CN115631361A - 一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及图像聚类领域，公开了一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，该方法包括如下步骤：S1，获取图像数据；S2，通过低秩共识核学习、核空间下图像数据自表达和自适应超图正则化，迭代地构建超图和更新超图拉普拉斯矩阵、系数矩阵、共识核矩阵和候选核权重，直到达到收敛条件；S3，应用所述S2步骤得到的系数矩阵构造相似度矩阵；S4，应用所述S3步骤得到的相似度矩阵，调用谱聚类算法，得到聚类结果。本发明方法集成自适应超图正则化、核空间下数据自表达和低秩核学习到一个框架中，实现了三者的交替指导和动态提升，优化地利用了不同候选核下的样本关联性，挖掘了更稳定的高阶关系，从而更深层次地挖掘数据的内在结构。

Description

一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法

技术领域

本发明涉及一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，可用于模式识别中的图像聚类领域。

背景技术

图像数据的聚类分析具有广泛的研究和应用前景。在计算机视觉和模式识别领域，图像是一种最普遍的视觉信息呈现。图像数据通常是高维和非线性可分的，表现为包含大量冗余特征、分布更稀疏和包含至少一个具有非凸形状边界的簇。数据聚类作为一种基本的数据处理技术日益成熟，为解决图像数据的聚类问题提供了方法依据。谱聚类方法具有检测数据的复杂结构和处理非线性可分数据的能力，适用于图像数据的聚类。

度量数据对象之间的相似性对于谱聚类至关重要。谱聚类通过将数据对象和成对数据对象之间的相似度分别视为图的顶点和连接两个顶点的边的权重，将聚类问题转化为图划分问题。根据不同的度量相似度的方式，谱聚类方法主要分为基于距离的方法和基于表示的方法。基于距离的方法很难揭示非线性流形中数据对象之间的内在相似性和反映真实分布信息，对数据中的噪声损伤很敏感。基于表示的方法通过数据的自表达自动有效地度量数据对象之间的关系以提高聚类性能，引起了人们的极大关注。

但是，在处理复杂的真实世界的图像数据时，由于相关的基于表示的谱聚类方法的自表达属性不能够有效地保证空间近邻的数据对象在潜在的系数空间中也有相似表示，因此，它挖掘数据内在结构的能力有限。

发明内容

为了克服已有的聚类方法挖掘图像数据对象之间相似性关系的局限和聚类性能的不足，本发明提供了一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，通过在迭代过程中交替优化和求解，能够实现低秩共识核学习、核空间下数据自表达和自适应超图正则化三者的交替指导和动态提升，更深层次地挖掘数据对象之间的内在相似性关系，并用于非线性可分数据的聚类任务。其中，本发明提出的自适应超图，即自适应地融合候选核的近邻核来动态地构建概率超图，优化地利用了不同候选核下的样本关联性，挖掘了更稳定的高阶关系。

