunktes handeln, der durch den Endeffektor eines Roboterarms angefahren werden soll.
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Die Bewegung des Robotersystems wird im allgemeinen Fall in Abhängigkeit von seiner Aufgabe bestimmt. Sie kann im kartesischen oder im Gelenkraum definiert werden, um die Bewegung des Roboter-Endeffektors oder der Robotergelenke zu bestimmen. Die mathematische Relation zwischen der Bewegung des Endeffektors und der Bewegung der Robotergelenke ist hochgradig nichtlinear. Es ist aber normalerweise der Fall, dass die Bewegung des Endeffektors betrachtet wird, um eine Aufgabe auszuführen da er mit der Umgebung interagiert. Trotzdem wird ein Roboter durch die Steuerung der Gelenke ausgeführt. Die Aufgabe der Robotersteuerung resultiert in einem nicht-linearen, nicht konvexen Problem, das mehrfache Lösungen enthält.
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Es ist auch normalerweise der Fall, dass die Bewegung des Robotersystems hoch begrenzt ist. Das resultiert nicht nur aus den Gegenständen, die eine Kollisionsgefahr darstellen, sondern auch aus Grenzen in den Gelenkpositionen, Gelenkgeschwindigkeiten und Gelenkantrieben. Andere Nebenbedingungen können für bestimmte Aufgaben resultieren, wie zum Beispiel, der Blickwinkel einer Kamera am Endeffektor des Roboters, der begrenzt ist, um ein Zielobjekt im Kamerasichtfeld zu behalten. Die mathematische Abhängigkeit diesen Nebenbedingungen mit der Bewegung der Robotergelenke ist in der Regel hoch nichtlinear.
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Informationen zur Steuerung von Robotersystemen und Beschreibungen des Visual Servoings und des Model Predictive Control können den folgenden Veröffentlichungen entnommen werden:
- [1] Y. Mezouar, F. Chaumette: Path planning for robust image-based control, IEEE Trans. Robot. Autom. 18, 534–549 (2002).
- [2] G. Chesi: Visual servoing path-planning via homogeneous forms and LMI optimizations, IEEE Trans. Robot. 25(2), 281–291 (2009).
- [3] Springer Handbook of Robotics, Chapter „Visual Servoing and Visual Tracking”, Section 24.5.3 „Feature Trajectory Planning”, pp. 578–579, 2008.
- [4] D. Q. Mayne, E. C. Kerrigan, E. J. van Wyk and P. Falugi, „Tube-based robust nonlinear model Predictive control”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Volume 21, Issue 11, pages 1341–1353, 25 July 2011.
- [5] Choset, et al, „Principles of robot motion”, MIT Press, 2005.
- [6] La Valle, „Planning Algorithms”, Chapter, Cambridge University Press, 2006.
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Aus dem Stand der Technik sind Methoden des Visual Servoing für Robotersysteme bekannt. Um Nebenbedingungen zu erfüllen, existieren Methoden, bei denen eine erste off-line Bahnplanungsphase durchgeführt wird, um eine gültige Referenztrajektorie zu generieren. Diese Methoden basieren auf der „potential field” Methode [1] oder den „linear matrix inequality optimizations” [2]. Damit werden typische Nebenbedingungen betrachtet, wie Kollisionsvermeidung, Gelenkraumgrenzen, Kamerasichtfeld-Grenzen und Kamera-Okklusionen. Das Zusammenspiel der Bahnplanung mit der Trajektorie-Verfolgung resultiert in einer Verbesserung der Robustheit des Visual Servos [1][2][3]. Die Referenztrajektorie wird in Kamerakoordinaten definiert, d. h. als eine relative Bewegung des Roboters zum Zielpunkt.
