CN117556692A - 面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的moea/d方法 - Google Patents

面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的moea/d方法 Download PDF

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CN117556692A CN202311482594.XA CN202311482594A CN117556692A CN 117556692 A CN117556692 A CN 117556692A CN 202311482594 A CN202311482594 A CN 202311482594A CN 117556692 A CN117556692 A CN 117556692A
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Abstract

本发明公开了一种面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法，包括：(1)确定设计空间、优化目标与优化约束，种群与关键迭代参数初始化，给出收敛条件；(2)构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制；(3)根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略；(4)构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数；(5)设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体；(6)设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制，判断是否达到收敛条件，若收敛则输出优化解集，否则转至步骤(2)，直至达到收敛条件。本发明能够提高寻优精度与效率，降低时间成本，针对多目标昂贵约束优化问题适用性较强。

Description

面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法
技术领域
本发明涉及计算机技术领域，更具体地，涉及一种面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法。
背景技术
实际工程优化问题通常涉及多种不同性能指标的计算昂贵的仿真模拟，比如在复合结构设计优化中往往需要进行的多种复杂的物理场仿真，这些复杂的物理场仿真往往被转换为设计优化问题中的多个复杂目标与复杂约束，并且每次仿真模拟需要消耗几分钟至几小时的计算耗时，这将使得常规智能优化算法无法有效处理这类涉及多种复杂耗时仿真的多目标昂贵约束优化问题。为此，如何有效求解这些问题仍然是工程优化领域所面临的关键技术难题。
近年来，代理模型辅助的MOEA/D算法由于可以在优化过程中有效平衡可行性、多样性与收敛性来提供优异的搜索性能，在实际工程应用中应用广泛。具体而言，通过均匀分布的权重向量将原始多目标约束优化问题转化为单目标约束优化问题，以权重向量的均匀分布特性保障了最终优化结果的多样性，以单目标优化问题的协同进化有效地平衡了可行性与收敛性，在代理模型的辅助下在极大程度上减少了真实耗时仿真的调用次数，确保在可接受的设计周期内获得满意的可行优化解。
然而，现有的代理模型辅助的MOEA/D算法在求解工程优化领域中含多个昂贵目标与约束时的优化问题时未充分重视针对不同子问题分配不同的优化策略，使得实时优化策略与子问题优化状态不匹配，导致优化效率急剧下降。导致现有算法针对多目标昂贵约束优化问题的优化效率较低、优化精度较差。
综上，现有代理模型辅助的MOEA/D算法针对多目标昂贵约束优化问题存在优化效率较低、优化精度较差的技术问题。进一步地，在算法整个优化过程中，不同子问题在相同优化阶段的优化状态不一致，相同子问题在不同优化阶段的优化状态也不一致。为此，发展可适应算法子问题实时优化状态的代理模型辅助的MOEA/D方法是提高算法针对当前工程优化中涉及多个昂贵目标与昂贵约束的复杂优化问题优化效率与精度的重要方向。
发明内容
针对现有技术的以上局限性或改进技术需求，本发明提出了一种面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法，其基于现有工程优化问题涉及耗时昂贵仿真与多个复杂昂贵目标与约束的特点，研究及设计了一种高效高精度的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法。所述方法在优化过程中有效地衡量了各子问题的实时优化状态，并根据优化状态特性设计了恰当地搜索策略，为算法的实时优化过程提供准确的引导，有效地平衡了优化过程中的可行性、多样性与收敛性，并适用于求解工程优化领域中的多目标昂贵约束优化问题。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法，该方法包括以下步骤：
(1)根据待优化实际工程问题确定该优化问题的设计空间、优化目标与优化约束评估函数，基于单纯形法在目标空间对应的规范化的超平面内确定用于多目标分解的权重向量集合，根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，在设计空间上下界内进行拉丁超立方采样以获得初始种群样本点，并通过优化目标与优化约束函数进行评估，形成初始种群，根据实际工程设计周期与优化精度要求设计收敛条件，初始化算法迭代过程中的关键迭代参数；
(2)考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，确定与子问题相联系的当前种群个体，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态；
(3)根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略，为算法的实时优化状态提供精准有效的搜索引导；
