CN115204052A - 基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法 - Google Patents

基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法 Download PDF

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CN115204052A CN202210874685.7A CN202210874685A CN115204052A CN 115204052 A CN115204052 A CN 115204052A CN 202210874685 A CN202210874685 A CN 202210874685A CN 115204052 A CN115204052 A CN 115204052A
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Abstract

本发明涉及一种基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法。该方法为一种融合正余弦算法与萤火虫光感策略的基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法。通过在初始化种群阶段结合Cubic混沌映射生成初始种群，提升初始种群精度和分布；在跟随者位置更新迭代过程中加入正余弦算法改善跟随者位置更新策略，使跟随者搜索机制更加灵活，扩大全局探索范围，提高种群多样性，增加寻找到最优解的概率，加快收敛速度；最后利用萤火虫算法的光感思想对方法进行精炼细化，帮助方法跳出局部极值，为下一次迭代提供更优父代种群，为方法提供寻优方向，避免盲目搜索，加速收敛，从而提高方法寻优质量。

Description

基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法
技术领域
本发明属于群智能优化算法，涉及一种基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法。
背景技术
最优化问题(Optimization Problem)是在一定的约束条件下求解目标函数最大或最小值的问题，约束优化问题是该领域的一个重要分支。约束条件包括但不限于：决策变量的上限下限约束、等式和不等式约束。约束问题定义公式如下：
Figure BDA0003760486830000011
其中，gl为加在f上的约束，其中的n个变量在zi和oi之间取值，得出的解用向量表示为x，该向量需要同时满足其中的约束的同时使得f取得最优解。这要求算法求解时，需要求解多组的向量解xk,…,xk+1，k＝1,…,n-1。对于其中的xk和xk+1，如果xi中的元素满足公式(1)的个数多于xk+1中的元素满足公式(1)的个数，则前者优于后者；如果两个向量中的元素满足公式(1)的个数相同，则比较xk和xk+1的适应度函数，取更好为更优解。综上可知，xk满足不等式gl(x1,...,xi)≧yl成立的个数为第一评价标准，其次的评价标准为xk的适应度值。
约束问题求解存在约束区域离散、等式约束、非线性约束等挑战，在实际求解过程中都将转化为无约束问题进行处理。约束优化进化算法主要的研究目标就是使用约束处理技术和进化算法对约束优化问题进行求解。目前主流的约束处理技术分为惩罚函数法、ε约束处理法、可行性法则、随机排序法、多目标优化六类。这些方法各有擅长的问题和存在的弊端。
1975年美国密歇根大学的John Holland教授发表的著作《Adaption in Naturaland Artificial System》中阐述了智能系统和自然界中的自适应变化机制，被视为群体智能算法(Swarm Intelligence Algorithm)的开山作。这一类算法是对社会性动物或昆虫群体行为的研究而开发的算法，在难以直接求解的优化问题上有较好的表现。启发式算法(heuristic algorithm)是在有限的时间与空间成本中运用现实中的经验或人的直观理念所架构的算法，对于目标问题通过算法推演而得出尽可能多的可行解，而群智能算法作为启发式算法中的一类，将自然界的群体活动生物的捕食、进化等自然行为映射为算法在问题的搜索区域检索与优化，将检索给定的时间空间范围内的点对应于群体动物个体在活动中的位置信息，将所要求解的目标问题的函数的解对应于个体在所处环境中的适应能力。
近十几年学术界有多种仿生群智能算法被提出，他们都具有较强的随机性，和较优的检索能力，但每种算法都有一定的优势和弊端。例如，粒子群优化(Particle SwarmOptimization,PSO)算法，时间复杂度低，检索快，但进入后期迭代搜索能力降低，容易过早地收敛；人工蜂群算法(Artificial Bee Colony Algorithm,ABC)全局搜索性能佳，但进入后期迭代种群多样性不足；蚁群优化算法(Ant Colony Optimization,ACO)，通过加入正反馈机制加强全局搜索，弊端是收敛速度慢，同样易陷局部最优；萤火虫算法(FireflyAlgorithm,FA)，参数设置少，光感思想的运用让个体往局部最优收敛故具备较强局部搜索能力，但速度不快，精度也不足；灰狼算法(Grey Wolf Algorithm,GWO)，同样参数少且流程简单，检索能力同样出色，但种群多样性不够丰富；鲸鱼优化算法(Whale OptimizationAlgorithm,WOA)，有扩展性高的特点，但劣势类似于蚁群优化算法。
麻雀搜索算法(Sparrow Search Algorithm,SSA)是2020年提出的一种受到麻雀这一物种在集体行动捕食时的活动机制和对天敌的警戒与规避行为而提出的群智能优化算法，寻优能力出色，收敛的迭代次数较少，并且加入了侦察预警的机制。该种算法由于控制参数设置较少，实现的流程较为简单，在解决疏散路径规划、旅行商问题、图像分割等都有一定意义，同时在实际应用上也有学者提出基于麻雀搜索算法实现的规划无人机航行轨迹方法，网络侵入行为检测方法、光纤陀螺故障检测、照明控制优化等等技术。
麻雀搜索算法整体结构上看类似于人工蜂群算法，存在对初始的解一定的依赖性，迭代的过程对种群的多样性有不良影响，最显著的问题是容易陷入局部最优并难以跳出，全局搜索能力较弱。为了提升性能，国内外都对该算法进行了研究，主要的方向有：优化种群初始化方式，优化个体位置更新的迭代过程，叠加变异算子等，如有学者提出的一种融合K-Mean聚类等诸多策略的改进麻雀搜索算法中对初始种群进行K-Mean聚类处理，结合正余弦算法的思想和自适应局部搜索策略提高收敛精度与寻优能力；提出的一种将多种策略融合到麻雀搜索算法中，在种群质量的提升方面加入了混沌反向学习策略，提升跳出局部最优能力，局部和全局搜索利用鸡群算法(Chicken Swarm Optimization,CSO)维持一定的平衡，最后采用柯西-高斯变异策略保持多样性，提升抗停滞能力。两种改进算法在各自文献中都以实验证明了，相比于原始的麻雀搜索算法，改进后的算法更为良好的性能。
发明内容
本发明的目的在于针对麻雀搜索算法的缺点，提供一种基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法。
为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，包括如下步骤：
S1、在初始化种群阶段中结合Cubic混沌映射优化最初始麻雀种群；
S2、在跟随者位置更新迭代过程中结合正余弦算法策略优化跟随者位置更新策略；
S3、结合萤火虫算法扰动寻优进行精炼细化，扩大搜索范围，为下一代保留更优个体，并提供搜索方向；
S4、使用惩罚函数法，实现目标优化问题从约束到无约束问题的转变，以获取约束问题的解。
相较于现有技术，本发明具有以下有益效果：
1、结合Cubic混沌映射优化最初始麻雀种群，分散种群以提高种群的多样性。
2、结合正余弦算法策略优化迭代过程中跟随者位置更新的策略，使跟随者搜索机制更加灵活，更好调节全局探索能力和局部开发能力之间的平衡，提升跳出局部最优陷阱的能力，优化寻优性能。
3、结合萤火虫算法扰动寻优进行精炼细化，扩大搜索范围，为下一代保留更优个体，提供搜索方向，加强种群搜索的目的性，提升解集收敛速度与精度。
4、使用罚函数法，实现目标优化问题从约束到无约束问题的转变，以获取约束问题的解。
附图说明
图1为麻雀搜索方法流程。
图2为ISSMPF、SSA、SCA和FA获得的平均最佳阻力系数的收敛曲线。
具体实施方式
下面结合附图，对本发明的技术方案进行具体说明。
本发明一种基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，包括如下步骤：
S1、在初始化种群阶段中结合Cubic混沌映射优化最初始麻雀种群；
S2、在跟随者位置更新迭代过程中结合正余弦算法策略优化跟随者位置更新策略；
S3、结合萤火虫算法扰动寻优进行精炼细化，扩大搜索范围，为下一代保留更优个体，并提供搜索方向；
S4、使用惩罚函数法，实现目标优化问题从约束到无约束问题的转变，以获取约束问题的解。
以下为本发明具体实现过程。
1.麻雀搜索算法
初始版本的麻雀搜索算法规定了初始种群包括了三种“麻雀”，即定义域内的个体，它们分别为发现者、跟随者和侦察者。麻雀的位置为为Xi＝(xi1,xi2,...,xiD)，i＝1,2,...,N,适应度值为f＝(f1,f2,...,fN)，D是麻雀所在空间的维度,N是种群个体。N只麻雀的种群先进行适应度优劣排序，选择前P个适应度高的个体组成发现者，剩余的N-P个体，我们称其为跟随者，另外再从全体种群中决定一定比例的个体组成意识到天敌威胁的侦察者。发现者通常情况下由于拥有更优的适应度值，可以为跟随者提供觅食区间和方位的参考依据，跟随者为了更优质的食物(也即问题的更优解)会跟随发现者，保证捕食率，侦察者发现捕食者后发出报警信号，麻雀种群做出反捕食的行为。
发现者位置更新公式如下：
Figure BDA0003760486830000041
公式(2)中，迭代次数用t代表，最大迭代次数用T代表；Xt ij则代表在第t次迭代中第i个个体的第j维度；ɑ是一个在(0,1]上的随机数，R2为预警值，设定为在[0,1]这一区间，Q为随机数且服从高斯分布，ST为安全值。L是一个1×d的且所有元素均为1的矩阵。当R2<ST时，作为发现者的麻雀的觅食环境内没有捕食者，这些个体的觅食可以执行更广泛的搜索；当R2≧ST时，种群中一定比例的侦察者发现了捕食者，发现者立即前往更安全的区域，继续后面的觅食。
跟随者位置更新依据的公式为：
Figure BDA0003760486830000042
公式(3)中，发现者个体所在的的适应度最优的位置用XP代表，Xworst表示捕食区域内适应度最不理想处，A是一个矩阵，矩阵为1×d，其中所有元素被随机赋值为1或-1，且满足A+＝AT(AAT)-1。i>n/2的情况下，适应度值较低的跟随者将利用exp的函数前往适应度值更高的区域，其他情况下，跟随着积极向发现者位置靠近以更好地觅食。
侦察者意识到危险时麻雀的反捕食行为依据的公式为：
Figure BDA0003760486830000043
公式(4)中，全捕食范围(即定义域)内最佳的位置用参数Xbest代表，β是服从σ2＝1、μ＝0的正态分布的步长控制参数，K是在[-1,1]上的一个随机数，用以表示麻雀个体更新位置的方向，另外麻雀i的适应度数值用fi代表，全定义域最差适应度值用fw代表(worst)，fg则为最优(best)，ε为用以保障分母不为0的一个小的常数。fi>fg描述的是麻雀位置较为偏远，容易受天敌进攻的风险，也即有不可用解产生的风险；fi＝fg描述了处于种群分布较密集处的麻雀意识到危险情况，为了规避风险选择与种群中另外的麻雀个体抱团，所以靠近其他个体。
综上，麻雀搜索算法的大致步骤为：初始化种群后划分发现、跟随者两类且仅有两类的身份个体，之后顺次更新两种身份个体的位置，同时一部分个体意识到危险成为侦察者，会再度更新他们的位置，循环迭代流程判定结束之后获取最终结果。麻雀搜索算法的流程如图1所示。
2.基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法
2.1.引入Cubic混沌映射
群智能优化算法中的初始种群的质量和多样性在一定程度上会影响解的精度。一个高质量的初始种群可以为算法提供搜索全局最优解的方向，提高算法的收敛速度与精度。标准麻雀搜索算法采用随机初始化方法产生的初始种群容易导致种群多样性差，分布不均匀，因此，麻雀种群的初始化对麻雀搜索算法的搜索精度有很大影响。为了在问题的定义域内获得分布更加广泛的种群，提升种群多样性，本发明引入Cubic混沌映射来初始化种群。Cubic映射的基本表达式如下：
Figure BDA0003760486830000051
公式(5)中，b和c为混沌影响因子，这两个参数的值将直接影响Cubic映射的范围。通常情况下，c∈(2.3,3)时，该映射所产生的序列视为是混沌状态的。另外的，b＝1时，xn∈(-2,2)；b＝4时，xn∈(-1,1)。学者们对于16种一维混沌映射的最大Lyapunov指数进行了一系列计算，其中分析得出Cubic映射表达式为：
Figure BDA0003760486830000052
公式(6)中，xn∈(-1,1)，ρ作为控制参数，极大程度上影响着Cubic映射函数运算结果序列的混沌性。通过相关文献中的结果说明，Logistic映射、Tent映射和Cubic映射的最大李雅普诺夫指数相近，并且性能优于Sine映射、Singer映射等等，故选取了Cubic映射进行种群初始化的策略提升。
2.2.融入正余弦算法的位置更新
正余弦算法(Sine CosineAlgorithm,SCA)在2016年由学者Seyedali Mirjalili提出，是利用正余弦函数进行数学公式的设计的一种启发式优化算法。算法基于正余弦的数学模型向外波动或向最优解的方向波动，利用多个随机变量和自适应变量来计算当前解所在位置，从而可以搜索空间中的不同区域，有效地避免局部最优，收敛于全局最优。在标准的麻雀搜索算法中，跟随者位置更新很大程度上依赖于发现者的引导，限制了跟随者的搜索方向与范围，一旦发现者陷入局部最优，跟随者也易陷入局部最优而难以摆脱，整体算法的性能也随之下降。此外，整个搜索过程中发现者占比保持一定，当跟随者发现更优解时便可升为发现者，原发现者中的最差便降为跟随着。因此提高跟随者的寻优能力，即在一定程度上也提高发现者的寻优能力尤为重要。将正余弦算法公式引入于跟随者更新位置迭代后，不仅可以降低跟随者更新位置对于发现者依赖程度，还可以扩大跟随者搜索范围，提高跟随者多样性，从而避免避免种群过度集中于局部最优点而导致的寻优效率低和算法过早收敛。正余弦算法更新计算公式如下：
Figure BDA0003760486830000061
公式(7)中，迭代次数为t时个体i的位置用
Figure BDA0003760486830000062
代表，最优个体所处位置用
Figure BDA0003760486830000063
代表，表达式中t表示当前更新次数，i表示个体数，r2取值范围为[0，2π]，r3与r4皆为[0，1]范围上的分布平均的随机数，r1的计算依据公式如下：
Figure BDA0003760486830000064
公式(8)中，a在本发明中的取值为2，t代表的是当前的迭代次数，T代表的是最大迭代次数；在迭代次数不断增大后r1也会一同增加。r1＞1的阶段，该算法具备更强的探索能力；而后r1＜1的阶段，算法则具备更强的开发能力，参数r2影响带入算法的个体进入下一次迭代时的步长，参数r3则可以对算法在迭代过程中对最优解个体依赖的高低，r3＜1提高对最优解个体的依赖程度，r3＞1降低依赖程度，r4则保证了算法在两个公式之间的切换是等概率的。
2.3.基于萤火虫算法的精炼策略
萤火虫算法由Yang X.S.等学者于2008年提出，并于两年后结合Levy飞行算法策略改进，是21世纪00年代提出的群智能算法中有比较丰富发展的一种算法。萤火虫算法的灵感来源是萤火虫的种群内的发光行为，模仿种群内个体之间的相互信息传递与吸引程度。算法中规定：每个个体会相互吸引，仅参考荧光的亮度和个体之间的间隔长度两个参数，性别不在考虑的范围内，较亮的萤火虫吸引较暗的萤火虫，另外，光照强度I与光源距离r的平方成反比，服从于公式(9)。
Figure BDA0003760486830000065
这限制了个体的可见性在一个有限的半径内。而整个空间中，所有种群的个体中可见的荧光亮度最高的个体在空间内随机进行位置更新。距离为r，一只萤火虫相对于另一只萤火虫的亮度计算公式如下：
Figure BDA0003760486830000071
公式(10)中I0表示该萤火虫在该位置下自身的亮度，γ是人为设定的吸收亮度因子，用于模拟空气中的介质对光照强度的影响，通常设定为1，rij表示分别处在i位置和j位置的萤火虫个体的欧氏距离，该项计算依据公式(11)。
rij＝||xi-xj|| (11)
我们可以假设萤火虫个体i的亮度大于萤火虫个体j自身亮度，依据算法规则，萤火虫i会吸引萤火虫j，进而萤火虫i会使萤火虫主动向其靠近，萤火虫j的位置更新信息的计算的公式(12)如下：
xj(t+1)＝xj(t)+βij(xi(t)-xj(t))+αεj (12)
公式(12)中，xj(t)为第t次迭代中萤火虫j的位置，xj(t+1)为进行这一次靠近萤火虫i的第t+1次迭代的萤火虫j所在的位置，参数α代表步长因子，满足α∈(0，1)，参数εj是一个满足[0，1]上正态分布的一个随机数。个体i对个体j的吸引力用βij表示，其计算依赖公式(13)。
Figure BDA0003760486830000072
公式(13)中，用β0代表一个人为规定的，个体对和与自身相距0的个体的吸引力值。
萤火虫算法是随机分布萤火虫个体，每个个体拥有各自的感知能力，在各自的搜索半径区域内搜索最亮个体，并向其移动。故利用萤火虫算法中每个个体独立搜索的随机性思想对麻雀搜索算法的解进行精炼细化，为下一次迭代保留更优子代，明确搜索方向，减少盲目搜索的同时进一步保证种群的多样性，削弱局部极值的干扰，提高收敛速度与精度。
2.4.基于惩罚函数的约束处理
本发明使用惩罚函数法，该方法的主要解决思路就是使目标优化问题从带约束到一连串无约束问题的转变，以获取原线性约束问题的解。因为转换为求解无约束问题时，会使算法在原本的运行阶段不会考虑得到的最优个体是否符合约束条件的限制，所以加入一个惩罚函数作为惩罚项，随着种群位置更新次数的增加，惩罚项的要求更加严格，惩罚量提升，从而逼迫种群向约束规定的区域靠近成为满足条件的个体，即为原始优化问题的可行解。惩罚函数法的一大特点是考虑到种群个体的丰富性，在定义域内有比较广泛的分布，对初始种群的分布状态没有限制，而在群智能算法迭代过程加以限制，故较为契合本发明的改进麻雀搜索算法。本发明中采取惩罚函数法中的二次惩罚函数法。该方法规定了一个二次惩罚函数Q(x,μ)，其数学表达式如下：
Figure BDA0003760486830000081
公式(14)中，设定了一个不小于0的惩罚参数μ，μ的取值参考惩罚序{μk}列，当种群进行迭代，k的值会不断增长，μ的取值不断减小，1/(2μ)将十分急速地增长，以符合罚函数法的理论思想。当k趋于正无穷使得μ趋于0时，得到该罚函数的近似极小值Q(xk,μk)。由于该多项式中用以惩罚的一项
Figure BDA0003760486830000082
为二次函数，所以可微。这样在近似最小值点xk及其附近的xk-1等位置就可以看作k+1次更新质量较好的初始点。
2.5.算法流程
基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法(ISSMPF)的流程如以下步骤所示：
步骤1、设置预警值ST、发现者比例PD、意识到危险的麻雀比例SD、发现者数量PDNumber等基本参数。
步骤2、根据公式(6)利用Cubic映射进行种群初始化，并根据公式(14)计算种群初始适应度值，排序得出最优适应度值GBest和全局最优位置XBest。
步骤3、根据公式(2)更新发现者位置。
步骤4、根据公式(3)更新跟随者位置，随后根据公式(7)进行正余弦运算。
步骤5、根据公式(4)机选择侦察者并更新位置。
步骤6、根据公式(12)对种群中的麻雀进行萤火虫光感策略的扰动寻优。
步骤7、根据公式(14)计算种群适应度值并更新GBest与XBest。
步骤8、判断是否满足终止条件；是则结束并返回最优解；否则返回步骤3，重复执行步骤3-8。
2.6.实际应用
在本节中，用ISSMPF求解实际的昂贵约束优化问题：RAE 2822翼型上的跨声速流动的阻力最小化。其中，使用耗时的计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics,CFD)模拟来评估翼型性能(即算法优化后所得的翼型)。本发明通过形状分类函数转换法方法将翼型形状参数转换为18个设计变量，其中，每个设计变量的范围为[0,1]。在不失一般性的情况下，这个问题的数学公式如下：
Figure BDA0003760486830000091
其中，cd(x)、cl(x)、cm(x)和Area(x)分别表示阻力系数、升力系数、俯仰力矩与翼型面积。
由于本发明使用PMNS2D(CFD代码)模拟一次跨声速翼型大概需要18分钟，于是为了节约计算成本，本发明将模拟次数设置为500。图2显示了ISSMPF、SSA、SCA和FA获得的平均最佳阻力系数的收敛曲线。从图2可以发现ISSMPF的性能最优。这表明了ISSMPF求解RAE2822时具有的有效性和优越性。
以上是本发明的较佳实施例，凡依本发明技术方案所作的改变，所产生的功能作用未超出本发明技术方案的范围时，均属于本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、在初始化种群阶段中结合Cubic混沌映射优化最初始麻雀种群；
S2、在跟随者位置更新迭代过程中结合正余弦算法策略优化跟随者位置更新策略；
S3、结合萤火虫算法扰动寻优进行精炼细化，扩大搜索范围，为下一代保留更优个体，并提供搜索方向；
S4、使用惩罚函数法，实现目标优化问题从约束到无约束问题的转变，以获取约束问题的解。
2.根据权利要求1所述的基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，其特征在于，所述步骤S1具体实现如下：
在麻雀搜索方法的初始化种群阶段中，引入Cubic混沌映射来初始化种群，Cubic映射的表达式如下：
Figure FDA0003760486820000011
公式(1)中，xn∈(-1,1)，ρ作为控制参数，极大程度上影响着Cubic映射函数运算结果序列的混沌性。
3.根据权利要求1所述的基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，其特征在于，所述步骤S2具体实现如下：
在麻雀搜索方法的跟随者位置更新迭代过程中，引入正余弦算法，正余弦算法更新计算公式如下：
Figure FDA0003760486820000012
公式(2)中，迭代次数为t时个体i的位置用
Figure FDA0003760486820000013
代表，最优个体所处位置用
Figure FDA0003760486820000014
代表，r2取值范围为[0,2π]，r3与r4皆为[0,1]范围上的分布平均的随机数，r1的计算依据公式如下：
Figure FDA0003760486820000015
公式(3)中，a取值为2，t代表的是当前的迭代次数，T代表的是最大迭代次数；在迭代次数不断增大后r1也会一同增加；r1＞1的阶段，正余弦算法具备更强的探索能力；而后r1＜1的阶段，正余弦算法具备更强的开发能力，参数r2影响带入正余弦算法的个体进入下一次迭代时的步长，参数r3对正余弦算法在迭代过程中对最优解个体依赖的高低，r3＜1提高对最优解个体的依赖程度，r3＞1降低依赖程度，r4保证正余弦算法在两个公式之间的切换是等概率的。
4.根据权利要求1所述的基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，其特征在于，所述步骤S3具体实现方式为：利用萤火虫算法中每个个体独立搜索的随机性思想对麻雀搜索算法的解进行精炼细化，为下一次迭代保留更优子代，明确搜索方向，减少盲目搜索的同时进一步保证种群的多样性，削弱局部极值的干扰，提高收敛速度与精度。
5.根据权利要求1所述的基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，其特征在于，所述步骤S4具体实现方式为：使用惩罚函数法，使目标优化问题从带约束到一连串无约束问题的转变，以获取原线性约束问题的解，具体实现如下：
采取惩罚函数法中的二次惩罚函数法，规定一个二次惩罚函数Q(x,μ)，其数学表达式如下：
Figure FDA0003760486820000021
公式(4)中，设定一个不小于0的惩罚参数μ，μ的取值参考惩罚序{μk}列，当种群进行迭代，k的值会不断增长，μ的取值不断减小，1/(2μ)将十分急速地增长，以符合罚函数法的理论思想；当k趋于正无穷使得μ趋于0时，得到该罚函数的近似极小值Q(xk,μk)；由于该多项式中用以惩罚的一项
Figure FDA0003760486820000022
为二次函数，所以可微；这样在近似最小值点xk及其附近的xk-1位置就可以看作k+1次更新质量较好的初始点。
6.根据权利要求1所述的基于惩罚函数约束优化的改进麻雀搜索方法，其特征在于，该方法具体实现步骤如下：
步骤1、设置预警值ST、发现者比例PD、意识到危险的麻雀比例SD、发现者数量PDNumber的基本参数；
步骤2、根据(1)利用Cubic映射进行种群初始化，并根据式(2)计算种群初始适应度值，排序得出最优适应度值GBest和全局最优位置XBest；
Figure FDA0003760486820000023
Figure FDA0003760486820000024
公式(1)中，xn∈(-1,1)，ρ作为控制参数，极大程度上影响着Cubic映射函数运算结果序列的混沌性；
公式(2)中，设定一个不小于0的惩罚参数μ，μ的取值参考惩罚序{μk}列，当种群进行迭代，k的值会不断增长，μ的取值不断减小，1/(2μ)将十分急速地增长，以符合罚函数法的理论思想；当k趋于正无穷使得μ趋于0时，得到该罚函数的近似极小值Q(xk,μk)；由于该多项式中用以惩罚的一项
Figure FDA0003760486820000031
为二次函数，所以可微；这样在近似最小值点xk及其附近的xk-1位置就可以看作k+1次更新质量较好的初始点；
步骤3、根据式(3)更新发现者位置；
Figure FDA0003760486820000032
公式(2)中，迭代次数用t代表，最大迭代次数用T代表；Xt ij则代表在第t次迭代中第i个个体的第j维度；ɑ是一个在(0,1]上的随机数，R2为预警值，设定为在[0,1]这一区间，Q为随机数且服从高斯分布，ST为安全值，L是一个1×d的且所有元素均为1的矩阵；当R2<ST时，作为发现者的麻雀的觅食环境内没有捕食者，这些个体的觅食可以执行更广泛的搜索；当R2≧ST时，种群中预定比例的侦察者发现捕食者，发现者立即前往更安全的区域，继续后面的觅食；
步骤4、根据式(4)更新跟随者位置，随后根据公式(5)进行正余弦运算；
Figure FDA0003760486820000033
Figure FDA0003760486820000034
公式(4)中，发现者个体所在的的适应度最优的位置用XP代表，Xworst表示捕食区域内适应度最不理想处，A是一个矩阵，矩阵为1×d，其中所有元素被随机赋值为1或-1，且满足A+＝AT(AAT)-1；i>n/2的情况下，适应度值较低的跟随者将利用exp的函数前往适应度值更高的区域，其他情况下，跟随着积极向发现者位置靠近以更好地觅食；
公式(5)中，迭代次数为t时个体i的位置用
Figure FDA0003760486820000035
代表，最优个体所处位置用
Figure FDA0003760486820000036
代表，r2取值范围为[0,2π]，r3与r4皆为[0,1]范围上的分布平均的随机数，r1的计算依据公式如下：
Figure FDA0003760486820000037
公式(6)中，a取值为2，t代表的是当前的迭代次数，T代表的是最大迭代次数；在迭代次数不断增大后r1也会一同增加；r1＞1的阶段，正余弦算法具备更强的探索能力；而后r1＜1的阶段，正余弦算法具备更强的开发能力，参数r2影响带入正余弦算法的个体进入下一次迭代时的步长，参数r3对正余弦算法在迭代过程中对最优解个体依赖的高低，r3＜1提高对最优解个体的依赖程度，r3＞1降低依赖程度，r4保证正余弦算法在两个公式之间的切换是等概率的；
步骤5、根据式(7)机选择侦察者并更新位置；
Figure FDA0003760486820000041
公式(7)中，全捕食范围即定义域内最佳的位置用参数Xbest代表，β是服从σ2＝1、μ＝0的正态分布的步长控制参数，K是在[-1,1]上的一个随机数，用以表示麻雀个体更新位置的方向，另外麻雀i的适应度数值用fi代表，全定义域最差适应度值用fw代表(worst)，fg则为最优(best)，ε为用以保障分母不为0的一个小的常数；fi>fg描述的是麻雀位置较为偏远，容易受天敌进攻的风险，也即有不可用解产生的风险；fi＝fg描述了处于种群分布较密集处的麻雀意识到危险情况，为了规避风险选择与种群中另外的麻雀个体抱团，所以靠近其他个体；
步骤6、根据式(8)对种群中的麻雀进行萤火虫光感策略的扰动寻优。
xj(t+1)＝xj(t)+βij(xi(t)-xj(t))+αεj (8)
公式(8)中，xj(t)为第t次迭代中萤火虫j的位置，xj(t+1)为进行这一次靠近萤火虫i的第t+1次迭代的萤火虫j所在的位置，参数α代表步长因子，满足α∈(0,1)，参数εj是一个满足[0,1]上正态分布的一个随机数；个体i对个体j的吸引力用βij表示，其计算依赖公式(13)：
Figure FDA0003760486820000042
公式(9)中，用β0代表一个人为规定的，个体对和与自身相距0的个体的吸引力值；
步骤7、根据式(2)计算种群适应度值并更新GBest与XBest；
步骤8、判断是否满足终止条件；若是则结束并返回最优解；否则返回步骤3，重复执行步骤3-8。
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CN115616923A (zh) * 2022-12-20 2023-01-17 南京可信区块链与算法经济研究院有限公司 一种基于遗传算法和麻雀算法的车辆路径优化方法
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