CN115146464A - 非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法 - Google Patents

非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法 Download PDF

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CN115146464A CN202210790448.2A CN202210790448A CN115146464A CN 115146464 A CN115146464 A CN 115146464A CN 202210790448 A CN202210790448 A CN 202210790448A CN 115146464 A CN115146464 A CN 115146464A
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司李南
雷伟斌
张建广
林坤
李鹏伟
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Abstract

本发明公开了非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，包括构建用于度量桁结构中不确定参数的椭球模型；获取具有单位半径等价球体模型并计算球体体积；获取桁架结构体系失效模式的结构功能函数并转换至标准参数空间；获取结构功能函数的二阶近似功能函数并计算单个结构功能函数对应的一阶失效域体积；在两两功能函数的联合验算点进行一阶泰勒展开并计算两个失效模式共失效域体积；采用O.Ditlevsen界限法计算串联结构体系失效域体积并求解最短区间；计算串联桁架结构体系的非概率失效度。通过该方法计算非线性功能函数串联结构体系的失效度不仅能够提高可靠性分析的精度，还能解决数值模拟方法效率低的问题。

Description

非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法
技术领域
本发明属于串联桁架结构体系可靠性分析技术领域，具体涉及非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法。
背景技术
桁架结构以其受力简单、重量轻、便于制造和组装等优点广泛应用与工程结构和机械机构，如桥梁、厂房、塔吊、桁架梁和桁架臂等结构中。受材料属性、制造条件、服役环境、运行工况等因素的影响，机构中往往存在着与弹性模量、强度、刚度、尺寸和载荷等参数相关的不确定参数。结构中的不确定参数的存在会使结构在服役过程中存在一定的安全隐患，为了确保结构的安全可靠，须对结构进行可靠性分析。传统可靠性分析采用随机模型度量结构中的不确定参数，进而发展了概率可靠性分析方法。然而构建随机模型需大量的不确定参数样本信息，而对于试验难度大和试验成本高的结构，结构中不确定参数的样本信息通常不足。鉴于此，只需少量样本信息确定不确定参数变化区间而不需明确其具体分布的凸集模型被用来度量结构中的不确定参数，并发展了相应的非概率可靠性分析方法。现有的串联结构体系可靠性分析的解析方法，如非概率区间估计法和非概率逐步等效平面法等，均是针对线性功能函数结构体系，针对非线性结构功能函数的结构体系解析可靠性分析方法尚不足。考虑到实际结构中结构功能函数大多是关于不确定参数的非线性函数，因此，为了兼顾结构体系可靠性分析过程中的精度与效率，发展针对非线性结构功能函数的结构体系解析可靠性分析方法成为结构可靠性分析中亟需解决的问题。
发明内容
本发明针对现有的用于计算非线性功能函数结构体系非概率可靠度或失效度的方法不足的问题，提出非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，在采用凸集模型度量结构中不确定参数的背景下，基于O.Ditlevsen界限法的基本思想，通过在单个失效模式的设计点对其进行泰勒二阶展开并求解一阶失效域体积和在任意两个失效模式的联合验算点对两个失效模式进行泰勒一阶展开并求解两个失效模式共失效域体积，发展用于计算非线性功能函数串联结构体系非概率失效度的区间估计法，通过该方法计算非线性功能函数串联结构体系的失效度不仅能够提高可靠性分析的精度，还能解决数值模拟方法效率低的问题，其应用前景广泛且便于推广使用。
为了解决上述技术问题，本发明通过以下技术方案予以实现：
非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，包括以下步骤：
步骤1、构建用于度量桁结构中不确定参数的椭球模型；
步骤2、获取具有单位半径等价球体模型并计算球体体积；
步骤3、获取桁架结构体系失效模式的结构功能函数并转换至标准参数空间；
步骤4：获取结构功能函数的二阶近似功能函数并计算单个结构功能函数对应的一阶失效域体积；
步骤5、在两两功能函数的联合验算点进行一阶泰勒展开并计算两个失效模式共失效域体积；
步骤6、采用O.Ditlevsen界限法计算串联结构体系失效域体积并求解最短区间；
步骤7、计算串联桁架结构体系的非概率失效度。
进一步地，步骤1中，所述构建用于度量桁结构中不确定参数的椭球模型具体为：
根据结构中不确定参数的数字特征构建度量不确定参数的椭球模型，如下：
Figure BDA0003733687180000021
其中，X为不确定参数向量且X＝(X1,X2,…,Xn)T，n为不确定参数向量X的维数，X中第i个元素Xi的边缘区间
Figure BDA0003733687180000031
为
Figure BDA0003733687180000032
为不确定参数Xi的下界，
Figure BDA0003733687180000033
为不确定参数Xi的上界，
Figure BDA0003733687180000034
为不确定参数的均值向量且其第i个元素为
Figure BDA0003733687180000035
Ωx为用于确定椭球模型尺寸和方向的特征矩阵且
Figure BDA0003733687180000036
ρij为第i个不确定参数Xi和第j个不确定参数Xj的相关系数，j为正整数且取值范围为1～n，当i＝j时，ρij＝1，
Figure BDA00037336871800000312
为第i个不确定参数边缘区间的区间半径且
Figure BDA0003733687180000037
Rn为n维实数域。
进一步地，步骤2中，所述获取具有单位半径等价球体模型并计算球体体积，具体包括：
步骤201、不确定参数向量的归一化处理：
根据公式
Figure BDA0003733687180000038
获取不确定参数向量X的归一化不确定参数向量U，其中，U＝(U1,U2,…,Un)T，Ui为第i个不确定参数Xi对应的归一化不确定参数；
