CN115179306A - 一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法 - Google Patents

Abstract

一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，它涉及一种加工方法，具体涉及一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法。本发明的目的是保证木模加工的质量和尺寸，由于木模优劣程度直接影响着产品的，目前普遍使用数控加工生产木模，相比数控加工，工业机器人具有活动空间宽广，控制精度高，运动姿态可变性强的优势，特别是对于体积规模大的复杂木模，工业机器人具有更好的加工适应性。但如何使用机器人实现复杂曲面的高精度加工仍然在研究当中，本发明以安川MOTOMAN‑UP6机器人为实验平台，探究工业机器人对复杂木模铣削加工的运动学分析、精度控制和轨迹规划等关键技术问题。本发明可获得一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法。

Description

一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法

技术领域

本发明属于制造加工技术领域，具体涉及以复杂木模为加工对象，拟探究用CAM系统的铣削功能结合NURBS理论生成加工自由曲面的刀具轨迹方法，并研究工业机器人运动学机理，建立学科交叉体系，在运算能力强大的MATLAB软件中进行融合转化，从而探究工业机器人铣削复杂曲面的控制机理，最终建立工业机器人铣削复杂木模的NURBS轨迹规划方法。

背景技术

模具被称为是“工业之母”，而木模是一种传统的主流模具形式，主要应用在铸造业 当中，对于轮廓复杂的产品，木模的制造难度也相应地增加。但利用数控加工中心进行复杂 木模加工时，要采取移动轴加旋转轴的组合，对软硬件配置要求也比较高，因此复杂木模面 临着制造工艺复杂，成本时间消耗大的问题，对于木模加工急需要一种智能化、标准化、信 息化的新技术。

工业机器人多由若干个关节串联而成，这就使得它在工作范围、自由度和灵活性上比 数控机床具有显著优势，它综合机械学科和电子学科为一体，具有非常强的可控性，工作精 确度很高，通用性是工业机器人的一大特点。

工业机器人制造复杂曲面类产品时，包含着很多相关技术的融合，如复杂零件的造型 方法、末端执行器的轨迹规划、程序后置处理、图形仿真、插补方式、关节运动控制等。

利用工业机器人进行铣削的首要难点在于刀具轨迹规划，刀具运动轨迹的精确程度直 接影响着铣削质量，规划刀具轨迹的核心问题是保证刀具以期望的姿态和速度到达目标位置。 复杂曲面的铣削是一个繁琐的过程，伴随着计算机科学和三维建模技术的迅速发展，可以借 助计算机的辅助设计与制造功能来完成刀具的轨迹规划，工作人员可以交互地完成零件毛坯、 刀具参数、刀具姿态、走刀步长、加工行距和铣削速度等操作参数的设置，从而得到符合机 器人加工的刀位数据，同时通过后处理将离散的刀位信息转化处理为工业机器人的控制程序， 并在计算机中进行运动轨迹的动态仿真验证，检查机器人程序文件的可靠性，这样的离线式 刀具轨迹规划方式相比单纯的手工示教器编程具有以下诸多优点：(1)保证机器人连续工作， 更换工作任务无需停机编程，提升生产效率；(2)可通过动画仿真验证程序的可靠性，提前预 判碰撞干涉；(3)可对各类机器人进行编程，并根据具体任务对程序进行优化改进；(4)能够直 接使用CAD/CAM软件生成复杂曲面的加工路径，并对生成路径进行后置处理。因此，通过 计算机的辅助设计和制造可以规划出复杂的加工路径，从而大幅度发挥工业机器人的工作能 力，将机器人优秀的工作特点完美适用于各类复杂对象的加工中，同时提高了编程效率和加 工精度，同时减少操作者的劳动强度，目前CAD/CAM集成系统已经开始用于工业机器人的 加工路径规划中，一些机器人公司的离线编程软件也添加了CAD/CAM集成功能。例如ABB 工业机器人的专用离线编程软件RobotStudio中增加了加工路径规划模块。但是这些软件中 附带的CAD/CAM功能非常有限，只能依据三维模型的表面规划处简单的加工路径，无法实 现针对复杂曲面的刀具路径规划。

工业机器人轨迹规划的精度和平滑性尤为重要，插补方式对工业机器铣削轨迹有直接 影响，采用一般的直线或圆弧插补逼近自由曲面不仅数据载荷大，需要大量的数据传输时间， 占用很多控制柜内存，而且在加工过程中，经常出现速度和加速度不连续的情况，造成工业 机器人末端执行器振动，使得加工精度相去甚远。而NURBS曲线在自由曲线曲面的描述上 有无可比拟的优势，它的全称是非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines)，NURBS 为圆锥曲线曲面与B样条曲线曲面在表达上提供了统一方式，其不仅可以描述常规曲线曲面， 也可以描述复杂曲线曲面。NURBS也因此成为曲线曲面造型技术最重要的基础，在当代工业 产品几何设计中占有举足轻重的地位，其在理论和应用上逐渐走向成熟。在复杂曲面加工当 中，NURBS也经常被用于精确描述铣削加工中的刀具轨迹，利用NURBS刀具轨迹插补技 术可将笛卡尔空间三维问题映射为一维参数曲线问题，这样能使插补计算过程快速又简单， 还可降低加工数据量以及减轻程序传输负载，大量学者针对NURBS刀具轨迹的插补算法进 行研究，旨在提高插补精度的同时减小插补计算量。

