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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zur Ableitung eines Zustandsraumes.
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Verfahren
zur Ableitung eines Zustandsraumes werden unter anderem zur präzisen
Beschreibung von dynamischen Handelsstrategien oder handelbaren
Derivaten verwendet. Handelsstrategien können Strategien
auf Finanzinstrumenten, aber auch Kauf- und Verkaufsstrategien auf
anderen Gütern, sowie Handlungsalternativen bei Projektplanungen
und in der Unternehmenssteuerung sein.
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Die
Herausforderung besteht dabei in einer präzisen Notation,
die für ein weites Publikum verständlich ist und
eindeutig den zeitlichen Ablauf der Strategie oder des Derivates
beschreibt. Die Darstellung sollte dazu geeignet sein, möglichst
alle quantitativen Aspekte zu erfassen, automatisiert zu bearbeiten
und zu speichern. Außerdem sollte die Darstellung den manuellen
Aufwand minimieren, der bei der Berechnung von Parametern, wie beispielsweise
Risikokennzahlen, optimalen Mengen eines Handelsgutes oder dem wirtschaftlichen
Nutzen der Handelsstrategie erforderlich ist.
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Für
eine präzise und vollständige Beschreibungssprache
von dynamischen Handelsstrategien ist besonders wichtig, dass Entscheidungen
basierend auf allen in einem Szenario enthaltenen Informationen
möglich sind. Jede mögliche Entscheidung in einem
Szenario kann von – bedingt auf dieses Szenario – zukünftigen stochastischen
Größen, beispielsweise einem Erwartungswert oder
der Korrelation zweier Produkte, abhängen.
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Handelsstrategien
sind finanzmathematisch betrachtet eine Verallgemeinerung von einzeln
handelbaren Finanzderivaten. Die allgemeine Form kann mathematisch
eindeutig beschrieben werden. Die derzeitige Notation ist jedoch
für diese Anwendung zu komplex und kann nicht automatisiert
verarbeitet werden. Es gibt zahlreiche informatorische Lösungsversuche,
die technisch gut verarbeitet werden können jedoch wenig
generisch sind und ständig erweitert werden müssen.
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Die
Mathematik hat eine sehr mächtige Notation für
die Modellierung in der Stochastik und der Finanzmathematik entwickelt.
Insbesondere die Einführung von stochastischen Prozessen
und Filtrationen darauf erlaubt die Darstellung von Funktionen,
die auf beliebigen zukünftigen oder vergangenen Szenarien
bedingt sind. Ein Beispiel hierfür ist ein bedingter Erwartungswert.
Solch ein Vorgehen kann eine Vielzahl an Derivaten und Handelsstrategien
beschreiben [St, Pl].
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Diese
existierende Notation ist an den Erfordernissen der stochastischen
Analysis orientiert und bietet eine größere Allgemeinheit,
als für tatsächliche Strategien notwendig wäre.
Daher ist die Notation relativ komplex und dient nicht als allgemein
verständliches Dokumentationsmaterial. Außerdem
bietet eine Beschreibung über stochastische Prozesse keinen
direkten Weg zur Implementierung: Keine bisherige Programmiersprache bietet
die Möglichkeit, allgemeine stochastische Prozesse zu beliebigen
Zeiten anzusprechen oder stochastische Größen
bedingt auf ein Szenario zu errechnen.
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Der
informatorische Weg führte zu der Idee, Finanzprodukte
mit den Technologien aus der Softwareentwicklung zu beschreiben.
Dabei werden einfache Grundtypen von Finanzprodukten vordefiniert
und benannt. Kombinationen davon sind nicht oder nur eingeschränkt
möglich. Der Industriestandard ISO 15022 für die
Computerverarbeitung von Derivaten wurde über FpML [JE,
Fp] realisiert. Hierbei wird die Computerverarbeitung über
Namen für jede Ausprägung eines Finanzderivats
gelöst.
