CN118013172A - 基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于电波传播技术领域，具体公开了一种基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法。本发明方法利用分段积分法将地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式W（P）进行分解，得到I1、I2和I3三段积分；首先采用高斯积分方法计算I1；然后对I2积分区间内划分的每一个子区间使用梯形公式计算I2；接着采用梯形公式计算I3的积分；最后通过I1、I2、I3的积分结果计算地面接收条件下的W（P），通过W（P）计算接收点处的电场和二次时延。本发明方法克服了均匀网格算法应用于不规则地形上的长距离低频地波传播上的不足，能够利用非均匀网格模拟长距离复杂路径，提高了计算效率并且没有损失精度。
Description
技术领域
本发明属于电波传播技术领域，具体涉及一种基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法。
背景技术
采用积分方程方法处理实际长距离低频地波传播问题时，需要将存储在经纬度坐标系中的实际地形高度信息和地面电导率转换为笛卡尔坐标系，这种转换将引起局部收缩水平范围步长，限制了均匀网格积分方程方法的适用性。因此，均匀网格算法在预测长距离复杂不规则地形上电波的传播时存在精度受限、计算成本较高、难以准确描述不规则地形等问题。
另外，目前两种常用的求解积分方程的方法是梯形公式法和辛普森公式法。这两种求解积分方程的方法中，辛普森公式的精度相对更高，然而由于其过度依赖积分步骤以及对积分区间划分的敏感性导致计算成本较高。而梯形公式在积分方程方法中的优势在于其简单性、适用范围广和对误差估计的便利性，使其成为一种常用的数值积分方法。因此，有必要提出一种基于梯形公式求解积分方程的非均匀网格的低频地波传播特性预测方法。
发明内容
本发明提供了一种基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，该方法采用非均匀网格对复杂地形进行建模，能够准确地预测在长距离复杂不规则地形上电波的传播，同时基于梯形公式算法求解积分方程，能够在很大程上减少计算时间与占用内存。
本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：
基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，包括如下步骤：
步骤1. 输入模型文件，包括仿真区域的网格参数、仿真路径的电参数以及源的参数；
步骤2. 利用分段积分法将地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式进行分解，得到包含奇点0的首段积分、连续的中间段积分、包含奇点的末
段积分；
步骤3. 采用高斯积分方法计算；
步骤4. 采用分段积分法和梯形公式求解连续的中间段积分；
步骤5. 采用梯形公式求解；
步骤6. 结合步骤3、4、5中计算出来的积分结果、、，求解地面接收条件下
的一维积分公式，并通过计算接收点处的电场和二次时延。
本发明具有如下优点：
本发明述及了一种基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，该方法采用非均匀网格对复杂地形进行建模，能够准确地预测在长距离复杂不规则地形上电波的传播，克服了传统均匀网格积分方程算法计算成本高，灵活性差的问题。此外本发明采用梯形公式求解积分方程，能够方便的处理长距离低频地波传播问题，与均匀网格的辛普森公式方法相比，在不损失精度的前提下很大程度地减少计算时间与占用内存，更适合在工程上应用推广。
附图说明
图1是本发明中基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法的流程图；
图2是本发明基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法的原理示意图；
图3是在真实地形场景下本发明方法与基于辛普森公式求解积分方程的均匀网格方法和抛物方程方法的地面场强对比示意图；
