DE102008043965B4 - Verfahren zur echtzeitfähigen Simulation eines Luftsystemmodells eines Verbrennungsmotors - Google Patents

Abstract

Verfahren zum Bestimmen mindestens einer Luftsystemgröße in einem Luftzuführungssystem (3) eines Verbrennungsmotors (2) in aufeinander folgenden, diskreten Berechnungsschritten, wobei eine Differenzialgleichung bezüglich der Luftsystemgröße basierend auf Mess- und/oder Modellgrößen, die Zustände im Luftzuführungssystem (3) beschreiben, bereitgestellt wird, wobei eine Differenzengleichung zur Diskretisierung der Differenzialgleichung gebildet wird und wobei die Differenzengleichung in jedem diskreten Berechnungsschritt gelöst wird, um die Luftsystemgröße zu erhalten, dadurch gekennzeichnet, dass die Differenzengleichung zur Diskretisierung der Differenzialgleichung gemäß einem impliziten Verfahren gebildet wird.

Description

• Technisches Gebiet
• Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur echtzeitfähigen Simulation eines Luftsystemmodells eines Verbrennungsmotors, insbesondere zur Bestimmung eines oder mehrerer Luftsystemgrößen, insbesondere dem Ladedruck und dem Luftmassenstrom an einer Position im Luftsystem nach der Regelklappe.
• Stand der Technik
• Die korrekte Bestimmung des Ladedrucks und des Luftmassenstroms im Saugrohr eines Verbrennungsmotors an der Position im Luftsystem vor einer Regelklappe ist für die Einhaltung von Abgasrichtlinien von zentraler Bedeutung. In der Regel verwendet eine Motorsteuerung zur Steuerung des Verbrennungsmotors diese Größen, um die entsprechenden Abgasnormen einzuhalten.
• Die DE 101 22 456 A1 offenbart ein System und Verfahren zur Steuerung eines Verbrennungsmotors zur Verbesserung der Steuerung des Luft-/Kraftstoffverhältnisses mit Hilfe einer reinen (Feed-Forward) auf einem Beobachter beruhenden Steuerungsstrategie, umfassend das Schätzen der momentanen und zukünftigen Luftmengenstellgliedstellungen, das Ermitteln der entsprechenden Luftmassenwerte und das Ermitteln einer zukünftigen Zylinderansaugluft auf der Basis einer Differenz zwischen den momentanen und zukünftigen Luftmassewerten. In einer Ausführung wird die Differenz zwischen den momentanen und zukünftigen Luftmassenschätzungen als Feed-Forward-Glied verwendet und mit einem erfassten und gemessenen Wert kombiniert, der von einem Luftmassensensor vor der Verarbeitung mit Hilfe eines Krümmerfüllmodells zur Vorherbestimmung der zukünftigen Zylinderansaugluft erzeugt wird. In einer anderen Ausführung werden die momentanen und zukünftigen Luftmasseschätzungen mit Hilfe des Krümmerfüllmodells verarbeitet, wobei die Ergebnisse zur Erzeugung einer zukünftigen Delta-Zylinderansaugluft verwendet werden, welche anschließend als Feed-Forward-Glied verwendet und mit einer gemessenen Ansaugluft entsprechend einer gemessenen Luftmasse, die von dem Krümmerfüllmodell verarbeitet wird, kombiniert wird.
• Der Ladedruck und der Luftmassenstrom werden in der Regel nicht durch einen Sensor gemessen, sondern müssen durch ein dynamisches Modell im Motorsteuergerät in Echtzeit berechnet werden. Diese Berechnungen basieren auf den Sensor- oder Modellgrößen für den Druck im Saugrohr p₂₂ (stromabwärts der Regelklappe, d.h. zwischen Regelklappe und Einlassventilen des Motors), der Temperatur der angesaugten Luft T₂₁ vor der Regelklappe), dem Luftmassenstrom ṁ₁ vor einem Verdichter (wie z.B. einem Turbolader), der Stellung der Regelklappe POS und der gespeicherten Luftmasse m₂₁ im Abschnitt des Luftzuführungssystems vor der Regelklappe 7. Der Zusammenhang wird beschrieben durch folgende Gleichungen: $$p_{21}\left(t\right)=g\left(V_{21},m_{21}\left(t\right),T_{21}\left(t\right)\right)$$