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Dieser
Ansatz ist nicht generisch, so dass ein bisher nicht beschriebenes
Derivat auch nicht dargestellt werden kann. Auch eine Darstellung
dynamischer Handelsstrategien ist auf diese Weise nicht möglich.
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Besser
sind Sprachen, die erlauben verschiedene generische Derivatetypen
miteinander zu kombinieren [Al, L04, Le, PES]). Hierbei können
vordefinierte Basisprodukte kombiniert werden. Die Kombinationsmöglichkeiten
orientieren sich dabei an dem, was durch Handelstransaktionen kombiniert
werden kann. So kann beispielsweise ein Swap über die Addition
zweier Anleihen dargestellt werden.
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Sobald
dieser Swap jedoch spezielle Eigenschaften besitzt, wie z. B. noch
nicht abgebildete Kündigungsrechte, ist eine Zerlegung
in vorhandene Produkte nicht mehr möglich. Dieses Vorgehen
ist kaum generisch und erfordert eine ständige Erweiterung
der abgebildeten Grundprodukte. Viele Finanzoptionen und komplexe
dynamische Handelsstrategien können nicht dargestellt werden.
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Derzeit
werden Finanzprodukte hauptsächlich in Prosa und mit Formeln
beschrieben. Eine automatische numerische Behandlung dieser Beschreibung
ist nicht möglich und muss manuell in herkömmlichen
Programmiersprachen durchgeführt werden. Es stehen dabei
verschiedene Bibliotheken zur Verfügung, die Standardverfahren
der Derivatebewertung beispielsweise über partielle Differentialgleichungen
(PDE) [FV, WVFVC] oder über Least-Squares Monte-Carlo [LS]
ermöglichen. Über diese numerischen Algorithmen
können dynamische Handelsstrategien nicht dokumentiert
werden, sondern nur einzelne damit in Verbindung stehende Rechenaufgaben
gelöst werden.
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Der
Erfindung liegt die Aufgabe zu Grunde ein Verfahren zu finden, das
die zuvor beschriebenen Nachteile meidet und einfach anwendbar ist.
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Diese
Aufgabe wird mit einem Verfahren zur Ableitung eines Zustandsraumes
gelöst, bei dem das Problem als chronologische Folge von
Aktionen in einen Speicher eingegeben wird, anschließend
eine Analyse der chronologischen Folge von Aktionen auf Abhängigkeiten
der Aktionen voneinander durchgeführt wird und dann die
chronologische Folge in mindestens eine sequentiell berechenbare
Folge von Aktionen umgewandelt wird.
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Die
hiermit vorgeschlagene technische Lösung ist die Beschreibung
von Handelsstrategien und Derivaten in einem neuen Programmierstil,
bei dem ähnlich der prozeduralen Programmierung eine Liste
von Anweisungen sequentiell angegeben wird. Allerdings entspricht
die Reihenfolge der Anweisungen nicht der Auswertungsreihenfolge
auf einem Computer, sondern folgt der Chronologie der einzelnen
Aktionen der Handelsstrategie.
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Die
Beschreibung von dynamischen Handelsstrategien und Derivaten vereinfacht
sich dadurch erheblich und stellt gleichzeitig eine bei minimalen
Programmierkenntnissen verständliche Dokumentation dar.
Herkömmliche prozedurale oder sequentiell auswertende Programmiersprachen
erfordern, dass Variablen mindestens ein Wert zugewiesen wird, bevor
sie im weiteren Kontext verwendet werden können.
| Richtig: | Falsch: |
| x =
3 | y
= sin(x) |
| y =
sin(x) | x
= 3 |
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Das
neue Programmierkonzept stellt eine Abkehr von dieser strengen Forderung
dar, denn es ermöglicht einen Zugriff auf einen zukünftigen
Wert einer Variablen, ohne die ursprüngliche chronologische
Ordnung zu verlieren. Das Verfahren umfasst nicht alleine das Umsortieren
der Anweisungen in eine sequentiell berechenbare Ordnung, sondern
die Nutzung der ursprünglichen Ordnung für die
Berechnung von Risikoparametern und Preisen für die beschriebenen
Prozesse.