图4是在真实地形场景下本发明方法与基于辛普森公式求解积分方程的均匀网格方法和抛物方程方法的二次时延对比示意图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
本发明提供了一种基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，该方法改进了传统均匀网格积分方程方法在实际长距离传播问题的适用性较差的问题，其总体流程为：
首先利用分段积分方法将地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式W(P)进行分解；接着，采用高斯积分方法计算I1；接着，对I2积分区间内划分的每一个小区间使用梯形公式，计算I2积分；接着，使用梯形公式计算I3；最后，通过I1、I2、I3的积分结果计接收点P处的衰减函数W(P)，通过W(P)计算接收点处的电场和二次时延。
基于以上发明构思，下面结合附图对本发明所提的基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法进行详细说明。如图1与图2所示，本发明方法包括如下步骤：
步骤1. 输入模型文件，包括仿真区域的网格参数、仿真路径的电参数以及源的参数。
仿真区域的网格参数：定义计算区域为二维直角坐标系，其中x方向的网格
数为n，积分区间长度为，z坐标表示高度信息。
网格的大小根据地形进行划分，在地形不规则、不连续的区域以及在地形平坦、连续的区域分别采用不同大小的网格进行计算。
具体而言，在地形不规则、不连续的区域使用相对较小的网格以捕捉地形的细节变化；而在地形平坦、连续的区域使用相对较大的网格以简化计算。
例如，在地形不规则及不连续区域采用细网格，其网格长度可设置为，在其他区域则采用粗网格，其网格大小可设置为。
仿真路径的电参数：
自由空间相对介电常数与电导率、山地区域相对介电常数与电导率
、平原区域相对介电常数与电导率、海水区域相对介电常数与电导率。
源的参数：
激励源为垂直电偶极子，电流为,电荷间距为，坐标原点为源的位置。
步骤2. 利用分段积分法将地面接收条件下的电波衰减函数一维积分公式
进行分解，得到包含奇点0的首段积分、连续的中间段主积分、包含奇点的末段积分。
地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式具体为：
（1）
其中，是射线距离，P为地面接收点位置，接收点P的坐标为, 为点处的地形高度；O表示坐标原点位置，为复数单位；表示地形表面积分
点，其坐标为，表示积分点在x方向上的坐标，表示积分点处的地形高
度，表示积分点Q处的电波衰减函数，表示波长。
为了简化算式，定义式（1）中的积分项为I，则I的公式如公式（2）所示。
（2）
其中， 定义为：
（3）
其中，为自由空间波数，表示地形高度的一阶导数，表示坐标原点O与
接收点P间的距离，表示坐标原点O与积分点Q的距离，表示接收点P与积分点Q的距离；为地形表面的阻抗，通过步骤1所述仿真路径的电参数代入式（4）中求得：
（4）
其中、取值由积分点所处区域的电参数决定。
具体的，当区域为自由空间时，，，当区域为山地时，，，当区域为平原时，，，当区域为海水时，，。
在的极限下，式（3）满足：
（5）
其中，表示s点处地形高度的二阶导数。
式（2）中存在和处有两个平方根奇点。
将划分为n个子区间，每个子区间长度为，并定义：
（6）
其中，表示区间划分后在x方向上第j个积分点的积分长度，，的初值满足；将式（2）进行区间划分，写成包含奇点0的首段积分、连续的
中间段主积分、以及包含奇点的积分的形式：
（7）
其中，表示在积分过程中x方向上s点处的电波衰减函数；表示进
行区间划分后式（3）在点处的表示形式。
、、分别如公式（8）至公式（10）所示。
（8）
（9）
（10）
其中，、、分别表示、、的积分区间。
步骤3. 采用高斯积分方法计算。
对式（8）进行变限处理。令，新变量y的积分区间为，，代入式（8）得到：
(11)
通过5点勒让德-高斯积分求解式（11），则的公式如公式（12）所示；
（12）
其中，表示勒让德-高斯积分公式权重因子；积分点满足，表示勒让德-高斯积分公式采用的采样点数，K=1,2,3,4,5。与的取值由表1给出。
表1 λK和yK的取值
通过平地面公式近似计算得到，具体计算方法如下：