当前的CAD系统已经广泛使用NURBS方法来描述和设计复杂曲面零件，此外，CAM系统也能够输出具有NURBS形式的刀具轨迹文件，但是中低端设备系统尚不具备NURBS 刀具轨迹的直接插补能力，因此CAM系统输出的刀具路径仍是由离散圆弧段和直线段构成，直接利用这些包含圆弧段和直线段的刀具轨迹对产品加工精度不利，为了解决使用小线段路 径带来的加工缺陷，可以根据CAM中生成的由一系列离散刀位点组成的线性路径，采用NURBS方法对离散刀具路径进行高精度重构，然后依据加工精度的要求，对NURBS刀轨曲 线进行插补以获得更密集的加工刀位点，在这个过程中虽然造成了额外的计算误差，但是能够让加工表面更加平滑，因此这个过程被称为“光滑插补”。

NURBS插补避免了以直代曲，而是以微小线段对加工曲面轮廓进行逼近。相比直线插 补和圆弧插补，NURBS插补方法能得到更加准确、光顺的加工轨迹，在允许的加工范围内， 能够减少加减速的频率，实现加工路径的高阶连续，大大提升了加工效率，改善了零件表面 质量。

综上所述，基于CAM铣削策略，将NURBS方法用于复杂木模的机器人加工轨迹规划当中，对于提高机器人的编程效率，减小机器人工作时的振动，保证复杂零件的表面加工质量和精度具有重要意义。但目前对于利用NURBS方法进行机器人的铣削轨迹规划，相关研究成果较少，而且也不成熟。

发明内容

为了解决以上所述技术问题，本发明提供一种复杂木模工业机器人铣削机理及控制机 制方法，具体包括以下内容：

在实际生产中，往往需要求出B样条曲线上的若干点的值，而不需要去计算一整条曲 线的值。在已知定义的一条k次B样条曲线对应的控制顶点集、曲线节点矢量U以及待求点的参数值u，要求得曲线上对应点的坐标，共需要进行三个步骤：第一步：搜索节点矢量U，找到参数u在所在的非零节点区间[u_i,u_i+1]；第二步：计算所在节点区间内的所有非零k次基 函数；第三步：最后根据B样条定义式将非零基函数值与对应的控制点相乘并求和。

利用工业机器人进行铣削任务时，核心问题是轨迹规划，而分析工业机器人的运动特 性是轨迹规划的基础。由于工业机器人是由一系列可相对运动的关节连接而成的连杆结合体， 因此工业机器人运动学主要是解决两类问题：正向运动学问题，根据连杆几何参数和一组关 节角度变量，求得工业机器人最末端执行器在参考坐标系中的位姿。一般通过建立机器人各 连杆坐标系，进而建立末端执行器位姿关于关节角度的函数表达式，即运动学方程的表示问 题。逆向运动学问题，对于规划的末端执行器在参考坐标系中的目标点位姿，依据机器人各 连杆的参数，反求得各个关节为实现目标点位姿而需要的关节转动变量，是一个非线性方程 组求解问题，通常主要研究已规划末端执行器的笛卡尔坐标位姿对应的关节向量值。可见， 正向运动学的计算与逆向运动学的恰好是相反的，正向运动学研究如何得出运动学方程，而 逆向运动学则是研究如何反解运动学方程。目前工业机器人普遍采用简洁高效的D-H参数法 进行运动学建模，该方法可使得对运动学方程求解时采用效率更高的封闭解法，而无需进行 数值解法的迭代过程，可提高求解效率。运动学方程求解时方程可能无解、有唯一解或者同 时存在多个解。有多个解时，要结合机器人的本体结构和当前运动状态等作为约束条件，选 择一组最优解，所以逆向运动学是机器人运动的综合性问题。

正运动学方程根据关节变量获取末端执行器的位姿，但在工业机器人实际应用中，更 多是在直观的操作空间中，设定期望的末端执行器的笛卡尔坐标位姿，反求所需的关节变量。 逆运动学求解方法有数值解法和几何解法，在利用D-H法建立运动学方程的基础上，对于6R 机器人的位置反解往往有很多个，往往不能得到有效的解析解。但对于本文采用的 MOTOMAN-UP6工业机器人，观察本体结构可以看到，MOTOMAN-UP6工业机器人的R、B、T三个关节的轴线交汇于B关节坐标系的原点上，因此机器人满足Pieper准则，具有解 析解，故可通过几何法对解析解进行求解。又由于数值迭代解法过程比较繁琐，计算量和计算难度也比较大，因此本课题在求解逆运动学封闭解的时候，采用相对简单的几何法。

对于一个笛卡尔坐标位姿，一些关节存在多个符合情况的关节角，同一末端关节位置 点处，后三个关节R、B和T组合方式为8，因此MOTOMAN-UP6工业机器人共得到8组解 析解，通常要根据关节的转动范围，基于最优准则选取一组最佳的解，所谓“最优”即是将 当前位置作为参考，在不发生外部碰撞的情形下，选择关节空间中离当前位置最近的逆解。末端执行器起始位置位于A点，到达期望位置B点可以有虚线所示的两种构型，根据最优准则，运动量较少的位姿一对应逆解会被优先选作逆解。

工业机器人的工作空间是指正常运行时末端执行件所达到的空间点的集合，在衡量工 业机器人运动性能的时候，机器人在笛卡尔空间里的工作范围大小是重要的指标之一，分析 研究工作空间的边界形状和范围大小，有利于充分发挥机器人的工作能力，根据具体任务有 效合理地利用工作空间。

