CN117786286A - 基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，包括：步骤一：确定计算域满足的流体力学控制方程以及边界条件和初始条件；步骤二：在计算域内选取用于训练的残差点、边界约束点和初始约束点；步骤三：根据自定义的改进多层感知机结构构建神经网络，输入训练点，通过神经网络输出相应的流场数据，建立流体力学模型；步骤四：利用自动微分技术计算控制方程残差；步骤五：计算控制方程损失、边界条件损失和初始条件损失，采用加权和形式得到损失函数；步骤六：通过自适应权重法平衡各项损失函数，实现自适应调整损失函数权重；步骤七：使用优化算法获得最优损失函数权重和神经网络参数，得到所求的流体力学模型，对流场进行模拟。
Description
技术领域
本发明涉及流体力学计算领域，具体涉及一种基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法。
背景技术
流体力学的控制方程纳维-斯托克斯方程(NS方程)是一种典型的非线性方程，它能够刻画流体的运动规律，例如大气运动、海洋流动、轴承润滑等，其研究对人们认识和控制湍流格外重要。目前流体的数值模拟主要依靠计算流体力学(Computational fluiddynamics，CFD)方法得到流场的离散定量描述。但传统的CFD方法有很大的局限性，主要表现在复杂几何外形的网格生成困难，稳定算法所需的计算资源大以及求解逆问题时的数据同化非常繁琐等。
随着科学技术和计算机技术的快速发展，近年来具有能够任意逼近任意非线性函数的能力的深度神经网络在众多领域取得了突破性的成果，如计算机视觉、语音识别和自然语言处理等。在最近的研究中，研究人员提出了一种物理信息神经网络(Physics-informed Neural Networks，PINN)并将其用于求解偏微分方程。PINN将物理方程作为限制编码到神经网络的损失函数之中，使得拟合得到的结果更加满足物理定律，与传统的CFD求解器相比，PINN具有无需网格生成，避免维度爆炸以及便于求解逆问题等优势，为求解偏微分方程提供了一种新途径。目前已经有研究将PINN应用到流体力学控制方程的求解中，并且成功模拟了流体的流动。然而，在实际应用中PINN仍存在求解精度低、训练耗时长等缺陷。因此，提出一种能够准确快速地计算流体力学方程的新型PINN模型至关重要。
发明内容
为了解决目前PINN在求解流体力学方程时仍然精度不足，耗时较长等问题，本发明提供了一种基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，以在一定程度上提高PINN模型模拟流场的精度和训练速度。
本发明通过以下技术方案实现：基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，包括以下步骤：
步骤一：确定计算域满足的流体力学控制方程以及边界条件和初始条件；
步骤二：在计算域内选取用于训练的残差点、边界约束点和初始约束点；
步骤三：根据自定义的改进多层感知机结构构建神经网络，输入训练点，通过神经网络输出相应的流场数据，建立流体力学模型；
步骤四：利用自动微分技术计算控制方程残差；
步骤五：计算控制方程损失、边界条件损失和初始条件损失，采用加权和形式得到损失函数；
步骤六：通过自适应权重法平衡各项损失函数，实现自适应调整损失函数权重；
步骤七：使用优化算法获得最优损失函数权重和神经网络参数，得到所求的流体力学模型，对流场进行模拟。
进一步的，所述步骤一中考虑的方程为不可压缩NS方程，定义如下：
其中x＝[x,y,z]T∈Ω和t∈[0,T]表示无量纲空间和时间坐标，u(x,t)＝[u,v,w]T是无量纲速度矢量，p(x,t)是无量纲压力，Re＝UrefDref/v是由特征长度Dref、参考速度Uref和运动粘度ν定义的雷诺数。h(x)表示初始条件约束，g(x,t)表示边界条件约束，ΓD表示计算域的Dirichlet边界。
进一步的，所述步骤二采用均匀抽样，随机抽样和拉丁超立方抽样中的至少一种方法在计算域内选取训练点。其中表示残差点，用于最小化NS方程的残差， 表示边界约束点，/>表示初始约束点，{Nr,Nb,N0}是总的训练点数。
进一步的，所述步骤三中自定义的改进多层感知机结构构建神经网络定义为fθ(x,t)，该网络与标准全连接神经网络几乎相同，仅增加两个编码器，并在最后一层隐藏层之后对前向传播进行了轻微修改。具体网络结构定义如下：
其中，网络的输入X为时空坐标[x,t]T，输出uθ和pθ为相应的速度和压力场,fθ＝[uθ,pθ]T为所建立的流体力学模型的目标函数，θ表示所有可训练的神经网络参数{W1,b1,W2,b2,W3,b3,W4,b4,(W(k),b(k))1≤k≤L-1}，⊙表示逐点乘法，σ表示非线性激活函数，包括sigmoid、relu、tanh中的一种。
进一步的，所述步骤四中的方程残差包括连续性条件约束和动量方程残差，具体定义如下：
其中的速度和压力为残差点经过神经网络之后对应的输出，而所有的偏导数都可以通过自动微分方法计算得到，这在很多深度学习框架中可以直接表示。
进一步的，所述步骤五中的控制方程损失边界条件损失/>和初始条件损失/>采用如下的形式：
用于优化神经网络的损失函数除了有监督的数据驱动部分外(边界条件、初始条件)，还包括了先验的物理知识，即违反物理定律(控制方程)的正则化因子，因此定义为控制方程损失边界条件损失/>和初始条件损失/>的加权和形式：
其中λ＝{λr,λb,λ0}是损失项权重参数，初始值设置为λr＝λb＝λ0＝1。
进一步的，所述步骤六中自适应调整损失函数权重的方法包括以下步骤：对于以上计算的n项加权损失函数我们通过自适应权重法学习λi达到以下目标：(1)将不同损失项的梯度范数平衡到一个共同的尺度上；(2)动态调整梯度范数，使不同任务以相似的速率训练。首先计算相关的梯度：
其中W是网络隐藏层最后一层的权重；是第i项损失函数在第s步时梯度标准化的值，即加权的单项损失函数/>对参数W求梯度的L2范数，用于衡量各项损失函数的量级；/>是第s步时所有损失函数项的平均梯度范数，表示了各项损失函数梯度标准化的期望值。其次计算如下的训练速率：
其中是第i项损失函数的损失比，可以衡量第i项损失函数的反向训练速率；ri(θs)是第i项损失函数的相对反向训练速率，ri(θs)越大表示第i项损失在所有损失函数中训练越慢。接下来计算梯度损失/>即每项损失函数的实际梯度范数和目标梯度范数之间的L1损失函数对所有项损失求和：
其中α是一个超参数，表示相对反向训练速率ri(θs)的强度。接下来将看做关于损失权重λi；s的函数，仅对λi；s进行微分，微分时将目标梯度范数/>作为一个固定常数。然后使用计算出的梯度/>来更新每个λi；s：
最后在每个更新步骤之后重新标准化损失权重λi；s，使∑iλi；s＝n，以便将自适应权重法对权重的调整与全局学习率解耦。
与现有技术相比，本发明的有益效果：
(1)本发明提出的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，与传统CFD方法相比在一些问题上更具有优势，如无需网格划分、避免差分格式引起的维数灾难以及易于对逆问题进行求解等。
(2)本发明提出的改进多层感知机结构，与基线PINN模型的全连接神经网络结构相比，在显著提高流体力学模型的准确度和计算效率的同时，仅需增加很少的网络参数，能够保证较低的计算和内存开销。
(3)本发明所提出的自适应权重法，可以在网络训练过程中自适应地调整各项损失函数的权重，并最终找到最优的权重参数。与固定权重的基线PINN模型相比提高了预测的准确性。
附图说明
图1为基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法的流程图；
图2为自定义的改进多层感知机结构的网络示意图；
图3为物理信息神经网络的自适应权重法的结构原理图；
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明具体实施例及相应的附图对本发明技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
下面结合附图对本发明的应用原理作详细的描述。
参考图1，本发明实施例中提供了一种基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，包括以下步骤：
本实施例为Re＝100时圆柱体后面的二维卡门涡街，圆柱体放置在(x,y)＝(0,0)处，直径D＝1，采用高精度的直接数值模拟(Direct numerical simulation,DNS)数据作为参考。
步骤一：确定计算域满足的流体力学控制方程以及边界条件和初始条件。
本实施例考虑的计算域设置为空间域[1,8]×[-2,2]和时间域[0,10]，该二维圆柱绕流由不可压缩的NS方程控制：
其中x＝[x,y]T∈[1,8]×[-2,2]和t∈[0,10]表示无量纲空间和时间坐标，u(x,t)＝[u,v]T是无量纲速度矢量，p(x,t)是无量纲压力，边界条件约束g(x,t)由空间域边界处的DNS数据提供，初始条件约束h(x)由t＝0时的DNS数据提供。
步骤二：在计算域内选取用于训练的残差点、边界约束点和初始约束点；
采用随机抽样在计算域中选取Nr＝100000个点作为残差点选取Nb＝8000个点作为边界约束点/>选取N0＝2000个点作为初始约束点总的训练点数N＝110000。
步骤三：根据自定义的改进多层感知机结构构建神经网络，输入训练点，通过神经网络输出相应的流场数据，建立流体力学模型；
参考图2构建神经网络，该改进的多层感知机以每个采样点的时空坐标为输入，物理场为输出，数学表达式为fθ(x,t)＝[uθ,pθ]T。网络结构固定输入层3个神经元为(x,y,t)，隐藏层L＝8层，每个隐藏层有64个神经元，输出层3个神经元为(u,v,p)，用于特征投影的两个网络层同样设置为64个神经元，以便于后续的逐点乘法操作，激活函数选择tanh。
将残差点，边界约束点，初始约束点的时空坐标分别作为输入通过网络，输出速度场和压力场数据，其中残差点的输出fθ(xr,tr)＝[yθ,r,pθ,r]T，边界点的输出fθ(xb,tb)＝[uθ,b,pθ,b]T，初始点的输出fθ(x0,t0)＝[uθ,0,pθ,0]T。
步骤四：利用自动微分技术计算控制方程残差；
使用PyTorch的torch.autograd.grad()函数计算残差点的输出[uθ,r,pθ,r]T相对于输入[xr,tr]T的一阶偏导数然后计算二阶偏导数之后将残差点的输出和偏导数计算结果带入式(3)计算出控制方程残差。
步骤五：计算控制方程损失、边界条件损失和初始条件损失，采用加权和形式得到损失函数；
计算控制方程残差r1θ(xr,tr)和r2θ(xr,tr)的均方误差之和作为控制方程损失计算边界点的网络输出[uθ,b,pθ,b]T与边界处的DNS数据[ub,pb]T的均方误差作为边界条件损失/>计算初始点的网络输出[uθ,0,pθ,0]T与初始时刻的DNS数据[u0,p0]T的均方误差作为边界条件损失/>具体形式由式(4)给出。采用以上三项损失的加权和形式得到损失函数/>其中损失项权重参数初始值设置为λr＝λb＝λ0＝1。
步骤六：通过自适应权重法平衡各项损失函数，实现自适应调整损失函数权重；
对于加权损失函数的3项加权损失分别进行反向传播，选择网络隐藏层的最后一层即第8层的权重分别计算梯度范数/>对该三项梯度范数求均值得到平均梯度范数/>具体形式见式(6)。其次计算各项损失比 以及相对反向训练速率rr(θs)，rb(θs)，r0(θs)，具体形式见式(7)。
接下来计算每项损失函数的实际梯度范数和目标梯度范数之间的L1损失函数对3项损失求和，记为梯度损失本实施例的各项损失没有明显的复杂性差异，在学习过程中的收敛速度相对一致，因此不需要过高的α值来强制平衡学习速率，选择α＝0.5来平衡训练速度。
接下来将目标梯度范数作为一个固定常数，求/>对λi；s的梯度/>来更新权重/>在更新步骤之后重新标准化损失权重λi；s+1＝3λi；s+1/∑iλi；s+1。
步骤七：使用优化算法获得最优损失函数权重和神经网络参数，得到所求的流体力学模型，对流场进行模拟。
整体优化过程设置更新1×105步，其中每一步均需要对损失函数权重和神经网络参数分别进行更新。采用Adam优化器优化损失函数权重参数，选择初始学习率为0.001，同样采用Adam优化器最小化加权损失函数训练神经网络参数，选择初始学习率为0.001，每迭代1×104步学习率下降为原来的0.5倍。
网络训练完成之后，输入所有DNS数据的时空数据，通过网络输出速度场和压力场，为了说明所提出方法的效果，采用精确值f(xi,ti)和网络在处的训练近似值fθ(xi,ti)的相对L1误差评估所提出流体力学模型的准确性，具体形式如下：
本发明所提出的新型PINN的u,v,p的相对L1误差分别为2.79e-03，8.42e-03，1.23e-02，对比基线PINN的u,v,p的相对L2误差6.86e-03，2.08e-02，2.55e-02，本发明显著提高了流体力学模型的准确度。此外根据损失函数下降曲线，也可以观察到本发明提出的模型具有明显更快的收敛速度。
综上所述，本发明所述方法可以精确模拟流体的流动过程，并且与基线PINN相比显著提高准确度和计算效率，具有广阔的应用前景。
Claims (10)
1.基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：确定计算域满足的流体力学控制方程以及边界条件和初始条件；
步骤二：在计算域内选取用于训练的残差点、边界约束点和初始约束点；
步骤三：根据自定义的改进多层感知机结构构建神经网络，输入训练点，通过神经网络输出相应的流场数据，建立流体力学模型；
步骤四：利用自动微分技术计算控制方程残差；
步骤五：计算控制方程损失、边界条件损失和初始条件损失，采用加权和形式得到损失函数；
步骤六：通过自适应权重法平衡各项损失函数，实现自适应调整损失函数权重；
步骤七：使用优化算法获得最优损失函数权重和神经网络参数，得到所求的流体力学模型，对流场进行模拟。
2.根据权利要求1或2所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，
所述步骤三中自定义的神经网络定义为fθ(x，t)，结构定义如下：
其中，网络的输入X为时空坐标[x，t]T，输出uθ和pθ为相应的速度和压力场，fθ＝[uθ，pθ]T为所建立的流体力学模型的目标函数，θ表示所有可训练的神经网络参数{W1，b1，W2，b2，W3，b3，W4，b4，(W(k)，b(k))1≤k≤L-1}，⊙表示逐点乘法，σ表示非线性激活函数，包括sigmoid、relu、tanh中的一种。
3.根据权利要求1或2所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，
所述步骤六中包括以下步骤：对于n项加权损失函数首先计算相关的梯度：
其中W是网络隐藏层最后一层的权重；是第i项损失函数在第s步时梯度标准化的值；/>是第s步时所有损失函数项的平均梯度范数；其次计算如下的训练速率：
其中是第i项损失函数的损失比；ri(θs)是第i项损失函数的相对反向训练速率；接下来计算梯度损失/>
其中α是一个超参数，表示相对反向训练速率ri(θs)的强度；接下来将看做关于损失权重λi；s的函数，仅对λi；s进行微分，微分时将目标梯度范数/>作为一个固定常数；然后使用计算出的梯度/>来更新每个λi；s：
最后在每个更新步骤之后重新标准化损失权重λi；s，使∑iλi；s＝n。
4.根据权利要求1或2所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，
所述步骤五中的控制方程损失边界条件损失/>和初始条件损失/>采用如下的形式：
用于优化神经网络的损失函数定义为控制方程损失边界条件损失/>和初始条件损失/>的加权和形式：
其中λ＝{λr，λb，λ0}是损失项权重参数，初始值设置为λr＝λb＝λ0＝1。
5.根据权利要求3所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，
所述步骤五中的控制方程损失边界条件损失/>和初始条件损失/>采用如下的形式：
用于优化神经网络的损失函数定义为控制方程损失边界条件损失/>和初始条件损失/>的加权和形式：
其中λ＝{λr，λb，λ0}是损失项权重参数，初始值设置为λr＝λb＝λ0＝1。
6.根据权利要求1或2或5所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，所述步骤一中的流体力学控制方程为不可压缩NS方程，定义如下：
其中x＝[x，y，z]T∈Ω和t∈[0，T]表示无量纲空间和时间坐标，u(x，t)＝[u，v，w]T是无量纲速度矢量，p(x，t)是无量纲压力，Re＝UrefDref/v是由特征长度Dref、参考速度Uref和运动粘度v定义的雷诺数；h(x)表示初始条件约束，g(x，t)表示边界条件约束，ΓD表示计算域的Dirichlet边界。
7.根据权利要求3所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，所述步骤一中的流体力学控制方程为不可压缩NS方程，定义如下：
其中x＝[x，y，z]T∈Ω和t∈[0，T]表示无量纲空间和时间坐标，u(x，t)＝[u，v，w]T是无量纲速度矢量，p(x，t)是无量纲压力，Re＝UrefDref/v是由特征长度Dref、参考速度Uref和运动粘度v定义的雷诺数；h(x)表示初始条件约束，g(x，t)表示边界条件约束，ΓD表示计算域的Dirichlet边界。
8.根据权利要求4所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，所述步骤一中的流体力学控制方程为不可压缩NS方程，定义如下：
其中x＝[x，y，z]T∈Ω和t∈[0，T]表示无量纲空间和时间坐标，u(x，t)＝[u，v，w]T是无量纲速度矢量，p(x，t)是无量纲压力，Re＝UrefDref/v是由特征长度Dref、参考速度Uref和运动粘度v定义的雷诺数；h(x)表示初始条件约束，g(x，t)表示边界条件约束，ΓD表示计算域的Dirichlet边界。
9.根据权利要求1或2或5或7或8所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，
所述步骤二采用均匀抽样，随机抽样和拉丁超立方抽样中的至少一种方法在计算域内选取训练点；其中表示残差点，/>表示边界约束点，表示初始约束点，{Nr，Nb，N0}是总的训练点数。
10.根据权利要求1或2或5或7或8所述的基于物理信息神经网络的流体力学方程求解方法，其特征在于，
所述步骤四中的方程残差包括连续性条件约束和动量方程残差，具体定义如下：
其中的速度和压力为残差点经过神经网络之后对应的输出。
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| CN118013870A (zh) * | 2024-04-10 | 2024-05-10 | 中国空气动力研究与发展中心超高速空气动力研究所 | 一种基于分布函数思想求解ns方程的深度神经网络方法 |
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|---|---|---|---|---|
| CN118013870A (zh) * | 2024-04-10 | 2024-05-10 | 中国空气动力研究与发展中心超高速空气动力研究所 | 一种基于分布函数思想求解ns方程的深度神经网络方法 |
| CN118013870B (zh) * | 2024-04-10 | 2024-06-14 | 中国空气动力研究与发展中心超高速空气动力研究所 | 一种基于分布函数思想求解ns方程的深度神经网络方法 |
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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