CN115932732B - 一种基于改进NMF和FastICA的联合水声多目标盲分离方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进NMF和FastICA的联合水声多目标盲分离方法，它包括：单枚浮标接收到的水声多目标观测信号、对观测信号进行基于FFT的LOFAR谱图计算、NMF基矩阵维数计算、基于改进NMF的多目标水声信号NMF分解、生成盲分离算法输入、改进NMF与FastICA联合盲分离、获得分离后源信号

Description

一种基于改进NMF和FastICA的联合水声多目标盲分离方法

技术领域

本发明属于全向声纳浮标搜索技术领域，具体为一种基于改进NMF和FastICA的联合水声多目标盲分离方法。

背景技术

被动全向声纳浮标在行搜索任务时，单枚浮标的作用距离范围内可能存在多个目标，使得浮标接收到的水声目标辐射噪声信号为多个水声目标的混合信号，如果直接使用接收到的混合信号进行后续的目标识别，会给本就复杂低效的水声目标识别带来更多的困难，并增大识别任务的复杂度和工作量，因此，在进行基于水声目标辐射噪声信号的目标识别之前，先进行水声多目标信号的分离，既能降低后续降噪识别任务的工作量，又能提高识别准确率，对于浮标搜潜任务具有重要意义，也可为发挥浮标系统的作战效能提供重要支撑。

由于浮标接收的混合信号中，各水声目标辐射噪声信号及其在混合信号中所占的比例都是未知的，因此，基于单枚浮标的多水声目标信号分离属于统计框架下的单通道盲源分离范畴。在单通道盲源分离研究中，混合模型是信号盲分离的基础，现在的混合模型主要包括线性混合模型和非线性混合模型.尽管非线性混合模型更符合真实场景，但其难以建模和重构，而线性模型简单且物理意义明确，因此线性模型被广泛使用。其中，非负矩阵分解(Non-negative matrix Factorization,NMF)能够在对高维海量数据降维的同时，减小对混合信号中原始水声目标辐射信号特征等先验知识的依赖，又与盲源分离的线性混合模型具有相似的数据形式，因此基于NMF的线性盲分离研究逐渐成为盲源分离领域的研究热点^[3]。但由于NMF目标函数的非凸性，其解难以保证全局最优。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于改进NMF和FastICA的联合水声多目标盲分离方法，将NMF模型应用于浮标接收的水声多目标混合信号的分离。

基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲分离算法，它包括：

1)浮标接收到的观测信号、基于FFT的LOFAR谱图计算；

2)特征基矩阵维数计算

3)多目标水声信号NMF分解

(1)NMF可以通过对分解对象的非负约束实现部分对整体的表示，对于待分解的非负数据矩阵其中，v_i为m维向量，NMF算法通过循环迭代找到两个非负矩阵/>和/>使其满足式

V_m×n≈W_m×rH_r×m (1)

式中，W和H被称为基矩阵和系数矩阵，r为基向量维数，通常r＝n；

(2)基于水声信号特征的NMF基矩阵改进

采用β散度约束以减少水声目标信号特有的线谱特征对NMF基矩阵的影响，NMF

β-散度式为：

式中，R{0，1}为去除0和1两个数的实数集；式(3)可以看出，β-散度满足：

d_β(λy，λx)＝λ^βd(y，x) (4)

当β＝0时，β-散度具有较好的尺度不变性，此时，水声多目标混合信号中的线谱特征成分与剩余成分具有相等的处理权重，避免线谱特征的影响。

采用行列式约束优化NMF基矩阵的特征冗余。设由矩张成的空间的体积可表示为：

当vol(W)取最小值时，NMF基矩阵内各列向量可唯一确定。

基于行列式约束与β-散度的改进NMF目标函数可表示为：

min(J)＝d_β＝0(V，WH)+α·vol(W) (6)

(3)空间相似性优化NMF系数矩阵

在像元y_i的8邻域内，像元y_j对y_i的权重贡献可表示为：

w_ij＝Γ^-1+P (7)

式中，Γ描述了像元y_j的邻域位置，而P则反映了两像元之间的相似程度，其计算式为：

式中，<·>表示向量的内积，s_i为像元对应的系数向量；可以看出，当两个像元的空间相似性较高时，其权重值w_ij也较大，这样，领域内各像元y_i对当前像元y_i的权重的总贡献可表示为：