工业机器人对于复杂曲面的点接触铣削加工中，刀轴姿态分为可变刀具姿态与固定刀 具姿态两种，固定刀轴姿态是指加工过程中刀轴矢量始终与初始设定矢量平行，可变刀具姿 态指刀轴矢量随着刀具轨迹运动时不断变化。工业机器人使用可变刀具姿态加工策略时，理 想的刀轴矢量为刀触点的曲面法向量。当刀轴矢量与刀触点的曲面法向量一致时，在保证刀 具半径小于最小曲率半径的条件下，能够避免过切现象的发生，但在曲面整体曲率变化幅度 大时，加工表面与刀具之间容易产生干涉，一般在允许范围内，调节相应刀具姿态角以避免 干涉现象。而使用固定刀具姿态的加工方式则相对简单，只需要合理选择刀具，并根据曲面 特征规划一种合理的刀具姿态进行加工即可。以固定姿态方式加工曲线曲面的CAM系统仿 真。

通过拟合一组给定型值点来生成预期NURBS曲线的过程，被称作反算过程，在NURBS 曲线权因子全部取1时，反算过程包括节点矢量、边界条件以及控制点的确定。拟合NURBS 曲线的常用方式有插值法和逼近法，其中插值方式创建的NURBS曲线必须精确地通过所给 的型值点，而逼近方式只需要接近型值点即可。为了保证高精度加工要求，本文将离散刀位 点作为型值点，采用插值法拟合生成连续的三次NURBS曲线，同时可以避免拟合更高阶曲 线带来的复杂运算问题。对于提取的一组离散型值点(刀位点)，用插值法来拟合三次NURBS 曲线时，首先要为每一个型值点指定一个参数值，此过程称为型值点的参数化，通过参数化 使型值点和参数值一一对应，就可以确定待拟合曲线的节点矢量。参数化方法有很多种，参 数化方法的不同直接影响着拟合后曲线的形状。

由于参数曲线上插补点与其参数值之间是一一对应的关系，因此各插补点的运算实际 就是连续递推对应参数的过程。所以NURBS作为参数曲线，其插补运算可以分为两步走： 一是计算出跨步步长所对应的参数增量，从而得到下一个插补点的参数值为，这个过程也 被称作曲线参数密化；二是利用NURBS表达式，得到的参数值在曲线上的点坐标。从运算的角度来说NURBS曲线插补的关键在于参数增量的确定。轨迹曲线插补质量的优劣直接影响着加工的效率、精度以及刀具的切削性能，目前常用的曲线插补方式有等参数增量插补、 恒定进给率插补和自适应进给率插补等。本文使用另一种参数曲线通用的插补方法—参数跟 踪法，其可以在满足精度要求的前提下而使计算量减少，不存在积累弦长误差。

运动学雅克比矩阵是机器人位姿的函数，该矩阵是关节空间中关节速度与笛卡尔空间 中末端执行器的位姿变化速度线性联系的纽带，一般理解为由关节空间向笛卡尔空间运动速 度传递的广义传动比，这属于瞬时运动学，由雅克比矩阵的速度映射作用，可以进一步推导， 速度雅克比矩阵可以实现关节空间里细微运动向笛卡尔空间的转换。

附图说明

图1是B样条曲线图；

图2是NURBS基函数推导过程

图3是NURBS曲线图对应权因子的性质

图4是机器人连杆关节转换图

图5是工业机器人连杆关节坐标系图

图6是机器人逆解选择原理图

图7是机器人三维工作点云图

图8是机器人三维工作点云图在XOY平面的投影

图9是机器人三维工作点云图在XOZ平面的投影

图10是机器人三维工作点云图在YOZ平面的投影

图11是MATLAB中拟合的NURBS曲线图

图12是MATLAB中拟合的NURBS曲线精度图

图13是NURBS参数跟踪法插补原理图

图14是NURBS参数跟踪法插补结果图

图15是刀具线速度图

图16是工业机器人加工平台图

具体实施方式

模具在车辆零部件生产中担负着重要角色，广泛应用于注塑、冲压和浇筑等工艺中， 零件的批量化生产需要借助模具完成。木模是一种传统的模具，木模的优劣程度直接影响着 产品的质量和尺寸，这就对木模的制造工艺提出了较高的要求。目前普遍使用数控加工生产 木模，相比数控加工，工业机器人具有活动空间宽广，控制精度高，运动姿态可变性强的优 势，特别是对于体积规模大的复杂木模，工业机器人具有更好的加工适应性。但如何使用机 器人实现复杂曲面的高精度加工仍然在研究当中，本发明以安川MOTOMAN-UP6机器人为实 验平台，探究工业机器人对复杂木模铣削加工的运动学分析、精度控制和轨迹规划等关键技 术问题。

本发明所用的B样条曲线表示方法，具体过程为：一条k次B样条曲线的定义为：

式中{V_i}代表控制点，如果将控制点集中{V_i}的各个元素按照顺序连接，形成的折线叫控制多 边形。如图1所示控制多边形是对B样条曲线的一个分段线性逼近。

N_i,k(u)是k次规范的第i个B样条基函数，定义区间由节点矢量U决定，其中节点矢量U是 一组非周期性非递减的数列，它是对曲线参数u的区间[a,b]内进行分割a＝u₀≤u₁≤...≤u_n＝b 的基础上形成的，节点矢量U可以表示为：

U＝[u₀,u₁,…,u_n+k+1]