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Bekannt sind auch Arbeiten zu der Theorie des „Model Predictive Controls”, insbesondere „Tube Based Model Predictive Control”. In [4] wird eine Methode dargestellt, die die Abweichung eines nichtlinearen Systems von einer optimalen Referenztrajektorie durch „appropriate tightening of the constraints” nach oben beschränkt. Die Methode enthält einen on-line Rückkopplungsregler, der das Ziel hat, das geregelte System in der Nähe der Referenztrajektorie zu halten. Ein Machbarkeitsschlauch wird definiert, in dem die Stabilität und akzeptable Antwort des geregelten Systems garantiert sind. Die Breite des Machbarkeitsschlauchs wird in der Praxis durch eine adäquate Restriktion der Nebenbedingungen berechnet nach einer offline Monte-Carlo Simulation des Systems unter möglichen erwarteten Störungen (Kräfte) und Randbedingungen. Die Annahme wird getroffen, dass es eine Lösung für das begrenzte Regelungsproblem unter dem Einfluss der erwarteten Störungen gibt. Diese Annahme wird erfüllt, wenn die Störungen klein genug sind. Die Stabilität des Rückkopplungsreglers wird dann bewiesen für den Fall, dass das geregelte System zu einem „equilibrium point” gesteuert wird.
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Die aus dem Stand der Technik bekannten Verfahren weisen die folgenden Nachteile auf:
In der Theorie des Visual Servoings wird die Referenztrajektorie in Kamerakoordinaten definiert und damit werden Modellfehler (oder Vorhersagefehler) in der Bewegung des Zielpunktes automatisch korrigiert. Einem Modellfehler entspricht aber eine Abweichung der Trajektorie von der Referenztrajektorie im Gelenkraum des Roboters betrachtet. Das ist der Fall, weil die Referenztrajektorie auf einem falschen Modell der Umgebung (oder der Bewegung des Zielpunktes) basiert. Die Gültigkeit der abgewichenen Trajektorie gegenüber den Nebenbedingungen ist nicht garantiert, weil die dafür benutzten Bahnplanungsmethoden sie nur für die Referenztrajektorie garantieren.
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Die in der Literatur der Theorie des Visual Servoings genannten Bahnplanungsmethoden sind nicht global (potential fields leiden unter lokalen Minima) oder suboptimal („linear matrix inequality optimizations”, durch Linearisierung der Nebenbedingungen). Dazu werden dynamische Nebenbedingungen nicht betrachtet. Die „potential field” Methode ist auch ineffizient in der Behandlung von hochbeschränkten Bahnplanungsproblemen.
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In der Theorie des „Tube based Model Predictive Controls” wird eine Störung betrachtet in Form einer Kraft (oder Moment), die auf das System einwirkt. Diese wird mit Hilfe eines Online-Rückkopplungsreglers kompensiert, um das System zu einer gewünschten Endkonfiguration (Zielpunkt) zu bringen.
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In der Theorie des „Tube based Model Predictive Controls” wird keine Garantie gegeben, dass der Machbarkeitsschlauch für die gegebene Reichweite der Störung, nämlich dem Modellfehler, ausreichend ist (es wird angenommen, dass es eine Lösung für die Aufgabe gibt). Insofern wird keine Garantie gegeben, dass die Aufgabe erfüllbar ist. Eine 100% Garantie ist notwendig, dass für eine gegebene Größenordnung des Modellfehlers, die Aufgabe, unter Berücksichtigung der Bewegungsnebenbedingungen des Systems, erfüllt werden kann. Nur dann kann die Referenztrajektorie als nützlich betrachtet werden.
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In der Theorie des „Tube based Model Predictive Controls” ist der Machbarkeitsschlauch sehr konservativ definiert. Er kann in der Tat für verschiedenen Aufgaben unterschiedlich sein (einer am Rand der Bewegungsnebenbedingungen, einer weit weg davon). Der Machbarkeitsschlauch sollte diese Information enthalten, um die Fähigkeit des Systems zu optimieren. Diese Information wird auch erlauben festzustellen, wo das System am robustesten gegen Abweichungen von der Referenztrajektorie ist. Die Annahme in [4], dass die nominale Lösung „entfernt genug” von der Bewegungsnebenbedingungen ist, „um den Rückkopplungsregler zu erlauben, sie zu erfüllen”, ist, wie gesagt, sehr konservativ.
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Aufgabe der Erfindung ist es, ein Verfahren zum Planen der Trajektorie eines Roboterarms bereitzustellen, das eine Aussage darüber ermöglicht, ob eine zu erfüllende Aufgabe des Roboterarms tatsächlich erfüllt werden kann, wenn die Prognose der Bewegung eines Zielobjekts eine bestimmte Unsicherheit aufweist.