Ⅰ. 根据平地面公式，采用5点勒让德-高斯积分公式时，在处的电场强度
为：
（13）
其中，为波的角频率，为自由空间中的磁导率，为自由空间中的介电常
数，为垂直电偶极子的电荷间距离，为垂直电偶极子的电流强度，为垂直电偶极子
相对于地面的高度，是平地面上波数，表示点处的地形高度。
为了简化算式，采用中间变量，定义为：
（14）
式（11）中，、和定义为如公式（15）至公式（17）所示。
(15)
（16）
（17）
电场强度与存在换算关系，如公式（18）所示；
（18）
其中，是平地面导电时的电场强度，定义为：
（19）。
步骤4. 采用分段积分法和梯形公式求解连续的中间段主积分。
由公式（9）得到的积分区间为，将的积分区间划分为个子区
间：
（20）
I2的积分结果通过对每个子区间采用梯形公式求解后相加获得；
（21）
其中，、、…、分别表示I2积分区间内的第1段、第2段、…、第n-2段
子区间长度；、、…、、分别表示在积分过程中，x方向上
点处的电波衰减函数，；、、、、分别表示进行区间划分后式（3）在点处的表示形式，。
式（21）整理后，得到积分结果：
(22)
其中，与分别表示第j-1个与第j个子区间长度。
步骤5. 采用梯形公式求解。
令（23）
由于其积分区间为到，包含处的奇点，采用式（24）所示公式进
行变量代换消除奇点。
（24）
其中，U表示代换的新变量。
将式（23）与式（24）代入式（10）得到变量代换后新的I3求解公式：
（25）
对式（25）采用梯形公式求解积分得到：
（26）
其中：
（27）
（28）
表示进行区间划分后式（3）在点处的表示形式。
可由式（5）给出。
步骤6. 结合步骤3、4、5中计算出来的积分结果、、，求解地面接收条件下
的一维积分公式，并通过计算接收点处的电场和二次时延。
将公式（12）、公式（22）、公式（26）代入式（7），求解得到的公式为：
（29）
利用步骤3中平地面公式求出初始解，采用式（12）、（22）和式（26）依次迭代计算下
一步处的积分方程结果，积分计算完成后，得到任意点处的衰减函数。
利用所得式（29）得到积分区域内任意接收点处的，通过公式（18）给出的场
强与的关系，求得在积分区域内任意点的电场强度。
计算二次时延的公式通过下式给出：；其中，为低频地波在良
导体上传播时的相位，为低频地波在模拟路径上传播时的相位。
此外，为了验证本发明方法的有效性，还给出了如下具体应用实例。
定义A站（34.948oN，109.543oE）和B站（29.454oN，129.794oE）两处位置，从A站到B站总长2000km，从A站到B站的传播路径依次经过山地区域、平原区域以及海水区域。
山地区域电参数取，，区域长度为500km。
平原区域电参数取，，区域长度为660km。
海水区域电参数取，，区域长度为840km。
在该具体应用实例中使用了两种不同网格的积分方程方法进行仿真：第1种是基
于辛普森公式求解积分方程的均匀网格方法，设置距离间隔为100 m；第2种为本发明基
于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，在土地不平整和不连续区域周围
采用100 m的细网格，其余空间采用1000 m的粗网格。
图3和图4分别为本发明基于梯形公式的非均匀网格的积分方程方法与均匀网格的积分方程方法的电场强度Ez和二次时延tw以及抛物方程方法在实际电波传播路径上的比较。
为了更好的说明本发明的效果，在图3和图4中绘制了两种积分方程方法与抛物方程方法之间的电场强度Ez和二次时延tw的差异。其中，前500km区域为山地区域，500km到1160km区域为平原区域，1160km到2000km区域为海水区域。由图3和图4能够看出，对于山地区域和平原区域地形，本发明方法结果与均匀网格积分方程方法及抛物方程方法结果基本一致，具备对于低频地波传播特性良好的预测效果。而对于海水区域，传统均匀网格积分方程方法出现较大差异，而本发明方法仍然保持与抛物方程方法结果较好的吻合。
此外，还给出了采用均匀网格的基于辛普森公式的积分方程方法与本发明所采用的非均匀网格的基于梯形公式的积分方程方法，在依次经过山地区域、平原区域以及海水区域的相同路径下的计算成本对比，如表2所示。
表2 分别采用均匀网格的基于辛普森公式的积分方程方法与本发明所采用的非均匀网格的基于梯形公式的积分方程方法计算成本比较