为了达到上述目的，本发明采用了下列技术方案：

一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，该方法包括如下步骤：

S1，获取图像数据；

S2，通过低秩共识核学习、核空间下图像数据自表达和自适应超图正则化，迭代地构建超图和更新超图拉普拉斯矩阵、系数矩阵、共识核矩阵和候选核权重，直到达到收敛条件；

S3，应用所述S2步骤得到的系数矩阵构造相似度矩阵；

S4，应用所述S3步骤得到的相似度矩阵，调用谱聚类算法，得到聚类结果。

优选地，在所述S1步骤中，假设图像数据为

n表示有n个数据对象，d表示数据对象的特征维度，将X中的每个数据对象看作一个顶点，顶点集为V＝{v₁,v₂,…,v_n}。

优选地，所述步骤S2的具体过程为：公式(1)所示模型能直接从图像数据中学得系数矩阵、共识核矩阵、候选核权重，模型如下：

其中，第一项是核空间下数据自表达约束项，第二项是系数矩阵的稀疏或低秩正则项，第三项是共识核学习约束项，第四项是共识核的低秩正则项，第五项是自适应超图正则项；

给定m个候选核矩阵，

是第r个候选核矩阵，

表示第r个候选核矩阵中第i行第j列的元素，

是系数矩阵，

是共识核矩阵，

是候选核权重向量，g_r是第r个候选核对应的权重，φ(X)表示未知的核映射函数，K＝φ(X)^Tφ(X)，‖·‖_F是Frobenius范数，第一项

可转化为

ρ(Z)为‖Z‖₁或‖Z‖_*，‖·‖₁和‖·‖_*分别是l₁范数和核范数，

是标准化的超图拉普拉斯矩阵，α、β、γ和δ是惩罚参数；

采用交替方向乘子法求解公式(1)中Z，K，g，步骤如下：首先在公式(1)中分离变量，引入变量

和

并添加相应的约束；然后重写公式(1)对应的增广拉格朗日函数：

其中，μ是惩罚参数，

和

是拉格朗日乘子；最后，为了获得最小化增广拉格朗日函数(2)的最优解Z^*，K^*，g^*，迭代更新Z，K，g，L_symH也随g自适应变化，并利用可行性误差更新拉格朗日乘子，当满足收敛条件时，迭代停止。

进一步地，所述迭代的具体过程为：设最大迭代次数为T，第t(0≤t≤T)次迭代的优化变量和拉格朗日乘子分别为{Z^(t),K^(t),g^(t),L_symH ^(t),J^(t),W^(t)}和{Y₁ ^(t),Y₂ ^(t)}，初始化g⁽⁰⁾＝1，初始化Z⁽⁰⁾和J⁽⁰⁾为单位矩阵，初始化K⁽⁰⁾，W⁽⁰⁾，

Y₁ ⁽⁰⁾和Y₁ ⁽⁰⁾为零矩阵，从{1e-5,1e-3,0.1,10,1e3,1e5}范围中初始化μ⁽⁰⁾，参数的具体迭代过程如下：

S21，固定g^(t)，更新L_symH ^(t+1)的过程如下：

加权融合候选核的近邻核：

其中，H_r(i,j)表示第r个候选核的近邻核矩阵H_r中第i行第j列的元素，N_k(i)表示数据对象i的k个近邻集合，G为加权融合后的矩阵；

构建超图，超图

包含顶点集V＝{v₁,v₂,…,v_n}和超边集ε＝{e₁,e_j,…,e_n}，通过关联矩阵H^(t)和超边权重矩阵W^(t)刻画：

其中，H(v_i,e_j)是关联矩阵H中第i行第j列的元素，表示顶点v_i与超边e_j之间的相似度，超边权重矩阵W是一个对角矩阵，w(e_j)是W中第j行第j列的元素，表示超边e_j的权重，G_ij表示矩阵G中第i行第j列的元素，

是矩阵

中第i行第j列的元素；

更新L_symH ^(t+1)：

其中，D_e和D_v分别为包含所有超边的度和包含所有顶点的度的对角矩阵，超边e_j的度

顶点v_i的度

S22，固定L_symH ^(t+1)，K^(t)，J^(t)，Y₁ ^(t)和μ^(t)，更新Z^(t+1)：

Z^(t+1)＝(K^(t)+μ^(t)I+2δL_symH ^(t+1))^-1(K^(t)+μ^(t)J^(t)+Y₁ ^(t)),#(8)

令Z^(t+1)中小于0的元素为0：

Z^(t+1)＝max(Z^(t+1),0),#(9)

S23，固定Z^(t+1)，g^(t)，W^(t)，μ^(t)和Y₂ ^(t)，更新K^(t+1)：

令K^(t+1)中小于0的元素为0：

K^(t+1)＝max(K^(t+1),0),#(11)

