CN115502981A - 一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于铣削加工相关技术领域，其公开了一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，该方法包括以下步骤：(1)通过锤击法计算获得机器人末端动柔度随激励方向的分布模型，即动柔度双球模型；(2)基于动柔度双球模型推导得到铣削振动随进给角度的分布模型，基于铣削振动随进给角度的分布模型及动柔度双球的大小与方向计算得到铣削振动随进给方向的分布，进而挑选出最优进给方向。本发明能够为铣削机器人优化进给方向从而减小振动提供指导。
Description
技术领域
本发明属于铣削加工相关技术领域，更具体地，涉及一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法。
背景技术
铣削机器人由于其灵活性和大工作范围在大型结构件的加工中应用广泛，但加工时振动限制了其精度和效率，且损害主轴和刀具。进给方向优化是机器人铣削策略规划的重要一环，传统关于机器人铣削进给方向优化的技术大都关注机器人刚度或铣削稳定性，对铣削振动的关注不足。
如Chen等人2019年研究了铣削机器人末端静刚度的方向分布规律，通过刚度指标来优化进给方向；Tunc等人2017年分析了机器人铣削稳定性与进给方向的关系，以稳定性最大化来优化进给方向。2018年，Karim等人通过实验分析了不同进给方向下的机器人铣削振动及加工质量，但只是通过多次实验开展了分析，并没有涉及建模优化。总的来说，通过理论模型来优化机器人进给方向以减小铣削振动的技术仍是空白。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，所述优化方法通过锤击法计算获得机器人刀具中心点(TCP)处的动柔度双球，然后计算铣削力频域幅值并根据铣削力激励频率挑选主要模态，基于铣削振动随进给角度的分布模型计算得到不同进给角度下的振幅，并挑选振幅最小的进给角度即为最优进给方向，以能够为铣削机器人优化进给方向从而减小振动提供指导。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，该方法主要包括以下步骤：
(1)通过锤击法计算获得机器人末端动柔度随激励方向的分布模型，即动柔度双球模型，该动柔度双球模型的数学表达式为：
式中，
是单位矢量；TCP的相对动柔度是两个半径为1/2的球面，球心分别为
和
以点的位置矢量表示TCP受激方向，点的坐标为ei＝[exi eyi ezi]T；αi为激励与
所成的夹角；
(2)基于动柔度双球模型推导得到铣削振动随进给角度的分布模型，基于铣削振动随进给角度的分布模型及动柔度双球的大小与方向计算得到铣削振动随进给方向的分布，进而挑选出最优进给方向。
进一步地，选振幅最小的进给角度即为最优进给方向。
进一步地，计算αi方向激励下的TCP最大动柔度Hi,χ(ω,αi)和TCP模态振动方向
对应的公式为：
通过模态分析获得TCP在X0、Y0、Z0方向的第i阶模态的动柔度
进而将Hi,χ(ω,αi)推广到任意方向即可获得动柔度双球。
进一步地，χi与pi是固定的比例关系，表示为：
χi＝|Jui|pi＝|Jui|Xiejωt:＝Xi,χejωt
式中，pi为第i阶模态响应，TCP的响应的大小和方向用单个变量来表示，记为χi；pi＝Xiejωt，F和Xi都是复数，j是虚数单位，ω是激励和响应的角频率；|Jui|视作常数，ui是第i阶模态向量，J表示TCP与机器人关节之间力和速度映射关系的雅克比矩阵；Xi,χ为第i阶模态下TCP在模态分析响应的幅值。
进一步地，第i阶模态下TCP模态振动方向的动柔度Hi,χ(ω,αi)为：
其中，Hi(ω,αi)＝Hi(ω,0)cosαi表示了激励与
成夹角αi和与
同向时的动柔度之间的关系，
激励与
共线时的动柔度最大。
进一步地，Hi,χ(ω,αi)的幅值关于激励方向的分布同样是双球形，Hi,χ(ω,αi)的双球形状并不要求响应点与激励点相同。
进一步地，铣削振动随进给角度的分布模型的数学表达式为：
其中，
Hi,χ(ωl)即为Hi,χ(ωl,0)。
