CN1688119A - 基于加权展开的ds－cdma系统多用户检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及无线通信多径信道下的码分多址系统的多用户检测方法。本发明的特征在于：以最小化谱半径为目标通过优化设计得到多项展开基矩阵；依据与相应线性多用户检测器输出的误差最小为原则设计权重序列e₀，e₁…e_N；对于多级迭代生成的中间信号矢量使用权重序列e₀，e₁…e_N进行加权求和，从而得到性能优异的最终多用户联合检测输出结果。本发明能够在保持低实现复杂度的前提下，有效降低多径信道下码分多址系统中由于多址接入和多径造成的干扰。

Description

基于加权展开的DS-CDMA系统多用户检测方法

技术领域

本发明涉及无线通信多径信道下的码分多址系统(CDMA)多用户检测方法。本发明特别涉及到在宽带大容量无线通信系统中，保持较低实现复杂度的前提下，降低多径信道码分多址系统中由于多址接入和多径时延造成的干扰并提高系统容量和性能的方法。

背景技术

码分多址系统(CDMA)的性能主要受限于干扰，干扰由系统中其它用户的信号引起，原因是由于码分多址系统中用户扩频码的不正交或者是经信道传输后用户信号波形之间不正交。扩频码的不正交的一个例子是码分多址系统中采用的沃尔什变换加扰码的的扩频方法，实际上相当于随机扩频，在这种码分多址方法中各个用户的扩频用的随机序列之间通常不正交，因此引入了多个用户之间的干扰。再有，经信道传输后用户信号波形之间也会由于多径传输效应不再正交，这时多用户检测技术对于CDMA系统就显得尤为关键。考虑两个用户的例子，他们的扩频码或扩频随机序列分别是1、-1、1、-1和1、1、-1、-1，两个码本身是正交的。如果两个用户的信号所经历的信道都没有相位偏移，那么在接收端用户波形也是正交的。但是，如果用户经历信道后等效的扩频码变成了1、-1、1、-1，而用户2的等效扩频码变成了1、1、-1、1。显然两个等效扩频码变得不正交了，因为两个等效扩频码的点积为-2。用户2对用户1的解扩会引起干扰，用户1对用户2的解扩也会引起干扰，这种干扰对应于两个等效扩频码的点积。

美国学者S.Verdu首先提出了可以利用不同用户信号结构的不同，通过对于所有用户的接收信号进行联合处理来有效降低用户之间的相互干扰，进而提高系统整体性能的思想，也就是所谓的多用户联合检测思想。传统的线性多用户联合检测算法主要包括解相关多用户联合检测器和最小均方误差多用户联合检测器。线性多用户检测器具有良好的性能，但是由于它们的实现复杂度都非常高，因此较难在工程中实际使用，尤其对于宽带大容量无线通信系统而言。针对这种情况，美国学者S.Moshavi提出了利用迭代方法逼近线性多用户检测器的思想。详见S.Moshavi.“Multistage linear Detectors for DS-CDMA systems，”Int’I.J.Wireless info.Networks，vol3，no.1，Jan.1996。这种多用户检测器能够有效避免非线性操作，从而简化系统设计。然而，Moshavi的迭代方法需要事先估计大量参数，这些参数的获得又要事先经过复杂的仿真和计算。以上都导致了算法实现的灵活性较差，需要预先大量存储系统参数，从而对实际工程实现造成了巨大的困难。针对Moshavi方法的缺点，新加坡学者Lei等人提出了基于Taylor展开的迭代多用户检测方法。详见Z.D.Lei and T.J.Lim.“simplified polynomial-expansion linear detectors for DS-CDMA systems，”Electronics Letters.Vol.34，no.16，PP.1561-1563，Aug.1998。这种多用户检测器通过将相关矩阵的求逆运算进行多项式展开，从而得到了避免参数计算的多用户检测器结构。东南大学陈明等人根据与Lei的方法同样的原理申请了专利“多级迭代多用户检测器”，专利申请号98111378.8。根据我们的研究发现，Lei的方法在多径大容量系统中存在着以下重大缺点：由于Taylor展开的收敛速度较慢，导致算法收敛性能较差，尤其当系统容量较大，用户数较多时，算法需要大量迭代才能达到较好性能，从而造成实现复杂度高，实时性差等问题。