  

  $${\dot{m}}_2\left(t\right)=ƒ\left(p_{21}\left(t\right),p_{22}\left(t\right),POS\left(t\right),T_{21}\left(t\right)\right)$$

  

  $$\frac{d{m}_{21}\left(t\right)}{dt}={\dot{m}}_1\left(t\right)-{\dot{m}}_2\left(t\right)$$

  
• Die Funktionen f() und g() sind Modellfunktionen, die den Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen beschreiben. Durch die Arbeitsweise des Motorsteuergeräts muss diese Differenzialgleichung diskretisiert werden. Damit erhält man eine Differenzengleichung der Struktur: $$p_{21}\left(t_k\right)=g\left(V_{21},m_{21}\left(t_{k-1}\right),T_{21}\left(t_k\right)\right)$$

  

  $${\dot{m}}_2\left(t_k\right)=ƒ\left(p_{21}\left(t_k\right),p_{22}\left(t_k\right),POS\left(t_k\right),T_{21}\left(t_k\right)\right)$$

  

  $$m_{21}\left(t_k\right)=m_{21}\left(t_{k-1}\right)+\Delta t\cdot \left({\dot{m}}_1\left(t_k\right)-{\dot{m}}_2\left(t_k\right)\right)$$

  

  $$t_k=k\cdot \Delta t$$

  
• Diese Differenzengleichung als Algorithmus zur Lösung der obigen Differenzialgleichung wird mit dem so genannten expliziten Euler-Verfahren gewonnen. Die Verwendung eines expliziten Verfahrens weist insbesondere für die Diskretisierung von Luftsystemgrößen folgende Nachteile auf:
• - In bestimmten Betriebsbereichen weist dieser Algorithmus eine dynamische Ungenauigkeit auf, die unter Umständen auch zu Instabilität führen kann. Diese dynamischen Ungenauigkeiten bzw. Instabilitäten hängen von der Regelklappenstellung bzw. von dem Volumen des Luftsystemabschnitts vor der Regelklappe ab.
• - Die Berechnung muss aus diesem Grund mit sehr kleinen Zeitschritten durchgeführt werden, um einen sinnvollen Stabilitätsbereich zu erreichen. Dies erhöht den Rechenzeitbedarf erheblich und bindet erhebliche Rechenkapazitäten des Motorsteuergeräts.
• - Das obige Modell der Differenzengleichungen berechnet einen stationären Druckabfall auch bei voll geöffneter Regelklappe, was der Realität in der Regel nicht entspricht. Dies führt zu Rechenungenauigkeiten und damit zu einer ungenauen Bestimmung des Ladedrucks.
• - Die Temperatur der angesaugten Außenluft wird digital erfasst. Weist deren Wertquantisierung keine ausreichende Auflösung auf, kann das Kippen des niederwertigsten Bit des digitalen Temperatursignals einem Verrauschen des Luftmassensignals ṁ₂ führen. So dass eine zusätzliche Filterung des Luftmassensignals ṁ₂. erforderlich ist. Diese Filterung beeinträchtigt die erreichbare Dynamik, so dass diese nicht vollständig ausgeschöpft werden kann.
• Es ist daher Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren und eine Vorrichtung zur verbesserten echtzeitfähigen Bestimmung einer Luftsystemgröße, insbesondere des Ladedrucks und/oder des Luftmassenstroms in dem Luftzuführungssystem bereitzustellen, die die oben genannten Probleme vermeiden.
• Offenbarung der Erfindung
• Diese Aufgabe wird durch das Verfahren zur echtzeitfähigen Simulation einer Luftsystemgröße, insbesondere des Ladedrucks und/oder des Luftmassenstroms in einem Luftsystem nach der Regelklappe in einem Verbrennungsmotor gemäß Anspruch 1 sowie durch eine Vorrichtung und ein Computerprogramm gemäß den nebengeordneten Ansprüchen gelöst.
• Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in den abhängigen Ansprüchen angegeben.