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Die Lösung der Aufgabe erfolgt erfindungsgemäß durch die Merkmale des Anspruchs 1.
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Das erfindungsgemäße Verfahren dient dem Plan der Trajektorie eines Roboterarms, dessen Endeffektor ein sich bewegendes Zielobjekt erreichen soll. Die Bewegung des Zielobjekts kann mit einer bestimmten Unsicherheit durch ein mathematisches Modell prognostiziert werden.
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Das erfindungsgemäße Verfahren weist die folgenden Schritte auf:
- a) Berechnen einer Referenztrajektorie (10);
- b) Berechnen eines Machbarkeitsschlauchs (12), der die Referenztrajektorie (10) umgibt und der angibt, wie weit von der Referenztrajektorie (10) abgewichen werden darf, um noch die Nebenbedingungen des Systems einzuhalten;
- c) Berechnen einer prognostizierten Bewegung (14) des Zielobjekts;
- d) Berechnen eines Abweichungsschlauchs um die in Verfahrensschritt c) berechnete Bewegung (14) des Zielobjekts, der die maximal mögliche Abweichung der Bewegung des Zielobjekts angibt, die sich aus der Unsicherheit ihrer Prognose ergibt;
- e) Vergleichen des Abweichungsschlauchs mit dem Machbarkeitsschlauch (12) an der Position des Zielobjekts, an der es vom Endeffektor erreicht wird,
wobei der Endeffektor das Zielobjekt erreichen kann, wenn der Abweichungsschlauch vollständig in den Machbarkeitsschlauch (12) passt,
und der Endeffektor das Zielobjekt nicht erreichen kann, wenn der Abweichungsschlauch nicht vollständig in den Machbarkeitsschlauch (12) passt.
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In der vorliegenden Erfindung wird somit ein Fehler im Prognose-Modell für die Bewegung des Zielobjekts betrachtet. Hierbei kann es sich beispielsweise um einen Positions- und/oder Geschwindigkeitsfehler des Zielobjekts handeln. Abhängig von der Größe dieses Fehlers kann eine Aussage darüber getroffen werden, ob eine bestimmte Aufgabe des Roboters erfüllt werden kann oder nicht.
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In einer bevorzugten Ausführungsform ist es weiterhin möglich, ein Regelungsverfahren anzuwenden, durch das von der Referenztrajektorie abgewichen wird, da sich der Zielpunkt (d. h. die gewünschte Endkonfiguration des Systems) aufgrund der ungenauen Prognose in der Realität ändert. Einzelheiten zu diesem Regelungsverfahren werden in der vorliegenden Anmeldung dargestellt.
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Es ist bevorzugt, dass die Form des Machbarkeitsschlauchs bestimmt wird durch den Verlauf der Referenztrajektorie, die zu erfüllenden Nebenbedingungen des Systems sowie die Unsicherheit der Prognose der Bewegung des Zielobjekts. Die Nebenbedingungen des Systems sind sämtliche Bedingungen, die sich aus dem Roboterarm selbst oder seiner Umgebung ergeben und durch die die auszuführende Aufgabe (beispielsweise die Bewegung des Roboterarms) eingeschränkt wird. Hierbei kann es sich beispielsweise um einen Gegenstand handeln, mit dem der Roboterarm kollidieren kann und der deswegen umfahren werden muss. Weitere Nebenbedingungen können sich aus den Grenzen der möglichen Winkel der Robotergelenke, ferner aus Grenzen bezüglich der Gelenk-Geschwindigkeiten oder der Gelenkantriebe ergeben. Weitere Nebenbedingungen können sich in Abhängigkeit von bestimmten Aufgaben ergeben (beispielsweise durch einen begrenzten Blickwinkel einer Kamera am Endeeffektor des Roboterarms). Dies ist insofern wichtig, als dass ein Zielobjekt im Kamerasichtfeld behalten werden muss, so dass der Bewegung des Endeffektors hiermit Grenzen auferlegt werden. Alle diese Nebenbedingungen haben einen wesentlichen Einfluss auf die Form des Machbarkeitsschlauchs.