(4)在与子问题优化状态相适应的各个搜索策略中构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力；
(5)为了平衡优化中针对目标与约束的搜索效率，设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体；
(6)设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，并更新关键迭代参数信息，判断算法是否达到收敛条件，若收敛则输出算法所得优化解，否则转至步骤(2)，直至算法达到收敛条件。
进一步地，所述的根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，具体包括如下步骤：
(11)计算所有配对权重向量之间的欧式距离，具体表达式如下；
Distij＝||λi-λj||2
式中，Distij表示设计空间第i个权重向量与第j个权重向量之间的欧式距离；λi与λj分别是第i个权重向量与第j个权重向量；
(12)根据距离矩阵Dist选择距离每个权重向量Nnei个最邻近的邻域向量形成邻域集合τ＝{τ1,...,τN}，如λi对应的邻域向量集合为τi。
进一步地，所述的在设计空间上下界内进行拉丁超立方采样以获得初始种群样本点，具体步骤如下：
(13)将设计空间每一个维度都均匀划分为N个区间，其中，N为初始种群大小；
(14)针对每个维度，随机选取一个区间，根据均匀分布在所选取的区间中产生一个均匀分布随机数；
(15)将所有维度的随机数合并形成一个向量，该向量即为当前种群个体；
(16)循环步骤(12)-(13)共N-1次，直到获得N个种群个体。
进一步地，所述的考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态，具体步骤如下：
(21)根据现有已评估样本的最大与最小目标值对现有种群所有个体的目标向量进行归一化，具体公式如下：
式中，i＝1,...,m且m为目标个数；和/>分别是当前的理想点与天底点；DB为当前所有已评估样本点集合；
(22)在归一化的目标空间中根据最小化种群个体目标向量与权重向量之间的垂直距离来确定该权重向量对应的目标子空间，具体公式如下：
式中，表示/>与λi之间的垂直距离；/>是归一化的目标向量；权重向量λi对应的目标子空间为Δi；N表示当前种群大小；/>表示m维目标空间；m为目标个数；
(23)将种群个体与距离它对应的归一化后的目标向量垂直距离最小的权重向量相联系，具体公式如下：
式中，种群个体x与第i个权重向量以及子问题相联系；
(24)如果Δi中无任何个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S1’；
(25)如果Δi中只有不可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S2’；
(26)如果Δi中包含可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S3’。
进一步地，所述的根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略，具体步骤如下：
(31)当子问题优化状态为‘S1’时，通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索；
(32)当子问题优化状态为‘S2’时，通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域；
(33)当子问题优化状态为‘S3’时，通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体。
进一步地，所述的通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索，具体步骤如下：
(41)通过向当前目标子空间的上部和下部的非空子空间搜索来获得最靠近当前目标子空间的非支配解集CS，并将其作为后续变异产生子代的基向量选择库；
(42)根据改进的约束支配准则，从当前个体所处邻域范围τi内获得精英解集ES；
(43)若精英解集ES不为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从精英解集中随机选择一个高潜力个体xpbest，从当前种群中随机选择两个不同的个体xr1与xr2，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xpbest-xcur)+F2·(xr1-xr2)
式中，F1与F2均为差分进化算法缩放因子；vj为针对当前种群个体所产生的第j个候选变异个体；
(44)若精英解集ES为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从当前种群中随机选择三个不同的个体xr1，xr2与xr3，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xr1-xcur)+F2·(xr2-xr3)
(45)通过二项交叉操作根据vj和xcur产生候选子代个体yj；
(46)采用所有已评估样本点分别针对目标与所有约束构建径向基函数代理模型；
(47)根据目标与约束函数的径向基函数代理模型预测值，通过基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数计算每个候选子代个体的目标函数适应度值；
(48)在改进的约束支配准则下筛选针对当前个体的真正高潜力子代个体。
进一步地，所述的通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域，具体步骤如下：
(49)为了限制局部搜索的重点关注区域，根据以下准则设立优化约束：个体的预测目标向量与当前权重向量邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值应小于等于与当前权重向量非邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值，对应的优化约束表达式如下所示：
