CN115840362A - 一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法 - Google Patents

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CN115840362A CN202211529483.5A CN202211529483A CN115840362A CN 115840362 A CN115840362 A CN 115840362A CN 202211529483 A CN202211529483 A CN 202211529483A CN 115840362 A CN115840362 A CN 115840362A
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杨仁明
李琦
李光叶
侯明冬
张春富
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Abstract

本发明提供一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，包括：为非线性奇异时滞系统选取Hamilton函数；结合状态分解方法，将非线性奇异时滞系统Hamilton函数转换为等价的微分代数形式；设计鲁棒控制器，将鲁棒控制器代入等价微分代数形式获取系统的严格等价耗散Hamilton形式；选取李雅普诺夫函数，在严格等价耗散Hamilton形式的基础上验证鲁棒控制器的准确性。本发明提供了一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，研究了比线性奇异系统更为复杂的非线性奇异系统，并考虑时滞对系统的影响，在加入外部干扰的情况下给出了一种系统的有限时间鲁棒镇定控制新方法。

Description

一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法
技术领域
本发明涉及有限时间鲁棒控制技术领域，尤其是涉及一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法。
背景技术
奇异系统比一般的正常系统更能准确描述一些真实的物理系统，奇异系统模型广泛存在于社会生产的各个领域中，如：电网系统、电路、化工过程等，除此之外，时滞也会影响系统的稳定性。因此，奇异时滞系统在关于控制问题的数学模型中有重要作用。
中国发明专利名称：一类奇异时滞系统的渐近稳定性判别方法、维持方法，专利号：CN108241297B，解决了现有技术存在无法全面的描述该类奇异时滞依赖系统的稳定性的技术问题。该奇异时滞系统的渐近稳定性判别方法，包括：利用数学分解方法对奇异时滞系统的时滞稳定性进行分析，以得出维持一类奇异时滞依赖系统稳定性的条件；依据维持该类奇异时滞依赖系统稳定性的条件，判别该类奇异时滞依赖系统的稳定性。该奇异时滞系统的渐近稳定性维持方法，包括：利用维持本发明提供的一类奇异时滞依赖系统稳定性的条件，以提高该类奇异时滞系统的渐近稳定性。
现有技术无法准确地判断奇异时滞系统的稳定性，也无法有效提高非线性奇异时滞系统的稳定性。
发明内容
针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，研究了比线性奇异系统更为复杂的非线性奇异系统，并考虑时滞对系统的影响，在加入外部干扰的情况下给出了一种系统的有限时间鲁棒镇定控制新方法。
本发明采用的技术方案为：
一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
为非线性奇异时滞系统选取Hamilton函数；
结合状态分解方法，将非线性奇异时滞系统Hamilton函数转换为等价的微分代数形式；
设计鲁棒控制器，将鲁棒控制器代入等价微分代数形式获取系统的严格等价耗散Hamilton形式；
选取李雅普诺夫函数，在严格等价耗散Hamilton形式的基础上验证鲁棒控制器的准确性。
本发明的有益效果为：
与最近关于非线性奇异时滞系统的无穷时间结果不同，本发明研究了有限时间问题，并给出了一类非线性奇异时滞哈密顿系统的有限时间控制结果。本发明利用状态分解的方法得到所研究系统的严格等价耗散Hamilton形式，在严格等价耗散Hamilton形式的基础上研究了有限时间鲁棒镇定问题，与无穷时间结果相比，本发明提出的有限时间控制方法具有更快的收敛性、更好的鲁棒性和抗干扰性。与基于线性化方法的现有结果不同，本发明从非线性的角度研究非线性奇异时滞系统，这意味着本发明提出的方法更加困难，具有更广泛的应用背景。与现有的无时滞奇异系统有限时间控制结果不同，本发明利用状态分解方法提出了一种非线性时滞奇异系统的控制方案。
附图说明
图1一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法流程图；
图2本发明实施例非线性电路系统结构示意图；
图3本发明实施例状态响应曲线示意图；
图4本发明实施例控制输入信号示意图；
图5现有技术状态响应曲线示意图。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明做进一步说明：为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。