S24，固定Z^(t+1)，μ^(t)和Y₁ ^(t)，更新J^(t+1)：

若ρ(J)＝‖J‖₁，则：

若ρ(J)＝‖J‖_*，则：

其中，

C_ij是矩阵C中第i行第j列的元素，U^(t)、V^(t)和σ^(t)分别是对应于C^(t)的奇异值分解的左奇异向量、右奇异向量和奇异值；

令J^(t+1)中小于0的元素为0：

J^(t+1)＝max(J^(t+1),0),#(14)

S25，固定K^(t+1)，μ^(t)和Y₂ ^(t)，更新W^(t+1)：

其中，

和

分别是对应于D^(t)的奇异值分解的左奇异向量、右奇异向量和奇异值；

令W^(t+1)中小于0的元素为0：

W^(t+1)＝max(W^(t+1),0),#(16)

S26，固定K^(t+1)，更新g^(t+1)：

求解g^(t+1)的优化问题变为求解一个带有线性约束的二次规划问题，可利用存在的MATLAB函数quadprog求解；

S27，更新拉格朗日乘子Y₁ ^(t+1)，Y₂ ^(t+1)和μ^(t+1)：

Y₁ ^(t+1)＝Y₁ ^(t)+μ^(t)(J-Z),#(17)

Y₂ ^(t+1)＝Y₂ ^(t)+μ^(t)(W-K),#(18)

μ^(t+1)＝min(μ_max,τμ^(t)),#(19)

其中，τ根据经验调整，μ_max是μ被允许的最大值；

S28，判断是否达到迭代停止条件，迭代停止条件为：

其中，ε为阈值，若达到迭代停止条件，则得到最终的Z^*，K^*，g^*，否则继续执行S21-S28。

优选地，在所述S3步骤中，应用所述S2步骤得到的系数矩阵构造相似度矩阵为：

S＝|Z|+|Z|^T.#(21)

优选地，所述S4步骤具体为：把相似度矩阵作为谱聚类算法的输入，调用谱聚类算法，得到聚类结果。

与现有技术相比本发明具有以下优点：

本发明的方法不同于已有的基于表示的谱聚类方法，本方法融合低秩核学习和自适应超图获得相似度矩阵从而进行谱聚类，其特色和创新主要在于：1)本发明提出集成自适应超图正则化、数据自表达和低秩核学习到一个统一的目标函数中，交替优化和求解，实现了三者的交替指导和动态提升，可更深层次地挖掘数据的内在相似性关系，并用于非线性可分数据的聚类任务；2)本发明提出自适应地融合候选核的近邻核来动态地构建概率超图，优化地利用了不同候选核下的样本关联性，挖掘了更稳定的高阶关系；3)与传统的基于表示的谱聚类方法和基于核的谱聚类方法相比，本发明更能有效地挖掘非线性可分数据之间的内在相似性关系，提升聚类性能。

附图说明

图1是使用本发明方法对图像数据进行聚类的工作流程图。

具体实施方式

本发明的目的、优点和特点，将通过下面优选实施例的非限制性说明进行图示和解释。这些实施例仅是应用本发明技术方案的典型范例，凡采取等同替换或者等效变换而形成的技术方案，均落在本发明要求保护的范围之内。

本发明揭示了一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，如图1所示，该方法包括如下步骤：

S1，获取图像数据；假设图像数据为

n表示有n个数据对象，d表示数据对象的特征维度，将X中的每个数据对象看作一个顶点，顶点集为V＝{v₁,v₂,…,v_n}；

S2，通过低秩共识核学习、核空间下图像数据自表达和自适应超图正则化，迭代地构建超图和更新超图拉普拉斯矩阵、系数矩阵、共识核矩阵和候选核权重，直到达到收敛条件；具体过程为：

