CN117393089B - 一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法 - Google Patents
一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，涉及相场模型技术领域，包括以下步骤：通过贝塞尔函数和经典密度泛函模型构建单模贝塞尔晶体相场模型；将不同相的密度分布函数分别代入单模贝塞尔晶体相场模型，对不同相自由能最小值时的参量进行求解；通过公切线法根据不同相自由能最小值时的参量构建晶体相图；通过傅里叶谱方法对晶体相场演化方程进行离散化，得到晶体相场迭代方程；根据晶体相图和晶体相场迭代方程对晶体的演化过程进行模拟。本发明基于贝塞尔函数拟合得到了两点相关函数并以此为基础结合经典密度泛函模型，构建了新的单模晶体相场模型，本发明的模型具有更高的精度。
Description
技术领域
本发明涉及材料建模技术领域，特别是涉及一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法。
背景技术
材料建模因所涉及的空间跨度和时间尺度都很大而具有挑战性。例如：在研究多晶金属的变形时，为了精确地描述位错的能量和动力学，需要原子级分辨率。因此，具有原子分辨率的模型如分子动力学（MD）适合于模拟这种过程。然而，MD需要一个足够小的时间步长来解决原子振动，这限制了MD只能模拟非常短的时间尺度。例如，经常使用高应变率，很难与实验进行直接比较。另一方面，介观尺度模型，如相场方法，在扩散时间尺度上被广泛用于研究如晶粒生长等扩散输运现象。然而，相场方法缺乏对原子现象的描述，需要额外的辅助场变量，如描述晶粒取向的场变量和位错的场变量，这限制了模型的预测能力。
目前，有两种方法可以解决这些问题，它们分别是经典密度泛函理论（CDFT）和晶体相场方法（PFC），这两种方法的一个共同特点是通过原子概率密度场和自由能泛函来描述系统，原子概率密度场不仅由均匀场（表示液相）最小化，而且由周期场（表示固体）最小化。周期场表示原子排列，因此它允许对材料进行原子尺度特征的描述。密度场的演化可以用耗散动力学来描述，它绕过了晶格振动的时间尺度，能够在保持原子分辨率的同时考虑扩散的时间尺度。然而，这两种方法的起源是不同的。CDFT是统计力学的一种重新表述，试图通过在原子尺度上包含结构信息的相关函数来预测材料的性能。另一方面，PFC方法的原始形式源自于Swift-Hohenberg模型，旨在提供对材料行为的现象学描述。然而，Elder和同事建立了CDFT和PFC方法之间的联系，可以认为PFC方法是凝固CDFT模型的简化形式，其比CDFT的空间分辨率更低，因此具有更高的计算效率。
原始PFC方法的逼近虽然降低了CDFT的高计算成本，但影响了模型的预测能力，而且不能模拟一些具有复杂结构的晶体。因此，需要提出新的模型，提高计算效率的同时提高PFC方法的精度。
发明内容
本发明提供了一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，解决了原始PFC方法的逼近虽然降低了CDFT的高计算成本，但影响了公式的预测能力，而且不能模拟一些具有复杂结构的晶体的问题。
本发明提供一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，包括以下步骤：
通过贝塞尔函数和经典密度泛函模型构建单模贝塞尔晶体相场模型；
将不同相的密度分布函数分别代入单模贝塞尔晶体相场模型，对不同相自由能最小值时的参量进行求解；
通过公切线法根据不同相自由能最小值时的参量构建晶体相图；
基于非线性动力学Swift-Hohenberg方程对单模贝塞尔晶体相场模型的自由能泛函进行推导，得到晶体相场演化方程；
通过傅里叶谱方法对晶体相场演化方程进行离散化，得到晶体相场迭代方程；
根据晶体相图得到晶体所需要的不同过冷度与初始密度；
在不同过冷度与初始密度的基础上，利用迭代方程对晶体的原子密度场进行计算，得到晶体结构图，对晶体演化进行模拟。
优选的，通过贝塞尔函数拟合得到傅里叶空间中的两点相关函数，包括以下步骤：
通过四阶多项式扩展经典密度泛函模型中理想气体部分和傅里叶空间的相关函数；
对理想气体部分和傅里叶空间的相关函数进行简化；
将circ函数定义为以原点为中心的单位半径和高度的圆阶跃函数；
通过circ函数与简化后的傅里叶空间的相关函数进行结合，得到二维空间下的两点相关函数；
通过贝塞尔函数对二维空间下的两点相关函数进行拟合并进行傅里叶变换，得到傅里叶空间中的两点相关函数；
将傅里叶空间中的两点相关函数代入至经典密度泛函模型，得到自由能泛函；
通过自由能泛函构建单模贝塞尔晶体相场模型。
优选的，所述傅里叶空间中的两点相关函数如下式所示：
式中，是两点相关函数，k是倒空间的波矢，/>是参考密度，R是排斥的大小，r0是排斥项的截断位置，/>是一阶第一类贝塞尔函数。
优选的，所述自由能泛函如下所示：
其中，
式中，F是自由能函数，是密度的无量纲泛函，/>为系统的无量纲过冷度，/>为拉普拉斯算子，/>是方向矢量， f是两点相关函数在实空间下的表达式，n是整数，r0是傅里叶空间中两点相关函数的截断位置。
优选的，将不同相的密度分布函数分别代入单模贝塞尔晶体相场模型，对不同相自由能最小值时的参量进行求解，包括以下步骤：
对自由能泛函的多个平衡相的单模近似解进行计算，得到晶体密度场；
多个平衡相包括液相、三角相以及条纹相；
所述液相为常数；
所述三角相的单模近似解如下所示：
其中，
式中，是三角相的单模近似解，/>是平均原子密度，/>为固相原子密度振幅，/>是三角相的密度波矢，y是纵坐标；
所述条纹相的单模近似解如下所示：
其中，
式中，是条纹相的单模近似解，/>是条纹相的原子密度振幅，/>是条纹相的密度波矢，/>是横坐标。
优选的，所述晶体相场演化方程如下所示：
式中，t为时间变量，为高斯随机噪声项。
优选的，通过傅里叶谱方法对晶体相场演化方程进行离散化，得到晶体相场迭代方程，包括以下步骤：
通过傅里叶变换对晶体相场演化方程进行空间离散化；
通过半隐式傅里叶谱算法对空间离散化后的晶体相场演化方程进行时间离散化，得到晶体相场迭代方程。
优选的，所述晶体相场迭代方程如下所示：
式中，为Fourier空间中n+1时刻的原子密度，/>为Fourier空间中n时刻的原子密度。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明基于贝塞尔函数拟合得到了两点相关函数并以此为基础结合经典密度泛函模型，构建了新的单模晶体相场模型，同时引入周期性密度状态序参量使得自由能最小化来模拟原子尺度和扩散时间尺度的物理现象。将模型的两点相关函数与其它常用晶体相场模型的两点相关函数做比较，根据比较结果可知本发明的模型具有更高的精度。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为不同模型的直相关函数图；
图2为图1的第一个峰的放大示意图；
图3为通过本发明的模型计算得到的二维相图；
图4为本实施例的条纹相的结构图；
图5为本实施例的三角-液共存相的结构图；
图6为本实施例的三角相的结构图；
图7为本实施例的三角-液共存相的结构图；
图8为本实施例的不同模型由参数确定得到的液态结构因子曲线与MD结构因子曲线对比图；
图9为图5的第一个峰的放大示意图；
图10为本实施例的晶界形貌初始图；
图11为本实施例的取向角时的晶界形貌图；
图12为本实施例的取向角时的晶界形貌图；
图13为本实施例的取向角时的晶界形貌图；
图14为本实施例的取向角时的晶界形貌图；
图15为本实施例的取向角时的晶界形貌图；
图16为本实施例的不同取向差对应的位错构型、位错数目与位错间距示意图；
图17为本发明的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法的流程图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
参照图17，本发明提供了一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，包括以下步骤：
第一步：通过贝塞尔函数和经典密度泛函模型构建单模贝塞尔晶体相场模型。
在经典密度泛函（CDFT）中通过四阶多项式扩展理想气体部分和傅里叶空间的相关函数来近似亥姆霍兹自由能F，形式为：
（1）
其中为玻尔兹曼常数，T为温度，/>为参考密度，/>为无量纲密度，为两点相关函数。对于理想气体相（/>），可用泰勒展开简化：
（2）
而对于非局域相（），首先假定一个简单的排斥项为（即假设/>）为一个常数的最简单情形。该项的长度尺度可用设置晶格间距，将circ函数定义为以原点为中心的单位半径和高度的圆阶跃函数：
（3）
由此，可以在二维空间中设置两点相关函数为：
（4）
其中为设置排斥项的截断位置，R=7.558579为设置的排斥的大小。设置此归一化因子是为了确保其与经典密度泛函的曲线尽可能贴合以符合实际情况。令为/>的傅里叶形式。
PFC模型在傅里叶空间中可以方便的进行模拟，将上面的在傅里叶k空间中进行傅里叶变换，可以得到：
（5）
其中，即对应上面CDFT模型中的非局域相，/>为第一类贝塞尔函数，此即为傅里叶空间中的两点相关函数。
将傅里叶空间中的两点相关函数代入至经典密度泛函模型，得到自由能泛函。
无量纲自由能泛函方程下式：
（6）
其中，这里的无量纲泛函与经典密度泛函理论有关；其中F是自由能函数，/>是密度的无量纲泛函，/>为系统的过冷度，高的/>对应更低的温度。
通过自由能泛函构建单模贝塞尔晶体相场模型。贝塞尔函数所得的晶体相场模型的两点相关函数与其它常用晶体相场模型的对比如图1和图2所示。可以看到该贝塞尔模型相比于传统单模晶体相场模型可以保留更多的高频处信息。
第二步：将不同相的密度分布函数分别代入单模贝塞尔晶体相场模型，对不同相自由能最小值时的参量进行求解；
通过自由能泛函对二维空间的多个平衡相的单模近似解进行计算，得到相图。在二维空间下，F由构造的自由能泛函具有三种平衡相，分别为液相、三角相以及条纹相，三者均为周期函数。其中液相为常数，这三个平衡相解的结构采用单模近似，即晶体密度场展开式仅由一组倒易矢量构成。
在二维体系中，三角相的单模近似解为：
（7）
式中，是平均原子密度，/>为固相原子密度振幅，/>是波矢。
将式（7）代入式（6）自由能泛函方程进行积分运算，并分别对和/>求偏导，通过令偏导等于零计算得出式（7）中/>和/>的值如式（8）与式（9）：
（8）
（9）
而对于条纹相，密度泛函的无量纲局部密度的单模近似解为：
（10）
式中，为平均原子密度，/>为条纹相原子密度振幅，/>为波矢；
将（10）式代入（6）自由能泛函中进行积分运算，并分别对和/>求偏导，通过令偏导等于零计算得出式（11）与（12）：
（11）
（12）
由此结合液相为常数。
第三步：通过公切线法根据不同相自由能最小值时的参量构建晶体相图。
本发明可以通过公切线法获得该模型下的如图3所示的二维物质的相图，其与传统的单模晶体相场模型类似，但由于拟合项的关系，其在细化数值上有细微差异。
第四步：基于非线性动力学Swift-Hohenberg方程对自由能泛函进行推导，得到晶体相场演化方程。
基于由非线性动力学Swift-Hohenberg方程提出的能量函数，在单模晶体相场模型中，自由能函数的要求是它选定的参数范围内能够在基态中产生至少一个周期性的晶格结构，采用具有周期对称性原子密度场函数代替传统相场方法中的序参量。
由于单模晶体相场模型中的是一个守恒序参量，体系演化服从守恒场的Cahn-Hillard动力学方程，经过无量纲后动力学方程式即晶体相场演化方程，如下式：
（13）
式中，t为时间变量，为高斯随机噪声项，满足两点相关性；
即高斯随机噪声项满足式（14）的要求：
（14）
式中为Kronecker函数，/>为拉普拉斯算子，/>和/>为空间的分量，t和/>为时间的分量，D通过式（15）计算得到：
（15）
式中，和u为给定的代数式系数，/>为玻尔兹曼常数，T为系统温度，/>为与平衡晶格间距成反比的常数，d为系统的维数。
第五步：通过傅里叶谱方法对晶体相场演化方程进行离散化，得到晶体相场迭代方程。
采用半隐式傅里叶谱方法对所构建的晶体相场演化方程进行空间及时间离散，得到t+1时刻的原子密度场演化形式即晶体相场迭代方程。
采用半隐式傅里叶谱算法求解动力学方程（13）中的拉普拉斯算子，并通过傅里叶变换使空间离散化，空间离散化后的动力学方程如式（16）：
（16）
采用半隐式傅里叶谱算法对式（16）进行时间离散化，时间离散化后的动力学方程如式（17）：
（17）
式中，为Fourier空间中n+1时刻的原子密度，/>为Fourier空间中的n时刻的原子密度；k为Fourier空间波矢，且满足/>。
对（17）式进行整理，得到n+1时刻的原子密度场演化形式如式（18）：
（18）
第六步：根据晶体相图得到晶体所需要的不同过冷度与初始密度，在不同过冷度与初始密度的基础上，利用迭代方程对晶体的原子密度场进行计算，得到晶体结构图，对晶体演化进行模拟。具体包括以下步骤：
S1:根据相图初步判断所模拟的晶体需要的过冷度与初始密度值等参量。
S2:设置所需要满足的初始条件，所述初始条件包括区域大小、初始密度分布、系统过冷度、初始密度、时间步长以及需要输出的数据。
S3:利用迭代方程模拟给定初始条件下晶体的演化过程。
S4:对模拟得到的相关数据进行处理。
实施例1
本实施例给出了利用该模型模拟不同过冷度下随机噪声场中晶体结构的形成，可用于检验本申请中的模型在枝晶生长领域的准确性。计算区域设置为256×256的均匀网格，网格宽度设置为，时间步长/>，使其满足周期性边界条件。初始条件选取随机条件，噪声取/>，即初始密度场在空间各处的值取/>间的随机数，在相图中选取不同相的点作为初始条件，在稳定后获得形貌演化图，选取比较有代表性的图像截出如图4-图7所示。可以看到，噪声场在经过一段时间的演化后会自发的形成稳定的晶体结构，其形貌由初始的过冷度/>与平均密度/>所决定，且基本与模型计算所得到的相图相吻合。图4中/>对应相图的条纹相，其生长过程中首先在无序场中析出微小的晶粒，之后这些晶粒彼此融合形成较小的条纹相组织，之后这些较小的条纹相组织相互竞争相互融合最终形成了稳定的条纹相结构，这是一种在较小平均密度下才会出现的亚稳态结构。图5为初始条件/>下系统稳定时的形貌结构，此时其表现为条纹-三角的共存结构，其先在液相中生长出细小的晶粒，之后部分晶粒融合成条纹相又发生解体，在宏观下表现为条纹相在三角相中进行移动和融合，系统中不断重复此过程最终稳定状态下形成了条纹和三角相的共存结构。在保持初始过冷度/>不变的情况下进一步增大初始密度/>，条纹相将会解体整个系统转变为纯三角相。图6 />即为稳定时为三角相时的一种情况。在其生长过程中产生的条纹相发生解体，而所形成的不同晶向的晶粒在边界处不断发生位错的迁移和湮灭，最终形成了具有清晰晶界的纯三角相结构。进一步增大初始密度/>，将会开始出现三角-液相共存结构，即图7所示，此为，系统演化到稳定时所获得的形貌图像，此时系统中三角相发射的密度波辐射到一定程度就会解体无法在液相中进一步传播并形成液相。但是此时其并不能稳定形成这种状态，在某些情况下，其会形成具有清晰边界的三角-液共存结构，但是此状态无法稳定保持，三角相将会迅速生长直至整个系统变为三角相。其与相图上计算得到的三角-液共存相的范围大致对应。再进一步增大初始密度/>，在相图上其将对应液相，但是此时模型将出现明显的失真，这是由于单模晶体相场模型稳定性的局限性所决定的。
实施例2
图8和图9为利用分子动力学模拟得到1807K下Fe的液体结构因子，并通过相关参数得到了PFC模型的相关参数，如表1所示，并依据，，计算了该模型得到的液态结构因子曲线，并将其与分子动力学、Elder四阶模型和Wu模型做了对比。其中右图为左图在第一个峰值处的放大，可以看到，相比于传统的单模晶体相场模型，其可以保留更多的高频处的信息，从而提高了晶体相场计算的准确性。
表1 从MD模拟中获得的PFC模拟的输入参数以及使用该PFC模型计算的参数
在接下来的实施例中，给出了利用该模型模拟小角度晶界的形成过程，可用于检验该模型可用于研究位错的形成和演化过程。所设置的模拟参数如表2所列，空间步长为，时间步长/>，边界条件采取周期性边界条件。计算时，模拟区域大小为，初始区域分为三个部分， (/>)。 (/>)。
其中与/>属于上下两侧晶粒，取向角为/>，属于中间晶粒，取向角为/>；/>表示两晶粒之间设置的液相区域宽度为/>，通过液-固转变，经过40000时间步长弛豫过程得到稳定对称倾侧小角度晶界。
表2 模拟设定的参数
通过表2中的参数来模拟单晶凝固并得到稳定晶界构型的过程，如图10-图15所示。设置中间晶粒与两侧晶粒的取向差分别为。其中图10为初始区域图，图11为取向角/>时的晶界形貌图，图12为取向角/>时的晶界形貌图，图13为取向角/>时的晶界形貌图，图14为取向角/>时的晶界形貌图，图15为取向角/>时的晶界形貌图。其中/>都是经历了晶界逐步接触-晶界弛豫后形成稳定的对称倾侧小角度晶界，其小角度晶界均是由一排独立的位错组成，并且相邻位错的多余半原子面的方向相反，即伯氏矢量b相反的刃型位错，这与位错模型的小角度晶界描述相同。
对于不同的取向差弛豫后其稳定的晶界位错构型，如图16所示。图16中不同颜色的点代表两侧晶界位错在模拟区域内的位置，蓝色与粉色的折线分别表示位错数量和位错间距的变化。图中可以看到位错在晶界处呈直线排布，两侧位错均相较于中间对称。随着取向差的增大，位错数量增加，位错间距减小。
接下来定量研究位错的间距，根据小角度对称晶界的位错模型，位错间距与取向差的关系可用下式表示
（19）
其中b为伯氏矢量的绝对值，可以看到位错间距d与的乘积应该为常数/>，将本节记录得到的平均位错间距/>、/>以及乘积/>记录于同一张表中如下表3所示。
表3 计算得到的位错间距
除去时偏差较大，其他三个取值都比较接近，考虑到记录位错坐标时本身就有的误差，可以认为本发明所得到的结果符合小角度晶界模型。
本发明基于贝塞尔函数拟合得到了两点相关函数并以此为基础结合传统相场方法构建得到了新的单模晶体相场模型，引入周期性密度状态序参量使得自由能最小化来模拟原子尺度和扩散时间尺度的物理现象。将所得的模型的两点相关函数与其他常用晶体相场模型的两点相关函数做比较，说明其比起传统单模晶体相场模型具有更高的精度。
使用本发明得到的单模晶体相场模型对Fe的结构因子进行定量计算并与其他晶体相场法以及经典密度泛函理论所得的结构因子曲线进行比较，可以看到其相比于其他单模晶体相场模型，其保留了更多的多峰信息。从而可以更加精确的对bcc晶体的演化进行定量模拟。
本发明将推导得到的晶体相场模型使用公切线法进行处理，通过求解化学势平衡方程得到了该模型下的相图，并结合得到的相图对不同过冷度下以及不同初始密度下的固液混合系统的不同相的晶粒间的竞争生长进行研究，得到bcc结构的不同相的晶粒生长的演化规律。
本发明采用单模晶体相场模型对不同取向角下的小角度晶界进行了研究，其中晶体相场法采用周期对称性原子密度场函数代替传统相场法中的序参量，可描述原子尺度和扩散时间尺度的物理现象，适用于位错形成过程的描述，其目的在于研究贝塞尔模型下位错的间距并与小角度位错理论的结果比较，验证模型的正确性。
尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。
Claims (8)
1.一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：
通过贝塞尔函数和经典密度泛函模型构建单模贝塞尔晶体相场模型；
将不同相的密度分布函数分别代入单模贝塞尔晶体相场模型，对不同相自由能最小值时的参量进行求解；
通过公切线法根据不同相自由能最小值时的参量构建晶体相图；
基于非线性动力学Swift-Hohenberg方程对单模贝塞尔晶体相场模型的自由能泛函进行推导，得到晶体相场演化方程；
通过傅里叶谱方法对晶体相场演化方程进行离散化，得到晶体相场迭代方程；
根据晶体相图得到晶体所需要的不同过冷度与初始密度；
在不同过冷度与初始密度的基础上，利用迭代方程对晶体的原子密度场进行计算，得到晶体结构图，对晶体演化进行模拟。
2.如权利要求1所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，通过贝塞尔函数拟合得到傅里叶空间中的两点相关函数，包括以下步骤：
通过四阶多项式扩展经典密度泛函模型中理想气体部分和傅里叶空间的相关函数；
对理想气体部分和傅里叶空间的相关函数进行简化；
将circ函数定义为以原点为中心的单位半径和高度的圆阶跃函数；
通过circ函数与简化后的傅里叶空间的相关函数进行结合，得到二维空间下的两点相关函数；
通过贝塞尔函数对二维空间下的两点相关函数进行拟合并进行傅里叶变换，得到傅里叶空间中的两点相关函数；
将傅里叶空间中的两点相关函数代入至经典密度泛函模型，得到自由能泛函；
通过自由能泛函构建单模贝塞尔晶体相场模型。
3.如权利要求2所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，所述傅里叶空间中的两点相关函数如下式所示：
式中，是两点相关函数，k是倒空间的波矢，/>是参考密度，R是排斥的大小，r0是排斥项的截断位置，/>是一阶第一类贝塞尔函数。
4.如权利要求3所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，所述自由能泛函如下所示：
其中，
式中，F是自由能函数，是密度的无量纲泛函，/>为系统的无量纲过冷度，/>为拉普拉斯算子，/>是方向矢量， f是两点相关函数在实空间下的表达式，n是整数，r0是傅里叶空间中两点相关函数的截断位置。
5.如权利要求4所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，将不同相的密度分布函数分别代入单模贝塞尔晶体相场模型，对不同相自由能最小值时的参量进行求解，包括以下步骤：
对自由能泛函的多个平衡相的单模近似解进行计算，得到晶体密度场；
多个平衡相包括液相、三角相以及条纹相；
所述液相为常数；
所述三角相的单模近似解如下所示：
其中，
式中，是三角相的单模近似解，/>是平均原子密度，/>为固相原子密度振幅，/>是三角相的密度波矢，y是纵坐标；
所述条纹相的单模近似解如下所示：
其中，
式中，是条纹相的单模近似解，/>是条纹相的原子密度振幅，/>是条纹相的密度波矢，/>是横坐标。
6.如权利要求5所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，所述晶体相场演化方程如下所示：
式中，t为时间变量，为高斯随机噪声项。
7.如权利要求6所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，通过傅里叶谱方法对晶体相场演化方程进行离散化，得到晶体相场迭代方程，包括以下步骤：
通过傅里叶变换对晶体相场演化方程进行空间离散化；
通过半隐式傅里叶谱算法对空间离散化后的晶体相场演化方程进行时间离散化，得到晶体相场迭代方程。
8.如权利要求7所述的一种基于单模贝塞尔晶体相场模型的晶体演化模拟方法，其特征在于，所述晶体相场迭代方程如下所示：
式中，为Fourier空间中n+1时刻的原子密度，/>为Fourier空间中n时刻的原子密度。
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