CN115659631A - 一种基于振幅包络的延展态的实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种在耦合振子系统中实现基于振幅包络的延展态的方法。通过在全局耦合振子网络中引入一个异质振子，当异质振子的频率失配和排斥耦合作用强度满足一定关系时，耦合振子的时序上会调制一振幅包络，可以实现在除异质振子外的其它全同振子的振幅包络之间产生延展态。通过引入极坐标表示，并利用存在异质振子时，其它全同振子之间的相位关系，理论分析小耦合强度下处于延展态的振幅包络的主要特征。结果表明，处于延展态的振幅包络平均值随耦合强度绝对值的增大而单调增加，振幅包络的振幅也随耦合强度绝对值的增大而增大。

Description

一种基于振幅包络的延展态的实现方法

技术领域

本发明属于非线性动力学中同步控制技术领域，涉及到耦合振子系统的建模、仿真和理论分析。

背景技术

近年来，耦合振子系统的同步动力学行为在物理、生物和工程领域都引起了强烈的关注。系统的许多功能和自组织行为均与各种各样的同步现象密切相关。在电子电路和生物学等实际系统中，耦合系统的同步动力学已经被广泛研究。然而，耦合振子系统在达到完全同步稳定性条件前，耦合全同振子之间会出现相位强相关性而产生延展态。即耦合振子系统之间的相位锁定，且相邻两个振子之间的相位差保持在2π/N，其中N为耦合振子总数。延展态在全局耦合全同神经元振子系统中被观察到，占萌等人在极弱耦合的混沌全同振子系统中观察到广义延展态。邹为等人则在耦合全同振子链中观察到了稳定的延展态。空间延展态被认为是同步失稳过程中产生的中间态，并与许多疾病密切相关，如痛性癫痫，耳鸣和帕金森氏病等。然而，实际系统中，总有一些振子与其它振子存在参数差异，当耦合振子系统中存在参数差异而产生频率失配时，耦合振子之间不仅存在相位相关性，其振幅也会产生一定的相关性而产生振幅包络，且相互作用的振子的振幅包络之间会出现同步现象。Gonzalez-Miranda等人在耦合范德玻振子中观察到包络同步现象。占萌等人则在两个耦合金兹堡－朗道振子中，发现小耦合作用下的振幅包络同步现象。此外，人们还发现语音的包络与神经元振子的包络之间存在同步现象。因此，对耦合振子系统中因参数失配产生的包络之间的相关性研究对理解生物系统的功能实现具有重要意义。

发明内容

1、发明目的

在耦合全同振子系统中，通过引入一个异质振子产生振幅包络，本发明提出一种在耦合振子系统中实现振幅包络的延展态的方法和相关理论。并确定振幅包络延展态的产生条件和主要特性。

2、技术方案

一种在耦合振子系统中产生振幅包络延展态的方法和相关理论，包括以下步骤:

第一步：构建N个全局耦合金兹堡－朗道振子的模型。

(1)式中，状态变量Z_i＝x_i+jy_i，j为纯虚数，ω_i表示第i个振子的固有频率。在没有耦合(ε＝0)的情况下，每个振子具有相同的振幅

当所有振子的参数ω_i＝ω₀时，耦合振子在排斥耦合作用(ε<0)下其时间序列表现为延展态。当在其中一个振子中引入异质参数，如ω₁＝ω₀+Δω时，通过计算各耦合振子之间的相位差，可以确定耦合振子系统处于相同步态(如图1的I区)和非锁相态(如图1的II区)的参数区间。

第二步：选取处于非锁相区(图1中的II区)的参数，此时耦合振子系统(1)中异质振子1和其他全同振子之间处于非锁相态。但每个振子的时序上调制了一个振幅包络，且相同振子的振幅包络间处于延展态，即有X_2E(t)＝X_3E(t+T/(N-1))＝…＝X_NE(t+N-2)T/(N-1))，其中X_iE(t)表示第i个振子的振幅包络(简写成X_iE)，T为振幅包络的周期。