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Dieser Einfluss muss entlang des Verlaufs des Machbarkeitsschlauchs nicht gleichbleibend sein, so dass die Breite des Machbarkeitsschlauchs nicht konstant sein muss, sondern während seines Verlaufs variieren kann. Anders ausgedrückt kann der Machbarkeitsschlauch an einer bestimmten Stelle eine große Breite aufweisen, während er an einer anderen Stelle, beispielsweise um eine Kollision mit einem Gegenstand zu vermeiden, eine geringere Breite aufweisen kann. Der Machbarkeitsschlauch muss ferner relativ zur Referenztrajektorie nicht rotationssymmetrisch ausgebildet sein, sondern er kann auch eine asymmetrische Form aufweisen. Anders ausgedrückt kann sich der Machbarkeitsschlauch in eine bestimmte Richtung weiter von der Referenztrajektorie entfernen als in einer anderen Richtung.
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In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform ist der Roboterarm bezüglich seiner Aufgabe redundant ausgebildet. In diesem Fall kann die Referenztrajektorie sowohl im kartesischen Raum als auch im Gelenkraum berechnet werden. Um eine Kollision der beiden kommandierten Werte im kartesischen Raum und im Gelenkraum zu vermeiden, wird die kommandierte Referenz-Gelenk-Konfiguration im Nullraum des Roboterarms kommandiert, wodurch definitionsgemäß die Bewegung des Endeffektors des Roboterarms nicht beeinflusst wird.
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Im Folgenden werden bevorzugte Ausführungsformen der Erfindung anhand von Figuren näher erläutert.
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Es zeigen:
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1 eine Referenztrajektorie mit einem Machbarkeitsschlauch,
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2 die Bewegung des Endeffektors im Vergleich zur Bewegung des Zielobjekts und
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3 ein Blockdiagramm einer Robotersteuerung.
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In 1 ist eine Referenztrajektorie 10 dargestellt, die gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren berechnet wird. Diese ist umgeben von einem Machbarkeitsschlauch 12a, der in der dargestellten Ausführungsform aus mehreren zylinderförmigen Elementen 12a–12k besteht. Die einzelnen Elemente 12a–12k weisen keinen konstanten Durchmesser auf. Im Gegenteil variiert ihr Durchmesser entlang des Verlaufs der Referenztrajektorie 10 in Abhängigkeit von verschiedenen Gegebenheiten der Umgebung.
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Beispielsweise kann in 2 erkannt werden, dass die Breite des Machbarkeitsschlauchs 12 in der Nähe der Singularität 16, die umfahren werden muss, sehr gering ist. Das dort dargestellte zylinderförmige Element 12b des Machbarkeitsschlauchs 12 weist somit einen sehr geringen Durchmesser auf, wenn man es mit dem größeren Element 12a zu Beginn der Bewegung des Endeffektors vergleicht. Allgemein ist in 2 die prognostizierte Bewegung des Endeffektors (d. h. die Referenztrajektorie 10) im Vergleich zur prognostizierten Bewegung 14 des Zielobjekts dargestellt. Die jeweilige prognostizierte Bewegung 10/14 ist jeweils mit einer durchgehenden Linie dargestellt. Die tatsächliche Trajektorie des Endeffektors, die durch Positionssensoren am Robotergelenk erfasst werden kann, ist durch eine gestrichelte Linie 10' dargestellt. Weiterhin ist die tatsächliche Trajektorie des Zielpunkts durch die gestrichelte Linie 14' dargestellt. Diese kann beispielsweise optisch durch ein Kamerasystem erfasst werden. Wie in 2 erkennbar, weisen die tatsächlichen Bewegungen des Endeffektors und des Zielobjekts 10'/14' Abweichungen von den jeweils prognostizierten Bewegungen 10/14 auf.
