CN115882822A - 一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本申请提供一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法，所述方法包括：建立带有新息饱和机制的非线性系统数学模型；设计概率椭球约束目标和平均H_∞性能指标；推导算法存在的充分条件并获得滤波参数；提出两个优化问题以获取局部最优滤波参数。本申请提出的算法能够以指定的概率保证包络约束，可以减少实际应用中不必要的性能约束条件。

Description

一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法

技术领域

本发明涉及一种滤波器设计方法，特别涉及一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法。

背景技术

目前，滤波估计问题作为一个基础研究主题，在工程应用中是一个十分重要的研究内容。有关于滤波估计问题的研究也取得了丰富成果。

但是，目前的研究一直和实际工程环境之间存在一定的差距。例如，实际工程环境是十分复杂的，可能会出现异常测量值的情况。异常测量值有可能会导致估计性能的恶化。在网络化场景中，恶劣环境中的不可靠测量，以及使用开放网络传输信息受到的恶意攻击，会导致产生异常信息，严重干扰滤波器性能。

实际工程应用特别是噪声干扰严重的环境下，往往不可能，严格以100％概率来保证性能指标。以极高的保证概率进行性能指标设计，很大概率会导致其他指标设计的裕度空间太小，给系统设计的可行性带来一定的负面影响。

发明内容

本申请提供了一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法，可用于解决实际工程环境下因为异常值以及噪声问题，导致滤波估计出现较大偏差的技术问题。

本申请提供一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法，所述方法包括：

步骤1、建立带有新息饱和机制的非线性系统数学模型；

步骤2、设计概率椭球约束目标和平均H_∞性能指标；

步骤3、推导算法存在的充分条件并获得滤波参数；

步骤4、提出两个优化问题以获取局部最优滤波参数。

可选的，建立带有新息饱和机制的非线性系统数学模型，包括：

步骤1.1，建立在时域[0,T],传感器网络的非线性离散时变系统数学模型：

其中，

表示在时刻k系统的状态,/>

表示在时刻k第i个传感器节点的测量输出，/>

表示在时刻k+1系统的状态,/>

表示在时刻k+1第i个传感器节点的测量输出；ω_k是具有单一方差的零均值高斯白色序列；/>

表示过程噪声，/>

表示测量噪声；B_k是具有适当维度的已知实矩阵之一，D_k是具有适当维度的已知实矩阵之二，C_i，k是具有适当维度的已知实矩阵之三，E_i，k是是具有适当维度的已知实矩阵之四；

是非线性函数之一，/>

是非线性函数之二；

假设1：噪声序列ν_k和μ_k满足如下约束集：

其中V_k是具有适当维度的正定矩阵之一，U_k是具有适当维度的正定矩阵之二。

步骤1.2，建立滤波器结构：

其中

是在时刻k，节点i的系统状态估计；/>

是在时刻k+1，节点i的系统状态估计；/>

是在时刻k，节点i的估计输出；F_i，k是待设计的滤波器参数之一，H_ij，k是待设计的滤波器参数之二；对于向量/>

a^(s)是其第s项；非线性映射/>

定义如下：

其中

sign(·)为符号函数，表示在时刻k，节点i的饱和水平σ_i，k动态变化，有如下函数控制：

其中λ∈[0，1)并且W_i＞0是给定的加权矩阵；

可选的，设计概率椭球约束目标和平均H_∞性能指标包括：

1)、概率椭球约束通过以下方法确定：

或者

其中

是预先定义的矩阵，预先指定的正向量p满足0＜P≤1，/>

是系统的估计误差；

是一个/>

维有界非空椭球，定义如下：

其中

是/>

的中心，P＞0是刻画椭球形状和方向的正定矩阵；

2)、平均H_∞性能通过以下方法确定

其中

为在时刻k，节点i的估计误差，γ为实数，N为传感器数量。

可选的，滤波器满足预先设定的三个引理及一个定义，其中：

引理1：设ψ₀(·)，ψ₁(·)，..，ψ_p(·)是n维向量

的二次函数：/>

其中X_j是对称矩阵；如果存在∈1≥0，...，∈_p≥0使得/>

则以下成立：

引理2：定常矩阵

其中/>

且/>

则/>

当且仅当：

或者

引理3：令

和/>

是具有适当维度的实矩阵，并且Δ满足||Δ||≤1，则

当且仅当存在正向量ε使得：

定义1：令

和/>

为实矩阵，并有/>

非线性函数φ(·)满足/>

时被称为满足扇区条件；

通过泰勒展开，可以将非线性函数f(x_k)和h(x_k)展开为：

其中

是已知矩阵之一，/>

是已知矩阵之二；/>

时位置矩阵之一，/>

是未知矩阵之二，使得||Δ_1i||≤1和||Δ_2i||≤1；Φ_i，k和Ψ_i，k计算如下：

令

存在矩阵0≤G_1j≤I≤G_2j，I为单位矩阵，使得

其中Φ_j(r_j，k)是非线性向量值函数，

时满足扇区条件；例如φ_j(r_j，k)满足如下不等式：

由系统(1)和滤波器(3)可以得到动态估计误差：

/>

其中xk+1为时刻k+1系统的状态，

为节点i在时刻k+1的状态估计；记：

得到动态估计误差：

其中

是时刻k+1的估计误差，/>

由于当/>

时θ_ij＝0，/>

是如下的稀疏矩阵：

其中

可选的，推导算法存在的充分条件并获得滤波参数，包括：

定理3，给定设计指标

在初始条件/>

下，如果存在一系列正定矩阵/>

实矩阵序列/>

和/>

非负标量/>

和标量/>

及/>

使得不等式(49)和(73)同时成立，从而满足步骤3中提出的概率椭球约束以及平均H_∞性能指标；每个时刻的期望滤波器参数可以通过计算相关矩阵不等式获得；

下面给出计算的算法；

算法1，F_i，k和H_ij，k的计算方法如下：

(5)初始化：设置k＝0，最大计算步数k_max；对0≤k≤k_max设置参数

令/>

因式分解{P_k}得到{Q_k}；选定初始值x₀和/>

满足式(23)，则获得/>

(6)通过

和Q_k可以解线性矩阵不等式(49)和(73)，得到/>

和/>

从而获得F_i，k和H_ij，k；

(7)通过

和/>

由式(2)得到/>

继而获得/>

(8)令k＝k+1，若k＞k_max，则结束，否则转到步骤2。

6、根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述定理3通过以下方法确定：

1)概率椭球约束

定义：

提出后面推导中使用的引理4：

如果

则下式成立：

假设2：令：

随已知的正定矩阵

给定；系统的初始值及其估计满足如下条件：

引理5：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，对于给定的正定矩阵序列{P_k}_k≥0，可因式分解为

并且在公式(23)下，如果存在k时刻节点i的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之二/>

k时刻节点i的非负标量序列之二/>

k时刻节点i的非负标量序列之三/>

k时刻节点i的非负标量序列之四/>

以及k时刻节点i的标量序列/>

满足如下递归矩阵不等式：

其中：

则如下不等式成立：

引理5如下证明：

由公式(23)可得：

假设在时间k时，如下不等式成立：

则只需证明在时间k+1，不等式(31)成立；由于不等式(33)成立，存在向量

有/>

使得：

记

式(34)可以写为：

/>

式(18)的动态估计误差可以写作：

其中

记

式(36)可以进一步写为：

其中

和/>

分别由式(29)、(30)定义；

由式(2)和(34)可得向量q_i，k，v_k和μ_k满足：

写作如下关于η_k的形式：

由δ_1i，k，δ_2i，k，记||Δ_1i||≤1和||Δ_2i||≤1，可以得到：

可写作如下关于η_k的形式：

然后，以如下η_k重写式(17)：

其中Ξ_i，k由式(26)定义；

考虑

其中/>

由式(27)定义，描述式(4)中的新息约束为：

其中γ_i，k由式(28)定义；

另一方面，通过引理2，得到矩阵不等式(24)当且仅当以下不等式成立时成立：

考虑ω_k的统计性质，得

结合式(25)、(37)，不等式(45)等价于：

由引理1推导：

或者

证毕；

定理1：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，对于预先制定的正标量p，以及正定矩阵序列

设计目标(4)满足，当且仅当存在/>

以及标量序列/>

满足如下矩阵不等式：

定理1证明：定理1可以由引理3和5，通过令

得到；

(2)平均H_∞性能

为简化推导，记以下向量：

以及以下矩阵：

/>

引理6：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，在初始条件

下，平均H_∞性能实现条件为：存在k时刻的正定矩阵序列{Y_k}_k≥1，k时刻的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之二/>

