CN116305678B - 基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及铁路线路精细优化技术领域，涉及一种基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法，包括：1、输入原始数据，包括铁路线型、地形、目标函数以及约束；2、平面线型参数化处理；2.1、对原平面线型进行分段；2.2、确定平面线型参数搜索规则；3、平面线型优化；4、纵断面线型参数化处理；4.1、重新生成平面线型：将步骤3生成的平面线型作为纵断面优化的输入平面线型；步骤4.2、对原纵断面线型进行分段；4.3、确定纵断面线型参数搜索规则；5、纵断面线型优化；6、得到目标函数值最优的线型，检查线型是否符合要求。本发明能较佳地进行铁路线路精细优化。
Description
技术领域
本发明涉及铁路线路精细优化技术领域，具体地说，涉及一种基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法。
背景技术
随着大都市社会经济的快速发展，世界范围内的城市化进程也在快速推进。再加上大规模的城市和城际快速交通建设带来的交通便利性和流动性的提高，使得跨区域的城际铁路出行成为可能，并呈现出不断发展的趋势。城市地区的铁路设计与其他地区的铁路设计不同，因为城市地区有明显的特点，如土地成本高、建筑拆迁成本高，以及由此带来的碳排放增加。尽管在人工走线设计中已经考虑了许多控制因素，但要实现最佳设计是很困难的。
在高密度城市地区的铁路线路设计会遇到以下困难和挑战。1)虽然这些住区的建筑可能不高(1-3层)，或者面积不大，但分布非常密集；2)如果不仔细合理地设计线路，铁路建设工程可能会产生巨大的房屋拆迁补偿费用；3)由此产生的房屋拆迁和新建的碳排放会进一步恶化当地的生态环境。
铁路选线设计是一个复杂的优化过程，综合了政治、经济、文化、生态、地质等问题。目前的铁路选线设计方法一般是以人工设计为主。先选择一个可行的、合理的走廊，解决政治和文化问题，同时考虑到经济、生态和地质等方面。在选择走廊后，初步走线设计致力于确定垂直和水平方面的详细走线参数，同时考虑到走线的成本、地形、地质和生态。在这个阶段，设计开始进入细化设计模式。值得注意的是，我们提出的微调算法是在初步人工设计完成后的初步设计阶段应用的。给定一个人工确定的路线，本研究根据线形特点进行精细化优化。
由于人力的限制，要列举所有可能的走线几乎是不可能的。此外，在高密度的住宅区，水平线的轻微偏差都会对建筑物的拆除造成很大影响。为了解决这个问题，人们可以利用计算机提供的高计算能力，在初步设计阶段对现有的人工定线进行进一步的微调。因此，人类经验和计算机算法的优势可以得到合理的整合。基于工程成本、碳排放和土地使用的节约，可以进一步提高线形设计的效率。
目前，关于铁路线路的精细优化设计的研究很少。此外，关于建筑拆迁节约和碳排放的研究也很少。DP(动态规划)在线形优化领域的应用已经有较长的时间，但它是在交点数量固定的预可行性和可行性研究阶段使用的。由于交叉点太多，搜索范围有限，最近它的应用已经大大减少。
有人用DP方法进行了三维铁路线形优化，在固定的水平交叉点数量和间距的情况下，找到了最佳的走廊线形，然后用改进的方向来完善走廊。用DP方法进行了三维铁路线形优化，在水平交叉点数量和间距固定的情况下，找到了最佳的走廊线形，然后用改进的方向加速法对走廊进行了完善。一些研究者提出，对于预先选定的平面线型，在有一定数量的纵断面变坡点的情况下，使用DP程序进行纵断面线型的优化。
然而，用DP算法进行优化时，交点的数量和位置是事先给定的，在优化过程中不能调整交点的数量。因此，DP算法在寻找最优走廊的过程中很难达到理想的效果。
发明内容
本发明的内容是提供一种基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化(FORA)方法，其能够克服现有技术的某种或某些缺陷。
根据本发明的一种基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法，其包括以下步骤：
步骤1、输入原始数据，包括铁路线型、地形、目标函数以及约束；
步骤2、平面线型参数化处理；
步骤2.1、对原平面线型进行分段；
步骤2.2、确定平面线型参数搜索规则；
步骤3、平面线型优化；
步骤4、纵断面线型参数化处理；
步骤4.1、重新生成平面线型：将步骤3生成的平面线型作为纵断面优化的输入平面线型；
步骤4.2、对原纵断面线型进行分段；
步骤4.3、确定纵断面线型参数搜索规则；
步骤5、纵断面线型优化；
步骤6、得到目标函数值最优的线型，检查线型是否符合要求；若符合，直接输出优化后的平、纵断面线型及估算的工程量；若不符合，则重复步骤1-5。
作为优选，铁路线型是一条分布在三维空间的曲线，这条曲线在水平面上的投影称为平面线型HA；在这条曲线上，以HA的长度为标点，以标高为序点的平面上的投影，称为纵断面线型VA；一个HA单元是一系列直线段、圆曲线和缓和曲线的组合；铁路HA单元由切线-缓和曲线-圆曲线-缓和曲线-切线组成；
HA是水平交点HPI坐标的一个函数(x,y)的函数，如公式(1)所示，起点和终点HPI的坐标被表示为(x0,y0)和(xN+1,yN+1)；
其中i＝1,2,…,N+1表示第i个HPI；xi,yi,RHi,Lsi是HA函数的四个变量；RH为圆曲线的半径，Ls为缓和曲线的长度；
同样，VA是一系列直线段和圆曲线的组合，VA的基本单位由切线-圆曲线-切线组成；与HA不同，VA上每个点的位置由里程K和设计高程E表示；VA是VPI位置和圆曲线半径的一个函数RV，如公式(2)所示，起点和终点的VPI位置分别表示为(K0,E0)和(KM+1,EM+1)；
其中j＝1,2,…,M+1表示第j个VPI；Kj,Ej,PVj是VA函数的三个变量；
这些变量组(xi,yi,RHi,Lsi,Kj,Ej,RVj)是对准参数的基本构成部分；空间中的三维线型可以由这些参数描述。
作为优选，影响平面线型的约束条件如下：
(1)HA中一条圆曲线的半径RH应超过最小允许半径RHCmin，并表示如下：
RH-RHCmin≥0 (3)