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Ziel des erfindungsgemäßen Verfahrens ist es, angeben zu können, ob eine bestimmte Aufgabe des Roboters erfüllt werden kann, wenn die Abweichungen der Prognose der Bewegung des Zielobjekts eine bestimmte Grenze nicht überschreiten. Anders ausgedrückt soll eine Aussage darüber getroffen werden, ob bei einer bestimmten Sicherheit der Prognose der Bewegung des Zielobjekts die Aufgabe des Roboters erfüllt werden kann oder nicht. Die Aufgabe kann erfüllt werden, sofern der Abweichungsschlauch an der Position des Zielobjekts, an der es vom Endeffektor erreicht wird, vollständig in den Machbarkeitsschlauch 12 hinein passt. Die Breite des Abweichungsschlauchs wird definiert durch die Unsicherheit der Prognose der Bewegung des Zielobjekts. Hierbei bedeutet eine größere Unsicherheit einen breiteren Abweichungsschlauch, während eine kleinere Unsicherheit einen engeren Abweichungsschlauch bedeutet. Somit ist es bei einer größeren Sicherheit der Prognose einfacher möglich, festzustellen, dass der Abweichungsschlauch vollständig in den Machbarkeitsschlauch passen wird, so dass die Aufgabe des Roboters erfüllt werden kann.
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In 3 ist eine Ausführungsform einer Robotersteuerung dargestellt, wie sie in dem erfindungsgemäßen Verfahren verwendet werden kann. Hierbei wird ein Visual Servo-Verfahren angewendet, um sicherzustellen, dass der Roboter zum Ziel kommt, obwohl es Modellfehler in der Referenztrajektorie gibt. Eine solche Steuerung bietet eine höhere Robustheit als ein Visual Servo ohne Referenztrajektorie, wie er aus dem Stand der Technik bekannt ist.
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Im dargestellten Steuerungsverfahren findet ein optisches Tracking statt. Dieses kann mit einer Frequenz von 10 Hz durchgeführt werden, während in der inneren Kontrollschleife ein Regelkreis mit einer Frequenz von 500 Hz durchgeführt wird, indem die Regelungsaktion von der Rückkopplung der Sensoren abhängig ist.
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Die in 3 dargestellte Steuerarchitektur dient dazu, den simulierten Abstand zwischen dem Endeffektor und dem Zielobjekt (grasping point) zu verfolgen. Der simulierte Abstand wird berechnet gemäß Δxe sim (t) = xgp sim (t) – xe sim (t). Hierbei handelt es sich um ein (6 × 1) Vektorfeld, das drei Positionsvariablen und drei Orientierungsvariablen enthält. xgp sim ist die Position des Greifpunkts (gp) auf dem Zielobjekt, die anhand eines Modells prognostiziert wird. xe sim ist die simulierte oder geplante Endeffektorposition, die sich aus dem Motion Planner ergibt. Die Entfernungsvariable Δxe sim ist zu Beginn maximal und zu dem Zeitpunkt, an dem der Endeffektor das Zielobjekt erreicht hat (grasping time), gleich Null.
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Der tatsächliche Abstand zwischen dem Endeffektor und dem Zielobjekt, der als Δxe true bezeichnet ist, wird durch einen kamerabasierten Pose-Estimation-Algorithmus bereitgestellt. Dieser Abstand wird mit einer Konstanten K skaliert, um eine Stabilität der Visual-Tracking-Funktion zu gewährleisten.
