CN115310371B - 一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法 - Google Patents

一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法 Download PDF

Info

Publication number
CN115310371B
CN115310371B CN202211230525.5A CN202211230525A CN115310371B CN 115310371 B CN115310371 B CN 115310371B CN 202211230525 A CN202211230525 A CN 202211230525A CN 115310371 B CN115310371 B CN 115310371B
Authority
CN
China
Prior art keywords
slope
angle
machine learning
formula
optimal solution
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Active
Application number
CN202211230525.5A
Other languages
English (en)
Other versions
CN115310371A (zh
Inventor
何毅
王文法
袁冉
李智
余军炎
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Southwest Jiaotong University
Original Assignee
Southwest Jiaotong University
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Southwest Jiaotong University filed Critical Southwest Jiaotong University
Priority to CN202211230525.5A priority Critical patent/CN115310371B/zh
Publication of CN115310371A publication Critical patent/CN115310371A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN115310371B publication Critical patent/CN115310371B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G06F30/27—Design optimisation, verification or simulation using machine learning, e.g. artificial intelligence, neural networks, support vector machines [SVM] or training a model
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N20/00—Machine learning
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2119/00—Details relating to the type or aim of the analysis or the optimisation
    • G06F2119/02—Reliability analysis or reliability optimisation; Failure analysis, e.g. worst case scenario performance, failure mode and effects analysis [FMEA]

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Artificial Intelligence (AREA)
  • Computer Vision & Pattern Recognition (AREA)
  • Medical Informatics (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • Computer Hardware Design (AREA)
  • Data Mining & Analysis (AREA)
  • Computing Systems (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)

Abstract

本发明公开了一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，包括以下步骤：S1：构建三维牛角状双对数螺线边坡机构模型；S2：构建三维边坡稳定性分析机构模型的优化变量参数；S3：基于已知量和优化变量参数通过极限分析上限法建立三维边坡运动速度许可速度场；S4：分别构建三维边坡内能耗散率D和重力做功功率W表达式，令内能耗散率D等于重力做功功率W，获取三维边坡稳定性系数关于所述优化变量参数的非线性表达式；S5：使用耦合的机器学习算法，求解出稳定性系数最优解。本发明的方法可以很好地解决三维边坡非线性非凸规划中出现局部最优解的问题，确保计算结果是全局最优解。极大提高计算效率和准确性。