k时刻的非负标量序列之三/>

以及k时刻节点i的标量序列

满足如下N个递归矩阵不等式：

其中

/>

引理6证明：

滤波误差系统(19)写作如下形式：

进一步表达为如下增广系统：

其中

定义二次函数

可以得到：

其中

/>

考虑ω_k的统计性质，有：

其中

将零项

分别加到等式(60)两边，得到

其中

将式(61)两边对k从0到T求和，得：

所以：

由式(16)得

表示：

进一步，由式(4)可以推得：

由式(53)定理确定。

对于不等式(50)应用舒尔补引理，得到：

/>

通过引理3，可知不等式(67)成立，当且仅当

由不等式(68)得到：

进一步得到：

根据引理1，有：

结合式(63)和

得

达到式(8)的平均H_∞性能，证毕；

定理2：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，在初始条件

下，平均H_∞性能(8)实现条件为：存在正定矩阵序列/>

非负标量序列/>

以及标量序列/>

满足如下N个递归矩阵不等式：

其中参数Y_k根据

受/>

限制递归更新。

可选的，提出两个优化问题以获取局部最优滤波参数，包括：

在获得的估计器参数集合中，根据两个推论，提出两个优化问题，一个是通过最小化

在矩阵迹意义上获得局部最优滤波性能；另一个是在每一个时刻最小化p来保证局部触发概率，使得估计误差始终保持在期望的椭球内；

记集合：

函数：

提出如下优化问题：

(1)保持p不变的情况下，在矩阵迹意义上最小化

寻找满足概率限制的局部最优滤波性能；

给定p，在定理3条件下，序列

最小化在如下优化问题可解时实现：

subject to(49)& (73)

假设p是时变的，且pk是时刻k下的概率约束；通过定义：

引出后续的优化问题；

(2)在

的情况下，最小化sk以寻找在概率约束下的下界；

令

已给定，在定理3条件下，当如下问题可解时：

每个时刻概率约束p_k确保有下界。

本申请所研究的系统模型是由一般时变非线性方程来描述。为了降低异常量测值带来的影响，本申请采用了自适应饱和信息机制，在每个时间步内，根据之前的滤波误差自适应调整饱和水平。为了更好地刻画有限时域内的性能，从不同角度定义了两个性能指标：即平均H_∞性能和概率椭球约束。最后，本申请提出的算法能够以指定的概率，而不是通常的100％置信度保证包络约束，并且这种概率设计方法可以通过减少实际应用中某些严格但不必要的性能约束条件来提供更多的灵活性。

附图说明

图1是本申请实施例提供的方法流程图；

图2是本申请实施例提供的系统通讯拓扑图；

图3是本申请实施例提供的偏差注入攻击记录图；

图4是本申请实施例提供的受数据误差影响的x⁽¹⁾及其估计

图5是本申请实施例提供的受数据误差影响的x⁽²⁾及其估计

图6是本申请实施例提供的受数据误差影响的x⁽¹⁾滤波器误差；

图7是本申请实施例提供的受数据误差影响的x⁽²⁾滤波器误差；

图8是本申请实施例提供的受数据误差影响，传统算法的x⁽¹⁾及其估计

图9是本申请实施例提供的受数据误差影响，传统算法的x⁽²⁾及其估计

图10是本申请实施例提供的受数据误差影响，传统算法的x⁽¹⁾滤波器误差；

图11是本申请实施例提供的受数据误差影响，传统算法的x⁽²⁾滤波器误差。

具体实施方式

为使本申请的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本申请实施方式作进一步地详细描述。

本申请提供一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法，方法包括：

步骤1、建立带有新息饱和机制的非线性系统数学模型。

具体的，步骤1.1，建立在时域[0，T]，传感器网络的非线性离散时变系统数学模型：

其中，

表示在时刻k系统的状态，/>

表示在时刻k第i个传感器节点的测量输出，/>

表示在时刻k+1系统的状态，/>

表示在时刻k+1第i个传感器节点的测量输出；ω_k是具有单一方差的零均值高斯白色序列；/>

表示过程噪声，/>

表示测量噪声；B_k是具有适当维度的已知实矩阵之一，D_k是具有适当维度的已知实矩阵之二，C_i，k是具有适当维度的已知实矩阵之三，E_i，k是是具有适当维度的已知实矩阵之四；