为解决已有方法在宽带大容量无线通信系统中应用存在的重大困难，本发明提出了一种新的基于加权多项展开的多用户检测器，这种新的多用户检测器能够在保持较低时间复杂度和空间复杂度的前提下，非常高效的逼近线性多用户检测器，从而有效克服已有相关方法存在的诸多不足。研究表明，这种新型多用户检测器能够有效适合于各种多用户DS/CDMA应用系统。

发明内容

本发明是一种新型的基于加权展开的多用户检测器。在使用本发明所涉及多用户检测方法时，接收机应当首先经过下变频，成型滤波，采样等操作得到基带信号矢量y，并且根据获得的不同用户信道冲激响应矢量以及相应扩频序列生成综合信道响应矩阵A。然后将y通过接收匹配滤波器组以生成匹配滤波后的信号矢量y_MF，最后对y_MF进行本发明特别设计的加权多项展开多用户检测处理以获得最终检测值。本发明所涉及的多用户检测方法主要包括以下操作：1.依据特定算法生成能够加速展开式收敛的单级迭代处理矩阵G和相应中间变量α。算法以减小G矩阵的谱半径为优化设计目标，从而能够有效提高本发明所涉及的多用户检测器的收敛性能，进而降低系统实现的时间和空间复杂性；2.将匹配滤波器组的输出信号矢量y_MF输入迭代处理单元，迭代过程使用矩阵G多次乘以α倍y_MF，从而得到中间信号矢量序列：(αy_MF，Gαy_MF，G²αy_MF…G^Nαy_MF)；3.为使本发明所涉及的多用户检测器输出结果能够最佳的逼近相应的线性多用户检测器输出结果(理论上的最优结果)，本发明以与线性多用户检测器输出结果的平均误差平方最小为目标，设计出经过优化的权重系数序列(e₀，e₁，…e_k)；4.通过使用前面步骤生成的中间信号矢量序列和权重序列进行加权求和，可以得到本发明所涉及的多用户检测器的最终输出结果 $\hat{d}=\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{G}^i{y}_{\mathrm{MF}}.$ 这一结果可以输出至解码判决单元进行进一步的处理。

为了充分说明本发明的原理，这里我们首先约定不同用户的扩频序列分别表示为：

用户1： $C^{\left(1\right)}=(c_1^{\left(1\right)},c_2^{\left(1\right)},\·\·\·c_Q^{\left(1\right)})---\left(1\right)$

用户2： $C^{\left(2\right)}=(c_1^{\left(2\right)},c_2^{\left(2\right)},\·\·\·c_Q^{\left(2\right)})$



用户K： $C^{\left(K\right)}=(c_1^{\left(K\right)},c_2^{\left(K\right)},\·\·\·c_Q^{\left(K\right)})$

K代表用户数，Q代表扩频序列的长度。不同用户的信道冲激响应序列表示为    用户1：

$h^{\left(1\right)}=(h_1^{\left(1\right)},h_2^{\left(1\right)},\·\·\·{,h}_W^{\left(1\right)})---\left(2\right)$

用户2： $h^{\left(2\right)}=(h_1^{\left(2\right)},h_2^{\left(2\right)},\·\·\·{,h}_W^{\left(2\right)})$



用户K： $h^{\left(K\right)}=(h_1^{\left(K\right)},h_2^{\left(K\right)},\·\·\·,h_W^{\left(K\right)})$

W表示信道冲激响应的长度。由此，将不同用户的扩频序列和对应的用户冲激响应进行卷积以得到每个用户的混合信道响应序列

b^(k)＝c^(k)*h^(k)，k＝1，2…K    (3)

根据定义，b^(k)序列的长度为W+Q-1，也就是

$b^{\left(k\right)}=(b_1^{\left(k\right)},b_2^{\left(k\right)}\·\·\·b_{Q+W-1}^{\left(k\right)}),k=\mathrm{1,2},\·\·\·K$

假设每个用户每一帧传输信息符号数为N_s，则可以进一步约定符号a_n ^(k)，A⁽ⁿ⁾和A为

另外，将所有用户在第n个传输间隔内传输的信息符号集中在一起，写成总符号矢量 $d^{\left(n\right)}={(d_n^{\left(1\right)},d_n^{\left(2\right)}\·\·\·d_n^{\left(K\right)})}^T,$ 从而所有用户在一帧传输时间内传输的所有符号可以统一表示为

   d＝(d^(1)T，d^(2)T…d^(N)T)^T                                  (5)

这里^T代表矩阵转置运算，^H将代表矩阵转置共轭运算。通过以上约定，整个系统的模型可以用下式来表示：

    y＝Ad+n                                                 (6)

n是加性白高斯噪声矢量，具有噪声功率σ²(可以通过测量事先得到)，y为接收信号矢量。首先将y通过匹配滤波器，从而得到输出矢量为y_MF＝A^H _y。然后y_MF将依据不同的多用户检测器类型进一步进行多用户检测处理。对于线性多用户检测器来说，最终输出的估计信号矢量可以统一表示为 在最小均方误差线性多用户检测器中L＝(R+σ²I)^-1；在解相关线性多用户检测器中L＝R^-1，这里R＝A^HA。在以下的分析中我们均以最小均方误差线性多用户检测器为例，如果关心解相关线性多用户检测器所对应的情形只需要在最小均方误差多用户检测器中令σ²＝0，所有结果都可以继续使用。

令G＝I-α(R+σ²I)，λ_j(G)为矩阵G的第j个特征值，ρ为矩阵的谱半径。传统的Lei等人提出的基于Taylor展开的多用户检测算法只要求任意选取 $\mathrm{\α}\∈(0,\frac{2}{\mathrm{\ρ}}),$ 从而根据熟知的Taylor展开原理L＝α(I-G)^-1≈α(1+G+…G^N)(N足够大)，通过截取有限N项求和可以逼近最小均方误差线性多用户检测器的输出。Taylor多用户检测器最终的输出结果可以表示为

$\hat{d}=\mathrm{\α}(y_{\mathrm{MF}}+{\mathrm{Gy}}_{\mathrm{MF}}\·\·\·G^N{y}_{\mathrm{MF}})---\left(7\right)$

这种方法由于Taylor展开的收敛速度较慢，需要展开项数N很大，因此复杂度较高，检测性能较差，不适合用于以第三代移动通信系统为代表的高性能大容量无线通信系统。

在我们的发明中首先按照展开基矩阵G谱半径最小原则优化设计矩阵G，从而根据Taylor展开的性质，有效达到加速算法收敛的目的。具体实现算法如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)=\max \left\{\min \right\{r_{t,1}-\underset{s=1,s\≠t}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\left|r_{t,s}\right|\},0\}+{\mathrm{\σ}}^{2}t\∈(1,m)\\ {\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\mathrm{maax}}(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)=\max \left\{\underset{s=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\right|r_{t,s}\left|\right\}+{\mathrm{\σ}}^{2}t\∈(1,m)\\ \mathrm{\α}=\frac{2}{{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)+{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)}\\ G=1-\mathrm{\α}(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中r_t，s为相关矩阵R的t行，s列的元素，m为R的维数，I为m维单位矩阵，σ²为加性白高斯噪声的功率， ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)$ 和 ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)$ 为对于矩阵R+σ²I的最小和最大特征值的估计。如果为了简化系统设计可以不进行噪声功率估计直接令σ²＝0。

通过将(7)式构造为如下迭代形式

$\left\{\begin{array}{c}{X}^{\left(k\right)}={\mathrm{GX}}^{(k-1)}+{\mathrm{\αy}}_{\mathrm{MF}},k=\mathrm{1,2}\·\·\·N\\ X^{\left(0\right)}={\mathrm{\αy}}_{\mathrm{MF}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