从式(9)可知，当邻域内某像元与当前像元的相似性不高时，其权重值w_ij也将较小，这样就可以实现邻域内像元的权重贡献度自适应计算。这样，在式(6)基础上，融合自适应加权空间相似性的改进NMF模型为：

式中，W≥0，H≥0，α、β和λ为正则化系数，||·||_1/2表示L_1/2范数，其对系数矩阵增加稀疏约束，用于防止NMF的过拟合和噪声残留；||W％-W||²描述了单一源信号的平滑性，以增加多目标源信号之间的可分离性，W％为W前次迭代计算值的移动平均值矩阵；对式(10)的优化求解，可以在库恩-塔克尔条件下，通过对基变量求导或采用最小二乘法实现；

4)由式(10)得到的NMF基矩阵W与源LOFAR图中任一列向量V_i组成矩阵[W，V_i]^T，作为后续NMF与FastICA联合盲分离算法的输入数据矩阵v^T，即v^T＝[W，V_i]^T；

5)NMF与FastICA联合盲分离；

6)由Y＝Bv^T分离出源信号Y、信号合并、信号输出。

2、所述的基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲分离算法，步骤5)所述的NMF与FastICA联合盲分离为：

设信号Y＝B^T·v为由白化后的观测信号v分离出来的源信号矩阵，其负熵可由其微分熵表示，采用近似式表示为：

式中，B为分离矩阵，b_i∈B为矩阵的一个列向量，|b_i||＝1，g(·)为一个任意的非二次函数，为求解式(11)，构建拉格朗日函数L(B，β)为：

式中，β＝E(B^Tvg′(B^T·v))，g′(·)为g(·)的导数；可以看出，式(11)的最大化可以转化为对式(12)求导，即得到

E(v·g(B^T·v))-βB＝0 (13)

由于v为经过白化处理后的数据，因此，根据3阶牛顿迭代法可得FastICA算法的迭代计算式为：

式中，B^*为迭代计算新的B的中间量；

设单浮标接收的观测信号V经改进NMF分解后得到的基矩阵和系数矩阵分别为W和H，其中W＝{w₁，w₂，…w_n}，n为NMF分解的基矩阵维数；如果通过某种方式，得到W＝{w₁，w₂，…，w_n}中各基向量的归属，即W重新表示为W＝{W₁，W₂，…，W_j}，则有

式中，Y为源信号组成的矩阵，i为源信号个数，W_i为由归属于同一个独立源的基向量组成的该源信号的基矩阵，很显示，W_i打乱了原w_i在W中的顺序，因此，h_ji是系数矩阵H中各元素根据w_i顺序进行相应调整后的列向量，h_ji维数与W_i一致，b_i是从h_i中分离出来的向量，因为h_i中存在一部分值h′_i，使得W_ih′_i＝Y_i，那么h_i中除去h′_i后剩余的部分b_i，可视为生成V_j时Y_i的贡献度，即其对应的混合矩阵的参数；

结合FastICA的推导计算过程，从式(15)可以进一步推导出

Y＝b^-1h_jW^T＝BW^T (16)

根据式(16)可以由改进NMF分解得到的基矩阵W通过解混矩阵B计算出源信号Y；而W中各元素相互独立，可视为源信号通过不同通道获得的混合信号；将W与观测信号谱图中的某一列V_i重新组合后，经零均值和白化处理，可得到式(13)中FastICA算法的输入矩阵，再经过式(13)所示迭代计算，可以得到式(16)的解混合矩阵B，从而实现单枚浮标接收的多目标信号的盲源分离。

本发明提供了本发明公开了基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲分离算法，它包括：单枚浮标接收到的水声多目标观测信号、对观测信号进行基于FFT的LOFAR谱图计算、NMF基矩阵维数计算、基于改进NMF的多目标水声信号NMF分解、生成盲分离算法输入v^T＝[W，V_f]^T、改进NMF与FastICA联合盲分离、获得分离后源信号Y＝Bv^T、信号合并、信号输出。将NMF模型应用于单枚浮标接收的水声多目标混合信号的分离，并根据水声目标信号的特点，对NMF模型加入特征改进，提供了基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲分离算法，经仿真数据和实测数据验证，所提算法取得较高信号分离精度，可以较好的保持信号的调制特征，同时对分离信号进行了一定的降噪增强，更好的保证了后续目标识别的特征支撑。