• Gemäß einem Aspekt ist ein Verfahren zum Bestimmen mindestens einer Luftsystemgröße in einem Luftzuführungssystem eines Verbrennungsmotors in aufeinander folgenden, diskreten Berechnungsschritten vorgesehen. Bei dem Verfahren wird eine Differenzialgleichung bezüglich der Luftsystemgröße basierend auf Mess- und/oder Modellgrößen, die Zustände im Luftzuführungssystem beschreiben, bereitgestellt, wobei eine Differenzengleichung zur Diskretisierung der Differenzialgleichung gemäß einem impliziten Verfahren gebildet wird und wobei die die Differenzengleichung in jedem diskreten Berechnungsschritt gelöst wird, um die Luftsystemgröße zu erhalten.
• Eine Idee des obigen Verfahrens besteht darin, die einleitend angegebene Differenzialgleichung gemäß einem impliziten Verfahren (Rückwärts-Verfahren) anstelle des einleitend angegebenen expliziten Verfahrens (Vorwärts-Verfahren) zu diskretisieren. Als explizite Verfahren werden Verfahren zur Berechnung einer Differentialgleichung bezeichnet, welche durch Zeitschritte die Lösung approximieren. D.h. aus bei einem Zeitschritt bekannten Größen wird der nach dem darauffolgenden Zeitschritt vorliegende, zu berechnende Wert ermittelt. Ein explizites Verfahren bedeutet in diesem Zusammenhang, dass zur Berechnung der Näherungswerte nur Werte von Systemgrößen herangezogen werden, die zeitlich vor dem zu berechnenden Wert liegen. Dagegen wird bei impliziten Verfahren zur Berechnung auch der zu berechnende Wert selbst benutzt.
• Durch die Verwendung des impliziten Verfahrens kann sich also eine andere Berechnungsreihenfolge ergeben, wodurch sichergestellt ist, dass die zeitdiskrete Realisierung bzw. Berechnung der Modellgleichung unabhängig von Applikation oder Betriebsbereich immer stabil ist. Zusätzlich kann die in den Berechnungsschritten durchgeführte Berechnung in größeren Zeitschritten im Vergleich zum Stand der Technik erfolgen, wodurch die erforderliche Rechenzeit im Motorsteuergerät reduziert wird. Darüber hinaus konnte die stationäre und dynamische Genauigkeit des berechneten Ladedrucks und der Luftmasse vor der Regelklappe verbessert werden.
• Weiterhin kann, wenn die Differenzengleichung nicht-linear ist und analytisch nicht lösbar ist, die Differenzengleichung durch eine Näherungs-Modellfunktion approximiert werden, wobei die Näherungs-Modellfunktion so gewählt wird, dass eine analytische Lösung der Differenzengleichung existiert.
• Die Differenzengleichung kann eine Wurzelfunktion enthalten, deren Operand durch die Näherungs-Modellfunktion ersetzt wird, wobei die Näherungs-Modellfunktion ein Polynom enthält. Insbesondere kann die Wurzelfunktion einer Quadrat-Wurzelfunktion entsprechen, deren Operand als Näherungs-Modellfunktion ein Polynom zweiter Ordnung aufweist. Dabei können Koeffizienten des Polynoms durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate oder durch Wahl von mehreren Stützstellen bestimmt werden.
• Gemäß einer Ausführungsform kann die Differenzialgleichung ein Luftzuführungssystem mit mindestens einem Volumen und mit mindestens einer Drosselklappe beschreiben.
• Insbesondere kann die mindestens eine Luftsystemgröße dem Ladedruck vor der Drosselklappe und/oder dem Luftmassenstrom in das Luftzuführungssystem entspricht.
• Gemäß einem weiteren Aspekt ist eine Vorrichtung zum Bestimmen mindestens einer Luftsystemgröße in einem Luftzuführungssystem eines Verbrennungsmotors in aufeinander folgenden, diskreten Berechnungsschritten, mit einer Steuereinheit, die ausgebildet ist, um eine Differenzengleichung in jedem diskreten Berechnungsschritt zu lösen, um die Luftsystemgröße zu erhalten, wobei die Differenzengleichung zur Diskretisierung einer Differenzialgleichung gemäß einem impliziten Verfahren gebildet ist, wobei die Differenzialgleichung bezüglich der Luftsystemgröße basierend auf Mess- und/oder Modellgrößen, die Zustände im Luftzuführungssystem beschreiben, bereitgestellt ist.