传统的基于Taylor展开的多用户检测器输出等价于第N次迭代的输出矢量X^(N)，即 $\hat{d}=X^{\left(N\right)}.$ (其它迭代中间矢量X^(k)，k＝0，2…N-1将不再起任何作用)。在我们的发明中首次引入了加权的概念，通过将(9)式在迭代过程中产生的所有中间矢量X⁽⁰⁾，X⁽¹⁾，…X^(N)进行优化的加权求和，可以产生性能更加优异的最终输出结果，即 $\hat{d}=\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i^{\left(N\right)}{X}^{\left(i\right)}.$ 这里优化设计权重系数a₀ ^(N)，a₁ ^(N)，…a_N ^(N)是最为关键的技术，我们采用输出结果和理论最优线性检测器输出平均误差平方最小作为设计准则，可以用数学公式描述为寻找一组权重系数a₀ ^(N)，a₁ ^(N)，…a_N ^(N)，使得

$\left\{\begin{array}{c}\min \left|\right|\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i^{\left(N\right)}{X}^{\left(i\right)}-X_{\mathrm{MMSE}}\left|\right|\\ s.t.a_0^{\left(N\right)}+a_1^{\left(N\right)}+...+a_N^{\left(N\right)}=1\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中X_MMSE为对应的最小均方误差线性多用户检测器的输出结果(也就是基于多项展开的多用户检测算法所能给出的极限性能)，‖·‖为矩阵的范数。

经过数学优化分析可以得到a₀ ^(N)，a₁ ^(N)，…a_N ^(N)恰好应该是N次多项式P(z)从低次到高次的多项式系数。利用(8)式，P(z)可以用如下方法得到

$\left\{\begin{array}{c}f=-1\\ g=1-\frac{{2\mathrm{\σ}}^2}{{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)+{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)}\\ w\left(z\right)=(2z-f-g)/(g-f)\\ P\left(z\right)=T_N\left(w\left(z\right)\right)/T_N\left(w\left(1\right)\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中T_N(z)＝t_Nz^N+t_N-1z^N-1…t₀表示N阶Chebyshev多项式(可以通过查阅数学工具手册得到)。

通过将矢量组X⁽⁰⁾，X⁽¹⁾，…X^(N)按照G的幂次不同进行合并同类项，以及将多项式P(z)展开，可以得到最终权重系数e₀，e₁…e_N的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\γ}=2/(g-f),\mathrm{\β}=-(g+f)/(g-f)\\ a_i^{\left(N\right)}={\mathrm{\Σ}}_{l=i}^N{t}_l{C}_l^i{\mathrm{\γ}}^i{\mathrm{\β}}^{(l-i)}/{\mathrm{\Σ}}_{l=0}^N{t}_l{(\mathrm{\γ}+\mathrm{\β})}^l,i=\mathrm{0,1}\·\·\·N\\ e_i=\underset{j=i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j^{\left(N\right)},i=\mathrm{0,1}\·\·\·N\end{array}\right.---\left(12\right)$

这里C_l ⁱ表示在l种样本中取i种的常用组合数运算。由此可以将本发明中的多用户检测器写成如下最终表达式：

$\hat{d}=\mathrm{\α}\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{G}^i{y}_{\mathrm{MF}}---\left(13\right)$

本发明相对于已有的相关多用户检测器具有以下优点：

1.相对于线性多用户检测器(包括最小均方误差线性多用户检测器和解相关线性多用户检测器)，本发明由于巧妙的避免了相关矩阵的求逆运算，从而在少许降低系统性能的前提下，极大的降低了实际系统实现的运算和实施复杂度。

2.相对于Moshavi提出的多用户检测器，本发明由于同时采用了特殊构造的展开基多项式以及新的高性能，低复杂度迭代加权系数计算算法，从而能够确保加权系数的实时在线计算，克服了Moshavi方法所要求的事先根据用户信息，进行复杂仿真，离线估计大量参数的缺点。本发明能够在保持高性能的前提下，有效提高系统实施灵活性，降低实际系统的时间和空间复杂度。