Description

一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法
技术领域
本发明属于计算机仿真计算领域，涉及计算机有限元建模及计算分析，尤其涉及利用人工智能算法的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法。
背景技术
边坡作为工程建设中最为常见的一种地质体，在交通运输、水利水电和矿山开采等工程中扮演者重要角色，边坡的稳定性肩负着确保工程安全运行和保障人民群众生命财产安全的重任，也是学术界的热点话题。如何正确、快速、便捷地分析和计算地震力作用下边坡的稳定性系数是实际生产中一直追求的目标。目前，在计算边坡稳定性的众多方法中，以有限元法、有限差分法以及极限平衡法居多，而极限分析上限法却鲜有使用。
虽然使用极限分析上限法分析边坡的稳定性在建立机构上有一定的难度，但是在许多情况下，极限分析上限法比极限平衡法更方便，且基于极限分析上限法建立的边坡稳定性分析方法具有更严谨的理论框架。并且许多研究表明极限分析上限法的计算效率较有限元法、有限差分法等数值分析方法有很大的提升。
鉴于此，本发明使用极限分析上限法，在满足几何容许的运动速度场、构建合适的机构的情况下，通过耦合机器学习算法对三维边坡在自然工况下的稳定性进行评价和分析。
发明内容
本发明意在提供一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，用来解决现有三维边坡稳定性上限分析中计算速度慢，优化求解不能收敛到全局最优的情况。
本申请为解决上述技术问题所采用的技术方案如下：
一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，包括以下步骤：
S1：获取边坡的真实土体强度参数和几何参数，构建三维牛角状双对数螺线边坡机构模型；
S2：将土体强度参数和几何参数作为已知量，构建三维边坡稳定性分析机构模型的优化变量参数；
S3：基于已知量和优化变量参数通过极限分析上限法建立三维边坡运动速度许可速度场；
S4：分别构建三维边坡内能耗散率D和重力做功功率W表达式，令内能耗散率D等于重力做功功率W，推导三维边坡稳定性系数关于所述优化变量参数的非线性表达式；
S5：使用耦合的机器学习算法并考虑约束边界条件求解稳定性系数最优解。
进一步地，所述步骤S1中的土体强度参数和几何参数为已知量，包括：
边坡的抗剪强度参数：土体黏聚力c、内摩擦角φ；
边坡土体的物理力学参数：土体重度γ；
边坡的几何尺寸参数：边坡宽高比
Figure 167267DEST_PATH_IMAGE002
，其中B为边坡宽度、
Figure 7047DEST_PATH_IMAGE004
为边坡高度。
进一步地，所述步骤S2中的优化变量参数为未知数，包括：
边坡在极坐标系下的几何参数：初始旋转角
Figure 674657DEST_PATH_IMAGE006
，从极坐标水平轴旋转到边坡后缘A的角度；终止旋转角
Figure 904781DEST_PATH_IMAGE008
，从极坐标水平轴旋转到边坡剪出口D的角度；双对数极径比
Figure 761879DEST_PATH_IMAGE010
，即在同一旋转角度时上对数螺线极径长度r’和下对数螺线极径长度r之比；插入块体宽高比
Figure 643116DEST_PATH_IMAGE012
，插入块体的宽度b和边坡高度H的比值；过坡底角度
Figure 232360DEST_PATH_IMAGE014
，为过坡底破坏时坡前CD虚线与坡底BD线之间的夹角；过坡面系数
Figure 733136DEST_PATH_IMAGE016
，指过坡面破坏时的破坏坡高H’和边坡高度H之比。
进一步地，所述步骤S3中的运动许可速度场为：
破坏面AD上一点到旋转中心O的距离r：
Figure 269291DEST_PATH_IMAGE018
式中，r 0 为旋转中心O到边坡后缘A的初始旋转极径长度，θ为旋转到边坡任意一点时对应的角度，
Figure 270614DEST_PATH_IMAGE020
为初始旋转角，
Figure 889814DEST_PATH_IMAGE022
为边坡土体内摩擦角；
上对数螺线上一点到旋转中心O的距离r’：
Figure 891268DEST_PATH_IMAGE024
式中，r 0 ’是旋转角为初始旋转角
Figure 824589DEST_PATH_IMAGE020
时旋转中心O到上对数螺线的极径长度，θ为旋转到边坡任意一点时对应的角度；
边坡剪出口D到旋转中心的距离r h ：
Figure 431151DEST_PATH_IMAGE026
式中，r 0 为初始旋转极径长度，θ h 为旋转中心O到边坡剪出口D的终止旋转角；
边坡高度H与初始旋转极径长度r 0 的比值：
Figure 690094DEST_PATH_IMAGE028
边坡后缘A到坡肩B的距离L与初始旋转极径长度r 0 的比值：
Figure 365795DEST_PATH_IMAGE030
式中，β’为边坡为过坡底破坏时坡前CD线与BD线之间的夹角；
旋转中心O到坡肩B的连线OB与极坐标水平轴之间的夹角：
Figure 368386DEST_PATH_IMAGE032
式中，L为边坡后缘A到坡肩B的距离；
旋转中心O到坡趾C的连线OC与极坐标水平轴之间的夹角：
Figure 829454DEST_PATH_IMAGE033
式中，β为边坡坡角，由现场实际测量得到；
牛角状圆截面圆心到旋转中心O的距离r m ，截面圆半径R：
Figure 993719DEST_PATH_IMAGE035
式中，r为破坏面AD上一点到旋转中心O的距离，上对数螺线上一点到旋转中心O的距离为r’。
进一步地，所述步骤S4具体为：假设土体为刚体，忽略土体内部内能耗散，依据高斯散度定理，将速度间断面上的能量耗散等效转换为边坡坡面和坡顶上的内能耗散，以便于计算，式（1）和式（2）分别为内能耗散率D和重力做功功率W总积分表达式：
Figure 235345DEST_PATH_IMAGE037
(1)
Figure 962998DEST_PATH_IMAGE039
(2)
式中， S r 为坡面和坡顶面积，v t 和n t 分别是坡面和坡顶的速度向量和面积向量，γ为土体重度，V为边坡体积，v为土体的速度向量，θ为旋转角度。
进一步地，结合所述步骤S4的功率公式，稳定性系数表达式（3）和边坡极限坡高表达式（4）分别如下：
Figure 340890DEST_PATH_IMAGE041