由表2看出，在相同路径下，传统均匀网格辛普森算法消耗计算时间是本发明方法的8倍左右，所需计算内存是本发明方法的5倍左右。可见，在保证计算精度的前提下，本发明方法相比于传统的均匀网格辛普森算法，极大的减少了计算成本，更适合工程上的应用。
本发明方法克服了均匀网格算法应用于不规则地形上的长距离低频地波传播上的不足，与均匀网格算法相比，本发明方法利用非均匀网格模拟长距离复杂路径，在地形不规则、不连续的区域，使用较小的网格以捕捉地形的细节变化；而在地形平坦、连续的区域，使用较大的网格以简化计算，实现了算法实施的灵活性，提高了计算效率并且没有损失精度。
当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。
Claims (7)
1.基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，
包括如下步骤：
步骤1. 输入模型文件，包括仿真区域的网格参数、仿真路径的电参数以及源的参数；
步骤2. 利用分段积分法将地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式进行分解，得到包含奇点0的首段积分/>、连续的中间段积分/>、包含奇点/>的末段积分/>；
步骤3. 采用高斯积分方法计算；
步骤4. 采用分段积分法和梯形公式求解连续的中间段积分；
步骤5. 采用梯形公式求解；
步骤6. 结合步骤3、4、5中计算出来的积分结果、/>、/>，求解地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式/>，并通过/>计算接收点处的电场/>和二次时延/>。
2.根据权利要求1所述的基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，所述步骤1具体为：
仿真区域的网格参数：定义计算区域为二维直角坐标系，其中x方向的网格数为n，积分区间长度为/>，z坐标表示高度信息；
网格的大小根据地形进行划分，在地形不规则、不连续的区域以及在地形平坦、连续的区域分别采用不同大小的网格进行计算，即在地形不规则、不连续的区域使用相对较小的网格以捕捉地形的细节变化，在地形平坦、连续的区域使用相对较大的网格以简化计算；
仿真路径的电参数：自由空间相对介电常数与电导率/>、山地区域相对介电常数与电导率/>、平原区域相对介电常数/>与电导率/>、海水区域相对介电常数/>与电导率/>；
源的参数：激励源为垂直电偶极子，电流为，电荷间距为/>，坐标原点为源的位置。
3.根据权利要求2所述的基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，所述步骤2具体为：
地面接收条件下的电波衰减函数的一维积分公式具体为：
（1）
其中，是射线距离/>，P为地面接收点位置，接收点P的坐标为/>,为/>点处的地形高度；O表示坐标原点位置，/>为复数单位；/>表示地形表面积分点，其坐标为/>，/>表示积分点/>在x方向上的坐标，/>表示积分点/>处的地形高度，/>表示积分点Q处的电波衰减函数，/>表示波长；
为了简化算式，定义式（1）中的积分项为I，则I如公式（2）所示；
（2）
其中， 定义为：
（3）
其中，为自由空间波数，/>表示地形高度的一阶导数，/>表示坐标原点O与接收点P间的距离，/>表示坐标原点O与积分点Q的距离，/>表示接收点P与积分点Q的距离；/>为地形表面的阻抗，通过步骤1所述仿真路径的电参数代入式（4）中求得：
（4）
其中，、/>的取值由积分点所处区域的电参数决定，即当区域为自由空间时，，/>，当区域为山地时，/>，/>，当区域为平原时，/>，/>，当区域为海水时，/>，/>；在/>的极限下，式（3）满足：
（5）
其中表示s点处地形高度的二阶导数；
式（2）中在和/>处有两个平方根奇点；将积分区间/>划分为n个子区间，每个子区间长度为/>，并定义：
（6）
其中，表示区间划分后在x方向上第j个积分点的积分长度，/>，/>的初值/>满足/>，且在数值上，接收点处横坐标/>与/>满足关系/>；
将式（2）进行区间划分，写成包含奇点0的首段积分、连续的中间段主积分/>、以及包含奇点/>的末端积分/>的形式：
（7）
其中，表示在积分过程中x方向上s点处的电波衰减函数；/>表示进行区间划分后式（3）在点/>处的表示形式；