3.相对于Lei等人提出的基于Taylor展开的多用户检测器，本发明由于一方面采用了谱半径最小原则优化设计展开基矩阵G(ρ表示矩阵R的谱半径，在Lei的方法中G＝I-α(R+σ²I)，仅要求任意选取 $\mathrm{\α}\∈(0,\frac{2}{\mathrm{\ρ}}),$ 对α的具体选取没有任何优化)；另一方面采用了完全不同于Taylor展开的新型加权展开方法，按照与相应线性多用户检测器(理论最优检测器)输出的平均误差平方最小准则优化设计了权重系数，从而在保持较低运算复杂度的前提下，有效加速了展开式的收敛速度并进而提高了系统性能。图5给出了在第三代移动通信系统TD-SCDMA上行链路室外低速移动环境中应用本发明和Lei等人提出方法在多径信道下的仿真性能对比(仿真模型采用COST201 TU模型)。可以看到本发明方法在10阶迭代下的性能已经超过了Lei方法在30阶迭代下的性能。而当本发明方法的迭代次数达到15次时，性能在误码率已经开始逼近理论极限。由此证明本发明能在保持低实现复杂度的前提下，相对于传统Lei方法极大的提高系统性能。

本发明的特征在于：

以最小化谱半径为目标通过优化设计得到矩阵多项展开基矩阵G；依据与相应线性多用户检测器输出的平均误差平方最小为原则设计权重序列e₀，e₁…e_N；对于多级迭代生成的中间信号矢量使用权重序列e₀，e₁…e_N进行加权求和，从而得到最终多用户联合检测的输出结果。

附图说明

图1.已有的线性多用户检测器结构，

图2.Lei等人提出的多用户检测器结构描述图，

图3.本发明的基于加权多项展开的多用户联合检测器结构图，

图4.本发明的算法实施流程图，

图5.本发明与Lei等人提出方法的仿真性能对比图。

具体实施方式

下文公式中所涉及字母的含义请参考上文对于发明原理部分的介绍。本发明的具体实施方式可以分为以下几步：

1.根据实际系统要求的检测精度确定展开项数N，并进行信道估计和对系统加性白噪声能量的估计，同时通过下变频，滤波，采样等电路生成不同用户的基带等效信号y。

2.使用上文提到的方法，利用式(3)(4)来构造矩阵A，R，y_MF。进而，根据(8)式计算本发明所需要的为加速收敛所特别设计的展开多项式基矩阵G和中间变量α。

3.按照如下算法计算每次迭代后的加权系数

首先依(8)(11)生成多项式P(z)，然后取多项式P(z)的不同幂次对应系数按照从低到高的顺序得到序列a₀ ^(N)，a₁ ^(N)…a_N ^(N)，最后按(12)进一步得到加权求和所需的权重系数

$e_i=\underset{j=i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j^{\left(N\right)},i=\mathrm{0,1}\·\·\·N$

4.参考设计图(3)给出了具体实施本发明算法的硬件电路结构示意图，参考图(4)给出了相应的软件实现流程图，根据图(3)(4)将步骤2中计算得到的基矩阵G用于循环迭代处理单元，作为每一次迭代的信号处理矩阵生成信号矢量组(αy_MF，αGy_MF，…αG^Ny_MF)

5.利用步骤3中得到的权重系数，对于步骤4生成的中间信号矢量进行加权求和，最终输出的结果可以用下式来描述：

$\hat{d}={\mathrm{\αy}}_{\mathrm{MF}}\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{G}^i$

下面以本发明在第三代移动通信系统TD-SCDMA上行链路中的应用，来具体说明这种新型的基于加权多项展开的高性能，低复杂度多用户检测方法。假设TD-SCDMA系统的一个小区中共有8名用户同时进行通信，每名用户各自使用一个长度为的8的正交哈达马序列作为扩频码，这里用c_q ^(k)，q＝1…Q，k＝1…K，Q＝8，K＝8来表示。每个用户一帧传输的数据符号数为N＝22，并且使用QPSK方式进行调制。接收端接收的射频信号在经过放大，下变频，滤波，基带成型和采样等一系列处理后最终转化为基带数字信号。这时，首先进行信道估计，得到不同用户的信道冲激响应序列h_w ^k，k＝1，2…K，w＝1，2…W。(在这种TD-SCDMA的应用场合下可分辨多径数目W＝8)在此基础上计算每个用户的信道冲激响应h_w ^k和相应扩频序列c_q ^(k)的卷积，以得到不同用户对应的混合信道响应 $b_i^{\left(k\right)}=c_i^{\left(k\right)}*h_i^{\left(k\right)},$ k＝1，2…K，i＝1，2…W+Q-1，利用(4)式来构造矩阵A。通过使用(8)式，得到迭代处理矩阵G；通过使用(8)和(11)(12)得到迭代加权系数e₀，e₁…e_N。