(3)
Figure 879319DEST_PATH_IMAGE043
(4)
式（3）中，括号中函数的变量从左到右依次代表的是初始旋转角
Figure 342661DEST_PATH_IMAGE045
、终止旋转角θ h 、双对数极径比
Figure 876935DEST_PATH_IMAGE047
、插入块体宽高比
Figure 374913DEST_PATH_IMAGE049
、过坡底角度
Figure 818663DEST_PATH_IMAGE051
和过坡面系数
Figure 34881DEST_PATH_IMAGE053
，c为土体黏聚力，φ为内摩擦角。
进一步地，所述步骤S5具体为：调用机器学习算法进行初次最优化计算，并在初次最优化计算时通过相关概率公式有选择性地接受每一次迭代计算的新解，得到初次最优解，将初次最优解的优化变量作为序列二次规划算法的初值进行二次优化计算，最后求得最优的稳定性系数上限解N s-best 和对应的极限坡高H cr 。
进一步地，所述初次最优化计算和所述二次优化计算的具体步骤为：选取N个机器学习因子
Figure 917387DEST_PATH_IMAGE055
，每一个机器学习因子都是六维的，六个维度分别作为三维边坡优化变量参数的未知数，即初始旋转角
Figure 456821DEST_PATH_IMAGE057
、终止旋转角θ h 、双对数极径比
Figure 133790DEST_PATH_IMAGE059
、插入块体宽高比
Figure 509408DEST_PATH_IMAGE061
、过坡底角度
Figure 195604DEST_PATH_IMAGE063
和过坡面系数
Figure 589545DEST_PATH_IMAGE065
；设置N个机器学习因子
Figure 702995DEST_PATH_IMAGE067
的初始变量值
Figure 628225DEST_PATH_IMAGE069
并利用边坡稳定性系数非线性方程表达式（3）计算得到初始最优值
Figure 711588DEST_PATH_IMAGE071
；设置初始速度值
Figure 569822DEST_PATH_IMAGE073
，在后续每一次迭代计算时通过公式（5）不断更新速度值
Figure 260698DEST_PATH_IMAGE075
进而更新每一步变量值
Figure 938804DEST_PATH_IMAGE077
，并分别代入到边坡稳定性系数非线性方程表达式（3）中计算出每一个机器学习因子的最优值
Figure 625525DEST_PATH_IMAGE079
，选择出最优值中最小的那个作为当前全局最优解
Figure 807107DEST_PATH_IMAGE081
，并通过与每次迭代的最优解比较得到最优解P best ，
Figure 527939DEST_PATH_IMAGE083
(5)
式中，ω是惯性权重，c 1 和c 2 是学习因子，r 1 和r 2 是0-1的随机数，v k 为第k次迭代计算的速度值，x k 为第k次迭代计算的变量值，
Figure 427762DEST_PATH_IMAGE085
为第k次迭代计算的最优解，P best 为全局最优解，
获得与最终全局最优解P best 对应的最优自变量，即最优初始旋转角
Figure 931555DEST_PATH_IMAGE087
、最优终止旋转角
Figure 967644DEST_PATH_IMAGE089
、最优双对数极径比
Figure 593798DEST_PATH_IMAGE091
、最优插入块体宽高比
Figure 902288DEST_PATH_IMAGE093
、最优过坡底角度
Figure 272090DEST_PATH_IMAGE095
和最优过坡面系数
Figure 365948DEST_PATH_IMAGE097
，并将最优自变量作为初值，代入到三维边坡稳定性系数表达式（3）和极限坡高计算表达式（4）中，以序列二次规划算法中进行二次优化求解得到三维边坡稳定性系数最优解N s 和三维边坡极限坡高H cr 。
进一步地，通过相关概率公式有选择性地接受每一次迭代计算的新解，其具体步骤为：为了增大了算法在寻优过程中跳出局部优解的概率，引入计算式（6）如下， 设置一个参照初值Z 0=100并乘以系数0.95随着迭代进行一直折减，每次迭代都通过公式（6）计算出一个概率p k 和利用rand函数得到一个0-1之间的随机值p rand 进行比较，当p k 大于rand，则保留本次迭代的全局最优解
Figure 163002DEST_PATH_IMAGE099
，反之则舍弃，继续下一次迭代计算，
Figure 771838DEST_PATH_IMAGE101
(6)
式中，
Figure 866702DEST_PATH_IMAGE103
为第k次全局最优解，P best 为全局最优解，Z k 为第k次参照值。
另一方面，本申请还保护一种电子设备，包括存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现前述所述的分析方法。
与现有技术相比，本发明的有益效果如下：
三维边坡非线性优化求解由于其方程形式极其复杂，属于多变量非凸规划函数，传统的最优化方法受制于此很难求解到全局最优解。本发明可以有效地减少传统算法陷入局部最优解的概率，得到的初值非常贴合最优化区间，也为序列二次规划算法和内点法等对初值要求比较严格的软件内置算法的应用提供了可能，可以更准确的获得非线性规划的全局最优解，求解速度和精度相对于现有技术有很大的提高。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作一简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的三维边坡机构速度场示意图；
图2为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的计算流程图；
图3为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的三维边坡立体示意图；
图4为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的机器学习算法流程图；
图5为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的机器学习算法原理图；
图6为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的计算结果图；
图7为本申请一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法的另一计算结果图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
参见图1-7，本发明的基本原理是：基于极限分析上限定理。本发明的研究对象是：以三维土质边坡为研究对象，采用的模型机构是：三维牛角状双对数螺线边坡机构。
极限分析上限法的实现过程是：建立三维边坡运动许可速度场；根据模型机构的几何关系推导三维边坡内能耗散率D和重力做功功率W；根据极限分析上限法的基本原理，令内能耗散率等于重力做功功率，并通过公式移动转换整理成三维边坡稳定性系数关于以上未知数非线性表达式。
Figure 877383DEST_PATH_IMAGE105
稳定性系数表达简式：
Figure 783023DEST_PATH_IMAGE107
使用机器学习算法进行初次最优化计算，将计算结果的优化变量作为序列二次规划算法的初值进行二次优化计算，即可完美求得最优的稳定性系数上限解和对应的极限坡高。
Figure 879155DEST_PATH_IMAGE109
一、拟定边坡的计算参数
需要获取的边坡土体基本信息包括边坡的抗剪强度参数：土体黏聚力c、内摩擦角φ；边坡土体的物理力学参数：土体重度γ；边坡的几何尺寸参数：边坡宽高比B/H。采用三维牛角状双对数螺线边坡机构，将边坡在极坐标系下的几何参数如初始旋转角
Figure 777709DEST_PATH_IMAGE111
，从极坐标水平轴旋转到边坡后缘A的角度；终止旋转角
Figure 908476DEST_PATH_IMAGE113
，从极坐标水平轴旋转到边坡剪出口D的角度；双对数极径比
Figure 985017DEST_PATH_IMAGE115
，即在同一旋转角度时上对数螺线极径长度r’和下对数螺线极径长度r之比；插入块体宽高比
Figure 302866DEST_PATH_IMAGE117
，插入块体的宽度b和边坡高度H的比值；过坡底角度
Figure 691864DEST_PATH_IMAGE119
，为过坡底破坏时坡前CD虚线与坡底BD线之间的夹角；过坡面系数
Figure 208296DEST_PATH_IMAGE121
，指过坡面破坏时的破坏坡高H’和边坡高度H之比。
二、建立三维边坡极限分析上限法运动许可速度场，如图1所示。
按照图1所示内容，边坡机构的一些几何参数表示如下：
破坏面AD上一点到旋转中心O的距离r：
Figure 173846DEST_PATH_IMAGE123
式中，r 0 为旋转中心O到边坡后缘A的初始旋转极径长度，θ为旋转到边坡任意一点时对应的角度，
Figure 713412DEST_PATH_IMAGE125
为初始旋转角，φ为边坡土体内摩擦角；
上对数螺线上一点到旋转中心O的距离r’：
Figure 970081DEST_PATH_IMAGE127
式中，r 0 ’是旋转角为初始旋转角
Figure 809861DEST_PATH_IMAGE129
时旋转中心O到上对数螺线的极径长度；
边坡剪出口D到旋转中心的距离r h ：
Figure 556100DEST_PATH_IMAGE131
式中，r 0 为初始旋转极径长度，θ h 为旋转中心O到边坡剪出口D的终止旋转角；
坡高H与初始旋转极径长度r 0 的比值：
Figure 114121DEST_PATH_IMAGE133
边坡后缘A到坡肩B的距离L与初始旋转极径长度r 0 的比值：
Figure 892590DEST_PATH_IMAGE135
式中，β’为边坡为过坡底破坏时坡前CD线与BD线之间的夹角；
旋转中心O到坡肩B的连线OB与极坐标水平轴之间的夹角：
Figure 852455DEST_PATH_IMAGE137
式中，L为边坡后缘A到坡肩B的距离；
旋转中心O到坡趾C的连线OC与极坐标水平轴之间的夹角：
Figure 441700DEST_PATH_IMAGE139
式中，β为边坡坡角，由现场实际测量得到；
牛角状圆截面圆心到旋转中心O的距离r m ，截面圆半径R：
Figure 221437DEST_PATH_IMAGE141
式中，r为破坏面AD上一点到旋转中心O的距离，上对数螺线上一点到旋转中心O的距离为r’。
三、依据机构速度场推导内能耗散和重力做功功率表达式。
假设土体为刚体，忽略土体内部内能耗散，依据高斯散度定理，将速度间断面上的能量耗散等效转换为边坡坡面和坡顶上的内能耗散，以便于计算。
对数螺旋角度
Figure 616646DEST_PATH_IMAGE143
区域土体各部分做功功率：
坡面到截面圆中心的距离a：
Figure 617969DEST_PATH_IMAGE145
式中，
Figure 440431DEST_PATH_IMAGE147
为初始旋转角，θ为旋转到边坡任意一点时对应的角度，r 0 为初始旋转极径长度，r m 为牛角状圆截面圆心到旋转中心O的距离。
整个系统的内能消散率由两部分组成，旋转滑动土体内部的能量耗散率和速度间断面上的能量耗散率。由于将破坏体假设为刚体，土体内部的应变引起的能量耗散率为0。
土体内能耗散功率：
Figure 910727DEST_PATH_IMAGE148
式中，
Figure 109627DEST_PATH_IMAGE150
为机构旋转角速度，c为土体黏聚力，a为坡面到截面圆中心的距离，R为截面圆半径。
土体重力做功功率：
Figure 702807DEST_PATH_IMAGE151
式中，γ为土体重度。
对数螺旋角度
Figure 696171DEST_PATH_IMAGE153
区域土体各部分做功功率
坡面到截面圆中心的距离d：
Figure 388183DEST_PATH_IMAGE155
式中，
Figure 390774DEST_PATH_IMAGE157
为边坡土体内摩擦角。
土体内能耗散功率：
Figure 914160DEST_PATH_IMAGE159
式中，
Figure 530955DEST_PATH_IMAGE161
为旋转中心O到坡肩B的连线OB与极坐标水平轴之间的夹角，
Figure 772580DEST_PATH_IMAGE163
为旋转中心O到坡趾C的连线OC与极坐标水平轴之间的夹角，d为坡面到截面圆中心的距离。
土体重力做功功率：
Figure 985387DEST_PATH_IMAGE164
对数螺旋角度区域
Figure 363279DEST_PATH_IMAGE166