(2)水平排列中的一条缓和曲线Ls的长度应超过最小允许缓和曲线LsCmin，并表示如下：
Ls-LsCmin≥0 (4)
(3)一个圆形曲线的长度LHC在水平方向上应超过最小允许曲线长度LHCmin，并表示如下：
LHC-LHCmin≥0 (5)
(4)两个相邻的水平曲线之间的切线长度LT至少应是最小允许切线长度LTmin，具体如下：
LTmin-LT≤0 (7)。
作为优选，影响纵断面线型的约束条件如下：
1)在纵断面上的纵坡Gi应小于允许的最大纵坡Gmax，表示如下：
Gi≤Gmax (8)
2)VA中一条竖曲线的半径RV应超过最小允许竖曲线半径RVCmin，并表示如下：
RV-RVCmin≥0 (9)
3)坡长应不低于最小允许坡长LSmin，具体如下：
4)凸、凹竖曲线的长度应不小于凸形竖曲线允许最小长度Lvcmin，凹形竖曲线允许最小长度Lvsmin具体如下：
Lvc≥Lvcmin (11)
Lvs≥Lvsmin (12)。
作为优选，目标函数被定义为总的建筑成本CC，包括以下部分：土方工程费用CE，桥梁费用CB，隧道费用CT，与长度有关的费用CL，征地费用CR，建筑物拆除费用CBD，建筑物的二氧化碳排放惩罚成本CCB，以及铁路基础设施CCR；
CC＝CE+CB+CT+CL+CR+CBD+CCB+CCR (13)
(a)土方工程费CE
ω0,ω1,ω2＝0 or 1；ω0+ω1+ω2＝1
式中，ω0＝1为全挖方断面；ω1＝1为全填方断面；ω2＝1为半填半挖断面；Aci和Afi分别为第i个横断面挖方和填方的面积；uf、uc分别为填、挖方单价；LEi为第i个横断面的长度；
(b)桥梁费用CB
式中，n为全线桥梁的数量；uBi为第i座桥梁的单位建造成本；Li为第i座桥梁的长度；CAi第i座桥梁桥台的建造费用；
(c)隧道费用CT
式中，n为全线隧道的数量；uTi为第i座隧道的单位建造成本；Li为第i座隧道的长度；CPi第i座隧道洞口的建造费用；
(d)与长度有关的费用CL
CL＝uL×L；
式中，uL为线型费用的单位建造成本；L为线路总长；
(e)征地费用CR
式中，uRi为线路穿越不同区域时的单位征地费用；ARi为线路穿越区域所占用的面积；
(f)建筑物拆除费用CBD
CBD＝∑iAi×uH (14)
其中uH是一个建筑物的单位成本，Ai为第一栋楼的建筑面积i的建筑面积；
(g)建筑物的二氧化碳排放惩罚费用CCB
CCB＝(CJC+CJZ+CCC)×A×fc (15)
其中CJC是建筑材料生产和运输过程中单位建筑面积的碳排放量；CJZ为建筑施工阶段每单位建筑面积的碳排放量；CCC为建筑拆除阶段单位建筑面积的碳排放量；A是建筑面积；以及fc是在洲际交易所查询到的碳排放交易价格；
(h)铁路基础设施的二氧化碳排放处罚费用
铁路基础设施的二氧化碳排放惩罚成本CCR定义如下：
CCR＝(CER+CMR)×fc (21)
其中CER是铁路建设阶段的碳排放量；CMR是铁路材料生产和运输阶段的碳排放；fc是在洲际交易所查询到的碳排放交易价格；
基础设施建设期间的能源消耗和总碳排放量按公式(22)和(23)计算如下：
其中FCi表示第i种设备的燃料消耗；MCR,i是指第i种铁路建筑材料的消耗量；和DCR,i是第i种铁路建筑材料的平均运输距离。
作为优选，平面、纵切面线型参数搜索规则如下：在平面线型中，HPI坐标的变化被认为是在参考点附近以一定的步长进行枚举；RH的变化基于原始值的RH并以100米为步长进行枚举；Ls也用同样的方法列举，步长为10米；最后，对列举的参数进行排列组合，用计算机对每个方案进行试算，从而得到最优值；
VA中变量的列举和组合与HA中的类似，但是，K应该是50米的整数倍，而RV应该是1000米的整数倍。
作为优选，平面线型优化的优化方法，即上层DP方法为：
阶段划分
引入用于分阶段划分的辅助点，称为可移动点MP，MP的数量为k-2；用基本的HA单位来划分排列，所以有k＝0,1,…,N-1 DP stages，这种排列组合的阶段呈现如下:stage＝0,HPI0to MP2；stage＝1,MP1to MP2；stage＝k,MPk to MPk+1；...；stage＝N-2,MPN-2toMPN-1；stage＝N-1,MPN-1to HPIN+1；
状态
与优化问题的每个阶段相关联的是过程的状态，这些状态反映了全面评估当前决策对未来行动的影响所需的信息，状态变量是参数的列举值，状态空间S被划分为k集S＝{S0,…,Sk,…,SN-1}；
阶段的参数枚举值表示为k阶段的参数枚举值表示如下：
其中i＝0,1,…,r，和r代表HPI坐标的枚举数量；ir＝0,1,…,kr,kr代表参数的枚举数RH的枚举数；和il＝0,1,…,kl,kl代表参数的枚举数Ls；
决策变量
HA基本单元的计算表示为：
HAk＝f(xk-1,yk-1,xk,yk,xk+1,yk+1,RHk,Lsk) (26)
决策是指在一个阶段选择所有备选方案的最佳设计序列，阶段中的状态变量的值k+1的值不仅取决于阶段的状态变量的值k阶段的状态变量的值，而且还取决于k-1阶段的状态变量的值；
因此，如果决策变量的值uk(Sk-1,Sk)的值被确定，状态变量的值Sk+1在第k+1阶段的状态变量的值也完全确定，也就是说：
决策变量被说明如下：
状态转移
状态转移函数用于描述相邻阶段之间的参数过渡，这个转移函数从k阶段到k+1阶段的过渡函数说明如下：
状态和状态转换拥有以下属性：
属性1、模型的下一个状态只与当前阶段有关；
属性2、状态转换只发生在两个相邻的阶段之间；
属性3、不同的HPI连接序列可达到状态空间中的相同状态；
属性4、阶段中的状态变量的值k+1阶段的状态变量的值不仅取决于阶段的状态变量的值k阶段的状态变量的值，而且还取决于阶段的状态变量的最佳值；
决策
决策序列包括从第0或第k阶段的开始到结束的过程；k阶段开始到第N+1组成的决策序列被称为整个过程的政策，即：
p0N(S0)＝{u0(S0),u1(S1),…,uN(SN)} (30)
pkN(Sk)＝{uk(Sk),uk+1(Sk+1),…,uN(SN)} (31)
满足约束条件的所有政策的集合被称为允许政策的集合，用P表示，如下所示：