将接收到的等效基带信号矢量y首先通过接收匹配滤波器组以得到经过匹配滤波后的信号矢量y_MF＝A^Hy，然后将y_MF输入迭代处理单元生成中间矢量αy_MF，αGy_MF，…αG^Ny_MF。将迭代处理单元的输出信号矢量(包括y_MF)，按照预先计算得到的加权系数e₀，e₁…e_N进行加权求和，从而得到本发明所涉及的多用户检测器最终输出结果。

实现本发明方法的具体数字信号处理器实施方案有多种，我这里介绍一种便于实际应用的通用数字信号处理(DSP)芯片实现方案。具体步骤如下：

第一步：选择适合于实现本发明方法的DSP芯片，我们在TD-SCDMA工程实践中选择了美国ADI公司生产的TS201芯片。

第二步：配套购买ADI公司的TS201芯片开发及调试工具搭建系统硬件平台。

第三步：根据参考设计图(3)和(4)给出的软硬件结构，使用C或汇编语言或其它集成电路设计工具按照具体实施方式中给出的步骤完成本发明所需要的开发。

对于技术纯熟的电子工程师，本发明在实际应用中可以有多种变化和修改，例如将直接求加权系数改为使用某种迭代方法等，但是这些都不会背离本发明的精神和范围。这样，只有改进和变化与权利要求等值或在其范围内，这些改进和变化都是本发明的意图所包括的。

Claims (1)

1.基于加权展开的DS-CDMA系统多用户检测方法，其特征在于，它是在DSP或FPGH芯片中依照以下步骤实现的：

步骤1.接收机输出的接收信号依次经过下变频，成型滤波，采样各电路后得到基带信号y；

步骤2.把步骤1中得到的基带信号，事先测得的不同用户的信道冲激响应和扩频序列送入第一乘加单元电路，将事先测得的白噪声功率送入第三乘加单元电路，通过第一，第二和第三乘加单元电路，再依次按照以下步骤生成中间信号矢量和矩阵：

步骤2.1第一乘加电路把不同用户的扩频序列和对应的用户冲激响应进行卷积以得到每个用户的混合信道响应序列，其过程如下：

$b^{\left(k\right)}=c^{\left(k\right)}*h^{\left(k\right)},k=\mathrm{1,2}\·\·\·K$

$=(b_1^{\left(k\right)},b_2^{\left(k\right)},\·\·\·b_{W+Q-1}^{\left(k\right)})$

其中C^(k)是表示不同用户的扩频序列的通式：

用户1： $C^{\left(1\right)}=(c_1^{\left(1\right)},c_2^{\left(1\right)},\·\·\·c_Q^{\left(1\right)})$

用户2： $C^{\left(2\right)}=(c_1^{\left(2\right)},c_2^{\left(2\right)},\·\·\·c_Q^{\left(2\right)})$

      

用户K： $C^{\left(K\right)}=(c_1^{\left(K\right)},c_2^{\left(K\right)},\·\·\·c_Q^{\left(K\right)})$

K代表用户数，Q代表扩频序列的长度；

h^(k)是不同用户的信道冲激响应序列的通式，表示如下

用户1： $h^{\left(1\right)}=(h_1^{\left(1\right)},h_2^{\left(1\right)},\·\·\·,h_W^{\left(1\right)})$

用户2： $h^{\left(2\right)}=(h_1^{\left(2\right)},h_2^{\left(2\right)},\·\·\·,h_W^{\left(2\right)})$

      

用户K： $h^{\left(K\right)}=(h_1^{\left(K\right)},h_2^{\left(K\right)},\·\·\·,h_W^{\left(K\right)}),$