• Gemäß einem weiteren Aspekt ist ein Computerprogramm vorgesehen, das einen Programmcode enthält, der, wenn er auf einem Datenverarbeitungsgerät ausgeführt wird, das obige Verfahren durchführt.
• Figurenliste
• Bevorzugte Ausführungsformen der Erfindung werden nachfolgend anhand der beigefügten Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:
• 1 eine schematische Darstellung eines Motorsystems mit einem Verbrennungsmotor;
• 2 einen Verlauf des berechneten Luftmassenstroms ṁ₂ nach der Regelklappe bei verschiedenen Algorithmen;
• 3 die Verläufe des simulierten und gemessenen Ladedrucks des expliziten Verfahrens bzw. dem impliziten Verfahren; und
• 4 ein Diagramm zum Vergleichen der mit den expliziten Verfahrens sowie den impliziten Verfahren ermittelten Lösungen.
• Beschreibung von Ausführungsformen
• 1 zeigt eine schematische Darstellung eines Motorsystems 1 mit einem Verbrennungsmotor 2, dem Luft über ein Luftzuführungssystem 3 zugeführt wird und von dem Abgas über eine Abgasabführung 4 abgeführt wird.
• Das Luftzuführungssystem 3 weist einen Verdichter 6 z.B. in Form eines durch ausströmendes Abgas angetriebenen Turboladers auf, um Außenluft anzusaugen und diese in einen ersten Luftsystemabschnitt des Luftzuführungssystems 3 einzubringen. In einem zweiten Luftsystemabschnitt, der stromabwärts des Verdichters 6 angeordnet ist, ist eine Drossel in Form einer einstellbaren Regelklappe 7 angeordnet, um die dem Verbrennungsmotor 2 zugeführte Luftmasse einzustellen.
• Weiterhin ist stromaufwärts vor dem Verdichter 6 ein Luftmassensensor 8 zum Bestimmen des angesaugten Luftmassenstroms ṁ₁ vorgesehen. Ein Drucksensor 9 befindet sich stromabwärts des Verdichters 6 in dem zweiten Luftsystemabschnitt vorgesehen, um einen Druck der über das Luftzuführungssystem 3 bereitgestellten Luft kurz vor Einlass in einen entsprechenden Zylinder (nicht gezeigt) des Verbrennungsmotors 2 als Messgrößen bereitzustellen.
• Weiterhin misst ein Temperatursensor 11 die Temperatur T₂₁ der Luft vor der Regelklappe 7.
• Ein Motorsteuergerät 20 ist vorgesehen, um die Messgrößen, die Temperatur T₂₁ vor der Regelklappe 7, der Luftmassenstrom ṁ₁ vor dem Verdichter 6, der Druck p₂₂ hinter der Regelklappe 7 als Messgrößen zu erhalten und daraus den entsprechenden Ladedruck p₂₁ und den Luftmassenstrom ṁ₂ nach der Regelklappe 7 zu bestimmen. Diese Größen werden für den Betrieb des Verbrennungsmotors 2 benötigt, insbesondere bestimmt das Motorsteuergerät 20 die Stellung der Regelklappe 7, bzw. die Einspritzmenge des einzuspritzenden Kraftstoffs. Auf die genaue Funktion der Ansteuerung des Verbrennungsmotors 2 abhängig von dem bestimmten Ladedruck p₂₁ und des Luftmassenstroms ṁ₂ nach der Regelklappe 7 wird hierin nicht eingegangen.
• In dem Motorsteuergerät 20 wird zur Bestimmung dieser Größen die einleitend angegebene Differenzialgleichung gelöst. Um die dort genannten Probleme zu vermeiden, wird hierin vorgeschlagen, die Differenzialgleichung mithilfe eines impliziten Verfahrens zu diskretisieren: $$p_{21}\left(t_k\right)=g\left(V_{21},m_{21}\left(t_{k-i}\right),T_{21}\left(t_{k-i}\right)\right)$$

