CN116382116A - 覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种覆盖分段约束层阻尼的中心刚体‑柔性梁的动力学响应仿真方法，将空间机械臂简化为一个中心刚体‑柔性梁结构，将分段约束层阻尼覆盖于中心刚体‑柔性梁上，基于浮动坐标系理论，采用有限元法进行离散，考虑高阶耦合变形项，根据第二类拉格朗日方程，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体‑柔性梁这个系统的刚‑柔耦合动力学模型，并采用广义‑α法对这个系统的动力学方程进行求解，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体‑柔性梁末端的横向位移‑时间曲线图。本发明为柔性梁结构的主动和混合振动控制提供了一种新的动力学模型，为本领域的研究人员提供了更完善的数据资料和图像资料。

Description

覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真 方法

技术领域

本发明涉及柔性多体系统动力学建模，具体是一种覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁系统的动力学响应仿真方法。

背景技术

分段约束层阻尼是对传统主动约束层阻尼进行改进的一种振动控制技术，其同时切断压电约束层和粘弹性阻尼层，在该位置处粘弹性阻尼层会产生一个剪切变形集中区域，从而提高结构的阻尼特性。由于分段方法的有效性受切口的布局以及阻尼层厚度等参数的影响较大，因此对覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁系统进行动力学建模着重要的意义。

田士涛在《分段约束层阻尼结构及其在空间机械臂减振中的应用》一文中对覆盖分段约束层阻尼的悬臂梁进行动力学建模，并研究了分段方法的有效性和适用性，并指出分段方法总是适用于结构的一阶模态，对于系统的高阶模态，分段方法能对极柔的结构起作用。但是他的研究只对悬臂梁进行分析，没有考虑转动对系统动力学特性的影响。

发明内容

本发明目的在于提出一种覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁系统的动力学响应仿真方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法，包括以下步骤：

步骤1，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的物理模型，并设置模型的材料参数、几何参数和运动参数；

步骤2，基于浮动坐标系理论描述覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形,得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能；

步骤3，采用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁,得到离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能；同时，基于比例-微分控制律，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力；

步骤4，将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能、势能、广义压电控制力以及驱动力矩代入第二类拉格朗日方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的刚-柔耦合动力学方程，通过单元组装，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程；

步骤5，采用广义-α法求解覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的动力学方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁末端的横向位移-时间曲线图。

一种覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真系统，基于所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真方法，实现覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真。

一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，基于所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真方法，实现覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真。

一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时，基于所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真方法，实现覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)考虑了覆盖分段约束层阻尼梁的中心刚体-柔性梁的转动，分析了覆盖分段约束层阻尼梁的中心刚体-柔性梁的动力学特性。(2)考虑了高阶变形耦合项，建立了覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的高次刚柔耦合动力学新模型，为工程实际应用提供了一定的参考和指导作用。(3)考虑了多物理场耦合，包括压电材料的压电效应以及驱动力矩的影响，通过改变结构的几何参数和材料参数可以得到不同情况下柔性梁的动力学响应。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的示意图。

图3为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形示意图。

图4为开环情况下，覆盖分段约束层阻尼和覆盖主动约束层阻尼的中心刚体-柔性梁横向变形的对比图。

图5为控制对覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁末端横向变形的影响。

图6为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向变形随比例控制增益k_p的变化曲线图。

具体实施方式

为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处描述的具体实施例仅仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。

如图1所示，本发明覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁系统的动力学响应仿真方法，包括以下步骤：

步骤1、建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的物理模型，并设置模型的材料参数、几何参数和运动参数。

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的物理模型

覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁包括中心刚体和覆盖分段约束层阻尼的柔性梁，覆盖分段约束层阻尼的柔性梁由基梁、粘弹性阻尼层、压电约束层三个子层组成，其中压电材料构成压电约束层位于顶层，粘弹性材料组成的粘弹性阻尼层位于中间层，基梁为最底层，分段约束层阻尼通过在同一位置处切断粘弹性阻尼层和压电约束层实现。