式中，τi+γi＝λ；λ为所有权重向量集合；AC(x)为在可行性驱动的局部搜索中的优化约束；
(491)为了加快定位当前子问题对应的可行域，将个体的综合约束违反值所谓优化目标，具体表达式如下所示：
式中，δ是考虑实际工程计算精度下可允许的等式约束误差，一般取1e-4；AF(x)为所有约束函数的RBF预测值之和；与/>分别是径向基函数代理模型在x处针对第i个不等式约束和第j个等式约束的预测值；q与p分别是当前所求解问题的不等式约束与等式约束的数目；
(492)采用经典差分进化算法求解分别以AF(x)和AC(x)为优化目标与优化约束的局部优化问题，加速定位当前子问题所对应的可行域。
进一步地，所述的通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体，具体步骤如下：
(493)以针对当前个体构建的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数为优化目标，记为AO(x|λ)；
(494)考虑约束径向基函数代理模型预测误差引发的预测可行域不准确情况来构建局部优化问题，具体表达式如下：
min AO(x|λ)
式中，ε为考虑RBF预测误差的误差因子；Ω为设计空间；
(495)采用经典差分进化算法求解(494)中所述的局部优化问题，在确定可行性约束的前提下加快针对当前子问题的收敛速度。
进一步地，所述的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力，具体表达式如下：
式中，fj(x)为第j个目标函数在x处的目标值；为理想点在第j个目标空间维度上的目标值；gi(x|λi)为聚合适应度函数在x处对应于第i个权重向量的适应度值。
进一步地，所述的设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体，具体而言，若满足以下三种情况中任一种，则可认为x1约束支配x2；若无法满足任何情况，则x1和x2为非支配关系；
(51)若x1为可行个体，x2为不可行个体；
(52)x1和x2均为不可行个体，但x1具有更小的综合约束违反值；
(53)x1和x2均为可行个体，在当前权重向量上x1的多目标聚合适应度函数值小于x2，则x1支配x2。
进一步地，所述的设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，具体步骤如下：
(61)计算所获子代个体与所有权重向量的欧氏距离；
(62)根据改进的约束支配准则对比与子代个体具有最小欧式距离的权重向量所联系子问题中父代个体的总体潜力；
(63)若子代个体的总体潜力优于父代个体，则替换当前种群的父代个体；
(64)若子代个体的总体潜力差于父代个体，则保持当前种群的父代个体不变。
总结而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法主要具有以下有益效果：
1.基于密度估计法实时监测算法优化过程中各子问题的优化状态，有效地衡量了子问题的实际优化轨迹，为后续设计自适应的搜索策略提供了引导。
2.根据子问题的三种实时优化状态，分别提出了收敛性驱动的局部搜索策略、多样性驱动的全局搜索策略以及可行性驱动的局部搜索策略，有效地平衡了算法针对多目标昂贵约束优化问题优化结果的可行性、多样性与收敛性，为不同的子问题状态提供了最有效的搜索引导，提高了算法的寻优效率。
4.采用基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力，准确地衡量了个体对应于当前子问题的质量，并提高了算法针对非凸型帕累托前沿多目标优化问题的适应性。
5.本发明可以针对多目标昂贵约束优化问题进行准确的预测与搜索，提高了优化解的精度，可广泛用于昂贵问题的设计优化，有利于推广应用。
附图说明
图1为本发明提供的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D算法的流程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互结合。
请参阅图1，本发明提供的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法，其适用于工程优化问题。具体地，所述方法主要包括以下步骤：
步骤一，根据待优化实际工程问题确定该优化问题的设计空间、优化目标与优化约束评估函数，基于单纯形法在目标空间对应的规范化的超平面内确定用于多目标分解的权重向量集合，根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，在设计空间上下界内进行拉丁超立方采样以获得初始种群样本点，并通过优化目标与优化约束函数进行评估，形成初始种群，根据实际工程设计周期与优化精度要求设计收敛条件，初始化算法迭代过程中的关键迭代参数。
所述的根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，具体包括如下步骤：
(11)计算所有配对权重向量之间的欧式距离，具体表达式如下；
Distij＝||λi-λj||2
式中，Distij表示设计空间第i个权重向量与第j个权重向量之间的欧式距离；λi与λj分别是第i个权重向量与第j个权重向量。
(12)根据距离矩阵Dist选择距离每个权重向量Nnei个最邻近的邻域向量形成邻域集合τ＝{τ1,...,τN}，如λi对应的邻域向量集合为τi。
所述初始种群采用拉丁超立方采样获得，具体步骤如下：
(13)将设计空间每一个维度都均匀划分为N个区间，其中，N为初始种群大小；
(14)针对每个维度，随机选取一个区间，根据均匀分布在所选取的区间中产生一个均匀分布随机数；
(15)将所有维度的随机数合并形成一个向量，该向量即为当前种群个体；
(16)循环步骤(12)-(13)共N-1次，直到获得N个种群个体。
步骤二，考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，确定与子问题相联系的当前种群个体，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态。