  

  $${\dot{m}}_2\left(t_k\right)=ƒ\left(p_{21}\left(t_{k-i}\right),p_{22}\left(t_{k-i}\right),POS\left(t_{k-i}\right),T_{21}\left(t_{k-i}\right)\right)$$

  

  $$m_{21}\left(t_k\right)=h\left(m_{21},{\dot{m}}_1\left(t_{k-i}\right),{\dot{m}}_2\left(t_{k-i}\right),\Delta t\right)$$

  

  $$\begin{array}{cc}{t}_k=k\cdot \Delta t& i=0\dots k\end{array}$$

  

  wobei
  f(), g(), h() Modellfunktionen zur Beschreibung der Zusammenhänge zwischen den Größen angeben,
  p₂₁ dem Druck vor der Regelklappe 7,
  V₂₁ dem Volumen vor der Regelklappe 7,
  m₂₁ der Luftmenge bzw. Luftmasse der in dem Volumen V₂₁ befindlichen Luft,
  T₂₁ die Temperatur der sich in dem Volumen V₂₁ befindlichen Luft,
  p₂₂ der Druck der unmittelbar vor dem Einlass in die Zylinder des Verbrennungsmotors befindlichen Luft,
  POS der Position der Regelklappe 7,
  ṁ₁ der Luftmassenstrom vor dem Verdichter 6,
  ṁ₂ der Luftmassenstrom nach der Regelklappe 7 (vor einer etwaigen Einleitstelle von rückgeführtem Abgas),
  t_k der verstrichenen Zeit und
  Δt der Zykluszeit der Berechnungen entsprechen.
• Bei dieser Diskretisierung wird im Gegensatz zu der in der Einleitung erwähnten Diskretisierung mithilfe des impliziten Verfahrens zur Berechnung des aktuellen Drucks p₂₁ (t_k) die aktuell gespeicherte Masse im Behälter m₂₁ (t_k) verwendet.
• Formt man das nichtlineare Gleichungssystem des impliziten Verfahrens in geeigneter Weise um, so erhält man die nichtlineare Gleichung: $$\begin{array}{l}{m}_{21}\left(t_k\right)\\ =h(m_{21}\left(t_{k-i}\right),{\dot{m}}_1\left(t_{k-i}\right),ƒ\left(g\left(V_{21},m_{21}\left(t_{k-i}\right),T_{21}\left(t_{k-i}\right)\right),p_{22}\left(t_{k-i}\right),POS\left(t_{k-i}\right),T_{21}\left(t_{k-i}\right),\Delta t\right)\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{cc}{t}_k=k\cdot \Delta t& i=0\dots k\end{array}$$