(2)模型的材料参数、几何参数和运动参数

材料参数为各层弹性模量E_i，密度ρ_i，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层，以及粘弹性阻尼层的剪切模量G₂；几何参数为各层的厚度h_i，惯性矩I_i，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层，以及这个柔性梁的梁长L，梁宽b，中心刚体的半径R，中心刚体的转动惯量为J_oh，分段约束层阻尼中切口的位置为k，切口的数量为n；运动参数为作用于中心刚体上的驱动力矩F_τ。

步骤2、基于浮动坐标系理论描述覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能。

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形

以中心刚体的圆心为原点o，将o点沿基梁的中性轴的方向设为x轴，垂直于x轴，沿着基梁厚度的方向设为z轴，垂直于x轴，沿着基梁宽度的方向设为y轴，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体坐标系o-xyz。则粘弹性阻尼层近中心刚体侧上端和下端沿x轴方向的轴向变形分别用u_A和u_B来表示：

其中，w是覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向变形，x为柔性梁上任意一点的横坐标，u_i是覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层沿x轴方向的纵向变形，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层；

粘弹性阻尼层沿x轴方向的轴向变形为：

其中，

粘弹性阻尼层的剪切应变可以表示为：

其中，

右上标“'”表示对x求一阶偏导。

(2)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能

覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁上任意点的位置矢量可以表示为：

r_i＝(R+x+u_i)x+wz,i＝1,2,3 (4)

其中覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层的轴向变形u_i＝w_i+w_c，w_i表示覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层沿中性轴方向的轴向变形，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层，w_c代表由覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向弯曲引起的轴向缩短变形量，可以写作二阶耦合变形项：

其中

为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁上任意点的横坐标。

则定轴转动的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能T_s可以表示为：

其中，

为中心刚体的角速度，A₁、A₂和A₃分别为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁中基层、粘弹性阻尼层和压电约束层的横截面积，上标“·”表示对时间t求一阶偏导。

将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的势能表示为U＝U₁+U₂+U₃，其中U₁、U₂和U₃分别为基梁、粘弹性阻尼层和压电约束层的势能。

基梁的势能可以表示为：

其中右上标“””表示对x求二阶偏导。

粘弹性阻尼层的势能可以表示为：

其中U_shear为粘弹性阻尼层的剪切应变能：

其中G^*为粘弹性阻尼层的剪切模量，采用复常数模量模型描述粘弹性阻尼层的材料特性，G^*可以表示为：

G^*＝G₂(1+η) (10)

其中η为粘弹性阻尼层的损耗因子。

压电约束层的势能可以表示为：

其中e₃₁表示压电常数，E_Z表示压电约束层沿z轴的电场，∈₃₃表示介电常数。

步骤3、采用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁,得到离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能；同时，基于比例-微分控制律，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力。

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能

采用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁，将这个梁划分成N个单元，每个单元的长度为L_e。取其中的第e个单元，将第e个单元近中心刚体侧基梁的中性轴处设为单元坐标系的原点

将/>

点沿基梁的中性轴的方向设为/>

轴，垂直于/>

轴，沿着基梁厚度的方向设为/>

轴，垂直于/>

轴，沿着基梁宽度的方向设为/>

轴建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元的单元坐标系/>

将第e个单元的节点位移向量表示为：q_e＝{w_1j w_3j w_j w_j′w_1k w_3k w_k w_k′}^T，其中w_1j和w_1k分别表示第e个单元处前一个节点和后一个节点的基梁沿中性轴方向的轴向变形，w_3j和w_3k分别表示第e个单元处前一个节点和后一个节点的压电约束层沿中性轴方向的轴向变形，w_j和w_k分别表示第e个单元处前一个节点和后一个节点的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向变形。采用形函数N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和Ν₆将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层沿中性轴方向的轴向变形w₁、w₂、w₃，横向变形w，绕x轴方向的变形转角w′和粘弹性阻尼层的剪切应变γ表示为节点位移的内插多项式：

{w₁ w₂ w₃ w w′γ}^T＝{N₁ N₂ N₃ N₄ N₅ N₆}^Tq (12)

其中，q为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的节点位移向量，覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体和梁单元的节点位移向量之间的关系可以表示为：

q_e＝B_eq (13)

