CN116368502A

CN116368502A - 具有机器学习的内核方法的量子计算

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Publication number: CN116368502A
Application number: CN202180071498.9A
Authority: CN
Inventors: J·R·麦克林; H-Y·黄
Original assignee: Google LLC
Current assignee: Google LLC
Priority date: 2020-10-19
Filing date: 2021-10-19
Publication date: 2023-06-30
Also published as: AU2021364446B2; AU2021364446A1; AU2024201618A1; US20220121998A1; JP2023546590A; KR20230085175A; CA3196122A1; EP4211626A1; WO2022086918A1

Abstract

用于量子机器学习的方法、系统和装置。在一个方面，所述方法包括由量子计算设备获得量子数据点的训练数据集；由量子计算设备计算表示包括在训练数据集中的量子数据点之间的相似性的内核矩阵，包括为训练数据集中的每对量子数据点计算内核函数的值，其中，内核函数基于量子数据点的约化密度矩阵；以及由量子计算设备向经典处理器提供内核矩阵，其中，经典处理器使用内核矩阵来执行训练算法以构建机器学习模型。

Description

具有机器学习的内核方法的量子计算

技术领域

内核(kernel)方法是一类用于模式分析的算法。模式分析的任务是发现和研究数据集中的一般类型的关系，例如聚类、排名、主成分、相关性和分类。对于解决这些任务的许多算法，原始表示中的数据必须通过用户指定的特征图显式地转换成特征向量表示。相比之下，内核方法只需要原始表示中数据点对上的用户指定内核-相似性函数(或“内核函数”)。

背景技术

内核函数使内核方法能够在高维、隐式特征空间中操作，而无需计算该空间中数据的坐标。相反，计算特征空间中所有数据对的图像之间的内积。这些操作通常比坐标的显式计算在计算上更便宜。

能够操作内核的算法包括内核感知器、支持向量机(SVM)、高斯过程、主成分分析(PCA)、典型相关分析、岭回归、谱聚类(spectral clustering)、线性自适应滤波器和许多其他算法。通过对模型应用内核技巧(kernel trick)，任何线性模型都可以变成非线性模型：用内核函数替换其特征(预测器)。

发明内容

本说明书描述了具有机器学习的内核方法的量子计算的技术。

一般而言，本说明书中描述的主题的一个创新方面可以在包括以下步骤的方法中实现：通过量子计算设备获得量子数据点的训练数据集；

由量子计算设备计算表示包括在训练数据集中的量子数据点之间的相似性的内核矩阵，包括为训练数据集中的每对量子数据点计算内核函数的对应值，其中，内核函数基于量子数据点的约化密度矩阵(reduced density matrices)；以及由量子计算设备向经典处理器提供内核矩阵。

该方面的其他实施方式包括相应的计算机系统、装置和记录在一个或多个计算机存储设备上的计算机程序，其每一个被配置成执行方法的动作。一个或多个计算机的系统可被配置成通过在系统上安装软件、固件、硬件或其组合来执行特定的操作或动作，所述软件、固件、硬件或其组合在操作中使系统执行这些动作。一个或多个计算机程序可以被配置为通过包括指令来执行特定的操作或动作，当由数据处理装置执行时，所述指令使得该装置执行这些动作。

前述和其他实施方式可以各自可选地单独或组合包括一个或多个以下特征。在一些实施方式中，该方法还包括从量子计算设备并通过经典处理器接收内核矩阵；以及由经典处理器使用内核矩阵来执行训练算法，以构建机器学习模型。

在一些实施方式中，该方法还包括由量子计算设备获得量子数据点的验证数据集；由量子计算设备计算内核矩阵的新元素，其中，新元素包括表示验证数据集中的量子数据点和训练数据集中的量子数据点之间的相似性的条目(entry)，其中，计算新元素包括为训练数据集中和验证数据集中的每对量子数据点计算内核函数的对应值；以及由量子计算设备向经典处理器提供内核矩阵的新元素。

在一些实施方式中，该方法还包括由经典处理器处理内核矩阵的新元素，以输出验证数据集中每个量子数据点的预测。

在一些实施方式中，内核函数基于训练数据集中量子数据点的单体约化密度矩阵。

在一些实施方式中，内核函数包括线性内核函数。

在一些实施方式中，线性内核函数i)将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，ii)产生数值输出，以及iii)包括项(term)的和，其中，该和在N>1的N量子位的每一个上运行，并且被加数对应于相应的量子位，并且等于a)对应于相应量子位的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵b)对应于相应量子位的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的乘积的迹(trace)。

在一些实施方式中，线性内核函数由下式给出：

其中x_i，x_j代表第一量子数据点和第二量子数据点，l代表从1到量子位数量N的索引，并且标记每个量子位，ρ(x_i)＝|x_i><x_i|并且Tr_m≠k[ρ(x_i)]代表量子位k上的1-约化密度矩阵(RDM)。

在一些实施方式中，为训练数据集中的一对量子数据点计算内核函数的值，其中，该对量子数据点包括第一N量子位量子状态，其中N＞1，以及第二N量子位量子状态，其中N＞1，包括：重复地并且对于每个量子位索引：为对应于量子位l的子系统上的第一N量子位量子状态计算1-约化密度矩阵(RDM),包括获得处于第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，以及测量除了第l个量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得该量子系统的第一约化量子状态；在对应于量子位l的子系统上计算第二N量子位量子状态的1-RDM，包括获得处于第二N量子位量子状态中的N量子位量子系统的副本，并测量除第l个量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态；确定第一约化量子状态和第二约化量子状态的乘积的迹；以及对每个量子位索引的确定迹的平均值求和。

在一些实施方式中，内核函数包括平方指数内核函数。

在一些实施方式中，平方指数内核函数i)将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，ii)产生数值输出，以及iii)包括项的和的指数函数，其中，该和在N>1的N量子位的每个上运行，并且被加数对应于各个量子位，并且等于a)对应于相应量子位的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵减去b)对应于相应(respective)量子位的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的范数(norm)。

在一些实施方式中，平方指数内核函数由下式给出：

其中，x_i，x_j代表第一量子数据点和第二量子数据点，l代表从1到量子位数量N的索引，并且标记每个量子位，ρ(x_i)＝|x_i><x_i|并且Tr_m≠k[ρ(x_i)]代表量子位k上的1-RDM。

