CN117690534B - 一种量子材料超导性判断方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及量子物理领域，具体涉及一种量子材料超导性判断方法，包括：使用强关联多体模型描述量子材料系统；使用fPEPS表示强关联多体模型；通过映射函数将fPEPS的模型参数所在的量子材料参数空间中的模型参数向量映射到量子材料映射空间；基于映射空间度量函数和参数空间度量函数分步迭代模型参数向量直到强关联多体模型的表达式达到阈值以求解强关联多体模型的基态；定义关联函数描述晶格中两个位置之间的s波配对和d波配对的关联程度；根据关联函数对两个位置之间距离的衰减关系判断量子材料的超导性。本发明通过改进自然梯度法对张量网络基态进行求解，提高了量子材料超导性计算的效率。
Description
技术领域
本发明涉及量子物理领域，具体涉及一种量子材料超导性判断方法。
背景技术
量子材料，以其独特的量子效应和复杂的相互作用，成为当前物理研究的热门领域。在众多的量子效应中，超导性无疑是最引人注目的一种。超导性材料在极低温度下表现出零电阻和完全磁场排斥的特性。超导性材料零电阻的特性，使得电能无损耗地传输成为可能，而对磁场的完全排斥也开启了磁悬浮等技术的应用可能。研究和探索量子材料的超导性，不仅在理论上对于揭示多体量子系统的相互作用机制和相变特性具有重要的意义，而且在实际应用中，如能源传输、传感器技术等领域，也具有巨大的潜力和价值。
现有方法中，研究人员通过建立一个能够描述量子材料物理特性的多体量子模型来研究量子材料的超导性。多体量子模型的基态反映了量子材料的宏观超导特性和微观机制，为判定多体量子模型的基态，需要解决多体量子模型的哈密顿量问题。哈密顿量是描述量子系统动力学的物理量，哈密顿量的本征值问题就对应着多体量子模型的能量级，哈密顿量的本征值中能量最低的值对应的本征态即为多体量子模型的基态。但是，随着多体量子模型规模的增长，对应的希尔伯特空间会指数级地增大，使得直接求解哈密顿量变得非常困难。研究人员通过张量网络态，尤其是费米子投影纠缠对态（fPEPS），对大规模的多体量子模型进行有效的压缩和简化，从而将求解多体量子模型基态的问题转化为处理一系列较小规模的张量计算问题；同时，通过无限时间演化块截断法（iTEBD）算法对多体量子模型量子态进行无限制的时间演化，并在过程中进行有效的张量截断，实现对大规模多体量子模型基态的高效求解。得到多体量子模型基态后，通过计算多体量子模型的超导序参量或关联函数，分析超导序参量或关联函数的衰减行为，从而判断量子材料是否具有超导性。
然而，通过无限时间演化块截断法对多体量子模型进行无限制的时间演化以求解多体量子模型的基态这种方法在处理高维多体量子模型时效果不佳。对于一维多体量子模型，无限时间演化块截断法可以有效地应用矩阵乘积态进行计算，但对于高维多体量子模型，由于缺乏类似一维多体量子模型的链式结构，矩阵乘积态的应用变得困难，这使得求解过程变得缓慢。此外，高维多体量子模型的复杂纠缠特性和几何结构使得求解高维多体量子模型的计算量大幅增加，这不仅使无限时间演化块截断法的参数优化过程变得更加困难，而且还影响算法的收敛速度。
发明内容
为解决上述问题，本发明提供一种量子材料超导性判断方法。
该方法包括：
步骤一，将量子材料抽象成一个系统，使用强关联多体模型描述该系统；
步骤二，使用fPEPS描述强关联多体模型；
步骤三，定义fPEPS的模型参数所在空间为量子材料参数空间，量子材料参数空间/>中的每个点都是一个模型参数向量/>，每个模型参数向量/>对应一组fPEPS的模型参数，通过强关联多体模型的表达式/>构建量子材料映射空间/>，通过映射函数/>将模型参数向量/>映射到量子材料映射空间/>得到映射后的模型参数向量/>；
步骤四，定义用于计算量子材料映射空间中两点之间的距离的函数为映射空间度量函数/>，/>分别代表量子材料映射空间/>中两个不同的映射后的模型参数向量的索引；
步骤五，基于映射空间度量函数定义用于计算量子材料参数空间/>中的两点之间的距离的函数为参数空间度量函数/>，/>分别代表量子材料参数空间/>中两个不同的模型参数向量的索引；
步骤六，基于参数空间度量函数分步迭代模型参数向量/>直到强关联多体模型的表达式/>达到阈值，求解出强关联多体模型的基态/>，/>代表量子态；
步骤七，基于强关联多体模型的基态定义关联函数/>描述晶格中位置和位置/>之间的s波配对和d波配对的关联程度；
步骤八，判断关联函数对位置/>和位置/>之间距离/>的幂律衰减的指数与1的差值是否超过阈值，若是，则该量子材料没有超导性；若否，则该量子材料具有超导性。
