CN116484666A - 一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法 - Google Patents

一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，在时域有限差分法中引入加速度层，利用二阶位移网格计算加速度层，添加指定大小的加速度层并反算位移，通过迭代实现直接控制加速度大小的弹性波数值模拟，使得晶格内的材料始终处于线弹性小变形状态，更加准确地模拟地震波在地震超材料中的传播过程和反射透射特征。本发明在模拟地震波的传播过程时，可以通过最大加速度直接指定加载的地震力大小，确保模拟过程始终处于线弹性小变形状态。同时，由于整个时程是加速度层和位移层之间的相互迭代，可以直接导出波场的加速度数值，而无需进行求导等后处理工作，在节省工作量的同时避免了后处理带来的误差。

Description

一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法
技术领域
本发明属于地震学领域，具体涉及一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法。
背景技术
地震超材料是近年来新型的抗震技术，它由混凝土、钢、橡胶等常规材料周期交替分布形成。通过在地壳中周期重复地布置地震超材料，就能通过其带隙特性将来袭的地震波反射回去，实现指定区域或指定建筑的抗震。在对地震超材料进行设计计算的过程中，利用数值模拟方法研究地震波在地震超材料中的反射透射特性是成功设计地震超材料的关键。
时域有限差分法作为地震波模拟的常用数值方法，能够在线弹性小变形范围内实现地震波在超材料中传播过程的精确模拟。通常，当材料所受地震力不超过一定范围时，可以认为材料处于线弹性小变形状态。由于加速度这一指标能够反应材料所受的地震力大小，在弹性波数值模拟过程中，控制整个计算域内的加速度不超过一定范围，就能确保材料处于线弹性小变形状态。然而，现有的时域有限差分算法仅由一阶交错网格的速度层或二阶固定网格的位移层组成，虽然能够通过对指定位置的速度和位移曲线求导得出加速度，但不能直接控制整个计算域内的加速度，更无法直接指定计算域中加速度(相当于计算域中的最大地震力)。
发明内容
本发明为解决传统时域有限差分算法进行地震波模拟时存在的缺陷，提出一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，对弹性波进行数值模拟时能够以指定大小的加速度进行加载，通过最大加速度直接指定加载的地震力大小，确保模拟过程始终处于线弹性小变形状态。
本发明是采用以下的技术方案实现的：一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，包括以下步骤：
步骤A、建立弹性波动方程：根据弹性波的波动模式和传播方向，将所研究问题划分为一维的纵波、横波模式，二维的平面内波动和出平面波动模式，并构建其对应的方程；
步骤B、网格划分：根据介质波速选定合理的空间步长和时间步长，使用矩形网格对计算域进行网格划分，建立此计算域对应的位移层和加速度层；
步骤C、加速度层调整：根据当前时刻的位移层计算当前时刻的加速度层，并根据震源的下一时刻加速度值赋予震源节点处的加速度值，进而经过调整的下一时刻加速度层；
步骤D、反算位移层：利用步骤C中得到的下一时刻加速度层反算下一时刻计算域所有节点处的位移，所有网格节点处的位移值组成下一时刻的位移层；
步骤E、迭代计算：重复步骤C和步骤D，直至所有时刻完成计算，时程计算结束。
进一步的，所述步骤B中，所划分的网格节点包括两套数值，即该网格节点的位移值和加速度值，利用泰勒展开得到对时间坐标和空间坐标的一阶偏导项、二阶偏导项的中心差分形式，按照中心差分格式将弹性波动方程离散为若干代数方程，选定空间步长△x和时间步长△t，将整个计算域离散为空间网格和时间网格，空间网格由代表计算域位移、计算域加速度的两个多维数组组成，进而建立此计算域对应的位移层、加速度层。
进一步的，所述步骤C具体通过以下方式实现：
步骤C1、由t0时刻位移层计算该时刻下的加速度层：设在时刻t0，计算域内某一点的位移为在本时刻t0下，计算域内某一点的加速度为/>
步骤C2、在加速度层进行加速度加载，完成t0时刻加速度层的调整：当计算域在t0时刻受到外力影响后，整个计算域的加速度分布该值由该点在t0时刻整个域的加速度和t0的受外力影响后的加速度组成，即：
在t0+△t时刻下，计算域内网格节点i，j的加速度值记为计算域内所有网格节点的经过调整的加速度值组成经过调整的t0+△t时刻的加速度层。
进一步的，所述步骤D具体通过以下方式实现：
由t0时刻加速度、t0时刻和t0-△t时刻历史位移共同计算得到t0+△t时刻的位移场：结合步骤C得到的计算域内的加速度层，通过差分反算下一时刻的位移即：
其中，表示t0时刻的加速度层，/>表示t0时刻的位移层，/>表示t0+Δt时刻的位移层，/>表示t0-△t时刻的位移层。
进一步的，所述步骤E中，判断是否完成整个时程的分析计算，若时刻t0+△t为整个时程计算的最后时刻，则分析结束，否则重复步骤C和步骤D再次进行判断。
与现有技术相比，本发明的优点和积极效果在于：
本方案在时域有限差分法中引入加速度层，利用二阶位移网格计算加速度层，添加指定大小的加速度层并反算位移，就能通过迭代实现直接控制加速度大小的弹性波数值模拟，使得晶格内的材料始终处于线弹性小变形状态，更加准确地模拟地震波在地震超材料中的传播过程和反射透射特征；
同时，使用加速度层可以在不对速度曲线求导的前提下得到整个波场任意时刻的加速度大小，避免了后处理带来的计算量增大和计算误差；而且能够通过加速度层控制所加载的地震力大小，也能够直接监控整个计算域内的加速度，直接通加速度层调整地震力的大小；使得在对地震超材料进行模拟时保证材料和构造都处在线弹性范围内，避免由于材料失效导致弹性波数值模拟结果失真；
另外，由于整个时程是加速度层和位移层之间的相互迭代，可以直接导出波场的加速度数值，而无需进行求导等后处理工作，在节省工作量的同时避免了后处理带来的误差。
附图说明
图1是本发明实施例中对计算域内的弹性波进行数值模拟的流程图；
图2是本发明实施例中加速度层与位移层相互换算关系示意图；
图3是本发明实施例中基于matlab实现的带有交互界面的一维无限自由度波动数值模拟程序的交互界面示意图；
图4是本发明实施例中基于matlab的带有交互界面的一维无限自由度波动数值模拟结果示意图；
图5是本发明实施例中基于matlab实现的带有交互界面的二维无限自由度xy模式波动方程数值模拟程序交互界面示意图；
图6是本发明实施例中基于matlab实现的带有交互界面的二维无限自由度xy模式数值模拟结果示意图。
具体实施方式
为了能够更加清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明并不限于下面公开的具体实施例。
本实施例提出一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，在整个时程的迭代过程中引入了加速度层，对诸如地震波等弹性波的数值模拟过程一般借助计算机完成，如图1所示，为利用本发明对弹性波进行数值模拟的整个过程，此算法流程可以通过主流计算机编程语言实现，例如C++、Python或Matlab，包括以下步骤：
步骤A、建立弹性波动方程：根据弹性波的波动模式和传播方向，将所研究问题划分一维纵波、横波模式，二维的平面内波动和出平面波动；
步骤B、划分网格：将弹性波动方程进行离散化，选定空间步长和时间步长，将整个计算域进行网格划分，建立此计算域对应的位移层、加速度层；
步骤C、加速度层调整：根据当前时刻的位移层计算当前时刻的加速度层，并根据震源的下一时刻加速度值赋予震源节点处的加速度值，得到经过调整的“下一时刻加速度层”；
步骤D、反算位移层：利用步骤C中得到的第“下一时刻加速度层”反算下一时刻计算域所有节点处的位移，所有网格节点处的位移值组成“下一时刻的位移层”；
步骤E、迭代计算：重复步骤C和步骤D，直至所有时刻完成计算，时程计算结束；
具体的：
步骤A、建立波动方程：根据模拟的维度和波动模式，建立计算域内的弹性波动方程。在地震超材料设计计算中，通常需要根据问题特征对所研究问题进行降维处理，一维弹性波动方程和二维弹性波动方程是常见的计算对象。如图式(1)至式(4)所示，给出了一维弹性波的两种波动模式对应的方程和二维弹性波的两种波动模式对应的方程：
式中，Cs、Cp是材料的横波波速与纵波波速，ρ和μ、λ分别是材料的密度和Lame系数，U(x,t)和U(x,y,t)是一维弹性波方程中需要求解的位移场和二维弹性波方程中需要求解的位移场。
式(1)-式(4)描述的弹性波方程描述了一维和二维所有可能的波动模式，在对地震波相关问题进行研究时，只需要得到式(1)-式(4)的数值解，就实现了弹性波的数值模拟。本实施例计算过程中存在位移层和加速度层，通过在加速度层加载，并通过加速度层反算位移层是本发明的关键所在，如图2所示，为加速度层和位移层的相互换算关系，t0时刻下，首先(根据式(9))，由t0时刻位移层计算该时刻下的加速度层(U-A换算)，而后在加速度层进行加速度加载，完成t0时刻加速度层的调整(如式(10))。随后(根据式(11))，由t0时刻加速度、t0时刻和t0-△t时刻历史位移共同计算得到t0+△t时刻的位移场(A-U换算)，并按此流程持续重复下去，直至时程末。
步骤B、网格划分：在构建弹性波动方程后，将弹性波动方程进行离散化，选定空间步长和时间步长，对整个计算域进行网格划分，并找到所有的网格结点坐标；
利用加速度层调整的时域有限差分算法的核心是通过泰勒展开将偏微分方程转换为计算域内若干个代数方程，通过数值迭代计算每个时刻t0下所有网格节点处的位移和加速度，所有网格节点处的位移和加速度形成加速度层和位移层，求解全部的位移层和加速度层就能实现弹性波的数值模拟。对于式(1)-式(4)的弹性波动方程中的一阶、二阶偏导项，利用泰勒展开得到对时间坐标和空间坐标的一阶偏导项、二阶偏导项的中心差分形式如式(5)-式(8)所示。
根据介质的弹性波波速选定合理空间步长△x和时间步长△t后，将整个计算域划分为方形网格。计算域的空间网格由代表计算域位移、计算域加速度的两个多维数组组成：在第k个时刻下，位置i，j处的加速度和位移表示为
步骤C、加速度层调整：根据在步骤B中划分的网格，由当前时刻下的位移层计算当前时刻的加速度层，并根据震源的下一时刻加速度值赋予震源节点处的加速度值，得到调整过后的下一时刻加速度层；
在对计算域内的弹性波进行数值模拟时，需要从时程开始的0时刻计算至时程结束。时域有限差分法的中心差分格式是通过当前时刻的位移和历史位移逐点推算下一时刻的计算域位移。在时刻t0，计算域内某一点的加速度为在t0+△t时刻，计算域受到外力激励，整个计算域的加速度记为/>上式中，t0时刻的加速度层/>应由该时刻下的位移层算得，如式(9)所示：
当计算域在t0时刻受到外力影响后，整个计算域的加速度分布它由t0时刻整个域的加速度/>和t0时刻受外力影响后的加速度/>组成，如式(10)所示：
式(10)中即为点i，j在t0+△t时刻的加速度值，计算域内所有网格节点的t0+△t时刻下经过调整的加速度值组成了t0+△t时刻下经过调整的加速度层。经过调整的加速度层可以直接反应地震力的大小。直接导出某一时刻的加速度层就能得到该时刻下计算域内各点的加速度，避免了后期对速度或位移曲线求导带来的后处理计算量和计算误差。在对加速度层进行加载调整时，可以通过加速度大小控制加载的计算力，保证弹性波始终在介质的弹性状态下传播，避免数值模拟结果偏离实际情况。
步骤D、反算位移层：利用步骤C中的“下一时刻位移层”反算下一时刻计算域所有节点处的位移，所有网格节点处的位移值组成“下一时刻的位移层”；
式(10)是t0时刻下指定加速度加载后的加速度层的值，根据式(10)的计算域内的加速度分布，可以通过差分反算下一时刻的位移如式(11)所示。
由于计算域不能无限大，因此总会存在计算边界。中心差分格式的时域有限差分法决定了在进行弹性波数值模拟时，边界必须采取特殊的处理方式。通常情况下，地震波从无穷远处传播过来，并传向其他方向，传播距离也是无穷远的。这种情况可以通过吸收边界实现无限远弹性波向无限远处传播。PML吸收边界和旁轴近似吸收边界是比较常见的两种吸收边界。
步骤E、迭代计算：重复步骤C和步骤D，直至所有时刻完成计算，时程计算结束。
若时刻t0+△t为整个时程计算的最后时刻，则分析结束，否则重复步骤C-步骤D，再次判断。
如图3和图4所示，本发明能够高效解决波动方程，图3是利用Matlab平台基于m语言开发的弹性波求解程序，通过命令行窗口实现了用户与计算程序的交互，可以由用户指定加载的震源和材料、几何参数。在图3所示的matlab程序中，可以通过交互界面以最大加载加速度的形式询问用户指定的地震力大小，并通过加速度层对计算域进行加载。
图4是计算域内的加速度层直接导出的最大加速度分布。显然，本发明所述的使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法能够直接导出计算域内的加速度，而无需进行后处理。同时，通过直接导出计算域内所有点在计算时程内出现过的最大加速度，可以直接监测各材料层所受的地震力大小，确保地震超材料始终处于线弹性小变形状态，保证地震波数值模拟结果的正确性。
如图5和图6，本发明能够求解二维弹性波波动方程，图5是利用Matlab平台基于m语言开发的弹性波求解程序。该程序通过命令行窗口实现了用户与计算程序的交互，由用户指定各种计算参数。图5的命令行交互式程序可以询问用户以最大加速度大小的形式控制计算域内地震力的大小。图6是利用本发明所述的使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法对地震波在层状地震超材料中的传播进行了模拟，模拟的波动模式是xy平面内模式。此图是整个计算域内地震波传播到第2.86s时的加速度分布。可以看到，层超材料将地震波反射回去了，使得地震超材料后产生了一个安全区，安全区内的加速度(即地震力)几乎为0。本程序基于m语言编制，并由命令行窗口实现交互。
以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作其它形式的限制，任何熟悉本专业的技术人员可能利用上述揭示的技术内容加以变更或改型为等同变化的等效实施例应用于其它领域，但是凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范围。

Claims (5)

1.一种使用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤A、建立弹性波动方程：根据弹性波的波动模式和传播方向，将所研究问题划分为一维的纵波、横波模式，二维的平面内波动和出平面波动模式，并构建其对应的方程；
步骤B、网格划分：根据介质波速选定合理的空间步长和时间步长，使用矩形网格对计算域进行网格划分，建立此计算域对应的位移层和加速度层；
步骤C、加速度层调整：根据当前时刻的位移层计算当前时刻的加速度层，并根据震源的下一时刻加速度值赋予震源节点处的加速度值，进而经过调整的下一时刻加速度层；
步骤D、反算位移层：利用步骤C中得到的下一时刻加速度层反算下一时刻计算域所有节点处的位移，所有网格节点处的位移值组成下一时刻的位移层；
步骤E、迭代计算：重复步骤C和步骤D，直至所有时刻完成计算，时程计算结束。
2.根据权利要求1所述的用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，其特征在于，所述步骤B中，所划分的网格节点包括两套数值，即该网格节点的位移值和加速度值，利用泰勒展开得到对时间坐标和空间坐标的一阶偏导项、二阶偏导项的中心差分形式，按照中心差分格式将弹性波动方程离散为若干代数方程，选定空间步长△x和时间步长△t，将整个计算域离散为空间网格和时间网格，空间网格由代表计算域位移、计算域加速度的两个多维数组组成，进而建立此计算域对应的位移层、加速度层。
3.根据权利要求1所述的用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，其特征在于，所述步骤C具体通过以下方式实现：
步骤C1、由t0时刻位移层计算该时刻下的加速度层：设在时刻t0，计算域内某一点的位移为在本时刻t0下，计算域内某一点的加速度为/>
步骤C2、在加速度层进行加速度加载，完成t0时刻加速度层的调整：当计算域在t0时刻受到外力影响后，整个计算域的加速度分布该值由该点在t0时刻整个域的加速度和t0的受外力影响后的加速度组成，即：
在t0+△t时刻下，计算域内网格节点i，j的加速度值记为计算域内所有网格节点的经过调整的加速度值组成经过调整的t0+△t时刻的加速度层。
4.根据权利要求2所述的用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，其特征在于，所述步骤D具体通过以下方式实现：
由t0时刻加速度、t0时刻和t0-△t时刻历史位移共同计算得到t0+△t时刻的位移场：结合步骤C得到的计算域内的加速度层，通过差分反算下一时刻的位移即：
其中，表示t0时刻的加速度层，/>表示t0时刻的位移层，/>表示t0+Δt时刻的位移层，/>表示t0-△t时刻的位移层。
5.根据权利要求3所述的用加速度层调整的弹性波数值模拟方法，其特征在于，所述步骤E中，判断是否完成整个时程的分析计算，若时刻t0+△t为整个时程计算的最后时刻，则分析结束，否则重复步骤C和步骤D再次进行判断。
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