令

将(1)式转化为极坐标形式，

当耦合强度ε＝0时，单个振子的时间序列的振幅值为

当加上小耦合强度时，调制在时间序列上的小振幅包络可以看作是加在时间序列上的小扰动

从而耦合振子的振幅可表示为

代入到方程(2)可得扰动的演化方程为：

第三步：求解相位差Δθ。

在小耦合强度ε下，相同振子的振幅可近似用平均振幅代替，即

i＝1,2,…,N，为了方便表示，将异质振子编号取1，其余振子按相位从小到大依次编号，则相同振子中，每个相邻振子对之间的相位差Δθ_i+1,i以及各个全同振子与异质振子1之间的相位差Δθ_i,1满足，

其中(5)式是一个阿德勒方程，它的解为

其中

[]表示取整数，T为包络的周期，有

当Δw＞＞2ε时，

Δθ_i,1(t)≈Δωt (7)

由式(5)可得两个相邻振子之间的相位差满足：

将方程(4)代入到公式(8)得

求解方程(9)得：

第四步：求解包络演化方程ρ_i。

把方程(4)和(7)带入方程(3)得到扰动的演化方程为

解方程(11)可得到扰动的解为

其中s_i为振子i的扰动项的均值，

因此，振幅包络的值可表示为：

其由振幅包络的均值

和振幅包络的振幅

组成。其中振幅包络的均值为：

振幅包络的振幅为

振幅包络的周期为：

以上就是包络的主要参数振幅、均值、周期的理论解析。

3.有益效果：

本发明将全局耦合周期振子系统转换成极坐标形式，然后得到振幅包络延展态的演化方程和相位差的演化方程，进而在小耦合作用情况下，可近似求解微分方程得到包络的理论表达式。从而得到不同参数空间下的包络延展态的主要参数特征如振幅，周期，平均振幅等。

附图说明

图1.N＝3时，全局耦合金兹堡－朗道振子的Δω～ε参数空间图,其中存在两种不同类型的动力学行为：区域I(锁相区)和II(非锁相区)。

图2.N＝3,Δω＝5,ε＝-2,a＝15时，(a)耦合振子2和3的时间序列x_2,3和其对应的振幅包络x_iE,i＝2,3图。(b)耦合振子2,3之间的相位差Δθ_3,2和耦合振子1,2之间的相位差Δθ_1,2随时间变化关系。

图3.振幅包络的主要参数如振幅、均值和周期的定义示意图。

图4.N＝3,a＝15时处于延展态的振幅包络的主要参数如振幅、均值和周期随耦合强度或频率失配的变化关系图，实线为理论结果，点线为数值计算结果)。(a)Δω＝15,25,35包络平均振幅

随着耦合强度ε的变化图。(b)ε＝-0.1,-0.5,-0.7包络振幅

随频率差Δω的变化图。(c)Δω＝15,25,35包络振幅

随耦合强度ε的变化图。(d)ε＝-0.5,-1.5,-2.5包络的周期随频率差Δω的变化图。

图5.N＝4,Δω＝5,ε＝-2,a＝15时，(a)耦合振子2,3,4的时间序列x_2,3,4和其对应的振幅包络x_iE,i＝2,3,4图。(b)耦合振子2,3之间的相位差之间的相位差Δθ_3,2,耦合振子2,4之间的相位差Δθ_4,2,耦合振子1,2之间的相位差Δθ_1,2随时间变化关系图。

图6.N＝4,a＝15时处于延展态的振幅包络的主要参数如振幅、均值和周期随耦合强度或频率失配的变化关系图，实现为理论结果，点线为数值计算结果)。(a)Δω＝15,25,35包络平均振幅