进一步的，步骤二具体包括：
使用fPEPS描述强关联多体模型，fPEPS中每个张量有两种类型的索引，一种是物理指标，代表量子材料的物理特性；另一种是纠缠指标，代表量子材料中不同位置的粒子之间的量子纠缠强度；
强关联多体模型的基态为：
…/>；
其中，代表张量网格点位置的数量，/>代表第/>个张量网格点位置的物理指标，代表第/>个张量网格点位置物理性质的张量。
进一步的，步骤四具体指基于单位矩阵定义映射空间度量函数。
进一步的，步骤四具体指基于海森矩阵定义映射空间度量函数：
；
其中，代表偏导数，/>代表强关联多体模型在量子材料映射空间/>中的表达式，和/>分别代表量子材料映射空间/>中第/>个和第/>个映射后的模型参数向量。
进一步的，步骤五具体指，定义参数空间度量函数为：
；
其中，和/>分别代表量子材料参数空间/>中第/>个和第/>个模型参数向量。
进一步的，步骤六中所述分步迭代模型参数向量，其中第/>步迭代得到的模型参数向量/>为：
；
其中，代表第/>步迭代得到的模型参数向量，/>代表学习率，/>代表强关联多体模型的表达式/>关于模型参数向量/>的梯度，/>代表根据参数空间度量函数变换后的下降方向。
进一步的，步骤七具体包括定义关联函数描述晶格中位置/>和位置/>之间的s波配对和d波配对的关联程度：
；
其中，表示测量，/>代表描述晶格中指定位置的s波或d波的电子配对状态的超导阶数参数，/>和/>分别代表晶格上位置/>和位置/>的坐标，/>代表超导阶数参数的厄米共轭。
进一步的，步骤八具体包括计算关联函数对位置/>和位置/>之间距离/>的衰减遵循幂律关系：
；
其中，代表按比例变化，/>代表关联函数/>对位置/>和位置/>之间距离/>幂律衰减的指数；
当与1的差值超过阈值时，量子材料没有超导性；当/>与1的差值不超过阈值时，量子材料具有超导性。
进一步的，步骤一中强关联多体模型具体指海森堡模型、孔多模型或哈伯德模型中的一种。
本申请实施例中提供的一个或多个技术方案，至少具有如下技术效果或优点：
本发明通过采用映射函数将量子材料参数空间映射到量子材料映射空间，找到自然梯度法性能良好的度量指标，然后将其应用于强关联多体模型基态求解问题，加快基态求解收敛速度，缩短量子材料超导性计算的时间。
另一方面，本发明通过选择单位矩阵或海森矩阵作为映射空间度量函数，降低了计算复杂度，进一步提高了量子材料超导性计算的效率。
附图说明
图1为本发明实施例提供的4×4正方形网格上的fPEPS结构。
具体实施方式
以下结合附图和具体实施例，对本发明进行详细说明，在详细说明本发明各实施例的技术方案前，对所涉及的名词和术语进行解释说明，在本说明书中，名称相同或标号相同的部件代表相似或相同的结构，且仅限于示意的目的。
下面结合一个具体的实施例来解释本发明。
1.构建量子材料物理模型
在研究量子材料的超导性时，首要任务是根据待研究对象的独特物理性质和相互作用选择一个适当的模型。不同的模型针对不同的物理机制和相互作用特点而构建，选择适当的模型对于准确捕捉和描述量子材料的超导行为至关重要。本发明研究量子材料的超导性，因此选用强关联多体模型，例如，海森堡（Heisenberg）模型、孔多（Kondo）模型或哈伯德（Hubbard）模型。
2.量子材料的张量网络表示
将量子材料抽象为一个系统，强关联多体模型是一种能够描述该系统的理论框架，在这个框架中，强关联多体模型的基态，即系统的最低能量状态，对应于系统的最小特征值所对应的特征向量。在材料科学中，这个基态在特定的低温条件下与超导性质有关。
对于复杂的强关联多体模型，直接求解基态非常困难，本发明使用张量网络表示强关联多体模型。在张量网络表示中，一个多体量子态可以被分解为一系列张量的乘积。每个张量代表系统中的一个或多个粒子，并包含其自由度的信息。这种表示方法将一个在直接的多体希尔伯特空间中可能会非常复杂的问题，转化为一个在张量网络空间中更易于处理的问题。
本实施例选用fPEPS表示强关联多体模型，fPEPS中每个张量都是多维数组，表示系统中的纠缠关系，不同的张量之间通过索引进行连接，每个张量与相邻的张量进行缩并操作，表示系统中的纠缠关系，各个张量的相互作用形成了一个网络结构。每个张量有两种类型的索引，一种是物理指标，代表量子材料的物理特性，例如量子材料中电子的自旋状态；另一种是纠缠指标，代表量子材料中不同位置的粒子之间的量子纠缠强度，例如电子之间的配对或纠缠。图1示出了4×4正方形网格上的fPEPS，图中张量间相互连接的实线表示张量的自由指标，用于缩并操作；而留有端点开放的线表示张量的物理指标，对应于系统的可观测量，图1中箭头方向表示fPEPS中费米子算符的顺序。
强关联多体模型的基态为：