被动全向声纳浮标搜潜时，单枚浮标的作用距离范围内可能存在多个目标，使得浮标接收信号为多个未知水声目标的混合信号，为此，提出联合改进NMF和FastICA的水声

多目标信号盲分离算法。算法首先针对经典NMF算法在进行水声多目标混合信号分解时遇到的非凸和特征相关问题，提出基于空间与谱间相关性优化的改进NMF算法，以增强NMF算法对水声信号调制特征的适应性，提高基矩阵的局部表达性和独立性；然后以基矩阵为基础，融合NMF算法和FastICA算法的优势，实现水声多目标信号的盲分离。仿真信号和实测信号实验结果表明，相比于已有的基于NMF和基于FastICA的盲分离算法，所提算法取得较高信号分离精度，可以较好的保持信号的调制特征，同时对分离信号进行了一定的降噪增强，更好的保证了后续目标识别的特征支撑。

附图说明

图1为基于NMF的水声多目标分离算法的流程图；

图2某水面目标信号的频谱分布；(a)某相邻两帧信号频谱趋势图；(b)某水面目标频谱趋势谱图；

图3改进NMF和FastICA的多目标信号盲分离算法；

图4实验用仿真信号时域波形；

图5混合仿真信号包络谱；

图6分离信号时域波形；

图7分离信号的包络谱；

图8不同信噪比下的归一化互相关系数；

图9不同信噪比下各算法分离信号的LSD。

具体实施方式

多目标水声信号NMF分解

NMF通过对分解对象的非负约束实现部分对整体的表示，对于待分解的非负数据矩阵其中，v_i为m维向量，NMF算法通过循环迭代找到两个非负矩阵/>和/>使其满足式

V_m×n≈W_m×nH_r×m (1)

式中，W和H被称为基矩阵和系数矩阵，r为基向量维数，通常r＝n，因此NMF同时实现了高维数据矩阵的维数约减。为衡量式(1)的W_m×rH_r×m重构效果，实现NMF迭代分解，学者提出大量对损失函数的优化改进^[11]，如KL散度，即

采用乘法准则可以实现式(2)的迭代求解。在进行基于NMF的水声多目标信号分离时，首先计算混合信号的LOFAR谱图其中，F和N_i为信号分帧的帧数和基向量维数，然后在估计最佳基向量数目和水声目标数目后，由式(1)计算基矩阵/>其中，S_i为第i类目标，r反映了基向量对原始信号的描述性能，通常在算法开始前预先估算。最后由/>及其对应的系数矩阵实现原目标信号谱图的重构，其过程如图1所示。

采用经典NMF算法进行水声多目标信号分解时，除了算法本身非凸导致的易陷入局部最优外，水声目标辐射噪声信号本身的特点也影响最终的信号NMF分解效果，首先，NMF得到的基矩阵是混合信号特征基向量的无序排列，难以直接由基矩阵重构源信号，其次多源分量信息相互干扰，易导致数据冗余。因此，深入挖掘水声目标信号蕴含的相关特征，建立对应的约束条件，根据信号的实际特征对NMF过程进行引导，将改善算法的性能，为此，提出基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号联合盲分离算法。

2、特征优化改进NMF算法

1)信号特征优化NMF基向量

提高NMF目标函数与待分离信号特征的适应性，可显著提高NMF算法的分解性能，在提取多目标信号的基向量时，如果源信号之间的特征相关性较低，则基向量的局部独立特性越好，NMF算法的基向量效果越好。但对于水声目标辐射噪声信号，一方面受目标样式和航行状态影响，水声目标信号表现出同类内特征多样性和不同类间的特征相关性，另一方面，水声目标信号的线谱特征是反映目标特性和进行目标识别的极具特色的重要特征，传统KL散度、F范数及Lp范数等目标函数会受限于源信号中能量较高的成分，而受到LOFAR谱图中能量较高的线谱成分的影响，为此，采用行列式约束和β散度的双重约束对NMF目标函数进行改进，以减少算法对源信号结构上的依赖，提高基矩阵的唯一性和独立性。β-散度式为：