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Das
folgende Beispiel illustriert die Möglichkeit der Berechnung
von bedingten Erwartungswerten. Es berechnet die Erwartung x die
ein Händler zu einer bestimmten Zeit für eine
optionale Zahlung y haben kann:
Startwerte bei t = 0
S
= 100
Simuliere Aktie S für t = 1
x = E(y) => führt zu
x = E(y|S, t = 1)
Simuliere Aktie S für t = 2
y
= max(S – K, 0)
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Normale
Programmiersprachen können den Ausdruck für x
nicht einfach bezeichnen oder berechnen, da y bei sequentieller
Auswertung des Beispieles noch unbekannt ist. Bei einer einfachen
Permutation ginge verloren, dass bei der Berechnung von x der erste
Wert der Aktie S bereits bekannt ist. Die chronologische Ordnung
der Anweisungen bzw. Aktionen in diesem Beispiel erlaubt die automatische
Ableitung der Tatsache, dass der für x berechnete Erwartungswert
bedingt auf S zum Zeitpunkt 1. ist.
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Allgemein
werden stochastische Eigenschaften wie der Erwartungswert bedingt
auf die Menge aller in dem jeweiligen Szenario bekannten Variablenwerte – oder
einer äquivalenten Teilmenge dieser – berechnet. Das
Verfahren erstreckt sich genau auf die automatische Nutzung dieser
chronologischen Information für die Ableitung der zu berechnenden
stochastischen Werte. Eine reine Permutation der Reihenfolge, bei
der erst y und dann x als Durchschnitt von y gerechnet wird, würde
von den Verfahren abweichen.
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Hierbei
geht es nicht um die bloße Berechnung einer stochastischen
Funktion wie des Erwartungswertes, sondern um die Ableitung eines
Zustandsraumes, in welche die Kenntnis der chronologischen Ordnung einfließt.
Beispiele dafür sind der Beta-Faktor, Varianz, Kovarianz,
Value at Risk, Conditional Value at Risk, Sharpe Ratio und ähnliche,
wenn diese auf das vorherrschende Szenario des Zustandsraums bedingt
werden.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren kann für unterschiedliche
Ableitungen von Zustandsräumen verwendet werden. Besonders
vorteilhaft ist das Verfahren einsetzbar, wenn das Problem ein finanzmathematisches
Problem ist.
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Außerdem
ist es vorteilhaft, wenn die chronologische Folge in eine prozedurale
Programmiersprache eingebettet ist. Hierbei gibt die prozedurale
Programmiersprache die chronologische Folge der Aktionen als Befehlsfolge
an.
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Die
chronologische Folge kann auch als Markup-Sprache ausgedrückt
sein. Hierunter wird jede Markup-Sprache einschließlich
XML und XML-Dialekten verstanden.
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Weiterhin
kann die chronologische Folge als graphische Notation ausgedrückt
sein. Eine derartige graphische Notation stellt die chronologische
Folge der Aktionen als Fluss- oder Sequenzdiagramm dar. Schließlich
kann die chronologische Folge auch als UML oder UML Dialekt ausgedrückt
sein.
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Vorteilhaft
ist es, wenn die Aktionen folgende Konstrukte umfassen:
- – Zuweisung von Werten, Variablen, Funktionen oder
Referenzen zu Variablen,
- – Operationen zur Steuerung der Modellzeit und
- – eine bedingte Ausführung.
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Vorteilhaft
ist es weiterhin, wenn die Aktionen eine Abbildung einer stochastischen
Größe auf einen einzelnen Wert aufweisen. Hierbei
können die folgenden Abbildungen verwendet werden:
- – Zentrale stochastische Momente (Erwartungswerte,
Varianz, ...)
- – Schiefe
- – Kurtosis
- – Quantile
- – Kovarianz
- – Conditional Value at Risk
- – Sharpe Ratio.