土体各部分做功功率
坡面到截面圆中心的距离
Figure 150975DEST_PATH_IMAGE168
：
Figure 614317DEST_PATH_IMAGE170
土体内能耗散功率：
Figure 896394DEST_PATH_IMAGE172
式中，e为坡面到截面圆中心的距离。
土体重力做功功率：
Figure 128792DEST_PATH_IMAGE173
插入块体部分土体功率计算
插入的块体为二维剖面边坡由X轴方向延伸厚度b得来
二维对数螺旋线区域O-A-D 的土体重力做功功率：
Figure 87390DEST_PATH_IMAGE175
二维三角形区域O-A-B的土体重力做功功率：
Figure 38028DEST_PATH_IMAGE177
二维三角形区域O-B-D的土体重力做功功率：
Figure 123796DEST_PATH_IMAGE179
二维三角形区域C-B-D的土体重力做功功率：
Figure 476280DEST_PATH_IMAGE181
式中，
Figure 418828DEST_PATH_IMAGE183
为边坡高度H与初始旋转极径长度r 0 的比值，β’为边坡为过坡底破坏时坡前CD线与BD线之间的夹角，β为边坡坡角，由现场测量得到。
二维对数螺旋线区域O-A-D的内能耗散功率为
Figure 781064DEST_PATH_IMAGE185
二维插入块体总的重力做功功率为
Figure 467260DEST_PATH_IMAGE187
总的内外功率计算结果如下：
内功率总和为:
Figure 611934DEST_PATH_IMAGE189
外功率总和为：
Figure 725383DEST_PATH_IMAGE191
稳定性系数表达式为：
Figure 103144DEST_PATH_IMAGE193
四、通过耦合的机器学习算法进行非线性优化求解
采用机器学习算法进行初次最优化计算，将计算结果的优化变量作为序列二次规划算法的初值进行二次优化计算，即可完美求得最优的稳定性系数上限解N s-best 和对应的极限坡高H cr 。
选取N个机器学习因子
Figure 327452DEST_PATH_IMAGE195
，每一个机器学习因子都是六维的例如
Figure 654528DEST_PATH_IMAGE197
，六个维度分别作为三维边坡优化变量参数的未知数，即
Figure 345403DEST_PATH_IMAGE199
代表初始旋转角
Figure 757930DEST_PATH_IMAGE201
在0-60°内随机取值，
Figure 972880DEST_PATH_IMAGE203
代表终止旋转角θ h 在60-180°内随机取值，
Figure 154462DEST_PATH_IMAGE205
代表双对数极径比
Figure 547397DEST_PATH_IMAGE207
在0-1内随机取值，
Figure 181641DEST_PATH_IMAGE209
代表插入块体宽高比在0-B/H内随机取值，
Figure 934702DEST_PATH_IMAGE211
代表过坡底角度
Figure 236371DEST_PATH_IMAGE213
在0-β内随机取值，
Figure 862524DEST_PATH_IMAGE215
代表过坡面系数
Figure 187326DEST_PATH_IMAGE217
，在0-1内随机取值，随机取值可以最大程度上保证计算结果的全局性，通过取值得到每个机器学习因子的初始变量值
Figure 557128DEST_PATH_IMAGE219
，代入到边坡稳定性系数非线性方程表达式（3）中计算出每一个机器学习因子的初始最优值
Figure 637604DEST_PATH_IMAGE221
，选择出初始最优值中最小的那个作为初始全局最优解
Figure 434658DEST_PATH_IMAGE223
；因为只是进行了一次计算，所以把初始全局最优解
Figure 981177DEST_PATH_IMAGE225
作为全局最优解P best ；
每个机器学习因子都存在一个初始速度
Figure 889091DEST_PATH_IMAGE227
，在得到初始最优值
Figure 352302DEST_PATH_IMAGE229
和初始全局最优解
Figure 320258DEST_PATH_IMAGE231
之后，通过公式（6）对每个机器学习因子的初始变量值
Figure 416390DEST_PATH_IMAGE233
和初始速度
Figure 800098DEST_PATH_IMAGE235
进行更新得到当前变量值
Figure 665286DEST_PATH_IMAGE237
和当前速度
Figure 787831DEST_PATH_IMAGE239
，代入到边坡稳定性系数非线性方程表达式（3）中计算出每一个机器学习因子的当前最优值
Figure 371259DEST_PATH_IMAGE241
，同理，选择出当前最优值中最小的那个作为当前全局最优解，如果当前全局最优解
Figure 152133DEST_PATH_IMAGE243
小于全局最优解P best ，那么更新全局最优解P best 等于当前全局最优解
Figure 871828DEST_PATH_IMAGE245
；
式中，ω是惯性权重，c 1 和c 2 是学习因子，r 1 和r 2 是0-1的随机数，x 0为初始变量值，
Figure 359748DEST_PATH_IMAGE247
为初始全局最优解，P best 为全局最优解；
同理，通过第k次计算的
Figure 430472DEST_PATH_IMAGE249
、和
Figure 421562DEST_PATH_IMAGE251
，通过公式（7）计算得到第k+1次的
Figure 261342DEST_PATH_IMAGE253
、和
Figure 194532DEST_PATH_IMAGE255
，如果当前全局最优解
Figure 752552DEST_PATH_IMAGE257
小于全局最优解P best ，那么更新全局最优解P best 等于当前全局最优解
Figure 344070DEST_PATH_IMAGE259
；
Figure 710461DEST_PATH_IMAGE260
(7)
式中， x k 为第k次变量值，
Figure 627601DEST_PATH_IMAGE262
为第k次全局最优解，P best 为全局最优解；
本发明机器学习的核心在于，每一步的计算求解是有目的、有方向性的，通过惯性权重ω、学习因子c 1 和c 2 、随机数r 1 和r 2 、当前全局最优解以及全局最优解P best 之间的关系，不断调整变量值
Figure 594289DEST_PATH_IMAGE264
计算新的最优值
Figure 989498DEST_PATH_IMAGE266
，所有的机器学习因子都向最优解的方向靠近，最终趋向于全局最优解P best ；
设置一个参照初值Z 0=100并乘以系数0.95随着迭代进行一直折减，每次迭代都通过公式（6）计算出一个概率p k 和利用rand函数得到一个0-1之间的随机值p rand 进行比较，当p k 大于rand，则保留本次迭代的全局最优解
Figure 741554DEST_PATH_IMAGE268
，反之则舍弃，继续下一次迭代计算，
Figure 564016DEST_PATH_IMAGE270
(8)
式中，
Figure 18000DEST_PATH_IMAGE272
为第k次全局最优解，P best 为全局最优解，Z k 为第k次温度值；
一直运行到设定的迭代次数次，结束迭代，获得全局最优解P best ，即得到表达式（3）所对应的以及对应的边坡稳定性系数最优解N s ，和最优自变量
Figure 216900DEST_PATH_IMAGE274
，分别代表最优初始旋转角
Figure 885779DEST_PATH_IMAGE276
、最优终止旋转角θ h ，最优双对数极径比
Figure 816826DEST_PATH_IMAGE278
，最优插入块体宽高比
Figure 571155DEST_PATH_IMAGE280
，最优过坡底角度
Figure 498048DEST_PATH_IMAGE282
，最优过坡面系数
Figure 427957DEST_PATH_IMAGE284
；
最后将该算法得到的最优初始旋转角
Figure 388960DEST_PATH_IMAGE286
、最优终止旋转角
Figure 286378DEST_PATH_IMAGE288
、最优双对数极径比
Figure 92660DEST_PATH_IMAGE290
、最优插入块体宽高比
Figure 736131DEST_PATH_IMAGE292
、最优过坡底角度
Figure 71297DEST_PATH_IMAGE294
和最优过坡面系数
Figure 737902DEST_PATH_IMAGE296
作为初值，代入到三维边坡稳定性系数表达式（3）和极限坡高计算表达式（4）中，以序列二次规划算法中进行二次优化求解得到三维边坡稳定性系数最优解N s 三维边坡极限坡高H cr 。
上述实施例阐明的方法，具体可以由计算机芯片或实体实现，或者由具有某种功能的产品来实现。一种典型的实现设备为计算机。具体的，计算机例如可以为个人计算机、膝上型计算机、蜂窝电话、相机电话、智能电话、个人数字助理、媒体播放器、导航设备、电子邮件设备、游戏控制台、平板计算机、可穿戴设备或者这些设备中的任何设备的组合。
为了描述的方便，描述以上装置时以功能分为各种单元分别描述。当然，在实施本说明书时可以把各单元的功能在同一个或多个软件和/或硬件中实现。
本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本发明可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质（包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等）上实施的计算机程序产品的形式。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和／或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
在一个典型的配置中，计算设备包括一个或多个处理器(CPU)、输入/输出接口、网络接口和内存。
内存可能包括计算机可读介质中的非永久性存储器，随机存取存储器(RAM)和/或非易失性内存等形式，如只读存储器(ROM)或闪存(flash RAM)。内存是计算机可读介质的示例。
由此，本申请提供一种计算机可读存储介质，所述存储介质存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现前述之一所述的方法。
本申请还提供一种电子设备，包括存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现前述之一所述的方法。
计算机可读介质包括永久性和非永久性、可移动和非可移动媒体可以由任何方法或技术来实现信息存储。信息可以是计算机可读指令、数据结构、程序的模块或其他数据。计算机的存储介质的例子包括，但不限于相变内存(PRAM)、静态随机存取存储器(SRAM)、动态随机存取存储器(DRAM)、其他类型的随机存取存储器(RAM)、只读存储器(ROM)、电可擦除可编程只读存储器(EEPROM)、快闪记忆体或其他内存技术、只读光盘只读存储器(CD-ROM)、数字多功能光盘(DVD)或其他光学存储、磁盒式磁带，磁带磁磁盘存储或其他磁性存储设备或任何其他非传输介质，可用于存储可以被计算设备访问的信息。按照本文中的界定，计算机可读介质不包括暂存电脑可读媒体(transitory media)，如调制的数据信号和载波。
本领域技术人员应明白，本说明书的实施例可提供为方法、系统或计算机程序产品。因此，本说明书可采用完全硬件实施例、完全软件实施例或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本说明书可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质（包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等）上实施的计算机程序产品的形式。
本说明书可以在由计算机执行的计算机可执行指令的一般上下文中描述，例如程序模块。一般地，程序模块包括执行特定任务或实现特定抽象数据类型的例程、程序、对象、组件、数据结构等等。也可以在分布式计算环境中实践本说明书，在这些分布式计算环境中，由通过通信网络而被连接的远程处理设备来执行任务。在分布式计算环境中，程序模块可以位于包括存储设备在内的本地和远程计算机存储介质中。
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (8)