公式(1)所示模型能直接从图像数据中学得系数矩阵、共识核矩阵、候选核权重，模型如下：

其中，第一项是核空间下数据自表达约束项，第二项是系数矩阵的稀疏或低秩正则项，第三项是共识核学习约束项，第四项是共识核的低秩正则项，第五项是自适应超图正则项；

给定m个候选核矩阵，

是第r个候选核矩阵，

表示第r个候选核矩阵中第i行第j列的元素，

是系数矩阵，

是共识核矩阵，

是候选核权重向量，g_r是第r个候选核对应的权重，φ(X)表示未知的核映射函数，K＝φ(X)^Tφ(X)，‖·‖_F是Frobenius范数，第一项

可转化为

ρ(Z)为‖Z‖₁或‖Z‖_*，‖·‖₁和‖·‖_*分别是l₁范数和核范数，

是标准化的超图拉普拉斯矩阵，α、β、γ和δ是惩罚参数；

采用交替方向乘子法求解公式(1)中Z，K，g，步骤如下：首先在公式(1)中分离变量，引入变量

和

并添加相应的约束；然后重写公式(1)对应的增广拉格朗日函数：

其中，μ是惩罚参数，

和

是拉格朗日乘子；最后，为了获得最小化增广拉格朗日函数(2)的最优解Z^*，K^*，g^*，迭代更新Z，K，g，L_symH也随g自适应变化，并利用可行性误差更新拉格朗日乘子，当满足收敛条件时，迭代停止。

进一步地，所述迭代的具体过程为：设最大迭代次数为T，第t(0≤t≤T)次迭代的优化变量和拉格朗日乘子分别为{Z^(t),K^(t),g^(t),L_symH ^(t),J^(t),W^(t)}和{Y₁ ^(t),Y₂ ^(t)}，初始化g⁽⁰⁾＝1，初始化Z⁽⁰⁾和J⁽⁰⁾为单位矩阵，初始化K⁽⁰⁾，W⁽⁰⁾，

Y₁ ⁽⁰⁾和Y₁ ⁽⁰⁾为零矩阵，从{1e-5,1e-3,0.1,10,1e3,1e5}范围中初始化μ⁽⁰⁾，参数的具体迭代过程如下：

S21，固定g^(t)，更新L_symH ^(t+1)的过程如下：

加权融合候选核的近邻核：

其中，H_r(i,j)表示第r个候选核的近邻核矩阵H_r中第i行第j列的元素，N_k(i)表示数据对象i的k个近邻集合，G为加权融合后的矩阵；

构建超图，超图

包含顶点集V＝{v₁,v₂,…,v_n}和超边集ε＝{e₁,e_j,…,e_n}，通过关联矩阵H^(t)和超边权重矩阵W^(t)刻画：

其中，H(v_i,e_j)是关联矩阵H中第i行第j列的元素，表示顶点v_i与超边e_j之间的相似度，超边权重矩阵W是一个对角矩阵，w(e_j)是W中第j行第j列的元素，表示超边e_j的权重，G_ij表示矩阵G中第i行第j列的元素，

是矩阵

中第i行第j列的元素；

更新L_symH ^(t+1)：

其中，D_e和D_v分别为包含所有超边的度和包含所有顶点的度的对角矩阵，超边e_j的度

顶点v_i的度

S22，固定L_symH ^(t+1)，K^(t)，J^(t)，Y₁ ^(t)和μ^(t)，更新Z^(t+1)：

Z^(t+1)＝(K^(t)+μ^(t)I+2δL_symH ^(t+1))^-1(K^(t)+μ^(t)J^(t)+Y₁ ^(t)),#(8)

令Z^(t+1)中小于0的元素为0：

Z^(t+1)＝max(Z^(t+1),0),#(9)

S23，固定Z^(t+1)，g^(t)，W^(t)，μ^(t)和Y₂ ^(t)，更新K^(t+1)：

令K^(t+1)中小于0的元素为0：

K^(t+1)＝max(K^(t+1),0),#(11)

S24，固定Z^(t+1)，μ^(t)和Y₁ ^(t)，更新J^(t+1)：

若ρ(J)＝‖J‖₁，则：

若ρ(J)＝‖J‖_*，则：

其中，

C_ij是矩阵C中第i行第j列的元素，U^(t)、V^(t)和σ^(t)分别是对应于C^(t)的奇异值分解的左奇异向量、右奇异向量和奇异值；

令J^(t+1)中小于0的元素为0：

J^(t+1)＝max(J^(t+1),0),#(14)