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In
einem bevorzugten Ausführungsbeispiel werden in der Analyse
stochastische Eigenschaften verwendeter Variablen, die sich aus
nicht deterministischen Berechnungen und der chronologischen Ordnung
der Aktionen implizit ergeben, untersucht.
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Um
mehrere Prozessoren gleichzeitig zu verwenden, wird vorgeschlagen,
die chronologische Folge in mehrere sequentiell berechenbare Folgen
von Aktionen umzuwandeln.
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Ein
breites Anwendungsgebiet für das Verfahren wird erschlossen,
wenn die sequentiell berechenbaren Folgen von Aktionen dazu verwendet
werden Preise von Finanzprodukten, z. B. Optionspreise, Risikoparameter,
optimale Mengen eines Handelsgutes oder den wirtschaftlichen Nutzen
einer Handelsstrategie zu berechnen.
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Die
Umwandlung der chronologische Folge in eine von Computern sequentiell
berechenbare Folge von Aktionen enthält in der Regel die
folgenden Schritte:
- – Umsortierung
der Aktionen im Speicher durch Vorziehen von direkt berechenbaren
Aktionen und Aufschieben von Aktionen, die von anderen Aktionen
abhängen und
- – Ableitung des Zustandsraums, auf dem eine Aktion
bedingt ist, falls ihre Berechnung eine stochastische Funktion einbezieht.
Dieser Zustandsraum umfasst vorzugsweise alle Informationen die
zur Modellzeit bekannt sind.
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Wichtige
Problemstellungen für das Verfahren sind handelbare Derivate,
Handelsstrategien auf Finanzinstrumenten, Kauf- und Verkaufstrategien
auf Gütern, Handlungsalternativen bei Projektplanung und
Unternehmens- und Konzernsteuerung.
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Insbesondere
bei Problemstellungen aus der Finanzmathematik ist die Zuweisung
von Werten, Variablen, Funktionen oder Referenzen an Variablen besonders
interessant, sofern sie auch den Zugriff auf Variablen einbezieht,
die in der chronologischen Reihenfolge erst später definiert
werden.
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Das
Verfahren erleichtert die Modellierung und Analyse von Problemstellungen
aus der Finanzmathematik und das Verfahren zur Nutzung dieser Technologie
umfasst in der Praxis folgende Arbeitsschritte:
- 1.
Einlesen des Modells einer finanzmathematischen Problemstellung
in einer domänenspezifischen Beschreibungssprache, welche
in ihrer Form auf einer sequentiell ausgewerteten Programmiersprache
basiert.
- 2. Zerlegen des Modells in einzelne Aktionen, entsprechend ihrer
sequentiellen Ordnung in der Modellzeit.
- 3. Suchen einer berechenbaren Aktion. Diese Aktion wird ausgewertet
und das Ergebnis steht allen im Modell nachfolgenden Operationen
als Zustandsraum zur Verfügung. Falls die berechenbare
Aktion eine stochastische Funktion einbezieht, dann wird -diese
als bedingte Größe auf dem zur Modellzeit zur
Verfügung stehenden Zustandsraum numerisch ausgewertet.
- 4. Wiederholen der Schritte 3 bis 4 bis alle Aktionen berechnet
sind.
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Domänen
spezifische Beschreibungssprachen in Schritt 1 sind Markup Languages
wie XML, graphische Beschreibungssprachen wie UML, sowie Programmiersprachen,
die Aktion für Aktion in einer chronologischen Reihenfolge
auflisten und dabei diese chronologische Reihenfolge zur Bestimmung
der Bedingung von bedingten stochastischen Größen
nutzen.
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Mögliche
Aktionen in Schritt 2 sind Auswertung von Formeln und die Zuweisung
des Ergebnisses auf eine Variable, sowie alle anderen Programmierkonstrukte
zur Strukturierung der Berechnungssequenz, wie zum Beispiel Modularisierung,
Funktionsaufrufe, Schleifen, bedingte Verzweigungen, Parallelisierung
und Prozesssynchronisation. Das beschriebene Verfahren führt
zu einer Umsortierung der Berechnungsreihenfolge und der automatischen
Bestimmung der Bedingung für stochastische Größen.