所述的考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态，具体步骤如下：
(21)根据现有已评估样本的最大与最小目标值对现有种群所有个体的目标向量进行归一化，具体公式如下：
式中，i＝1,...,m且m为目标个数；和/>分别是当前的理想点与天底点；DB为当前所有已评估样本点集合。
(22)在归一化的目标空间中根据最小化种群个体目标向量与权重向量之间的垂直距离来确定该权重向量对应的目标子空间，具体公式如下：
式中，表示/>与λi之间的垂直距离；/>是归一化的目标向量；权重向量λi对应的目标子空间为Δi；N表示当前种群大小；/>表示m维目标空间；m为目标个数。
(23)将种群个体与距离它对应的归一化后的目标向量垂直距离最小的权重向量相联系，具体公式如下：
式中，种群个体x与第i个权重向量以及子问题相联系。
(24)如果Δi中无任何个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S1’；
(25)如果Δi中只有不可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S2’；
(26)如果Δi中包含可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S3’。
步骤三，根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略，为算法的实时优化状态提供精准有效的搜索引导，具体步骤如下：
(31)当子问题优化状态为‘S1’时，通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索；
(32)当子问题优化状态为‘S2’时，通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域；
(33)当子问题优化状态为‘S3’时，通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体。
所述的通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索，具体步骤如下：
(41)通过向当前目标子空间的上部和下部的非空子空间搜索来获得最靠近当前目标子空间的非支配解集CS，并将其作为后续变异产生子代的基向量选择库；
(42)根据改进的约束支配准则，从当前个体所处邻域范围τi内获得精英解集ES；
(43)若精英解集ES不为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从精英解集中随机选择一个高潜力个体xpbest，从当前种群中随机选择两个不同的个体xr1与xr2，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xpbest-xcur)+F2·(xr1-xr2)
式中，F1与F2均为差分进化算法缩放因子；vj为针对当前种群个体所产生的第j个候选变异个体。
(44)若精英解集ES为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从当前种群中随机选择三个不同的个体xr1，xr2与xr3，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xr1-xcur)+F2·(xr2-xr3)
(45)通过二项交叉操作根据vj和xcur产生候选子代个体yj；
(46)采用所有已评估样本点分别针对目标与所有约束构建径向基函数代理模型；
(47)根据目标与约束函数的径向基函数代理模型预测值，通过基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数计算每个候选子代个体的目标函数适应度值；
(48)在改进的约束支配准则下筛选针对当前个体的真正高潜力子代个体。
所述的通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域，具体步骤如下：
(49)为了限制局部搜索的重点关注区域，根据以下准则设立优化约束：个体的预测目标向量与当前权重向量邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值应小于等于与当前权重向量非邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值，对应的优化约束表达式如下所示：
式中，τi+γi＝λ；λ为所有权重向量集合；AC(x)为在可行性驱动的局部搜索中的优化约束。
(491)为了加快定位当前子问题对应的可行域，将个体的综合约束违反值所谓优化目标，具体表达式如下所示：
式中，δ是考虑实际工程计算精度下可允许的等式约束误差，一般取1e-4；AF(x)为所有约束函数的RBF预测值之和；与/>分别是径向基函数代理模型在x处针对第i个不等式约束和第j个等式约束的预测值；q与p分别是当前所求解问题的不等式约束与等式约束的数目。
(492)采用经典差分进化算法求解分别以AF(x)和AC(x)为优化目标与优化约束的局部优化问题，加速定位当前子问题所对应的可行域。
所述的通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体，具体步骤如下：
(493)以针对当前个体构建的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数为优化目标，记为AO(x|λ)；
(494)考虑约束径向基函数代理模型预测误差引发的预测可行域不准确情况来构建局部优化问题，具体表达式如下：
min AO(x|λ)
式中，ε为考虑RBF预测误差的误差因子；Ω为设计空间。
(495)采用经典差分进化算法求解(494)中所述的局部优化问题，在确定可行性约束的前提下加快针对当前子问题的收敛速度。
步骤四，在与子问题优化状态相适应的各个搜索策略中构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力。
所述的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力，具体表达式如下：