…/>；
其中，代表张量网格点位置的数量，/>代表第/>个张量网格点位置的物理指标，代表第/>个张量网格点位置物理性质的张量，/>代表量子态。
3.映射空间构建与优化的基态求解方法
fPEPS的模型参数是具体描述系统状态的变量，通过迭代更新这些模型参数，可以求解强关联多体模型的基态。为了方便迭代更新，本发明以fPEPS的模型参数所在空间作为量子材料参数空间/>，并引入一个额外的量子材料映射空间/>，通过映射将量子材料参数空间/>的迭代更新简化为量子材料映射空间/>的迭代更新。
3.1构建量子材料映射空间
量子材料参数空间中的每个点都是一个模型参数向量/>，每个模型参数向量/>对应一组fPEPS的模型参数，所有模型参数向量/>共同定义了fPEPS中的一个潜在量子态。
通过已知的强关联多体模型的表达式确定一个量子材料映射空间/>。求强关联多体模型的表达式以及根据强关联多体模型的表达式构建映射空间为本领域公知常识，本发明不再赘述。
定义量子材料映射空间中的每个点为映射后的模型参数向量/>，从量子材料参数空间/>到量子材料映射空间/>的映射函数为/>，映射过程表示为：
；
强关联多体模型的表达式描述了模型参数向量/>对应的系统能量，找到使得最小的fPEPS的模型参数，即能求解强关联多体模型的基态/>。
3.2定义映射空间度量函数
定义用于计算量子材料映射空间中两点之间的距离的函数为映射空间度量函数，选用单位矩阵（Identity矩阵）或海森矩阵（Hessian矩阵）构建映射空间度量函数，基于单位矩阵构建映射空间度量函数/>为本领域公知常识，本发明不再赘述。基于海森矩阵构建映射空间度量函数/>：
；
其中，分别代表量子材料映射空间/>中两个不同的映射后的模型参数向量的索引，/>代表偏导数，/>代表强关联多体模型在量子材料映射空间/>中的表达式，/>和/>分别代表量子材料映射空间/>的第/>个和第/>个映射后的模型参数向量。
3.3定义参数空间度量函数
定义用于计算量子材料参数空间中的两点之间的距离的函数为参数空间度量函数/>，参数空间度量函数/>描述了模型参数向量/>之间的距离，即模型参数向量的变化大小。
基于微分几何等相关基础知识得出参数空间度量函数为：
；
其中，分别代表量子材料参数空间/>中两个不同的模型参数向量的索引，/>和/>分别代表量子材料参数空间/>的第/>个和第/>个模型参数向量。
3.4求解强关联多体模型的基态
找到能让强关联多体模型的表达式最小的fPEPS态，这个态即强关联多体模型的基态，一个fPEPS态描述了系统在某一特定状态下的所有粒子的量子态。因此，本发明分步迭代找到最合适的fPEPS模型参数，使得对应的强关联多体模型的表达式/>最小。
；
其中，代表第/>步迭代得到的模型参数向量，/>代表学习率，/>代表强关联多体模型的表达式/>关于模型参数向量/>的梯度，/>代表根据参数空间度量函数变换后的下降方向。
通过以上的迭代过程，不断更新迭代fPEPS模型参数，使得强关联多体模型的表达式逐渐减小。当迭代过程收敛，即强关联多体模型的表达式/>达到设定的阈值时，可以认为找到了使强关联多体模型的表达式/>最小的fPEPS态。这个fPEPS态即对应于强关联多体模型的基态。
4.预测量子材料超导性
超导序参量是表征超导相是否存在的重要指标，它通过配对电子的关联函数表现出来，评估这些配对在不同距离上的关联强度，可以分析其衰减行为。如果这些关联函数显示出长程秩序（Long-range order），即在大距离上仍然保持较大的值，那么系统很可能展现出超导性；相反，如果这些关联函数随距离快速衰减至零，系统则不显示超导性。
处于超导态的电子在晶格内移动时会形成特定的配对结构，这种结构可以被称为s波或d波，s波配对和d波配对分别代表了电子配对的不同对称性，s波配对具有球面对称性，而d波配对则具有更复杂的对称性，如有些方向上的对称性被打破。晶格为描述量子材料中电子排列规律的周期性排列的点阵。本发明使用关联函数描述晶格中位置/>和位置/>之间的s波配对和d波配对的关联程度：
；
其中，表示测量，/>代表描述晶格中指定位置的s波或d波的电子配对状态的超导阶数参数，/>和/>分别代表晶格上位置/>和位置/>的坐标，/>代表超导阶数参数的厄米共轭。超导阶数参数的计算方式为本领域公知常识，本发明不再赘述。
关联函数可以揭示电子配对行为如何影响系统的超导性，观察关联函数随着位置和位置/>之间距离/>的变化情况，关联函数/>对/>的衰减遵循幂律关系：
；
其中，代表按比例变化，/>代表关联函数/>对/>幂律衰减的指数。
当与1的差值超过阈值时，该量子材料没有超导性；当/>与1的差值不超过阈值时，该量子材料具有超导性。
以上所述实施方式仅仅是对本发明的优选实施方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明的权利要求书确定的保护范围内。
Claims (8)
1.一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，将量子材料抽象成一个系统，使用强关联多体模型描述该系统；
步骤二，使用fPEPS描述强关联多体模型；步骤二具体包括：
使用fPEPS描述强关联多体模型，fPEPS中每个张量有两种类型的索引，一种是物理指标，代表量子材料的物理特性；另一种是纠缠指标，代表量子材料中不同位置的粒子之间的量子纠缠强度；
强关联多体模型的基态为：
…/>；
其中，代表张量网格点位置的数量，/>代表第/>个张量网格点位置的物理指标，/>代表第/>个张量网格点位置物理性质的张量；
步骤三，定义fPEPS的模型参数所在空间为量子材料参数空间，量子材料参数空间/>中的每个点都是一个模型参数向量/>，每个模型参数向量/>对应一组fPEPS的模型参数，通过强关联多体模型的表达式/>构建量子材料映射空间/>，通过映射函数/>将模型参数向量/>映射到量子材料映射空间/>得到映射后的模型参数向量/>；
步骤四，定义用于计算量子材料映射空间中两点之间的距离的函数为映射空间度量函数/>，/>分别代表量子材料映射空间/>中两个不同的映射后的模型参数向量的索引；
步骤五，基于映射空间度量函数定义用于计算量子材料参数空间/>中的两点之间的距离的函数为参数空间度量函数/>，/>分别代表量子材料参数空间/>中两个不同的模型参数向量的索引；
步骤六，基于参数空间度量函数分步迭代模型参数向量/>直到强关联多体模型的表达式/>达到阈值，求解出强关联多体模型的基态/>，/>代表量子态；
步骤七，基于强关联多体模型的基态定义关联函数/>描述晶格中位置/>和位置/>之间的s波配对和d波配对的关联程度；
步骤八，判断关联函数对位置/>和位置/>之间距离/>的幂律衰减的指数与1的差值是否超过阈值，若是，则该量子材料没有超导性；若否，则该量子材料具有超导性。
2.根据权利要求1所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤四具体指基于单位矩阵定义映射空间度量函数。
3.根据权利要求1所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤四具体指基于海森矩阵定义映射空间度量函数：
；
其中，代表偏导数，/>代表强关联多体模型在量子材料映射空间/>中的表达式，/>和分别代表量子材料映射空间/>中第/>个和第/>个映射后的模型参数向量。
4.根据权利要求3所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤五具体指，定义参数空间度量函数为：
；
其中，和/>分别代表量子材料参数空间/>中第/>个和第/>个模型参数向量。
5.根据权利要求1所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤六中所述分步迭代模型参数向量，其中第/>步迭代得到的模型参数向量/>为：
；
其中，代表第/>步迭代得到的模型参数向量，/>代表学习率，/>代表强关联多体模型的表达式/>关于模型参数向量/>的梯度，/>代表根据参数空间度量函数/>变换后的下降方向。
6.根据权利要求1所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤七具体包括定义关联函数描述晶格中位置/>和位置/>之间的s波配对和d波配对的关联程度：
；
其中，表示测量，/>代表描述晶格中指定位置的s波或d波的电子配对状态的超导阶数参数，/>和/>分别代表晶格上位置/>和位置/>的坐标，/>代表超导阶数参数/>的厄米共轭。
7.根据权利要求1所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤八具体包括计算关联函数对位置/>和位置/>之间距离/>的衰减遵循幂律关系：
；
其中，代表按比例变化，/>代表关联函数/>对位置/>和位置/>之间距离/>幂律衰减的指数；
当与1的差值超过阈值时，量子材料没有超导性；当/>与1的差值不超过阈值时，量子材料具有超导性。
8.根据权利要求1所述一种量子材料超导性判断方法，其特征在于，步骤一中强关联多体模型具体指海森堡模型、孔多模型或哈伯德模型中的一种。
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