进一步地，进给坐标系CSF中的三向铣削力FX、FY、FZ表示为：
其中l∈N，ωl＝lωo，ωo表示铣削力的基频；采用θ表示进给角度，根据动柔度双球计算的激励在XF、YF、ZF方向时关于第i阶模态的动柔度分别记作
where
进一步地，FXl、FYl、FZl作用下第i阶模态相关的振动位移χi,l为：
将铣削力考虑为旋转向量形式：
其中只有实部有意义，χi,l随
的分布是一个偏置为
以RFYl和RFXl为非正交基的椭圆，椭圆上的点到原点的距离就是相应
时的χi,l的幅值，即振幅Ai,l。
进一步地，在三维笛卡尔坐标系中，以点的位置矢量表示TCP受激方向，以点到原点的距离表示第i阶模态下相应的动柔度与最大动柔度的幅值比，称作相对动柔度；记点的坐标为ei＝[exi eyi ezi]T，
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法主要具有以下有益效果：
1.建立了动柔度双球分布模型以及铣削振动随进给角度的分布模型，通过选择最优进给方向，在部分工况下能够减小铣削振动4倍以上。
2.基于动柔度双球建立了铣削振动随进给角度的分布模型，其显示机器人模态下的铣削振动幅值随进给角度呈偏心非正交基椭圆分布，其中对应振幅最小的进给角度即最优进给方向，进而基于此选择最优进给方向，且本方法能够为铣削机器人优化进给方向从而减小振动提供指导。
附图说明
图1是本发明提供的一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法的流程示意图；
图2是TCP动柔度双球的示意图；
图3是刀具坐标系CST、进给坐标系CSF与动柔度双球的几何关系示意图；
图4是l倍频铣削力作用下第i阶模态的振动位移χi,l的示意图；
图5是各阶模态的频响曲线图；
图6中的(a)、(b)、(c)、(d)分别是进给角度相关的铣削振动预测结果图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
本发明提供了一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，所述方法通过锤击法计算获得机器人刀具中心点(TCP)处的动柔度双球，然后计算铣削力频域幅值并根据铣削力激励频率挑选主要模态，基于铣削振动随进给角度的分布模型计算得到不同进给角度下的振幅，并挑选振幅最小的进给角度为最优进给方向。
请参阅图1，所述优化方法主要包括以下步骤：
步骤一，通过锤击法计算获得机器人末端动柔度随激励方向的分布模型，即动柔度双球模型，该动柔度双球模型的数学表达式为：
式中，
是单位矢量；TCP的相对动柔度是两个半径为1/2的球面，球心分别为
和
以点的位置矢量表示TCP受激方向，点的坐标为ei＝[exi eyi ezi]T；αi为激励与
所成的夹角。
结合铣削机器人末端模态振动的方向性，建立铣削机器人末端的动柔度随激励方向的分布模型，即动柔度双球模型。
铣削机器人的线性化动力学模型的表达式为：
式中，M、C、K分别是对称的质量、阻尼、刚度矩阵，维度为n×n，其中n是机器人的轴数，q是关节角位移响应向量，τ是关节输入扭矩向量，维度都是n×1。
将公式(1)解耦到模态空间：
式中，U是模态矩阵，
都是对角矩阵，可分别表示为
模态坐标p＝UTq。
根据已被解耦的公式(2)来单独考察第i阶模态，其相关的动力学方程表示为：
其中pi是第i个模态坐标，即p的第i个元素；ui是第i阶模态向量，即U的第i列。
由机器人静力学和运动学可知：
τ＝JTf (4)
其中J表示TCP与机器人关节之间力和速度映射关系的雅克比矩阵，维度是6×n；f为TCP处的受力矢量，
表示机器人以第i阶模态振型发生振动时TCP的速度矢量，维度都是6×1，它们表示在机器人基坐标系CS0(O0-X0-Y0-Z0)中。
J受到机器人轴配置的支配。显然的是，机器人铣削受迫振动对轴配置的影响微乎其微，而在机器人铣削作业时，在振动周期的时间尺度上轴配置可以看作恒定，因此J在这里可以看作常数矩阵。继而公式(5)可以转换成其积分形式：
xi＝Juipi (6)
将xi单位化，就得到了机器人以第i阶模态振型发生振动时TCP的振动方向