在一些实施方式中，为训练数据集中的一对量子数据点计算内核函数的值，其中，该对量子数据点包括具有N＞1的第一N量子位量子状态和具有N＞1的第二N量子位量子状态，包括：重复地并且对于每个量子位索引：为对应于量子位l的子系统上的第一N量子位量子状态计算1-约化密度矩阵(RDM),包括获得处于第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了第l个量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态；在对应于量子位l的子系统上计算第二N量子位量子状态的1-RDM，包括获得处于第二N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并测量除了第l个量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态；从第一约化量子状态中减去第二约化量子状态以获得第三约化量子状态，并确定第三约化量子状态的范数；以及对每个量子位索引的所确定的范数的平均值求和，并计算求和平均值的指数。

在一些实施方式中，内核函数基于量子数据点的k体RDM，其中，k小于预定值。

在一些实施方式中，内核函数包括线性内核函数。

在一些实施方式中，线性内核函数i)将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，ii)产生数值输出，以及iii)包括项的和，其中，该和在取自N量子位的k量子位的每个子集上运行，并且每个被加数对应于相应子集，并且等于a)对应于k量子位的相应子集的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵和b)对应于k量子位的相应子集的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的乘积的迹。

在一些实施方式中，线性内核函数由下式给出：

其中，S_k(n)代表k量子位的子集的集合，ρ(x_i)＝|x_i><x_i|并且Tr_m≠K[ρ(x_i)]代表k-RDM。

在一些实施方式中，为训练数据集中的一对量子数据点计算内核函数的值，其中，该对量子数据点包括第一N量子位量子状态和第二N量子位量子状态，包括：重复地并且对于k量子位的每个集合：在对应于集合内量子位的子系统上计算第一N量子位量子状态的k-RDM，包括获得处于第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了包括在集合的量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态；计算对应于集合中量子位的子系统上的第二N量子位量子状态的k-RDM，包括获得第二N量子位量子状态下的N量子位量子系统的副本，并测量除了集合中包括的量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态；确定第一约化量子状态和第二约化量子状态的乘积的迹；并且对为k量子位的每个集合确定的平均值求和。

在一些实施方式中，内核函数包括指数内核函数。

在一些实施方式中，指数内核函数由下式给出：

其中，期望值

是从在第一和第二系统i和j上测量的随机选择的泡利(Pauli)帧的n_s样本上获取的(即，其中选择尽可能大的n_s值的实验，同时考虑硬件实现的因素，例如，选择n_s为能够由实验测量负担的最大数)，并且/>

表示在第一系统i和第二系统j上独立执行的随机泡利测量结果之间的一致性(agreement)的第一指示函数，以及/>

表示测量基础(basis)一致性的第二指示函数。

在一些实施方式中，为训练数据集中的一对量子数据点计算内核函数的值，其中，该对量子数据点包括第一N量子位量子状态和第二N量子位量子状态，包括重复地：获得第一测量结果，包括在随机泡利基础中测量第一系统中的每个量子位，以获得第h量子位的值

和/>

其中，/>

是1或-1，并且/>

是随机基础(random basis)X、Y或Z；获得第二测量结果，包括在随机泡利基础(Pauli basis)中测量第二系统中的每个量子位，以获得第h个量子位的值/>

和/>

其中/>

是1或-1，并且/>

是随机基础X、Y或Z；对于N量子位系统中的第h个量子位，比较第一测量结果和第二测量结果以确定第一指示函数的值，对于N量子位系统中的第h个量子位，确定第二指示函数的值；以及将第一指示函数和第二指示函数的确定值相乘、求和并平均。

在一些实施方式中，量子数据点包括N量子位量子状态，其中，N>1。

在一些实施方式中，获得量子数据点的训练数据集包括：接收经典数据点的训练数据集；以及生成量子数据点的训练数据集，包括通过将相应的编码电路应用于参考量子状态，将每个经典数据点嵌入相应的量子状态。

本说明书中描述的主题可以以特定方式实现，以便实现一个或多个以下优点。

机器学习的内核方法可以应用于各种回归和分类问题。然而，当特征空间变大并且估计内核函数在计算上变得昂贵时，对这种问题的成功解决存在限制。目前描述的技术通过使用量子计算设备计算内核函数来解决这个问题。

此外，目前描述的内核函数的量子计算是可扩展的-随着量子位数量的增加，信号保持很大，并且该方法继续很好地工作(如果不是更好的话)。这与已知的量子内核方法形成对比，在已知的量子内核方法中，信号通常在量子位的数量上呈指数衰减，例如，由于指数大的希尔伯特空间(其中所有输入相距太远)导致的小的几何差异。目前描述的技术的可伸缩性是通过将嵌入的量子状态从经典数据投影到经典空间，例如通过使用RDM，来扩大几何差异而实现的。换句话说，对于每两个点都接近于零的内核函数不能很好地推广。然而，目前描述的投影量子内核是使用量子状态的近似经典表示来定义的，这导致非零内核函数提供更好的推广性能。

此外，由于放大的几何差异，目前描述的技术可以实现比普通经典机器学习模型更大的预测优势。这种预测优势也可以用少量的量子位来实现，例如，多达30个量子位。因此，目前描述的技术特别适合于使用小型量子计算机的实施方式，例如，噪声中等规模量子设备和/或混合量子经典计算机。

当前描述的技术可以应用于经典机器学习的各种应用，包括来自自然涉及量子输入数据的量子机器学习的例子，包括：诸如来自MNIST或其他图像/视频数据源的图像和数字分类、情感和文本分析的分类、高能物理数据的分析、将来自量子传感器的数据分类为阶段(phase)、量子状态辨别或量子中继器工程、使用来自量子传感器的数据的预测、多体或其他。

在附图和以下描述中阐述了本说明书主题的一个或多个实施方式的细节。根据说明书、附图和权利要求书，本主题的其他特征、方面和优点将变得显而易见。

附图说明

图1是由经典内核方法、传统量子内核方法和投影量子内核方法定义的内核函数的示图。

图2示出了使用投影量子内核方法执行分类和回归任务的示例系统的框图。

图3示出了使用投影量子内核方法执行分类和回归任务的示例过程的框图。

图4是用于生成和更新内核矩阵的示例过程的流程图。

不同附图中相同的附图标记和名称表示相同的元件。

具体实施方式

本说明书描述了使用量子内核方法执行机器学习任务的技术。

在传统的量子内核方法中，内核算子基于保真度型度量(fidelity-typemetric)，例如，由Tr[ρ(x_i)ρ(x_j)]给出。这种内核算子可以把所有的数据点都看作彼此相距很远，并且产生接近恒等式(identity)的内核矩阵。这可以导致小的几何差异，并可以导致经典的机器学习模型具有竞争力或优于量子内核方法。例如，在某些情况下，量子模型可能需要指数数量的样本来使用这种传统的内核算子进行学习，但是使用经典的机器学习模型只需要线性数量的样本进行学习。