是非线性函数之一，/>

是非线性函数之二；

假设1：噪声序列ν_k和μ_k满足如下约束集：

其中V_k是具有适当维度的正定矩阵之一，U_k是具有适当维度的正定矩阵之二。

步骤1.2，建立滤波器结构：

/>

其中

是在时刻k，节点i的系统状态估计；/>

是在时刻k+1，节点i的系统状态估计；/>

是在时刻k，节点i的估计输出；F_i，k是待设计的滤波器参数之一，H_ij，k是待设计的滤波器参数之二；对于向量/>

a^(s)是其第s项；非线性映射/>

定义如下：

其中

sign(·)为符号函数，表示在时刻k，节点i的饱和水平σ_i，k动态变化，有如下函数控制：

其中λ∈[0，1)并且W_i＞0是给定的加权矩阵。

步骤2、设计概率椭球约束目标和平均H∞性能指标。

具体的，1)、概率椭球约束通过以下方法确定：

或者

其中

是预先定义的矩阵，预先指定的正向量p满足0＜P≤1，/>

是系统的估计误差；

是一个/>

维有界非空椭球，定义如下：

其中

是/>

的中心，P＞0是刻画椭球形状和方向的正定矩阵；

2)、平均H_∞性能通过以下方法确定

其中

为在时刻k，节点i的估计误差，γ为实数，N为传感器数量。

本申请实施例中，滤波器满足预先设定的三个引理及一个定义，包括：

引理1：设ψ₀(·)，ψ1(·)，...，ψ_p(·)是n维向量

的二次函数：/>

其中X_j是对称矩阵；如果存在∈₁≥0，...，∈_p≥0使得/>

则以下成立：

引理2：定常矩阵

其中/>

目/>

则/>

当且仅当：

或者

引理3：令

和/>

是具有适当维度的实矩阵，并且Δ满足||Δ||≤1，则

当且仅当存在正向量ε使得：

定义1：令

和/>

为实矩阵，并有/>

非线性函数φ(·)满足/>

时被称为满足扇区条件；

通过泰勒展开，可以将非线性函数f(x_k)和h(x_k)展开为：

其中

是已知矩阵之一，/>

是已知矩阵之二；/>

时位置矩阵之一，/>

是未知矩阵之二，使得||Δ_1i||≤1和||Δ_2i||≤1；Φ_i，k和Ψ_i，k计算如下：

令

存在矩阵0≤G_1j≤I≤G_2j，I为单位矩阵，使得

其中Φ_j(r_j，k)是非线性向量值函数，

时满足扇区条件；例如φ_j(r_j，k)满足如下不等式：

由系统(1)和滤波器(3)可以得到动态估计误差：

其中xk+1为时刻k+1系统的状态，

为节点i在时刻k+1的状态估计；记：/>

得到动态估计误差：

其中

是时刻k+1的估计误差，/>

由于当/>

时θ_ij＝0，/>

是如下的稀疏矩阵：

其中

步骤3、推导算法存在的充分条件并获得滤波参数。

具体的，定理3，给定设计指标

在初始条件/>

下，如果存在一系列正定矩阵/>

实矩阵序列/>

和/>

非负标量/>

和标量/>

及/>

使得不等式(49)和(73)同时成立，从而满足步骤3中提出的概率椭球约束以及平均H_∞性能指标；每个时刻的期望滤波器参数可以通过计算相关矩阵不等式获得；

下面给出计算的算法；

算法1，F_i，k和H_ij，k的计算方法如下：

(9)初始化：设置k＝0，最大计算步数k_max；对0≤k≤k_max设置参数

令/>

因式分解{P_k}得到{Q_k}；选定初始值x₀和/>

满足式(23)，则获得/>

(10)通过

和Q_k可以解线性矩阵不等式(49)和(73)，得到/>

和/>

从而获得F_i，k和H_ij，k；

(11)通过

和/>

由式(2)得到/>

继而获得/>

(12)令k＝k+1，若k＞k_max，则结束，否则转到步骤2。

引理3通过以下方法确定：

1)概率椭球约束

定义：

提出后面推导中使用的引理4：

如果

则下式成立：

假设2：令：

随已知的正定矩阵

给定；系统的初始值及其估计满足如下条件：

引理5：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，对于给定的正定矩阵序列{P_k}_k≥0，可因式分解为