第i阶模态相关的动力学方程可由公式(3)、(4)、(7)变化为如下形式：
将其右侧的内积
改变形式：
其中，
公式(9)的右侧表示第i阶模态相关的激励力大小，|Jui|可视作常数；αi表示
和f的夹角，αi∈[0,π]。显然，此激励力大小不仅与f的大小有关，还受到f方向的影响。当f与TCP模态振动方向
同向时，cosαi＝1，|f|不受损失地全部作用在第i阶模态上，当f与
垂直时，cosαi＝0，|f|完全不能使第i阶模态产生响应，此时pi＝0。
观察公式(8)和公式(9)，上述可以简单的归纳为：f对第i阶模态的实际作用部分等于其映射在
上的分量。
假设f具备固定方向、特定频率、幅值和相位，其值记为Fejωt，则i阶模态响应可以记为pi＝Xiejωt(注意其只有实部有意义)。F和Xi都是复数，j是虚数单位，ω是激励和响应的角频率，则第i阶模态的动柔度(即频响函数)Hi(ω,αi)表示为：
其中
和
分别是第i阶模态的角频率和阻尼比。显然，在第i阶模态的动态特性包括动力学参数和振型，确定后，Hi(ω,αi)就成了ω和αi相关的函数。
从公式(11)可以获得任意两个方向激励时的动柔度之间的关系为：
Hi(ω,αi)cosβi＝Hi(ω,βi)cosαi (12)
其中βi和αi一样也表示f与
的夹角，这说明在给定某个方向的动柔度后，可以计算同频激励时另一个方向的动柔度。
令βi＝0，公式(12)即变为：
Hi(ω,αi)＝Hi(ω,0)cosαi (13)
公式(13)表示了激励与
成夹角αi和与
同向时的动柔度之间的关系。显然
其含义是激励与
共线时的动柔度最大。
为了清晰地展示动柔度随方向的分布，下面将推导任意方向激励时的动柔度大小并将其绘制出。从公式(13)可以看出，Hi(ω,αi)和Hi(ω,0)的相位随着αi的变化相同或相反，这很容易判断。因此下面只关注他们幅值的关系。另外，机器人铣削中的末端误差主要体现在刀尖的平动而不是转动上，并且在一般的端铣中，铣削激励也只考虑力而不考虑力矩。因此在后面将忽略TCP的所受的力矩和转动响应。
在三维笛卡尔坐标系中，以点的位置矢量表示TCP受激方向，以点到原点的距离表示第i阶模态下相应的动柔度与最大动柔度的幅值比，称作相对动柔度。记点的坐标为ei＝[exi eyi ezi]T，则根据上述条件有：
其中
是单位矢量，结合公式(14)和公式(15)可得：
将所有方向的点ei绘制出来，结果如图2所示，由公式(16)可以知道，TCP的相对动柔度是两个半径为1/2的球面，球心为
和
将两个球心连线称作双球的轴线，其与TCP模态振动同向。从图中可以直观地看出TCP模态振动方向的相对动柔度最大，而当激励落在与之垂直的面上时相对动柔度为零。事实上，考虑6维力和6维位移时，末端动柔度的分布为6维双球，但这不方便可视化，且考虑力矩和角位移对铣削意义不大，因此只展示了考虑线力和线位移的结果。
上述关于动柔度的分析都是关于第i阶模态响应pi的。事实上，由于铣削机器人以第i阶模态振型振动时TCP只在
方向有响应，因此TCP的响应的大小和方向可以用单个变量来表示，记为χi，根据公式(6)可以清晰的看到χi与pi是固定的比例关系，表示如下：
χi＝|Jui|pi＝|Jui|Xiejωt:＝Xi,χejωt (17)
结合公式(11)可以得到第i阶模态下TCP模态振动方向的动柔度Hi,χ(ω,αi)：
显然，由于Hi,χ(ω,αi)与Hi(ω,αi)的固定比例关系，公式(12)、(13)、(15)、(16)表示的结论对Hi,χ(ω,αi)同样成立，即Hi,χ(ω,αi)的幅值关于激励方向的分布同样是双球形。同时，由于模态振动方向的响应χi与其他任意方向的响应是固定比例关系，其他方向的动柔度关于激励方向同样是双球形分布。值得注意的是，Hi,χ(ω,αi)的双球形状并不要求响应点与激励点相同，即公式(17)和公式(18)对于另一个机器人末端点同样成立，只不过需要相应的调整公式中的雅克比矩阵J。也就是说，当在不同于激励点的另一个末端点测量响应时，响应和激励之间的幅值比，即动柔度，关于激励方向仍然是双球形。双球的轴线与激励点模态振动的方向相同，而动柔度大小与激励和测量点位置都有关系。
步骤二、获取动柔度双球的大小及方向。
