CN115828692B - 一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法 - Google Patents

一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，包括：采用一维谐波位移解表示波在任意横截面结构中的纵向传播，将三维求解问题转化为二维问题，结合分部积分法和高斯散度定理，推导任意横截面结构波动控制方程的弱形式；构建任意横截面结构的二维有限元模型，将波动方程弱形式中的被积函数转换为有限元软件中的弱形式被积函数表达式，利用有限元软件进行积分处理；对波数或角频率进行参数化扫描并计算特征值，根据求解得到的结果，计算被测波导结构的频散关系并绘制频散曲线,本发明可以计算横截面为任意形状的波导结构超声导波频散特性，且只需要构建结构的二维横截面的有限元模型，具有编程简单、计算量少、计算速度快的优点。

Description

一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法
技术领域
本发明涉及超声导波无损检测技术领域，尤其涉及一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法。
背景技术
当前大型工程装备(如飞行器、输油管道、铁路轨道等)在长期服役过程中由于载荷条件复杂以及天气和环境因素等的影响，将面临着结构损伤而造成结构失效的危险。而大型工程装备的重要构件中就有大量的异型截面结构，其横截面一般为复杂或不规则的形状，沿长度方向尺寸保持不变。铁路轨道是重要的交通运输方式之一，其重要的组成部分——钢轨，在列车运行期间需要承受着车轮的巨大压力，并将压力传递到轨枕上，所以钢轨结构被设计为工字型截面结构，这种不规则的工字形截面就是一种异型截面的结构。此外，典型的异型截面结构还有很多，如T型桁条，广泛应用于航天飞行器结构，其主要承受轴向荷载，该构件一旦发生失稳现象，可能导致严重的工程后果。因此，对该类复杂截面结构进行损伤检测尤为重要。
超声导波无损检测技术能够进行长距离、微小损伤检测，可以很好地检测各类细长型结构的损伤。在对波导结构超声导波频散特性研究中，传统的解析分析方法只能求解简单的几何结构的声场问题，对于复杂截面的结构而言，几乎无法通过传统的分析方法获得其解析解。有限元法虽然也可以提供求解这类结构的准确方案，但是需要建立三维的有限元模型进行计算，计算量大、求解的速度很慢。所以提出一种准确、快速的任意横截面结构超声导波频散特性的方法，是对该类结构进行超声导波无损检测的重要前提。
发明内容
本发明的目的在于，在对复杂截面结构进行无损检测的前提下，提出一种基于弱形式偏微分方程(PDE)理论计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，并绘制频散曲线。
一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，包括以下步骤：
1.假设简谐波沿波导结构的纵向传播，采用一维谐波位移解表示波传播，进而推导二维任意截面结构波动控制方程的弱形式：
1.1.以位移表示的波动控制方程强形式可用张量表示为：
其中，ρ为材料的密度；σij为二阶应力张量；üi为位移对时间的二阶导数。
1.2.对波动控制方程的强形式乘以测试函数vi，并在所需的域上积分，得到该方程的弱形式：
1.3.对表达式(2)进行分部积分后应用高斯散度定理，结合边界条件，弱公式可以定义如下：
-∫Ωv(i,j)σijdΩ+∫ΓviσijnjdΓ-∫ΩviρüidΩ＝0 (3)
1.4.表达式(3)中在边界Γ上的积分趋向于0，所以波动控制方程的弱形式可简化为：
1.5.根据应力-应变方程、应变-位移方程：
σij＝Cijklεkl (5)
其中，Cijkl为弹性固体的四阶刚度张量；εkl为应变张量。
1.6.假设声波是沿任意横截面波导结构的纵向(x轴)方向传播的时间简谐波，一维谐波位移解为：
其中，k为波数；ω＝2πf为角频率。
1.7.将假设的位移解代(7)入波动控制方程的弱形式中，结合表达式(5)、(6)，三维的波动问题将简化为二维问题求解，各向异性材料下任意横截面结构波动控制方程的弱形式展开表达式为:
∫Ω{v(i,j)[(ikC11Ux+C12Uy,y+C13Uz,z+C14Uy,z+C14Uz,y+C15Ux,z+ikC15Uz+C16Ux，y+ikC16Uy)+(ikC21Ux+C22Uy，y+C23Uz，z+C24Uy，z+C24Uz，y+C25Ux，z+ikC25Uz+C26Ux，y+ikC26Uy)+(ikC31Ux+C32Uy，y+C33Uz，z+C34Uy，z+C34Uz，y+C35Ux，z+ikC35Uz+C36Ux，y+ikC36Uy)+2(ikC41Ux+C42Uy，y+C43Uz，z+C44Uy，z+C44Uz，y+C45Ux，z+ikC45Uz+C46Ux，y+ikC46Uy)+2(ikC51Ux+C52Uy，y+C53Uz，z+C54Uy，z+C54Uz，y+C55Ux，z+ikC55Uz+C56Ux，y+ikC56Uy)+2(ikC61Ux+C62Uy，y+C63Uz，z+C64Uy，z+C64Uz，y+C65Ux，z+ikC65Uz+C66Ux，y+ikC66Uy)]-vi(ρω2ux+ρω2uy+ρω2uz)}dΩ＝0 (8)