下标W表示信道冲激响应序列的长度；

步骤2.2把步骤2.1得到的每个用户的混合信道响应序列b^(k)，k＝1，2…K按照下式生成综合信道响应矩阵A

这里M_s代表每个用户一次检测的数据个数；

步骤2.3在第一乘加单元电路根据步骤2.2生成矩阵R

R＝A^HA

A^H是步骤2.2所生成综合信道响应矩阵A的转置共轭矩阵；

步骤2.4上述第一乘加单元电路把所生成的综合信道响应矩阵A送到第二乘加单元电路内计算A的转置共轭矩阵A^H，并由此得到经过匹配滤波操作的接收信号矢量y_MF，用下式表示：

y_MF＝A^Hy；

步骤2.5上述第一乘加单元电路把所形成的矩阵A，R以及预先测得的白噪声功率送到第三乘加单元电路，在所述第三乘加单元电路中按照展开基矩阵G谱半径最小原则，依次通过以下步骤生成展开基矩阵G：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)=\max \left\{\min \right\{r_{t,t}-\underset{s=1,s\≠t}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\left|r_{t,s}\right|\},0\}+{\mathrm{\σ}}^2,t\∈(1,m)\\ {\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)=\max \left\{\underset{s=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\right|r_{t,s}\left|\right\}+{\mathrm{\σ}}^2,t\∈(1,m)\\ \mathrm{\α}=\frac{2}{{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)+{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)}\\ G=I-\mathrm{\α}(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)\end{array}\right.$

其中r_t，s为相关矩阵R的t行，s列的元素，m为R的维数，I为m维单位矩阵，σ²为加性白噪声的功率， ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)$ 和 ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)$ 为对于矩阵R+σ²I的最小和最大特征值的估计，如果为了简化系统设计可以不进行噪声功率估计直接令σ²＝0；

步骤3.把上述第一乘加单元电路生成的矩阵A，R和第三乘加单元电路生成的最大最下特征值估计 ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I),$ ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)$ 以及预先测得的白噪声功率σ²输入到第四乘加单元电路，通过调用事先存储在ROM电路中的由高次到低次排列的N阶Chebyshey多项式系数t_N，t_N-1…t₀，按照如下步骤生成迭代权重系数e₀，e₁…e_N：

$1.f=-1,g=1-2{\mathrm{\σ}}^2/({\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\min }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I)+{\widehat{\mathrm{\λ}}}_{\max }(R+{\mathrm{\σ}}^{2}I))$

2.γ＝2/(g-f)，β＝-(g+f)/(g-f)

$3.a_i^{\left(N\right)}={\mathrm{\Σ}}_{l=i}^N{t}_l{C}_l^i{\mathrm{\γ}}^i{\mathrm{\β}}^{(l-i)}/{\mathrm{\Σ}}_{l=0}^N{t}_l{(\mathrm{\γ}+\mathrm{\β})}^l,i=\mathrm{0,1}\·\·\·N$

$4.e_i=\underset{j=i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j^{\left(N\right)},i=\mathrm{0,1}\·\·\·N$

这里C_l ⁱ表示在l种样本中取i种的组合数运算，N代表根据实际工程需要确定的迭代次数，一般权衡实现复杂度和检测精度，N可取10左右；

步骤4.将第二乘加单元电路输出的经过匹配滤波的信号矢量y_MF和第三乘加单元电路生成的展开基矩阵G，以及中间变量α输入第五乘加单元电路，通过迭代相乘运算，生成信号矢量组αy_MF，αGy_MF，…αG^Ny_MF；

步骤5.通过将第四乘加单元电路生成的权重系数e₀，e₁…e_N和第五乘加单元电路生成的信号矢量组αy_MF，αGy_MF，…αG^Ny_MF送入第六乘加单元电路，对于每次迭代生成的信号矢量使用相应的权重系数进行加权求和可以得到最终的基于加权展开的多用户检测器输出矢量：

$\hat{d}=\mathrm{\α}\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{G}^i{y}_{\mathrm{MF}}.$

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