CN118034363A - 一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，属于飞行器设计与轨迹优化领域，本发明的发明为：步骤1、应用Hermite‑Simpson格式将轨迹优化问题离散化；步骤2、建立控制变量振荡抑制约束；步骤3、求解带有振荡抑制约束的轨迹优化非线性规划问题。本发明给出了一种带有控制变量振荡抑制功能的基于非线性规划的轨迹优化方法，其优势是能够消除Hermite‑Simpson格式求解非光滑轨迹优化问题面临的控制变量振荡问题，得到无振荡的连续最优控制，显著提高轨迹优化的精度。
Description
技术领域
本发明属于飞行器设计与轨迹优化领域，涉及一种基于Hermite-Simpson格式的，能够抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法。
背景技术
轨迹优化对于飞行器设计具有重要意义，在任务设计阶段是分析飞行器性能的重要途径，在任务运营阶段是提高飞行器性能的重要途径之一。传统轨迹优化方法在求解非光滑轨迹优化问题时由于控制变量发生振荡使得轨迹优化精度偏低，导致积分轨迹和优化的离散轨迹差异较大，轨迹终端约束和路径约束不能严格满足要求。
发明内容
针对上述背景技术中存在的问题，为了提高轨迹优化精度，本发明针对Hermite-Simpson离散格式建立一种能够抑制控制变量振荡的非线性约束形式，进而得到一种抑制控制变量振荡的通用性轨迹优化方法，显著提高Hermite-Simpson格式的轨迹优化精度。
本发明在Hermite-Simpson离散格式的基础上，推导并建立一种抑制控制变量振荡的非线性约束，能够消除控制变量振荡问题，最终提高了Hermite-Simpson格式的精度。具体的，本发明包括以下步骤：
步骤1：应用Hermite-Simpson格式将轨迹优化问题离散化。
轨迹优化本质上是一种特殊形式的最优控制问题。本节以一般形式的Bolza型最优控制问题为例，介绍如何将本研究的振荡抑制格式与常规轨迹优化相结合。
一般形式的Bolza问题可描述为：求解控制变量u(t)∈Rm，使得如下目标函数最小化
式中：M为目标函数端点项，L为目标函数积分项，t为时间，t0为初始时间，tf为终端时间，x(t)为状态变量，u(t)为控制变量。
状态方程为
端点条件为
E(x(t0),t0,x(tf),tf)＝0 (3)
路径约束为
C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf] (4)
式中：f为状态方程右端项函数，E为端点约束，C为路径约束。
方程(1)～(4)所描述的连续最优控制问题称为Bolza型最优控制问题。
为了便于应用直接配点法对上述一般形式的最优控制问题进行离散，需要将最优控制问题的时间t∈[t0,tf]变换至归一化时间τ∈[0,+1]，变换方式如下：
t＝(tf-t0)τ+t0 (5)
为了能够利用非线性规划方法求解轨迹优化问题，需要将其离散化。本研究采用Hermite-Simpson格式离散。Hermite-Simpson格式需要用到区间中点的变量和函数值，为此需要将区间中点的控制变量作为优化变量，并且在区间中点添加路径约束，即
Hermite-Simpson格式得到的NLP的优化变量为 目标函数为
约束条件为
Ci＝C(xi,ui,τi；t0,tf)≤0,(i＝0,1,…,N) (10)
E(x0,t0,xf,tf)＝0 (12)
其中
步骤2：建立控制变量振荡抑制约束。
由于HS格式是基于抛物线插值控制变量推导出来的，因此在每个离散区间内需要采用抛物线插值构造连续控制变量才能达到高精度，如图1所示。对于非光滑最优控制问题，比如控制变量含有Bang-Bang结构的情景，基于离散控制变量采用抛物线插值构造的连续控制变量在离散点之间可能会振荡并超出范围，导致连续控制变量在离散点之间不满足约束要求(如果采用其它插值方式则违反了HS格式的基础，会导致精度较低)。
为了得到抑制控制变量振荡的措施，首先研究下降剖面，如图2所示，对于定义在区间[τi,τi+1]的控制剖面上的3个离散点Pi、Pi+1，假设其坐标分别为为了便于推导，本文将3个插值点向左平移距离/>那么平移后Pi、/>Pi+1的坐标分别为/>区间长度hi＝τi+1-τi。
HS格式采用抛物线插值构造连续控制变量，形式如下
u(τ)＝aτ2+bτ+c (13)
其中，a，b，c为抛物线方程的参数。
将Pi、Pi+1的坐标代入方程(13)得到
求解该方程，得到
根据控制剖面的变化特性不同，需要分为两种情况讨论。对于图2所示的下降剖面，即u(τi)>u(τi+1)，若a>0时，即三个插值点的分布如图2中的Pi、Pi+1所示，为了使得抛物线单调变化不振荡，那么抛物线的对称轴taixs需要位于Pi+1的右侧，即
将其两边乘以-2a得到
b≤-ah (17)
将方程(15)中给出的a和b的值代入上式得到
整理得到