2.选择具有弱形式偏微分方程分析模块的有限元分析软件，构建任意横截面结构的二维截面模型，其尺寸与实际结构的横截面尺寸一致。
3.定义有限元求解所需的参数，包括材料属性、模型的几何尺寸以及波数和角频率。
4.将波动控制方程弱形式中的被积函数转换为有限元软件中可读取的弱形式被积函数表达式，并写入有限元软件，利用弱形式偏微分方程模块中内置的方程积分功能进行积分处理。
5.根据欲求解的最大频率判断单元尺寸，并对模型进行单元离散化，单元尺寸应满足其中，le单元尺寸，λmin为最小波长。
6.添加波数或角频率的参数化扫描，并设定扫描区间以及所需的特征值数，进行特征值计算。
7.将所得的波数和对应的频率，由公式Vp＝2πf/k计算相速度并区分模态，再由公式Vg＝2πΔf/Δk计算群速度，绘制频散曲线。
其中，Δf为同一模态下相邻频率点之差；Δk为相邻波数之差。
本发明具有以下优点：
1)推导了任意横截面结构波动控制方程的弱形式，对任何复杂的截面形状的波导结构，均可用同一个弱形式方程进行计算，且可利用通用有限元软件求解。
2)只需构建结构的二维横截面模型，相比三维模型，计算量极大地减少，并且计算的结果精度高，绘制的频散曲线完整，无模态丢失，更无需繁琐编程。
附图说明
图1为基于弱形式偏微分方程求解任意横截面结构超声导波频散特性的步骤框图；
图2为钢轨结构的横截面尺寸示意图；
图3为有限元软件中钢轨的横截面二维模型网格划分示意图；
图4为利用弱形式偏微分方程法求解的钢轨结构各模态的相速度频散曲线图；
图5为利用弱形式偏微分方程法求解的钢轨结构各模态的群速度频散曲线图；
图6为T型桁条结构的横截面尺寸示意图；
图7为有限元软件中T型桁条的横截面二维模型网格划分示意图；
图8为利用弱形式偏微分方程法求解的T型桁条各模态的相速度频散曲线图；
图9为利用弱形式偏微分方程法求解的T型桁条各模态的群速度频散曲线图；
具体实施方式
实施例1：
结合本发明方法的内容提供钢轨结构频散关系计算方法实例，具体步骤如图1所示：
1)采用一维谐波位移解表示声波在任意横截面结构的纵向传播，结合分部积分法和高斯散度定理，推导得到任意横截面结构波动控制方程的弱形式展开式为：
∫Ω{v(i，j)[(ikC11Ux+C12Uy，y+C13Uz，z+C14Uy，z+C14Uz，y+C15Ux，z+ikC15Uz+C16Ux，y+ikC16Uy)+(ikC21Ux+C22Uy，y+C23Uz，z+C24Uy，z+C24Uz，y+C25Ux，z+ikC25Uz+C26Ux，y+ikC26Uy)+(ikC31Ux+C32Uy，y+C33Uz，z+C34Uy，z+C34Uz，y+C35Ux，z+ikC35Uz+C36Ux，y+ikC36Uy)+2(ikC41Ux+C42Uy，y+C43Uz，z+C44Uy，z+C44Uz，y+C45Ux，z+ikC45Uz+C46Ux，y+ikC46Uy)+2(ikC51Ux+C52Uy，y+C53Uz，z+C54Uy，z+C54Uz，y+C55Ux，z+ikC55Uz+C56Ux，y+ikC56Uy)+2(ikC61Ux+C62Uy，y+C63Uz，z+C64Uy，z+C64Uz，y+C65Ux，z+ikC65Uz+C66Ux，y+ikC66Uy)]-vi(ρω2ux+ρω2uy+ρω2uz)}dΩ＝0
2)选取有限元分析软件COMSOL Multiphysics 6.0进行分析，选择弱形式偏微分方程模块，研究类型为特征值。建立钢轨横截面的二维模型，钢轨高度为176mm，轨底宽为150mm，轨头宽为73mm，模型尺寸如图2所示。
3)根据求解所需的参数，在参数栏中定义材料属性、几何参数以及波数k，其中波数k设置为0。钢轨的材料参数：杨氏模量为2.09GPa，泊松比为0.29，密度为7824kg/m3，对应的弹性刚度常数为：C11＝273.88，C12＝111.87，C13＝11.87，C14＝0，C15＝0，C16＝0，C22＝273.88，C23＝111.87，C24＝0，C25＝0，C26＝0，C33＝273.88，C34＝0，C35＝0，C36＝0，C44＝81.01，C45＝0，C46＝0，C55＝81.01，C56＝0，C66＝81.01。
4)弱形式偏微分方程的设置中，在弱表达式子菜单中的一个输入栏中输入推导的弱表达式，另外两个输入栏设置为0。将推导得到的二维任意横截面结构波动控制方程的弱形式转换为COMSOL可以读取的表达式，求解的特征值为角频率时，弱形式被积函数表达式可写成：