机器人末端动柔度双球可以通过一次锤击试验来简便的获取。在TCP上沿任意方向锤击(其与i阶模态振动方向的夹角记为αi)，在X0、Y0、Z0方向测量响应。通过模态分析获得TCP在X0、Y0、Z0方向的第i阶模态的动柔度
然后，计算αi方向激励下的TCP最大动柔度Hi,χ(ω,αi)和TCP模态振动方向
最后，通过公式(13)将Hi,χ(ω,αi)推广到任意方向即可获得动柔度双球。
步骤三、基于动柔度双球模型推导得到铣削振动随进给角度的分布模型，基于铣削振动随进给角度的分布模型及动柔度双球的大小与方向计算得到铣削振动随进给方向的分布，进而挑选出最优进给方向。
基于铣削力与动柔度双球的交互，建立铣削振动随进给角度的分布模型，最终结果显示，机器人模态下的铣削振动幅值随进给角度呈偏心非正交基椭圆分布。
进给坐标系CSF中的(OF-XF-YF-ZF，XF轴与进给矢量同向，ZF轴与刀轴矢量同向)三向铣削力FX、FY、FZ可表示为：
其中l∈N，ωl＝lωo，ωo表示铣削力的基频；切削力计算使用经典的机械力模型即可。
以l倍频的铣削力FXl、FYl、FZl为例计算模态i下的铣削振动，图3展示了刀具坐标系CST、进给坐标系CSF与动柔度双球的几何关系，其中θ表示进给角度，不同线型的粗线段的长度分别可以表示根据动柔度双球计算的激励在XF、YF、ZF方向时关于第i阶模态的动柔度，分别记作
结合图3及公式(16)有：
where
FXl、FYl、FZl作用下第i阶模态相关的振动位移χi,l为：
将铣削力考虑为旋转向量形式：
其中只有实部有意义。观察公式(19)的右侧可以发现，χi,l随
的分布是一个偏置为
以RFYl和RFXl为非正交基的椭圆，如图4所示，其中椭圆上的点到原点的距离就是相应
时的χi,l的幅值，即振幅Ai,l，其分布模型的表达式为：
其中，
根据公式(20)挑选使得振幅Ai,l最小的θ作为最优进给角度。
以下以具体实施例来对本发明进行进一步的详细说明。
以ABB公司的IRB6660型重载铣削机器人为对象验证本方法。
为了验证所提出的进给方向优化方法，设计了不同切削深度的圆周铣削实验。刀具为直径16mm、螺旋角30°的2齿平底立铣刀，工件材料为6061铝合金。径向、切向和轴向切削力系数为Kt＝937.4N/mm2,Kr＝-336.8N/mm2,Ka＝-136.9N/mm2。刀具径向跳动半径为0.015mm，跳动角度为5°。主轴转速为3600rpm，每齿进给量为0.1mm，切削深度(记作ap)为1mm、2mm，切削宽度为8mm；铣削方式为顺铣；机器人关节角为[18.6°,31.7°,42.5°,26.4°,-45.7°,-19.1°]。使用DYTRAN 3263A2三向加速度传感器测量铣削振动，其布置在位于主轴底端。
图5展示了在TCP处激励在主轴底端测量时所拟合的各阶模态的频响曲线，各阶模态都是当激励沿着各自的TCP模态振动方向时单独测量的。由于刀轴跳动的存在，铣削力的基频为60Hz。从图5可以看出，在60Hz处的主要动柔度来源是模态4，因此使用模态4来预测振幅。模态4的固有频率为84Hz，阻尼比为6.2％，留数为-7.36e-07-2.77e-05j s/kg，模态4下CST中的TCP模态振动方向为[0.20,0.96,-0.20]。
图6展示了实验结果和根据本方法的预测结果，(a)、(c)与(b)、(d)分分别对应着不同的ap，(a)、(b)是根据公式(19)所预测振动的旋转向量，箭头标在进给角度为0的地方。(c)、(d)中的实线和虚线分别是不同进给角度下的预测和实测振幅，前者就是相应旋转向量的振幅，即根据公式(20)的预测结果。使用所测三向振幅的二范数作为合成的铣削振幅。从图6可以看出，所提方法能够有效地预测铣削振动随进给角度的分布，尤其是对最大和最小振幅的进给角度预测十分准确。同时，从图6可以看出，不同进给角度的振幅差异可达4倍以上，这表明利用本方法优化进给角度可以大幅减小铣削振动。
如果铣削力频率恰好处于两个相邻模态的动柔度曲线的交界处，就需要将这两个模态逐个代入公式(19)及公式(20)计算振动。但这种情况出现较少，因为机器人铣削加工时通常需要根据稳定性lobe图选择转速从而尽量避免颤振，因此所选转频及倍频是否恰好位于交界处是随机的。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (10)