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Mögliche
stochastische Funktion in Schritt 3 sind alle Funktionen, die eine
stochastische Größe auf einen messbaren, d. h.
zur Modellzeit bestimmbaren, Wert abbilden. Beispiele hierfür
sind: Alle zentralen stochastischen Momente (Erwartungswert, Varianz,
...), Schiefe, Kurtosis, Quantile, Kovarianz, Conditional Value at
Risk und Sharpe Ratio. Die Erfindung bezieht sich auf die automatische
Umwandlung in entsprechende bedingte stochastische Größen.
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Die
Erfindung umfasst die Beschreibung von chronologischen Abläufen,
wie zum Beispiel Handelsstrategien, die auf stochastischen Funktionen
basieren. Sie umfasst weiterhin die Umsortierung von Berechnungsanweisungen
in eine berechenbare Ordnung, bei gleichzeitiger Nutzung der ursprünglichen
Ordnung für stochastische Bedingungen. Die Anordnung unsortierter
oder in einer für die Berechnung nicht relevanten ursprünglichen
Ordnung ist hierbei nicht gemeint.
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Bei
dem erfindungsgemäßen Verfahren geht es um das
automatische Ableiten relevanter Bedingungen für stochastische
Maße wie Erwartungswerte oder Korrelationen bedingt auf
den jeweiligen Zustandsraum (statespace). Weniger relevant sind
Beschreibungen mit stochastischen Funktionen auf explizit angegebenen Bedingungen.
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Die
Erfindung bietet somit eine Technologie zur Beschreibung von sequentiellen
Abläufen in einer Weise, die leicht verständlich
und einfach in einen numerischen Algorithmus umgewandelt werden
kann.
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In
der Zeichnung zeigt die
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1 ein
Ablaufdiagramm der Analyse eines Finanzmodells und
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2 ein
mögliches Ablaufdiagramm der Berechnung des Zustandsraumes
c für die Aktion Z = F(x) mit der stochastischen Funktion
F und der stochastischen Größe x zum Zeitpunkt
t.
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Im
Folgenden wird die Erfindung am Beispiel der Bewertung einer amerikanischen
asiatischen Option beschrieben.
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Diese
Option bezieht sich auf den Durchschnitt a des betreffenden Aktienkurses
S. Der finanzmathematisch faire Wert ergibt sich aus der Betrachtung
von sog. risikoneutralen Szenarien mit optimaler Ausübungsstrategie
des Optionshalters. Die optimale Strategie ist die Option auszuüben,
sobald der erwartete Wert der Option E(V) kleiner ist als der Wert
bei sofortiger Ausübung max(a*EUR – K*EUR, 0).
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Die
Struktur der Option wird zunächst formal beschrieben. Hier
erfolgt die Beschreibung in einer einfachen prozeduralen Programmiersprache,
die gegenüber bekannten Programmiersprachen über
die Möglichkeit verfügt, stochastische Größen
auf später zugewiesenen Variablen zu berechnen. In diesem
Beispiel wird die Funktion E() verwendet um den Erwartungswert zu
berechnen. Dieses zusätzliche Programmierkonstrukt vereinfacht
die Darstellung des Derivates und der damit verbundenen Rechenaufgabe
erheblich. Gegenüber einer alternativen Darstellung wird
der Code übersichtlicher und kürzer.