并且在公式(23)下，如果存在k时刻节点i的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之二/>

k时刻节点i的非负标量序列之二/>

k时刻节点i的非负标量序列之三/>

k时刻节点i的非负标量序列之四/>

以及k时刻节点i的标量序列/>

满足如下递归矩阵不等式：

其中：

/>

则如下不等式成立：

引理5如下证明：

由公式(23)可得：

假设在时间k时，如下不等式成立：

则只需证明在时间k+1，不等式(31)成立；由于不等式(33)成立，存在向量

有/>

使得：

记

式(34)可以写为：

式(18)的动态估计误差可以写作：

其中

记/>

式(36)可以进一步写为：

/>

其中

和/>

分别由式(29)、(30)定义；

由式(2)和(34)可得向量q_i，k，v_k和μ_k满足：

写作如下关于η_k的形式：

由δ_1i，k，δ_2i，k，记||Δ_1i||≤1和||Δ_2i||≤1，可以得到：

可写作如下关于η_k的形式：

然后，以如下η_k重写式(17)：

其中Ξ_i，k由式(26)定义；

考虑

其中/>

由式(27)定义，描述式(4)中的新息约束为：

其中γ_i，k由式(28)定义；

另一方面，通过引理2，得到矩阵不等式(24)当且仅当以下不等式成立时成立：

考虑ω_k的统计性质，得

结合式(25)、(37)，不等式(45)等价于：

由引理1推导：

/>

或者

证毕；

定理1：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，对于预先制定的正标量p，以及正定矩阵序列

设计目标(4)满足，当且仅当存在/>

以及标量序列/>

满足如下矩阵不等式：

定理1证明：定理1可以由引理3和5，通过令

得到；

(2)平均H_∞性能

为简化推导，记以下向量：

以及以下矩阵：

/>

引理6：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，在初始条件

下，平均H_∞性能实现条件为：存在k时刻的正定矩阵序列{Y_k}_k≥1，k时刻的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之二/>

k时刻的非负标量序列之三/>

以及k时刻节点i的标量序列/>

满足如下N个递归矩阵不等式：

其中

引理6证明：

滤波误差系统(19)写作如下形式：

/>

进一步表达为如下增广系统：

其中

定义二次函数

可以得到：

其中

考虑ω_k的统计性质，有：

其中

将零项

分别加到等式(60)两边，得到/>

其中

将式(61)两边对k从0到T求和，得：

所以：

由式(16)得

表示：

进一步，由式(4)可以推得：

由式(53)定理确定。

对于不等式(50)应用舒尔补引理，得到：

通过引理3，可知不等式(67)成立，当且仅当

由不等式(68)得到：

进一步得到：

根据引理1，有：

结合式(63)和

得

达到式(8)的平均H_∞性能，证毕；

定理2：给定滤波器参数F_i，k和H_ij，k，在初始条件

下，平均H_∞性能(8)实现条件为：存在正定矩阵序列/>

非负标量序列/>

以及标量序列/>

满足如下N个递归矩阵不等式：

其中参数Y_k根据

受/>

限制递归更新。

步骤4、提出两个优化问题以获取局部最优滤波参数。

具体的，在获得的估计器参数集合中，根据两个推论，提出两个优化问题，一个是通过最小化

在矩阵迹意义上获得局部最优滤波性能；另一个是在每一个时刻最小化p来保证局部触发概率，使得估计误差始终保持在期望的椭球内；

记集合：

函数：

提出如下优化问题：

(1)保持p不变的情况下，在矩阵迹意义上最小化

寻找满足概率限制的局部最优滤波性能；/>

给定p，在定理3条件下，序列

最小化在如下优化问题可解时实现：

subject to(49)& (73)