式中，R/{0，1}为去除0和1两个数的实数集。式(3)可以看出，对于β-散度满足：

d_β(λy，λx)＝λ^βd(y，x) (4)

而对于式(4)，当β＝0时，其值具有尺度移不变性，即此时的式(4)与尺度因子λ不相关，说明此时进行NMF分解时，混合信号LOFAR谱图中的线谱成分与连续谱成分具有相等的权重，而当β≠0，β-散度仍会受到谱图中的线谱成分影响。

为了提高分解后基向量的独立性，避免基矩阵的特征冗余而影响重构效果，对目标函数增加行列式约束。设由矩阵张成的空间的体积可表示为：

当式(5)所示体积vol(W)最小时，中各向量可唯一确定^[16]。这样，基于β-散度的改进NMF目标函数可表示为：

min(J)＝d_β＝0(V，WH)+α·vol(W) (6)

2)空间相似性优化NMF系数矩阵

水下目标在航行过程中的辐射噪声是被动声纳浮标探测的声源。如前所述，尽管类内特征离散和类间特征交叠给混合信号分离带来很大的困难，但当某水下目标确定时，其形状、排水量、结构等会成为信号特性的决定性因素，也就是说，当目标保持在一个较稳定状态时，其辐射噪声频谱分布也会表现出较好的短时稳定性，如图2所示，可以看出，由于信号分帧后的相邻两帧的时间间隔较短，加之采用拟合后的频谱分布趋势和帧间混叠，即使海洋环境噪声干扰存在，其频谱趋势之间仍表现出较好的短时相似性。

另一方面，由于浮标接收的信号进行LOFAR谱图计算时，FFT的频谱分辨率不足会导致相邻频率点之间存在一定的频谱值平滑性，且平滑性更多的发生在相邻像素之间，因此，结合图2所示LOFAR谱图中的帧间短时相似性，文中以当前像元的8邻域作为局部邻域候选区域，然后采用自适应局部邻域加权分析候选像元对当前像元的相似贡献度，以此将像元的空间相似性增加到NMF模型中，以充分利用LOFAR谱图的像元之间的空间相似性。

在当前像元的8邻域范围内，像元y_j对y_i的权重贡献可表示为：

w_ij＝Γ^-1+P (7)

式中，Γ描述了像元y_j的邻域位置，而p则反映了两像元之间的相似程度，其计算式为：

式中，<·>表示向量的内积，s_i为像元对应的系数向量。可以看出，当两个像元的空间相似性较高时，其权重值w_ij也较大，这样，8邻域内像元对当前像元y_i的权重贡献可表示为：

从式(10)可知，当邻域内某像元与当前像元的相似性不高时，其权重值w_ij也将较小，这样就可以实现邻域内像元的权重贡献度自适应计算。融合自适应加权空间相似性的改进NMF模型为：

式中，W≥0，H≥0，α、β和λ为正则化系数，||·||_1/2表示L_1/2范数，其对系数矩阵增加稀疏约束，用于防止NMF的过拟合和噪声残留。|W％-W|²描述了单一源信号的平滑性，以增加多目标源信号之间的可分离性，W％为W前次迭代计算值的移动平均值矩阵^[18]。对式(10)的优化求解，可以在库恩-塔克尔(Karush-Kuhn-Tucker,KKT)条件下，通过对某变量求导或采用最小二乘法实现。

NMF分解的一个重要参数是基矩阵维数，其值直接影响到目标特征提取的效果，尤其对于多目标水声信号的分解，其信号本身噪声干扰较大，而信号特征又存在一定的交叠，当维数值过大，NMF分解基矩阵中会引入过多的噪声干扰干扰信息，影响信号分离精度，而维数值过小，基矩阵的分解精细度则会被降低，使基矩阵的局部表达特征不唯一，也会最终表现在源信号的分离精确性上。为此，文中采用近邻特征值占优法来估计NMF分解的基矩阵维数。

与FastICA联合盲分离

采用改进NMF算法对单浮标接收的多目标信号进行分解，得到的基矩阵为一个所有源信号特征基向量的组合，由于NMF分解得到的基向量具有无序性，基矩阵中并不能明显的确定哪些基向量来源于同一个源信号，为此，文中采用FastICA算法对基矩阵进一步进行分离，以获得每一个独立源信号的基向量组。