1.一种基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)通过锤击法计算获得机器人末端动柔度随激励方向的分布模型，即动柔度双球模型，该动柔度双球模型的数学表达式为：
式中，
是单位矢量；TCP的相对动柔度是两个半径为1/2的球面，球心分别为
和
以点的位置矢量表示TCP受激方向，点的坐标为ei＝[exi eyi ezi]T；αi为激励与
所成的夹角；
(2)基于动柔度双球模型推导得到铣削振动随进给角度的分布模型，基于铣削振动随进给角度的分布模型及动柔度双球的大小与方向计算得到铣削振动随进给方向的分布，进而挑选出最优进给方向。
2.如权利要求1所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：选振幅最小的进给角度即为最优进给方向。
3.如权利要求1所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：计算αi方向激励下的TCP最大动柔度Hi,χ(ω,αi)和TCP模态振动方向
对应的公式为：
通过模态分析获得TCP在X0、Y0、Z0方向的第i阶模态的动柔度
进而将Hi,χ(ω,αi)推广到任意方向即可获得动柔度双球。
4.如权利要求1所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：χi与pi是固定的比例关系，表示为：
式中，pi为第i阶模态响应，TCP的响应的大小和方向用单个变量来表示，记为χi；pi＝Xiejωt，F和Xi都是复数，j是虚数单位，ω是激励和响应的角频率；|Jui|视作常数，ui是第i阶模态向量，J表示TCP与机器人关节之间力和速度映射关系的雅克比矩阵；Xi,χ为第i阶模态下TCP在模态分析响应的幅值。
5.如权利要求4所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：第i阶模态下TCP模态振动方向的动柔度Hi,χ(ω,αi)为：
其中，Hi(ω,αi)＝Hi(ω,0)cosαi表示了激励与
成夹角αi和与
同向时的动柔度之间的关系，
激励与
共线时的动柔度最大。
6.如权利要求5所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：Hi,χ(ω,αi)的幅值关于激励方向的分布同样是双球形，Hi,χ(ω,αi)的双球形状并不要求响应点与激励点相同。
7.如权利要求5所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：铣削振动随进给角度的分布模型的数学表达式为：
其中，
Hi,χ(ωl)即为Hi,χ(ωl,0)。
8.如权利要求7所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：进给坐标系CSF中的三向铣削力FX、FY、FZ表示为：
其中l∈N，ωl＝lωo，ωo表示铣削力的基频；采用θ表示进给角度，根据动柔度双球计算的激励在XF、YF、ZF方向时关于第i阶模态的动柔度分别记作
9.如权利要求8所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：FXl、FYl、FZl作用下第i阶模态相关的振动位移χi,l为：
将铣削力考虑为旋转向量形式：
其中只有实部有意义，χi,l随
的分布是一个偏置为
以RFYl和RFXl为非正交基的椭圆，椭圆上的点到原点的距离就是相应
时的χi,l的幅值，即振幅Ai,l。
10.如权利要求1-9任一项所述的基于动柔度分布的机器人铣削进给方向优化方法，其特征在于：在三维笛卡尔坐标系中，以点的位置矢量表示TCP受激方向，以点到原点的距离表示第i阶模态下相应的动柔度与最大动柔度的幅值比，称作相对动柔度；记点的坐标为ei＝[exi eyi ezi]T，
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