1.一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：获取边坡的真实土体强度参数和几何参数，构建三维牛角状双对数螺线边坡机构模型；
S2：将土体强度参数和几何参数作为已知量，构建三维边坡稳定性分析机构模型的优化变量参数；
S3：基于已知量和优化变量参数通过极限分析上限法建立三维边坡运动速度许可速度场；
S4：分别构建三维边坡内能耗散率D和重力做功功率W表达式，令内能耗散率D等于重力做功功率W，推导三维边坡稳定性系数关于所述优化变量参数的非线性表达式；所述步骤S4具体为：假设土体为刚体，忽略土体内部内能耗散，依据高斯散度定理，将速度间断面上的能量耗散等效转换为边坡坡面和坡顶上的内能耗散，以便于计算，式（1）和（2）分别为内能耗散率D和重力做功功率W总积分表达式：
Figure 531582DEST_PATH_IMAGE001
(1)
Figure 933876DEST_PATH_IMAGE002
(2)
式中， S r 为坡面和坡顶面积，v t 和n t 分别是坡面和坡顶的速度向量和面积向量，γ为土体重度，V为边坡体积，v为土体的速度向量，θ为旋转角度，
Figure 838247DEST_PATH_IMAGE004
为内摩擦角，c为土体黏聚力；
结合所述步骤S4的功率公式，稳定性系数表达式（3）和边坡极限坡高表达式（4）分别如下：
Figure 859555DEST_PATH_IMAGE005
(3)
Figure 798561DEST_PATH_IMAGE006
(4)
式（3）中，括号中函数的变量从左到右依次代表的是初始旋转角
Figure 247122DEST_PATH_IMAGE007
、终止旋转角θ h 、双对数极径比
Figure 264887DEST_PATH_IMAGE009
、插入块体宽高比
Figure 588421DEST_PATH_IMAGE011
、过坡底角度
Figure 742453DEST_PATH_IMAGE012
和过坡面系数
Figure 486549DEST_PATH_IMAGE013
；
S5：使用耦合的机器学习算法并考虑约束边界条件求解稳定性系数最优解。
2.根据权利要求1所述的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，所述步骤S1中的土体强度参数和几何参数为已知量，包括：
边坡的抗剪强度参数：土体黏聚力c、内摩擦角φ；
边坡土体的物理力学参数：土体重度γ；
边坡的几何尺寸参数：边坡宽高比
Figure 866978DEST_PATH_IMAGE014
，其中B为边坡宽度、H为边坡高度。
3.根据权利要求1所述的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，所述步骤S2中的优化变量参数为未知数，包括：
边坡在极坐标系下的几何参数：初始旋转角
Figure 728623DEST_PATH_IMAGE015
，从极坐标水平轴旋转到边坡后缘A的角度；终止旋转角
Figure 2741DEST_PATH_IMAGE016
，从极坐标水平轴旋转到边坡剪出口D的角度；双对数极径比
Figure 769667DEST_PATH_IMAGE018
，即在同一旋转角度时上对数螺线极径长度r’和下对数螺线极径长度r之比；插入块体宽高比
Figure 135926DEST_PATH_IMAGE020
，插入块体的宽度b和边坡高度H的比值；过坡底角度
Figure 161782DEST_PATH_IMAGE022
，为过坡底破坏时坡前CD虚线与坡底BD线之间的夹角；过坡面系数
Figure 41139DEST_PATH_IMAGE024
，指过坡面破坏时的破坏坡高H’和边坡高度H之比。
4.根据权利要求1所述的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，所述步骤S3中的运动许可速度场为：
破坏面AD上一点到旋转中心O的距离r：
Figure 500939DEST_PATH_IMAGE025
式中，r 0 为旋转中心O到边坡后缘A的初始旋转极径长度，θ为旋转到边坡任意一点时对应的角度，
Figure 855959DEST_PATH_IMAGE026
为初始旋转角，
Figure 685506DEST_PATH_IMAGE027
为边坡土体内摩擦角；
上对数螺线上一点到旋转中心O的距离r’：
Figure 308117DEST_PATH_IMAGE028
式中，r 0 ’是旋转角为初始旋转角
Figure 705863DEST_PATH_IMAGE029
时旋转中心O到上对数螺线的极径长度，θ为旋转到边坡任意一点时对应的角度；
边坡剪出口D到旋转中心的距离r h ：
Figure 515556DEST_PATH_IMAGE031
式中，r 0 为初始旋转极径长度，θ h 为旋转中心O到边坡剪出口D的终止旋转角；
边坡高度H与初始旋转极径长度r 0 的比值：
Figure 24160DEST_PATH_IMAGE032
边坡后缘A到坡肩B的距离L与初始旋转极径长度r 0 的比值：
Figure 501278DEST_PATH_IMAGE034
式中，β’为边坡为过坡底破坏时坡前CD线与BD线之间的夹角；
旋转中心O到坡肩B的连线OB与极坐标水平轴之间的夹角：
Figure 194558DEST_PATH_IMAGE036
式中，L为边坡后缘A到坡肩B的距离；
旋转中心O到坡趾C的连线OC与极坐标水平轴之间的夹角：
Figure 258591DEST_PATH_IMAGE037
式中，β为边坡坡角，由现场实际测量得到；
牛角状圆截面圆心到旋转中心O的距离r m ，截面圆半径R：
Figure 538263DEST_PATH_IMAGE038
式中，r为破坏面AD上一点到旋转中心O的距离，上对数螺线上一点到旋转中心O的距离为r’。
5.根据权利要求1所述的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，所述步骤S5具体为：调用机器学习算法进行初次最优化计算，并在初次最优化计算时通过相关概率公式有选择性地接受每一次迭代计算的新解，得到初次最优解，将初次最优解的优化变量作为序列二次规划算法的初值进行二次优化计算，最后求得最优的稳定性系数上限解N s-best 和对应的极限坡高H cr 。
6.根据权利要求5所述的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，所述初次最优化计算和所述二次优化计算的具体步骤为：选取N个机器学习因子
Figure 636931DEST_PATH_IMAGE039
，每一个机器学习因子都是六维的，六个维度分别作为三维边坡优化变量参数的未知数，即初始旋转角
Figure 875015DEST_PATH_IMAGE040
、终止旋转角θ h 、双对数极径比
Figure 426344DEST_PATH_IMAGE042
、插入块体宽高比
Figure 775286DEST_PATH_IMAGE044
、过坡底角度
Figure 321936DEST_PATH_IMAGE045
和过坡面系数
Figure 357019DEST_PATH_IMAGE047
；设置N个机器学习因子
Figure 395644DEST_PATH_IMAGE048
的初始变量值
Figure 548277DEST_PATH_IMAGE049
并利用边坡稳定性系数非线性方程表达式（3）计算得到初始最优值
Figure 277330DEST_PATH_IMAGE050
；设置初始速度值
Figure 670265DEST_PATH_IMAGE052
，在后续每一次迭代计算时通过公式（5）不断更新速度值
Figure 954045DEST_PATH_IMAGE053
进而更新每一步变量值
Figure 910368DEST_PATH_IMAGE054
，并分别代入到边坡稳定性系数非线性方程表达式（3）中计算出每一个机器学习因子的最优值
Figure DEST_PATH_IMAGE055
，选择出最优值中最小的那个作为当前全局最优解
Figure DEST_PATH_IMAGE056
，并通过与每次迭代的最优解比较得到最优解P best ，
Figure DEST_PATH_IMAGE057
(5)
式中，ω是惯性权重，c 1 和c 2 是学习因子，r 1 和r 2 是0-1的随机数，v k 为第k次迭代计算的速度值，x k 为第k次迭代计算的变量值，
Figure DEST_PATH_IMAGE058
为第k次迭代计算的最优解，P best 为全局最优解，
获得与最终全局最优解P best 对应的最优自变量，即最优初始旋转角
Figure DEST_PATH_IMAGE059
、最优终止旋转角
Figure DEST_PATH_IMAGE060
、最优双对数极径比
Figure DEST_PATH_IMAGE062
、最优插入块体宽高比
Figure DEST_PATH_IMAGE064
、最优过坡底角度
Figure DEST_PATH_IMAGE065
和最优过坡面系数
Figure DEST_PATH_IMAGE067
，并将最优自变量作为初值，代入到三维边坡稳定性系数表达式（3）和极限坡高计算表达式（4）中，以序列二次规划算法中进行二次优化求解得到三维边坡稳定性系数最优解N s 和三维边坡极限坡高H cr 。
7.根据权利要求5所述的一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法，其特征在于，通过相关概率公式有选择性地接受每一次迭代计算的新解，其具体步骤为：为了增大了算法在寻优过程中跳出局部优解的概率，引入计算式（6）如下， 设置一个参照初值Z 0=100并乘以系数0.95随着迭代进行一直折减，每次迭代都通过公式（6）计算出一个概率p k 和利用rand函数得到一个0-1之间的随机值p rand 进行比较，当p k 大于rand，则保留本次迭代的全局最优解
Figure DEST_PATH_IMAGE068
，反之则舍弃，继续下一次迭代计算，
Figure DEST_PATH_IMAGE070
(6)
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE071
为第k次全局最优解，P best 为全局最优解，Z k 为第k次参照值。
8.一种电子设备，包括存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述计算机程序时实现权利要求1-7之一所述的分析方法。
CN202211230525.5A 2022-10-09 2022-10-09 一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法 Active CN115310371B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202211230525.5A CN115310371B (zh) 2022-10-09 2022-10-09 一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202211230525.5A CN115310371B (zh) 2022-10-09 2022-10-09 一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN115310371A CN115310371A (zh) 2022-11-08
CN115310371B true CN115310371B (zh) 2022-12-30