其中B_e是由所在单元编号e决定的布尔矩阵：

No.1 2 … e e+1 … N+1

其上方表示布尔矩阵中单位矩阵I的位置；

式(12)中的N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和Ν₆分别为w₁、w₂、w₃、w、w′和γ对应的形函数，N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和Ν₆和其在单元坐标系下形函数的关系可以表示为：N₁ ^(e)＝N₁B_e ^T，N₂ ^(e)＝N₂B_e ^T，N₃ ^(e)＝N₃B_e ^T，N₄ ^(e)＝N₄B_e ^T，N₅ ^(e)＝N₅B_e ^T，N₆ ^(e)＝N₆B_e ^T，其中：

其中，

对由覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向弯曲引起的轴向缩短变形量w_c进行有限元离散，有：

其中，

可以表示为：

其中，N₄ ^(j)＝N₄B_j ^T。

将式(12)、(13)、(15)代入式(4)中可以得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元各层沿x轴方向的轴向变形u_i以及横向变形w为：

由式(18)可以得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元各层的变形速度为：

将式(18)、(19)代入式(6)、(7)、(8)、(11)可以得到有限元法离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能T_s ^(e)和势能U^(e)：

(2)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力

压电约束层的压电效应所做的功W_p可以表示为：

式中，ε_c＝u₃′是压电约束层的弹性轴向应变，

是由压电效应产生的应变(d₃₁表示压电应变常数)。

作用于压电约束层上的控制电压φ_c可以表示为：

其中，k_p为比例控制增益，k_d为微分控制增益，

为传感器的感应电压，/>

A_s为传感器的表面积，k_3t为介电常数，/>

k₃₁表示力电耦合因子，g₃₁表示压电电压常数。

由式(22)、(23)可以得到有限元法离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力为：

步骤4、将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能、势能、广义压电控制力以及驱动力矩代入第二类拉格朗日方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的刚-柔耦合动力学方程，通过单元组装，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程；

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的刚-柔耦合动力学方程

将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能T_s ^(e)、势能U^(e)、广义压电控制力Q_p ^(e)以及驱动力矩F_τ带入第二类拉格朗日方程中，有：

由此可得覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元的刚-柔耦合动力学方程为：

其中M₁₁ ^(e)、M₁₂ ^(e)、M₂₁ ^(e)和M₂₂ ^(e)为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的质量阵，Q_θ ^(e)和Q_q ^(e)为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义力阵。

(2)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程

先对基梁上覆盖的压电约束层和粘弹性层施加切口以此来进行一个分段处理，将切口放置于单元与单元之间的节点k处，对梁做分段处理之后，第k个节点处的自由度由原来的{w₁ ^(k) w₃ ^(k) w^(k) w′^(k)}扩充为{w₁ ^(k) w_3r ^(k) w_3l ^(k) w^(k) w′^(k)}，其中w_3r ^(k)表示切口k处前一个单元压电约束层沿中性轴方向的轴向变形，w_3l ^(k)表示切口k处后一个单元压电约束层沿中性轴方向的轴向变形，相应得，覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的质量阵M₁₁ ^(e)、M₁₂ ^(e)、M₂₁ ^(e)和M₂₂ ^(e)以及覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义力阵Q_θ ^(e)和Q_q ^(e)的大小也会随着切口位置处自由度的扩充而变大，对梁施加n个切口后，q和M₁₂ ^(e)的大小从之前的4(N+1)×1变成[4(N+1)+n]×1，相应得，M₂₁ ^(e)和Q_q ^(e)的大小会由1×4(N+1)增加为1×[4(N+1)+n]，M₂₂ ^(e)的大小会由4(N+1)×4(N+1)增加为[4(N+1)+n]×[4(N+1)+n]，M₁₁ ^(e)、

以及Q_θ ^(e)的大小保持为1×1不变。再完成单元组装，将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的质量阵以及广义力阵相加，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程为：

其中M₁₁、M₁₂、M₂₁和M₂₂为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的质量阵，Q_θ和Q_q为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的广义力阵。

步骤5、采用广义-α法求解覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的动力学方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁末端的横向位移-时间曲线图。

实施例

本实施例基于MATLAB计算覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁系统动力学响应，具体方法如下：