在指定的B样条曲线节点矢量U和次数k的条件下，计算基函数N_i,k(u)最有效的计算方式是 德布尔-考斯克定义法：

(1)当B样条曲线次数k＝0时，N_i,k(u)定义式如下：

(2)当B样条曲线次数k>0时，k阶B样条其实是由两个对应相邻的低一阶B样条线性地 组合而成，因此基函数N_i,k(u)可通过下式进行递推运算：

(3)当(2)中出现0/0情况时，规定0/0＝0。

从上面的推导公式可以发现，N_i,k(u)是定义在整个实数轴上的分段多项式函数形式，但是其 只在对应区间u∈[u_i,u_i+k+1]内存在非零值，此区间被称为样条基函数所对应的支撑区间，N_i,k(u) 表达式只与自身的支撑区间内的节点相关，在其余部位N_i,k(u)是等于零的，此性质即是样条 基函数的局部支撑性,基函数推导过程如图2所示。

本发明所用的NURBS曲线表示方法，具体过程为：与非有理B样条相比，NURBS 曲线的有理分式表达式引入了权因子和分母，一条k次NURBS曲线定义式如下：

在上式中{V_i}为NURBS曲线的控制点(形成控制多边形)，{ω_i}是权因子，一般地对所有i 取ω_i＝1，{N_i,k(u)}同前面所述的样条基函数相同，其由节点矢量U决定：

NURBS的节点矢量、控制顶点、基函数的定义与B样条曲线完全相同，为了方便表示，通 常令：

{R_i,k(u)}称为有理基函数，因而式简化为如下表示：

为了防止R_i,k(u)分母为零，一般必须设置首末权因子ω₀,ω_n>0,其余ω_i≥0，权因子取值不同则 使得有理基函数不同。

关于NURBS曲线的性质有很多，其主要性质有：

(1)规范性：对所有的u∈[0,1]，有如下等式成立：

(2)若对所有i,ω_i＝1，则对所有的i,均有R_i,k(u)＝N_i,k(u)，此时NURBS曲线随即退化为 B样条曲线，充分证明B样条曲线是NURBS曲线的一种特殊情况。事实上NURBS曲线的几何本质是带权控制点的齐次坐标定义的高一维空间中的非有理B样条曲线向ω＝1这个超平 面投影得到的影像曲线。值得说明的是，本课题中若无特别标明，使用NURBS曲线时，均 默认所有权因子取ω_i＝1，即面临的是B样条问题。

(3)NURBS曲线在各个节点区间内部都是可微的，并且是无限次的，在r重节点处其连 续可微的次数是k-r。

(4)局部修改性：改变控制点V_i或者改变权因子ω_i，仅影响对应区间u∈[u_i,u_i+k+1)上曲线 的形状。这个性质也反应出NURBS曲线的局部支撑性。如图3所示，保持其它权因子不变 单独改变ω₃值所带来的效果，m,n,p分别是ω₃＝0.5，ω₃＝2，ω₃＝3时，固定参数u在曲线上 对应的点为C(u)，随着ω₃的减少，曲线逐步远离控制点V₃，反之则靠近，并且C(u)的移动 是沿着同一条直线的，同时该直线经过对应控制点V₃。这个性质在交互形状设计中非常有益， 权因子的引入丰富了曲线的造型效果，因此NURBS曲线比B样条曲线具有更强的可操控性。

本发明所用的正逆运动学表示方法，具体过程为：利用D-H参数法建立运动学方程时， 只需要连杆的四个参数即可准确表示机器人各机构间的运动关系，这四个参数分别是每个连 杆的连杆长度、连杆转角、连杆偏距和关节转角，要获得这些参数，首先要确定各连杆关节 坐标系，根据图4，下面说明关节坐标系的建立方法：

(1)将第i-1个关节和第i个关节轴方向定为各自关节坐标系的Z轴。

(2)将两个关节轴的公垂线作为第i个关节坐标系的X轴，显然第i坐标系的原点是此公 垂线与其Z轴的交点。

(3)关节坐标系的Y轴方向根据右手定则进行确定。

根据上述针对每个关节建立的关节坐标系，按照一定的坐标系变换规则，即可得到各连 杆的四个D-H参数。变换顺序规则如下：

(1)Xi-1绕Zi-1轴旋转，使得Xi-1与Xi平行(方向一致)。

(2)关节坐标系{i-1}的原点沿Zi-1轴平移，使得Xi-1与Xi共线。

(3)关节坐标系{i-1}的原点沿Xi-1轴平移，使得两坐标系{i-1}和{i}原点重合。

(4)将Zi-1绕Xi轴旋转，使得Zi-1轴与Zi轴共线(方向一致)。

表3.1 MOTOMAN-UP6连杆参数及转动变量

依据表3.1中每个连杆的四个D-H参数，在相邻两个连杆间进行关节坐标系变换，基于齐次 变换矩阵的通式，可以推导出相邻两个连杆间的齐次变换矩阵如下所示：

以上各式中c₁＝cos(θ₁)，s₁＝sin(θ₁)，其他变量以此类推，根据图5，将以上连杆之间的齐次变 换矩阵顺次相乘，得到MOTOMAN-UP6工业机器人末端关节相对于基坐标的位姿矩阵如下 所示：

公式(3.1)是6R工业机器人正向运动学的方程式，给出一组关节变量值即可计算出末端执行器 相对于基坐标系的位置和姿态。求解逆运动学封闭解的时候，采用相对简单的几何法。求解 过程如下：