假设p是时变的，且pk是时刻k下的概率约束；通过定义：

引出后续的优化问题；

(2)在

的情况下，最小化s_k以寻找在概率约束下的下界；

令

已给定，在定理3条件下，当如下问题可解时：

每个时刻概率约束p_k确保有下界。

下面结合一个具体实施例对本申请内容进行具体阐述。

估计如下形式的Duffing方程：

利用Matlab工具箱对所设计的滤波器参数进行求解，并验证概率保证包络约束和H_∞性能指标。

考虑具有以下参数的非线性系统(1)：

其中T为采样州级，x⁽¹⁾和x⁽²⁾分别是x_k的第一、第二项，代表

和/>

在kT的采样值。

测量矩阵为：

C_1，k＝[01]，C_2，k＝[0.50]，C_3，k＝[0.6 0.5]。

其他参数如下：

E_1，k＝0.1，E_2，k＝0.15，

E_3，k＝0.12，T＝0.2，k₀＝2.1，

k_d＝0.7，c＝0.4，k₁＝0.5，

k₂＝0.3，λ＝0.85，W₁＝W₂＝W₃＝0.01。

另外，选取v_k＝0.36cos(k)，μ_k＝0.4sin(2k)，设V_k＝0.35，U_k＝0.4，可以满足假设1。

假设系统通讯拓扑如图2所示，可以获得邻接矩阵：

x₀＝[0 0]^T，

此外，设置参数p＝0.9，γ＝0.7，初始条件给定如下：

σ_1，0＝σ_2，0＝σ_3，0＝0.25。

为了展现算法降低异常数据影响的有效性，考虑带有信号注入的网络攻击。对于节点i(i＝1，2，3)，注入的攻击信号通过

产生，其中/>

是在区间[0，1]上均匀分布的随机变量，期望为/>

在时间区间[20，50]内，攻击者注入ψ_i，k到新息/>

以降低估计性能。

通过解决优化问题(43)，获得仿真结果如图4-7。图4-5分别绘制x⁽¹⁾，x⁽²⁾以及它们的估计

和/>

x⁽¹⁾和x⁽²⁾的滤波器误差在图6-7中分别展示。偏差注入攻击如图3所示，记录了每个节点在对应时间步长内的有效攻击。从图4-7中不难看出，尽管存在偏差注入攻击，滤波算法仍然可以有效地估计目标非线性系统的状态。因此，仿真结果证明了本发明提出的算法的有效性和正确性。

下面，为了进一步说明本发明提出算法的有效性，进行了对比仿真。对于目标非线性系统，在相同的攻击下，应用没有饱和约束的传统算法(比如，σ_i，k＝∞)。本发明提出的算法和传统算法分布记为‘σ-adaptive’和‘σ-inf’。比较结果记录在图8-11中。图8-9分别记录了x⁽¹⁾，x⁽²⁾以及它们的估计

图10-11分别记录了x⁽¹⁾和x⁽²⁾的估计误差。从图8-11可以看出，估计误差在攻击下发散，这说明传统分布式滤波算法不能在该情况下提供令人满意的性能。

本说明书中各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可。尤其，对于服务构建装置和服务加载装置实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例中的说明即可。

以上所述的本申请实施方式并不构成对本申请保护范围的限定。

本申请所研究的系统模型是由一般时变非线性方程来描述。为了降低异常量测值带来的影响，本申请采用了自适应饱和信息机制，在每个时间步内，根据之前的滤波误差自适应调整饱和水平。为了更好地刻画有限时域内的性能，从不同角度定义了两个性能指标：即平均H_∞性能和概率椭球约束。最后，本申请提出的算法能够以指定的概率，而不是通常的100％置信度保证包络约束，并且这种概率设计方法可以通过减少实际应用中某些严格但不必要的性能约束条件来提供更多的灵活性。

Claims (7)

1.一种新息约束传感器网络的分布式保概率滤波器设计方法，其特征在于，所述方法包括：

步骤1、建立带有新息饱和机制的非线性系统数学模型；

步骤2、设计概率椭球约束目标和平均H_∞性能指标；

步骤3、推导算法存在的充分条件并获得滤波参数；

步骤4、提出两个优化问题以获取局部最优滤波参数。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，建立带有新息饱和机制的非线性系统数学模型，包括：

步骤1.1，建立在时域[0,T],传感器网络的非线性离散时变系统数学模型：

其中，

表示在时刻k系统的状态,/>

表示在时刻k第i个传感器节点的测量输出，/>

表示在时刻k+1系统的状态,/>

表示在时刻k+1第i个传感器节点的测量输出；ω_k是具有单一方差的零均值高斯白色序列；/>

表示过程噪声，/>

表示测量噪声；B_k是具有适当维度的已知实矩阵之一，D_k是具有适当维度的已知实矩阵之二，C_i,k是具有适当维度的已知实矩阵之三，E_i,k是是具有适当维度的已知实矩阵之四；f(x_k):/>