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Das
Modell für die Struktur des Derivates in „ThetaScript"
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Zusätzlich
zur Struktur des Finanzproduktes benötigt man die Struktur
des stochastischen Modells. Das Finanzprodukt wird mit dem stochastichen
Modell in ThetaScript über die Theta-Funktion synchronisiert. Das
folgende Beispiel zeigt die Definition der Prozesse zweier Variablen
EUR und S. Das stochastische Modell muss nicht notwendiger Weise
in der gleichen Programmiersprache wie das Strukturmodell beschrieben
werden. Der folgende Code zeigt eine Implementierung über
die Matlab Funktion Theta.m:
function state = Theta(dt, state)
mu
= 0.0;
sigma = 0.4;
% Black-Scholes Szenarien für
den Aktienkurs
state.S = state.S.*exp((mu – 0.5*sigma^2)*dt
+ ... sqrt(dt)*sigma*randn(size(state.S)));
% Konstanter Zinssatz
zum Diskontieren des Numeraires
r = 0.05;
state.EUR =
exp(–dt.*r).*state.EUR;
end
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Das
Funktionsargument dt bezeichnet die simulierte Zeitspanne (0.004).
Dieses Beispiel zeigt die Implementierung des stochastischen Modells
in Monte-Carlo Code. Die Beschreibung des Finanzproduktes ist nicht
unbedingt auf eine Auswertung über Monte-Carlo angewiesen.
Dieses Beispiel zeigt jedoch eine mögliche Implementierung
des geschützten Verfahrens.
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Der
nächste Schritt ist das Zerlegen in Aktionen und das Suchen
einer berechenbaren Aktion.
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Umsortieren
in eine berechenbare Reihenfolge:
| Zeile | Zeit | Aktion |
| 1 | 1 | a[1]
= S[1] |
| 2 | 1 | n
= 1 |
| 3 | 2 | Theta
0.004: S[2] = f_S(S[1]); EUR[2] = f_EUR(EUR[1]) |
| 4 | 2 | n
= n + 1 |
| 5 | 2 | a[2]
= ((n – 1)/n)*a[1] + (1/n)*S[2]/EUR[2] |
| 6 | 3 | Theta
0.004: S[3] = f_S(S[2]); EUR[3] = f_EUR(EUR[2]) |
| 7 | 3 | n
= n + 1 |
| 8 | 3 | a[3]
= ((n – 1)/n)*a[2] + (1/n)*S[3]/EUR[3] |
| 9 | 4 | Theta
0.004: S[4] = f_S(S[3]); EUR[4] = f_EUR(EUR[3]) |
| 10 | 4 | n
= n + 1 |
| 11 | 4 | a[4]
= ((n – 1)/n)*a[3] + (1/n)*S[4]/EUR[4] |
| 12 | | : |
| 13 | 250 | Theta
0.004: S[250] = f_S(S[249]); EUR[250] = f_EUR(EUR[249]) |
| 14 | 250 | n
= n + 1 |
| 15 | 250 | a[250]
= ((n – 1)/n)*a[249] + (1/n)*S[250]/EUR[250] |
| 16 | 250 | V
= max(a[250]*EUR[250] – K*EUR[250], 0) |
| 17 | 249 | I
= E(V) < max(a[249]*EUR[249] – K*EUR[249],
0) |
| 18 | 249 | V(I)
= max(a[249]*EUR[249] – K*EUR[249], 0) |
| 19 | 248 | I
= E(V) < max(a[248]*EUR[248] – K*EUR[248],
0) |
| 20 | 248 | V(I)
= max(a[248]*EUR[248] – K*EUR[248], 0) |
| 21 | | : |
| 22 | 2 | I
= E(V) < max(a[2]*EUR[2] – K*EUR[2],
0) |
| 23 | 2 | V(I)
= max(a[2]*EUR[2] – K*EUR[2], 0) |
| 24 | 1 | P
= V |
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Darauf
folgt das Ableiten des Zustandsraumes für E(V): Wiederholen
für alle Aktionen.
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V
in Zeile 17 hängt ab von: V[250], also von a[250], EUR[250],
K, wobei K deterministisch ist. Der Zeitpunkt in Zeile 17 ist 249.