(1)求θ₁的值

在(3.1)两侧同时右乘[⁵T₆]^-1，然后同时左乘[⁰T₁]^-1可得：

[⁰T₁]^-10T₆[⁵T₆]^-1＝¹T₂ ²T₃ ³T₄ ⁴T₅

上式中等式两边对应元素(3.4)相等，结合正运动学方程的结果进行化简得：

(a_yd₆-p_y)c₁+(p_x-a_xd₆)s₁＝0

根据式求得θ₁的值为：

θ₁＝atan2(a_yd₆-p_y,a_xd₆-p_x)

(2)求θ₃的值

求得θ₁之后，令(3.1)等式两侧(1,4)，(2,4)元素分别对应相等，获得两个方程为：

两个方程的两边平方并对应相加得到：

2h₂h₃c₃+2d₄h₂s₃＝k

其中：

进行三角变换后得到θ₃为：

上式中正负号代表可能的两个解。

(3)求θ₂的值

在(3.1)式两侧同时左乘[¹T₂]^-1，即：

[¹T₂]^-1[⁰T₁]^-10T₆[⁵T₆]^-1＝²T₃ ³T₄ ⁴T₅

令等式两侧(2,4)项对应相等可以得到：

c₂(p_z-a_zd₆)+ms₂＝h₃s₃-d₄c₃

其中：

m＝h₁+c₁(a_xd₆-p_x)+a_yd₆s₁-p_ys₁

由于θ₁与θ₃已求得，因此进行三角变换后得到θ₂为：

上式中，基于θ₁与θ₃的解，可以得到θ₂的四种可能的解。

(4)求θ₄的值

在(3.1)式两侧同时左乘[⁰T₃]^-1，可得：

[⁰T₃]^-10T₆＝³T₄ ⁴T₅ ⁵T₆

上式中，令两侧(1,3),(2,3)元素分别对应相等：

在保证s₅不等于零时，即可求得θ₄为：

θ₄＝atan2(a_xs₁-a_yc₁,c₂₃(a_xc₁+a_ys₁)+a_zs₂₃)

当s₅等于零时，关节R和关节T的轴线重合，此时机器人处于奇异位形，θ₄的值可以在 运动范围内任意选取，然后算出相应θ₆的值。

(5)求θ₅的值

在(3.1)式两侧同时左乘[⁰T₄]^-1，可得：

[⁰T₄]^-10T₆＝⁴T₅ ⁵T₆

上式中，令等式两侧(1,3),(2,3)元素分别对应相等，可得两个方程为：

可以根据上式中两个方程，得到θ₅对应的封闭解为：

θ₅＝atan2(s₅,c₅)

(6)求θ₆的值

在(3.1)式两侧同时左乘[⁰T₅]^-1，可得：

[⁰T₅]^-10T₆＝⁵T₆

上式中，令等式两侧(2,1),(2,2)元素分别对应相等，可得两个方程为：

可以根据上式，得到θ₆对应的封闭解为：

θ₆＝atan2(s₆,c₆)

以上便是运动学逆解的求解过程，各求解结果中atan2表示双变量反正切函数。根据图6所示 原理，在所有逆解当中选择最佳的一组解。

工业机器人的工作空间是指正常运行时末端执行件所达到的空间点的集合，在衡量工 业机器人运动性能的时候，机器人在笛卡尔空间里的工作范围大小是重要的指标之一，分析 研究工作空间的边界形状和范围大小，有利于充分发挥机器人的工作能力，根据具体任务有 效合理地利用工作空间。本文采用MOTOMAN-UP6工业机器人的末端关节上连接电主轴作 为刀具驱动工具，带动球头刀具进行高速旋转的方式进行铣削，因此，该铣削工业机器人的 作业空间为球头刀刀尖所能到达的全部空间位置，根据正运动学方程可知刀尖点在基础坐标 系下的变换矩阵为：

其中⁶T₇为刀具刀尖相对于最后一个关节的变换矩阵，可通过测量末端执行器尺寸大小获得：

在式(1)的结果中第四列的前三行[p_x p_y p_z]^T就是刀尖在操作空间中的坐标位置，为了分析 铣削工业机器人的工作范围，基于Monter Carlo方法^[45,46]创建一个随机过程，可使用MATLAB 里的Rand函数，对每一个移动关节或者转动关节分别产生出一个随机步长：

θ_i＝θ_i ^min+(θ_i ^max-θ_i ^min)×Rand(N,1)

其中，θ_i ^min和θ_i ^max分别是第i个关节的转动范围的下限和上限，N是随机采样数，即共生成N 组6个关节变量值，将每组关节变量值依次带入式(1)中，便可得到N个空间点。N个空间点 构成了铣削工业机器人的三维点云图，N越大，随机生成的空间点数越多，得到的工作空间 边界越清晰。

在MATLAB软件中，用Monter Carlo法结合正运动学方程，编程实现MOTOMAN-UP6铣削工业机器人工作空间分析，当随机采样数N取40000时，MOTOMAN-UP6铣削工业机 器人工作空间三维点云图及其在各平面上的投影如图7至图10所示，显然，随机点数越多， 所得的工作空间就越趋近于真实的工作空间。图7至图10可直观反映MOTOMAN-UP6铣削 工业机器人的工作空间范围，同时将工作空间点云投影在三个坐标系平面上，点云的分布紧 密，工作范围内无明显的缺陷，末端执行器的刀尖能够到达的空间较大，机器人具有较好的 铣削性能。