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Wie in 3 dargestellt, wird an den Roboterarm eine kartesische Position xe des und eine Gelenkkonfiguration θsim kommandiert. Der erstere Wert beinhaltet eine Korrektur der Referenztrajektorie xe sim, so dass der Endeffektor die ursprüngliche Referenztrajektorie verlässt, um die tatsächliche Position des Zielobjekts am Ende des Manövers (d. h. zur grasping time) zu erreichen. Dies kann mathematisch wie folgt beschrieben werden: Das Ziel der Steuerung ist, dass Δ e / true = Δx e / sim (1)
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Hierbei ist Δx e / sim durch den Motion Planner gegeben und Δx e / true ist durch den kamerabasierten Pose-Estimation-Algorithmus gegeben. Definitionsgemäß kann die linke Seite der Gleichung (1) ausgedrückt werden als Δ e / true = x gp / true – x e / true (2)
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Hier ist x gp / true die tatsächliche Pose des Zielobjekts, während x e / true die tatsächliche Pose des Endeffektors ist. Der letztere Wert ist die Kontrollvariable, da alle anderen Werte in Gleichung (1) bereits vorherbestimmt sind. x e / true kann beschrieben werden als x e / true = x e / sim + x e / corr (3)
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Hierbei bezeichnet x e / corr die Korrektur der Referenztrajektorie des Motion Planners. Gleichung (1) kann weiterhin dargestellt werden als x e / true = x gp / true – Δx e / sim (4)
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Kombiniert man Gleichung (3) und Gleichung (4) gelangt man zu x e / sim + x e / corr = x gp / true – Δx e / sim (5)
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Es folgt, dass x e / corr = x gp / true – x gp / sim (6)
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Um x e / true zu bestimmen, das kommandiert werden muss, um Gleichung (1) zu erfüllen, werden Gleichung (4) und Gleichung (2) kombiniert. Man gelangt somit zu: x e / des = Δx e / true + x e / true – Δx e / sim (7)
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In dieser Gleichung sind alle Werte bestimmt. Der Inhalt der Gleichung (7) ergibt sich in 3 daraus, dass einem Summierer die Differenz Δx e / true und Δx e / sim zugeführt wird, die anschließend mit x e / true addiert wird. Hieraus ergibt sich xe des. Bei diesem Wert handelt es sich um die korrigierte absolute Position des Endeffektors, die an den Roboterarm kommandiert wird.
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Ist der Roboterarm hinsichtlich seiner Aufgabe redundant ausgebildet, kann gleichzeitig eine Referenzgelenkkonfiguration θsim kommandiert werden. Die Referenztrajektorie wird somit sowohl im kartesischen Raum als auch im Gelenkraum berechnet und kommandiert. Hierdurch wird sichergestellt, dass die tatsächliche Gelenkkonfiguration in der Nähe der kommandierten Referenzgelenkkonfiguration verbleibt, während die Trajektorie des Endeffektors durch das Visual-Tracking-System korrigiert wird. Um zu vermeiden, dass die beiden kommandierten Werte xe des und θsim miteinander kollidieren, wird die Referenzgelenkkonfiguration θsim im Nullraum des Roboterarms kommandiert, wodurch definitionsgemäß die Position des Endeffektors nicht beeinflusst wird.
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Die innere Schleife der Steuerung weist eine Roboterimpedanzsteuerung mit einer Sampling-Periode von 2 ms auf. Diese Steuerungsschleife erfasst die gewünschte Endeffektorposition und die Konfiguration des Roboterarms unter Verwendung einer Impedanzsteuerung, durch die den Robotergelenken Drehmomentkommandos zugeführt werden, die sich aus einer Funktion von Fehlern im kartesischen Raum oder im Gelenkraum ergeben. Hierbei kann ein gewünschtes Steifigkeits- und Dämpfungsverhalten berücksichtigt werden. Der Steuerungsterm für diese Tracking-Aufgabe kann mathematisch wie folgt definiert werden: τ = –J(θ)T(Kx e / des + Dx . e / des) – (In – J(θ)T*J(θ)T)v0 (8)
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Hierbei ist τ der Steuerungsvektor (n × 1) für die n-Drehmomente der Gelenke. J ist die Jakobi-Matriz des Roboters und K und D sind (6 × 6) Diagonalmatrizen, durch die die Steifigkeit und die Dämpfungsparameter für das gewünschte Verhalten des Roboterarms definiert werden. Der erste Term in der Gleichung stellt eine Kraft dar, die auf den Endeffektor wirkt, um ihn in Richtung des Ziels zu bewegen. Der zweite Term in der Gleichung stellt ein Abbild von J dar, für das das Vektorfeld Γ0 (7 × 1) die Kraft, die auf den Endeffektor wirkt, nicht beeinflusst. Die Bewegung, die sich aus diesem zweiten Term ergibt, wird genau aus diesem Grund als Nullraumbewegung bezeichnet. Die Definition von Γ0, um ein Tracking der Roboterkonfiguration, die durch den Motion Planner bereitgestellt wird, zu erreichen, lautet wie folgt: Γ0 = k( ∂v(θ) / ∂θ)T (9)
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Hierbei ist k eine positive Konstante und T
0 ist gegeben durch:
