CN1913645A - 一种基于超复数的彩色图像质量评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明考虑属图像质量评估技术领域，具体是一种基于超复数的彩色图像质量评估方法。该方法将彩色图像的三色分量R、G、S作为超复数矢量的一个整体进行描述，提出了彩色图像的通用质量指标。该指标考虑了五种彩色图像失真的组合：相关损失、亮度失真、对比度失真和色彩失真。并根据HSI(色调、饱和度、亮度)彩色模型，讨论了提出的彩色图像通用的质量指标与灰度图像的质量指标之间的关系。各种彩色图像失真的实验结果表明：提出的质量指标不仅在灰度部分评估结果优于现有的方法，而且还能够判断出其失真是主要发生在结构信息还是在色彩信息上。

Description

一种基于超复数的彩色图像质量评估方法

技术领域

本发明属于图像质量评估技术领域，具体涉及一种基于超复数的彩色图像质量评估方法。

背景技术

如果希望描述彩色图像R(红)，G(绿)，B(蓝)三色分量的内在的联系，超复数可以将彩色图像的三色分量作为一个矢量整体进行如下的无实部的纯四元数描述[8]：

在图像的获取、压缩、存储、传输和再现过程中，数字图像往往会产生大量的不同类型和不同级别的失真，这些失真将导致图像质量的严重下降。在一些应用中，图像是由人监视和控制的，因此图像质量的评估最终是由人的主观评价来决定，在另外的一些应用中，主观评价往往是不方便的，主观方法受到包括环境条件，动机以及情绪等多种因素的影响，而且耗时耗力、代价昂贵。因此有必要研究客观图像的质量指标，即研究一套量化的方法，来自动评估压缩、传输等方法对图像质量的影响，并为进一步改善这些方法提供理论的指导。在过去的30年中，大量的文章提出许多方法试图解决这一问题[1]。方法包括双变量法，如最小均方误差(MSE)或者L_p范数[2]，此外还有模仿人类视觉系统(HVS)的测度[3]和绘图的测度[4]等。

文献[3]为灰度图像质量指标提出了一种新方法，称为通用图像质量指标(UQI)。文中的指标模型为：任何失真由三个不同的因素组成：相关性损失，均值失真以及对比度失真。该指标通过一个8*8滑窗进行计算，得到图像的质量图。全局的质量指标是质量图中所有UQI值的均值。当任一分母十分接近零时，UQI指标将产生结果不稳定的质量评估结果。为了避免这一问题，这个测度已经一般化到空间结构类似性测度(SSIM)。并证明了UQI指标是SSIM测度的一种特殊情况[5]。类似UQI的全局性指标，全局图像质量MSSIM是由计算SSIM在所有窗下的平均值得到。最近文献[6]将原始灰度图像和待评估灰度图像分块，并将这些块进行奇异值分解。通过原始灰度图像和待评估灰度图像块的奇异值进而获得图像质量图，提出了一种局部和全局评价灰度图像质量的方法。文献[7]的分析表明：UQI、MSSIM和奇异值分解的方法是目前最好的客观评价灰度图像质量的方法。

由于上述方法都是基于灰度图像进行讨论的，当讨论彩色图像的质量时，人们都是通过某种变换提取出彩色图像的灰度信息，再用灰度图像的质量指标对其进行处理来实现分量分别用灰度的方法处理再将得到的三个结果相加，但这种方法仍然无法处理存在色彩变化的彩色图像评估，它们并没有考虑彩色图像RGB三色信息之间的内在联系。显然停留在对亮度信息评估的彩色图像评价方法，忽略了色彩信息和它们之间的内在联系，所以给出的结果也是片面的。

发明内容

本发明的目的在于提出一种能全面反应彩色图像质量信息的彩色图像质量评估方法。

本发明提出的彩色图像质量评估方法是一种基于超复数的彩色图像质量评估方法。该方法首先建立基于超复数的彩色图像通用质量指标，然后根据该质量指标评判该彩色图象的质量。

超复数，也称四元数，可以看成复数的推广，它包括一个实部分量和三个虚部分量。四元数空间的点可以表示为q(n)＝q₀(n)+iq₁(n)+iq₂(n)+kq₃(n)，

并定义： $\left\{\begin{array}{c}{i}^2=j^2=k^2=-1\\ \mathrm{ij}=-\mathrm{ji}=k,\mathrm{jk}=-\mathrm{kj}=i,\mathrm{ki}=-\mathrm{ik}=j\end{array}\right.$

f(m，n)＝R(m，n)i+G(m，n)j+B(m，n)k

文献[3]给出了通用灰度图像质量的指标(UQI)。当设两幅图像X＝{x_i|i＝1，…M}和Y＝{y_i|i＝1，…M}分别有M个像素点时，它给出的UQI定义为：

$S(x,y)=\frac{{4\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2)}---\left(1\right)$

式中 ${\mathrm{\μ}}_x=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,$ ${\mathrm{\σ}}_x^2=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-{\mathrm{\μ}}_x)}^2,$ 而 ${\mathrm{\μ}}_y=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i,$ ${\mathrm{\σ}}_y^2=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-{\mathrm{\μ}}_y)}^2,$ ${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-{\mathrm{\μ}}_x)(y_i-{\mathrm{\μ}}_y)$ 可以看出其UQI指标的最大值为1，当且仅当X和Y独立时成立。式(1)被认为是目前最为客观的图像质量指标之一[7]。下面我们将借助彩色图像的超复数描述把式(1)推广为通用的彩色图像质量指标，并说明式(1)不能说明图像色彩信息的失真和R，G，B三色分量的内在联系。

设有两幅彩色图像X和Y，X＝{x_i|i＝1，…M}，Y＝{y_i|i＝1，…M}，其中x_m和y_m为用超复数表示的彩色图像像素点，即：

x_m＝x_r(m)i+x_g(m)j+x_b(m)k

y_m＝y_r(m)i+y_g(m)j+y_b(m)k(2)

式中x_r(m)，x_g(m)，x_b(m)和y_r(m)，y_g(m)，y_b(m)分别为X和Y两幅彩色图像的RGB分量。

对两幅彩色图像X和Y采用如下超复数作为彩色图像质量指标(UCQI)：

$S(x,y)=\frac{4\left|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y\right|{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2)}$

其极坐标形式为：                    (3)

$S(x,y)=\frac{4\left|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y\right|{|\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}|}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2)}{e}^{-\mathrm{\μ\θ}}$

式中 ${\mathrm{\μ}}_x=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_m=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_r\left(m\right)i+x_g\left(m\right)j+x_b\left(m\right)k),$

${\mathrm{\μ}}_y=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_m=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(y_r\left(m\right)i+y_g\left(m\right)j+y_b\left(m\right)k),$

${\mathrm{\σ}}_x^2=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_m-{\mathrm{\μ}}_x)}^2,$ ${\mathrm{\σ}}_y^2=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(y_m-{\mathrm{\μ}}_y)}^2,$ ${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_m-{\mathrm{\μ}}_x)\stackrel{\‾}{(y_m-{\mathrm{\μ}}_y)},$

|μ_xμ_y|为超复数均值μ_x和μ_y乘积的模值，超复数σ_xy的极坐标形式是σ_xy＝|σ_xy|e^-μθ，其中μ为单位轴向量，μ＝V(q)/|V(q)|，V(q)为σ_xy的虚部，本征角 $\mathrm{\θ}={\tan }^{-1}\frac{\left|V\left(q\right)\right|}{S\left(q\right)},$ S(q)为σ_xy的实部。而μ_x，μ_y，σ_x和σ_y为纯四元数，根据四元数的乘法运算法则，纯四元数的平方为实数，其结果等于纯四元数模值的平方。式(3)定义的质量指标考虑到了色彩失真，相关损失，亮度和对比度失真，以及R，G，B三色之间失真的组合。为了说明这些失真，将式(3)重写成如下形式：

$S(x,y)=\frac{2\left|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y\right|}{{\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2}\·\frac{2\left|{\mathrm{\σ}}_x{\mathrm{\σ}}_y\right|}{{\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2}\·\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{\left|{\mathrm{\σ}}_x{\mathrm{\σ}}_y\right|}$