步骤1、本实施例中覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁采用表1所示的几何参数以及材料参数。设置作用于中心刚体上的驱动力矩F_τ为：

其中τ₀为1N·m，取周期T为2秒，在计算时取t为0-3秒，即1.5个周期。

表1覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁采用的几何参数和材料参数

步骤2、基于浮动坐标系理论，根据图3覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形示意图描述覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能，转入步骤3。

步骤3、用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁，得到离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能，基于比例-微分控制定律得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力，转入步骤4。

步骤4、根据第二类拉格朗日方程，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的高次刚-柔耦合动力学方程，然后在单元组装时将切口放置于两个单元之间的节点位置处，获得覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的动力学方程组，转入步骤5；

步骤5、利用广义-α法求解覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的动力学方程组，采用MATLAB编程，计算得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁末端的横向位移-时间曲线图，并将开环情况下覆盖主动约束层阻尼和覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁末端的横向变形进行比较，如图4所示，从图中可以看出，分段方法可以降低旋转梁的最大振幅，并且在t>T，即结构的驱动力矩为零时，SCLD旋转梁的最大振幅也明显小于ACLD旋转梁的最大振动幅度。由此可以看出，在取表1所示的材料参数和尺寸参数时，分段式主动约束层阻尼的抑振效果比单纯的主动约束层阻尼的振动抑制效果更好。采用比例微分控制律分析闭环情况下覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向变形情况，图5为k_p＝1，k_d＝-0.005时，控制对梁末端的横向变形的影响，从图中可以看出，对SCLD梁施加控制后，其振动的幅度变小，对梁的振动抑制效果也更好，因此将控制用于结构的振动抑制具有非常明显的抑制效果。图6为k_d＝0时，k_p不同的情况下梁末端的横向变形曲线图，从图中可以看出，随着比例控制系数k_p的增加，SCLD旋转梁的振动抑制效果更好，k_p＝5时，SCLD旋转梁的横向变形降低的幅度最大，k_p在此基础上再变大后，其横向变形也有所降低，但是降低的幅度有所减小。

本发明基于前人的研究，基于MATLAB对覆盖SCLD的中心刚体-柔性梁系统进行了动力学计算，为柔性梁结构的主动和混合振动控制提供了一种新的动力学模型，为本领域的研究人员提供了更完善的数据资料和图像资料。

以上实施例的各技术特征可以进行任意的组合，为使描述简洁，未对上述实施例中的各个技术特征所有可能的组合都进行描述，然而，只要这些技术特征的组合不存在矛盾，都应当认为是本说明书记载的范围。

以上所述实施例仅表达了本申请的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本申请范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本申请的保护范围。因此，本申请的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (8)

1.覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的物理模型，并设置模型的材料参数、几何参数和运动参数；

步骤2，基于浮动坐标系理论描述覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形,得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能；

步骤3，采用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁,得到离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能；同时，基于比例-微分控制律，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力；

步骤4，将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能、势能、广义压电控制力以及驱动力矩代入第二类拉格朗日方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的刚-柔耦合动力学方程，通过单元组装，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程；

步骤5，采用广义-α法求解覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的动力学方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁末端的横向位移-时间曲线图。

2.根据权利要求1所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法，其特征在于，步骤1，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的物理模型，并设置模型的材料参数、几何参数和运动参数，具体方法为：

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的物理模型

覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁包括中心刚体和覆盖分段约束层阻尼的柔性梁，覆盖分段约束层阻尼的柔性梁由基梁、粘弹性阻尼层、压电约束层三个子层组成，其中压电材料构成压电约束层位于顶层，粘弹性材料组成的粘弹性阻尼层位于中间层，基梁为最底层，分段约束层阻尼通过在同一位置处切断粘弹性阻尼层和压电约束层实现；

(2)模型的材料参数、几何参数和运动参数

材料参数为各层弹性模量E_i，密度ρ_i，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层，以及粘弹性阻尼层的剪切模量G₂；几何参数为各层的厚度h_i，惯性矩I_i，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层，以及这个柔性梁的梁长L，梁宽b，中心刚体的半径R，中心刚体的转动惯量为J_oh，分段约束层阻尼中切口的位置为k，切口的数量为n；运动参数为作用于中心刚体上的驱动力矩F_τ。

3.根据权利要求2所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法，其特征在于，步骤2，基于浮动坐标系理论描述覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形,得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能，具体方法为：

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的变形

以中心刚体的圆心为原点o，将o点沿基梁的中性轴的方向设为x轴，垂直于x轴，沿着基梁厚度的方向设为z轴，垂直于x轴，沿着基梁宽度的方向设为y轴，建立覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体坐标系o-xyz，则粘弹性阻尼层近中心刚体侧上端和下端沿x轴方向的轴向变形u_A和u_B为：

其中，w是覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向变形，x为柔性梁上任意一点的横坐标，u_i是覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层沿x轴方向的纵向变形，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层；

粘弹性阻尼层沿x轴方向的轴向变形为：

其中，

粘弹性阻尼层的剪切应变为：

其中，

右上标“'”表示对x求一阶偏导；

(2)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能和势能

将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁上任意点的位置矢量表示为：

r_i＝(R+x+u_i)x+wz,i＝1,2,3 (4)

其中，覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层的轴向变形u_i＝w_i+w_c，w_i表示覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层沿中性轴方向的轴向变形，其中下标i＝1，2，3，分别表示基层、粘弹性阻尼层和压电约束层，w_c代表由覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向弯曲引起的轴向缩短变形量，写作二阶耦合变形项为：

其中ζ为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁上任意点的横坐标；

则定轴转动的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动能T_s为：

其中，

为中心刚体的角速度，A₁、A₂和A₃分别为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁中基层、粘弹性阻尼层和压电约束层的横截面积，上标“·”表示对时间t求一阶偏导；

覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的势能由基梁、粘弹性阻尼层和压电约束层的势能U₁、U₂和U₃决定，表示为：U＝U₁+U₂+U₃，其中：

基梁的势能为：

其中右上标“””表示对x求二阶偏导；

粘弹性阻尼层的势能为：

其中U_shear为粘弹性阻尼层的剪切应变能：

其中G^*为粘弹性阻尼层的剪切模量，采用复常数模量模型描述粘弹性阻尼层的材料特性，G^*表示为：

G^*＝G₂(1+η) (10)

其中η为粘弹性阻尼层的损耗因子；

压电约束层的势能为：

其中e₃₁表示压电常数，E_Z表示压电约束层沿z轴的电场，∈₃₃表示介电常数。

4.根据权利要求3所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法，其特征在于，步骤3，采用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁,得到离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能；同时，基于比例-微分控制律，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力，具体方法为：

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能和势能

采用有限元法离散覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁，将这个梁划分成N个单元，每个单元的长度为L_e，将第e个单元的节点位移向量表示为：q_e＝{w_1j w_3j w_j w_j′ w_1k w_3kw_k w_k′}^T，其中w_1j和w_1k分别表示第e个单元处前一个节点和后一个节点的基梁沿中性轴方向的轴向变形，w_3j和w_3k分别表示第e个单元处前一个节点和后一个节点的压电约束层沿中性轴方向的轴向变形，w_j和w_k分别表示第e个单元处前一个节点和后一个节点的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向变形；采用形函数N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和Ν₆将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁各层沿中性轴方向的轴向变形w₁、w₂、w₃，横向变形w，绕x轴方向的变形转角w′和粘弹性阻尼层的剪切应变γ表示为节点位移的内插多项式：

{w₁ w₂ w₃ w w′ γ}^T＝{N₁ N₂ N₃ N₄ N₅ N₆}^Tq (12)

其中，q为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的节点位移向量，覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体和梁单元的节点位移向量之间的关系表示为：

q_e＝B_eq (13)

其中，B_e是由所在单元编号e决定的布尔矩阵：

其上方表示布尔矩阵中单位矩阵I的位置；

式(12)中的N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和Ν₆分别为w₁、w₂、w₃、w、w′和γ对应的形函数，N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和Ν₆和其在单元坐标系下形函数的关系可以表示为：N₁ ^(e)＝N₁B_e ^T，N₂ ^(e)＝N₂B_e ^T，N₃ ^(e)＝N₃B_e ^T，N₄ ^(e)＝N₄B_e ^T，N₅ ^(e)＝N₅B_e ^T，N₆ ^(e)＝N₆B_e ^T，其中：

其中，

对由覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的横向弯曲引起的轴向缩短变形量w_c进行有限元离散，有：

其中，

表示为：

其中，N₄ ^(j)＝N₄B_j ^T；

将式(12)、(13)、(15)代入式(4)中得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元各层沿x轴方向的轴向变形u_i以及横向变形w为：

由式(18)得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元各层的变形速度为：

将式(18)、(19)代入式(6)、(7)、(8)、(11)得到有限元法离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能T_s ^(e)和势能U^(e)：

(2)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力

压电约束层的压电效应所做的功W_p为：

式中，ε_c＝u₃′是压电约束层的弹性轴向应变，

是由压电效应产生的应变，d₃₁表示压电应变常数；

作用于压电约束层上的控制电压φ_c为：

其中，k_p为比例控制增益，k_d为微分控制增益，

为传感器的感应电压，/>

A_s为传感器的表面积，k_3t为介电常数，/>

k₃₁表示力电耦合因子，g₃₁表示压电电压常数；

由式(22)、(23)得到有限元法离散后覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义压电控制力为：

5.根据权利要求4所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的动力学响应仿真方法，其特征在于，步骤4，将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能、势能、广义压电控制力以及驱动力矩代入第二类拉格朗日方程，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的刚-柔耦合动力学方程，通过单元组装，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程，具体方法为：

(1)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的刚-柔耦合动力学方程

将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的动能T_s ^(e)、势能U^(e)、广义压电控制力Q_p ^(e)以及驱动力矩F_τ带入第二类拉格朗日方程中，有：

由此得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁第e个单元的刚-柔耦合动力学方程为：

其中M₁₁ ^(e)、M₁₂ ^(e)、M₂₁ ^(e)和M₂₂ ^(e)为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的质量阵，Q_θ ^(e)和Q_q ^(e)为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义力阵；

(2)覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程

对基梁上覆盖的压电约束层和粘弹性层施加切口以此来进行一个分段处理，将切口放置于单元与单元之间的节点k处，对梁做分段处理之后，第k个节点处的自由度由原来的{w₁ ^(k) w₃ ^(k) w^(k) w′^(k)}扩充为{w₁ ^(k) w_3r ^(k) w_3l ^(k) w^(k) w′^(k)}，其中w_3r ^(k)表示切口k处前一个单元压电约束层沿中性轴方向的轴向变形，w_3l ^(k)表示切口k处后一个单元压电约束层沿中性轴方向的轴向变形，相应得，覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的质量阵M₁₁ ^(e)、M₁₂ ^(e)、M₂₁ ^(e)和M₂₂ ^(e)以及覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的广义力阵Q_θ ^(e)和Q_q ^(e)的大小也会随着切口位置处自由度的扩充而变大，对梁施加n个切口后，q和M₁₂ ^(e)的大小从之前的4(N+1)×1变成[4(N+1)+n]×1，相应得，M₂₁ ^(e)和Q_q ^(e)的大小会由1×4(N+1)增加为1×[4(N+1)+n]，M₂₂ ^(e)的大小会由4(N+1)×4(N+1)增加为[4(N+1)+n]×[4(N+1)+n]，M₁₁ ^(e)、

以及Q_θ ^(e)的大小保持为1×1不变；完成单元组装，将覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁单元的质量阵以及广义力阵相加，得到覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁的整体动力学方程为：

其中M₁₁、M₁₂、M₂₁和M₂₂为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的质量阵，Q_θ和Q_q为覆盖分段约束层阻尼的中心刚体-柔性梁整体的广义力阵。

6.一种覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真系统，其特征在于，基于权利要求1-5任一项所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真方法，实现覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真。

7.一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，基于权利要求1-5任一项所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真方法，实现覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真。

8.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时，基于权利要求1-5任一项所述的覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真方法，实现覆盖分段约束层阻尼的中心刚-柔性梁动力学响应的仿真。

Images