若a＝0，则抛物线插值退化为线性插值，不会发生振荡。
若a<0时，即三个插值点的分布如图2中的点Pi、Pi+1所示，为了使得抛物线插值得到的连续控制变量不振荡，那么抛物线的对称轴taixs需要位于Pi点的左侧，即
将其两边乘以2a得到
b≤ah (21)
将方程(15)中给出的a和b的值代入上式得到
整理得到
为了将约束(19)和(23)改写成相同的形式，令
式中：umean表示u(τi)和u(τi+1)的平均值。
将方程(19)两边减去umean可得到
将方程(24)两边减去umean可得到
将方程(25)和(26)合并写在一起，得到
其中|□|表示绝对值。方程(27)是确保控制变量在下降剖面不振荡需要满足的条件。其几何意义是控制变量距离区间[τi,τi+1]两端点处控制量平均值umean的距离不超过区间端点处控制量下降量u(τi)-u(τi+1)的1/4，即/>只能在图2中/>和/>之间变化。
对于图3所示的上升降剖面(即u(τi)<u(τi+1))，经过类似推导得到
方程(28)是确保控制变量在上升剖面不振荡需要满足的条件。其几何意义是控制变量距离区间[τi,τi+1]两端点控制变量平均值umean的距离不超过区间端点处控制量下降量上升量u(τi+1)-u(τi)的1/4，即/>只能在图3中/>和/>之间变化。
进一步分析可以发现，方程(27)和(28)可以统一写成如下形式
将控制变量平均值umean的表达式代入方程组(29)得到
进一步简写为
式中：ui＝u(τi),ui+1＝u(τi+1),
方程(31)为本研究推导的HS格式的控制变量无振荡约束条件，是确保采用抛物线插值得到的连续控制变量在下降剖面或者上升剖面都不发生振荡需要满足的条件。
步骤3：求解带有振荡抑制约束的轨迹优化非线性规划问题。
在方程(7)～(12)描述的常规Hermite-Simpson配点法的基础上，增加方程(31)描述的控制变量振荡抑制约束，即可得到带有控制变量振荡抑制功能的轨迹优化方法。图4给出带有控制变量振荡抑制的轨迹优化方法流程图。在常规配点法非线性规划的基础上施加控制变量振荡抑制约束之后，轨迹优化流程中的稀疏型分析、偏导数计算都要进行更新。
本发明与现有技术相比的有益效果在于：
本发明给出了一种带有控制变量振荡抑制功能的基于非线性规划的轨迹优化方法，其优势是能够消除Hermite-Simpson格式求解非光滑轨迹优化问题面临的控制变量振荡问题，得到无振荡的最优控制，显著提高轨迹优化的精度。
本发明针对Hermite-Simpson格式，推导并建立一种能够抑制控制变量振荡的非线性约束，然后将该约束与Hermite-Simpson配点法得到的非线性规划结合起来，得到一种抑制Hermite-Simpson格式控制变量振荡的轨迹优化方法，显著提高了Hermite-Simpson配点法的轨迹优化精度。
附图说明
图1为Hermite-Simpson格式的连续控制变量构造方法示意图；
图2为控制变量下降剖面无振荡抛物线插值示例；
图3为控制变量上升剖面无振荡抛物线插值示例；
图4为带有控制变量振荡抑制的轨迹配点法优化方法示意图；
图5为不考虑控制量振荡抑制情况下优化的推力分量曲线；
图6为不考虑控制量振荡抑制情况下优化的推力大小曲线；
图7为不考虑控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹位置时间曲线；
图8为带有控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹推力分量曲线；
图9为带有控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹推力大小曲线；
图10为带有控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹位置时间曲线；
图11为带有控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹速度时间曲线；
图12为带有控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹视线角曲线；
图13为带有控制量振荡抑制情况下优化的着陆轨迹推力倾斜角曲线。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案及效果更加清楚，明确，以下列举实例对本发明进一步详细说明。应当指出此处所描述的具体实施仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
步骤1：选取轨迹优化算例，这里以可回收火箭着陆轨迹优化为例。
采用地球固定坐标系，原点位于着陆点，单位矢量e1指向上方，e2指向东方，e3与其它单位矢量组成右手系。在该坐标系中描述火箭下降过程中质心运动的微分方程组为