Family

ID=83867167

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN202211230525.5A Active CN115310371B (zh) 2022-10-09 2022-10-09 一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN115310371B (zh)

Families Citing this family (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN114330168B (zh) * 2021-12-30 2022-06-21 中国科学院力学研究所 一种动态评价边坡安全性的方法

Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111504268A (zh) * 2020-04-22 2020-08-07 深圳市地质局 一种土质边坡险情智能预警预报方法
CN114722478A (zh) * 2022-04-29 2022-07-08 山西省交通规划勘察设计院有限公司 一种碎屑岩接触模型参数获取方法及边坡稳定性分析方法

Family Cites Families (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112199894B (zh) * 2020-10-20 2022-09-20 大连海事大学 一种非贯通节理边坡稳定性的可靠度计算方法
CN113496099B (zh) * 2021-04-06 2022-05-06 西南交通大学 一种基于深度学习的边坡永久位移预测模型训练方法
CN113268852B (zh) * 2021-04-14 2022-02-22 西南交通大学 一种基于蒙特卡洛模拟的地震滑坡概率危险性分析方法
CN114444254A (zh) * 2021-12-10 2022-05-06 西南交通大学 基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法
CN114330168B (zh) * 2021-12-30 2022-06-21 中国科学院力学研究所 一种动态评价边坡安全性的方法

Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111504268A (zh) * 2020-04-22 2020-08-07 深圳市地质局 一种土质边坡险情智能预警预报方法
CN114722478A (zh) * 2022-04-29 2022-07-08 山西省交通规划勘察设计院有限公司 一种碎屑岩接触模型参数获取方法及边坡稳定性分析方法

Also Published As

Publication number Publication date
CN115310371A (zh) 2022-11-08

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Stone et al. The athena++ adaptive mesh refinement framework: Design and magnetohydrodynamic solvers
Bærentzen et al. Signed distance computation using the angle weighted pseudonormal
Denef et al. Black hole determinants and quasinormal modes
CN115310371B (zh) 一种基于耦合机器学习算法的边坡稳定性分析方法
CN110851929B (zh) 基于自适应网格的二维叶型优化设计方法及装置
Fraser et al. Second order ancillary: A differential view from continuity
Larfors et al. Numerical metrics for complete intersection and Kreuzer–Skarke Calabi–Yau manifolds
Trobec et al. Parallel scientific computing: theory, algorithms, and applications of mesh based and meshless methods
Kurganov et al. Adaptive moving mesh central-upwind schemes for hyperbolic system of pdes: Applications to compressible euler equations and granular hydrodynamics
Danilov et al. Non-stationarity parameters of open clusters
Turner et al. MPAS-Seaice (v1. 0.0): sea-ice dynamics on unstructured Voronoi meshes
WO2018010535A1 (zh) 一种基于3d源模型编辑3d目标模型的方法及装置
Liang et al. Lagrangian radial basis function‐based particle hydrodynamics method and its application for viscous flows
Baldauf Discontinuous Galerkin solver for the shallow-water equations in covariant form on the sphere and the ellipsoid
Wang et al. Research on straightness error evaluation method based on search algorithm of beetle
Fries Higher-order accurate integration for cut elements with Chen-Babuška nodes
Jin et al. Inversion study of vertical eddy viscosity coefficient based on an internal tidal model with the adjoint method
Pochylý et al. Rotational flow in centrifugal pump meridian using curvilinear coordinates
Takeshita Aabb pruning: Pruning of neighborhood search for uniform grid using axis-aligned bounding box
Chang et al. A comparative study of interpolation schemes in overset meshes for the PLIC-VOF method in multiphase flows
Zhang et al. A new r‐ratio formulation for TVD schemes for vertex‐centered FVM on an unstructured mesh
Emiris et al. Exact Voronoi diagram of smooth convex pseudo-circles: General predicates, and implementation for ellipses
Bošnjak et al. Block‐structured mesh generation from implicit geometries for cardiovascular applications
Hidding Computational and mathematical aspects of Feynman integrals
Khuat et al. Unstructured Discrete Ordinates Method Based on Radial Basis Function Approximation

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant