CN117313905A - 一种基于改进算术优化算法的溯源算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进算术优化算法的溯源算法，该方法包括以下步骤：初始化阶段：设定算术优化算法种群数N、最大迭代次数Z_max和维度，更新初代个体位置；计算每个个体的适应度值，找出最优个体位置，并将个体按适应度值从小到大排序；计算MOA和MOP，并根据MOA选择个体的更新策略；更新个体位置，并计算适应度值；判断是否满足条件，如果满足输出最优个体及其适应度值，否则继续。本发明提出了一种基于个体位置自适应更新的数学优化器加速函数，提升了算法收敛速度；然后引入了二次插值策略，提高了算法的收敛精度，最后通过标准测试函数和溯源案例验证了QIAOA算法的有效性和优越性。

Description

一种基于改进算术优化算法的溯源算法

技术领域

本发明涉及污染溯源分析的技术领域，尤其涉及一种基于改进算术优化算法的溯源算法。

背景技术

溯源问题是反问题的一种，比较常见的包括气体污染源方位求解，地下水污染溯源分析，地表水污染溯源分析等。目前在气体污染源溯源领域，国内外一些学者已经做了不少研究，如基于简化分区模型识别污染源方法、求解污染源传播QR方程、基于贝叶斯概率推理模型等。对于水污染溯源，国内外学者提出了很多方法求解，常用的有优化模型求解法和贝叶斯概率统计法。确立目标函数后，优化算法可以在短时间内求得最优解，复杂程度不高，这也是在求解溯源问题中优化模型法比较常用的原因之一，在优化模型求解方法中，刘洁等利用一维河流水质模型建立水污染反演方法，并通过改进的遗传算法实现了问题的求解；王新龙等将粒子群算法与知识图谱相结合，在溯源同时确定了偷排企业；李欣欣等建立了时空溯源模型并通过改进人工鱼群算法得出模型解；Zhang等建立了智能污染源识别模型，通过遗传算法实现了单点源和多点源的求解。但是这些方法基本都是建立在单一优化模型的基础上求解的，存在收敛速度慢，局部解误差大以及算法稳定性差的问题，所以有些学者提出了混合优化模型来提升算法性能，如赵志刚等提出了人工鱼群与粒子群混合算法，提升了算法搜索精度与收敛速度。

贝叶斯概率统计方法可以利用先验信息将不确定性问题的解以概率分布的形式展现出来，使解更直观的呈现在人们面前，在水污染溯源问题上，Tang等提出了一种基于贝叶斯方法的水污染评估模型，实现了水污染风险预测；Sherri等利用贝叶斯方法求得后验分布，在将蒙特卡洛抽样方法与差分进化算法结合从分布中求得参数项；陶宇夏等基于贝叶斯理论后验概率密度函数作为目标函数建立模型，并通过自适应差分进化算法求解模型得到了污染源参数，除此之外，徐从裕等基于贝叶斯概率模型实现了气体污染源方位辨识，而贝叶斯方法充分利用先验信息的同时带来的弊端是算法整体复杂性的提升，在某些应急场景下显得过于繁琐。

常见的启发式算法有蚁群算法、遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。这些算法也称群智能算法，大多具有结构简单、参数少、实现容易等特点，并且已经广泛应用于函数优化、多目标优化、求解整数约束和混合整数约束优化、神经网络训练、信号处理、溯源问题求解。

以遗传算法求解水污染溯源问题为例说明，水污染溯源问题即为再河流发生水污染事件后，通过河流中污染物浓度变化数据反求污染源的位置、发生时间、污染源强度三项参数，求解的一般步骤为：先选定需要研究的河段，收集相关水文数据和污染物监测数据，通过水中污染物扩散模型公式建立溯源优化模型的目标函数；然后设定遗传算法的各类参数：种群数，最大迭代次数等；最后通过遗传算法求解溯源模型，得到污染源参数。

遗传算法求解优化问题时，虽然搜索速度较快但是这也导致了算法的搜索精度不够高，遗传算法的局部搜索能力相对较差，存在解陷入局部最优不能跳出的风险。

发明内容

针对现有技术中的不足，本发明提出一种基于改进算术优化算法的溯源算法，对标准算术优化算法(AOA)存在的缺陷进行了改进，首先提出了一种基于个体位置自适应更新的数学优化器加速函数，提升了算法收敛速度；然后引入了二次插值策略，提高了算法的收敛精度，最后通过标准测试函数和溯源案例验证了QIAOA算法的有效性和优越性。

为了解决上述技术问题，本发明通过以下技术方案来实现：

本发明提供的基于改进算术优化算法的溯源算法，包括以下步骤：

S1、初始化阶段：设定算术优化算法种群数N、最大迭代次数Z_max和维度，更新初代个体位置；

S2、计算每个个体的适应度值，找出最优个体位置，并将个体按适应度值从小到大排序；

S3、计算MOA和MOP，并根据MOA选择个体的更新策略；

S4、根据步骤S3中得出的结果，更新个体位置，并计算适应度值；

S5、计算二次插值极值点，并根据适应度值大小选择接受或者不接受；

S6、判断是否满足条件，如果满足输出最优个体及其适应度值，否则继续执行步骤S2～步骤S5。

进一步的，所述步骤S3中，MOA的表达式为：

式中表示第z次迭代种群中的最优个体，x_i表示第z次迭代种群中的第i个体，x_n表示第z次迭代种群中的最劣个体，D_i(z)表示第z次迭代种群中当前个体与最优个体间的距离，D_max(z)表示第z次迭代种群中最劣个体与最优个体间的距离。

进一步的，所述步骤S1中，初始种群位置为：

其中n表示最大种群数，d表示对应优化问题的维度，式中lb_j表示个体的数值下限，ub_j表示个体的数值上限，rand是[0,1]内均匀分布的随机数，i∈[1,n]，j∈[1,d]。

由上，本发明的基于改进算术优化算法的溯源算法具有如下优点：

(1)本发明首次提出自适应更新与二次插值改进的算术优化算法，并将其应用于求解水污染溯源问题，为了改进算术优化算法收敛速度慢的问题，提出了一种基于个体位置自适应更新的数学优化器加速函数，使种群个体根据自身位置选择最优的更新策略，从而提升了算法收敛速度；

(2)为了改进算术优化算法求解精度低的问题，引入了二次插值方法，对个体的邻域进一步搜索，既增加了迭代后期的种群多样性，又提升了算法的搜索精度。并以水污染溯源问题为例，通过本发明所提出的算法成功实现了溯源问题的求解。

(3)所提出的自适应更新与二次插值改进的算术优化算法(QIAOA)是基于启发式搜索算法改进的，启发式搜索算法是上述提到的优化算法的一种，就是在状态空间中的搜索对每一个搜索位置进行评估，得到最好的位置，在从这个位置进行搜索直至找到目标，这样可以省略大量无谓的搜索路径，提高效率。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其他目的、特征和优点能够更明显易懂，以下结合优选实施例，并配合附图，详细说明如下。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例的附图作简单地介绍。

图1为初始个体位置图；

图2为自适应更新的MOA图；

图3为极小值点与最小值点位置图；

图4为本发明的基于改进算术优化算法的溯源算法的流程图。

具体实施方式

下面结合附图详细说明本发明的具体实施方式，其作为本说明书的一部分，通过实施例来说明本发明的原理，本发明的其他方面、特征及其优点通过该详细说明将会变得一目了然。在所参照的附图中，不同的图中相同或相似的部件使用相同的附图标号来表示。

如图1至图4所示，本发明的基于改进算术优化算法的溯源算法的步骤如下：

步骤1:初始化阶段：设定算术优化算法种群数N、最大迭代次数Z_max和维度，按式(1)(2)更新初代个体位置；

步骤2:计算每个个体的适应度值，找出最优个体位置，并将个体按适应度值从小到大排序；

步骤3:根据式(7)-(9)计算MOA，根据式(5)计算MOP，并根据MOA选择个体的更新策略；

步骤4:根据步骤3中得出的结果，选择按式(4)或(6)更新个体位置，并计算适应度值；

步骤5:根据式(14)计算二次插值极值点并根据适应度值大小选择接受或者不接受；

步骤6：判断是否满足条件，如果满足输出最优个体及其适应度值，否则继续执行步骤2～步骤5。

算术优化算法是一种基于种群的元启发式算法，首先定义其初始种群位置为：

其中n表示最大种群数，d表示对应优化问题的维度，式中lb_j表示个体的数值下限，ub_j表示个体的数值上限，rand是[0,1]内均匀分布的随机数，i∈[1,n]，j∈[1,d]。

算术优化算法乘法和除法算子搜索定义为勘探阶段，加法和减法搜索阶段定义为开发阶段，而算法进入勘探阶段或是开发阶段是通过数学优化器加速函数(MathOptimizer Accelerated,MOA)判定的，所以AOA算法的搜索效率很大程度上和数学优化器加速函数相关。MOA的更新公式表示为：

式中z表示当前迭代次数，Z_max表示最大迭代次数，Max和Min分别表示MOA的最大值和最小值，Max＝1，Min＝0.2，MOA随迭代次数线性增大，值域为[0.2,1]。生成一个随机数r₁，当r₁＜MOA时，进入勘探阶段，否则进入开发阶段。

当进入勘探阶段时，种群个体按照下式更新位置：

式中r₂表示一个[0，1]内的随机数，r₂＜0.5时，个体使用除法算子更新位置，r₂＞0.5时，个体使用乘法算子更新位置。表示在第z次迭代种群中的最优个体，ξ为一个不等于0的极小值，ub和lb分别表示个体的上限与下限，μ是调整搜索过程的控制参数，取值为0.499，MOP是数学优化器概率，计算公式如下：

其中，α＝5，是一个敏感系数，定义了迭代精度。

当进入开发阶段时，种群个体按照下式更新位置：

式中r₃表示一个[0,1]内的随机数，r₃＜0.5时，个体使用减法算子更新位置，r₃＞0.5时，个体使用加法算子更新位置。其他参数同式(4)。

(2)改进的算术优化算法

1)数学优化器加速函数的改进策略：AOA算法通过式(2)在搜索空间中生成随机的初始个体位置，这些初始个体位置可能距离最优解很远，也可能距离最优解很近(如图1所示)，原AOA算法的没有利用这一点而是给所有个体选择了相同的更新策略，这就可能造成使较优个体远离最优解、较差个体小范围变动难以收敛的问题，从而降低算法整体的收敛速度。为了充分利用个体的位置差异信息，提出了一种基于个体位置自适应更新的MOA，表达式为：

式中表示第z次迭代种群中的最优个体，x_i表示第z次迭代种群中的第i个体，x_n表示第z次迭代种群中的最劣个体，D_i(z)表示第z次迭代种群中当前个体与最优个体间的距离，D_max(z)表示第z次迭代种群中最劣个体与最优个体间的距离，在搜索空间可表示如图2。改进后的MOA在数值上根据个体位置的优劣自适应更新：个体距离最优值越远MOA越大，使个体更容易进入勘探阶段进行全局搜索；个体距离最优值越近MOA越小，使个体更容易进入开发阶段进行局部搜索。这样根据个体位置的优劣自适应的选择最佳更新策略，从而极大限度提升算法的收敛速度。

2)基于二次插值的改进策略：二次插值即二阶拉格朗日插值，是一种通过三个点构造插值多项式不断逼近目标函数曲线，并通过求其极值来近似目标函数的最优化方法。二次插值方法可以有效的提升算法的局部搜索精度同时也能增加种群的多样性，其原理如下：

对于二阶函数F(x)＝ax²+bx+c，在其某个取值区间[l₁,l₂]上的极值点为X^*,区间中取三个点x₁,x₂,x₃(可以包含区间端点)，建立插值多项式如(10)所示：

通过式(10)可求得近似的a₀与b₀：

而二次插值函数的极值点为x^*＝-b₀/2a，所以通过式(11)和(12)可求得极值点x^*为：

二次插值函数求得的极值点x^*与F(x)的最小值点X^*在坐标系中如图3所示。

将二次插值方法应用到AOA算法中，首先将所有个体按适应度值按从小到大排序，记为x(z)＝{x₁(z),x₂(z),...x_i(z),...x_N(z)}，其适应度值为F＝{f(x₁),f(x₂),...f(x_i),...f(x_N)}，依次取{x_i(z),x_i+1(z),x_i+2(z)}进行二次插值计算，得到的解记为表示为：

式中，i＝n-1时，取{x_n-1(z),x_n(z),x₁(z)}，i＝n时，取{x_n(z),x₁(z),x₂(z)}依次取值为1,2,...,n。

本发明提出了自适应更新与二次插值改进的算术优化算法算法，并基于2006-2007年在美国加利福尼亚州的特拉基河上的染料示踪实验数据，实现了溯源问题的求解并与未改进的算术优化算法和其他三种最新的改进算术优化算法进行了对比，实验数据如表1所示：

表1示踪实验反演结果

从表中的数据可以得出，AOA算法和DAOA算法的溯源结果精度最差，QIAOA算法的精度最高，其质量、位置、时间的求解误差分别为0.10％，1.09％，1.40％，相对于AOA算法分别提升了7.51％，27.53％，57.50％。

此外，本发明还使用了8个标准测试函数，对QIAOA算法、AOA算法、RUN算法、GWO算法、t-CAOA算法、DAOA算法的性能进行了对比测试，测试函数表达式如下：

表2测试函数

函数F₁～F₄是单峰函数，即在自变量的取值区间内只有一个严格局部极值(峰)，F₅～F₈为多维多峰函数，即在自变量的取值区间内多个局部极值(峰)。

为保证实验的公平性与有效性，六种算法选用相同的参数，种群数量N＝30，最大迭代次数Z_max设定为500次，每个算法均独立运行30次，并求出30次运行结果的最优值，均值，标准差作为算法性能评判的指标。六种算法的求解结果如表3所示。

根据表3的数据，QIAOA算法对单峰函数F₁～F₄，多峰函数F₅，F₈都求得了最优解，对其他函数的求解精度均优于或等于5个对比算法，说明再低维函数问题上，QIAOA算法具有很高的精度。除去F₅外，QIAOA算法对其他单峰函数和多峰函数所求解的标准差，是6个算法中最小的，说明QIAOA算法在低维情况下对于单峰函数和多峰函数问题求解都有很好的稳定性。

综合上述分析，QIAOA算法的性能优于未改进的AOA算法、RUN算法、GWO算法另两种改进的AOA算法。

表3 8个标准测试函数迭代结果

以上所述是本发明的优选实施方式而已，当然不能以此来限定本发明之权利范围，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和变动，这些改进和变动也视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于改进算术优化算法的溯源算法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、初始化阶段：设定算术优化算法种群数N、最大迭代次数Z_max和维度，更新初代个体位置；

S2、计算每个个体的适应度值，找出最优个体位置，并将个体按适应度值从小到大排序；

S3、计算MOA和MOP，并根据MOA选择个体的更新策略；

S4、根据步骤S3中得出的结果，更新个体位置，并计算适应度值；

S5、计算二次插值极值点，并根据适应度值大小选择接受或者不接受；

S6、判断是否满足条件，如果满足输出最优个体及其适应度值，否则继续执行步骤S2～步骤S5。

2.如权利要求1所述的基于改进算术优化算法的溯源算法，其特征在于，所述步骤S3中，MOA的表达式为：

式中表示第z次迭代种群中的最优个体，x_i表示第z次迭代种群中的第i个体，x_n表示第z次迭代种群中的最劣个体，D_i(z)表示第z次迭代种群中当前个体与最优个体间的距离，D_max(z)表示第z次迭代种群中最劣个体与最优个体间的距离。

3.如权利要求1所述的基于改进算术优化算法的溯源算法，其特征在于，所述步骤S1中，初始种群位置为：

其中n表示最大种群数，d表示对应优化问题的维度，式中lb_j表示个体的数值下限，ub_j表示个体的数值上限，rand是[0,1]内均匀分布的随机数，i∈[1,n]，j∈[1,d]。