u2y*(C24*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C22*conj(test(u2y))+C23*conj(test(u3z))+C26*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(k)*i)+C25*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(k)*i)-C12*conj(test(u1))*conj(k)*i)+u3z*(C34*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C23*conj(test(u2y))+C33*conj(test(u3z))+C36*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(k)*i)+C35*(conj(test(ulz))-conj(test(u3))*conj(k)*i)-C13*conj(test(u1))*conj(k)*i)+(k*u2*i+u1y)*(C46*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C26*conj(test(u2y))+C36*conj(test(u3z))+C66*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(k)*i)+C56*(conj(test(ulz))-conj(test(u3))*conj(k)*i)-C16*conj(test(u1))*conj(k)*i)+(k*u3*i+ulz)*(C45*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C25*conj(test(u2y))+C35*conj(test(u3z))+C56*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(k)*i)+C55*(conj(test(ulz))-conj(test(u3))*conj(k)*i)-C15*conj(test(u1))*conj(k)*i)+(u3y+u2z)*(C44*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C24*conj(test(u2y))+C34*conj(test(u3z))+C46*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(k)*i)+C45*(conj(test(ulz))-conj(test(u3))*conj(k)*i)-C14*conj(test(u1))*conj(k)*i)+k*u1*(C14*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C12*conj(test(u2y))+C13*conj(test(u3z))+C16*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(k)*i)+C15*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(k)*i)-C11*conj(test(u1))*conj(k)*i)*i-lambda^2*rho*conj(test(u1))*u1-lambda^2*rho*conj(test(u2))*u2-lambda^2*rho*conj(test(u3))*u3
其中，conj为复共轭函数；lambda为特征值，扫描波数时，特征值为角频率；test()函数为测试函数。
5)设置网格单元离散化，大小选择“较细化”，单元尺寸满足要求，网格划分结果如图3所示。
6)添加对波数的参数化扫描，扫描范围为[0，8*pi/a]，其中a为钢轨模型的高度。特征值求解设置中，输入所需特征值数为20。
7)在COMSOL软件的“结果”中添加全局计算，所得的波数和对应的角频率，由公式Vp＝2πf/k计算相速度并区分模态，再由公式Vg＝2πΔf/Δk计算群速度绘制频散曲线。频散曲线绘制如图4、5所示。
实施例2：
结合本发明方法的内容提供T型桁条的频散关系计算方法实例，具体步骤如图1所示：
1)采用一维谐波位移解表示波在任意横截面结构的纵向传播，结合分部积分法和高斯散度定理，推导得到任意横截面结构波动控制方程的弱形式展开式为：
∫Ω{v(i，j)[(ikC11Ux+C12Uy，y+C13Uz，z+C14Uy，z+C14Uz，y+C15Ux，z+ikC15Uz+C16Ux，y+ikC16Uy)+(ikC21Ux+C22Uy，y+C23Uz，z+C24Uy，z+C24Uz，y+C25Ux，z+ikC25Uz+C26Ux，y+ikC26Uy)+(ikC31Ux+C32Uy，y+C33Uz，z+C34Uy，z+C34Uz，y+C35Ux，z+ikC35Uz+C36Ux，y+ikC36Uy)+2(ikC41Ux+C42Uy，y+C43Uz，z+C44Uy，z+C44Uz，y+C45Ux，z+ikC45Uz+C46Ux，y+ikC46Uy)+2(ikC51Ux+C52Uy，y+C53Uz，z+C54Uy，z+C54Uz，y+C55Ux，z+ikC55Uz+C56Ux，y+ikC56Uy)+2(ikC61Ux+C62Uy，y+C63Uz，z+C64Uy，z+C64Uz，y+C65Ux，z+ikC65Uz+C66Ux，y+ikC66Uy)]-vi(ρω2ux+ρω2uy+ρω2uz)}dΩ＝0
2)选取有限元分析软件COMSOL Multiphysics 6.0进行分析，选择弱形式偏微分方程模块，研究类型为特征值。建立T型桁条横截面的二维模型，截面尺寸如图6所示。
3)在参数栏中定义材料属性、几何参数以及波数k。其中波数k的初始值可以设置为0，因为在参数化扫描后初始值将被覆盖。T型桁条的材料参数：杨氏模量为2.09GPa，泊松比为0.29，密度为7824kg/m3，则对应的弹性刚度常数为：C11＝273.88，C12＝111.87，C13＝11.87，C14＝0，C15＝0，C16＝0，C22＝273.88，C23＝111.87，C24＝0，C25＝0，C26＝0，C33＝273.88，C34＝0，C35＝0，C36＝0，C44＝81.01，C45＝0，C46＝0，C55＝81.01，C56＝0，C66＝81.01。
4)在弱形式偏微分方程的设置中，在弱表达式子菜单中的一个输入栏中输入推导的弱表达式，另外两个输入栏设置为0。将推导得到的二维任意横截面结构波动控制方程的弱形式转换为COMSOL可以读取的表达式，求解的特征值为波数时，弱形式被积函数表达式可写成：
u2y*(C24*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C22*conj(test(u2y))+C23*conj(test(u3z))+C26*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(lambda)*i)+C25*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(lambda)*i)-C12*conj(test(u1))*conj(lambda)*i)+u3z*(C34*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C23*conj(test(u2y))+C33*conj(test(u3z))+C36*(conj(test(uly))-conj(test(u2))*conj(lambda)*i)+C35*(conj(test(ulz))-conj(test(u3))*conj(lambda)*i)-C13*conj(test(u1))*conj(lambda)*i)+(lambda*u2*i+u1y)*(C46*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C26*conj(test(u2y))+C36*conj(test(u3z))+C66*(conj(test(u1y))-conj(test(u2))*conj(lambda)*i)+C56*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(lambda)*i)-C16*conj(test(u1))*conj(lambda)*i)+(lambda*u3*i+ulz)*(C45*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C25*conj(test(u2y))+C35*conj(test(u3z))+C56*(conj(test(u1y))-conj(test(u2))*conj(lambda)*i)+C55*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(lambda)*i)-C15*conj(test(u1))*conj(lambda)*i)+(u3y+u2z)*(C44*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C24*conj(test(u2y))+C34*conj(test(u3z))+C46*(conj(test(u1y))-conj(test(u2))*conj(lambda)*i)+C45*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(lambda)*i)-C14*conj(test(u1))*conj(lambda)*i)+lambda*u1*(C14*(conj(test(u3y))+conj(test(u2z)))+C12*conj(test(u2y))+C13*conj(test(u3z))+C16*(conj(test(u1y))-conj(test(u2))*conj(lambda)*i)+C15*(conj(test(u1z))-conj(test(u3))*conj(lambda)*i)-C11*conj(test(u1))*conj(lambda)*i)*i-omega^2*rho*conj(test(u1))*u1-omega^2*rho*conj(test(u2))*u2-omega^2*rho*conj(test(u3))*u3
其中，conj为复共轭函数；lambda为特征值，扫描角频率时，特征值为波数；test()函数为测试函数。
5)对模型进行单元离散化，大小选择“细化”，单元尺寸满足要求，网格划分结果如图7所示。
6)添加对角频率的参数化扫描，扫描范围为[10,500,880000]。特征值求解设置中，输入所需特征值数为80。
7)在COMSOL软件的“结果”中添加全局计算，将所得的角频率和对应的波数，由公式Vp＝2πf/k计算相速度并区分模态，再由公式Vg＝2πΔf/Δk计算群速度，绘制频散曲线。频散曲线绘制如图8、9所示。
本发明公开了一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，本发明基于弱形式偏微分方程理论，包括：采用一维谐波位移解表示波在任意横截面结构的纵向传播，将三维求解问题转化为二维问题，结合分部积分法和高斯散度定理，推导任意横截面结构波动控制方程的弱形式；构建任意横截面结构的二维有限元模型；将波动方程弱形式中的被积函数转换为有限元软件中的弱形式被积函数表达式，利用有限元软件内置积分功能进行积分处理；对波数或角频率进行参数化扫描并计算特征值；根据求解得到的结果，计算被测波导结构的频散关系并绘制频散曲线。本发明可以计算横截面为任意形状的波导结构超声导波频散特性，且只需要构建结构的二维横截面的有限元模型，具有编程简单、计算量少、计算速度快的优点。
最后应说明的是：本发明不限于上述的特定实施例，对本领域技术人员来说能够进行各种明显的变化、重新调整和替代而不会脱离本发明的保护范围。因此，尽管本说明书参照上述的各个实施例对本发明已进行了详细的说明，但是不仅仅限于以上实施例，在不脱离本发明构思的情况下，还可以包括更多其他等效实施例，而本发明的范围由所附的权利要求范围决定。

Claims (3)

1.一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)假设超声导波沿任意横截面波导结构的纵向传播，将一维谐波位移解代入波动控制方程中，结合分部积分法和高斯散度定理，推导各向异性材料下任意横截面结构的波动控制方程的弱形式，具体包括如下：
对波动控制方程的强形式乘以测试函数vi，并在所需的域上积分，得到该方程的弱形式：
对上式进行分部积分后应用高斯散度定理，结合边界条件，弱公式可以定义如下：
上式中，在边界Γ上的积分趋向于0，所以波动控制方程的弱形式可简化为：
(2)在有限元软件中建立任意横截面结构的横截面二维模型，其尺寸应与实际结构的横截面尺寸一致；
(3)定义有限元求解所需的参数，包括材料属性、模型的几何尺寸以及波数和角频率；
(4)将波动控制方程弱形式中的被积函数转换为有限元软件中可读取的弱形式被积函数表达式，并写入有限元软件，利用弱形式偏微分方程模块中内置的方程积分功能进行积分处理；
(5)根据欲求解的最大频率判断单元尺寸并进行单元离散化；
(6)设置对波数或角频率的参数化扫描以搜索特征值，并根据所需的模态数量在特征值计算中设定所需特征值数；
(7)根据相速度公式Vp＝2πf/k和群速度公式Vg＝2πΔf/Δk，分别计算相速度和群速度并绘制频散曲线；
其中，f为频率，k为波数，Δf为同一模态下相邻频率点之差，Δk为相邻波数之差。
2.根据权利要求1所述一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，其特征在于：所述波导结构的横截面可为任意形状，超声导波沿结构纵向传播。
3.根据权利要求1所述一种计算任意横截面结构超声导波频散特性的方法，其特征在于，根据求解的最大频率范围判断单元尺寸，单元尺寸应满足：
其中，le单元尺寸，λmin为最小波长。
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