  
• In der Regel wird dieses nichtlineare Gleichungssystem in jedem Zeitschritt t_k gelöst. In Sonderfällen kann diese Gleichung jedoch auch analytisch gelöst werden. Im Allgemeinen werden iterative Methoden, wie z.B. das Newton-Verfahren zum Bestimmen einer Lösung verwendet.
• In 2 ist ein Vergleich der Luftmassenströme ṁ₂ nach der Regelklappe gemäß verschiedenen Algorithmen dargestellt. Die Kurve K1 zeigt den gemessenen Massenstrom vor dem Verdichter 6. Hieraus wird mit verschiedenen Algorithmen der Luftmassenstrom ṁ₂ im ersten Luftsystemabschnitt nach der Regelklappe 7 berechnet. Der bisherige Algorithmus muss aus Stabilitätsgründen mit einer sehr kleinen Abtastzeit ΔT berechnet werden. Darüber hinaus ist der berechnete Massenstrom ṁ₂ stark verrauscht (Kurve K2). Durch Tiefpassfilterung kann das Rauschen reduziert werden. Darunter leidet allerdings die Dynamik, wodurch sich eine deutliche Verzögerung ergibt (siehe Kurve K4). Der neue Algorithmus wird mit einer sehr viel größeren Abtastzeit, wie z.B. einer zehnmal größeren Abtastzeit berechnet, wodurch sich eine deutliche Reduktion der benötigten Laufzeit ergibt (siehe Kurve K3). Eine Tiefpassfilterung ist nicht erforderlich, wodurch sich eine deutlich bessere Dynamik des Signals ergibt.
• In den 3a, 3b und 3c ist ein Vergleich der berechneten und gemessenen Ladedrücke p₂₁ dargestellt. Deutlich ist zu erkennen, dass der herkömmliche Algorithmus gemäß dem expliziten Verfahren bei einer großen Abtastzeit von 10 * ΔT instabil ist (3a). Wird mit demselben expliziten Verfahren die Abtastzeit um einen Faktor 10 auf ΔT verringert, so erhält man einen stabilen Verlauf, der aber stationäre Abweichungen aufweist (3b). Ersetzt man das explizite Verfahren durch das implizite Verfahren, so erhält man trotz Verwendung einer großen Abtastzeit 10 * ΔT einen stabilen Verlauf, der darüber hinaus stationär genauer ist (3c).
• Im Folgenden wird ein konkretes Beispiel zur Gegenüberstellung der Lösung der Differenzialgleichung beschrieben, wenn diese gemäß dem expliziten Euler bzw. dem impliziten Euler gelöst werden. Gegeben sei ein System der Form $$T\cdot \dot{x}\left(t\right)+\sqrt{x\left(t\right)}=K\cdot u\left(t\right),$$

  

  das der Klasse der eingangs angegebenen Modellgleichung entspricht. T und K entsprechen Konstanten und enthalten keine zeitabhängigen Parameter. Durch Diskretisierung analog zu dem Algorithmus gemäß dem impliziten Euler-Verfahren erhält man die Differenzengleichung: $$T\cdot \frac{x\left(t_k\right)-x\left(t_{k-1}\right)}{\Delta t}+\sqrt{x\left(t_k\right)}=K\cdot u\left(t_k\right)$$

  

  $$T\cdot x\left(t_k\right)+\Delta t\sqrt{x\left(t_k\right)}=K\cdot u\left(t_k\right)+T\cdot x\left(t_{k-1}\right)$$

  

  $$t_k=k\cdot \Delta t$$

  
• Man erkennt, dass diese Diskretisierung gemäß dem impliziten Euler-Verfahren zu einer impliziten, nichtlinearen Gleichung führt. Durch geeignete Methoden kann diese nichtlineare Gleichung in jedem Zeitschritt t_k gelöst werden.
• In Sonderfällen kann diese Gleichung jedoch analytisch gelöst werden, was bei dem hier gewählten Beispiel der Fall ist. Man erhält: $$x\left(t_k\right)=\left(\left(-\frac{\Delta t}{2\cdot T}\right)+\sqrt{{\left(\frac{\Delta t}{2\cdot T}\right)}^2+K\cdot \frac{\Delta t}{T}\cdot u\left(t_k\right)+x\left(t_{k-1}\right)}\right)$$

  
• Diese analytische Lösung ist wünschenswert, da sie den Rechenaufwand in dem Motorsteuergerät erheblich reduziert.
• Im Folgenden wird ein konkretes Beispiel zur Ermittlung des Ladedrucks p₂₁ (Druck vor der Drosselklappe) in einem Luftsystem beschrieben. Dabei wird die sich aus der Diskretisierung der Differentialgleichung ergebende nichtlineare Gleichung durch eine Näherungsfunktion der Drosselgleichung analytisch lösbar gemacht.
• Ausgehend von der allgemeinen Form der Drosselgleichung $${\dot{m}}_2\left(t\right)=ƒ\left(p_{21}\left(t\right),p_{22}\left(t\right),POS\left(t\right),T_{21}\left(t\right)\right)$$

  

  wobei die Funktion f als $${\dot{m}}_2\left(t\right)=POS\left(t\right)\cdot p_{21}\left(t\right)\cdot \sqrt{\frac{2}{R\cdot T_{21}\left(t\right)}}\cdot \psi \left(\mathrm{\Pi }\right)$$

  

  $$\psi \left(\mathrm{\Pi }\right)=\{\begin{array}{cc}{\psi }_{Krit}& 0\le \mathrm{\Pi }<{\mathrm{\Pi }}_{\text{Krit}}\\ \sqrt{i_1\left(\kappa \right)\left({\mathrm{\Pi }}^{i_2\left(\kappa \right)}-{\mathrm{\Pi }}^{i_3\left(\kappa \right)}\right)}& {\mathrm{\Pi }}_{\text{Krit}}\le \mathrm{\Pi }\le 1\end{array}$$

  

  mit $$\mathrm{\Pi }=\frac{p_{22}\left(t\right)}{p_{21}\left(t\right)}$$

  

  und mit $${\psi }_{Krit}=\sqrt{i_1\left({\mathrm{\Pi }}_{Krit}^{i_2}-{\mathrm{\Pi }}_{Krit}^{i_3}\right)}$$

  

  angenommen wird. Dies entspricht der allgemeinen Drosselgleichung, wobei p₂₂ dem Druck nach der Drosselklappe, p₂₁ dem Ladedruck vor der Drosselklappe und κ dem Adiabatenexponenten mit κ =c_p/c_V (c_p: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, cv: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen) und Π_Krit einem kritischen Druckverhältnis über der Drosselklappe 7 entsprechen. Die Werte i₁, i₂, i₃ entsprechen verschiedenen rationalen Zahlen, die nur von der Konstanten κ abhängen. Durch die verschiedenen rationalen Exponenten i₂(κ), i₃(κ) unter der obigen Wurzelfunktion ist die Gleichung nicht in analytischer Weise lösbar.
• Durch geeignete Annäherung an die obige Wurzelfunktion mit Hilfe einer Polynomfunktion in einer Wurzelfunktion kann eine analytische Lösung für den Ladedruck p₂₁ der obigen nicht-linearen Gleichung zu jedem Zeitpunkt (Rechenschritt) erreicht werden. Insbesondere die Näherung mit einer Wurzelfunktion mit einem Polynom zweiten Grades gemäß $$\sqrt{i_1\left(\kappa \right)\left({\mathrm{\Pi }}^{i_2\left(\kappa \right)}-{\mathrm{\Pi }}^{i_3\left(\kappa \right)}\right)}\approx \sqrt{a\cdot {\mathrm{\Pi }}^2+b\cdot \mathrm{\Pi }+c}$$

  

  führt zu tolerierbaren Fehlern.
• Die Koeffizienten a, b, c können durch die Methode der kleinsten Quadrate, durch die Wahl geeigneter Stützstellenoder durch sonstige Approximationsverfahren in bekannter Weise bestimmt werden. Setzt man die Näherungsfunktion in die obige Drosselgleichung ein, so erhält man eine analytische Lösung.
• In 4 ist ein Vergleich der Lösungen des Beispielsystems mit den verschiedenen Verfahren dargestellt. Die Kurve J1 zeigt den Verlauf der Lösung der nichtlinearen Gleichung bei Lösung mit einem expliziten Euler-Verfahren, J2 den Verlauf der Lösung der nicht-linearen Gleichung bei Lösung mit einem impliziten Euler-Verfahren und J3 den Verlauf der echten Lösung. Man erkennt, dass die Näherung gemäß dem impliziten Euler-Verfahren keine Schwingung aufweist und nahe an der echten Lösung der nichtlinearen Differenzialgleichung liegt. Wird der Zeitschritt vergrößert, so wird die Lösung gemäß dem expliziten Euler-Verfahren sogar instabil, wohingegen die Lösung gemäß dem impliziten Euler-Verfahren stabil bleibt. Dies ist ein großer Vorteil bei der Realisierung in einem Motorsteuergerät.

Claims (10)

1. Verfahren zum Bestimmen mindestens einer Luftsystemgröße in einem Luftzuführungssystem (3) eines Verbrennungsmotors (2) in aufeinander folgenden, diskreten Berechnungsschritten, wobei eine Differenzialgleichung bezüglich der Luftsystemgröße basierend auf Mess- und/oder Modellgrößen, die Zustände im Luftzuführungssystem (3) beschreiben, bereitgestellt wird, wobei eine Differenzengleichung zur Diskretisierung der Differenzialgleichung gebildet wird und wobei die Differenzengleichung in jedem diskreten Berechnungsschritt gelöst wird, um die Luftsystemgröße zu erhalten, dadurch gekennzeichnet, dass die Differenzengleichung zur Diskretisierung der Differenzialgleichung gemäß einem impliziten Verfahren gebildet wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei das implizite Verfahren einem impliziten Euler-Verfahren entspricht.
3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 2, wobei, wenn die Differenzengleichung nichtlinear ist und analytisch nicht lösbar ist, die Differenzengleichung durch eine Näherungs-Modellfunktion approximiert wird, wobei die Näherungs-Modellfunktion so gewählt wird, dass eine analytische Lösung der Differenzengleichung existiert.
4. Verfahren nach Anspruch 3, wobei die Differenzengleichung eine Wurzelfunktion enthält, deren Operand durch die Näherungs-Modellfunktion ersetzt wird, wobei die Näherungs-Modellfunktion ein Polynom enthält.
5. Verfahren nach Anspruch 4, wobei die Wurzelfunktion einer Quadrat-Wurzelfunktion entspricht, deren Operand als Näherungs-Modellfunktion ein Polynom zweiter Ordnung aufweist.
6. Verfahren nach Anspruch 4 oder 5, wobei Koeffizienten des Polynoms durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate oder durch Wahl von mehreren Stützstellen bestimmt werden.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, wobei die Differenzialgleichung ein Luftzuführungssystem mit mindestens einem Volumen und mit mindestens einer Drosselklappe (7) beschreibt.
8. Verfahren nach Anspruch 7, wobei die mindestens eine Luftsystemgröße dem Ladedruck vor der Drosselklappe (7) und/oder dem Luftmassenstrom in das Luftzuführungssystem entspricht.
9. Vorrichtung zum Bestimmen mindestens einer Luftsystemgröße in einem Luftzuführungssystem (3) eines Verbrennungsmotors (2) in aufeinander folgenden, diskreten Berechnungsschritten, mit einer Steuereinheit (20), die ausgebildet ist, um eine Differenzengleichung in jedem diskreten Berechnungsschritt zu lösen, um die Luftsystemgröße zu erhalten, wobei die Differenzengleichung zur Diskretisierung einer Differenzialgleichung gemäß einem impliziten Verfahren gebildet ist, wobei die Differenzialgleichung bezüglich der Luftsystemgröße basierend auf Mess- und/oder Modellgrößen, die Zustände im Luftzuführungssystem beschreiben, bereitgestellt ist.
10. Computerprogramm, das einen Programmcode enthält, der, wenn er auf einem Datenverarbeitungsgerät ausgeführt wird, ein Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 8 durchführt.

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