Zu diesem Zeitpunkt sind a[250] und EUR[250] noch unbekannt. Zeile
15 verrät, dass a[250] von a[249], S[250] und EUR[250]
abhängt. S[250] hängt von S[249] und EUR[250]
von EUR[249] ab. Nun sind drei Größen errechnet,
die zum Zeitpunkt 249 bekannt sind und für den Zustandsraum
benötigt 1 werden. D. h. der zu berechnende bedingte Erwartungswert
ist E(V|a[249], S[249], EUR[249]). V in Zeile 19 hängt ab
von: V[250] und V[249]. Also hängt es wie Zeile 17 ab von
a[250], EUR[250], K, wobei K immer noch deterministisch ist und
zusätzlich von a[249] und EUR[249] abhängt, was
man an Zeile 18 sehen kann. Der Zeitpunkt in Zeile 19 ist 248. Zu
diesem Zeitpunkt sind a[250], a[249], EUR[250] und EUR[249] noch
unbekannt.
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Verfolgen
wir alle Zuweisungen bis zum Zeitpunkt 248 zurück, dann
erhalten wir als Zustandsraum: a[248], S[248], EUR[248]. D. h. der
zu berechnende bedingte Erwartungswert ist E(V|a[248], S[248], EUR[248]).
Diese Prozedur muss man solange wiederholen, bis alle bedingten
Erwartungswerte mit dem zugehörigen Zustandsraum versehen
sind. Eine andere Herangehensweise an die Bestimmung eines Zustandsraumes
wäre die Betrachtung aller eingehenden stochastischen Größen.
Dann wäre der Zustandsraum für Zeile 17: EUR[1],
EUR[2], ..., EUR[249], S[1], S[2], ..., S[249]. D. h. die Berechnung
des bedingten Erwartungswertes würde sich auf ein 249 +
249 = 498 dimensionales Problem hinauslaufen. Dies ist nicht einfach
zu lösen, weshalb die oben beschriebene Vorgehensweise
der Betrachtung aller eingehenden stochastischen Größen
klar vorzuziehen ist.
| 17 | 249 | I
= E_regress(V|a[249], S[249], EUR[249]) < max(a[249]*EUR[249] – K*EUR[249],
0) |
| 18 | 249 | V(I)
= max(a[249]*EUR[249] – K*EUR[249], 0) |
| 19 | 248 | I
= E_regress(V|a[248], S[248], EUR[248]) < max(a[248]*EUR[248] – K*EUR[248],
0) |
| 20 | 248 | V(I)
= max(a[248]*EUR[248] – K*EUR[248], 0) |
| 21 | | : |
| 22 | 2 | I
= E_regress(V|a[2], S[2], EUR[2]) < max(a[2]*EUR[2] – K*EUR[2],
0) |
| | : | |
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Die
Funktion E_regress zum Berechnen des Erwartungswertes könnte
beispielsweise über eine Matlab-Funktion wie diese dargestellt
werden:
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Der
Optionswert kann nun über einen Monte-Carlo Szenariogenerator
berechnet werden. Dazu werden zunächst die Startwerte gesetzt:
K = 100, EUR[1] = 1, S[1] = 100. Jede Variable enthält
denn eine Menge an Szenarios, die Schritt für Schritt mit
Werten gefüllt werden:
f_S: S[i + 1] = S[i]*exp((0.05 – 0.5*0.4^2)*0.004)
+ sqrt(0.004)*0.4*randn(1000,1))
f_EUR: EUR[i + 1] = exp(–0.004*0.05)*EUR[i]
wobei
randn(1000,1) einen Vektor mit 1000 normal verteilten Zufallszahlen
liefert. Diese Schritte sind dabei aus dem stochastischen Modell
The ta.m übernommen. Die bedingten Erwartungswerte werden
anschließend über Regressionen berechnet (E_regress(x,
y)), wie im Least-Squares Monte-Carlo Verfahren [LS] üblich.
Der Optionswert ergibt sich am Ende der Berechnung zu P = 10.36.
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ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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Zitierte Nicht-Patentliteratur
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