随着耦合强度ε的变化图。(b)ε＝-0.1,-0.5,-0.7包络振幅

随频率差Δω的变化图。(c)Δω＝15,25,35包络振幅

随耦合强度ε的变化图。(d)ε＝-0.5,-1.5,-2.5包络的周期随频率差Δω的变化图。

具体实施方式

下面结合实施实例和附图对本发明作进一步说明。

实施例1：N＝3时,含有一个异质振子的耦合金兹堡朗道振子的振幅包络的延展态实现。

对于公式(1)所给的全局耦合非全同朗道振子系统，当取参数N＝3,ω₀＝100,a＝15时，频率之差Δω和耦合强度ε取在如图1所示的非锁相区(II区),例如：Δω＝5,ε＝-2,，此时耦合振子系统中，全同振子(振子2,3)的时间序列和包络在图2(a)所示，振幅包络处于延展态，振子2,3的相位差Δθ_3,2和振子1,2的相位差Δθ_1,2随时间变化关系图2(b)所示，其中振子2,3的相位差在π附近做小幅振荡。

振幅包络的主要特征包络的平均值

和振幅

(如图3图示代表的量)随参数Δω和ε的变化关系可由公式(15)和(16)，代入N＝3得，全同振子2,3的振幅包络平均值为

全同振子2,3的振幅包络的振幅为：

全同振子2,3的振幅包络的周期为:

图4(a)中分别给出了数值计算和公式(18)所确定的振幅包络的平均值随耦合强度-ε的变化关系图，小耦合强度下,数值计算结果与公式(18)的结果吻合得较好。随着耦合强度ε的绝对值增加，平均振幅逐渐增大，而基本不受频率失配Δω的影响。图4(b)图中给出了不同耦合强度ε＝-0.1,-0.5,-0.7时，包络的振幅

随异质振子与全同振子之间的频率失配Δω变化的关系图的数值和理论结果。随着Δω增加，振幅包络的振幅逐渐减小。处于延展态的振幅包络的周期与频率失配成反比。

实施例2：N＝4时,含有一个异质振子的耦合金兹堡朗道振子的振幅包络的延展态实现。

对于公式(1)所给的全局耦合非全同朗道振子系统，当取参数N＝4,ω₀＝100,a＝15时，频率之差Δω和耦合强度ε取：Δω＝5,ε＝-2,，此时耦合振子系统中，全同振子(振子2,3,4)的时间序列和包络在图5(a)所示，显然振幅包络处于延展态。振子2,3的相位差Δθ_3,2,振子2,4的相位差Δθ_4,2,分别处于

附近做小幅振荡，而振子2,1之间的相位差Δθ_1,2随时间线性增加，如图5(b)所示。

振幅包络的主要特征包络的平均值

和振幅

(如图3图示代表的量)随参数Δω和ε的变化关系可由公式(15)和(16)，代入N＝4得，全同振子2,3,4的振幅包络平均值为

全同振子2,3,4的振幅包络的振幅为：

全同振子2,3,4的振幅包络的周期为:

图6(a)中分别给出了数值计算和公式(21)所确定的振幅包络的平均值随耦合强度-ε的变化关系图，小耦合强度下,数值计算结果与公式(21)的结果吻合得较好。随着耦合强度ε的绝对值增加，平均振幅逐渐增大，而基本不受频率失配Δω的影响。图6(b)图中给出了振幅包络的振幅

随异质振子与全同振子之间的频率失配Δω变化的关系图的数值和理论结果(公式(22))。随着Δω增加，振幅包络的振幅逐渐减小。耦合强度ε的绝对值越大，包络的振幅

越大。处于延展态的振幅包络的周期与频率失配成反比。

Claims (2)

1.一种在耦合振子系统中基于振幅包络的延展态的实现方法，其特征在于：通过在如(1)式中的全局耦合周期振子中引入一个异质振子，通过计算耦合振子的相位差，确定耦合振子的非锁相参数区间；将耦合振子中的异质振子的频率失配和排斥耦合作用强度选在耦合振子系统的非锁相区，则可实现除异质振子外的其它全同振子的振幅包络之间产生延展态。