式中：r＝(r1,r2,r3)T∈R3为位置矢量；v＝(v1,v2,v3)T∈R3为速度矢量；m为火箭质量；g＝(-g,0,0)T∈R3为重力加速度常矢量；T＝(T1,T2,T3)T∈R3为发动机推力矢量；D为气动阻力矢量；α＝1/(Ispg0)是与燃油消耗率相关的正常数，Isp为燃料比冲，g0为海平面重力加速度。本文假设火箭飞行过程升阻比很低，升力可以忽略不计。
无量纲阻力矢量D为
式中：ρ为空气密度，归一化系数为mscale/Rscale 3，Sref为火箭参考面积，归一化系数Rscale 2，CD为阻力系数。因为火箭动力下降阶段速度已经较低，本文取阻力系数为常数。
运载火箭返回着陆问题的初始条件如下：
式中：t0为初始时刻，r0，v0，m0分别为位置向量、速度向量和火箭初始时刻的质量。
运载火箭返回过程的控制变量为发动机推力矢量，其调节范围受到以下限制：
Tmin≤||T(t)||≤Tmax (35)
式中：Tmin，Tmax分别为火箭发动机的最小和最大推力。
在火箭返回着陆过程中为了防止火箭发生侧翻需要对火箭俯仰角进行约束。本研究假设推力火箭沿轴线方向，因而推力方向与竖直方向的夹角需要满足如下约束
||T(t)||cos(θmax)≤T1(t) (36)
式中：θmax为倾斜角的上限。当火箭靠近着陆点时，θmax应该足够小以避免侧翻。
另一个重要的约束条件是要求运载火箭在下降着陆过程中始终位于锥角逐渐变小的圆锥体内，最终以接近垂直着陆，即在下降着陆过程中火箭的视线角不能超过γmax，即
||r(t)||2cos(γmax)≤r1(t) (37)
式中：γmax为允许的视线角最大值。
方程(36)和(37)中的最大推力倾斜角θmax和最大视线角γmax可以随海拔高度r1而变化。当火箭靠近着陆点时，θmax应该足够小以避免火箭在着陆时发生侧翻。
为了精确和安全着陆，还需要对火箭的着陆点位置和着陆速度进行约束，即
式中：tf为火箭着陆时刻，rf为火箭着陆位置，vf为火箭最大着陆速度。
可回收火箭下降着陆轨迹优化问题的目标函数通常取着陆时刻火箭的剩余质量最大(等效于着陆过程的燃料消耗最少)。因此，目标函数可以写为
maxmize J＝m(tf) (39)
步骤2：基于Hermite-Simpson格式将可回收火箭着陆轨迹优化问题离散化，即将离散格式(7)～(12)应用到方程(32)～(38)描述的具体轨迹优化问题。
步骤3：引入控制变量振荡抑制约束，即
步骤4：在前述步骤的基础上，按照图4所示的方法求解带有控制变量振荡抑制约束的非线性规划问题(采用SNOPT求解器)，得到无振荡最优控制。
为了对比，本案例首先在不考虑控制变量振荡抑制情况下求解轨迹优化问题，结果如图5～图7所示。图中圆圈表示离散点处的控制变量，星号表示区间中点处的控制变量，实线表示根据离散控制变量采用抛物线插值构造的连续控制变量。可见，根据离散点构造的连续控制变量在切换位置附近发生了明显的振荡，推力的各个分量和推力大小都发生了振荡，具体参见图5和图6中的局部放大图。控制变量振荡会降低轨迹优化精度，即离散最优轨迹和数值积分轨迹不完全一致，特别是在落点处二者存在明显的差异，具体参见图7所示的局部方大图。
图8～图13给出带有控制变量振荡抑制情况下的优化结果。可见，本专利通过施加振荡抑制约束，使得抛物线插值构造的连续控制变量不再振荡，离散最优轨迹和数值积分轨迹完全一致。表1给出本专利方法的结果与传统HS优化方法、以及轨迹优化软件GPOPS-II优化结果的定量对比。可见，本专利方法显著降低了着陆轨迹的终端位置和终端速度误差，有效提高了轨迹优化精度。
表1本专利方法与其他轨迹优化方法的结果对比
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。
Claims (6)
1.一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，其特征在于，所述的方法为：
步骤1、应用Hermite-Simpson格式将轨迹优化问题离散化；
步骤2、建立控制变量振荡抑制约束；
步骤3、求解带有振荡抑制约束的轨迹优化非线性规划问题。
2.根据权利要求1所述的一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，其特征在于，所述的步骤一具体为：
一般形式的Bolza问题可描述为：求解控制变量u(t)∈Rm，使得如下目标函数最小化
式中：M为目标函数端点项，L为目标函数积分项，t为时间，t0为初始时间，tf为终端时间，x(t)为状态变量，u(t)为控制变量；
状态方程为
端点条件为
E(x(t0),t0,x(tf),tf)＝0 (3)
路径约束为
C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf] (4)
式中：f为状态方程右端项函数，E为端点约束，C为路径约束；
方程(1)～(4)所描述的连续最优控制问题称为Bolza型最优控制问题。