目前描述的量子内核方法使用投影量子内核族来解决这个问题。接收数据点的量子或经典数据集，并使用量子计算机计算数据点之间的几何(geometry)。使用从可扩展的约化物理可观测量族中选择的投影量子内核算子来计算几何。投影量子内核算子将量子状态投影到近似的经典表示，例如，使用约化的可观测值或经典阴影。然后将计算出的几何输入到传统的训练和验证方法中。即使训练集空间具有大的维度，例如，与包括在可用量子计算机中的量子位的数量成比例的维度，投影也提供了对低维经典空间的约化，其可以更好地一般化。

图1是由经典内核方法100、传统量子内核方法102和目前描述的投影量子内核方法104定义的几何(内核函数)的示图。字母A、B、C、…代表不同空间中的数据点，其中，箭头代表数据之间的相似性测量(内核函数)。几何差异g是不同方法100、102和104中的相似性测量之间的差异，并且d是量子希尔伯特空间中数据集的有效维度。如图所示，经典内核方法100和投影量子内核方法104中的相似性测量之间的几何差异大于经典内核方法100和传统量子内核方法102中的相似性测量之间的几何差异。如上所述，这种较大的几何差异提供了可伸缩性和改进的预测精度。

示例操作环境

图2描绘了使用投影量子内核方法执行分类和回归任务的示例系统200。示例系统200是在一个或多个位置的一个或多个经典计算机和量子计算设备上实现为经典和量子计算机程序的系统的示例，其中，可以实现下述系统、组件和技术。

示例系统200包括示例量子计算设备202。根据一些实施方式，量子计算设备202可以用于执行本说明书中描述的量子计算操作。量子计算设备202旨在代表各种形式的量子计算设备。这里所示的组件、它们的连接和关系以及它们的功能仅仅是示例性的，并不限制本文件中描述和/或要求保护的发明的实施方式。

示例量子计算设备202包括量子位组件252以及控制和测量系统204。量子位组件包括多个量子位，例如，量子位206，其用于执行算法操作或量子计算。虽然图2中所示的量子位被排列成矩形阵列，但这是示意性的描述，而不是限制性的。量子位组件252还包括可调节的耦合元件，例如耦合器208，其允许耦合的量子位之间的相互作用。在图2的示意图中，每个量子位通过相应的耦合元件可调整地耦合到它的四个相邻量子位的每一个。然而，这是量子位和耦合器的示例排列，其他排列也是可能的，包括非矩形的排列，允许非相邻量子位之间耦合的排列，以及包括多于两个量子位之间可调耦合的排列。

每个量子位可以是物理的两级量子系统或设备，其具有代表逻辑值0和1的级。多个量子位的具体物理实现以及它们如何相互作用取决于多种因素，包括包含在示例系统200中的量子计算设备的类型或者量子计算设备正在执行的量子计算的类型。例如，在原子量子计算机中，量子位可以通过原子、分子或固态量子系统，例如，超精细原子态来实现。作为另一个例子，在超导量子计算机中，量子位可以通过超导量子位或半导体量子位，例如，超导转换子态来实现。作为另一个例子，在NMR量子计算机中，量子位可以通过核(nuclear)自旋状态来实现。

在一些实施方式中，量子计算可以通过在选定的初始状态中初始化量子位，并且在量子位上应用一系列酉算子(unitary operator)来进行。将酉算子应用于量子状态可以包括将相应的量子逻辑门序列应用于量子位。示例量子逻辑门包括单量子位门，例如，泡利-X、泡利-Y、泡利-Z(也称为X、Y、Z)、哈达玛和S门，两量子位门，例如，受控-X、受控-Y、受控-Z(也称为CX、CY、CZ)，以及包括三个或更多量子位的门，例如，托弗利门。量子逻辑门可以通过将控制和测量系统204产生的控制信号210施加到量子位和耦合器来实现。

例如，在一些实施方式中，量子位组件252中的量子位可以是频率可调的。在这些例子中，每个量子位可以具有相关联的工作频率，这些工作频率可以通过经由耦合到量子位的一个或多个驱动线施加电压脉冲来调整。工作频率的例子包括量子位空闲频率、量子位相互作用频率和量子位读出频率。不同的频率对应于量子位可以执行的不同操作。例如，将工作频率设置为相应的空闲频率可以使量子位进入在其中，其不会与其他量子位强烈地相互作用，并且在其中，其可以用于执行单量子位门(single-qubit gate)的状态。作为另一个例子，在量子位通过具有固定耦合的耦合器相互作用的情况下，量子位可以被配置成通过将它们相应的工作频率设置在与它们共同的相互作用频率失谐的某个门相关(gate-dependent)的频率来相互作用。在其他情况下，例如，当量子位通过可调耦合器相互作用时，量子位可以被配置成通过设置它们相应的耦合器的参数以使量子位之间能够相互作用，然后通过将量子位相应的工作频率设置在与它们共同的相互作用频率失谐的某个门相关的频率来相互作用。为了实现多量子位门，可以进行这样的相互左右。

所使用的控制信号210的类型取决于量子位的物理实现。例如，控制信号可以包括NMR或超导量子计算机系统中的RF或微波脉冲，或者原子量子计算机系统中的光脉冲。

量子计算可以通过测量量子位的状态来完成，例如，使用量子可观测物，如X或Z，使用相应的控制信号210。测量使得代表测量结果的读出信号212被传送回测量和控制系统204。取决于量子计算设备和/或量子位的物理方案，读出信号212可以包括RF、微波或光学信号。为了方便起见，图2所示的控制信号210和读出信号212被描述为只寻址量子位组件的选定元件(即，顶行和底行)，但是在操作期间，控制信号210和读出信号212可以寻址量子位组件252中的每个元件。