根据中心极限定理，由相互独立的多个源信号混合而得到的混合信号具有更高的高斯分布趋势，即由浮标接收的多水声目标混合信号比独立的源信号的高斯性更强。在信息论中，等方差随机变量的高斯性越强，其熵越大。FastICA算法正是基于混合观测信号的非高斯性最大化原理，采用负熵作为非高斯性度量参数，当负熵值达到最大时，各源信号的非高斯性达到最大，表明各独立分量获得较好的分离。

设信号Y＝B^T·v为由白化后的观测信号v分离出来的源信号矩阵，其负熵可由其微分熵表示。由于随机变量的概率密度难以估计，为简化微分熵的计算过程，通常采用近似式表示为：

式中，B为分离矩阵，b_i∈B为矩阵的一个列向量，||b_i||＝1，g(·)为一个任意的非二次函数，其合理选择可使得估计信号自适应的逼近于源信号^[20]，当选择y³形式时，被证明其对于算法的分离性能、分离精度和收敛速度等都是最优的^[21]。为求解式(11)，构建拉格朗日函数L(B，β)为：

式中，β＝E(B^Tvg′(B^T·v))，g′(·)为g(·)的导数。可以看出，式(11)的最大化可以转化为对式(12)求导，即得到

E(v·g(B^T·v))-βB＝0 (13)

由于v为经过白化处理后的数据，因此，根据3阶牛顿迭代法可得FastICA算法的迭代计算式为：

式中，B^*为迭代计算新的B的中间量。

FastICA算法已成为处理盲源分离问题的主要手段，但其一个至关重要的前提是观测信号个数必须大于或等于源信号个数。对于单枚浮标接收的多目标混合信号，尽管可以通过短时傅里叶变换获得多变量的LOFAR时频谱图，但由于谱图中的各列向量均来自同一通道而使得LOFAR谱图不能直接应用于FastICA算法进行盲源分离。

另一方面，LOFAR谱图经过NMF分解后，其获得的基向量反映了混合信号中各独立源信号的特征，即基矩阵是观测信号中各独立分量的基向量的组合，只是基向量的顺序是杂乱的，无法判断基向量的归属。

设单浮标接收的观测信号V经改进NMF分解后得到的基矩阵和系数矩阵分别为W和H，其中W＝{w₁，w₂，…，ｗ_ｎ}，ｎ为NMF分解的基矩阵维数。如果通过某种方式，得到Ｗ=｛ｗ₁，w2，…，w_n}中各基向量的归属，即W重新表示为W＝{W₁，W₂，…，W_i}，则有

式中，Y为源信号组成的矩阵，i为源信号个数，W_i为由归属于同一个独立源的基向量组成的该源信号的基矩阵，很显示，W_i打乱了原w_i在W中的顺序，因此，h_ji是系数矩阵H中各元素根据w_i顺序进行相应调整后的列向量，h_ji维数W_i与一致，b_i是从h_i中分离出来的向量，因为h_i中存在一部分值h′_i，使得W_ih′_i＝Y_i，那么h_i中除去h′_i后剩余的部分b_i，可视为生成V_j时Y_i的贡献度，即其对应的混合矩阵的参数。

结合FastICA的推导计算过程^[20]，从式(15)可以进一步推导出

Y＝b^-1h_jW^T＝BW^T (16)

根据式(16)可以由改进NMF分解得到的基矩阵W通过解混矩阵B计算出源信号Y。而W中各元素相互独立，可视为源信号通过不同通道获得的混合信号。将W与观测信号谱图中的某一列V_i重新组合后，经零均值和白化处理，可得到式(13)中FastICA算法的输入矩阵v，再经过式(13)所示迭代计算，可以得到式(16)的解混合矩阵B，从而实现单枚浮标接收的多目标信号的盲源分离。

根据以上分析，联合改进NMF与FastICA算法的单枚浮标多目标信号盲分离过程如图3所示。需要注意的是，在完成Y＝Bv^T信号分离后，由于改进NMF获得的基矩阵维数要大于源信号数，分离后信号中会有同一源信号的不同序列，因而需要通过相关分析等算法进行进一步选择和合并。