式中，fj(x)为第j个目标函数在x处的目标值；为理想点在第j个目标空间维度上的目标值；gi(x|λi)为聚合适应度函数在x处对应于第i个权重向量的适应度值。
步骤五，为了平衡优化中针对目标与约束的搜索效率，设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体。
所述的设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体。具体而言，若满足以下三种情况中任一种，则可认为x1约束支配x2；若无法满足任何情况，则x1和x2为非支配关系。
(51)若x1为可行个体，x2为不可行个体；
(52)x1和x2均为不可行个体，但x1具有更小的综合约束违反值；
(53)x1和x2均为可行个体，在当前权重向量上x1的多目标聚合适应度函数值小于x2，则x1支配x2。
步骤六，设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，并更新关键迭代参数信息，判断算法是否达到收敛条件，若收敛则输出算法所得优化解，否则转至步骤(2)，直至算法达到收敛条件。
所述的设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，具体步骤如下：
(61)计算所获子代个体与所有权重向量的欧氏距离；
(62)根据改进的约束支配准则对比与子代个体具有最小欧式距离的权重向量所联系子问题中父代个体的总体潜力；
(63)若子代个体的总体潜力优于父代个体，则替换当前种群的父代个体；
(64)若子代个体的总体潜力差于父代个体，则保持当前种群的父代个体不变。
实施例
本实施例以多目标昂贵约束优化经典测试函数MW3来对本实施例提供的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法进行说明。该实施例中MW3的优化问题表达式如下所示：
s.t.c1(x)＝1.05-f1-f2+0.45sin(0.75πl)6≥0
c2(x)＝0.85-f1-f2+0.3sin(0.75πl)2≤0
式中，xi为第i个设计变量；n为设计变量个数；f1(x)与f2(x)分别为两个优化目标；c1(x)与c2(x)分别为两个优化约束。
请参阅图1，本实施例提供的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D算法(简称为SA-MOEA/D)主要包括以下步骤：
步骤一，根据测试问题MW3确定该优化问题的设计空间、优化目标与优化约束评估函数，基于单纯形法在目标空间对应的规范化的超平面内确定用于多目标分解的权重向量集合，根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，在设计空间上下界内进行拉丁超立方采样以获得初始种群样本点，并通过优化目标与优化约束函数进行评估，形成初始种群，根据实际工程设计周期与优化精度要求设计收敛条件，初始化算法迭代过程中的关键迭代参数。
所述的根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，具体包括如下步骤：
(11)计算所有配对权重向量之间的欧式距离，具体表达式如下；
Distij＝||λi-λj||2
式中，Distij表示设计空间第i个权重向量与第j个权重向量之间的欧式距离；λi与λj分别是第i个权重向量与第j个权重向量。
(12)根据距离矩阵Dist选择距离每个权重向量Nnei个最邻近的邻域向量形成邻域集合τ＝{τ1,...,τN}，如λi对应的邻域向量集合为τi。
所述初始种群采用拉丁超立方采样获得，具体步骤如下：
(13)将设计空间每一个维度都均匀划分为N个区间，其中，N为初始种群大小；
(14)针对每个维度，随机选取一个区间，根据均匀分布在所选取的区间中产生一个均匀分布随机数；
(15)将所有维度的随机数合并形成一个向量，该向量即为当前种群个体；
(16)循环步骤(12)-(13)共N-1次，直到获得N个种群个体。
步骤二，考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，确定与子问题相联系的当前种群个体，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态。
所述的考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态，具体步骤如下：
(21)根据现有已评估样本的最大与最小目标值对现有种群所有个体的目标向量进行归一化，具体公式如下：
式中，i＝1,...,m且m为目标个数；和/>分别是当前的理想点与天底点；DB为当前所有已评估样本点集合。
(22)在归一化的目标空间中根据最小化种群个体目标向量与权重向量之间的垂直距离来确定该权重向量对应的目标子空间，具体公式如下：
式中，表示/>与λi之间的垂直距离；/>是归一化的目标向量；权重向量λi对应的目标子空间为Δi；N表示当前种群大小；/>表示m维目标空间；m为目标个数。
(23)将种群个体与距离它对应的归一化后的目标向量垂直距离最小的权重向量相联系，具体公式如下：
式中，种群个体x与第i个权重向量以及子问题相联系。
(24)如果Δi中无任何个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S1’；
(25)如果Δi中只有不可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S2’；
(26)如果Δi中包含可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S3’。
步骤三，根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略，为算法的实时优化状态提供精准有效的搜索引导，具体步骤如下：
(31)当子问题优化状态为‘S1’时，通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索；
(32)当子问题优化状态为‘S2’时，通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域；
(33)当子问题优化状态为‘S3’时，通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体。
所述的通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索，具体步骤如下：
(41)通过向当前目标子空间的上部和下部的非空子空间搜索来获得最靠近当前目标子空间的非支配解集CS，并将其作为后续变异产生子代的基向量选择库；
(42)根据改进的约束支配准则，从当前个体所处邻域范围τi内获得精英解集ES；
(43)若精英解集ES不为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从精英解集中随机选择一个高潜力个体xpbest，从当前种群中随机选择两个不同的个体xr1与xr2，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xpbest-xcur)+F2·(xr1-xr2)
式中，F1与F2均为差分进化算法缩放因子；vj为针对当前种群个体所产生的第j个候选变异个体。
(44)若精英解集ES为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从当前种群中随机选择三个不同的个体xr1，xr2与xr3，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xr1-xcur)+F2·(xr2-xr3)
(45)通过二项交叉操作根据vj和xcur产生候选子代个体yj；
(46)采用所有已评估样本点分别针对目标与所有约束构建径向基函数代理模型；
(47)根据目标与约束函数的径向基函数代理模型预测值，通过基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数计算每个候选子代个体的目标函数适应度值；
(48)在改进的约束支配准则下筛选针对当前个体的真正高潜力子代个体。
所述的通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域，具体步骤如下：
(49)为了限制局部搜索的重点关注区域，根据以下准则设立优化约束：个体的预测目标向量与当前权重向量邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值应小于等于与当前权重向量非邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值，对应的优化约束表达式如下所示：
式中，τi+γi＝λ；λ为所有权重向量集合；AC(x)为在可行性驱动的局部搜索中的优化约束。
(491)为了加快定位当前子问题对应的可行域，将个体的综合约束违反值作为优化目标，具体表达式如下所示：
式中，δ是考虑实际工程计算精度下可允许的等式约束误差，一般取1e-4；AF(x)为所有约束函数的RBF预测值之和；与/>分别是径向基函数代理模型在x处针对第i个不等式约束和第j个等式约束的预测值；q与p分别是当前所求解问题的不等式约束与等式约束的数目。
(492)采用经典差分进化算法求解分别以AF(x)和AC(x)为优化目标与优化约束的局部优化问题，加速定位当前子问题所对应的可行域。
所述的通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体，具体步骤如下：
(493)以针对当前个体构建的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数为优化目标，记为AO(x|λ)；
(494)考虑约束径向基函数代理模型预测误差引发的预测可行域不准确情况来构建局部优化问题，具体表达式如下：
min AO(x|λ)
式中，ε为考虑RBF预测误差的误差因子；Ω为设计空间。
(495)采用经典差分进化算法求解(494)中所述的局部优化问题，在确定可行性约束的前提下加快针对当前子问题的收敛速度。
步骤四，在与子问题优化状态相适应的各个搜索策略中构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力。
所述的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力，具体表达式如下：
式中，fj(x)为第j个目标函数在x处的目标值；为理想点在第j个目标空间维度上的目标值；gi(x|λi)为聚合适应度函数在x处对应于第i个权重向量的适应度值。
步骤五，为了平衡优化中针对目标与约束的搜索效率，设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体。
所述的设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体。具体而言，若满足以下三种情况中任一种，则可认为x1约束支配x2；若无法满足任何情况，则x1和x2为非支配关系。
(51)若x1为可行个体，x2为不可行个体；
(52)x1和x2均为不可行个体，但x1具有更小的综合约束违反值；
(53)x1和x2均为可行个体，在当前权重向量上x1的多目标聚合适应度函数值小于x2，则x1支配x2。
步骤六，设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，并更新关键迭代参数信息，判断算法是否达到收敛条件，若收敛则输出算法所得优化解，否则转至步骤(2)，直至算法达到收敛条件。
所述的设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，具体步骤如下：
(61)计算所获子代个体与所有权重向量的欧氏距离；
(62)根据改进的约束支配准则对比与子代个体具有最小欧式距离的权重向量所联系子问题中父代个体的总体潜力；
(63)若子代个体的总体潜力优于父代个体，则替换当前种群的父代个体；
(64)若子代个体的总体潜力差于父代个体，则保持当前种群的父代个体不变。
为了进一步对本实施例进行说明，采用本实施例的方法与SMES-RBF、C-TAEA、C-MOEA/D算法进行对比，设置真实仿真模型最大调用次数为1000，采用HV指标评估各算法的性能，实验结果见表1。根据表1可知，在相同的时间成本限制内，本实施例的方法获得了更大的HV指标值，这体现了本实施例在提高寻优精度上的有效性；同时，本实施例的方法获得了更低的HV标准差，这体现了本实施例在寻优鲁棒性上的有效性。
表1不同算法的优化结果对比
算法 本算法(SA-MOEA/D) SMES-RBF C-TAEA C-MOEA/D
HV均值 5.073E-01 9.935E-02 3.678E-01 3.634E-01
HV标准差 9.42E-03 9.88E-02 4.47E-02 4.81E-02
本发明提供的面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D算法，所述方法有效地衡量了基于分解的多目标优化算法各子问题的实时优化状态，并根据不同优化状态设计了高效的平衡可行性、多样性与收敛性的搜索策略，提高了算法的寻优精度与效率，降低了时间成本，针对多目标昂贵约束优化问题适用性较强。
本领域的技术人员容易理解，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所做的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种面向多目标昂贵约束优化问题的代理模型辅助的MOEA/D方法，其特征在于，所述方法包括：
(1)根据待优化实际工程问题确定该优化问题的设计空间、优化目标与优化约束评估函数，基于单纯形法在目标空间对应的规范化的超平面内确定用于多目标分解的权重向量集合，根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，在设计空间上下界内进行拉丁超立方采样以获得初始种群样本点，并通过优化目标与优化约束函数进行评估，形成初始种群，根据实际工程设计周期与优化精度要求设计收敛条件，初始化算法迭代过程中的关键迭代参数；
(2)考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，确定与子问题相联系的当前种群个体，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态；
(3)根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略，为算法的实时优化状态提供精准有效的搜索引导；
(4)在与子问题优化状态相适应的各个搜索策略中构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力；
(5)为了平衡优化中针对目标与约束的搜索效率，设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体；
(6)设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，并更新关键迭代参数信息，判断算法是否达到收敛条件，若收敛则输出算法所得优化解，否则转至步骤(2)，直至算法达到收敛条件。
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(1)中所述的根据权重向量之间距离矩阵值确定各权重向量对应子问题的邻域子问题权重向量集合，具体包括如下步骤：
(11)计算所有配对权重向量之间的欧式距离，具体表达式如下；
Distij＝||λi-λj||2
式中，Distij表示设计空间第i个权重向量与第j个权重向量之间的欧式距离；λi与λj分别是第i个权重向量与第j个权重向量；
(12)根据距离矩阵Dist选择距离每个权重向量Nnei个最邻近的邻域向量形成邻域集合τ＝{τ1,...,τN}，如λi对应的邻域向量集合为τi。
3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(2)中所述的考虑当前种群在目标空间的分布特征来构建基于密度估计法的子问题优化状态识别机制，并通过当前种群个体的优化状态确定与其相联系的子问题优化状态，具体步骤如下：
(21)根据现有已评估样本的最大与最小目标值对现有种群所有个体的目标向量进行归一化，具体公式如下：
式中，i＝1,...,m且m为目标个数；和/>分别是当前的理想点与天底点；DB为当前所有已评估样本点集合；
(22)在归一化的目标空间中根据最小化种群个体目标向量与权重向量之间的垂直距离来确定该权重向量对应的目标子空间，具体公式如下：
式中，表示/>与λi之间的垂直距离；/>是归一化的目标向量；权重向量λi对应的目标子空间为Δi；N表示当前种群大小；/>表示m维目标空间；m为目标个数；
(23)将种群个体与距离它对应的归一化后的目标向量垂直距离最小的权重向量相联系，具体公式如下：
式中，种群个体x与第i个权重向量以及子问题相联系；
(24)如果Δi中无任何个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S1’；
(25)如果Δi中只有不可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S2’；
(26)如果Δi中包含可行个体，则将第i个子问题的优化状态标记为‘S3’。
4.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(3)中所述的根据子问题优化状态设计相适应的搜索策略，具体步骤如下：
(31)当子问题优化状态为‘S1’时，通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索；
(32)当子问题优化状态为‘S2’时，通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域；
(33)当子问题优化状态为‘S3’时，通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体。
5.如权利要求4所述的方法，其特征在于，步骤(31)中所述的通过应用多样性驱动的全局搜索来重视当前子问题优化所处目标子空间的全局探索，具体步骤如下：
(41)通过向当前目标子空间的上部和下部的非空子空间搜索来获得最靠近当前目标子空间的非支配解集CS，并将其作为后续变异产生子代的基向量选择库；
(42)根据改进的约束支配准则，从当前个体所处邻域范围τi内获得精英解集ES；
(43)若精英解集ES不为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从精英解集中随机选择一个高潜力个体xpbest，从当前种群中随机选择两个不同的个体xr1与xr2，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xpbest-xcur)+F2·(xr1-xr2)
式中，F1与F2均为差分进化算法缩放因子；vj为针对当前种群个体所产生的第j个候选变异个体；
(44)若精英解集ES为空集，从非支配解集CS中选择一个当前精英个体xcur，从当前种群中随机选择三个不同的个体xr1，xr2与xr3，通过下述变异操作产生候选变异个体：
vj＝xcur+F1·(xr1-xcur)+F2·(xr2-xr3)
(45)通过二项交叉操作根据vj和xcur产生候选子代个体yj；
(46)采用所有已评估样本点分别针对目标与所有约束构建径向基函数代理模型；
(47)根据目标与约束函数的径向基函数代理模型预测值，通过基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数计算每个候选子代个体的目标函数适应度值；
(48)在改进的约束支配准则下筛选针对当前个体的真正高潜力子代个体。
6.如权利要求4所述的方法，其特征在于，步骤(32)中所述的通过应用可行性驱动的局部搜索来引导当前子问题优化所处目标子空间的不可行个体进入可行域，具体步骤如下：
(49)为了限制局部搜索的重点关注区域，根据以下准则设立优化约束：个体的预测目标向量与当前权重向量邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值应小于等于与当前权重向量非邻域内的所有权重向量的垂直距离最小值，对应的优化约束表达式如下所示：
式中，τi+γi＝λ；λ为所有权重向量集合；AC(x)为在可行性驱动的局部搜索中的优化约束；
(491)为了加快定位当前子问题对应的可行域，将个体的综合约束违反值所谓优化目标，具体表达式如下所示：
式中，δ是考虑实际工程计算精度下可允许的等式约束误差，一般取1e-4；AF(x)为所有约束函数的RBF预测值之和；与/>分别是径向基函数代理模型在x处针对第i个不等式约束和第j个等式约束的预测值；q与p分别是当前所求解问题的不等式约束与等式约束的数目；
(492)采用经典差分进化算法求解分别以AF(x)和AC(x)为优化目标与优化约束的局部优化问题，加速定位当前子问题所对应的可行域。
7.如权利要求4所述的方法，其特征在于，步骤(33)中所述的通过应用收敛性驱动的局部搜索来进一步优化当前子问题优化所处目标子空间的可行个体，具体步骤如下：
(493)以针对当前个体构建的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数为优化目标，记为AO(x|λ)；
(494)考虑约束径向基函数代理模型预测误差引发的预测可行域不准确情况来构建局部优化问题，具体表达式如下：
min AO(x|λ)
式中，ε为考虑RBF预测误差的误差因子；Ω为设计空间；
(495)采用经典差分进化算法求解(494)中所述的局部优化问题，在确定可行性约束的前提下加快针对当前子问题的收敛速度。
8.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(4)中所述的构建基于切比雪夫分解的多目标聚合适应度函数来评估个体在目标空间的总体潜力，具体表达式如下：
式中，fj(x)为第j个目标函数在x处的目标值；为理想点在第j个目标空间维度上的目标值；gi(x|λi)为聚合适应度函数在x处对应于第i个权重向量的适应度值。
9.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(5)中所述的设计改进的约束支配准则筛选高潜力候选子代个体，具体而言，若满足以下三种情况中任一种，则可认为x1约束支配x2；若无法满足任何情况，则x1和x2为非支配关系；
(51)若x1为可行个体，x2为不可行个体；
(52)x1和x2均为不可行个体，但x1具有更小的综合约束违反值；
(53)x1和x2均为可行个体，在当前权重向量上x1的多目标聚合适应度函数值小于x2，则x1支配x2。
10.如权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(6)中所述的设计基于目标空间垂直距离相近的种群更新机制来更新种群，具体步骤如下：
(61)计算所获子代个体与所有权重向量的欧氏距离；
(62)根据改进的约束支配准则对比与子代个体具有最小欧式距离的权重向量所联系子问题中父代个体的总体潜力；
(63)若子代个体的总体潜力优于父代个体，则替换当前种群的父代个体；
(64)若子代个体的总体潜力差于父代个体，则保持当前种群的父代个体不变。
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Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN116306769A (zh) * 2023-02-02 2023-06-23 山东师范大学 一种含对抗生成网络的贝叶斯优化方法及系统
CN116579371A (zh) * 2023-05-18 2023-08-11 南京信息工程大学 一种双层优化异构代理模型辅助多目标进化优化计算方法

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Title
ZAN YANG等: ""Surrogate-assisted MOEA/D for expensive constrained multi-objective optimization"", 《INFORMATION SCIENCES》, no. 639, 27 April 2023 (2023-04-27), pages 1 - 18 *

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