p0N(S0)∈P0N(S0)or pkN(Sk)∈PkN(Sk) (32)
准则函数
对于有多个预设的状态，准则函数被用来指导决策和找到最佳预设；
根据公式(1)，(2)和(12)，建筑成本取决于HA和VA，可以表示为：
CC(f(.),g(.))＝CC(f(xi,yi,RHi,Lsi)),g(Kj,Ej,RVj)) (33)
其中g(.)代表纵断面线型函数，基准线的纵断面线型参数用于第一次迭代计算；
状态k阶段Sk(HPIk,RHk,Lsk)至k+1阶段Sk+1(HPIk+1,RHk+1,Lsk+1)阶段的的建筑成本表示如下：
过程函数如下：
最佳目标函数值如下：
递归方程表示如下：
边界条件如下：
fN+1(SN+1)＝0 (39)
递归方程可推导出k＝N，然后就实现最优决策和最佳目标函数；当k＝0,f0(S0)可获得，这也是整个优化问题的解；
用CCk来表示从状态S0(HPI0,RH0,Ls0)到状态Sk(HPIk,RHk,Lsk)；定义状态的评判函数为Sk(HPIk,RHk,Lsk)的标准函数如下：
其中pk-1记录了从前任状态中的Sk-1到状态Sk(HPIk,RHk,Lsk)。
作为优选，纵断面线型的优化方法，即下层DP方法为：
阶段划分
以基本的VA单位来划分排列，所以有k＝0,1,…,M-2DP阶段；
状态
以Sk(VPIk,RVk)作为一个状态，Sk(VPIk,RVk)∈Sk.的参数枚举值可以表示为：
其中j＝0,1,…,v,v代表VPI坐标的枚举数量；jv＝0,1,…,kv,kv代表参数的枚举数RV；
决策变量
决策变量表示当第i个阶段进入到第i+1个阶段时做出的决定；允许的决策集如下：
状态转移
状态转移说明如下：
决策
决策流程如下：
准则函数
状态k阶段Sk(VPIk+1,RVk+1)至k+1阶段Sk+1(VPIk+1,RVk+1)阶段的建筑成本表示如下：
过程函数如下：
用CCk来表示从状态S0(VPI0,PV0)到状态Sk(VPIk,RVk)，定义状态的标准函数为Sk(VPIk,RVk)的标准函数如下：
其中pk-1记录了从先前的状态在Sk-1到状态Sk(VPIk,RVk)。
本发明提出了一个新的模型，称为铁路线路精细优化(FORA)，用于精细优化铁路线路设计。本发明将FORA模型应用于人工选择走廊后的初步设计阶段，有效地结合了人类经验和计算机算法的优势。
本发明根据铁路线形的特点，开发了一种双层动态规划(DP)算法，这是FORA的核心。上层是调整平面线型，而下层是调整纵断面线型。这个框架可以同时获得更好的解决方案并降低计算的复杂性。
作为一个重要的指标，二氧化碳的排放也参与了线形优化计算。
附图说明
图1为实施例中一种基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法的流程图；
图2为实施例中铁路三维线型及相应的HA和VA示意图；
图3为实施例中HA基本单元的构成示意图；
图4为实施例中不同等级的公、铁路等级对净空要求的示意图；
图5为实施例中铁路路基段横断面用地范围示意图；
图6为实施例中CAD地形图上的铁路用地范围和多边形表示的房屋示意图；
图7为实施例中HPI枚举示意图；
图8为实施例中基于改进DP优化HA的示例图；
图9为实施例中路径选择示例图；
图10为实施例中基于改进DP优化VA的示例图；
图11为实施例中案例研究所在区域的地形地物信息示意图；
图12(a)为实施例中FORA中HA生成的最优线型对比示意图；
图12(b)为实施例中FORA中VA生成的最优线型对比示意图。
具体实施方式
为进一步了解本发明的内容，结合附图和实施例对本发明作详细描述。应当理解的是，实施例仅仅是对本发明进行解释而并非限定。
实施例
如图1所示，本实施例提供了一种基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法，其包括以下步骤：
步骤1、输入原始数据，包括铁路线型(基准线)、地形(地理信息系统中获得目标区域的地形信息，由数字高程模型DEM代表地形；DEM数据还包含房屋的投影信息以及现有公路和铁路的位置和高程信息)、目标函数以及约束；
步骤2、平面线型参数化处理；
步骤2.1、对原平面线型进行分段；
步骤2.2、确定平面线型参数搜索规则；
步骤3、平面线型优化；
步骤4、纵断面线型参数化处理；
步骤4.1、重新生成平面线型：将步骤3生成的平面线型作为纵断面优化的输入平面线型；
步骤4.2、对原纵断面线型进行分段；
步骤4.3、确定纵断面线型参数搜索规则；
步骤5、纵断面线型优化；
步骤6、得到目标函数值最优的线型，人工介入检查线型是否符合要求；若符合，直接输出优化后的平、纵断面线型及估算的工程量；若不符合，则重复步骤1-5。
铁路线型
铁路线型是一条分布在三维空间的曲线，如图2所示，这条曲线在水平面上的投影称为平面线型(HA)；在这条曲线上，以HA的长度为标点，以标高为序点的平面上的投影，称为纵断面线型(VA)；一个HA单元是一系列直线段(切线)、圆曲线和缓和曲线的适当组合；铁路HA单元由切线-缓和曲线-圆曲线-缓和曲线-切线组成，如图3所示；因此，在设计顺序中，通常先确定切线的水平交点(HPI)，然后插入圆曲线和缓和曲线进行计算。这是对原平面线型进行分段过程。
HA是水平交点HPI坐标的一个函数(x,y)的函数，如公式(1)所示，起点和终点HPI的坐标被表示为(x0,y0)和(xN+1,yN+1)；由于它们位于HA的终端部分，相应的RH(RH0和RHN+1)和Ls(Ls0和LsN+1)都表示为零。
其中i＝1,2,…,N+1表示第i个HPI；xi,yi,RHi,Lsi是HA函数的四个变量；RH为圆曲线的半径，Ls为缓和曲线的长度；
同样，VA是一系列直线段(切线)和圆曲线的组合，VA的基本单位由切线-圆曲线-切线组成；与HA不同，VA上每个点的位置由里程K和设计高程E表示；VA是VPI位置和圆曲线半径的一个函数RV，如公式(2)所示，起点和终点的VPI位置分别表示为(K0,E0)和(KM+1,EM+1)；相应的RV(RV0和RVM+1)表示为零。这是对原纵断面线型进行分段过程。
其中j＝1,2,…,M+1表示第j个VPI；Kj,Ej,RVj是VA函数的三个变量；
这些变量组(xi,yi,RHi,Lsi,Kj,Ej,RVj)是对准参数的基本构成部分；空间中的三维线型可以由这些参数描述。
水平面中的制约因素
影响平面线型的约束条件如下：
(1)HA中一条圆曲线的半径RH应超过最小允许半径RHCmin，并表示如下：
RH-RHCmin≥0 (3)
(2)水平排列中的一条缓和曲线Ls的长度应超过最小允许缓和曲线LsCmin，并表示如下：
Ls-LsCmin≥0 (4)
(3)一个圆形曲线的长度LHC在水平方向上应超过最小允许曲线长度LHCmin，并表示如下：
LHC-LHCmin≥0 (5)
(4)两个相邻的水平曲线之间的切线长度LT至少应是最小允许切线长度LTmin，具体如下：
LTmin-LT≤0 (7)。
纵断面线型上的限制因素
影响纵断面线型的约束条件如下：
1)在纵断面上的纵坡Gi应小于允许的最大纵坡Gmax，表示如下：
Gi≤Gmax (8)
2)VA中一条竖曲线的半径RV应超过最小允许竖曲线半径RVCmin，并表示如下：
RV-RVCmin≥0 (9)
3)坡长应不低于最小允许坡长LSmin，具体如下：
4)凸、凹竖曲线的长度应不小于凸形竖曲线允许最小长度Lvcmin，凹形竖曲线允许最小长度Lvsmin具体如下：
Lvc≥Lvcmin (11)
Lvs≥Lvsmin (12)。
其他限制因素
考虑到设计习惯和施工方便，在选择线形参数时还需要遵循一些其他的约束条件。根据项目的特点，还应该根据项目的具体情况考虑一些其他的制约因素。这些约束条件如下：
1)除满足规范要求外，平面圆曲线的半径应是100的整数倍；过渡曲线的长度应是10的整数倍；等级精度应高于0.0005。
2)在人口稠密地区，车站的选择主要考虑经济、人口和文化等因素。其位置往往在精细设计之前就已确定。因此，在这个设计阶段，车站所属的切线不能被移动或偏移。在优化过程中，只能通过改变相邻HPI在其延伸切线上的位置来调整水平线型。
3)路线的设计标高不仅要满足基本的施工要求，如土方平衡，而且在跨越现有公路和铁路时，还要在标高设计中考虑足够的净空，如图4所示。
目标函数
目标函数被定义为总的建筑成本CC，包括以下部分：土方工程费用CE，桥梁费用CB，隧道费用CT，与长度有关的费用CL，征地费用CR，建筑物拆除费用CBD，建筑物的二氧化碳排放惩罚成本CCB，以及铁路基础设施CCR；
CC＝CE+CB+CT+CL+CR+CBD+CCB+CCR (13)
(a)土方工程费CE
ω0,ω1,ω2＝0 or 1；ω0+ω1+ω2＝1
式中，ω0＝1为全挖方断面；ω1＝1为全填方断面；ω2＝1为半填半挖断面；Aci和Afi分别为第i个横断面挖方和填方的面积；uf、uc分别为填、挖方单价；LEi为第i个横断面的长度；
(b)桥梁费用CB
式中，n为全线桥梁的数量；uBi为第i座桥梁的单位建造成本；Li为第i座桥梁的长度；CAi第i座桥梁桥台的建造费用；
(c)隧道费用CT
式中，n为全线隧道的数量；uTi为第i座隧道的单位建造成本；Li为第i座隧道的长度；CPi第i座隧道洞口的建造费用；
(d)与长度有关的费用CL
CL＝uL×L；
式中，uL为线型费用的单位建造成本；L为线路总长；
(e)征地费用CR
式中，uRi为线路穿越不同区域时的单位征地费用；ARi为线路穿越区域所占用的面积；
(f)建筑物拆除费用CBD
CBD＝∑iAi×uH (14)
其中uH是一个建筑物的单位成本，Ai为第一栋楼的建筑面积i的建筑面积；
(g)建筑物的二氧化碳排放惩罚费用CCB
CCB＝(CJC+CJZ+CCC)×A×fc (15)
其中CJC是建筑材料生产和运输过程中单位建筑面积的碳排放量；CJZ为建筑施工阶段每单位建筑面积的碳排放量；CCC为建筑拆除阶段单位建筑面积的碳排放量；A是建筑面积；以及fc是在洲际交易所查询到的碳排放交易价格。
材料制造和运输
建筑材料生产和运输阶段的碳排放应该是建筑材料生产阶段和建筑材料运输阶段的碳排放之和。
其中Csc是建筑材料生产阶段的碳排放量(kgCO2e)；Cys是建筑材料运输阶段的碳排放(kgCO2e)；MJC,i为第i种建筑材料的消耗量(t)；Fi为该建筑材料的碳排放系数i的碳排放系数(kgCO2e/(unit Mi))；DJC,i为该建筑材料的平均运输距离(km)；和Ti为该建筑材料运输方式下的单位重量运输距离的碳排放系数i的运输距离的碳排放系数(kgCO2e/(t·km))。
建筑
施工阶段的碳排放系数可按以下方式计算：
其中EJZ,i为施工阶段的第i种能源消耗(kWh or kg)和EFi为施工阶段第i种能源的碳排放量
拆迁
建筑物拆除阶段的碳排放系数可按以下方式计算：
其中Ecc,i是建筑拆除阶段的第i种能源消耗总量(kWh or kg)和Cws为建筑拆除运输阶段的碳排放(kgCO2e)。
(h)铁路基础设施的二氧化碳排放处罚费用
铁路基础设施的二氧化碳排放惩罚成本CCR定义如下：
CCR＝(CER+CMR)×fc (21)
其中CER是铁路建设阶段的碳排放量；CMR是铁路材料生产和运输阶段的碳排放；fc是在洲际交易所查询到的碳排放交易价格；
基础设施建设期间的能源消耗和总碳排放量按公式(22)和(23)计算如下：
其中FCi表示第i种设备的燃料消耗；MCR,i是指第i种铁路建筑材料的消耗量；和DCR,i是第i种铁路建筑材料的平均运输距离。
材料、材料运输和燃料的排放系数见表1和表3，而运输和施工机械的特点见表2。
表1材料和燃料的排放系数
| 材料/燃料 | 排放系数 |
| 碳钢棒 | 2340(kgCO2e/t) |
| 成型钢 | 430(kgCO2e/t) |
| 钢筋 | 350(kgCO2e/t) |
| 铁路 | 410(kgCO2e/t) |
| 普通波特兰水泥 | 735(kgCO2e/t) |
| 混凝土C30 | 295(kgCO2e/m3) |
| 混凝土砖 | 336(kgCO2e/m3) |
| 消石灰 | 747(kgCO2e/t) |
| 沙子 | 2.51(kgCO2e/m3) |
| 砾石 | 2.18(kgCO2e/m3) |
| 碎石 | 2.43(kgCO2e/m3) |
| 铝制门窗 | 254(kgCO2e/m2) |
| 柴油机 | 72.59(tCO2/TJ) |
| 汽油 | 67.91(tCO2/TJ) |
| 电器 | 0.72(kgCO2e/kwh) |
表2运输和建筑机械的特点
表3材料运输的排放因子(kgCO2e/(t·km))
问题的定义
这里首先介绍了用于自动计算铁路用地范围内建筑物拆除面积的方法。然后，解释了排列参数枚举方法，它为构建下一个DP算法提供了决策变量。
铁路建设造成的建筑物总拆迁面积的计算方法
根据《铁路线路设计规范》的规定，铁路的用地范围Ak由宽度dk和间距sk的乘积来计算。在设计中，横断面一般以里程上的20米为间隔计算。如图5所示，路基段的用地范围计算是基于设计断面交叉点以外的延长线d米，在横断面上的设计线与地形线的交点之外计算。此外，桥梁截面的路权是根据其宽度以外的延伸d米来计算的。隧道段的用地范围为零。
如图6所示，当线路经过人口密集区时，铁路路用地不可避免地覆盖住宅，这将不可避免地导致大量的建筑物被拆除。无论是从节约项目成本还是减少碳排放的角度出发，交通部门都希望线路尽可能少地覆盖现有住宅。因此，这就给线形优化带来了以下重大挑战：如何在不降低铁路基本服务功能的前提下，尽可能减少建筑物的拆迁。
在原始资料中，房屋的投影面积是由CAD中的多边形表示的。把Python和CAD结合起来，自动计算出铁路路权范围内的房屋投影面积。首先，用Python计算出铁路路权的坐标，然后在CAD地图上画出铁路路权线，再根据CAD的多边形面积统计功能，累计出铁路用地范围内房屋的多边形面积。
精细化设计的决策变量
路线优化改变了HA和VA中的变量，使目标函数达到最优。然而，精细的铁路线形调整是指在不改变线路走廊的情况下对HA和VA中的变量进行小范围的改变。
细粒度线形优化的定义如下：在线路走廊的范围内(通常认为是200米宽)，通过在小范围内调整线形参数，改变线形的空间位置，使目标函数值得到优化。除了规范中确定的约束条件外，这一阶段主要是指与项目实施的可行性和成本节约有关的约束。例如，桥梁和隧道的长度，路基填筑和开挖的高度，与现有结构物关系的处理等。
在平面线型中，HPI坐标的变化可以被认为是在参考点(对应于基准线的HPI坐标)附近以一定的步长进行枚举。RH的变化可以考虑基于原始值的RH并以100米为步长进行枚举，以利于设计约束。Ls也可以用同样的方法列举，步长为10米。最后，对列举的参数进行排列组合，用计算机对每个方案进行试算，从而得到最优值。
VA中变量的列举和组合与HA中的类似。但是，K应该是50米的整数倍，而RV应该是1000米的整数倍。(上述为平面、纵切面线型参数搜索规则)
根据对准参数计算的特点，对准的位置为RHi和Lsi的位置不仅取决于它们各自的值，而且还取决于αHi，它必须通过以下方式计算HPIi-1,HPIi和HPIi+1。
HPI根据车站的位置进行分类，如图7所示。有不可移动的HPI(起点和终点)，可自由移动的HPI(与起点和终点相邻)，以及只能沿约束线移动的HPI(与起点和终点相邻)。
这个庞大的数字不仅对计算机的性能提出了非常高的要求，而且也大大延长了计算时间。因此，合理地减少计算量，从而减少计算时间是本发明的重点。
基于改进DP的平面线型优化流程(上层DP)
为了更好地理解，以一个有6个HPI的HA为例，介绍一个HA的DP过程。
阶段划分
引入用于分阶段划分的辅助点，称为可移动点MP，MP的数量为k-2；它代表了与TS(过渡曲线到切线)点的一定距离dMP从TS(过渡曲线到切线)点。之所以称为可动点，是因为其切线在HPI采样过程中会发生变化。这就导致了不同采样组合的MP的坐标的差异。虽然MP的坐标会发生变化，但其排列中的里程K不会改变。因此，设置MP的好处是，在对HPI等参数进行采样计算后，RH，和Ls每个阶段的排列不会在合并过程中断开和错位。
用基本的HA单位来划分排列，所以有k＝0,1,…,N-1 DP stages，这种排列组合的阶段呈现如下:stage＝0,HPI0to MP2；stage＝1,MP1to MP2；stage＝k,MPk to MPk+1；...；stage＝N-2,MPN-2to MPN-1；stage＝N-1,MPN-1to HPIN+1；
当阶段数为4时，如图8所示，该阶段可呈现如下：stage＝0,HPI0to MP2；stage＝1,MP1to MP2；stage＝2,MP2to MP3；stage＝3,MP3to MP4；stage＝4,MP4to HPI6。
状态
与优化问题的每个阶段相关联的是过程的状态，这些状态反映了全面评估当前决策对未来行动的影响所需的信息，状态变量是参数的列举值，，如HPI坐标、RH以及Ls。状态空间S被划分为k集S＝{S0,…,Sk,…,SN-1}；
根据公式(1)和图3，当HA基本单元中的切线是固定的(也就是说，HPIk-1、HPIk和HPIk+1都是固定的)，则RH和Ls的变化也将改变HA的值，从而影响其CC；以Sk(HPIk,RHk,Lsk)作为一个状态，Sk(SPIk,RHk,Lsk)∈Sk。
阶段的参数枚举值表示为k阶段的参数枚举值表示如下：
其中i＝0,1,…,r，和r代表HPI坐标的枚举数量；ir＝0,1,…,kr,kr代表参数的枚举数RH的枚举数；和il＝0,1,…,kl,kl代表参数的枚举数Ls；
决策变量
计算一个基本HA单元所需的最小参数数是HPI坐标和它们相应的RH和Ls，前者的坐标HPIl-1和后者的HPIk+1。因此，HA基本单元的计算表示为：
HAk＝f(xk-1,yk-1,xk,yk,xk+1,yk+1,RHk,Lsk) (26)
决策是指在一个阶段选择所有备选方案的最佳设计序列，阶段中的状态变量的值k+1的值不仅取决于阶段的状态变量的值k阶段的状态变量的值，而且还取决于k-1阶段的状态变量的值；
因此，如果决策变量的值uk(Sk-1,Sk)的值被确定，状态变量的值Sk+1在第k+1阶段的状态变量的值也完全确定，也就是说：
如图9所示，如果从最佳值HPIito MPi+1的HPI组合是HPIi-a-b的最佳值，而从MPi+ 1to MPi+2的HPI组合，a-c-HPIi+3将会有两个不同位置的MPi+1的位置；因此，这一阶段的对齐将在合并过程中断开并错位。
阶段中的状态变量的值k+1阶段的状态变量的值不仅取决于阶段的状态变量的值k而且还取决于阶段中状态变量的最佳值k-1；因此，决策变量被说明如下：
状态转移
状态转移函数用于描述相邻阶段之间的参数过渡，这个转移函数从k阶段到k+1阶段的过渡函数说明如下：
状态和状态转换拥有以下属性：
属性1、模型的下一个状态只与当前阶段有关；
属性2、状态转换只发生在两个相邻的阶段之间，如图9所示；
属性3、不同的HPI连接序列可达到状态空间中的相同状态；
属性4、阶段中的状态变量的值k+1阶段的状态变量的值不仅取决于阶段的状态变量的值k阶段的状态变量的值，而且还取决于阶段的状态变量的最佳值；
根据属性1，状态持有马尔科夫属性，这就是DP模型的可行条件。属性2可以大大减少DP模型的转换数。属性3可以大大减少DP模型的状态数量。属性4在保证最优性的前提下，大大减少了解空间的大小，状态空间只呈现所有可行的HPI连接序列。
决策
决策序列包括从第0或第k阶段的开始到结束的过程；k阶段开始到第N+1组成的决策序列被称为整个过程的政策，即：
p0N(S0)＝{u0(S0),u1(S1),…,uN(SN)} (30)
pkN(Sk)＝{uk(Sk),uk+1(Sk+1),…,uN(SN)} (31)
满足约束条件的所有政策的集合被称为允许政策的集合，用P表示，如下所示：
p0N(S0)∈P0N(S0)or pkN(Sk)∈PkN(Sk) (32)
准则函数
对于有多个预设的状态，准则函数被用来指导决策和找到最佳预设；
根据公式(1)，(2)和(12)，建筑成本取决于HA和VA，可以表示为：
CC(f(.),g(.))＝CC(f(xi,yi,RHi,LSi)),g(Kj,Ej,RVj)) (33)
其中g(.)代表纵断面线型函数，基准线的纵断面线型参数用于第一次迭代计算；
状态k阶段Sk(HPIk,RHk,Lsk)至k+1阶段Sk+1(HPIk+1,RHk+1,Lsk+1)阶段的的建筑成本表示如下：
过程函数如下：
最佳目标函数值如下：
递归方程表示如下：
边界条件如下：
fN+1(SN+1)＝0 (39)
递归方程可推导出k＝N，然后就实现最优决策和最佳目标函数；当k＝0,f0(S0)可获得，这也是整个优化问题的解；
用CCk来表示从状态S0(HPI0,RH0,Ls0)到状态Sk(HPIk,RHk,Lsk)；定义状态的评判函数为Sk(HPIk,RHk,Lsk)的标准函数如下：
其中pk-1记录了从前任状态中的Sk-1到状态Sk(HPIk,RHk,Lsk)。
基于改进DP的纵断面线型优化流程(下层DP)：
VA的DP优化与HA的优化相似。然而，也存在差异。一方面，VA的曲线元素不需要过渡曲线；另一方面，当VPI被采样时，K的间距必须是50米的倍数。
为了便于理解，以一个有6个VPI的VA为例来介绍搜索最优解的过程，如图10所示。
阶段划分
以基本的VA单位来划分排列，所以有k＝0,1,…,M-2DP阶段；
状态
以Sk(VPIk,RVk)作为一个状态，Sk(VPIk,RVk)∈Sk.的参数枚举值可以表示为：
其中j＝0,1,…,v,v代表VPI坐标的枚举数量；jv＝0,1,…,kv,kv代表参数的枚举数RV；
决策变量
决策变量表示当第i个阶段进入到第i+1个阶段时做出的决定；允许的决策集如下：
状态转移
状态转移说明如下：
决策
决策流程如下：
pkN(Sk)＝{uk(Sk)，uk+1(Sk+1)，…，uN(SN)} (44)
准则函数
状态k阶段Sk(VPIk+1,RVk+1)至k+1阶段Sk+1(VPIk+1,RVk+1)阶段的建筑成本表示如下：
过程函数如下：
用CCk来表示从状态S0(VPI0,RV0)到状态Sk(VPIk,RVk)，定义状态的标准函数为Sk(VPIk,RVk)的标准函数如下：
其中pk-1记录了从先前的状态在Sk-1到状态Sk(VPIk,RVk)。
案例研究
本发明选择的现实世界案例是位于西部某城际高速铁路项目的一个路段。该路段总长度为46公里，设计速度为250公里/小时，包含三个高速铁路站。这条铁路位于成都的郊区，地势平坦，房屋密集。整个地区的村庄都比较成熟，生活设施齐全，住宅非常密集，而且该地区有很多现有的公路和铁路。人工选择的基准线要经过密集的房屋区，铁路路权范围内的所有房屋都将面临建筑拆除。
从地理信息系统中获得目标区域的地形信息，如图11所示。由许多方格组成的数字高程模型(DEM)代表了这些地形的形成。这些3维的正方形格子包含44789×15601个单元，每个格子的宽度为1米。DEM数据还包含房屋的投影信息(以多边形表示)以及现有公路和铁路的位置和高程信息。
此外，基准线设计必须经过8条现有道路和2条现有铁路，所以路线的设计标高必须相应提高。找到一条合适的线路以减少房屋拆迁和降低铁路设计标高是至关重要的。因此，这个铁路项目适合用来验证FORA。
表4列出了主要的制约因素，而表5则列出了单价。
表4主要制约因素
表5单位成本
| 项目 | 费用 | 项目 | 费用 |
| 征地(￥/m2) | 103.38 | 轨道(￥/m) | 3771.89 |
| 挖方工程￥/m3) | 24.18 | 填方工程(￥/m3) | 25.73 |
| 桥梁(￥/m) | 54752.32 | 隧道(￥/m) | 88796.78 |
| 房屋拆迁补偿(￥/m2) | 2500.00 | 碳排放交易价格(￥/吨) | 579.89 |
优化的结果
基准线是在初步设计阶段获得的人工线型。在设计过程中，这个基准线需要进一步优化。
首先将房屋的投影信息处理成CAD中可识别的封闭多线。然后，提取基准线的HA参数，包括HPI。RH和Ls.随后，在模型中应用上层DP来优化平面线型，并输出最佳参数组合。之后，用这个优化的参数组合生成一个新的平面线型。
在VA优化之前，要收集与基准线相交的现有道路和铁路的标高。然后，根据规范计算现有道路和铁路的净空高度桥的结构高度，计并根据基准线上的桥梁结构高度计算出最小设计标高。根据新的HA优化垂直线形参数，最后生成优化的纵断面线形。
结果显示在图12(a)、图12(b)和表6中。本发明采用广泛使用的遗传算法(GA)进行了比较，以证明本发明提出的FORA的有效性。在GA和FORA的优化过程中，线形、桥梁和隧道的长度都略有增加或减少，但这种变化对总成本没有明显影响。需要指出的是，GA和FORA这两种算法对建筑物拆迁面积的节约贡献最大，分别为3.01％和7.56％。由于建筑物的拆除会导致高额的拆除成本和碳排放成本，建筑物拆除的减少将进一步提高项目的经济效益。因此，在总的建筑成本减少方面，GA和FORA分别带来1.3％和3.03％的节约。此外，FORA线型的房屋拆迁补偿成本降低也很显著。
表6基准线、GA和FORA的成本比较
| 索引 | 基准线 | GA | FORA |
| 铁路长度(米) | 46106.65 | 46146.29 | 45988.06 |
| 填充量(m3) | 54324.25 | 54317.48 | 54328.67 |
| 切割量(m3) | 38652.06 | 386524.85 | 38655.24 |
| 桥梁(米) | 28680.04 | 28794.98 | 28682.08 |
| 隧道(米) | 5265.65 | 5266.24 | 5260.07 |
| 征地面积(m2) | 1156200.50 | 1157356.02 | 1155043.25 |
| 房屋拆迁面积(m2) | 582136.37 | 564672.24 | 538130.85 |
| 房屋拆迁面积节省 | 3.01％ | 7.56％ | |
| 碳排放成本(亿元人民币) | 10.72 | 10.57 | 10.35 |
| 节省碳排放成本 | 1.35％ | 3.42％ | |
| 总建筑成本(亿元人民币) | 48.61 | 47.97 | 47.13 |
| 节省的总建筑成本 | 1.30％ | 3.03％ |
以上示意性的对本发明及其实施方式进行了描述，该描述没有限制性，附图中所示的也只是本发明的实施方式之一，实际的结构并不局限于此。所以，如果本领域的普通技术人员受其启示，在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造性的设计出与该技术方案相似的结构方式及实施例，均应属于本发明的保护范围。
Claims (1)
1.基于低碳排放的高密城区铁路线路精细优化方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1、输入原始数据，包括铁路线型、地形、目标函数以及约束条件；
步骤2、平面线型参数化处理；
步骤2.1、对原平面线型进行分段；
步骤2.2、确定平面线型参数搜索规则；
步骤3、平面线型优化；
步骤4、纵断面线型参数化处理；
步骤4.1、重新生成平面线型：将步骤3生成的平面线型作为纵断面优化的输入平面线型；
步骤4.2、对原纵断面线型进行分段；
步骤4.3、确定纵断面线型参数搜索规则；
步骤5、纵断面线型优化；
步骤6、得到目标函数值最优的线型，检查线型是否符合要求；若符合，直接输出优化后的平、纵断面线型及估算的工程量；若不符合，则重复步骤1-5；
铁路线型是一条分布在三维空间的曲线，这条曲线在水平面上的投影称为平面线型HA；在这条曲线上，以HA的长度为标点，以标高为序点的平面上的投影，称为纵断面线型VA；一个HA单元是一系列直线段、圆曲线和缓和曲线的组合；铁路HA单元由切线-缓和曲线-圆曲线-缓和曲线-切线组成；
HA是水平交点HPI坐标的一个函数(x，y)的函数，如公式(1)所示，起点和终点HPI的坐标被表示为(x0，y0)和(xN+1，yN+1)；
其中i＝1，2，...，N+1表示第i个HPI；xi，yi，RHi，Lsi是HA函数的四个变量；RH为圆曲线的半径，Ls为缓和曲线的长度；
同样，VA是一系列直线段和圆曲线的组合，VA的基本单位由切线-圆曲线-切线组成；与HA不同，VA上每个点的位置由里程K和设计高程E表示；VA是VPI位置和圆曲线半径的一个函数RV，如公式(2)所示，起点和终点的VPI位置分别表示为(K0，E0)和(KM+1，EM+1)；
其中j＝1，2，...，M+1表示第j个VPI；Kj，Ej，RVj是VA函数的三个变量；
这些变量组(xi，yi，RHi，Lsi，Kj，Ej，RVj)是对准参数的基本构成部分；空间中的三维线型可以由这些参数描述；
影响平面线型的约束条件如下：
(1)HA中一条圆曲线的半径RH与最小允许半径RHCmin，表示如下：
RH-RHCmin≥0 (3)
(2)水平排列中的一条缓和曲线Ls与最小允许缓和曲线LsCmin，表示如下：
Ls-LsCmin≥0 (4)
(3)一个圆形曲线的长度LHC与最小允许曲线长度LHCmin，表示如下：
LHC-LHCmin≥0 (5)
(4)两个相邻的水平曲线之间的切线长度LT与最小允许切线长度LTmin，具体如下：
LTmin-LT≤0 (7)；
影响纵断面线型的约束条件如下：
1)在纵断面上的纵坡Gi与允许的最大纵坡Gmax，表示如下：
GiGmax (8)
2)VA中一条竖曲线的半径RV与最小允许竖曲线半径RVCmin，表示如下：
RV-RVCmin≥0 (9)
3)坡长与最小允许坡长LSmin，具体如下：
4)凸、凹竖曲线的长度与凸形竖曲线允许最小长度Lvcmin，凹形竖曲线允许最小长度Lvsmin具体如下：
Lvc≥Lvcmin (11)
Lvs≥Lvsmin (12)；
目标函数被定义为总的建筑成本Cx，包括以下部分：土方工程费用CE，桥梁费用CB，隧道费用CT，与长度有关的费用CL，征地费用CR，建筑物拆除费用CBD，建筑物的二氧化碳排放惩罚成本CCB，以及铁路基础设施CCR；
CC＝CE+CB+CT+CL+CR+CBD+CCB+CCR (13)
(a)土方工程费CE
ω0，ω1，ω2＝0或1；ω0+ω1+ω2＝1
式中，ω0＝1为全挖方断面；ω1＝1为全填方断面；ω2＝1为半填半挖断面；Aci和Afi分别为第i个横断面挖方和填方的面积；uf、uc分别为填、挖方单价；LEi为第i个横断面的长度；
(b)桥梁费用CB
式中，n为全线桥梁的数量；uBi为第i座桥梁的单位建造成本；Li为第i座桥梁的长度；CAi第i座桥梁桥台的建造费用；
(c)隧道费用CT
式中，n为全线隧道的数量；uTi为第i座隧道的单位建造成本；Li为第i座隧道的长度；CPi第i座隧道洞口的建造费用；
(d)与长度有关的费用CL
CL＝uL×L；
式中，uL为线型费用的单位建造成本；L为线路总长；
(e)征地费用CR
式中，uRi为线路穿越不同区域时的单位征地费用；ARi为线路穿越区域所占用的面积；
(f)建筑物拆除费用CBD
CBD＝∑iAi×uH (14)
其中uH是一个建筑物的单位成本，Ai为第一栋楼的建筑面积i的建筑面积；
(g)建筑物的二氧化碳排放惩罚费用CCB
CCB＝(CJC+CJz+CCC)×A×fc (15)
其中CJC是建筑材料生产和运输过程中单位建筑面积的碳排放量；CJZ为建筑施工阶段每单位建筑面积的碳排放量；CCC为建筑拆除阶段单位建筑面积的碳排放量；A是建筑面积；以及fc是在洲际交易所查询到的碳排放交易价格；
(h)铁路基础设施的二氧化碳排放处罚费用
铁路基础设施的二氧化碳排放惩罚成本CCR定义如下：
CCR＝(CER+CMR)×fc (21)
其中CER是铁路建设阶段的碳排放量；CMR是铁路材料生产和运输阶段的碳排放；fc是在洲际交易所查询到的碳排放交易价格；
基础设施建设期间的能源消耗和总碳排放量按公式(22)和(23)计算如下：
其中FCi表示第i种设备的燃料消耗；MCR，i是指第i种铁路建筑材料的消耗量；和DCR，i是第i种铁路建筑材料的平均运输距离；
平面、纵断面线型参数搜索规则如下：在平面线型中，HPI坐标的变化被认为是在参考点附近以一定的步长进行枚举；RH的变化基于原始值的RH并以100米为步长进行枚举；Ls也用同样的方法列举，步长为10米；最后，对列举的参数进行排列组合，用计算机对每个方案进行试算，从而得到最优值；
VA中变量的列举和组合中，K是50米的整数倍，RV是1000米的整数倍；
平面线型优化的优化方法，即上层DP方法为：
阶段划分
引入用于分阶段划分的辅助点，称为可移动点MP，MP的数量为k-2；用基本的HA单位来划分排列，所以有k＝0，1，...，N-1DP stages，这种排列组合的阶段呈现如下：stage＝0，HPI0 to MP1；stage＝1，MP1to MP2；stage＝k，MPkto MPk+1；…；stage＝N-2，MPN-2to MPN-1；stage＝N-1，MPN-1to HPIN+1；
状态
与优化问题的每个阶段相关联的是过程的状态，这些状态反映了全面评估当前决策对未来行动的影响所需的信息，状态变量是参数的列举值，状态空间S被划分为k集S＝{S0，…，Sk，…，SN-1}；
阶段的参数枚举值表示为k阶段的参数枚举值表示如下：
其中i＝0，1，…，r，和r代表HPI坐标的枚举数量；ir＝0，1，...，kr，kr代表参数的枚举数RH的枚举数；和il＝0，1，…，kl，kl代表参数的枚举数Ls；
决策变量
HA基本单元的计算表示为：
HAk＝f(xk-1，yk-1，xk，yk，xk+1，Yk+1，RHk，Lsk) (26)
决策是指在一个阶段选择所有备选方案的最佳设计序列，k+1阶段中的状态变量的值不仅取决于k阶段的状态变量的值，而且还取决于k-1阶段的状态变量的值；
因此，如果决策变量的值uk(Sk-1，Sk)被确定，状态变量的值Sk+1在第k+1阶段的状态变量的值也完全确定，也就是说：
决策变量被说明如下：
状态转移
状态转移函数用于描述相邻阶段之间的参数过渡，这个转移函数从k阶段到k+1阶段的过渡函数说明如下：
决策
决策序列包括从第0或第k阶段的开始到结束的过程；k阶段开始到第N+1组成的决策序列被称为整个过程的政策，即：
p0N(S0)＝{u0(S0)，u1(S1)，...，uN(SN)} (30)
pkN(Sk)＝{uk(Sk)，uk+1(Sk+1)，...，uN(SN)} (31)
满足约束条件的所有政策的集合被称为允许政策的集合，用P表示，如下所示：
P0N(S0)∈P0N(S0)or PkN(Sk)∈PkN(Sk) (32)
准则函数
对于有多个预设的状态，准则函数被用来指导决策和找到最佳预设；
根据公式(1)，(2)和(12)，建筑成本取决于HA和VA，可以表示为：
CC(f(.)，g(.))＝CC(f(xi，yi，RHi，Lsi))，g(Kj，Ej，RVj)) (33)
其中g(.)代表纵断面线型函数，基准线的纵断面线型参数用于第一次迭代计算；
状态k阶段Sk(HPIk，RHk，Lsk)至k+1阶段Sk+1(HPIk+1，RHk+1，Lsk+1)阶段的建筑成本表示如下：
过程函数如下：
VkN(Sk，…，SN)＝mink≤i≤N[vi(Si，ui)] (36)
最佳目标函数值如下：
递归方程表示如下：
边界条件如下：
fN+1(SN+1)＝0 (39)
递归方程可推导出k＝N，然后就实现最优决策和最佳目标函数；当k＝0，f0(S0)可获得，这也是整个优化问题的解；
用CCk来表示从状态S0(HPI0，RH0，Ls0)到状态Sk(HPIk，RHk，Lsk)；定义状态的评判函数为Sk(HPIk，RHk，Lsk)的标准函数如下：
其中pk-1记录了从前任状态中的Sk-1到状态Sk(HPIk，RHk，Lsk)；
纵断面线型的优化方法，即下层DP方法为：
阶段划分
以基本的VA单位来划分排列，所以有k＝0，1，...，M-2DP阶段；
状态
以Sk(VPIk，RVk)作为一个状态，Sk(VPIk，RVk)∈Sk的参数枚举值可以表示为：
其中j＝0，1，...，v，v代表VPI坐标的枚举数量；jv＝0，1，…，kv，kv代表参数的枚举数RV；
决策变量
决策变量表示当第i个阶段进入到第i+1个阶段时做出的决定；允许的决策集如下：
状态转移
状态转移说明如下：
决策
决策流程如下：
pkN(Sk)＝{uk(Sk)，uk+1(Sk+1)，…，uN(SN)} (44)
准则函数
状态k阶段Sk(VPIk+1，RVk+1)至k+1阶段Sk+1(VPIk+1，RVk+1)阶段的建筑成本表示如下：
过程函数如下：
用CCk来表示从状态S0(VPI0，RV0)到状态Sk(VPIk，RVk)，定义状态的标准函数为Sk(VPIk，RVk)的标准函数如下：
其中pk-1记录了从先前的状态在Sk-1到状态Sk(VPIk，RVk)。
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