是非线性函数之一，h(x_k):/>

是非线性函数之二；

假设1：噪声序列ν_k和μ_k满足如下约束集：

其中V_k是具有适当维度的正定矩阵之一，U_k是具有适当维度的正定矩阵之二。

步骤1.2，建立滤波器结构：

其

是在时刻k，节点i的系统状态估计；/>

是在时刻k+1，节点i的系统状态估计；

是在时刻k，节点i的估计输出；F_i,k是待设计的滤波器参数之一，H_ij,k是待设计的滤波器参数之二；对于向量/>

a^(s)是其第s项；非线性映射/>

定义如下：

其中

sign(·)为符号函数，表示在时刻k，节点i的饱和水平σ_i,k动态变化，有如下函数控制：

其中λ∈[0,1)并且W_i>0是给定的加权矩阵。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，设计概率椭球约束目标和平均H_∞性能指标包括：

1)、概率椭球约束通过以下方法确定：

或者

其中

是预先定义的矩阵，预先指定的正向量p满足0<P≤1，/>

是系统的估计误差；

是一个/>

维有界非空椭球，定义如下：

其中

是/>

的中心，P>0是刻画椭球形状和方向的正定矩阵；

2)、平均H_∞性能通过以下方法确定

其中

为在时刻k，节点i的估计误差,γ为实数，N为传感器数量。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，滤波器满足预先设定的三个引理及一个定义，其中：

引理1：设ψ₀(·),ψ₁(·),…,ψ_p(·)是n维向量

的二次函数：/>

其中X_j是对称矩阵；如果存在∈₁≥0,…,∈_p≥0使得/>

则以下成立：

引理2：定常矩阵

其中/>

且/>

则/>

当且仅当：

或者/>

引理3：令

和/>

是具有适当维度的实矩阵，并且Δ满足||Δ||≤1，则

当且仅当存在正向量ε使得：

定义1：令

和/>

为实矩阵，并有/>

非线性函数φ(·)满足/>

时被称为满足扇区条件；

通过泰勒展开，可以将非线性函数f(x_k)和h(x_k)展开为：

其中

是已知矩阵之一，/>

是已知矩阵之二；/>

时位置矩阵之一，/>

是未知矩阵之二，使得||Δ_1i||≤1和||Δ_2i||≤1；Φ_i,k和Ψ_i,k计算如下：

令

存在矩阵0≤G_1j≤I≤G_2j，I为单位矩阵，使得

其中Φ_j(r_j,k)是非线性向量值函数，

时满足扇区条件；例如φ_j(r_j,k)满足如下不等式：

由系统(1)和滤波器(3)可以得到动态估计误差：

其中x_k+1为时刻k+1系统的状态，

为节点i在时刻k+1的状态估计；记：

ι＝{n_x,n_q,n_y,n_∑}

得到动态估计误差：

其中

是时刻k+1的估计误差，/>

由于当/>

时θ_ij＝0，/>

是如下的稀疏矩阵：

其中

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，推导算法存在的充分条件并获得滤波参数，包括：

定理3，给定设计指标

在初始条件/>

下，如果存在一系列正定矩阵/>

实矩阵序列/>

和/>

非负标量/>

{ε_k}_k≥0，{ρ_1,k}_k≥0，{ρ_2,k}_k≥0和标量{β_i,k}_k≥0及{∈_i,k}_k≥0，使得不等式(49)和(73)同时成立，从而满足步骤3中提出的概率椭球约束以及平均H_∞性能指标；每个时刻的期望滤波器参数可以通过计算相关矩阵不等式获得；

下面给出计算的算法；

算法1，F_i,k和H_ij,k的计算方法如下：

(1)初始化：设置k＝0，最大计算步数k_max；对0≤k≤k_max设置参数

令/>

因式分解{P_k}得到{Q_k}；选定初始值x₀和/>

满足式(23)，则获得/>

(2)通过

和Q_k可以解线性矩阵不等式(49)和(73)，得到/>

和/>

从而获得F_i,k和H_ij,k；

(3)通过

和/>

由式(2)得到/>

继而获得/>

(4)令k＝k+1，若k>k_max，则结束，否则转到步骤2。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述定理3通过以下方法确定：

1)概率椭球约束

定义：

提出后面推导中使用的引理4：

如果

则下式成立：

假设2：令：

随已知的正定矩阵

给定；系统的初始值及其估计满足如下条件：

引理5：给定滤波器参数F_i,k和H_ij,k，对于给定的正定矩阵序列{P_k}_k≥0，可因式分解为

并且在公式(23)下，如果存在k时刻节点i的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之一/>

k时刻的非负标量序列之二/>

k时刻节点i的非负标量序列之二/>

k时刻节点i的非负标量序列之三/>

k时刻节点i的非负标量序列之四/>

以及k时刻节点i的标量序列{β_i,k}_k≥0，满足如下递归矩阵不等式：/>

其中:

则如下不等式成立：

引理5如下证明：

由公式(23)可得：

假设在时间k时，如下不等式成立：

则只需证明在时间k+1，不等式(31)成立；由于不等式(33)成立，存在向量

有/>

使得：/>

记

式(34)可以写为：

式(18)的动态估计误差可以写作：

其中

记

式(36)可以进一步写为：

其中

和/>

分别由式(29)、(30)定义；

由式(2)和(34)可得向量q_i,k，ν_k和μ_k满足：

写作如下关于η_k的形式：

由δ_1i,k，δ_2i,k，记||Δ_1i||≤1和||Δ_2i||≤1，可以得到：

可写作如下关于η_k的形式：

然后，以如下η_k重写式(17)：

其中Ξ_i,k由式(26)定义；

考虑

其中/>

由式(27)定义，描述式(4)中的新息约束为：

其中Υ_i,k由式(28)定义；

另一方面，通过引理2，得到矩阵不等式(24)当且仅当以下不等式成立时成立：

考虑ω_k的统计性质，得

/>

结合式(25)、(37)，不等式(45)等价于：

由引理1推导：

或者

证毕；

定理1：给定滤波器参数F_i,k和H_ij,k，对于预先制定的正标量p，以及正定矩阵序列

设计目标(4)满足，当且仅当存在/>

以及标量序列{β_i,k}_k≥0满足如下矩阵不等式：

定理1证明：定理1可以由引理3和5，通过令

得到；

(2)平均H_∞性能

为简化推导，记以下向量：

以及以下矩阵：

/>

引理6：给定滤波器参数F_i,k和H_ij,k，在初始条件

下，平均H∞性能实现条件为：存在k时刻的正定矩阵序列{Y_k}_k≥1，k时刻的非负标量序列之一{ε_k}_k≥0，k时刻的非负标量序列之二{ρ_1,k}_k≥0，k时刻的非负标量序列之三{ρ_2,k}_k≥0，以及k时刻节点i的标量序列{∈_i,k}_k≥0满足如下N个递归矩阵不等式：

其中

/>

引理6证明：

滤波误差系统(19)写作如下形式：

进一步表达为如下增广系统：

其中

定义二次函数

可以得到：

其中

考虑ω_k的统计性质，有：

其中

将零项

分别加到等式(60)两边，得到

其中

将式(61)两边对k从0到T求和，得：

所以：

由式(16)得

表示：

进一步，由式(4)可以推得：

由式(53)定理确定。

对于不等式(50)应用舒尔补引理，得到：

通过引理3，可知不等式(67)成立，当且仅当

由不等式(68)得到：

进一步得到：

根据引理1，有：

结合式(63)和

得

达到式(8)的平均H_∞性能，证毕；

定理2：给定滤波器参数F_i,k和H_ij,k，在初始条件

下，平均H_∞性能(8)实现条件为：存在正定矩阵序列/>

非负标量序列{ε_k}_k≥0，{ρ_1,k}_k≥0，{ρ_2,k}_k≥0，以及标量序列{∈_i,k}_k≥0满足如下N个递归矩阵不等式：

其中参数Y_k根据

受/>

限制递归更新。

7.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，提出两个优化问题以获取局部最优滤波参数，包括：

在获得的估计器参数集合中，根据两个推论，提出两个优化问题，一个是通过最小化

在矩阵迹意义上获得局部最优滤波性能；另一个是在每一个时刻最小化p来保证局部触发概率，使得估计误差始终保持在期望的椭球内；

记集合：

函数：

提出如下优化问题：

(1)保持p不变的情况下，在矩阵迹意义上最小化

寻找满足概率限制的局部最优滤波性能；

给定p，在定理3条件下，序列

最小化在如下优化问题可解时实现：

subjectto(49)&(73)

假设p是时变的，且p_k是时刻k下的概率约束；通过定义：

引出后续的优化问题；

(2)在

的情况下，最小化s_k以寻找在概率约束下的下界；

令

已给定，在定理3条件下，当如下问题可解时：

每个时刻概率约束p_k确保有下界。

Images