控制和测量系统204是经典计算机系统的一个例子，该系统可以用于在量子位组件252上执行如上所述的各种操作，以及其他经典子程序或计算。控制和测量系统204包括由一条或多条数据总线连接的一个或多个经典处理器，例如经典处理器214，一个或多个存储器，例如存储器216，以及一个或多个I/O单元，例如I/O单元218。控制和测量系统204可以被编程为向量子位组件发送控制信号210的序列，例如，用于执行一系列选定的量子门(quantum gate)操作，并且从量子位组件接收读出信号212的序列，例如，作为执行测量操作的一部分。

处理器214被配置成处理在控制和测量系统204内执行的指令。在一些实施方式中，处理器214是单线程处理器。在其他实施方式中，处理器214是多线程处理器。处理器214能够处理存储在存储器216中的指令。

存储器216存储控制和测量系统204内的信息。在一些实施方式中，存储器216包括计算机可读介质、易失性存储器单元和/或非易失性存储器单元。在一些情况下，存储器216可以包括能够为系统204提供大容量存储的存储设备，例如，硬盘设备、光盘设备、由多个计算设备通过网络共享的存储设备(例如，云存储设备)，和/或一些其他大容量存储设备。

输入/输出设备218为控制和测量系统204提供输入/输出操作。输入/输出设备218可以包括D/A转换器、A/D转换器和RF/微波/光信号发生器、发射器和接收器，从而向量子位组件发送控制信号210和从量子位组件接收读出信号212，作为适合于量子计算机的物理方案。在一些实施方式中，输入/输出设备218还可以包括一个或多个网络接口设备，例如以太网卡、串行通信设备(例如RS-232端口)和/或无线接口设备(例如802.11卡)。在一些实施方式中，输入/输出设备218可以包括被配置为接收输入数据并将输出数据发送到其他外部设备(例如，键盘、打印机和显示设备)的驱动设备。

尽管在图2中已经描述了示例控制和测量系统204，但是本说明书中描述的主题和功能操作的实施方式可以在其他类型的数字电子电路中实现，或者在计算机软件、固件或硬件中实现，其包括本说明书中公开的结构及其结构等同物，或者在它们中的一个或多个的组合中实现。

示例系统200包括示例经典处理器250。根据一些实施方式，经典处理器250可以用于执行本说明书中描述的经典计算操作，例如，这里描述的经典机器学习方法。

图3示出了使用投影量子内核方法执行分类和回归任务的图2的示例系统200的框图。阶段(A)-(E)表示训练阶段，并且对应于示例过程400的步骤402-406，如下面参考图4所述。在示例过程的阶段(A)期间，量子计算设备202获得数据点的训练数据集。在一些实施方式中，数据点可以是量子数据点，例如，量子状态。在其他实施方式中，数据点可以是经典数据点。在这些实现中，在阶段(B)期间，量子计算设备将经典数据点嵌入相应的量子状态中。下面参考示例过程400的步骤402更详细地描述阶段(A)和(B)。在一些实施方式中，数据点的训练数据集可以从经典计算机，例如，经典处理器250接收。在其他实施方式中，数据点的训练数据集可以从量子计算设备，例如，量子计算设备202接收。

在阶段(C)期间，量子计算设备102使用内核函数来计算内核矩阵，该内核函数基于所获得的量子数据点/状态的约化密度矩阵。下面参考示例过程400的步骤404更详细地描述阶段(C)。

在阶段(D)期间，量子计算设备202将计算的内核矩阵发送到经典处理器250。在阶段(E)，经典处理器接收内核矩阵，并使用内核矩阵来训练机器学习模型。

阶段(F)-(K)表示查验(verification)或推断阶段，并且对应于示例过程400的步骤408-412。在阶段(F)期间，量子计算设备202获得数据点的验证数据集。在一些实施方式中，数据点可以是量子数据点，例如，量子状态。在其他实施方式中，数据点可以是经典数据点。在这些实施方式中，在阶段(G)期间，量子计算设备将经典数据点嵌入相应的量子状态中。

在阶段(H)期间，量子计算设备通过计算对应于验证数据集中的数据点的新的行和列来更新内核矩阵。下面参考示例过程400的步骤404和410更详细地描述阶段(H)。

在阶段(I)期间，量子计算设备202将更新的内核矩阵发送到经典处理器250。在阶段(J),经典处理器接收更新的内核矩阵，并使用训练的机器学习模型处理更新的内核矩阵。在阶段(K)期间，经典处理器250输出对应于验证数据集中的数据点的预测。

硬件编程

图4是用于生成和更新内核矩阵的示例过程400的流程图。为了方便起见，过程400将被描述为由位于一个或多个位置的一个或多个经典和量子计算设备的系统来执行。例如，根据本说明书适当编程的图1的量子计算设备100可以执行过程400。

量子计算设备获得量子数据点的训练数据集(步骤402)。数据点可以是未标记的，或者被赋予相关的分类标记或数值。

在一些实施方式中，量子计算设备可以接收训练数据集作为量子数据输入。例如，量子计算设备可以接收量子状态|x_i>的集合或者从包括在量子计算设备中的量子存储器中访问量子状态的集合。训练数据集中的每个量子状态|x_i>可以是N量子位量子系统的相应状态。每个量子状态|x_i>可以代表相应的经典数据点，例如，如下所述的图像。

在其他实施方式中，量子计算设备可以接收经典数据点{x_i}的训练数据集，并且通过将每个经典数据点x_i嵌入到相应的量子状态|x_i>中来生成量子数据点的相应训练数据集。为了将经典数据点x_i嵌入到N量子位量子状态|x_i>中，量子计算设备可以将编码电路U_enc(x_i)应用到N量子位的参考量子状态，例如状态|00…0>。用于将经典数据点嵌入相应量子状态的编码电路U_enc取决于经典数据点的训练数据集中包含的数据类型，并且可以使用各种电路。例如，在经典数据点代表图像的情况下，编码电路可以被定义为通过图像的相应缩放奇异值来旋转N量子位的每个量子位的电路。在一些情况下，可以使用更复杂的编码电路，其包括旋转层，在一些层之间具有纠缠量子门。