本发明所用的NURBS曲线拟合方法，具体过程为：对于提取的一组离散型值点(刀位点)Q_i(i＝0,1,…,n)，用插值法来拟合三次NURBS曲线时，首先要为每一个型值点指定一个参数值，此过程称为型值点的参数化，通过参数化使型值点和参数值一一对应，就可以确定待拟合曲线的节点矢量。参数化方法有很多种，参数化方法的不同直接影响着拟合后曲线 的形状，本文设定曲线参数范围都在u∈[0,1]内的前提下，使用常用的参数化方法^[49]如下：

(1)均匀参数化法

在整个参数定义域区间内，各节点呈等距分布的，为了方便，往往将节点取为整数序列：

u_i＝i，(i＝1,2,…,n)

对于三次NURBS曲线的插值，使用该参数化方法计算后的规范化节点矢量为：

(2)累加弦长参数化法

该方法能够使每个节点区间与曲线上对应弦长相对应，反应出型值点按弦长分布情况， 该方法满足：

其中|ΔQ_i-1|为向前差分矢量，ΔQ_i＝ΔQ_i+1-ΔQ_i为弦长矢量。对于三次NURBS曲线，使用该参 数化方法后的规范化节点矢量为：

(3)向心参数化法

该方法可以表现出型值点相邻弦线间的夹角情况，其满足：

对于三次NURBS曲线的插值，使用该参数化方法计算后的规范化节点矢量为：

(4)福利参数化法

又被称作修正弦长参数化，可以根据弦线处的曲线曲率值，用修正系数对弦长进行调节， 使得弦长和曲线的弧长接近。该方法满足：

其中：

|ΔQ_i-1|＝|ΔQ_n|＝0

对于三次NURBS曲线的插值，使用该参数化方法计算后的规范化节点矢量为：

以上四种参数化方法各有利弊，本文中由于型值点为分布不均匀的CAM刀位点，型值点形 成的多边形弦长分布不均匀，为了如实呈现多边形弦长的分布状况，并确保曲线的光顺性， 这里采用累加弦长参数化方法，这也是目前最常用的方法。

由于本文中权因子全部取1，根据2.3.2节中NURBS曲线的规范性，可构造型值点与参数间的关系式为：

根据型值点的数量，式构成的线性方程组共包含n+1个矢量方程，但是需要反求的控制点个 数却共为n+3个，因此需要为上述方程组增加合理的边界条件。由于参数化后的节点矢量首 末重复度为4，因此待求三次NURBS曲线的两端点处具有与三次贝塞尔曲线同样的端点性 质，即在曲线首末两端点处与控制多边形相切^[50]，因此满足：

其中C'(0)与C'(1)曲线的首末端切矢量，这里为了方便，直接用首末个两个型值点的连线段 作为待求曲线的首末端切矢量。

由于节点矢量中首末节点为重节点，其重复度为4，所以三次NURBS插值曲线的首末 控制点与首末型值点对应相重合，即V₀＝Q₀,V_n+2＝Q_n，因此可形成如下线性方程组：

其中：

a_i＝N_i(u_i+3),b_i＝N_i+1(u_i+3),c_i＝N_i+2(u_i+3),(i＝0,1,…,n)

由于节点矢量已经确定，因此可以求出各内部节点在定义区间内的非零三次样条基函数，然 后求解式即可得到三次NURBS插值曲线的所有未知控制点。通过以上方法，即可确定三次 NURBS插值曲线所需的节点矢量和控制顶点，从而确定待求的NURBS曲线，图11和图12分别为拟合的NURBS曲线和精度。

一条NURBS曲线的参数方程可以简写为：

根据泰勒公式，NURBS曲线在X轴上任一坐标点的二阶泰勒展开为：

令Δl＝f(u)-f(u₀)，Δl称为各轴的单个脉冲增量，由于曲线参数在u∈[0,1]范围内，因此 Δu＝u-u₀＜＜1，由此可以省略去式中高阶项得到参数增量为：

Δu＝Δl/f(u₀)'

为了保证Δu为正，将式改写为：

Δu＝Δl/|f(u₀)'|

利用德布尔求导公式得到当前参数值u_a对应NURBS曲线点的导矢，即可提取出u_a处XYZ 三个方向上的导数值dx/du、dy/du和dz/du，在三个导数值的绝对值|dx/du|、|dy/du|和 |dz/du|中选取最大项代入式中代替|f(u₀)'|，由于Δl是一个固定值，因此可由得到下一插补 点的参数值为u_b＝u_a+Δu。对于参数曲线的这种获取参数增量的方式被称为参数跟踪法，该插 补原理如图13所示，其步骤为：

第一步：曲线初始化，设定Δl的取值，以参数值u_a＝0处的坐标点作为起始点。

第二步：根据德布尔求导公式计算出当前参数u_a对应曲线点的导矢，得到|dx/du|、 |dy/du|和|dz/du|三者的值，令：

|f(u₀)'|＝max(|dx/du|，|dy/du|，|dz/du|)

将上式代入式得到参数增量Δu，并令待求插补点的参数u_b＝u_a+Δu，然后进行第三步。

第三步：判断参数u_b是否大于等于1。若大于等于1，令u_b＝1，储存当前插补结果C(1)并 结束插补过程；若u_b小于1，储存当前插补结果C(u_b)并令u_a＝u_b，转入第二步继续插补运算。

通常在插补过程中可以将Δl的取值适当增大，以便提高插补速度，但这样会使部分插 补点处的弓高误差超过允许阈值，为了控制弓高误差，采用二分法对相应的参数增量进行调 整优化，二分法的优点在于可以使问题迅速收敛，提高运算效率，用二分法优化的参数跟踪 法NURBS曲线插补过程如下：

第一步：NURBS曲线信息获取，以参数值u_a＝0处的坐标点作为起始点。

第二步：使用参数跟踪法得到当前参数u_a对应参数增量Δu，并令待求插补点的参数 u_b＝u_a+Δu，然后进行第三步。

第三步：判断参数u_b是否大于等于1。大于等于1时，令u_b＝1，进入下一步；u_b小于1时，直接进入下一步。

第三步：计算参数u_a与u_b对应曲线上两点间的弓高误差值，并与弓高误差阈值e比较， 若弓高误差没有超过阈值e，则满足要求，获得当前插补点参数值u_b，进行第六步；若弓高 误差超过阈值e，进入下一步。

第四步：令u_b＝(u_a+u_b)/2，进行下一步。

第五步：计算此时参数点u_a与u_b对应曲线上两点间的弓高误差值，并与允许弓高误差阈 值e比较，若弓高误差没有超过阈值e，则满足要求，获得当前插补点参数值u_b，进入第六 步；若弓高误差仍然超过阈值e，继续转入第四步。

第六步：判断u_b是否小于或等于1，若等于1，储存当前插补结果C(1)并结束插补；若u_b小于1，则储存当前插补结果C(u_b)并令u_a＝u_b，转入第二步继续插补运算。在插补过程中， 弓高误差的计算方法用近似替代法，如图14所示为优化前后的插补结果对比。

运动学雅克比矩阵是机器人位姿的函数，该矩阵是关节空间中关节速度与笛卡尔空间 中末端执行器的位姿变化速度线性联系的纽带，一般理解为由关节空间向笛卡尔空间运动速 度传递的广义传动比，即满足等式：

这属于瞬时运动学，上式中：ν、ω分别代表末端执行器在笛卡尔空间中线速度和角速度，

代表机器人关节速度矢量，J(q)代表速度雅克比矩阵，J(q)是m×n维矩阵，m表示末端空 间的自由度，n代表机器人的关节数量，所以对于串联6R机器人的雅克比矩阵是一个6×6的 矩阵。由雅克比矩阵的速度映射作用，可以进一步推导，速度雅克比矩阵可以实现关节空间 里细微运动向笛卡尔空间的转换，因此可以转化为：

通常利用微分变换法和矢量积法求得工业机器人的速度雅克比矩阵，本章采取微分变换法来 构造运动雅克比矩阵。

由于MOTOMAN-UP6工业机器人的六个关节全部为旋转关节，则第i个连杆相对于前一个 连杆(i-1)绕坐标系i的Z_i轴所做微分转动dθ，那么连杆i在坐标系i上的微分运动矢量表示 为：

根据微分运动的等价变换原理，机器人末端执行器工具坐标系中心的等价微分运动矢量写为：

则速度雅克比矩阵的第i列为：

上式中：(p×n)_z＝-n_xp_y+n_yp_x，以此类推易求得(p×o)_z，(p×a)_z。

由于工业机器人在非奇异位形时，对应的雅克比矩阵行列式不等于零，因此雅克比矩阵是满 秩的，其逆矩阵存在，此时可以将笛卡尔空间速度逆向映射至关节空间，从而得到关节速度：

事实上，雅克比矩阵必定有六行，其中前三行代表关节空间中各个关节速度对笛卡尔空间中 末端执行器线速度的传递比，后三行代表关节空间中各个关节速度对笛卡尔空间中末端执行 器角速度的传递比。

将每一轨迹点所对应的六个关节角度变量分别转化为关于时间的函数，就得了各关节 的转动角速度，其求一阶导数便是角加速度。设某一关节的一系列关节关节角度为θ_i(i＝0,1,…,n)，相邻两关节变量的时间间隔为t,为了角速度连续平稳，本文采用如下方式规 划关节的角速度：

上式中sign表示数值符号(正数、负数和零)，当取t＝0.3s时，对蝴蝶型曲线进行加工时， 各关节的角度、速度和加速度曲线。可知用NURBS曲线规划刀具路径时，关节空间中六个 关节角度位置变化连续、平顺。在没有使用多项式插值的情况下，就能够使各关节角速度和 角加速度在微小范围内连续变化，无大范围跳跃性突变发生，总体平稳，不会引起机器人剧 烈振动。利用雅克比矩阵将关节速度矢量变换为末端执行器在笛卡尔空间的线速度矢量，如

在完成刀具轨迹规划后，要将轨迹信息转化为MOTOMAN-UP6可识别和执行的JBI格式文件，JBI文件中参数赋值可以在机器人基础坐标系下完成，也可以在关节坐标系和用户 坐标系下完成。由于本文中轨迹规划在关节空间内完成，因此采用关节坐标系下编写的JBI 程序文件，下面对关节坐标系下的JBI文件格式进行说明：

上面的程序文件使用的语言为机器人级语言INFORM II，程序文件的注释信息各行均以“/” 标记开头，//NAME后跟的字符要与JBI文件名称一致；///NPOS后第一个数值位置代表程序 中包含的数组变量有300个；///TOOL后面的数字表示工具号；///PULSE代表在关节坐标系 下，将S、L、U、R、B、T六个关节的脉冲数赋值给下面以字母“C”为首的数组变量，从 而完成位姿信息的赋值；///DATE后跟的是生成程序文件的时间。程序文件的执行指令包含 完成各种运动的信息及其控制指令，决定着末端执行器的实际路径。执行指令有三种形式：

MOVJ C0 VJ＝5；(关节插补指令，数组变量C0处速度值为5)

MOVL C0 V＝5；(直线插补指令，数组变量C0处速度值为5)

MOVC C0 V＝5；(圆弧插补指令，数组变量C0处速度值为5)

由于本文使用NURBS插补产生的密集轨迹点，因此只需要使用直线插补指令即可。程序文 件最终以END指令结束。

MOTOMAN-UP6工业机器人铣削平台，如图16所示，整个加工设备包括了机器人、XRC控制柜、手动示教器、加工工作台、电主轴及上位机。在进行模型加工前，首先要将上 位机中由MATLAB转化生成的JBI文件传输至机器人控制柜当中，传输文件之前要确保机器 人控制柜有足够的内存空间，上位机与机器人控制柜相互传输机器人文件的软件是HignSpeed JobExchanger,该软件可以在局域网环境下进行上位机和机器人之间的通信操作，界面左 侧对应上位机当中的文件，右侧对应控制柜当中的文件。在使用时，要按下XRC控制柜操作 面板上的TEACH键，关闭示教模式，然后在控制柜上按下MOVE键，切换至通讯模式下， 确保上位机与XRC控制柜通信畅通的情况下，即可在Hign Speed JobExchanger软件中进行 JBI文件传输操作。在文件传输过程中系统还会自动校对文件格式是否正确，若有错误就会发 出错误指令代号，有利于操作者对文件进行相应的修正。

Claims (8)

1.一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：借助计算机的辅助设计与制造功能来完成刀具的轨迹规划，工作人员可以交互地完成零件毛坯、刀具参数、刀具姿态、走刀步长、加工行距和铣削速度等操作参数的设置，从而得到符合机器人加工的刀位数据，同时通过后处理将离散的刀位信息转化处理为工业机器人的控制程序，并在计算机中进行运动轨迹的动态仿真验证，检查机器人程序文件的可靠性。

2.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：用NURBS插补避免了以直代曲，而是以微小线段对加工曲面轮廓进行逼近。相比直线插补和圆弧插补，NURBS插补方法能得到更加准确、光顺的加工轨迹，在允许的加工范围内，能够减少加减速的频率，实现加工路径的高阶连续，大大提升了加工效率，改善了零件表面质量。

3.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：基于CAM铣削策略，将NURBS方法用于复杂木模的机器人加工轨迹规划当中，对于提高机器人的编程效率，减小机器人工作时的振动，保证复杂零件的表面加工质量和精度具有重要意义。

4.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：由离散刀位点构成的小直线段无法满足高效率和高精度的加工需求。为了得到更为密集的加工刀位点以保证精度，可以先将CAM输出的一系列离散刀位点进行NURBS曲线插值拟合，从而得到复杂曲面的NURBS刀具轨迹曲线，然后基于NURBS刀具轨迹曲线进行插补运算，将NURBS曲线插补的优越性应用于曲面加工任务中。

5.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：球头刀与曲面的接触位置并不总是刀尖，随着曲面曲率的变化，刀尖点相对刀触点位置进行了不同幅度的偏置，从而使得球头刀刀头外轮廓恰好与加工曲面相切。因此CAM系统中用固定姿态加工曲面的策略能够保证精度，基于此，用CAM中固定姿态加工曲线曲面的刀位点数据进行NURBS曲线拟合，将生成的NURBS曲线作为工业机器人的刀具轨迹曲线。

6.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：在分析曲面铣削刀轴控制方式的基础上，论证了在CAM系统中用固定刀具姿态加工曲面的可行性，并提取出CAM生成的离散刀位点作为型值点，对这些型值点进行参数化，进而完成三次NURBS曲线的插值拟合，同时得到了拟合曲线的控制顶点和节点矢量。最后利用参数跟踪法进行NURBS曲线的插补运算，为了有效控制弓高误差，引入二分法对参数跟法进行优化处理，从而实现了满足精度要求的插补运算。

7.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：根据正逆运动学原理，利用机器人进行铣削加工时，在操作空间生成刀具轨迹点后，可将其经运动学反解映射到关节空间中。因此机器人铣削轨迹规划不仅可以在关节空间内进行，而且也可以在笛卡尔空间内进行，关键是要保证工业机器人在铣削加工时的平稳性。在关节空间内进行铣削轨迹规划时，把各个关节的关节角度变量表示为关于运行时间的函数，并计算该函数关于时间的一阶和二阶导数。笛卡尔空间的铣削轨迹规划则是将预期的刀具位姿、速度以及加速度设定为关于时间的函数。这两种轨迹规划方式各有优势，为了保证关节运动平稳，本文在机器人的关节空间内进行轨迹规划。

8.根据权利要求1所述的一种复杂木模工业机器人铣削及控制方法，其特征在于：工业机器人的雅克比矩阵表示了笛卡尔空间和关节空间两者之间运动速度的映射关系，因此，在关节空间完成铣削轨迹规划的基础上，可利用雅克比矩阵将关节空间速度映射为末端执行器在笛卡尔空间的广义速度，这样就可以对末端执行器在机器人基础坐标系下的速度进行检验分析。

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