CN116263883A - 基于多项式预处理器的量子线性求解方法、装置及设备 - Google Patents

基于多项式预处理器的量子线性求解方法、装置及设备 Download PDF

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CN116263883A CN202111527379.8A CN202111527379A CN116263883A CN 116263883 A CN116263883 A CN 116263883A CN 202111527379 A CN202111527379 A CN 202111527379A CN 116263883 A CN116263883 A CN 116263883A
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Abstract

本发明公开了一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法、装置及设备，方法包括：获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，计算用于线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，根据多项式p(A)，对线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′，构建HHL算法对应的量子线路，根据第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的量子线路的最终量子态，以解决现有技术中的不足，它能够降低解线性问题求解的时间复杂度和计算量，同时减少硬件资源的占用。

Description

基于多项式预处理器的量子线性求解方法、装置及设备
技术领域
本发明属于量子计算技术领域，特别是一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法、装置及设备。
背景技术
量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法时，它就是量子计算机。量子计算机因其具有相对普通计算机更高效的处理数学问题的能力，例如，能将破解RSA密钥的时间从数百年加速到数小时，故成为一种正在研究中的关键技术。
量子计算模拟是一个借助数值计算和计算机科学来仿真遵循量子力学规律的模拟计算，作为一个仿真程序，它依据量子力学的量子比特的基本定律，利用计算机的高速计算能力，刻画量子态的时空演化。
对线性方程组的求解是许多科学与工程问题的核心，求解此类问题的经典算法统称为线性系统算法。近年来，量子计算领域的一个非常重要的成果是量子线性系统算法，其中最著名的当属Harrow、Hassidim和Lloyd于2009年共同提出的HHL算法，但是该算法随着输入矩阵条件数的增大，求解线性问题的时间复杂度会随之提高，且量子线性求解器的复杂度与线性系统的条件数κ的多项式相关，复杂度表示为
Figure BDA0003408793750000011
并且，当线性系统的条件数过大时，量子线性求解器的指数加速会消失。
基于此，有必要实现一种可以满足处理条件数过大的线性系统的量子线性求解技术，用于量子计算的模拟。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法，以解决现有技术中的不足，它能够降低解线性问题求解的时间复杂度和计算量，同时减少硬件资源的占用。
本申请的一个实施例提供了一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法，包括：
获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
可选的，所述获得第二矩阵A′及第二向量b′，包括：
获得第二矩阵A′＝p(A)A，以及第二向量b′＝p(A)b。
可选的，所述根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，包括：
针对所述量子线路，输入初始量子态|b′>和算符
Figure BDA0003408793750000021
，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，其中，所述算符/>
Figure BDA0003408793750000022
所述t为常量。
可选的，所述计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，包括：
构建求解所述多项式的函数fm(x)和预设区间S，其中，所述函数fm(x)满足fm(x)＝pm(x)x，且fm(xi)+(-1)iE＝1，所述m为多项式阶数，所述i＝0，1，2，...，m+1，所述S∈[1/κA，1]，所述E为偏差幅值，所述κA为条件数；
在所述预设区间中选择m+1个点，并获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解，其中，所述m+1个点分别为x1，x2，...，xm+1且满足x1＝1/κ，xm+1＝1；
将获取的所述线性方程组的解代入fm(x)，得到|1-fm(x)|的局部最大值的点的集合N′；
判断对任意x∈N′，fm(x)-1绝对值是否相同且随着x递增，fm(x)-1正负号是否交替变化，若是，则当前的fm(x)为最优的多项式。
可选的，所述方法还包括：
若不是，则将所述x1，x2，...，xm+1中的元素用所述集合N′中的元素替换，替换规则为：x1，xm+1保持不变，将x2，...，xm替换成集合N′中的元素，然后返回执行所述获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解的步骤，直到得到符合判断条件的最优的fm(x)。
可选的，所述构建HHL算法对应的量子线路，包括：
获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0003408793750000031
所述b′i为所述第二向量b′的第i个元素，所述N为第二向量的维数；
确定所述第二矩阵A′对应的酉矩阵
Figure BDA0003408793750000032
构建用以相位估计的第一子量子线路模块，用于将所述|b′>在第二矩阵A′的特征空间上分解为
Figure BDA0003408793750000033
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b′>转化为/>
Figure BDA0003408793750000034
其中，所述|μj>为所述第二矩阵A′的特征向量，所述λj为所述第二矩阵A′的特征值，所述βj为所述第二矩阵A′特征向量的振幅；
构建用以执行受控旋转操作的第二子量子线路模块，用于将|λj>作为控制比特对辅助量子比特进行旋转，得到
Figure BDA0003408793750000035
其中，所述C为归一化常数；
构建用以执行逆相位估计的第三子量子线路模块，用于将|λj>复位至|0>；
构建用于所述辅助量子比特的测量操作模块，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure BDA0003408793750000036
所述|x′>∝|x>；
将所述第一子量子线路模块、所述第二子量子线路模块、所述第三子量子线路模块和所述量子测量操作模块，依次组成HHL算法对应的量子线路。
本申请的又一实施例提供了一种基于多项式预处理器的量子线性求解装置，所述装置包括：
获取模块，用于获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
计算模块，用于计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
获得模块，用于根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
构建模块，用于构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
可选的，所述获得模块，包括：
第一获得单元，用于获得第二矩阵A′＝p(A)A，以及第二向量b′＝p(A)b。
可选的，所述构建模块，包括：
输入单元，用于针对所述量子线路，输入初始量子态|b′>和算符
Figure BDA0003408793750000041
执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，其中，所述算符/>
Figure BDA0003408793750000042
所述t为常量。
可选的，所述计算模块，包括：
第一构建单元，用于构建求解所述多项式的函数fm(x)和预设区间S，其中，所述函数fm(x)满足fm(x)＝pm(x)x，且fm(xi)+(-1)iE＝1，所述m为多项式阶数，所述i＝0，1，2，...，m+1，所述S∈[1/κA，1]，所述E为偏差幅值，所述κA为条件数；
选择单元，用于在所述预设区间中选择m+1个点，并获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解，其中，所述m+1个点分别为x1，x2，...，xm+1且满足x1＝1/κ，xm+1＝1；
代入单元，用于将获取的所述线性方程组的解代入fm(x)，得到|1-fm(x)|的局部最大值的点的集合N′；
判断单元，用于判断对任意x∈N′，fm(x)-1绝对值是否相同且随着x递增，fm(x)-1正负号是否交替变化，若是，则当前的fm(x)为最优的多项式。
可选的，所述计算模块还包括：
返回单元，用于若不是，则将所述x1，x2，...，xm+1中的元素用所述集合N′中的元素替换，替换规则为：x1，xm+1保持不变，将x2，...，xm替换成集合N′中的元素，然后返回执行所述获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解的步骤，直到得到符合判断条件的最优的fm(x)。
可选的，所述构建模块，包括：
第二获得单元，用于获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0003408793750000051
所述b′i为所述第二向量b′的第i个元素，所述N为第二向量的维数；
确定单元，用于确定所述第二矩阵A′对应的酉矩阵
Figure BDA0003408793750000052
第二构建单元，用于构建用以相位估计的第一子量子线路模块，用于将所述|b′>在第二矩阵A′的特征空间上分解为
Figure BDA0003408793750000053
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b′>转化为/>
Figure BDA0003408793750000054
其中，所述|μj>为所述第二矩阵A′的特征向量，所述λj为所述第二矩阵A′的特征值，所述βj为所述第二矩阵A′特征向量的振幅；
第三构建单元，用于构建用以执行受控旋转操作的第二子量子线路模块，用于将|λj>作为控制比特对辅助量子比特进行旋转，得到
Figure BDA0003408793750000055
其中，所述C为归一化常数；
第四构建单元，用于构建用以执行逆相位估计的第三子量子线路模块，用于将|λj>复位至|0>；
第五构建单元，用于构建用于所述辅助量子比特的测量操作模块，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure BDA0003408793750000061
所述|x′>∝|x>；
组合单元，用于将所述第一子量子线路模块、所述第二子量子线路模块、所述第三子量子线路模块和所述量子测量操作模块，依次组成HHL算法对应的量子线路。
本申请的又一实施例提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中所述的方法。
本申请的又一实施例提供了一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中所述的方法。
与现有技术相比，本发明首先获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，计算用于线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，根据多项式p(A)，对线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′，构建HHL算法对应的量子线路，根据第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的量子线路的最终量子态，它能够降低解线性问题求解的时间复杂度和计算量，加快量子线性算法的求解速度，同时减少硬件资源的占用。
附图说明
图1为本发明实施例提供的一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法的计算机终端的硬件结构框图；
图2为本发明实施例提供的一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法的流程示意图；
图3为本发明实施例提供的一种构建算符
Figure BDA0003408793750000062
的量子线路图；
图4为本发明实施例提供的相位估计对应的第一子量子线路模块示意图；
图5为本发明实施例提供的HHL算法对应的总量子线路示意图；
图6为本发明实施例提供的一种基于多项式预处理器的量子线性求解装置的结构示意图。
具体实施方式
下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
本发明实施例首先提供了一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法，该方法可以应用于电子设备，如计算机终端，具体如普通电脑、量子计算机等。
下面以运行在计算机终端上为例对其进行详细说明。图1为本发明实施例提供的一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法的计算机终端的硬件结构框图。如图1所示，计算机终端可以包括一个或多个(图1中仅示出一个)处理器102(处理器102可以包括但不限于微处理器MCU或可编程逻辑器件FPGA等的处理装置)和用于存储数据的存储器104，可选地，上述计算机终端还可以包括用于通信功能的传输装置106以及输入输出设备108。本领域普通技术人员可以理解，图1所示的结构仅为示意，其并不对上述计算机终端的结构造成限定。例如，计算机终端还可包括比图1中所示更多或者更少的组件，或者具有与图1所示不同的配置。
存储器104可用于存储应用软件的软件程序以及模块，如本申请实施例中的基于多项式预处理器的量子线性求解方法对应的程序指令/模块，处理器102通过运行存储在存储器104内的软件程序以及模块，从而执行各种功能应用以及数据处理，即实现上述的方法。存储器104可包括高速随机存储器，还可包括非易失性存储器，如一个或者多个磁性存储装置、闪存、或者其他非易失性固态存储器。在一些实例中，存储器104可进一步包括相对于处理器102远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至计算机终端。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。
传输装置106用于经由一个网络接收或者发送数据。上述的网络具体实例可包括计算机终端的通信供应商提供的无线网络。在一个实例中，传输装置106包括一个网络适配器(Network Interface Controller，NIC)，其可通过基站与其他网络设备相连从而可与互联网进行通讯。在一个实例中，传输装置106可以为射频(Radio Frequency，RF)模块，其用于通过无线方式与互联网进行通讯。
需要说明的是，真正的量子计算机是混合结构的，它包含两大部分：一部分是经典计算机，负责执行经典计算与控制；另一部分是量子设备，负责运行量子程序进而实现量子计算。而量子程序是由量子语言如QRunes语言编写的一串能够在量子计算机上运行的指令序列，实现了对量子逻辑门操作的支持，并最终实现量子计算。具体的说，量子程序就是一系列按照一定时序操作量子逻辑门的指令序列。
在实际应用中，因受限于量子设备硬件的发展，通常需要进行量子计算模拟以验证量子算法、量子应用等等。量子计算模拟即借助普通计算机的资源搭建的虚拟架构(即量子虚拟机)实现特定问题对应的量子程序的模拟运行的过程。通常，需要构建特定问题对应的量子程序。本发明实施例所指量子程序，即是经典语言编写的表征量子比特及其演化的程序，其中与量子计算相关的量子比特、量子逻辑门等等均有相应的经典代码表示。
量子线路作为量子程序的一种体现方式，也称量子逻辑电路，是最常用的通用量子计算模型，表示在抽象概念下对于量子比特进行操作的线路，其组成包括量子比特、线路(时间线)，以及各种量子逻辑门，最后常需要通过量子测量操作将结果读取出来。
不同于传统电路是用金属线所连接以传递电压信号或电流信号，在量子线路中，线路可看成是由时间所连接，亦即量子比特的状态随着时间自然演化，在这过程中按照哈密顿运算符的指示，一直到遇上逻辑门而被操作。
一个量子程序整体上对应有一条总的量子线路，本发明所述量子程序即指该条总的量子线路，其中，该总的量子线路中的量子比特总数与量子程序的量子比特总数相同。可以理解为：一个量子程序可以由量子线路、针对量子线路中量子比特的测量操作、保存测量结果的寄存器及控制流节点(跳转指令)组成，一条量子线路可以包含几十上百个甚至千上万个量子逻辑门操作。量子程序的执行过程，就是对所有的量子逻辑门按照一定时序执行的过程。需要说明的是，时序即单个量子逻辑门被执行的时间顺序。
需要说明的是，经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门。使用量子逻辑门，能够使量子态发生演化，量子逻辑门是构成量子线路的基础，量子逻辑门包括单比特量子逻辑门，如Hadamard门(H门，阿达马门)、泡利-X门(X门)、泡利-Y门(Y门)、泡利-Z门(Z门)、RX门、RY门、RZ门等等；多比特量子逻辑门，如CNOT门、CR门、iSWAP门、Toffoli门等等。量子逻辑门一般使用酉矩阵表示，而酉矩阵不仅是矩阵形式，也是一种操作和变换。一般量子逻辑门在量子态上的作用是通过酉矩阵左乘以量子态右矢对应的矩阵进行计算的。
量子态，即量子比特的逻辑状态，在量子算法(或称量子程序)中用二进制表示，例如，一组量子比特为q0、q1、q2，表示第0位、第1位、第2位量子比特，从高位到低位排序为q2q1q0，该组量子比特对应的量子态是该组量子比特对应的本征态的叠加，该组量子比特对应的本征态共有2的量子比特总数次方个，即8个本征态(确定的状态)：|000>、|001>、|010>、|011>、|100>、|101>、|110>、|111>，每个本征态的位与量子比特对应一致，如|000>态，000从高位到低位对应q2q1q0，|>为狄拉克符号。
以单个量子比特说明，单个量子比特的逻辑状态
Figure BDA0003408793750000091
可能处于|0>态、|1>态、|0>态和|1>态的叠加态(不确定状态)，具体可以表示为/>
Figure BDA0003408793750000092
其中，c和d为表示量子态振幅(概率幅)的复数，振幅模的平方|c|2和|d|2分别表示|0>态、|1>态的概率，|c|2+|d|2＝1。简言之，量子态是各本征态组成的叠加态，当其它本征态的概率为0时，即处于唯一确定的本征态。
近年来，求解线性方程组Ax＝b的量子算法被不断提出，例如Childs等提出了用级数展开构建矩阵逆的算法，构建出了新的量子线性求解器，复杂度为
Figure BDA0003408793750000093
指数提升了在∈上面的表现，另外通过VTAA，他们也将复杂度优化为/>
Figure BDA0003408793750000094
最近，也提出了用QSVT来构建量子线性求解器的工作，不需要用VTAA优化，复杂度为
Figure BDA0003408793750000095
从上面的工作可以看到，最优的量子线性求解器的复杂度与系统条件数κ线性相关，而在实际问题中，可能会遇到条件数很大的线性系统，比如κ在n的多项式量级。当求解这类问题时，量子线性求解器的优势会严重下降，不再有量子优势。遇到病态线性系统时，求解线性方程组的经典算法一般会对线性系统进行预处理，构建出新的well-conditioned线性系统，且解和原系统一样，从而有效求解病态线性系统。在本申请中，我们将经典多项式预处理过程加入到HHL算法中，构建出带多项式预处理器的HHL算法，降低了要求解的线性系统的条件数，从而提升了HHL算法的性能，进而延伸了HHL算法的适用范围。
参见图2，图2为本发明实施例提供的一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法的流程示意图，可以包括如下步骤：
S201：获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息。
线性系统是一种数学模型，是指用线性算子组成的系统，且同时满足叠加性与均匀性(又称为齐次性)的系统，目前，线性系统是很多科学和工程领域的核心。对于待处理线性系统Ax＝b，可分别获取第一矩阵A、第一向量b的元素信息及维数，其中，第一矩阵A，可以为可逆厄米矩阵，厄米矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说厄米矩阵指的就是自共轭矩阵，矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素共轭相等，厄米矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。
S202：计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)。
具体的，对于待处理线性系统Ax＝b，其中，A为可逆厄米矩阵，其条件数为κA＝||A||||A-1||。线性系统预处理过程就是找到第一矩阵A的多项式p(A)，计算用于线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，可以包括如下步骤：
步骤1：构建求解所述多项式的函数fm(x)和预设区间S，其中，所述函数fm(x)满足fm(x)＝pm(x)x，且fm(xi)+(-1)iE＝1，所述m为多项式阶数，所述i＝0，1，2，...，m+1，所述S∈[1/κA，1]，所述E为偏差幅值。
步骤2：在所述预设区间中选择m+1个点，并获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解，其中，所述m+1个点分别为x1，x2，...，xm+1且满足x1＝1/κ，xm+1＝1。
步骤3：将获取的所述线性方程组的解代入fm(x)，得到|1-fm(x)|的局部最大值的点的集合N′。
步骤4：判断对任意x∈N′，fm(x)-1绝对值是否相同且随着x递增，fm(x)-1正负号是否交替变化，若是，则当前的fm(x)为最优的多项式。
步骤5：若不是，则将所述x1，x2，...，xm+1中的元素用所述集合N′中的元素替换，替换规则为：x1，xm+1保持不变，将x2，...，xm替换成集合N′中的元素，然后返回执行所述获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解的步骤，直到得到符合判断条件的最优的fm(x)。
具体的，计算用于线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)使κA′最小的问题可以转化为minimax近似问题，然后可以通过Remez算法求解minimax近似问题，从而得到最优的p(A)。
首先，可以定义：||l(x)-p(x)x||S＝maxx∈S|l(x)-p(x)x|，其中S＝[-1，-1/κ]∪[1/κ，1]，l(x)定义为：
Figure BDA0003408793750000111
考虑p(x)是偶函数，所以l(x)-p(x)x是奇函数，因此只考虑x＞0的区间S＝[1/κ，1]，最优的p(x)满足：/>
Figure BDA0003408793750000112
其中，/>
Figure BDA0003408793750000113
表示2m阶偶函数集合。
Remez算法是一种通过minimax范数近似函数的迭代算法，假设p(x)可以表示为：
Figure BDA0003408793750000114
定义：/>
Figure BDA0003408793750000115
首先，在区间S∈[1/κ，1]选m+1个点X＝{x1，x2，...，xm+1}，其中x1＝1/κ，xm+1＝1；其次，求解线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1，i＝0，1，2，...，m+1，得到解α1，α2，...，αm，E；然后将α1，α2，...，αm代入fm(x)，找到g(x)＝|1-fm(x)|的局部最大值的点的集合N′；最后判断如果对任意x∈N′，fm(x)-1绝对值相同且随着x递增，fm(x)-1正负号交替变化，则当前的fm(x)为最优的多项式，若不是，则将X中的元素用N′中的元素替换，替换规则为：x1，xm+1保持不变，将x2，...，xm替换成N′中的元素。然后返回执行所述获取线性方程组pm(xi)+(-1)iE＝1，i＝1，2，...，m+1的解的步骤，直到得到符合判断条件的最优的pm(x)。
S203：根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′。
具体的，根据获取的最优的多项式p(A)，构建出新的待处理线性系统A′x＝b′，包括获得第二矩阵A′＝p(A)A，以及第二向量b′＝p(A)b，使得新的待处理线性系统可以更有效的求解。一般情况下，当线性方程组条件数变小时，方程会更容易求解。所以，p(A)需要使预处理后的第二矩阵A′的条件数κA′满足κA′＜＜κA。
需要说明的是，p(A)的选取方式可以有很多种，比如Neumann多项式、Chebyshev多项式、Least Square多项式等，在此不做限定。
S204：构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
线性方程组求解问题是很多领域的基本问题，近些年来，求解线性方程组Ax＝b的算法不断被提出。Harrow等人在2009年提出了求解线性方程组的量子算法，即HHL算法，其查询复杂度为
Figure BDA0003408793750000121
s表示第一矩阵A的稀疏度，κ＝||A||||A-1||表示第一矩阵A的条件数。
具体的，由于HHL算法在特定条件下相较于经典算法具有指数加速效果，未来能够在数据处理、机器学习、数值计算、流体力学问题处理等场景具有广泛应用。在本实施例中，HHL算法可用于解决一个求解线性方程的问题，即：针对所述量子线路，输入初始量子态|b′>和算符
Figure BDA0003408793750000122
执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，其中，所述算符/>
Figure BDA0003408793750000123
所述t为常量。
其中，输入初始量子态|b′>和算符
Figure BDA0003408793750000124
输出满足线性方程的解x满足A′x＝b′，即x＝A′-1b′。由此，第二矩阵A′需要满足为可逆矩阵，且对于第二向量b′，由于下述需要将第二向量b′的数据加载到量子线路的缘故，第二向量b′的维数需要能表示为2的正整数次幂形式。若维数不符合2的正整数次幂的形式，则在第二向量b′的元素中补零直至满足符合2的正整数次幂的形式。
具体的，构建HHL算法对应的量子线路包括如下步骤：
步骤1：获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0003408793750000131
所述b′i为所述第二向量b′的第i个元素，所述N为第二向量的维数。
具体的，获取若干个量子比特的比特数量可由用户根据需求确定，也可以在计算资源充足的情况下，设置较充足数量的量子比特，满足计算需求。
获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，具体可以用量子比特位表示。例如，初始量子比特位上为|0>，表示该位量子比特的量子态为|0>态，为|1>则表示初始量子态为|1>态。
需要说明的是，为方便后续区分，获得的若干量子比特可以区分为辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特，具体区分名称在此不做限定，并且，各量子比特的初态可由现有的振幅编码方式或量子态编码方式制备得到。其中，辅助量子比特和第一量子比特的初态置为|0>态，第二量子比特的初态置为
Figure BDA0003408793750000132
例如，对于4维第二向量b′＝[b′1，b′2，b′3，b′4]，即N＝4，将第二向量b′的数据编码到量子态振幅上，得到：
Figure BDA0003408793750000133
实现将第二向量b′的数据加载到量子线路中2个第二量子比特的量子态振幅上。
步骤2：确定所述第二矩阵A′对应的酉矩阵
Figure BDA0003408793750000134
具体的，根据第二矩阵A′为厄米矩阵，可以直接确定第二矩阵A′对应的酉矩阵
Figure BDA0003408793750000135
也可以通过哈密顿量模拟实现厄米矩阵到酉矩阵的转换，得到对应的酉矩阵/>
Figure BDA0003408793750000136
其中，t为常量，一般取值2π。其中，首先将算符/>
Figure BDA0003408793750000141
按照雅可比-安格尔Jacobi-Anger展开式展开，确定算符/>
Figure BDA0003408793750000142
的指数展开式，算符/>
Figure BDA0003408793750000143
的指数展开式为：
Figure BDA0003408793750000144
其中，Jk是k阶第一类贝塞尔函数，Tk是k阶第一类契比雪夫多项式。
保留q阶精度的算符
Figure BDA0003408793750000145
的指数展开式，q阶精度的算符/>
Figure BDA0003408793750000146
的指数展开式为：
eiγt＝f1(β，t)+f2(β，t)，
其中，
Figure BDA0003408793750000147
Figure BDA0003408793750000148
β＝P(A)A；
其次，通过量子信号处理QSP制备f1(β，t)对应的算符
Figure BDA0003408793750000149
和f2(β，t)对应的算符/>
Figure BDA00034087937500001410
最后通过酉操作线性合并LCU以及算符/>
Figure BDA00034087937500001411
和算符/>
Figure BDA00034087937500001412
构建算符/>
Figure BDA00034087937500001413
其中，当k是正整数时有Jk(-x)＝(-1)kJk(x)，Tk(-x)＝(-1)kTk(x)，因此f1(β，t)为偶函数，f2(β，t)为奇函数。因此算符
Figure BDA00034087937500001414
同样能够通过QSP被制备。当制备得到算符
Figure BDA00034087937500001415
后，可以通过酉操作线性合并(Linear combination of unitary operators，LCU)构建算符/>
Figure BDA00034087937500001416
如图3所示，图3为本发明实施例提供的一种构建算符/>
Figure BDA00034087937500001417
的量子线路图。
通过这种方式构建
Figure BDA00034087937500001418
的成功率为η，经过振幅估计和振幅放大，成功率可以被放大到η≈1。在后续QPE过程中会出现O(-log∈)个受控/>
Figure BDA00034087937500001419
门，整个过程成功率为/>
Figure BDA00034087937500001420
其中δ＝logη。因此当η趋近1时，整个算法过程接近1。
步骤3：构建用以相位估计的第一子量子线路模块，用于将所述|b′>在第二矩阵A′的特征空间上分解为
Figure BDA00034087937500001421
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b′>转化为/>
Figure BDA00034087937500001422
其中，所述|μj>为所述第二矩阵A′的特征向量，所述λj为所述第二矩阵A′的特征值，所述βj为所述第二矩阵A′特征向量的振幅。
具体的，构建用以相位估计的第一子量子线路模块，用于将所述|b′>在第二矩阵A′的特征空间上分解为
Figure BDA0003408793750000151
并将第一量子比特和第二量子比特的初态|0>|b′>转化为/>
Figure BDA0003408793750000152
本领域技术人员可以理解的是，相位估计(Phaseestimation)是量子傅里叶变换QFT的一个重要应用，体现在它是很多量子算法的基础。
如图4所示为本实施例提供的相位估计对应的第一子量子线路模块示意图，包括：H门操作模块、受控
Figure BDA0003408793750000153
算子操作模块和量子傅里叶逆变换模块(图中/>
Figure BDA0003408793750000154
模块)，其中，该/>
Figure BDA0003408793750000155
算子即为第二矩阵A′对应的酉矩阵/>
Figure BDA0003408793750000156
经过第一子量子线路模块，辅助量子比特(对应图4最上的时间线)的量子态不变、第一量子比特(对应图4中间的时间线)的初态|0>转化为|λj>、第二量子比特(对应图4最下的时间线)的初态|b′>分解/>
Figure BDA0003408793750000157
实际上，输出的λj是估计值，可以通过增加第一量子比特的数量，提高相位估计的输出精度。并且，在实际应用中，可以设置辅助量子寄存器、第一量子寄存器、第二量子寄存器，分别存储辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的量子态。
步骤4：构建用以执行受控旋转操作的第二子量子线路模块，用于将|λj>作为控制比特对辅助量子比特进行旋转，得到
Figure BDA0003408793750000158
Figure BDA0003408793750000159
其中，所述C为归一化常数。/>
具体的，构建用以执行受控旋转操作的第二子量子线路模块，用于将|λj>作为控制比特对辅助量子比特进行旋转，得到
Figure BDA00034087937500001510
Figure BDA00034087937500001511
受控旋转又可称“提取占比”，因为经过相位估计运算之后，第一量子寄存器会存储一系列的特征值λj(具体存储在基态|λj>中)，而第二量子寄存器存储的输入态即初态|b′>会在第二矩阵A′的特征空间上进行分解，然后通过受控旋转操作，将基态中的λj值提取到了振幅上，将辅助量子比特的量子态|0>转化为得到/>
Figure BDA0003408793750000161
各量子比特的量子态经过第二子量子线路由/>
Figure BDA0003408793750000162
转化为/>
Figure BDA0003408793750000163
为了减少资源占用，辅助量子比特可设1位，且C为常数，一般取1。
需要说明是的，可以在第二个量子寄存器中得到量子态|x>＝A′-1|b′>(更准确地说，是接近的|x>量子态)，伴随着一个常数因子C。后面可以采用振幅放大的手段来提高成功概率，取代简单测量并筛选结果的过程。
步骤5：构建用以执行逆相位估计的第三子量子线路模块，用于将|λj>复位至|0>。
具体的，本领域技术人员可以理解的是，相位估计逆运算是上述相位估计的还原过程，或称相位估计的转置共轭运算，目的是将|λj>复位至|0>，具体以将量子态
Figure BDA0003408793750000164
转化为如下为准：
Figure BDA0003408793750000165
步骤6：构建用于所述辅助量子比特的测量操作模块，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure BDA0003408793750000166
所述|x′>∝|x>。
具体的，量子测量操作施加在辅助量子比特上，以在相位估计逆运算后，对辅助量子比特进行测量。测量后，辅助量子比特的状态会塌缩至一个确定的状态，其中，塌缩至|0>的概率是
Figure BDA0003408793750000171
塌缩至|1>的概率是/>
Figure BDA0003408793750000172
当测量辅助量子比特的量子态为|1>、且C＝1时，即可得到确定的量子态：/>
Figure BDA0003408793750000173
Figure BDA0003408793750000174
可见是/>
Figure BDA0003408793750000175
进行振幅归一化的对应结果。在实际应用中，可以根据用户所需的应用场景，对应得到|x>，或者直接将|x′>用于后续的场景计算。
步骤7：将所述第一子量子线路模块、所述第二子量子线路模块、所述第三子量子线路模块和所述量子测量操作模块，依次组成HHL算法对应的量子线路。
具体的，参见图5，图5为根据第一子量子线路模块、所述第二子量子线路模块、所述第三子量子线路模块和所述量子测量操作模块的执行时序，依次组成一条完整的量子线路，即为HHL算法对应的总量子线路。
在一种可选的实施方式中，可以通过制备第一向量b的量子态|b>，以及基于多项式p(A)构建算符
Figure BDA0003408793750000176
再将算符/>
Figure BDA0003408793750000177
作用在量子态|b>上，得到量子态|b′>，量子态|b′>为第二向量b′对应的量子态。其中，量子态/>
Figure BDA0003408793750000178
算符/>
Figure BDA0003408793750000179
作用在量子态|b>上，得到量子态|b′>，量子态/>
Figure BDA00034087937500001710
具体的，通过量子信号处理QSP制备多项式p(A)对应的算符
Figure BDA00034087937500001711
其中，量子信号处理(Quantum Signal Processing，QSP)保证了定义在实数域上的多项式映射的量子算符是可以被制备的，当且仅当多项式为奇函数或偶函数时(即多项式为全奇数阶或者全偶数阶)。
可见，将多项式预处理器与量子线性求解器结合在一起，构建出含多项式预处理的HHL算法，优化了HHL算法的复杂度，优化的倍数随多项式预处理函数的阶数线性增加，从而提高了HHL算法求解病态线性系统的能力，扩展HHL算法的应用范围。随着阶数m增大，HHL算法向量子线性求解器过渡，算法复杂度从κ2慢慢变为κ。
与现有技术相比，本发明首先获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，计算用于线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，根据多项式p(A)，对线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′，构建HHL算法对应的量子线路，根据第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的量子线路的最终量子态，它能够降低解线性问题求解的时间复杂度和计算量，加快量子线性算法的求解速度，同时减少硬件资源的占用。
参见图6，图6为本发明实施例提供的一种基于多项式预处理器的量子线性求解装置的结构示意图，与图2所示的流程相对应，可以包括：
获取模块601，用于获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
计算模块602，用于计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
获得模块603，用于根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
构建模块604，用于构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
具体的，所述获得模块，包括：
第一获得单元，用于获得第二矩阵A′＝p(A)A，以及第二向量b′＝p(A)b。
具体的，所述构建模块，包括：
输入单元，用于针对所述量子线路，输入初始量子态|b′>和算符
Figure BDA0003408793750000181
执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，其中，所述算符/>
Figure BDA0003408793750000182
所述t为常量。
具体的，所述计算模块，包括：
第一构建单元，用于构建求解所述多项式的函数fm(x)和预设区间S，其中，所述函数fm(x)满足fm(x)＝pm(x)x，且fm(xi)+(-1)iE＝1，所述m为多项式阶数，所述i＝0，1，2，...，m+1，所述S∈[1/κA，1]，所述E为偏差幅值，所述κA为条件数；
选择单元，用于在所述预设区间中选择m+1个点，并获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解，其中，所述m+1个点分别为x1，x2，...，xm+1且满足x1＝1/κ，xm+1＝1；
代入单元，用于将获取的所述线性方程组的解代入fm(x)，得到|1-fm(x)|的局部最大值的点的集合N′；
判断单元，用于判断对任意x∈N′，fm(x)-1绝对值是否相同且随着x递增，fm(x)-1正负号是否交替变化，若是，则当前的fm(x)为最优的多项式。
具体的，所述计算模块还包括：
返回单元，用于若不是，则将所述x1，x2，...，xm+1中的元素用所述集合N′中的元素替换，替换规则为：x1，xm+1保持不变，将x2，...，xm替换成集合N′中的元素，然后返回执行所述获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解的步骤，直到得到符合判断条件的最优的fm(x)。
具体的，所述构建模块，包括：
第二获得单元，用于获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0003408793750000191
所述b′i为所述第二向量b′的第i个元素，所述N为第二向量的维数；
确定单元，用于确定所述第二矩阵A′对应的酉矩阵
Figure BDA0003408793750000192
第二构建单元，用于构建用以相位估计的第一子量子线路模块，用于将所述|b′>在第二矩阵A′的特征空间上分解为
Figure BDA0003408793750000193
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b′>转化为/>
Figure BDA0003408793750000194
其中，所述|μj>为所述第二矩阵A′的特征向量，所述λj为所述第二矩阵A′的特征值，所述βj为所述第二矩阵A′特征向量的振幅；
第三构建单元，用于构建用以执行受控旋转操作的第二子量子线路模块，用于将|λj>作为控制比特对辅助量子比特进行旋转，得到
Figure BDA0003408793750000195
其中，所述C为归一化常数；
第四构建单元，用于构建用以执行逆相位估计的第三子量子线路模块，用于将|λj>复位至|0>；
第五构建单元，用于构建用于所述辅助量子比特的测量操作模块，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure BDA0003408793750000201
所述|x′>∝|x>；
组合单元，用于将所述第一子量子线路模块、所述第二子量子线路模块、所述第三子量子线路模块和所述量子测量操作模块，依次组成HHL算法对应的量子线路。
与现有技术相比，本发明首先获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，计算用于线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，根据多项式p(A)，对线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′，构建HHL算法对应的量子线路，根据第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的量子线路的最终量子态，它能够降低解线性问题求解的时间复杂度和计算量，加快量子线性算法的求解速度，同时减少硬件资源的占用。
本发明实施例还提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以被设置为存储用于执行以下步骤的计算机程序：
S201：获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
S202：计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
S203：根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
S204：构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以包括但不限于：U盘、只读存储器(Read-Only Memory，简称为ROM)、随机存取存储器(Random Access Memory，简称为RAM)、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储计算机程序的介质。
本发明实施例还提供了一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，上述电子设备还可以包括传输设备以及输入输出设备，其中，该传输设备和上述处理器连接，该输入输出设备和上述处理器连接。
具体的，在本实施例中，上述处理器可以被设置为通过计算机程序执行以下步骤：
S201：获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
S202：计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
S203：根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
S204：构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
以上依据图式所示的实施例详细说明了本发明的构造、特征及作用效果，以上所述仅为本发明的较佳实施例，但本发明不以图面所示限定实施范围，凡是依照本发明的构想所作的改变，或修改为等同变化的等效实施例，仍未超出说明书与图示所涵盖的精神时，均应在本发明的保护范围内。

Claims (10)

1.一种基于多项式预处理器的量子线性求解方法，其特征在于，所述方法包括：
获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述获得第二矩阵A′及第二向量b′，包括：
获得第二矩阵A′＝p(A)A，以及第二向量b′＝p(A)b。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，包括：
针对所述量子线路，输入初始量子态|b′>和算符
Figure FDA0003408793740000011
执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态，其中，所述算符/>
Figure FDA0003408793740000012
所述t为常量。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)，包括：
构建求解所述多项式的函数fm(x)和预设区间S，其中，所述函数fm(x)满足fm(x)＝pm(x)x，且fm(xi)+(-1)iE＝1，所述m为多项式阶数，所述i＝0，1，2，...，m+1，所述S∈[1/κA，1]，所述E为偏差幅值，所述κA为条件数；
在所述预设区间中选择m+1个点，并获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解，其中，所述m+1个点分别为x1，x2，...，xm+1且满足x1＝1/κ，xm+1＝1；
将获取的所述线性方程组的解代入fm(x)，得到|1-fm(x)|的局部最大值的点的集合N′；
判断对任意x∈N′，fm(x)-1绝对值是否相同且随着x递增，fm(x)-1正负号是否交替变化，若是，则当前的fm(x)为最优的多项式。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述方法还包括：
若不是，则将所述x1，x2，...，xm+1中的元素用所述集合N′中的元素替换，替换规则为：x1，xm+1保持不变，将x2，...，xm替换成集合N′中的元素，然后返回执行所述获取线性方程组fm(xi)+(-1)iE＝1的解的步骤，直到得到符合判断条件的最优的fm(x)。
6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述构建HHL算法对应的量子线路，包括：
获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure FDA0003408793740000021
所述b′i为所述第二向量b′的第i个元素，所述N为第二向量的维数；
确定所述第二矩阵A′对应的酉矩阵
Figure FDA0003408793740000022
构建用以相位估计的第一子量子线路模块，用于将所述|b′>在第二矩阵A′的特征空间上分解为
Figure FDA0003408793740000023
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b′>转化为/>
Figure FDA0003408793740000024
其中，所述|μj>为所述第二矩阵A′的特征向量，所述λj为所述第二矩阵A′的特征值，所述βj为所述第二矩阵A′特征向量的振幅；
构建用以执行受控旋转操作的第二子量子线路模块，用于将|λj>作为控制比特对辅助量子比特进行旋转，得到
Figure FDA0003408793740000025
其中，所述C为归一化常数；
构建用以执行逆相位估计的第三子量子线路模块，用于将|λj>复位至|0>；
构建用于所述辅助量子比特的测量操作模块，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure FDA0003408793740000031
所述|x′>∝|x>；
将所述第一子量子线路模块、所述第二子量子线路模块、所述第三子量子线路模块和所述量子测量操作模块，依次组成HHL算法对应的量子线路。
7.一种基于多项式预处理器的量子线性求解装置，其特征在于，所述装置包括：
获取模块，用于获取待处理线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；
计算模块，用于计算用于所述线性系统预处理的第一矩阵A的多项式p(A)；
获得模块，用于根据所述多项式p(A)，对所述线性系统进行预处理，获得第二矩阵A′及第二向量b′；
构建模块，用于构建HHL算法对应的量子线路，根据所述第二矩阵A′及第二向量b′，执行量子态的演化与测量操作，获取演化后的所述量子线路的最终量子态。
8.根据权利要求7所述的装置，其特征在于，所述获得模块，包括：
获得单元，用于获得第二矩阵A′＝p(A)A，以及第二向量b′＝p(A)b。
9.一种存储介质，其特征在于，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行所述权利要求1至6任一项中所述的方法。
10.一种电子设备，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行所述权利要求1至6任一项中所述的方法。
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