如图1所示，本发明提供了一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法-基于能量的方法。通过将一般非线性奇异时滞Hamilton系统转换成严格等价耗散形式，设计了适当的控制器来解决其有限时间鲁棒控制问题，获得了较好的鲁棒镇定效果。
步骤1：为非线性奇异时滞系统选取Hamilton函数；
步骤2：结合状态分解方法，将一般的非线性奇异时滞Hamilton系统转换成等价的微分代数形式；
步骤3：设计鲁棒控制器，将鲁棒控制器代入等价微分代数形式获取系统的严格等价耗散Hamilton形式；
步骤4：选取李雅普诺夫函数，在严格等价耗散Hamilton形式的基础上验证鲁棒控制器的准确性。
步骤5：以充电电路为例，验证了本发明所提出方法的有效性。
本发明非线性奇异时滞Hamilton系统方程形式如下：
Figure BDA0003971846980000031
其中
Figure BDA0003971846980000032
是系统(1)的状态，/>
Figure BDA0003971846980000033
是系统的时滞，/>
Figure BDA0003971846980000034
是奇异矩阵并且/>
Figure BDA0003971846980000035
是控制输入，/>
Figure BDA0003971846980000036
是外部干扰，/>
Figure BDA0003971846980000037
是一个已知的常矩阵，/>
Figure BDA0003971846980000038
是一个已知的常矩阵，/>
Figure BDA0003971846980000039
和/>
Figure BDA00039718469800000310
是常矩阵，/>
Figure BDA00039718469800000311
分别是系统的罚信号和输出；H(x)是能量函数，并在x＝0时取得最小值，/>
Figure BDA00039718469800000312
并且对于所有的x∈Ω(Ω是指系统状态x的定义域，表示x是大于零的实数)都满足A(x)+AT(x)＜0，/>
Figure BDA0003971846980000041
并且/>
Figure BDA0003971846980000042
所述步骤1中选取的Hamilton函数(能量函数)如下所示：
Figure BDA0003971846980000043
其中φi为第i个分量为1的行单位向量，α是一个大于1的实数。为了得到步骤2中的严格等价耗散Hamilton形式，首先对于矩阵E、A、T和g1需满足以下关系
deg(det(sE-A))＝rank(E) ⑶
Figure BDA0003971846980000044
如果(3)成立，则说明x(t)没有脉冲摄动，即系统(1)没有脉冲解，在此基础上，如果|sE-A|≠0，则矩阵对(E,A)是可容许的，那么总存在两个非奇异矩阵M,
Figure BDA0003971846980000045
使得
Figure BDA0003971846980000046
证明：由于矩阵对(E,A)是可容许的，因此存在s使得det(sE-A)≠0,即矩阵sE-A可逆，令
Figure BDA0003971846980000047
则存在非奇异矩阵T使得
Figure BDA0003971846980000048
其中/>
Figure BDA0003971846980000049
为可逆矩阵，/>
Figure BDA00039718469800000410
为零幂矩阵，/>
Figure BDA00039718469800000411
为可逆矩阵。
令
Figure BDA00039718469800000412
则有
Figure BDA00039718469800000413
/>
Figure BDA00039718469800000414
证明完毕。
令
Figure BDA0003971846980000051
Figure BDA0003971846980000052
其中
Figure BDA0003971846980000053
Figure BDA0003971846980000054
系统(1)中
Figure BDA0003971846980000055
在(5)(6)(7)下系统(1)可表示为：
Figure BDA0003971846980000056
可以看出系统(8)和系统(1)是等价的，A1＝A1(x)可以表示为A1＝J-R0，其中
Figure BDA0003971846980000057
是反对称矩阵，/>
Figure BDA0003971846980000058
是对称矩阵。
如果系统在平衡点处的指数是1，设计控制器如下所示
Figure BDA0003971846980000059
其中
Figure BDA00039718469800000510
是一个增益矩阵，所述平衡点是指在一定范围内系统趋于稳定的临界值。
将控制器(9)代入系统(8)中，得到系统(1)的等价形式：
Figure BDA0003971846980000061
其中R＝R(x)是正定矩阵，