2.如权利1要求所述的一种在耦合振子系统中基于振幅包络的延展态的实现方法，其特征在于通过以下步骤实现：

(S1)：构建N个全局耦合金兹堡－朗道振子的模型；

(1)式中，状态变量Z_i＝x_i+jy_i，j为纯虚数，ω_i表示第i个振子的固有频率；在没有耦合(ε＝0)的情况下，每个振子具有相同的振幅

当所有振子的参数ω_i＝ω₀时，耦合振子在排斥耦合作用(ε<0)下其时间序列表现为延展态；

(S2)：当在(S1)中的(1)式中的一个振子中引入异质参数，如ω₁＝ω₀+Δω时，使耦合振子之间存在参数失配Δω＝ω₂-ω₁，ε是耦合强度；利用四阶龙格库塔法求解方程(1)，并计算两个振子1,2的相位差Δθ(t)＝θ₂(t)-θ₁(t)，若

则系统处于相同步，若

则系统处于非锁相区，由此确定耦合系统在参数区Δω～ε的非锁相参数区；

(S3)：选取处于(S2)中所得到非锁相区(图2中的II区)的参数，此时耦合振子系统(1)中异质振子1和其他全同振子之间处于非锁相态；但每个振子的时序上调制了一个振幅包络，此时可以得到其中相同振子的振幅包络间处于延展态，即有X_2E(t)＝X_3E(t+T/(N-1))＝…＝X_NE(t+(N-2)T/(N-1))，其中X_iE(t)表示第i个振子的振幅包络，T为振幅包络的周期；

在小耦合强度下，利用极坐标变换和扰动分析，得出方程的解；通过方程的解得到耦合振子系统的包络演化方程表达式，从而理论上确定处于延展态的振幅包络的平均振幅、振幅、等参量；如权利要求2所述的理论上确定处于延展态的振幅包络的平均振幅、振幅、等参量的方法，其特征在于通过以下步骤实现：

(S4)：令

将(1)式转化为极坐标形式，

当耦合强度ε＝0时，单个振子的时间序列的振幅值为

当加上小耦合强度时，调制在时间序列上的小振幅包络可以看作是加在时间序列上的小扰动

(S5)：将耦合振子系统(2)中的振幅表示为

代入到方程(2)得到扰动

的演化方程为：

(S6)：求解耦合振子之间的相位差Δθ；

在小耦合强度ε下，相同振子的振幅可近似用平均振幅代替，即

为了方便表示，将异质振子编号取1，其余振子按相位从小到大依次编号，则相同振子中，每个相邻振子对之间的相位差表示为Δθ_i+1,i，各个全同振子与异质振子1之间的相位差表示为Δθ_i,1，数值计算结果表明：每个相邻振子对之间的相位差表示为Δθ_i+1,i满足关系式(4),

其中δ(t)为小幅振荡；基于(4)式的结果和采用平均振幅代替相同振子的振幅，则由(3)式可得到各个全同振子与异质振子1之间的相位差Δθ_i,1要满足

其中(5)式是一个阿德勒方程，它的解为

其中

[]表示取整数，T为包络的周期，有

当Δw＞＞2ε时，

由式(5)和式(3)可得两个相邻振子之间的相位差满足：

将方程(4)代入到公式(8)得到相邻振子相位差的小幅振荡δ(t)满足，

求解方程(9)得：

(S7)：求解包络演化方程ρ_i；

把方程(4)和(7)带入方程(3)得到扰动的演化方程为

解方程(11)可得到扰动

的解为

其中s_i为振子i的扰动项的均值，

因此，振幅包络的值可表示为：

其由振幅包络的均值

和振幅包络的振幅

组成，其中振幅包络的均值为：

振幅包络的振幅为

振幅包络的周期为：

以上就是包络的主要参数振幅、均值、周期的理论解析。

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