S25，固定K^(t+1)，μ^(t)和Y₂ ^(t)，更新W^(t+1)：

其中，

和

分别是对应于D^(t)的奇异值分解的左奇异向量、右奇异向量和奇异值；

令W^(t+1)中小于0的元素为0：

W^(t+1)＝max(W^(t+1),0),#(16)

S26，固定K^(t+1)，更新g^(t+1)：

求解g^(t+1)的优化问题变为求解一个带有线性约束的二次规划问题，可利用存在的MATLAB函数quadprog求解；

S27，更新拉格朗日乘子Y₁ ^(t+1)，Y₂ ^(t+1)和μ^(t+1)：

Y₁ ^(t+1)＝Y₁ ^(t)+μ^(t)(J-Z),#(17)

Y₂ ^(t+1)＝Y₂ ^(t)+μ^(t)(W-K),#(18)

μ^(t+1)＝min(μ_max,τμ^(t)),#(19)

其中，τ根据经验调整，μ_max是μ被允许的最大值；

S28，判断是否达到迭代停止条件，迭代停止条件为：

其中，ε为阈值，若达到迭代停止条件，则得到最终的Z^*，K^*，g^*，否则继续执行S21-S28。

S3，应用所述S2步骤得到的系数矩阵构造相似度矩阵：

S＝|Z|+|Z|^T.#(21)

S4，应用所述步骤S3得到的相似度矩阵，把相似度矩阵作为谱聚类算法的输入，调用谱聚类算法，得到聚类结果。

性能对比：

将本发明的一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法在JAFFE人脸图像数据集和COIL20目标图像数据集上进行实验，使用聚类评估指标评估本发明的方法和对比聚类方法的聚类性能，进行对比分析。

具体地，JAFFE数据集包含213张照片，为10名日本女性在实验环境下根据指示分别做出七种表情(包括悲伤、快乐、生气、厌恶、惊讶、恐惧和中性)，并由照相机拍摄人脸表情，每种表情大概有3或4张样片。COIL20数据集包含1440张图片，为20个物体被从不同角度拍摄(每隔5度拍摄一张图片)，每个物体有72张图片。实验用的JAFFE数据集和COIL20数据集的特征维度分别为676和1024。

在相同的实验设置下，选取了8个相关的具有代表性的聚类方法作为对比方法(K-means、Normalized cut(Ncut)、Sparse Subspace Clustering(SSC)、Least SquaresRegression(LSR)、Low-Rank Representation(LRR)、Single Kernel-based LearningMethod(SKLM)、Multiple Kernel-based Learning Method(MKLM)和Low-rank KernelLearning for Graph Matrix(LKG))，与本发明的方法Joint Low-rank Consensus KernelLearning and Adaptive Probabilistic Hypergraph Regularization for SpectralClustering(LKHR)进行对比实验，LKGs和LKGr分别代表ρ(Z)＝‖Z‖₁和ρ(Z)＝‖Z‖_*情况下的LKG方法，LKHRs和LKHRr分别代表ρ(Z)＝‖Z‖₁和ρ(Z)＝‖Z‖_*情况下的LKHR方法。

使用两个被广泛使用的聚类评估指标Accuracy(ACC)和Normalized MutualInformation(NMI)来度量算法的性能，表中的每个方法对应的聚类评估指标数值为100次聚类的平均值，表中的SKLM方法对应的聚类评估指标数值为多个单核(线性核、多项式核和高斯核)下的平均值(最大值，最小值)。

实验结果如下：

表一：JAFFE数据集上各种方法的实验结果

表二：COIL20数据集上各种方法的实验结果

方法	ACC	NMI
			K-means	0.65	0.76
Ncut	0.85	0.91
			SSC	0.72	0.86
LSR	0.68	0.77
			LRR	0.66	0.78
SKLM	0.75(0.9,0.66)	0.84(0.94,0.76)
			MKLM	0.74	0.82
LKGs	0.78	0.91
			LKGr	0.79	0.85
LKHRs	0.92	0.96
			LKHRr	0.92	0.96

本发明提出集成自适应超图正则化、数据自表达和低秩核学习到一个统一的目标函数中，交替优化和求解，实现了三者的交替指导和动态提升，更深层次地挖掘数据的内在相似性关系，并用于非线性可分数据的聚类任务。并且，本发明提出自适应地融合候选核的近邻核来动态地构建概率超图，优化地利用了不同候选核下的样本关联性，挖掘了更稳定的高阶关系。实验中使用聚类指标Accuracy(ACC)和Normalized Mutual Information(NMI)来度量算法的聚类性能。表一和表二的结果显示了本发明提出的方法的聚类性能优于其他对比的聚类方法，表明本发明方法可以显著提高图像数据的聚类性能。

本发明尚有多种实施方式，凡采用等同变换或者等效变换而形成的所有技术方案，均落在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：

S1，获取图像数据；

S2，通过低秩共识核学习、核空间下图像数据自表达和自适应超图正则化，迭代地构建超图和更新超图拉普拉斯矩阵、系数矩阵、共识核矩阵和候选核权重，直到达到收敛条件；

S3，应用所述S2步骤得到的系数矩阵构造相似度矩阵；

S4，应用所述S3步骤得到的相似度矩阵，调用谱聚类算法，得到聚类结果。

2.根据权利要求1所述的一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，其特征在于：在所述S1步骤中，假设图像数据为

n表示有n个数据对象，d表示数据对象的特征维度，将X中的每个数据对象看作一个顶点，顶点集为V＝{v₁,v₂,…,v_n}。

3.根据权利要求1所述的一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，其特征在于，所述步骤S2的具体过程为：

公式(1)所示模型能直接从图像数据中学得系数矩阵、共识核矩阵、候选核权重，模型如下：

其中，第一项是核空间下数据自表达约束项，第二项是系数矩阵的稀疏或低秩正则项，第三项是共识核学习约束项，第四项是共识核的低秩正则项，第五项是自适应超图正则项；

给定m个候选核矩阵，

是第r个候选核矩阵，

表示第r个候选核矩阵中第i行第j列的元素，

是系数矩阵，

是共识核矩阵，

是候选核权重向量，g_r是第r个候选核对应的权重，φ(X)表示未知的核映射函数，K＝φ(X)^Tφ(X)，‖·‖_F是Frobenius范数，第一项

可转化为

ρ(Z)为‖Z‖₁或‖Z‖_*，‖·‖₁和‖·‖_*分别是l₁范数和核范数，

是标准化的超图拉普拉斯矩阵，α、β、γ和δ是惩罚参数；

采用交替方向乘子法求解公式(1)中Z，K，g，步骤如下：首先，在公式(1)中分离变量，引入变量

和

并添加相应的约束；然后，重写公式(1)对应的增广拉格朗日函数：

其中，μ是惩罚参数，

和

是拉格朗日乘子；最后，为了获得最小化增广拉格朗日函数(2)的最优解Z^*，K^*，g^*，迭代更新Z，K，g，L_symH也随g自适应变化，并利用可行性误差更新拉格朗日乘子，当满足收敛条件时，迭代停止。

4.根据权利要求3所述的一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，其特征在于，所述S3步骤中，应用所述S2步骤得到的系数矩阵构造相似度矩阵为：

S＝|Z|+|Z|^T.#(3)。

5.根据权利要求3所述的一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，其特征在于，所述迭代的具体过程为：设最大迭代次数为T，第t(0≤t≤T)次迭代的优化变量和拉格朗日乘子分别为{Z^(t),K^(t),g^(t),L_symH ^(t),J^(t),W^(t)}和{Y₁ ^(t),Y₂ ^(t)}，初始化g⁽⁰⁾＝1，初始化Z⁽⁰⁾和J⁽⁰⁾为单位矩阵，初始化K⁽⁰⁾，W⁽⁰⁾，

Y₁ ⁽⁰⁾和Y₁ ⁽⁰⁾为零矩阵，从{1e-5,1e-3,0.1,10,1e3,1e5}范围中初始化μ⁽⁰⁾，参数的具体迭代过程如下：

S21，固定g^(t)，更新L_symH ^(t+1)的过程如下：

加权融合候选核的近邻核：

其中，H_r(i,j)表示第r个候选核的近邻核矩阵H_r中第i行第j列的元素，N_k(i)表示数据对象i的k个近邻集合，G为加权融合后的矩阵；

构建超图，超图

包含顶点集V＝{v₁,v₂,…,v_n}和超边集

通过关联矩阵H^(t)和超边权重矩阵W^(t)刻画：

其中，H(v_i,e_j)是关联矩阵H中第i行第j列的元素，表示顶点v_i与超边e_j之间的相似度，超边权重矩阵W是一个对角矩阵，w(e_j)是W中第j行第j列的元素，表示超边e_j的权重，G_ij表示矩阵G中第i行第j列的元素，

是矩阵

中第

行第

列的元素；

更新L_symH ^(t+1)：

其中，D_e和D_v分别为包含所有超边的度和包含所有顶点的度的对角矩阵，超边e_j的度

顶点v_i的度

S22，固定L_symH ^(t+1)，K^(t)，J^(t)，Y₁ ^(t)和μ^(t)，更新Z^(t+1)：

Z^(t+1)＝(K^(t)+μ^(t)I+2δL_symH ^(t+1))^-1(K^(t)+μ^(t)J^(t)+Y₁ ^(t)),#(9)

令Z^(t+1)中小于0的元素为0：

Z^(t+1)＝max(Z^(t+1),0),#(10)

S23，固定Z^(t+1)，g^(t)，W^(t)，μ^(t)和Y₂ ^(t)，更新K^(t+1)：

令K^(t+1)中小于0的元素为0：

K^(t+1)＝max(K^(t+1),0),#(12)

S24，固定Z^(t+1)，μ^(t)和Y₁ ^(t)，更新J^(t+1)：

若ρ(J)＝‖J‖₁，则：

若ρ(J)＝‖J‖_*，则：

其中，

C_ij是矩阵C中第i行第j列的元素，U^(t)、V^(t)和σ^(t)分别是对应于C^(t)的奇异值分解的左奇异向量、右奇异向量和奇异值；

令J^(t+1)中小于0的元素为0：

J^(t+1)＝max(J^(t+1),0),#(15)

S25，固定K^(t+1)，μ^(t)和Y₂ ^(t)，更新W^(t+1)：

其中，

和

分别是对应于D^(t)的奇异值分解的左奇异向量、右奇异向量和奇异值；

令W^(t+1)中小于0的元素为0：

W^(t+1)＝max(W^(t+1),0),#(17)

S26，固定K^(t+1)，更新g^(t+1)：

求解g^(t+1)的优化问题变为求解一个带有线性约束的二次规划问题，可利用存在的MATLAB函数quadprog求解；

S27，更新拉格朗日乘子Y₁ ^(t+1)，Y₂ ^(t+1)和μ^(t+1)：

Y₁ ^(t+1)＝Y₁ ^(t)+μ^(t)(J-Z),#(18)

Y₂ ^(t+1)＝Y₂ ^(t)+μ^(t)(W-K),#(19)

μ^(t+1)＝min(μ_max,τμ^(t)),#(20)

其中，τ根据经验调整，μ_max是μ被允许的最大值；

S28，判断是否达到迭代停止条件，迭代停止条件为：

其中，ε为阈值，若达到迭代停止条件，则得到最终的Z^*，K^*，g^*，否则继续执行S21-S28。

6.根据权利要求1所述的一种融合低秩核学习和自适应超图的图像聚类方法，其特征在于，所述S4步骤具体为：把相似度矩阵作为谱聚类算法的输入，调用谱聚类算法，得到聚类结果。

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