量子计算设备执行多个量子计算，以计算表示训练数据集中包括的量子数据点之间的相似性的内核矩阵Q(步骤404)。计算内核矩阵包括计算训练数据集中每对量子数据点x_i,x_j的内核函数值Q_ij＝Q(x_i,x_j)。内核函数Q(x_i,x_j)基于在步骤402获得的量子数据点的约化密度矩阵。例如，在一些实施方式中，内核函数可以基于量子数据点的单体约化密度矩阵(1-RDM)。在其他实施方式中，内核函数可以基于量子数据点的k体RDM，其中，k小于预定值。示例内的内核函数描述如下。

使用1-RDM的线性内核函数

在内核函数基于1-RDM的集合的实施方式中，内核函数可以是线性内核函数。线性内核函数将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，并产生数值输出。线性内核函数可以包括项的和，其中，该和在N量子位的每个量子位上运行。每个被加数对应于相应的量子位，并且等于i)对应于相应量子位的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵和ii)对应于相应量子位的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的乘积的迹。例如，线性内核函数可以由下面的等式(1)给出。

在等式(1)中，l是从1到量子位数量N的索引，并且标记每个量子位，并且ρ(x_i)＝|x_i><x_i|和Tr_m≠k[ρ(x_i)]表示1-RDM，例如，除了量子位k之外的所有量子位上的迹。方程(1)给出的线性内核函数可以学习任何可以写成一体(one-body)项之和的可观测值。

为了为包括第一N量子位量子状态和第二N量子位量子状态的一对量子数据点计算由等式(1)给出的线性内核函数的值，量子计算设备可以：

重复地并且对于每个量子位索引l＝1,…,N：

-在对应于量子位l的子系统上计算第一N量子位量子状态的1-RDM，例如，通过获得或准备第一N量子位量子状态的副本，例如，获得或准备第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了第l个量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态的经典表示，例如2×2矩阵，来计算Tr_m≠l[ρ(x_i)]。

-在对应于量子位l的子系统上计算第二N量子位量子状态的1-RDM，例如，通过获得或准备第二N量子位量子状态的副本，例如，获得或准备第二N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了第l个量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态的经典表示，例如，2×2矩阵，来计算Tr_m≠l[ρ(x_j)]。

-根据等式(1)执行经典运算(例如，将第一约化量子状态和第二约化量子状态的经典表示相乘，计算相乘值的迹，并且对每个量子位索引l＝1,…,N的计算的迹的平均值求和)，以获得Q(x_i,x_j)的数值。

为了计算完整的内核矩阵，量子计算设备对训练数据集中的每对量子数据点x_i,x_j重复上述过程。

使用1-RDM的平方指数内核函数

作为另一个例子，在内核函数基于1-RDM的集合的实施方式中，内核函数可以是平方指数内核函数。平方指数内核函数将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，并产生数值输出。平方指数内核函数可以包括项的和的指数函数，其中，该和在N量子位的每一个上运行。每个被加数对应于相应的量子位，并且等于i)对应于相应量子位的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵减去ii)对应于相应量子位的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的范数(norm)。例如，平方指数内核函数可以由下面的等式(2)给出：

在等式(2)中，γ表示可调参数，其可被调整以提高预测精度(γ可用于定义点x_i和x_j多近时应该使用RDM，如果γ大，则大多数点将具有接近于零的相似性，而如果γ小，则具有相似RDM的点被认为具有高相似性。如果γ是零，则每个点可以被认为是相同的)，l是从1到量子位的数量N的索引，并且标记每个量子位，并且ρ(x_i)＝|x_i><x_i|和Tr_m≠k[ρ(x_i)]表示1-RDM。等式(2)给出的平方指数内核函数可以学习1-RDM的任何非线性函数。

为了为包括第一N量子位量子状态和第二N量子位量子状态的一对量子数据点计算由等式(2)给出的平方指数内核函数的值，量子计算设备可以：

重复地，并且对于每个量子位索引l＝1,…,N：

-在对应于量子位l的子系统上计算第一N量子位量子状态的1-RDM，例如，通过获得或准备第一N量子位量子状态的副本，例如，获得或准备第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了第l个量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态(的经典表示)，来计算Tr_m≠l[ρ(x_i)]。

-在对应于量子位l的子系统上计算第二N量子位量子状态的1-RDM，例如，通过获得或准备第二N量子位量子状态的副本，例如，获得或准备第二N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了第l个量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态(的经典表示)，来计算Tr_m≠l[ρ(x_j)]。

-从第一约化量子状态中减去第二约化量子状态，以获得第三约化量子状态，并确定第三约化量子状态的范数，例如，经典地计算||Tr_m≠l[ρ(x_i)]-Tr_n≠l[ρ(x_j)]||²以及

-对每个量子位索引(index)l＝1,…,N的确定的范数的平均值求和，乘以–γ，并计算指数以获得

的值。

使用k-RDM的线性内核函数

作为另一个例子，在内核函数基于k-RDM集合的实施方式中，内核函数可以是线性内核函数。线性内核函数将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，并产生数值输出。线性内核函数可以包括项的和，其中，该和在取自N量子位的k量子位的每个子集上运行。每个被加数对应于相应的子集，并且等于i)对应于k量子位的相应子集的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵和ii)对应于k量子位的相应子集的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的乘积的迹。例如，线性内核函数可以由下面的等式(3)给出：

在等式(3)中，S_k(n)表示k量子位(取自N量子位)的子集的集合，并且ρ(x_i)＝|x_i><x_i|和Tr_m≠K[ρ(x_i)]表示k-RDM，例如，除了包括在集合K中的k量子位之外的所有量子位上的迹。方程(3)的线性内核函数可以学习任何可以写成k体项之和的可观测值。

为了为包括第一N量子位量子状态和第二N量子位量子状态的一对量子数据点计算由等式(3)给出的线性内核函数的值，量子计算设备可以：

重复地，并且对于k量子位的每个集合K：

-在对应于集合K中的量子位的子系统上计算第一N量子位量子状态的k-RDM，例如，通过获得或准备第一N量子位量子状态的副本，例如，获得或准备第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了被包括在集合K中的量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态(的经典表示，例如，矩阵表示)，来计算Tr_m≠K[ρ(x_i)]。

-在对应于集合K中的量子位的子系统上计算第二N量子位量子状态的k-RDM，例如，通过获得或准备第二N量子位量子状态的副本，例如，获得或准备第二N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了被包括在集合K中的量子位之外的量子系统中每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态(的经典表示)，来计算Tr_m≠K[ρ(x_j)]。

-确定第一约化量子状态和第二约化量子状态的乘积的迹，例如，确定Tr[Tr_m≠K[ρ(x_i)]]以及[Tr_n≠K[ρ(x_j)]]，以及

-对k量子位的每个集合K确定的迹的平均值求和，以获得

的数值。

使用k-RDM的指数内核函数

由等式(1)-(3)给出的内核函数可以学习有限类的函数，例如，由等式(1)给出的线性内核函数可以学习单量子位可观测值之和的可观测值(observable)。然而，在一些实施方式中，定义可以学习任何量子模型的内核可能是有益的，例如，由全量子状态的线性函数

给出的任意深度的量子神经网络。在这些实施方式中，内核函数可以是指数内核函数，其使用用经典阴影技术采样的k-RDM。量子位索引(p₁,p₂,…p_k)的量子状态ρ(x)的k-RDM可以通过使用经典阴影的形式的局部随机化测量来重建：

其中，

是第p_r个量子位上的随机泡利测量基础X，Y和Z，/>

是泡利基础/>

下量子状态ρ(x)的第p_r个量子位上的测量结果±1。期望值是相对于ρ(x)上的随机测量而言的。两个k-RDM的内积等于：

其中，ρ(x_i)和ρ9x_j)的随机化测量结果是独立的。这个方程可以推广到某些指标p_r,p_s重合的情况。这在定义内核的特性图中引入了额外的特性。所有可能的k-RDM的总和可以写成：

其中，使用了两个k-RDM的内积和期望的线性的等式。因此，包含所有RDM阶的内核函数由下面的等式(4)给出：

在等式(4)中，期望值

在取自在系统i和j上测量的随机选择的泡利帧的n_s样本上获得，/>

表示在系统i和系统j上独立执行的随机泡利测量结果之间的一致性的第一指示函数，并且/>

表示测量基础一致性的第二指示函数，例如，是否选择了跨越两个系统之间的每个量子位的相同基础X,Y,Z,I。γ表示超参数。

为了为包括第一N量子位量子状态和第二N量子位量子状态的一对量子数据点计算由等式(4)给出的线性内核函数的值，量子计算设备可以：

对于n_s样本的第k次重复：

-通过在随机采样的泡利基础X、Y或Z中测量系统i中的每个量子位来获得第一测量结果，以获得第h个量子位上的

和/>

其中，/>

是1或-1，并且/>

是随机基础X、Y或Z，

-通过在随机采样的泡利基础X、Y或Z中测量系统j中的每个量子位来获得第二测量结果，以获得第h个量子位上的

和/>

其中，/>

是1或-1，并且/>

是随机基础X、Y或Z，

-对于N量子位系统中的第h个量子位，比较第一测量结果和第二测量结果以确定第一指示函数

的值，如果两个结果/>

相等，则该值等于1，否则等于0，

-对于N量子位系统中的第h个量子位，通过

确定第二指示函数的值，

-对于可调γ>0，计算值

以及

-使用

估计内核函数。

在数学上，计算数量：

其中，N_s代表系统i或j的每个量子状态的重复次数，r₁和r₂是重复，

代表r₂重复的第p个量子位中的泡利基础，并且/>

是相应的测量结果。使用局部随机化测量和经典阴影的形式来计算该内核函数是有效的，因为经典阴影形式允许根据少量测量来有效地构建RDM。

回到图4，量子计算设备向经典处理器提供计算的内核矩阵Q(步骤406)。经典处理器被配置成使用内核矩阵Q来执行经典机器学习方法。例如，在步骤402获得的训练数据点被标记为数据的实施方式中，经典处理器可以被配置为执行用于分类或预测的任何内核SVM方法，包括高斯内核、神经正切内核、随机森林(random forests)。作为另一个例子，在步骤402获得的训练是未标记数据的实施方式中，经典处理器可以被配置成使用计算的内核矩阵来赋予空间距离度量，该距离度量可以用于使用诸如k-means的算法来执行无监督学习或分类。

经典处理器使用接收到的内核矩阵来执行训练算法，以训练对应的机器学习模型。由经典处理器执行的特定训练算法取决于经典处理器被配置来执行的机器学习方法的类型，并且可以包括各种训练算法。

量子计算设备获得量子数据点的验证数据集{y_i}(步骤408)。如上文参考步骤402所述，包括在验证数据集中的量子数据点可以作为量子数据输入接收，或者可以基于经典数据输入生成。

量子计算设备执行多个量子计算，以通过计算内核矩阵的新的行和列来更新内核矩阵(步骤410)。新的行和列表示验证数据集中的量子数据点和训练数据集中的量子数据点之间的相似性。计算内核矩阵的新的行和列包括为训练数据集和验证数据集中的每对量子数据点x_i,y_j计算先前使用的内核函数Q_ij＝Q(x_i,x_j)的值，如上面参考步骤404所述。

量子计算设备向经典处理器提供更新的内核矩阵，例如，内核矩阵的新的行和列(步骤412)。经典处理器处理更新的内核矩阵以输出预测，例如，为验证数据集中的每个量子数据点分配标签或数值。

本说明书中描述的数字和/或量子主题以及数字功能操作和量子操作的实施方式可以在数字电子电路、合适的量子电路或者更一般地，量子计算系统中实现，在有形体现的数字和/或量子计算机软件或固件中实现，在数字和/或量子计算机硬件，包括本说明书中公开的结构及其结构等同物中实现，或者在它们中的一个或多个的组合中实现。术语“量子计算系统”可以包括但不限于量子计算机、量子信息处理系统、量子密码系统或量子模拟器。

在本说明书中描述的数字和/或量子主题的实现可以被实现为一个或多个数字和/或量子计算机程序，即，编码在有形非暂时性存储介质上的数字和/或量子计算机程序指令的一个或多个模块，用于由数据处理装置执行或控制数据处理装置的操作。数字和/或量子计算机存储介质可以是机器可读存储设备、机器可读存储基板、随机或串行存取存储设备、一个或多个量子位、或者它们中的一个或多个的组合。可替换地或附加地，程序指令可以被编码在能够编码数字和/或量子信息的人工生成的传播信号上，例如，机器生成的电、光或电磁信号，其被生成以编码数字和/或量子信息，用于传输到合适的接收器装置以由数据处理装置执行。

术语量子信息和量子数据是指由量子系统携带、保存或存储的信息或数据，其中，最小的非平凡系统是量子位，即，定义量子信息单位的系统。应当理解，术语“量子位”包括在相应的上下文中可以适当地近似为二级(two-level)系统的所有量子系统。这种量子系统可以包括多级系统，例如，具有两个或更多级。举例来说，这种系统可以包括原子、电子、光子、离子或超导量子位。在许多实施方式中，计算基础状态用基态(ground)和第一激发态来标识，然而应当理解，计算状态用更高级激发态来标识的其他设置也是可能的。术语“数据处理装置”指的是数字和/或量子数据处理硬件，并且包括用于处理数字和/或量子数据的所有种类的装置、设备和机器，例如包括可编程数字处理器、可编程量子处理器、数字计算机、量子计算机、多个数字和量子处理器或计算机以及它们的组合。装置还可以是或进一步包括专用逻辑电路，例如FPGA(现场可编程门阵列)、ASIC(专用集成电路)或量子模拟器，即，被设计成模拟或产生关于特定量子系统的信息的量子数据处理装置。特别地，量子模拟器是一种特殊用途的量子计算机，其不具备执行通用量子计算的能力。除了硬件之外，装置可以可选地包括为数字和/或量子计算机程序创建执行环境的代码，例如，构成处理器固件、协议栈、数据库管理系统、操作系统或它们中的一个或多个的组合的代码。

数字计算机程序也可以被称为或描述为程序、软件、软件应用、模块、软件模块、脚本或代码，其可以用任何形式的编程语言编写，包括编译或解释语言，或者声明性或过程性语言，并且其可以以任何形式部署，包括作为独立程序或作为模块、组件、子例程或适用于数字计算环境的其他单元的形式。量子计算机程序，也可以称为或描述为程序、软件、软件应用、模块、软件模块、脚本或代码，其可以用任何形式的编程语言编写，包括编译或解释语言，或者声明性或过程性语言，以及翻译成合适的量子编程语言，或者可以用量子编程语言编写，例如QCL或Quipper。

数字和/或量子计算机程序可以但不需要对应于文件系统中的文件。程序可以存储在保存其他程序或数据的文件的一部分中，例如，存储在标记语言文档中的一个或多个脚本，存储在专用于所讨论的程序的单个文件中，或者存储在多个协作文件中，例如，存储一个或多个模块、子程序或代码部分的文件中。数字和/或量子计算机程序可以被部署为在一个数字或一个量子计算机上执行，或者在位于一个地点或者分布在多个地点并且通过数字和/或量子数据通信网络互连的多个数字和/或量子计算机上执行。量子数据通信网络被理解为可以使用量子系统(例如量子位)传输量子数据的网络。通常，数字数据通信网络不能传输量子数据，然而量子数据通信网络可以传输量子数据和数字数据。

在本说明书中描述的过程和逻辑流程可以由一个或多个可编程数字和/或量子计算机来执行，适当时与一个或多个数字和/或量子处理器一起操作，执行一个或多个数字和/或量子计算机程序，以通过对输入数字和量子数据进行操作并生成输出来执行功能。过程和逻辑流程也可以由专用逻辑电路或量子模拟器来执行，并且装置也可以被实现为专用逻辑电路或量子模拟器，所述专用逻辑电路例如是FPGA或ASIC，或者由专用逻辑电路或量子模拟器和一个或多个编程的数字和/或量子计算机的组合来执行。

对于一个或多个数字和/或量子计算机的系统来说,“被配置成”执行特定的操作或动作意味着该系统已经在其上安装了软件、固件、硬件或它们的组合，这些软件、固件、硬件或它们的组合在操作中使得该系统执行这些操作或动作。一个或多个数字和/或量子计算机程序被配置成执行特定的操作或动作意味着一个或多个程序包括当由数字和/或量子数据处理装置执行时，使得该装置执行操作或动作的指令。量子计算机可以从数字计算机接收指令，当这些指令被量子计算装置执行时，使得装置执行操作或动作。

适于执行数字和/或量子计算机程序的数字和/或量子计算机可以基于通用或专用数字和/或量子处理器或两者，或者任何其他类型的中央数字和/或量子处理单元。通常地，中央数字和/或量子处理单元将从只读存储器、随机存取存储器或适于传输量子数据(例如光子)的量子系统或其组合接收指令和数字和/或量子数据。

数字和/或量子计算机的基本元件是用于执行或者实行指令的中央处理单元以及用于存储指令和数字和/或量子数据的一个或多个存储设备。中央处理单元和存储器可以由专用逻辑电路或量子模拟器补充或并入其中。通常地，数字和/或量子计算机还将包括或可操作地耦合到用于存储数字和/或量子数据的一个或多个大容量存储设备，以从该大容量存储设备接收数字和/或量子数据或将数字和/或量子数据传输到该大容量存储设备，或者两者兼有，该大容量存储设备例如是磁盘、磁光盘、光盘或适于存储量子信息的量子系统。然而，数字和/或量子计算机不必须这样的设备。

适于存储数字和/或量子计算机程序指令以及数字和/或量子数据的数字和/或量子计算机可读介质包括所有形式的非易失性数字和/或量子存储器、介质和存储设备，包括例如半导体存储设备，例如，EPROM、EEPROM和闪存设备；磁盘，例如，内部硬盘或可移动磁盘；磁光盘；CD-ROM和DVD-ROM盘；和量子系统，例如俘获的原子或电子。应了解，量子存储器是能够高保真、高效率地长时间存储量子数据的设备，例如，光用于传输的光-物质接口(light-matter interface)和用于存储和保存量子数据的量子特征，诸如叠加或量子相干的物质。

本说明书中描述的各种系统的控制或它们的一部分可以在数字和/或量子计算机程序产品中实现，其包括存储在一个或多个非暂时性机器可读存储介质上并且可在一个或多个数字和/或量子处理设备上执行的指令。本说明书中描述的系统或它们的一部分可以各自被实现为装置、方法或系统，其可以包括一个或多个数字和/或量子处理设备以及存储可执行指令以执行本说明书中描述的操作的存储器。

虽然本说明书包含许多具体的实现细节，但是这些不应被解释为对所要求保护的范围的限制，而是对特定实施方式所特有的特征的描述。本说明书中在独立实施方式的上下文中描述的某些特征也可以在单个实施方式中组合实现。相反，在单个实施方式的上下文中描述的各种特征也可以在多个实施方式中分离地实现或者以任何合适的子组合实现。此外，尽管特征可能在上面被描述为在某些组合中起作用，并且甚至最初被如此要求保护，但是来自所要求保护的组合的一个或多个特征在一些情况下可以从该组合中删除，并且所要求保护的组合可以针对子组合或子组合的变型。

类似地，虽然在附图中以特定的顺序描述了操作，但是这不应该被理解为要求这些操作以所示的特定顺序或顺序执行，或者要求所有示出的操作都被执行，以获得期望的结果。在某些情况下，多任务和并行处理可能是有利的。此外，上述实施方式中的各种系统模块和组件的分离不应该被理解为在所有实施方式中都需要这样的分离，并且应该理解，所描述的程序组件和系统通常可以一起集成在单个软件产品中或者打包到多个软件产品中。

已经描述了主题的特定实施方式。其他实施方式在以下权利要求的范围内。例如，权利要求中所述的动作可以以不同的顺序来执行，并且仍然可以获得期望的结果。作为一个示例，附图中描绘的过程不一定需要所示的特定顺序或连续顺序来实现期望的结果。在某些情况下，多任务和并行处理可能是有利的。

Claims

1.一种计算机实现的方法，包括:

由量子计算设备获得量子数据点的训练数据集；

由量子计算设备计算表示包括在训练数据集中的量子数据点之间的相似性的内核矩阵，包括为训练数据集中的每对量子数据点计算内核函数的对应值，其中，内核函数基于量子数据点的约化密度矩阵；以及

由量子计算设备向经典处理器提供内核矩阵。

2.根据权利要求1所述的方法，进一步包括:

从量子计算设备并通过经典处理器接收内核矩阵；以及

由经典处理器使用内核矩阵来执行训练算法，以构建机器学习模型。

3.根据权利要求1所述的方法，进一步包括:

由量子计算设备获得量子数据点的验证数据集；

由量子计算设备计算内核矩阵的新元素，其中，新元素包括表示验证数据集中的量子数据点和训练数据集中的量子数据点之间的相似性的条目，其中，计算新元素包括为训练数据集和验证数据集中的每对量子数据点计算内核函数的对应值；以及

由量子计算设备向经典处理器提供内核矩阵的新元素。

4.根据权利要求3所述的方法，还包括由经典处理器处理内核矩阵的新元素，以输出验证数据集中每个量子数据点的预测。

5.根据上述权利要求中的任何一个所述的方法，其中，所述内核函数基于训练数据集中量子数据点的单体约化密度矩阵。

6.根据权利要求5所述的方法，其中，所述内核函数包括线性内核函数。

7.根据权利要求6所述的方法，其中，所述线性内核函数i)将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，ii)产生数值输出，以及iii)包括项的和，其中，所述和在N>1的N量子位的每一个上运行，并且被加数对应于相应的量子位，并且等于a)对应于相应量子位的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵和b)对应于相应量子位的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的乘积的迹。

8.根据权利要求6或7所述的方法，其中，所述线性内核函数由下式给出：

其中，x_i，x_j代表第一量子数据点和第二量子数据点，l代表从1到量子位数量N的索引，并且标记每个量子位，ρ(x_i)＝|x_i><x_i|并且Tr_m≠k[ρ(x_i)]代表量子位k上的1-约化密度矩阵(RDM)。

9.根据权利要求6至8中任一项所述的方法，其中,为训练数据集中的一对量子数据点计算内核函数的值，其中，所述对包括具有N＞1的第一N量子位量子状态，以及具有N＞1的第二N量子位量子状态，包括：

重复地并且对于每个量子位索引：

为对应于量子位l的子系统上的第一N量子位量子状态计算1-约化密度矩阵(RDM),包括获得处于第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，以及测量除了第l个量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态；

为对应于量子位l的子系统上的第二N量子位量子状态计算1-RDM，包括获得处于第二N量子位量子状态中的N量子位量子系统的副本，并测量除第l个量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态；

确定第一约化量子状态和第二约化量子状态的乘积的迹；以及

对每个量子位索引的确定迹的平均值求和。

10.根据权利要求5所述的方法，其中，所述内核函数包括平方指数内核函数。

11.根据权利要求10所述的方法，其中，所述平方指数内核函数i)将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，ii)产生数值输出，以及iii)包括项的和的指数函数，其中，所述和在N>1的N量子位的每个上运行，并且被加数对应于相应量子位，并且等于a)对应于相应量子位的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵减去b)对应于相应量子位的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的范数。

12.根据权利要求10或11所述的方法，其中，所述平方指数内核函数由下式给出：

13.根据权利要求10至12中任一项所述的方法，其中，为训练数据集中的一对量子数据点计算内核函数的值，其中，所述对包括具有N＞1的第一N量子位量子状态和具有N＞1的第二N量子位量子状态，包括：重复地并且对于每个量子位索引：

为对应于量子位l的子系统上的第一N量子位量子状态计算1-约化密度矩阵(RDM),包括获得处于第一N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并且测量除了第l个量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第一约化量子状态；

为对应于量子位l的子系统上的第二N量子位量子状态计算1-RDM，包括获得处于第二N量子位量子状态的N量子位量子系统的副本，并测量除了第l个量子位之外的量子系统中的每个量子位，以获得量子系统的第二约化量子状态；

从第一约化量子状态中减去第二约化量子状态以获得第三约化量子状态，并确定第三约化量子状态的范数；以及

对每个量子位索引的所确定的范数的平均值求和，并计算求和平均值的指数。

14.根据权利要求1至4中任一项所述的方法，其中，所述内核函数基于量子数据点的k体RDM，其中，k小于预定值。

15.根据权利要求14所述的方法，其中，所述内核函数包括线性内核函数。

16.根据权利要求15所述的方法，其中，所述线性内核函数i)将第一量子数据点和第二量子数据点作为输入，ii)产生数值输出，以及iii)包括项的和，其中，所述和在取自N量子位的k量子位的每个子集上运行，并且每个被加数对应于相应子集，并且等于a)对应于k量子位的相应子集的子系统上的第一量子数据点的约化密度矩阵和b)对应于k量子位的相应子集的子系统上的第二量子数据点的约化密度矩阵的乘积的迹。

17.根据权利要求15或16所述的方法，其中，所述线性内核函数由下式给出：