Figure BDA0003971846980000062
Λ是列满秩的权矩阵。
由公式(4)可以得到
Figure BDA0003971846980000063
即
rank[sIr-A1 g11]＝r
因此，总存在一个矩阵
Figure BDA0003971846980000064
使得/>
Figure BDA0003971846980000065
和/>
Figure BDA0003971846980000066
的特征根可以被任意配置。所以我们选择矩阵K使得/>
Figure BDA0003971846980000067
可以看出(10)和(1)是严格等价的，根据隐函数存在定理，如果系统在平衡点处的指数为1，则存在一个函数f(·)使得
Figure BDA0003971846980000068
上述步骤3中，系统(10)的鲁棒控制问题可由下列控制率完成
Figure BDA0003971846980000069
其中γ＞0是干扰抑制水平，v1和v2是两个参考输入。
将(12)代入(11)得到系统(1)的严格等价耗散Hamilton形式如下
Figure BDA0003971846980000071
/>
上述步骤4中，选取的李雅普诺夫函数为：
Figure BDA0003971846980000072
系统(12)满足Hamiltonian-Jacobian不等式
Figure BDA0003971846980000073
则系统的L2增益(从w到z)不超过γ，当w＝0时，系统(12)是全局有限时间稳定的。
上述步骤5中，在本发明提出了一个非线性充电电路实施例说明奇异非线性时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制器的有效性，如图2所示，为本实施例非线性充电电路系统结构示意图，其中电容是由电荷q控制的，而电感是由磁通链Ψ控制的；他们的特性可以分别表示为u1＝f1(q1(t))+f1(q1(t-h)),u2＝f2(q2(t))+f2(q2(t-h)),i3＝f3(ψ3(t))+f3(ψ3(t-h))，iw是干扰信号。
根据基尔霍夫电流定律、基尔霍夫电压定律以及考虑时滞项对系统的影响，上述系统可以表示为：
Figure BDA0003971846980000081
其中y和z＝[z1,z2]T分别是系统的输出和罚信号。令
Figure BDA0003971846980000082
Figure BDA0003971846980000083
Figure BDA0003971846980000084
R4＝2Ω，并记x＝[ψ3,q1,q2]T，w＝iw,u＝[Us,Is]T。
则系统(14)表述如下：
Figure BDA0003971846980000085
存在一个Hamilton函数
Figure BDA0003971846980000086
其中α＝2，使得系统(15)有一个常值Hamilton实现如下：
Figure BDA0003971846980000091
接下来通过一个非奇异转换把系统(16)表示为一个等价的非线性微分代数系统。选择
Figure BDA0003971846980000092
则系统(16)可以转化为下面的等价形式：
Figure BDA0003971846980000093
其中
Figure BDA0003971846980000094
通过状态反馈
Figure BDA0003971846980000095
可以得到系统(16)的耗散Hamilton形式：
Figure BDA0003971846980000101
选择增益矩阵
Figure BDA0003971846980000102
权重矩阵/>
Figure BDA0003971846980000103
则系统(16)的H∞控制器可以设计为：
Figure BDA0003971846980000104
为了验证H∞控制器的有效性，我们给出数字仿真，这里令γ＝1，系统的初值Ex(0)＝[5,-8,2.4]T。为了验证该控制器对外部干扰的鲁棒性，在时间段0-0.12秒给系统施加大小为[6,6]T的外部干扰。仿真结果如图3和图4所示，其中图3是状态响应曲线，图4是所采用的控制信号。从图3可以看出，系统在0.12秒时由于外部干扰发生抖动并且系统状态在1.5秒内趋于稳定，仿真结果表明H∞控制器是非常有效的，并且对外部干扰有很好的鲁棒性。
为了突出本发明所提出的方法的有效性，下面给出一个使用无穷时间控制器的仿真结果进行对比，给出无穷时间Hamilton函数为
Figure BDA0003971846980000105
对系统(16)进行仿真，在选择相同的初值、干扰参数和时滞参数的前提下，仿真结果如图5所示，此图的作用是与图3进行对比，主要对比在同样的初值、时滞、和干扰下两个控制器对系统状态的影响。图3中系统的三个状态均在2秒左右趋于稳定，图5中系统的三个状态在3秒左右趋于稳定，而且图3中系统状态的振幅比图5中小，说明图3所使用的控制器具有更好的抗干扰性和鲁棒性，还有更快的收敛性，很明显，本发明所提出的控制方法具有更快的收敛速度，更好的鲁棒性和抗干扰性。
最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求保护范围之内。

Claims (9)

1.一种非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
为非线性奇异时滞系统选取Hamilton函数；
结合状态分解方法，将非线性奇异时滞系统Hamilton函数转换为等价的微分代数形式；
设计鲁棒控制器，将鲁棒控制器代入等价微分代数形式获取系统的严格等价耗散Hamilton形式；
选取李雅普诺夫函数，在严格等价耗散Hamilton形式的基础上验证鲁棒控制器的准确性。
2.如权利要求1所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，选取的Hamilton函数为：
Figure FDA0003971846970000011
其中φi为第i个分量为1的行单位向量，α是一个大于1的实数。
3.如权利要求1所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，非线性奇异时滞系统Hamilton函数方程为：
Figure FDA0003971846970000012
其中，
Figure FDA0003971846970000013
为系统的状态，
Figure FDA0003971846970000014
为系统的时滞；
Figure FDA0003971846970000015
为奇异矩阵且0<rank(E)＝r<n，
Figure FDA0003971846970000016
为控制输入，
Figure FDA0003971846970000017
为外部干扰，
Figure FDA0003971846970000018
为常矩阵，
Figure FDA0003971846970000019
分别为系统的罚信号和输出；H(x)是能量函数，并在x＝0时取得最小值，
Figure FDA00039718469700000110
并且对于所有的x∈Ω都满足A(x)+AT(x)＜0，
Figure FDA0003971846970000021
并且
Figure FDA0003971846970000022
4.如权利要求3所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，矩阵E、A、T、g1满足：
deg(det(sE-A))＝rank(E)
Figure FDA0003971846970000023
其中，ξ是s的定义域，指的是非零复数。
5.如权利要求4所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，非线性奇异时滞Hamilton系统方程转换为等价的微分代数形式具体为：
Figure FDA0003971846970000024
其中
Figure FDA0003971846970000025
是反对称矩阵，
Figure FDA0003971846970000026
是对称矩阵。
6.如权利要求1所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，设计鲁棒控制器如下：
Figure FDA0003971846970000027
其中
Figure FDA0003971846970000028
为增益矩阵。
7.如权利要求6所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，鲁棒控制器的控制率为：
Figure FDA0003971846970000029
其中γ＞0是干扰抑制水平，v1和v2是两个参考输入。
8.如权利要求1所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，选取的李雅普诺夫函数为：
Figure FDA0003971846970000031
其中φi为第i个分量为1的行单位向量，α是一个大于1的实数。
9.如权利要求8所述的非线性奇异时滞系统的有限时间鲁棒镇定控制方法，其特征在于，选取李雅普诺夫函数，在严格等价耗散Hamilton形式的基础上验证鲁棒控制器的准确性具体包括：非线性奇异时滞系统满足，
Figure FDA0003971846970000032
则系统的L2增益不超过γ，当w＝0时，系统是全局有限时间稳定的，其中，γ为干扰抑制水平，
Figure FDA0003971846970000033
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CN116047918A (zh) * 2023-04-03 2023-05-02 山东理工大学 基于Hamilton系统理论的镇定控制器的设计方法

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CN116047918A (zh) * 2023-04-03 2023-05-02 山东理工大学 基于Hamilton系统理论的镇定控制器的设计方法

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