CN116400597B - 一种二阶神经网络的同步控制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于新一代信息技术领域，具体涉及一种二阶神经网络的同步控制方法。该方法具体包括以下几个步骤：步骤S1：构建二阶惯性神经网络的主系统和从系统；步骤S2：设定同步误差，并建立同步误差系统；步骤S3：设计合适的同步控制器；步骤S4：将步骤S3中设计的所述同步控制器作用于所述从系统，使得所述从系统同步于所述主系统。本发明基于变量变换方法，将二阶神经网络转化为一阶神经网络，再结合李雅普诺夫‑克拉索夫斯基泛函和线性矩阵不等式方法，为二阶神经网络的主从同步提供了一种控制方法。

Description

一种二阶神经网络的同步控制方法
技术领域
本发明涉及新一代信息技术领域，尤其涉及一种二阶神经网络的同步控制方法。
背景技术
近年来，人工神经网络因其在无线传感器、信号处理、机器学习等新一代信息技术领域的巨大应用和潜力而成为研究热点。在神经网络的许多应用中，它的动力学行为至关重要。其中，同步作为神经网络动力学行为中研究的热点之一，其在人工智能协同控制、信息安全、联想记忆、模型预测以及安全通信等新一代信息技术领域得到了广泛应用。
目前研究的大多数神经网络数学模型都涉及一阶神经网络，即神经网络的动力学方程为其状态变量一阶导数的微分方程。值得注意的是，Mauro A等人在其研究成果[MauroA,Conti F,Dodge F,et al.Subthreshold behavior and phenomenological impedanceof the squid giant axon[J].The Journal of general physiology,1970,55(4):497-523.]中表明，首次把电感引入到人工神经网络中，构造出了一种二阶神经网络模型；并分析了该二阶神经网络模型的混沌、分岔等动力学行为。因此，在人工神经网络中引入惯性项也具有重要意义。它被视为生成复杂行为的关键工具。
需要指出的是，同步是神经网络一个重要的动力学行为，因为它在伪随机数发生器、模式识别、保密通信等新一代信息技术方面有巨大的应用前景。近年来，同步已成为神经网络动力学行为的研究热点之一，它在人工智能协同控制、信息安全、联想记忆、模型预测以及安全通信等新一代信息技术领域得到了广泛应用。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的是提出一种二阶神经网络的同步控制方法，可以实现二阶神经网络的同步控制。
本发明采用以下方案实现：一种二阶神经网络的同步控制方法，包括以下步骤：
步骤S1：构建二阶惯性神经网络的主系统和从系统，所述二阶惯性神经网络的主系统和从系统的构建方法包括步骤：
步骤S11：建立二阶神经网络动力学方程：
式中，时间t≥0；n表示所述二阶神经网络中神经元的个数；i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；ui(t)表示所述二阶神经网络第i个神经元在t时刻的状态变量；ai和bi为正常数；wij和hij表示所述二阶神经网络的连接权值；fj(uj(t))表示所述二阶神经网络第j个神经元不包含时滞的激活函数，fj(uj(t-τ(t))表示所述二阶神经网络第j个神经元包含时变离散时滞的激活函数，上述各激活函数均满足利普希茨条件且利普希茨常数为lj；τ(t)表示时变离散时滞，且满足0<τ(t)<τ、τ和μ为正常数；Ii表示所述二阶神经网络第i个神经元的外部输入；
步骤S12：构建所述二阶神经网络的主系统：
将步骤S11中二阶神经网络进行变量替换降阶处理，构建主系统为：
式中，u(t)＝[u1(t),…,un(t)]T表示所述主系统的第i个神经元在t时刻的状态向量；v(t)＝[v1(t),…,vn(t)]T，vi(t)＝(dui(t)/dt)+ξiui(t)，ξi为常数；A＝diag{ξ1,…,ξn}；B＝diag{(a1-ξ1),…,(an-ξn)}；C＝diag{[b1+ξ1(ξ1-a1)],…,[bn+ξn(ξn-an)]}；W＝(wij)n×n；H＝(hij)n×n；I＝[I1,…,In]T；f(u(t))＝[f1(u1(t)),…,fn(un(t))]T；f(u(t-τ(t)))＝[f1(u1(t-τ(t)),…,fn(un(t-τ(t))]T；
步骤S13：构建所述二阶神经网络的从系统：
构建步骤S12中所述主系统相对应的从系统为：
式中，x(t)＝[x1(t),…,xn(t)]T表示所述从系统的第i个神经元在t时刻的状态向量；y(t)＝[y1(t),…,yn(t)]T，yi(t)＝(dxi(t)/dt)+ξixi(t)；f(x(t))＝[f1(x1(t)),…,fn(xn(t))]T；f(x(t-τ(t)))＝[f1(x1(t-τ(t)),…,fn(xn(t-τ(t))]T；U1(t)和U2(t)是所述从系统中需要设计的同步控制器；所述从系统的其它参数的定义与所述主系统相同；
步骤S2：根据步骤S1构建的所述主系统与从系统，设定同步误差，并建立同步误差系统，具体步骤为：
步骤S21：根据步骤S1构建的所述主系统和从系统，设定它们的同步误差为：
其中，同步误差e1(t)和e2(t)具体为：
e1(t)＝[e11(t),…,e1n(t)]T＝[x1(t)-u1(t),…,xn(t)-un(t)]T，
e2(t)＝[e21(t),…,e2n(t)]T＝[y1(t)-v1(t),…,yn(t)-vn(t)]T；
步骤S22：根据所述主系统和从系统，以及步骤S21设定的同步误差，建立同步误差系统为：
其中，
步骤S3：根据步骤S2建立的同步误差，设计合适的同步控制器U1(t)和U2(t)；
步骤S4：将步骤S3中设计的所述同步控制器U1(t)和U2(t)作用于所述从系统，使得所述从系统同步于所述主系统。
进一步地，步骤S3具体包括以下步骤：
步骤S31：确定所述同步控制器U1(t)和U2(t)的反馈形式为：
其中，K1和K2为同步控制器增益矩阵；
步骤S32：确定同步控制器增益矩阵K1和K2：
使用MATLAB的LMI工具箱求解下面的线性矩阵不等式：
在线性矩阵不等式中，Ξ＝(Ξ)9×9的元素为： Ξ1,2＝P1-CTP2、Ξ1,4＝R1、Ξ1,5＝LT1、Ξ1,7＝2τR3、Ξ1,8＝2τR3、/>Ξ2,5＝P2W1、Ξ2,6＝P2W2、Ξ3,3＝-Q1-R1、Ξ3,4＝R1、Ξ4,4＝-(1-μ)Q2-2R1、Ξ4,6＝LT2、Ξ5,5＝-2T1+Q3、Ξ6,6＝-2T2-(1-μ)Q3、Ξ7,7＝-R2-2R3、Ξ7,8＝-2R3-R2、Ξ8,8＝-R2-2R3、Ξ9,9＝-2R4、Ξ＝(Ξ)9×9未具体给出的其它元素为0、矩阵中*表示矩阵相应的对称元素；
从而得到使该线性矩阵不等式成立而存在的矩阵P1>0、P2>0、Q1>0、Q2>0、Q3>0、R1>0、R2>0、R3>0、R4>0、G1、G2、对角矩阵T1>0、T2>0，进而得到同步控制器增益矩阵K1和K2分别为：
本发明提供了一种二阶神经网络的同步控制方法，与现有技术相比，本发明的有益效果是：
1、本发明基于变量变换方法，将二阶神经网络转化为一阶神经网络，并设计了一种简洁的反馈同步控制器，从而避免了复杂的控制器，大大减低了同步控制器的复杂度和控制成本。
2、本发明结合李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函的方法分析了一种二阶神经网络的同步控制方法的理论正确性与有效性。其中，构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函包含双积分项和三积分项，它们提供了与时变时滞上界有关的基本信息。
3、本发明在不使用自由加权矩阵的情况下，使用了包括积分项的Jenson不等式(引理1)来导出二阶神经网络的依赖于时变时滞的线性矩阵不等式形式同步判据，大大降低了计算的复杂度。
附图说明
图1为本发明一种二阶神经网络的同步控制方法的流程图；
图2为本发明具体实施例2中，无同步控制器作用下主系统状态u1(t)和从系统状态x1(t)的轨迹对照图；
图3为本发明具体实施例2中，无同步控制器作用下主系统状态u2(t)和从系统状态x2(t)的轨迹对照图；
图4为本发明具体实施例2中，无同步控制器作用下主系统状态v1(t)和从系统状态y1(t)的轨迹对照图；
图5为本发明具体实施例2中，无同步控制器作用下主系统状态v2(t)和从系统状态y2(t)的轨迹对照图；
图6为本发明具体实施例2中，无同步控制器作用下同步误差的轨迹对照图；
图7为本发明具体实施例2中，在同步控制器作用下主系统状态u1(t)和从系统状态x1(t)的轨迹对照图；
图8为本发明具体实施例2中，在同步控制器作用下主系统状态u2(t)和从系统状态x2(t)的轨迹对照图；
图9为本发明具体实施例2中，在同步控制器作用下主系统状态v1(t)和从系统状态y1(t)的轨迹对照图；
图10为本发明具体实施例2中，在同步控制器作用下主系统状态v2(t)和从系统状态y2(t)的轨迹对照图；
图11为本发明具体实施例2中，在同步控制器作用下同步误差的轨迹对照图；
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。
基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例1：
如图1所示，本实施例提供一种二阶神经网络的同步控制方法，包括以下步骤：
步骤S1：构建二阶惯性神经网络的主系统和从系统，所述二阶惯性神经网络的主系统和从系统的构建方法包括步骤：
步骤S11：建立二阶神经网络动力学方程：
式中，时间t≥0；n表示所述二阶神经网络中神经元的个数；i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；ui(t)表示所述二阶神经网络第i个神经元在t时刻的状态变量；ai和bi为正常数；wij和hij表示所述二阶神经网络的连接权值；fj(uj(t))表示所述二阶神经网络第j个神经元不包含时滞的激活函数，fj(yj(t-τ(t))表示所述二阶神经网络第j个神经元包含时变离散时滞的激活函数，上述各激活函数均满足利普希茨条件且利普希茨常数为lj；τ(t)表示时变离散时滞，且满足0<τ(t)<τ、τ和μ为正常数；Ii表示所述二阶神经网络第i个神经元的外部输入；
步骤S12：构建所述二阶神经网络的主系统：
将步骤S11中二阶神经网络进行变量替换降阶处理，构建主系统为：
式中，u(t)＝[u1(t),…,un(t)]T表示所述主系统的第i个神经元在t时刻的状态向量；v(t)＝[v1(t),…,vn(t)]T，vi(t)＝(dui(t)/dt)+ξiui(t)，ξi为常数；A＝diag{ξ1,…,ξn}；B＝diag{(a1-ξ1),…,(an-ξn)}；C＝diag{[b1+ξ1(ξ1-a1)],…,[bn+ξn(ξn-an)]}；W＝(wij)n×n；H＝(hij)n×n；I＝[I1,…,In]T；f(u(t))＝[f1(u1(t)),…,fn(un(t))]T；f(u(t-τ(t)))＝[f1(u1(t-τ(t)),…,fn(un(t-τ(t))]T；
步骤S13：构建所述二阶神经网络的从系统：
构建步骤S12中所述主系统相对应的从系统为：
式中，x(t)＝[x1(t),…,xn(t)]T表示所述从系统的第i个神经元在t时刻的状态向量；y(t)＝[y1(t),…,yn(t)]T，yi(t)＝(dxi(t)/dt)+ξixi(t)；f(x(t))＝[f1(x1(t)),…,fn(xn(t))]T；f(x(t-τ(t)))＝[f1(x1(t-τ(t)),…,fn(xn(t-τ(t))]T；u1(t)和u2(t)是所述从系统中需要设计的同步控制器；所述从系统的其它参数的定义与所述主系统相同；
步骤S2：根据步骤S1构建的所述主系统与从系统，设定同步误差，并建立同步误差系统，具体步骤为：
步骤S21：根据步骤S1构建的所述主系统和从系统，设定它们的同步误差为：
其中，同步误差e1(t)和e2(t)具体为：
e1(t)＝[e11(t),…,e1n(t)]T＝[x1(t)-u1(t),…,xn(t)-un(t)]T，
e2(t)＝[e21(t),…,e2n(t)]T＝[y1(t)-v1(t),…,yn(t)-vn(t)]T；
步骤S22：根据所述主系统和从系统，以及步骤S21设定的同步误差，建立同步误差系统为：
其中，
步骤S3：根据步骤S2建立的同步误差，设计合适的同步控制器U1(t)和U2(t)；
步骤S4：将步骤S3中设计的所述同步控制器U1(t)和U2(t)作用于所述从系统，使得所述从系统同步于所述主系统。
在本实施例中，步骤S3具体包括以下步骤：
步骤S31：确定所述同步控制器U1(t)和U2(t)的反馈形式为：
其中，K1和K2为同步控制器增益矩阵；
步骤S32：确定同步控制器增益矩阵K1和K2：
使用MATLAB的LMI工具箱求解下面的线性矩阵不等式：
在线性矩阵不等式中，Ξ＝(Ξ)9×9的元素为： Ξ1,2＝P1-CTP2、Ξ1,4＝R1、Ξ1,5＝LT1、Ξ1,7＝2τR3、Ξ1,8＝2τR3、/>Ξ2,5＝P2W1、Ξ2,6＝P2W2、Ξ3,3＝-Q1-R1、Ξ3,4＝R1、Ξ4,4＝-(1-μ)Q2-2R1、Ξ4,6＝LT2、Ξ5,5＝-2T1+Q3、Ξ6,6＝-2T2-(1-μ)Q3、Ξ7,7＝-R2-2R3、Ξ7,8＝-2R3-R2、Ξ8,8＝-R2-2R3、Ξ9,9＝-2R4、Ξ＝(Ξ)9×9未具体给出的其它元素为0；/>
从而得到使该线性矩阵不等式成立而存在的矩阵P1>0、P2>0、Q1>0、Q2>0、Q3>0、R1>0、R2>0、R3>0、R4>0、G1、G2、对角矩阵T1>0、T2>0，进而得到同步控制器增益矩阵K1和K2分别为：
实施例2：
本实施例中主要包括两部分内容：
其一是对实施例1中提出的二阶神经网络的同步控制方法的有效性进行理论证明。
其二是通过数值仿真的方法针对实施例1中构建的二阶神经网络的主系统和从系统，对它们的同步性能进行仿真验证。
(理论证明和仿真实验均不用于限定本发明，在其它实施例中可以不进行仿真实验，也可以采用其他实验方案进行试验，对该神经网络系统的性能进行验证。)
一、理论证明
下面给出在证明过程中将会采用的引理：
引理1：对于任何正对称常数矩阵标量和向量函数/>有下面两个不等式成立：
引理2：对于给定的具有适当维数的矩阵Q1、Q2和Q3，其中和/>那么，当且仅当/>或/>时，有/>
接下来，构建李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函：
对构建的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函沿同步误差系统轨迹相对于时间t求导数：
根据引理1，可得到下面四个不等式成立：
根据激活函数满足利普希茨条件，可知存在正对角矩阵T1和T2，使得下面两个不等式成立：
其中，L＝diag{l1,…,ln}；
将不等式(2)-(4)代入(1)中，并结合不等式(5)，可得：
其中，
Γ1＝[-(A-K1)TI0 0 0 0 0 0 0]T
另外，矩阵除元素/>和/>之外都与矩阵Ξ的相应元素相等，/>和/>分别为：
此外，
根据引理2，可知：
又因为和/>以及不等式/>和不等式 可推导得到非线性矩阵不等式(8)等价于下面线性矩阵不等式：
所以，所述从系统在所述同步控制器的作用下，与所述主系统达到同步。
值得说明的是，本发明基于变量变换方法，将二阶神经网络转化为一阶神经网络，并设计了一种简洁的反馈同步控制器，从而避免了复杂的控制器，大大减低了同步控制器的复杂度和控制成本；本发明结合李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函的方法分析了一种二阶神经网络的同步控制方法的理论正确性与有效性，构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函包含双积分项和三积分项，它们提供了与时变时滞上界有关的基本信息；本发明在不使用自由加权矩阵的情况下，使用了包括积分项的Jenson不等式(引理1)来导出二阶神经网络的依赖于时变时滞的线性矩阵不等式形式同步判据，大大降低了计算的复杂度。
二、数值仿真
在本实施例中，以二维的二阶神经网络为例：
进而，基于变量变换方法确定主系统和相应的从系统分别为：
参数设置为：a1＝1.5、a2＝1、b1＝2和b2＝0.9；f1(u1(t))＝tanh(u1(t))、f2(u2(t))＝tanh(u2(t))、f1(u1(t-τ(t))＝tanh(u1(t-τ(t))和f2(u2(t-τ(t))＝tanh(u2(t-τ(t))；i＝1，2；l1＝l2＝1；τ(t)＝0.2cos2(t)、τ＝μ＝0.2；A＝diag{ξ1,ξ2}＝diag{1,1}；B＝diag{(a1-ξ1),(a2-ξ2)}＝diag{0.5,0}；C＝diag{[b1+ξ1(ξ1-a1)],[b2+ξ2(ξ2-a2)]}＝diag{1.5,0.9}；W＝(wij)2×2、w11＝0.8、w12＝3.4、w21＝-2、w22＝4.2；H＝(hij)2×2、h11＝0.6、h12＝2.4、h21＝0.9和h22＝-3.8；I＝[0,0]T；
此外，利用MATLAB仿真软件中的LMI工具箱求解下面线性矩阵不等式：
进而得到同步控制器增益矩阵K1和K2为：
主系统、从系统和同步控制器在上述设置的参数下，对它们进行数值仿真实验。主系统和从系统的初始值设置为：u1(0)＝3，x1(0)＝-2.5，u2(0)＝1.2，x2(0)＝2.7，v1(0)＝3.8，y1(0)＝-2，v2(0)＝-2.5，y2(0)＝-1，具体仿真实验结果如下：图2为无同步控制器作用下主系统状态u1(t)和从系统状态x1(t)的轨迹对照图；图3为无同步控制器作用下主系统状态u2(t)和从系统状态x2(t)的轨迹对照图；图4为无同步控制器作用下主系统状态v1(t)和从系统状态y1(t)的轨迹对照图；图5为无同步控制器作用下主系统状态v2(t)和从系统状态y2(t)的轨迹对照图；图6为无同步控制器作用下主系统和从系统同步误差的轨迹对照图；图7为在同步控制器作用下主系统状态u1(t)和从系统状态x1(t)的轨迹对照图；图8为在同步控制器作用下主系统状态u2(t)和从系统状态x2(t)的轨迹对照图；图9为在同步控制器作用下主系统状态v1(t)和从系统状态y1(t)的轨迹对照图；图10为在同步控制器作用下主系统状态v2(t)和从系统状态y2(t)的轨迹对照图；图11为在同步控制器作用下主系统和从系统同步误差的轨迹对照图。根据上述仿真实验结果的图2-图6可知：在无同步控制器作用下，主系统和从系统无法实现同步；而根据仿真实验结果的图7-图11可知：从系统在同步控制器的作用下，同步于主系统，从验证了同步性能的正确性和有效性。
最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种二阶神经网络的同步控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤S1：构建二阶惯性神经网络的主系统和从系统，所述二阶惯性神经网络的主系统和从系统的构建方法包括步骤：
步骤S11：建立二阶神经网络动力学方程：
式中，时间t≥0；n表示所述二阶神经网络中神经元的个数；i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；ui(t)表示所述二阶神经网络第i个神经元在t时刻的状态变量；ai和bi为正常数；wij和hij表示所述二阶神经网络的连接权值；fj(uj(t))表示所述二阶神经网络第j个神经元不包含时滞的激活函数，fj(uj(t-τ(t))表示所述二阶神经网络第j个神经元包含时变离散时滞的激活函数，上述各激活函数均满足利普希茨条件且利普希茨常数为lj；τ(t)表示时变离散时滞，且满足0<τ(t)<τ、τ和μ为正常数；Ii表示所述二阶神经网络第i个神经元的外部输入；
步骤S12：构建所述二阶神经网络的主系统：
将步骤S11中二阶神经网络进行变量替换降阶处理，构建主系统为：
式中，u(t)＝[u1(t),…,un(t)]T表示所述主系统的第i个神经元在t时刻的状态向量；v(t)＝[v1(t),…,vn(t)]T，vi(t)＝(dui(t)/dt)+ξiui(t)，ξi为常数；A＝diag{ξ1,…,ξn}；B＝diag{(a1-ξ1),…,(an-ξn)}；C＝diag{[b1+ξ1(ξ1-a1)],…,[bn+ξn(ξn-an)]}；W＝(wij)n×n；H＝(hij)n×n；I＝[I1,…,In]T；f(u(t))＝[f1(u1(t)),…,fn(un(t))]T；f(u(t-τ(t)))＝[f1(u1(t-τ(t)),…,fn(un(t-τ(t))]T；
步骤S13：构建所述二阶神经网络的从系统：
构建步骤S12中所述主系统相对应的从系统为：
式中，x(t)＝[x1(t),…,xn(t)]T表示所述从系统的第i个神经元在t时刻的状态向量；y(t)＝[y1(t),…,yn(t)]T，yi(t)＝(dxi(t)/dt)+ξixi(t)；f(x(t))＝[f1(x1(t)),…,fn(xn(t))]T；f(x(t-τ(t)))＝[f1(x1(t-τ(t)),…,fn(xn(t-τ(t))]T；U1(t)和U2(t)是所述从系统中需要设计的同步控制器；所述从系统的其它参数的定义与所述主系统相同；
步骤S2：根据步骤S1构建的所述主系统与从系统，设定同步误差，并建立同步误差系统，具体步骤为：
步骤S21：根据步骤S1构建的所述主系统和从系统，设定它们的同步误差为：
其中，同步误差e1(t)和e2(t)具体为：
e1(t)＝[e11(t),…,e1n(t)]T＝[x1(t)-u1(t),…,xn(t)-un(t)]T，
e2(t)＝[e21(t),…,e2n(t)]T＝[y1(t)-v1(t),…,yn(t)-vn(t)]T；
步骤S22：根据所述主系统和从系统，以及步骤S21设定的同步误差，建立同步误差系统为：
其中，
步骤S3：根据步骤S2建立的同步误差，设计合适的同步控制器U1(t)和U2(t)；
步骤S4：将步骤S3中设计的所述同步控制器U1(t)和U2(t)作用于所述从系统，使得所述从系统同步于所述主系统。
2.根据权利要求1所述的一种二阶神经网络的同步控制方法，其特征在于，步骤S3具体包括以下步骤：
步骤S31：确定所述同步控制器U1(t)和U2(t)的反馈形式为：
其中，K1和K2为同步控制器增益矩阵；
步骤S32：确定同步控制器增益矩阵K1和K2：
使用MATLAB的LMI工具箱求解下面的线性矩阵不等式：
在线性矩阵不等式中，Ξ＝(Ξ)9×9的元素为： Ξ1,2＝P1-CTp2、Ξ1,4＝R1、Ξ1,5＝LT1、Ξ1,7＝2τR3、Ξ1,8＝2τR3、/>Ξ2,5＝P2W1、Ξ2,6＝P2W2、Ξ3,3＝-Q1-R1、Ξ3,4＝R1、Ξ4,4＝-(1-μ)Q2-2R1、Ξ4,6＝LT2、Ξ5,5＝-2T1+Q3、Ξ6,6＝-2T2-(1-μ)Q3、Ξ7,7＝-R2-2R3、Ξ7,8＝-2R3-R2、Ξ8,8＝-R2-2R3、Ξ9,9＝-2R4、Ξ＝(Ξ)9×9未具体给出的其它元素为0；/>
从而得到使该线性矩阵不等式成立而存在的矩阵P1>0、P2>0、Q1>0、Q2>0、Q3>0、R1>0、R2>0、R3>0、R4>0、G1、G2、对角矩阵T1>0、T2>0，进而得到同步控制器增益矩阵K1和K2分别为：
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