、/>、/>分别如公式（8）至公式（10）所示；
（8）
（9）
（10）
其中，、/>、/>分别表示/>、/>、/>的积分区间。
4.根据权利要求3所述的基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，所述步骤3具体为：
对式（8）进行变限处理；
令，新变量y的积分区间为/>，/>，代入式（8）得到：
(11)
通过5点勒让德-高斯积分求解式（11），则的公式如公式（12）所示；
（12）
其中，表示勒让德-高斯积分公式权重因子，积分点/>满足/>，/>表示勒让德-高斯积分公式采用的采样点数，K=1,2,3,4,5；
通过平地面公式近似计算得到，具体计算方法如下：
Ⅰ. 根据平地面公式，采用5点勒让德-高斯积分公式时，在处的电场强度/>为：
（13）
其中，为波的角频率，/>为自由空间中的磁导率，/>为自由空间中的介电常数，/>为垂直电偶极子的电荷间距离，/>为垂直电偶极子的电流强度，/>为垂直电偶极子相对于地面的高度，/>是平地面上波数，/>表示点/>处的地形高度；
为了简化算式，采用中间变量，定义为：
（14）
式（13）中，、/>和/>定义为如公式（15）至公式（17）所示；
(15)
（16）
（17）
其中，电场强度与/>存在换算关系，如公式（18）所示；
（18）
其中，是平地面导电时的电场强度，定义为：
（19）。
5.根据权利要求4所述的基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，所述步骤4具体为：
由公式（9）得到的积分区间为/>，将/>的积分区间划分为/>个子区间：
（20）
I2的积分结果通过对每个子区间采用梯形公式求解后相加获得；
（21）
其中，、/>、…、/>分别表示I2积分区间内的第1段、第2段、…、第n-2段子区间长度；/>、/>、…、/>、/>分别表示在积分过程中，x方向上/>点处的电波衰减函数，/>；/>、/>、/>、/>、分别表示进行区间划分后式（3）在点/>处的表示形式，/>；
式（21）整理后，得到积分结果：
(22)
其中，与/>分别表示第j-1个与第j个子区间长度。
6.根据权利要求5所述的基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，所述步骤5具体为：
令 （23）
由于其积分区间为/>到/>，包含/>处的奇点，采用式（24）所示公式进行变量代换消除奇点；
（24）
其中，U表示代换的新变量；
将式（23）与式（24）代入式（10）得到变量代换后新的I3求解公式：
（25）
对式（25）采用梯形公式求解积分得到：
（26）
其中：
（27）
（28）
其中，表示进行区间划分后式（3）在点/>处的表示形式。
7.对根据权利要求6所述基于梯形公式求解积分方程的低频地波传播特性预测方法，其特征在于，所述步骤6具体为：
将公式（12）、公式（22）、公式（26）代入式（7），求解得到的公式为：
（29）
利用步骤3中平地面公式求出初始解，采用式（12）、（22）和式（26）依次迭代计算下一步处的积分方程结果，积分计算完成后，得到任意点处的衰减函数/>；
利用所得式（29）得到积分区域内任意接收点处的，通过公式（18）给出的场强与的关系，求得在积分区间内任意点的电场强度/>；
计算二次时延的公式通过下式给出：；其中，/>为低频地波在良导体上传播时的相位，/>为低频地波在模拟路径上传播时的相位。
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- 2024-04-07 CN CN202410404195.XA patent/CN118013172B/zh active Active
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Also Published As
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|---|---|
| CN118013172B (zh) | 2024-06-14 |
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