实验验证分析

为验证文中提出的联合改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲源分离算法的有效性，实验以仿真数据和实测数据作为实验用测试数据，以归一化互相关系数和对数谱距离(Logarithmic Spectral Distance，LSD)作为评价标准，LSD值越大，信号的重构性能越好，其计算式为

式中，L(S(l，n))为两信号之间的对数谱，N为数据点数。

水声目标信号的频谱特征主要包括其线谱、连续谱和包络调制谱。当水声目标的航行速度超过其临界速度时，其螺旋桨会对其辐射的噪声信号进行周期性调制，因此，提取信号的包络并进行FFT变换，可得到信号的调制线谱。调制线谱可反映目标的轴频等信息，既是水声目标的一个显著特性，也是进行目标识别的重要特征。因此，实验中采用带有周期性调制的简化仿真信号模型，即

式中，A_m为信号幅值调制度，采用余弦信号简化模拟螺旋桨调制，f₀为调制频率，可以反映出水声目标的轴频信息。由于主要以水声目标的轴频信息为测试特征，因此水动力噪声等其他信号简化为一个频率为f_c的余弦或正弦信号。实验中采用三个仿真信号的混合信号进行算法性能验证，采样率f_s＝1/T取值为6000，采样点数为4096，其他值见表1。

表1实验用仿真信号参数值

表1实验用仿真信号参数值

Tab.1 Parameter of simulation signal for experiment

f01	f02	f03	fc1	fc2	fc3
						20	35	45	2500	2000	1500

混合矩阵随机产生ω＝[0.756 0.871 0.559]，由式S(t)＝ω[s₁(t)，s₂(t)，s₃(t)]^T+n(t)生成混合信号，n(t)为叠加的噪声，i＝20。各信号时域波形及混合信号的时域波形如图4所示。

提取s(t)包络并进行FFT处理，得到混合信号的解调包络谱图，如图5所示，图中仅显示100Hz以内的频谱信息，以提高显示的分辨率。

被动全向声纳浮标搜潜时，单枚浮标的作用距离范围内可能存在多个目标，使得浮标接收信号为多个未知水声目标的混合信号，为此，提出联合改进NMF和FastICA的水声多目标盲分离算法。算法首先针对经典NMF算法在进行水声多目标混合信号分解时遇到的非凸和特征相关问题，提出基于空间与谱间相关性优化的改进NMF算法，以增强NMF算法对水声信号调制特征的适应性，提高基矩阵的局部表达性和独立性；然后以基矩阵为基础，融合NMF算法和FastICA算法的优势，实现水声多目标信号的盲分离。仿真信号和实测信号实验结果表明，相比于已有的基于NMF和基于FastICA的盲分离算法，所提算法在取得较高的信号分离精度的同时，可以较好的保持了信号的调制特征，同时对分离信号进行了一定的降噪增强，较好的保证了后续目标识别的特征支撑。

Claims (2)

1.基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲分离算法，它包括：

1)对浮标接收到的观测信号进行基于FFT的LOFAR谱图计算；

2)特征基矩阵维数计算

3)多目标水声信号NMF分解

(1)NMF可以通过对分解对象的非负约束实现部分对整体的表示，对于待分解的非负数据矩阵中，v_i为维向量，NMF算法通过循环迭代找到两个非负矩阵/>和/>使其满足式

V_m×n≈W_m×rH_r×m (1)

式中，W和H被称为基矩阵和系数矩阵，r为基向量维数，通常r＝n；

(2)基于水声信号特征的NMF基矩阵改进

采用β散度约束以减少水声目标信号特有的线谱特征对NMF基矩阵的影响，NMFβ-散度式为：

式中，R/{0，1}为去除0和1两个数的实数集；式(3)可以看出，β-散度满足：

d_β(λy，λx)＝λ^βd(y，x) (4)

当时，β-散度具有较好的尺度不变性，此时，水声多目标混合信号中的线谱特征成分与剩余成分具有相等的处理权重，避免线谱特征的影响；

采用行列式约束优化NMF基矩阵的特征冗余；设由矩阵张成的空间的体积可表示为：

当vol(W)取最小值时，NMF基矩阵内各列向量可唯一确定；

基于行列式约束与β-散度的改进NMF目标函数可表示为：

min(J)＝d_β＝0(V，WH)+α·vol(W) (6)

(3)空间相似性优化NMF系数矩阵

在像元y_i的8邻域内，像元y_j对y_i的权重贡献可表示为：

w_ij＝Γ^-1+P (7)

式中，Γ描述了像元y_j的邻域位置，而P则反映了两像元之间的相似程度，其计算式为：

式中，<·>表示向量的内积，s_i为像元对应的系数向量；可以看出，当两个像元的空间相似性较高时，其权重值w_ij也较大，这样，领域内各像元y_j对当前像元y_i的权重的总贡献可表示为：

从式(9)可知，当邻域内某像元与当前像元的相似性不高时，其权重值也将较小，这样就可以实现邻域内像元的权重贡献度自适应计算；这样，在式(6)基础上，融合自适应加权空间相似性的改进NMF模型为：

式中，W≥0，H≥0，α、β和λ为正则化系数，||·||_1/2表示范数，其对系数矩阵增加稀疏约束，用于防止NMF的过拟合和噪声残留；||W％-W||²描述了单一源信号的平滑性，以增加多目标源信号之间的可分离性，W％为W前次迭代计算值的移动平均值矩阵；对式(10)的优化求解，可以在库恩-塔克尔条件下，通过对基变量求导或采用最小二乘法实现；

4)由式(10)得到的NMF基矩阵与源LOFAR图中任一列向量组成矩阵[W，V_i]^T，作为后续NMF与FastICA联合盲分离算法的输入数据矩阵v^T，即v^T＝[W，V_i]^T；

5)NMF与FastICA联合盲分离；

6)由Y＝Bv^T分离出源信号Y、信号合并、信号输出。

2.根据权利要求1所述的基于改进NMF和FastICA的水声多目标信号盲分离算法，其特征在于：步骤5)所述的NMF与FastICA联合盲分离为：

设信号Y＝B^T·v为由白化后的观测信号v分离出来的源信号矩阵，其负熵可由其微分熵表示，采用近似式表示为：

式中，B为分离矩阵，b_i∈B为矩阵的一个列向量，||b_i||＝1，g(·)为一个任意的非二次函数，为求解式(11)，构建拉格朗日函数L(B，β)为：

式中，β＝E(B^Tvg′(B^T·v))，g′(·)为g(·)的导数；可以看出，式(11)的最大化可以转化为对式(12)求导，即得到

E(v·g(B^T·v))-βB＝0 (13)

由于v为经过白化处理后的数据，因此，根据3阶牛顿迭代法可得FastICA算法的迭代计算式为：

式中，B^*为迭代计算新的B的中间量；

设单浮标接收的观测信号经改进NMF分解后得到的基矩阵和系数矩阵分别为W和H，其中W＝{w₁，w₂，…，w_n}n为NMF分解的基矩阵维数；如果通过某种方式，得到中各基向量的归属，即W重新表示为W＝{W₁，W₂，…，W_i}则有

式中，Y为源信号组成的矩阵，i为源信号个数，W_i为由归属于同一个独立源的基向量组成的该源信号的基矩阵，很显示，W_i打乱了原w_i在W中的顺序，因此，h_ji是系数矩阵H中各元素根据顺序进行相应调整后的列向量，h_ji维数W_i与一致，b_i是从h_i中分离出来的向量，因为h_i中存在一部分值，使得W_ih′_i＝Y_i，那么h_i中除去h′_i后剩余的部分b_i，可视为生成V_j时Y_i的贡献度，即其对应的混合矩阵的参数；

结合FastICA的推导计算过程，从式(15)可以进一步推导出

Y＝b^-1h_jW^T＝BW^T (16)

根据式(16)可以由改进NMF分解得到的基矩阵通过解混矩阵计算出源信号；而中各元素相互独立，可视为源信号通过不同通道获得的混合信号；将与观测信号谱图中的某一列重新组合后，经零均值和白化处理，可得到式(13)中FastICA算法的输入矩阵，再经过式(13)所示迭代计算，可以得到式(16)的解混合矩阵，从而实现单枚浮标接收的多目标信号的盲源分离。