3.根据权利要求2所述的一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，其特征在于，为便于应用直接配点法对上述一般形式的最优控制问题进行离散，需要将最优控制问题的时间t∈[t0,tf]变换至归一化时间τ∈[0,+1]，变换方式如下：
t＝(tf-t0)τ+t0 (5)
为能够利用非线性规划方法求解轨迹优化问题，需要将其离散化；采用Hermite-Simpson格式离散；Hermite-Simpson格式需要用到区间中点的变量和函数值，为此需要将区间中点的控制变量作为优化变量，并且在区间中点添加路径约束，即
Hermite-Simpson格式得到的NLP的优化变量为 目标函数为
约束条件为
Ci＝C(xi,ui,τi；t0,tf)≤0,(i＝0,1,…,N) (10)
E(x0,t0,xf,tf)＝0 (12)
式中：ξi为离散点处的残差，为区间中点处的残差，/>为状态方程右端函数在区间中点处的值，/>为目标函数积分项在区间中点处的值，即
4.根据权利要求1所述的一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，其特征在于，所述的步骤二具体为：
为了得到抑制控制变量振荡的措施，首先研究控制变量下降剖面，对于定义在区间[τi,τi+1]的控制剖面上的3个离散点Pi、Pi+1，假设其坐标分别为(τi,u(τi)),/>(τi+1,u(τi+1))；为了便于推导，将3个插值点向左平移距离/>那么平移后Pi、/>Pi+1的坐标分别为(-hi/2,u(τi)),/>(hi/2,u(τi+1)),区间长度hi＝τi+1-τi；
HS格式采用抛物线插值构造连续控制变量，形式如下
u(τ)＝aτ2+bτ+c (13)
式中：a，b，c为抛物线方程的参数；
将Pi、Pi+1的坐标代入方程(13)得到
求解该方程，得到
根据控制剖面的变化特性不同，需要分为两种情况讨论；对于下降剖面，即u(τi)>u(τi+1)，若a>0时，即三个插值点的分布为Pi、Pi+1所示，为了使得抛物线单调变化不振荡，那么抛物线的对称轴taixs需要位于Pi+1的右侧，即
将其两边乘以-2a得到
b≤-ah (17)
将方程(15)中给出的a和b的值代入上式得到
整理得到
若a＝0，则抛物线插值退化为线性插值，不会发生振荡；
若a<0时，即三个插值点的分布为点Pi、Pi+1所示，为了使得抛物线插值得到的连续控制变量不振荡，那么抛物线的对称轴taixs需要位于Pi点的左侧，即
将其两边乘以2a得到
b≤ah (21)
将方程(15)中给出的a和b的值代入上式得到
整理得到
为了将约束(19)和(23)改写成相同的形式，令
式中：umean表示u(τi)和u(τi+1)的平均值；
将方程(19)两边减去umean可得到
将方程(24)两边减去umean可得到
将方程(25)和(26)合并写在一起，得到
其中|□|表示绝对值；方程(27)是确保控制变量在下降剖面不振荡需要满足的条件；其几何意义是控制变量距离区间[τi,τi+1]两端点处控制量平均值umean的距离不超过区间端点处控制量下降量u(τi)-u(τi+1)的1/4，即/>只能在中/>和/>之间变化；
对于上升降剖面(即u(τi)<u(τi+1))，经过类似推导得到
方程(28)是确保控制变量在上升剖面不振荡需要满足的条件；其几何意义是控制变量距离区间[τi,τi+1]两端点控制变量平均值umean的距离不超过区间端点处控制量下降量上升量u(τi+1)-u(τi)的1/4，即/>只能在/>和/>之间变化。
进一步分析可以发现，方程(27)和(28)可以统一写成如下形式
将控制变量平均值umean的表达式代入方程组(29)得到
进一步简写为
式中：ui＝u(τi),ui+1＝u(τi+1),
方程(31)为本研究推导的HS格式的控制变量无振荡约束条件，是确保采用抛物线插值得到的连续控制变量在下降剖面或者上升剖面都不发生振荡需要满足的条件。
5.根据权利要求3所述的一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，其特征在于，所述的步骤三具体为：
在方程(7)～(12)描述的常规Hermite-Simpson配点法的基础上，增加方程(31)描述的控制变量振荡抑制约束，即可得到带有控制变量振荡抑制功能的轨迹优化方法；在常规配点法非线性规划的基础上施加控制变量振荡抑制约束之后，轨迹优化流程中的稀疏型分析、偏导数计算都要进行更新。
6.根据权利要求5所述的一种抑制控制变量振荡的飞行轨迹高精度配点法优化方法，其特征在于，带有控制变量振荡抑制的轨迹优化方法为：在传统配点法非线性规划的基础上，添加抑制控制变量振荡的约束，使得基于离散控制变量插值构造的连续控制变量不会发生振荡。
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| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination |