CN116186466A - 基于量子线路的二次非线性方程组求解方法及装置 - Google Patents

基于量子线路的二次非线性方程组求解方法及装置 Download PDF

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CN116186466A CN202111425744.4A CN202111425744A CN116186466A CN 116186466 A CN116186466 A CN 116186466A CN 202111425744 A CN202111425744 A CN 202111425744A CN 116186466 A CN116186466 A CN 116186466A
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quantum
linear equation
linear
quantum circuit
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窦猛汉
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Abstract

本发明公开了一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法及装置，方法包括：获取目标线性方程组，目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定，构建量子线性求解器对应的量子线路，运行量子线路并测量，以对目标线性方程组进行求解，基于所求解出的目标线性方程组的解，确定初始二次非线性方程组的解，利用量子的相关特性，实现一种可以满足二次非线性方程组的求解技术，降低求解的复杂度和难度。

Description

基于量子线路的二次非线性方程组求解方法及装置
技术领域
本发明属于量子计算技术领域，特别是一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法及装置。
背景技术
以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的非线性方程的研究，不仅是传统应用数学中的一个最主要内容，也是当代数学的一个重要组成部分，它是数学理论和实际应用之间的一座重要桥梁。
另外一方面，非线性问题在自然界更普遍，比如非线性有限元分析，非线性动力学，非线性规划等。所以构建求解非线性问题的量子算法是重要的，但是，由于量子计算本身的线性性，构建求解非线性问题的量子算法时会遇到困难，求解非线性方程组的量子算法研究还比较匮乏。
目前非线性方程研究的主体是二次非线性方程组，很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为二次非线性方程组的研究，现实生活的许多领域内数学模型都可以用二次非线性方程组来描述，但一般情况下，很难通过传统数值方法轻易获得有效的二次非线性方程组的解。因此，如何精准快速求解二次非线性方程组的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值。量子计算是一种新型计算方式，原理是用量子力学理论构建了一种计算框架。在求解一些问题时，比起最优的经典算法，量子计算有指数加速的效果。
现有的求解二次非线性方程组的方法，由于需要消耗很多的计算资源，这可能超出传统计算机的算力，并且计算的复杂度较高，求解精确解的时间长且计算难度较大，在此背景下，发展更有效的算法求解二次非线性方程组是十分重要的。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法及装置，以解决现有技术中的不足，它能够实现利用量子算法计算二次非线性方程组的求解技术，降低对于二次非线性方程组求解的复杂度和难度，填补量子计算领域相关技术空白。
本申请的一个实施例提供了一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法，包括：
获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
可选的，所述初始二次非线性方程组，具体为：
Figure BDA0003378341240000021
/>
其中，x∈Rn,R表示实数空间，
Figure BDA0003378341240000022
F1、F2的稀疏度为s。
可选的，所述获取目标线性方程组，包括：
根据同伦摄动法将所述初始二次非线性方程组转化为预设伪线性方程组；
利用线性嵌入法将所述预设伪线性方程组转化为目标线性方程组。
可选的，所述预设伪线性方程组为：
v0＝-F1 -1F0
Figure BDA0003378341240000023
Figure BDA0003378341240000024
…
Figure BDA0003378341240000025
其中，所述F1可逆，vi为预设伪线性方程组的待求变量，0≤i≤c，所述c为预设伪线性方程组的待求变量的数量。
可选的，所述目标线性方程为：
Figure BDA0003378341240000031
其中，Ai,i是
Figure BDA0003378341240000032
维矩阵，Ai,i+1是ni+1βi×ni+2βi+1维矩阵，y＝y0,y1,…,yc，yi满足y0＝v0+v1+v2+...+vc，yi＝[yi,0，yi,1，yi,2，...，yi,βi-1]，βi表示yi中的项数。
可选的，所述构建量子线性求解器对应的量子线路，包括：
构建用于实现第一功能模块V的量子线路，其中，所述第一功能模块定义为
Figure BDA0003378341240000033
Figure BDA0003378341240000034
构建用于实现第二功能模块组合的量子线路，其中，所述第二功能模块组合的量子线路包含T、W和T+，所述T＝∑j∈[N]|Ψj><j|，
Figure BDA0003378341240000035
Figure BDA0003378341240000036
所述S为交换操作模块的酉矩阵，所述T+为所述T的转置共轭，所述
Figure BDA0003378341240000037
Figure BDA0003378341240000038
为4N2维单位矩阵；
构建用于实现第三功能模块V+的量子线路，其中，所述第三功能模块为所述第一功能模块的转置共轭形式；
依次将所述第一功能模块、第二功能模块和第三功能模块依序插设到量子线路中，组成量子线性求解器对应的量子线路。
本申请的又一实施例提供了一种基于量子线路的二次非线性方程组求解装置，包括：
获取模块，用于获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
构建模块，用于构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
确定模块，用于基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
可选的，所述获取模块，包括：
第一转化单元，用于根据同伦摄动法将所述初始二次非线性方程组转化为预设伪线性方程组；
第二转化单元，用于利用线性嵌入法将所述预设伪线性方程组转化为目标线性方程组。
可选的，所述构建模块，包括：
第一构建单元，用于构建用于实现第一功能模块V的量子线路，其中，所述第一功能模块定义为
Figure BDA0003378341240000041
Figure BDA0003378341240000042
第二构建单元，用于构建用于实现第二功能模块组合的量子线路，其中，所述第二功能模块组合的量子线路包含T、W和T+，所述T＝∑j∈[N]|Ψj><j|，
Figure BDA0003378341240000043
所述S为交换操作模块的酉矩阵，所述T+为所述T的转置共轭，所述/>
Figure BDA0003378341240000044
Figure BDA0003378341240000045
Figure BDA0003378341240000046
为4N2维单位矩阵；
第三构建单元，用于构建用于实现第三功能模块V+的量子线路，其中，所述第三功能模块为所述第一功能模块的转置共轭形式；
组合单元，用于依次将所述第一功能模块、第二功能模块和第三功能模块依序插设到量子线路中，组成量子线性求解器对应的量子线路。
本申请的又一实施例提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中所述的方法。
本申请的又一实施例提供了一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中所述的方法。
与现有技术相比，本发明首先根据初始二次非线性方程组进行转化确定目标线性方程组，其次构建量子线性求解器对应的量子线路，运行量子线路并测量，对目标线性方程组进行求解，并基于所求解出的目标线性方程组的解，确定初始二次非线性方程组的解，利用量子的相关特性，能够实现利用量子算法计算二次非线性方程组的技术，降低对于二次非线性方程组求解的复杂度和难度，填补量子计算领域相关技术空白。
附图说明
图1是本发明实施例提供的一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法的计算机终端的硬件结构框图；
图2是本发明实施例提供的一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法的流程示意图；
图3为本发明实施例提供的一种求解二次非线性方程组对应的量子线路示意图；
图4为本发明实施例提供的一种量子线性求解器对应的量子线路示意图；
图5是本发明实施例提供的一种关于行走算子W的量子线路示意图；
图6是本发明实施例提供的一种基于量子线路的二次非线性方程组求解装置的结构示意图。
具体实施方式
下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
本发明实施例首先提供了一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法，该方法可以应用于电子设备，如计算机终端，具体如普通电脑、量子计算机等。
下面以运行在计算机终端上为例对其进行详细说明。图1为本发明实施例提供的一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法的计算机终端的硬件结构框图。如图1所示，计算机终端可以包括一个或多个(图1中仅示出一个)处理器102(处理器102可以包括但不限于微处理器MCU或可编程逻辑器件FPGA等的处理装置)和用于存储数据的存储器104，可选地，上述计算机终端还可以包括用于通信功能的传输装置106以及输入输出设备108。本领域普通技术人员可以理解，图1所示的结构仅为示意，其并不对上述计算机终端的结构造成限定。例如，计算机终端还可包括比图1中所示更多或者更少的组件，或者具有与图1所示不同的配置。
存储器104可用于存储应用软件的软件程序以及模块，如本申请实施例中的基于量子线路的二次非线性方程组求解方法对应的程序指令/模块，处理器102通过运行存储在存储器104内的软件程序以及模块，从而执行各种功能应用以及数据处理，即实现上述的方法。存储器104可包括高速随机存储器，还可包括非易失性存储器，如一个或者多个磁性存储装置、闪存、或者其他非易失性固态存储器。在一些实例中，存储器104可进一步包括相对于处理器102远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至计算机终端。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。
传输装置106用于经由一个网络接收或者发送数据。上述的网络具体实例可包括计算机终端的通信供应商提供的无线网络。在一个实例中，传输装置106包括一个网络适配器(Network Interface Controller，NIC)，其可通过基站与其他网络设备相连从而可与互联网进行通讯。在一个实例中，传输装置106可以为射频(Radio Frequency，RF)模块，其用于通过无线方式与互联网进行通讯。
需要说明的是，真正的量子计算机是混合结构的，它包含两大部分：一部分是经典计算机，负责执行经典计算与控制；另一部分是量子设备，负责运行量子程序进而实现量子计算。而量子程序是由量子语言如QRunes语言编写的一串能够在量子计算机上运行的指令序列，实现了对量子逻辑门操作的支持，并最终实现量子计算。具体的说，量子程序就是一系列按照一定时序操作量子逻辑门的指令序列。
在实际应用中，因受限于量子设备硬件的发展，通常需要进行量子计算模拟以验证量子算法、量子应用等等。量子计算模拟即借助普通计算机的资源搭建的虚拟架构(即量子虚拟机)实现特定问题对应的量子程序的模拟运行的过程。通常，需要构建特定问题对应的量子程序。本发明实施例所指量子程序，即是经典语言编写的表征量子比特及其演化的程序，其中与量子计算相关的量子比特、量子逻辑门等等均有相应的经典代码表示。
量子线路作为量子程序的一种体现方式，也称量子逻辑电路，是最常用的通用量子计算模型，表示在抽象概念下对于量子比特进行操作的线路，其组成包括量子比特、线路(时间线)，以及各种量子逻辑门，最后常需要通过量子测量操作将结果读取出来。
不同于传统电路是用金属线所连接以传递电压信号或电流信号，在量子线路中，线路可看成是由时间所连接，亦即量子比特的状态随着时间自然演化，在这过程中按照哈密顿运算符的指示，一直到遇上逻辑门而被操作。
一个量子程序整体上对应有一条总的量子线路，本发明所述量子程序即指该条总的量子线路，其中，该总的量子线路中的量子比特总数与量子程序的量子比特总数相同。可以理解为：一个量子程序可以由量子线路、针对量子线路中量子比特的测量操作、保存测量结果的寄存器及控制流节点(跳转指令)组成，一条量子线路可以包含几十上百个甚至千上万个量子逻辑门操作。量子程序的执行过程，就是对所有的量子逻辑门按照一定时序执行的过程。需要说明的是，时序即单个量子逻辑门被执行的时间顺序。
需要说明的是，经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门。使用量子逻辑门，能够使量子态发生演化，量子逻辑门是构成量子线路的基础，量子逻辑门包括单比特量子逻辑门，如Hadamard门(H门，阿达马门)、泡利-X门(X门)、泡利-Y门(Y门)、泡利-Z门(Z门)、RX门、RY门、RZ门等等；多比特量子逻辑门，如CNOT门、CR门、iSWAP门、Toffoli门等等。量子逻辑门一般使用酉矩阵表示，而酉矩阵不仅是矩阵形式，也是一种操作和变换。一般量子逻辑门在量子态上的作用是通过酉矩阵左乘以量子态右矢对应的矩阵进行计算的。
量子态，即量子比特的逻辑状态，在量子算法(或称量子程序)中用二进制表示，例如，一组量子比特为q0、q1、q2，表示第0位、第1位、第2位量子比特，从高位到低位排序为q2q1q0，该组量子比特对应的量子态是该组量子比特对应的本征态的叠加，该组量子比特对应的本征态共有2的量子比特总数次方个，即8个本征态(确定的状态)：|000>、|001>、|010>、|011>、|100>、|101>、|110>、|111>，每个本征态的位与量子比特对应一致，如|000>态，000从高位到低位对应q2q1q0，|>为狄拉克符号。
以单个量子比特说明，单个量子比特的逻辑状态
Figure BDA0003378341240000081
可能处于|0>态、|1>态、|0>态和|1>态的叠加态(不确定状态)，具体可以表示为/>
Figure BDA0003378341240000082
其中，c和d为表示量子态振幅(概率幅)的复数,振幅模的平方|c|2和|d|2分别表示|0>态、|1>态的概率，|c|2+|d|2＝1。简言之，量子态是各本征态组成的叠加态，当其它本征态的概率为0时，即处于唯一确定的本征态。
参见图2，图2为本发明实施例提供的一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法的流程示意图，可以包括如下步骤：
S201：获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定。
非线性问题在自然界非常普遍，比如非线性有限元分析，非线性动力学，非线性规划等，因此构建求解非线性问题的算法是十分重要的。
非线性方程就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，是随着各种各样实际问题的出现以及根据实际生活中的问题建立方程以后在数学方面所做的推广，非线性方程日益引起人们的关注，该问题已经成为近代数学的一个重要研究方向。
非线性方程在很多科学技术领域内提供了关键性的理论支撑，发挥着重要的作用，比如在力学、经济学、生物技术、电子技术领域等，求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题，相应的求近似解的方法也逐渐得到大家的重视。二次非线性方程组作为非线性方程的重要构成内容，在理论和实践方面均有着重要的意义。
示例性的，获取目标线性方程组，可以包括：
步骤1：根据同伦摄动法将所述初始二次非线性方程组转化为预设伪线性方程组。
具体的，所述初始二次非线性方程组，具体为：
Figure BDA0003378341240000091
其中，x∈Rn,R表示实数空间，
Figure BDA0003378341240000092
F1、F2的稀疏度为s。
示例性的，求解如下初始二次非线性方程组：
Figure BDA0003378341240000093
则对应的F0、F1、F2分别为：
Figure BDA0003378341240000094
给定查询F1、F2非零元位置和非零元值的oracles
Figure BDA0003378341240000095
Figure BDA0003378341240000096
Figure BDA0003378341240000097
Figure BDA0003378341240000098
Figure BDA0003378341240000099
给定制备F0的oracle
Figure BDA00033783412400000910
其实现如下功能：/>
Figure BDA00033783412400000911
同伦摄动法是一种结合同伦思想和摄动技术的方法，这种方法不同于传统的摄动理论，它不依赖于小参数，而是应用同伦技术构造一个含嵌入参数的方程，然后把嵌入参数作为小参数，因此这种方法不但可以克服传统摄动理论的不足，还可以充分应用各种摄动方法。同伦摄动方法的本质是把非线性问题转化成无穷多个线性问题来处理。在这种方法中，方程的近似解可以写成一系列无穷级数相加的形式，并且这个级数和收敛于它的精确解，大量的例子显示这种方法简单而有效，并且其一阶近似解往往具有很高的精度，应该说同伦摄动方法是一种很普遍的解决非线性问题的方法。
具体的，利用同伦摄动法将方程
Figure BDA00033783412400000912
转化为一系列v0,v1,...,vc相关预设伪线性方程组。
首先，构建同伦H：Rn×[0,1]→Rn，
Figure BDA0003378341240000109
假设H(v,p)＝0的解表示为：v＝v0+pv1+p2v2+...+pcvc，代入可得：
F1v0+F0＝0
Figure BDA0003378341240000101
Figure BDA0003378341240000102
…
Figure BDA0003378341240000103
假设F1可逆，则预设伪线性方程组为：
v0＝-F1 -1F0
Figure BDA0003378341240000104
Figure BDA0003378341240000105
…
Figure BDA0003378341240000106
其中，vi为预设伪线性方程组的待求变量，0≤i≤c，所述c为预设伪线性方程组的待求变量的数量。
当p＝1时，可得：
Figure BDA0003378341240000107
步骤2：利用线性嵌入法将所述预设伪线性方程组转化为目标线性方程组。
具体的，利用同伦摄动法将方程
Figure BDA0003378341240000108
转化为一系列以v0,v1,...,vc为待求变量的预设伪线性方程组，其次，将以v0,v1,...,vc为变量的伪线性方程组嵌入到一个大的线性系统中，即将上述方程嵌入到一个高维线性系统：
Ay＝b
其中，y＝y0,y1,…,yc，yi满足如下形式：
y0＝v0+v1+v2+...+vc
Figure BDA0003378341240000111
其中，βi表示yi中的项数，我们通过yi,j的表达式来推出βi的值，yi,j写为如下形式：
Figure BDA0003378341240000112
且ai,j,k满足ai,j,k≥0，/>
Figure BDA0003378341240000113
可以推出yi一共包含/>
Figure BDA0003378341240000114
项，于是βi可以表示为：
Figure BDA0003378341240000115
定义
Figure BDA0003378341240000116
Figure BDA0003378341240000117
与j一一对应，所以可以构造如下两个操作：
Figure BDA0003378341240000118
Figure BDA0003378341240000119
Figure BDA00033783412400001110
和/>
Figure BDA00033783412400001111
可以用O(c)比特量子线路的量子算数实现，其gate complexity为O(ploy(c))。
对
Figure BDA00033783412400001112
当/>
Figure BDA00033783412400001113
中包含大于0的值时，假设第一个大于0的值为ai,j,k，则有
Figure BDA00033783412400001114
其中，
Figure BDA00033783412400001115
我们取/>
Figure BDA00033783412400001116
则有：/>
Figure BDA00033783412400001117
由上式可以推出
Figure BDA00033783412400001118
最后方程Ay＝b可以展开为：/>
Figure BDA0003378341240000121
其中，Ai,i是
Figure BDA0003378341240000122
维矩阵，Ai,i+1是ni+1βi×ni+2βi+1维矩阵，y＝y0,y1,…,yc，yi满足y0＝v0+v1+v2+...+vc，/>
Figure BDA0003378341240000123
βi表示yi中的项数。
对线性系统Ay＝b做一些优化，由上式可知，A中包含块矩阵
Figure BDA0003378341240000124
Figure BDA0003378341240000125
这会使得A的条件数随c指数增加，因此将/>
Figure BDA0003378341240000126
拆分：
Figure BDA0003378341240000127
拆分后的线性系统条件数更好，并将yi,0重新定义为如下形式：
Figure BDA0003378341240000128
接上述示例，我们取c＝2，则优化后的y的各个分量写为：
y0＝[v0+v1+v2]
Figure BDA0003378341240000129
Figure BDA00033783412400001210
对应的矩阵A可以写为：
Figure BDA0003378341240000131
Figure BDA0003378341240000132
其中，04＝[0,0,0,0],08与04类似。
线性系统Ay＝b也做相应调整，在下文中，默认Ay＝b为优化后的线性系统，优化后矩阵A的维数为：
Figure BDA0003378341240000133
对于矩阵A的条件数，给定如下一些引理：
引理1：给定n维可逆矩阵M和
Figure BDA0003378341240000134
定义新的矩阵：
Figure BDA0003378341240000135
则P可逆，且满足
Figure BDA0003378341240000136
引理2：||A||满足||A||≤||F1||+1+(c+1)||F2||
引理3：给定优化后的线性系统Ay＝b，截断阶数c，F1，F2满足：
Figure BDA0003378341240000137
时，A-1满足：
Figure BDA0003378341240000138
因此，对于给定优化后的线性系统Ay＝b，截断阶数c，F1，F2满足：
Figure BDA0003378341240000141
时，矩阵A的条件数κ(A)满足：
Figure BDA0003378341240000142
S202：构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解。
具体的，构建表示量子线性求解器对应的量子线路，即构建包含Oracle和量子逻辑门功能模块的量子线性求解器对应的量子线路，并针对该量子线路执行量子态的演化操作，测量得到演化后的量子线路的量子态。
示例性的，如图3所示为本申请实施例提供的一种求解二次非线性方程组对应的量子线路示意图。图中包含量子线性求解器模块和四个测量模块，通过构建Ay＝b的相关oracle，oracle可视为把方程信息输入到量子线路的接口，或者视为量子线性求解器算法的输入Input，具体可通过输入Ay＝b的oracle输出量子态|y>，
Figure BDA0003378341240000143
通过对|y>的第一比特寄存器进行测量，当测到|0,0>时，可以得到原非线性方程归一化的近似解/>
Figure BDA0003378341240000144
对于矩阵A的OracleOA的构建方式，可以把A看成是一个c+1维块矩阵，可以用O(poly(c))次经典运算得到A的非零块矩阵元的表达式及对应的位置，然后通过F1、F2的Oracle提取块矩阵内部矩阵元的非零元位置和非零元的值，把这个过程中的算术运算用量子线路实现就构建出了OA，构建过程对F1、F2 Oracle的查询复杂度为O(poly(c))，由于只涉及一些简单的算术运算，线路长度也为O(poly(c))。类似的制备|b>的操作Ob也可以通过
Figure BDA0003378341240000145
制备，查询复杂度为O(poly(c))。
构建量子线性求解器对应的量子线路，主要为构建如图3所示量子线性求解器模块对应的子量子线路，包括：
步骤S2021：构建用于实现第一功能模块V的量子线路，其中，所述第一功能模块定义为
Figure BDA0003378341240000151
Figure BDA0003378341240000152
步骤S2022：构建用于实现第二功能模块组合的量子线路，其中，所述第二功能模块组合的量子线路包含T、W和T+，所述T＝∑j∈[N]|Ψj><j|，
Figure BDA0003378341240000156
Figure BDA0003378341240000157
所述S为交换操作模块的酉矩阵，所述T+为所述T的转置共轭，所述
Figure BDA0003378341240000153
Figure BDA0003378341240000154
为4N2维单位矩阵。
步骤S2023：构建用于实现第三功能模块V+的量子线路，其中，所述第三功能模块为所述第一功能模块的转置共轭形式。
步骤S2024：依次将所述第一功能模块、第二功能模块和第三功能模块依序插设到量子线路中，组成量子线性求解器对应的量子线路。
具体的，上述步骤S2021至S2023依次构建第一功能模块、第二功能模块和第三功能模块，将构建完成三个功能模块依序插设到量子线路中，构成如图4所示的一种量子线性求解器对应的量子线路示意图。
具体的，如图4所示的量子线路示意图中，V、T表示不同功能的Oracle，
Figure BDA0003378341240000155
表示转置共轭，T表示H门及各Oracle组合的整体功能模块T，T模块的功能即为将|j>变换为|Ψj>。并且，获得的输入该T模块的矩阵为N阶矩阵，构建的T模块在量子线路中可等效于量子逻辑门，其矩阵形式为：∑j∈[N]|Ψj><j|,其中，<j|为量子态左矢。
需要说明的是，求解目标线性方程组需要首先构建一种关于行走算子W的量子线路示意图。本领域技术人员可以理解的是，任何一个简单的函数都可以线性近似为其他函数的线性组合，可以通过Chebyshev切比雪夫多项式近似矩阵的逆函数。为了实现Chebyshev多项式，需要在量子行走框架中进行。
因为量子游走被执行在空间
Figure BDA0003378341240000161
中的一些态/>
Figure BDA0003378341240000162
上，定义一个映射/>
Figure BDA0003378341240000163
从/>
Figure BDA0003378341240000164
到/>
Figure BDA0003378341240000165
Figure BDA0003378341240000166
和行走算子：
Figure BDA0003378341240000167
算子S执行
Figure BDA0003378341240000168
中的乘积态的翻转操作。于是有：
Figure BDA0003378341240000169
Figure BDA00033783412400001610
是第一类Chebyshev多项式。
需要说明的是，如上述|Ψj>的形式，采用竖线与尖括号的组合描述一个量子态，表示量子态是一个矢量(称为态矢、基矢等等)，|Ψj>表示右矢，<Ψj|表示左矢。
示例性的，例如图5所示，说明游走算子W的量子线路。因为
Figure BDA00033783412400001611
S可以由一群交换操作构造出来(例如一个SWAP门，图5量子比特中两个标粗X相连的符号，即表示一个SWAP门)，剩下来的就是/>
Figure BDA00033783412400001612
为了构建
Figure BDA00033783412400001613
需要构建T的酉算符形式，定义该酉算符Tu应该满足：
Tu|j>|0>＝|Ψj>
因此有：
Figure BDA0003378341240000171
其中，
Figure BDA0003378341240000172
且：K＝2|0><0|-I2N。
需要说明的是，该示意图只示出了与本申请相关的部分量子线路，图中各标识及连接关系，仅仅作为示例，并不构成对本发明的限定，且除了使用上述切比雪夫线性求解器，也可以利用HHL算法或变分量子线性求解器来进行求解。
对所述目标线性方程组执行量子态的演化与测量，获取所述目标线性方程组的解。
具体的，根据构建好的矩阵A及对应的Oracle并运用量子线性求解器来求解线性系统。量子线性求解器的输入为上述构建的Oracle，通过量子线性求解器得到目标线性方程组的解。
需要说明的是，量子Oracle是一个黑盒表示某种量子态的转变。量子Oracle的一个典型例子是线性系统：O|x>|0>＝|x>|f(x)>，此处计算f(x)用第一个量子寄存器作为输入，第二个量子寄存器作为输出。另外一个例子就是QRAM可以被视为一种Oracle。很多量子算法用到Oracle，许多量子算法都使用Oracle，但他们不关心Oracle的实现,它可以分解成量子门，也可以实现QRAM。在QPanda中，可以使用“Oracle”函数来定义。Oracle被认为是具有用户提供的名称。
在量子应用中，通过构造一种Oracle或Oracle组合，该Oracle或组合的内部原理即为本发明的方法流程。具体的，Oracle可以理解为在量子算法中完成特定功能的模块(类似黑盒)，在具体问题中会有具体的实现方式。
目前，现有的量子线路构建往往只能够利用现有的单量子逻辑门、双量子逻辑门等等，通常存在以下问题：
对于功能比较复杂的量子线路，需要用到的量子比特数量会非常多，使用经典计算机进行模拟的时候会消耗巨大的内存空间，需要用到的逻辑门数量会非常多，模拟耗时会非常长。并且，一些复杂的算法难以用量子线路进行实现。
基于此，通过改用Oracle模拟的方式实现特定的复杂功能，并实现受控和转置共轭操作。用户传入Oracle的参数，可以包括：Oracle名称(用于识别Oracle的功能用途，如OA1)、量子比特位、矩阵元素等等。
这种方式的好处是，整体上将Oracle作为已知模块，无需关注其内部的实现细节，在量子应用场景例如量子线路的表示上，非常的简单明了。由于可以将经典模拟的Oracle功能模块等效成量子逻辑门，使得构建的量子线路得以简化，因此节省了运行时所需的内存空间，并加快量子算法的模拟验证。
S203：基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
如图4所示的量子线路可执行量子态由|b>至|A-1b>的量子态演化，示例性的，运行整个量子线路并测量|j>和|anc>,当|j>和|anc>都坍塌到|0>，可以在第二个寄存器得到|A-1b>。
同样的，根据量子线性求解器对应的量子线路，测量对应量子线路上的一些量子寄存器，即可得到目标线性方程组的解，最后根据得到的目标线性方程组的解，即可计算初始二次非线性方程组的解。因为
Figure BDA0003378341240000182
中每个分量都是vi的张量积形式，即通过计算出y0即为初始二次非线性方程组的解。
需要说明的是，第一个量子位寄存器和第二个量子位寄存器是量子线性求解算法对应量子线路的输出态的第一个寄存器和第二个寄存器，即为图4中|A-1b>所在量子线路的细分，图4中的量子线路只示出了与本申请相关的部分量子线路，图中各标识及连接关系，仅仅作为示例，并不构成对本发明的限定。
进一步的，对于算法的成功率，我们需要得到|y0>，成功率是对
Figure BDA0003378341240000181
中第一个量子寄存器进行测量，得到|0,0>的概率，具体的表达式为：/>
Figure BDA0003378341240000191
y＝[y0,y1,…,yc]，假定||y0||＝ηR，其中η是个常数。R定义为：R:＝max{4||F1 -1||2||F0||||F2||,||F0||}，则||F1 -1||＜1，/>
Figure BDA0003378341240000192
时，有：/>
Figure BDA0003378341240000193
因此，给定定义的二次非线性代数方程组
Figure BDA0003378341240000194
定义参数：∈＜0.01，R:＝max{4||F1 -1||2||F0||||F2||,||F0||}，α:＝||F1 -1||||F0||，β:＝||F1 -1||||F2||，η＝||x||/R，/>
Figure BDA0003378341240000195
G:＝||F1 -1||(1+(c+1)||F2||，则满足条件：||F1 -1||＜1，G＜1，/>
Figure BDA0003378341240000196
时，存在成功率为Ω(1)的量子算法得到归一化的量子态/>
Figure BDA0003378341240000197
满足
Figure BDA0003378341240000198
其中x表示精确解。算法对F0、F1、F2的oracle的查询复杂度为O(s(A)κ(A)poly(log(s(A)κ(A)/∈)))，考虑算法成功率，并用振幅放大算法来优化，成功率为Ω(1)时的查询复杂度为：/>
Figure BDA0003378341240000199
接上述示例，求解Ay＝b，得y的分量y0为：
Figure BDA00033783412400001910
利用迭代法求解出的一个解为：
x＝[-4.8765625×10-2,5.1265625×10-2]
从而有：
Figure BDA00033783412400001911
可见，本申请通过同伦摄动法将初始二次非线性方程组转化成线性方程组的矩阵及向量信息，并将其编码到量子态，将经典的数据结构与量子领域的量子态联系起来，并执行经典的数据结构编码到量子态的演化操作，得到演化后的量子线路的量子态，其能够利用量子的叠加特性，加速复杂度较高的二次非线性方程的求解问题，扩展量子计算的模拟应用场景。
与现有技术相比，本发明首先根据初始二次非线性方程组进行转化确定目标线性方程组，其次构建量子线性求解器对应的量子线路，运行量子线路并测量，对目标线性方程组进行求解，并基于所求解出的目标线性方程组的解，确定初始二次非线性方程组的解，利用量子的相关特性，能够实现利用量子算法计算二次非线性方程组的技术，降低对于二次非线性方程组求解的复杂度和难度，填补量子计算领域相关技术空白。
参见图6，图6为本发明实施例提供的一种基于量子线路的二次非线性方程组求解装置的结构示意图，与图2所示的流程相对应，可以包括：
获取模块601，用于获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
构建模块602，用于构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
确定模块603，用于基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
具体的，所述获取模块，包括：
第一转化单元，用于根据同伦摄动法将所述初始二次非线性方程组转化为预设伪线性方程组；
第二转化单元，用于利用线性嵌入法将所述预设伪线性方程组转化为目标线性方程组。
具体的，所述构建模块，包括：
第一构建单元，用于构建用于实现第一功能模块V的量子线路，其中，所述第一功能模块定义为
Figure BDA0003378341240000201
Figure BDA0003378341240000202
第二构建单元，用于构建用于实现第二功能模块组合的量子线路，其中，所述第二功能模块组合的量子线路包含T、W和T+，所述T＝∑j∈[N]|Ψj><j|，
Figure BDA0003378341240000204
所述S为交换操作模块的酉矩阵，所述T+为所述T的转置共轭，所述/>
Figure BDA0003378341240000203
Figure BDA0003378341240000211
Figure BDA0003378341240000212
为4N2维单位矩阵；
第三构建单元，用于构建用于实现第三功能模块V+的量子线路，其中，所述第三功能模块为所述第一功能模块的转置共轭形式；
组合单元，用于依次将所述第一功能模块、第二功能模块和第三功能模块依序插设到量子线路中，组成量子线性求解器对应的量子线路。
与现有技术相比，本发明首先根据初始二次非线性方程组进行转化确定目标线性方程组，其次构建量子线性求解器对应的量子线路，运行量子线路并测量，对目标线性方程组进行求解，并基于所求解出的目标线性方程组的解，确定初始二次非线性方程组的解，利用量子的相关特性，能够实现利用量子算法计算二次非线性方程组的技术，降低对于二次非线性方程组求解的复杂度和难度，填补量子计算领域相关技术空白。
本发明实施例还提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以被设置为存储用于执行以下步骤的计算机程序：
S201：获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
S202：构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
S203：基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以包括但不限于：U盘、只读存储器(Read-Only Memory，简称为ROM)、随机存取存储器(Random Access Memory，简称为RAM)、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储计算机程序的介质。
本发明实施例还提供了一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，上述电子装置还可以包括传输设备以及输入输出设备，其中，该传输设备和上述处理器连接，该输入输出设备和上述处理器连接。
具体的，在本实施例中，上述处理器可以被设置为通过计算机程序执行以下步骤：
S201：获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
S202：构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
S203：基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
以上依据图式所示的实施例详细说明了本发明的构造、特征及作用效果，以上所述仅为本发明的较佳实施例，但本发明不以图面所示限定实施范围，凡是依照本发明的构想所作的改变，或修改为等同变化的等效实施例，仍未超出说明书与图示所涵盖的精神时，均应在本发明的保护范围内。

Claims (10)

1.一种基于量子线路的二次非线性方程组求解方法，其特征在于，包括：
获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述初始二次非线性方程组，具体为：
Figure FDA0003378341230000011
其中，x∈Rn，R表示实数空间，
Figure FDA0003378341230000012
F1、F2的稀疏度为s。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述获取目标线性方程组，包括：
根据同伦摄动法将所述初始二次非线性方程组转化为预设伪线性方程组；
利用线性嵌入法将所述预设伪线性方程组转化为目标线性方程组。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述预设伪线性方程组为：
Figure FDA0003378341230000013
其中，所述F1可逆，vi为预设伪线性方程组的待求变量，0≤i≤c，所述c为预设伪线性方程组的待求变量的数量。
5.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述目标线性方程为：
Figure FDA0003378341230000021
其中，Ai，i是
Figure FDA0003378341230000022
维矩阵，Ai，i+1是ni+1βi×ni+2βi+1维矩阵，y＝y0，y1，...，yc，yi满足y0＝v0+v1+v2+…+vc，/>
Figure FDA0003378341230000023
βi表示yi中的项数。
6.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述构建量子线性求解器对应的量子线路，包括：
构建用于实现第一功能模块V的量子线路，其中，所述第一功能模块定义为
Figure FDA0003378341230000024
Figure FDA0003378341230000025
构建用于实现第二功能模块组合的量子线路，其中，所述第二功能模块组合的量子线路包含T、μ和T+，所述T＝∑j∈[N]|Ψj><j|，
Figure FDA0003378341230000026
Figure FDA0003378341230000027
所述S为交换操作模块的酉矩阵，所述T+为所述T的转置共轭，所述
Figure FDA0003378341230000028
Figure FDA0003378341230000029
为4N2维单位矩阵；
构建用于实现第三功能模块V+的量子线路，其中，所述第三功能模块为所述第一功能模块的转置共轭形式；
依次将所述第一功能模块、第二功能模块和第三功能模块依序插设到量子线路中，组成量子线性求解器对应的量子线路。
7.一种基于量子线路的二次非线性方程组求解装置，其特征在于，包括：
获取模块，用于获取目标线性方程组，其中，所述目标线性方程组根据初始二次非线性方程组进行转化确定；
构建模块，用于构建量子线性求解器对应的量子线路，运行所述量子线路并测量，以对所述目标线性方程组进行求解；
确定模块，用于基于所求解出的所述目标线性方程组的解，确定所述初始二次非线性方程组的解。
8.根据权利要求7所述的装置，其特征在于，所述获取模块，包括：
第一转化单元，用于根据同伦摄动法将所述初始二次非线性方程组转化为预设伪线性方程组；
第二转化单元，用于利用线性嵌入法将所述预设伪线性方程组转化为目标线性方程组。
9.一种存储介质，其特征在于，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行所述权利要求1至6任一项中所述的方法。
10.一种电子装置，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行所述权利要求1至6任一项中所述的方法。
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