$=\frac{2\left|{\mathrm{\μ}}_x\right|\left|{\mathrm{\μ}}_y\right|}{{\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2}\·\frac{2\left|{\mathrm{\σ}}_x\right|\left|{\mathrm{\σ}}_y\right|}{{\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2}\·\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}\right|}{\left|{\mathrm{\σ}}_x\right|\left|{\mathrm{\σ}}_y\right|}{e}^{-\mathrm{\μ\θ}}$

(4)

式(4)中考虑了|PQ|＝|P||Q|。超复数的模值代表了彩色图像的亮度信息，则式(4)中第一项是测量彩色图像X和Y的亮度差别，第二项评价彩色图像X和Y的对比度的类似性，而第三项代表彩色图像X和Y的相关系数，它的模值在测量彩色图像X和Y的线性相关性的同时，其幅角θ评价这两幅彩色图像之间的色彩失真[10]，而θ＝0表示两幅彩色图像之间没有色彩失真[10]。简而言之，式(4)的模值反映了两幅彩色图像空间和结构相似度的信息；而e^-μθ反映了两幅彩色图像色彩信息的变化，相当于对两幅彩色图像计算互相关得到的结果。

式(3)和(4)中的 ${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_m-{\mathrm{\μ}}_x)\stackrel{\‾}{(y_m-{\mathrm{\μ}}_y)}$ 相当于计算X和Y在(0，0)处的互相关值，其极坐标形式中的角度θ，表示彩色图像X和Y在色彩上的变化量，图像间的色彩旋转越大，即失真越大，得到的θ值就越大。由于对颜色单一的两幅图像计算向量夹角θ可以得到更为准确的结果[3]，而在小区域内颜色变化相对较小，所以在计算时，对图像使用8×8或其他更小尺寸的滑窗，对每个窗内得到的超复数结果，分别提取模值和夹角θ，将最后所有窗内结果累加求平均，得到模值的平均和夹角的平均，作为彩色图像质量指标变化的标准，这样既可以看出失真的程度，又能够判断出失真主要发生在结构信息还是色彩信息上。这里θ单位为弧度，为方便起见后面的结果中用角度表示。

当式(3)和(4)中任一分母十分接近零时，UCQI指标将产生结果不稳定的质量评估结果。为了避免这一问题，借鉴SSIM的方法[5]，为式(3)和(4)中分子和分母分别加入一个小的常量C₁和C₂，例如可取0.05-0.2，(它们的取值方法详见文献[5])，最终获得一个超复数结构相似度QSSIM(Quaternion Structural Similarity)的客观彩色图像质量评估表示式如下：

$S(x,y)=\frac{\left(2\right|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y|+C_1)(2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}+C_2)}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2+C_1)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2+C_2)}---\left(5\right)$

附图说明

图1：不同类型的Lena失真图像集合。

图2：不同类型的lena失真图像集合。

具体实施方式

这里以Lena图像为例，首先对Lena图像进行不同类型的失真处理，JPEG方法压缩的图像，加入高斯噪声的图像、加入椒盐噪声的图像、DC-shifting(表示在R、G、B分量上加上一定的数值)是通过MATLAB处理得到的；而经过模糊处理的图像，经过锐化的图像，提高对比度的图像是使用CxImage类库处理完成的；色彩旋转是用文献[10]中的方法，将色彩矢量绕轴[0.58-0.58-0.57]旋转一定角度。失真类型及处理如表1所示：

                             表1 图像失真类型

模糊	对比度	DC-shifting	高斯噪声	椒盐噪声	jpeg压缩	色彩旋转
							1	1	(50，20，-20)	6	0.002	10∶1	20°

表1中JPEG的参数表示图像压缩率；高斯噪声的参数表示高斯噪声方差；DC-shifting行的参数表示RGB每个分量所加上的值；椒盐噪声的参数为噪声密度；模糊、提高对比度和锐化的参数是根据CxImage类库调整而得的，代表重复操作的次数；色彩旋转为色彩矢量旋转的角度。

文献[5]中提到，可以将彩色图像的亮度信息提取出来，然后用SSIM方法直接对图像亮度给出彩色图像的质量。为了比较文献[5]的方法与这里提出的质量指标，首先选取MSSIM值(全局图像质量MSSIM是由计算SSIM在所有8×8窗下的平均值)较大且相近的一组图像，计算每种失真处理过的图像的QSSIM值，首先在8×8的滑窗中分别计算出超复数表示的原图像和失真图像的均值、方差和协方差，用式[5]的方法计算每个窗下的模值和极坐标下的相位角，即色彩矢量间的夹角，C₁和C₂可取为0.1或其它小的常量，最后分别对模值和夹角求平均，作为最后的评估结果，其结果如图1所示：

根据MSSIM和QSSIM的定义，我们可以知道：MSSIM的数值和QSSIM的模值越大，表明图像的结构质量越好，而QSSIM的幅角越小，表明其色彩失真越小。而图1c，1d和1h的结果表明：它们的MSSIM数值大于图1b，1e至1g的MSSIM数值，据MSSIM的定义表明图1c，1d和1h的质量高于图1b，1e至1g。但我们能明显看到图1c，1d和1h存在色彩失真，而MSSIM的数值并不能反映该失真，即灰度的图像质量指标所无法反映彩色图像的色彩失真。而我们的QSSIM指标通过色彩的失真参数-QSSIM的幅角清楚表明了图1c，1d和1h的色彩失真大于图1b，1e至1g的色彩失真。该结论与我们的主观评价结果相符。尤其值得注意的是图1d，这里的DC-shifting是对RGB三个分量加上或减去不同的常数，这时其灰度值不会发生很大变化，但改变了图像的色彩信息，引起色彩上的失真，在图1d中QSSIM的幅角清楚地表明了这一点。此外，在图1c，1d，1f和1h的结构上我们并没有引入失真，但QSSIM模值指标的数值也小于1，这表明色彩的失真导致RGB三色间的内在联系发生变化。

图2给出了一组视觉质量较差的Lena图像，由于图像的色彩旋转不会导致亮度的失真，即无法获得质量较差的色彩失真图像，所以这里省去色彩旋转的例子。失真类型及处理如表2所示：

                          表2 图像失真类型

模糊	对比度	高斯噪声	椒盐噪声	jpeg压缩	锐化
						25	9	20	0.02	90∶1	2

我们分别计算每一幅与原图像的MSSIM数值和QSSIM的模值和幅角，其结果已在图2中给出。从图2d和图2e可以看出其MSSIM数值几乎没有差异，即据MSSIM的数值判别的结论是这两幅图像质量应该一致；而我们的主观结论是图2d图像质量优于图2e。比较图2e和2g中显示的这两幅图像的QSSIM的模值，可以发现图2e的QSSIM的模值小于图2d的QSSIM的模值。该结论说明图2d图像结构质量比图2e图像结构质量好，而图2e的QSSIM的幅角大于图2d的QSSIM的幅角，说明图2e的QSSIM的色彩失真大于图2d的QSSIM的色彩失真，符合主观评价结果。同样的结论可以从图2d和图2b之间获得。

图2f计算表明的MSSIM数值小于图2g的数值，据MSSIM的结论说明图2f图像质量比图2g图像质量差，显然与不符我们的主观判断，而图2f和图2g的QSSIM模值则说明图2f图像质量比图2g图像质量好，而它们的QSSIM模值则说明图2f的色彩失真比图2g的色彩失真小，与主观评价结果相符。同样的结论可以从图2f和图2c，图2f和图2b，以及图2f和图2c之间获得。

从上面的结果可以看出，在视觉质量较差图像中，虽然灰度信息的MSSIM值大体相同，但色彩和结构上还是存在很大差异，明显色彩失真图像图2c和2g的QSSIM的幅角值高于其他图像的QSSIM的幅角值。图像结构明显变化的图像如图2b、2c和2g的QSSIM的模值低于其他图像的QSSIM的模值。据提出的彩色图像的质量指标得到的结果无论从色彩上，还是结构上都更符合人眼的视觉习惯。而且与前一组图像比较，同一类型的失真随失真的加重，夹角值会相应增加，模值会相应减小。所以这里提出的方法可以区分不同程度的失真，还可以分辨出失真属于结构失真还是色彩失真。

                         参考文献

参考文献：

[1].A M Eskicioglu and P S Fisher.A survey of image quality measures for gray scale image compression[J].Proc.Space and Earth Science Data Compression Workshop，Snowbird，UT，Apr.1993：49-61.

[2].H L Snyder.Image quality：Measures and visual performance[J].Flat-Panel Displays and CRTs，L.E.Tannas Jr，Ed New York：Van Nostrand Reinhold，1985：70-90.

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[4].K J Hermiston，D M Booth.“Image quality measurement using integer wavelet transformations”[J].Proc.Int.Conf.Image Processing，Kobe，Japan，Oct.1999：293-297.

[5].Z Wang，A C Bovik，H R Sheikh，E P Simoncelli.“Image quality assessment：From error measurement tostructural similarity”[J].IEEE Trans.Image Process.，Apr.2004，vol.13，no.4：600-612，.

[6].A.Shnayderman，A.Gusev，and A.M.Eskicioglu，“An SVD-Based Grayscale Image Quality Measure forLocal and Global Assessment，”IEEE Trans.Image Process.，vol.14，no.2，pp.422-429，Feb.2005.

[7].F.X.J.Lukas and Z.L.Budrikis，“Picture quality prediction based on a visual model，”IEEE Trans.Commun.，vol.COM-30，no.7，pp.1679-1692，Jul.1982.

[8].Moxey C E，Sangwine S J and Ell TA“Color-grayscale image registration using hypercomplex phasecorrelation” Image Processing.2002.Proceedings.2002 International Conference vol.2：385-388.

[9].Soo-Chang Pei，Ja-Han Chang，and Jian-Jiun Ding，“Commutative reduced biquaternions and theirFourier transform for signal and image processing applications”，IEEE transactions on signal processing，vol.52，NO.7：2012-2031.

[10].Moxey C E，Sangwine S J，Ell TA.HyPercomplex Correlation Techniques for Vector Images[J].IEEEtransactions on signal processing，2003，51，(7)：1941-1953.

Claims (2)

1、一种基于超复数的彩色图像质量评估方法，其特征在于首先建立基于超复数的彩色图像通用质量指标，然后根据该质量指标评判彩色图像的质量，具体步骤为：

设有两幅彩色图像X和Y，X＝{x_i|i＝1，…M}，Y＝{y_i|i＝1，…M}，其中x_m和y_m为用超复数表示的彩色图像像素点，即：

                        x_m＝x_r(m)i+x_g(m)j+x_b(m)k                   (2)

                        y_m＝y_r(m)i+y_g(m)j+y_b(m)k

式中x_r(m)，x_g(m)，x_b(m)和y_r(m)，y_g(m)，y_b(m)分别为X和Y两幅彩色图像的R、G、B三色分量；

对两幅彩色图像X和Y采用如下超复数作为彩色图像质量指标：

$S(x,y)=\frac{4\left|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y\right|{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2)}$

$=\frac{4\left|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y\right|{|\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}|}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2)}{e}^{-\mathrm{\μ\θ}}---\left(3\right)$

式中 ${\mathrm{\μ}}_x=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_m=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_r\left(m\right)i+x_g\left(m\right)j+x_b\left(m\right)k),$

${\mathrm{\μ}}_y=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_m=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(y_r\left(m\right)i+y_g\left(m\right)j+y_b\left(m\right)k),$

${\mathrm{\σ}}_x^2=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_m-{\mathrm{\μ}}_x)}^2,{\mathrm{\σ}}_y^2=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(y_m-{\mathrm{\μ}}_y)}^2,{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}=\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_m-{\mathrm{\μ}}_x)\stackrel{\‾}{(y_m-{\mathrm{\μ}}_y)},$

其中μ为单位轴向量，μ＝V(q)/|V(q)|，V(q)为σ_xy的虚部，幅角 $\mathrm{\θ}={\tan }^{-1}\frac{\left|V\left(q\right)\right|}{S\left(q\right)},$ S(q)为σ_xy的实部。

2、根据权利要求1所述的基于超复数的彩色图像质量评估方法，其特征在于所述的式(3)中，在分子和分母中分别加入一个常量C1和C2，C1和C2的范围为0.05-0.2，则对两幅彩色图像x和y的彩色图像指标为：

$S(x,y)=\frac{\left(2\right|{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y|+C_1)(2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}+C_2)}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2+C_1)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2+C_2)}---\left(5\right).$

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