步骤202、构建不确定参数的多维归一化等价椭球模型：
根据步骤201中对不确定参数的归一化处理获取归一化等价椭球模型
Figure BDA0003733687180000039
其中Ωu为椭球模型Ωx在归一化空间u中的等价特征矩阵且Ωu＝diag(Xr)Ωxdiag(Xr)，diag(Xr)为以Xr中元素为对角元素的n维对角矩阵；
步骤203、对归一化等价椭球模型的特征矩阵Ωu进行Choleskey分解，即
Figure BDA00037336871800000310
其中，L0为Choleskey分解得到的下三角矩阵；
步骤204、将归一化等价椭球模型转化到标准参数空间获取具有单位半径的等价球体模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}，其中，
Figure BDA00037336871800000311
为标准参数空间中的不确定参数，δi为对应于不确定参数Xi的标准不确定参数；
步骤205、计算单位半径等价球体模型的体积：
根据公式
Figure BDA0003733687180000041
计算多维等价单位球体模型Eδ的体积Vn，其中，Γ(·)为Gamma函数。
进一步地，步骤3中，所述获取桁架结构体系失效模式的结构功能函数并转换至标准参数空间，具体包括：
步骤301、确定桁架结构体系各失效模式的功能函数：
根据桁架结构失效准则确定桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)，其中l为桁架结构体系失效模式的编号且l＝1,2,…,m，m为桁架结构体系失效模式总个数；
步骤302、获取标准参数空间中的结构功能函数：
按照不确定参数向量X与标准参数空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系
Figure BDA0003733687180000042
对桁架结构体系各失效模式功能函数gl(X)进行变量代换，得到标准参数空间δ空间中相应失效模式的结构功能函数gl(δ)。
进一步地，步骤4中，所述获取结构功能函数的二阶近似功能函数并计算单个结构功能函数对应的一阶失效域体积，具体包括：
步骤401、判断串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(δ)是否为不确定参数向量δ的线性函数：
对功能函数gl(δ)进行求导处理，当功能函数gl(δ)关于不确定参数向量δ的一阶偏导数均为常数，表明功能函数gl(δ)是关于不确定参数向量δ的线性函数，执行步骤402；当功能函数gl(δ)关于不确定参数向量δ的一阶偏导数存在非常数，表明功能函数gl(δ)是关于不确定参数向量δ的非线性函数，执行步骤403；
步骤402、功能函数gl(δ)是不确定参数向量δ的线性函数，gl(δ)可记为：
Figure BDA0003733687180000051
其中，al0表示功能函数gl(δ)的常数项，al表示功能函数gl(δ)中不确定参数向量δ的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T，假设该结构功能函数的非概率可靠性指标为βl，则相应的一阶失效体积可表示为
Figure BDA0003733687180000052
步骤403、结构功能函数gl(δ)是不确定参数向量δ的非线性函数，根据优化问题
Figure BDA0003733687180000053
求得标准参数空间中第l个结构功能函数设计点
Figure BDA0003733687180000054
并在该设计点对结构功能函数进行泰勒二阶展开，得第l个结构功能函数的二阶近似结构功能函数为
Figure BDA0003733687180000055
其中，
Figure BDA0003733687180000056
表示结构功能函数gl(δ)在设计点处的梯度向量且
Figure BDA0003733687180000057
Figure BDA0003733687180000058
表示海森矩阵且
Figure BDA0003733687180000059
考虑到设计点
Figure BDA00037336871800000510
在失效面上，因此有
Figure BDA00037336871800000511
同时令αlδ表示与结构功能函数gl(δ)在设计点处的梯度向量
Figure BDA00037336871800000512
同方向的单位向量，且令
Figure BDA00037336871800000513
则第l个结构功能函数的非概率可靠性指标可表示为
Figure BDA0003733687180000061
令
Figure BDA0003733687180000062
则可得
Figure BDA0003733687180000063
通过正交变换δ＝HlY，其中，Hl＝[Hl1,Hl2,…,Hl(n-1),αlδ]，
Figure BDA0003733687180000064
可通过施密特正交化构建，可得y变量空间的极限状态方程为glY(Y)＝glY(Y1,Y2,…,Yn)，通过上述变换即可将失效面近似成一个以
Figure BDA0003733687180000065
的方向为对称轴的抛物面，其功能函数可表示为
Figure BDA0003733687180000066
其中
Figure BDA0003733687180000067
是一个n-1维实对称方阵且有n-1个特征向量及相应的特征值κli,i＝1,2,…,n-1，然后根据公式
Figure BDA0003733687180000068
求得近似曲面在设计点处的平均曲率，其中
Figure BDA0003733687180000069
其中
Figure BDA00037336871800000610
分别为第l个结构功能函数对应的矩阵Ml和Ql的对角元素，可得
Figure BDA00037336871800000611
考虑到y空间中椭球域可表示为Y1+Y2+…+Yn＝1，将
Figure BDA00037336871800000612
代入Y1+Y2+…+Yn＝1可得
Figure BDA00037336871800000613
可得该区域的体积为
Figure BDA00037336871800000614
最后单个失效模式的二阶失效体积可表示为
Figure BDA00037336871800000615
进一步地，步骤5中，所述在两两功能函数的联合验算点进行一阶泰勒展开并计算两个失效模式共失效域体积，具体包括：
取标准参数空间δ空间中的m个结构功能函数中的任意两个记为gl(δ)和gk(δ)，通过求解优化问题
Figure BDA0003733687180000071
求得两个结构功能函数的联合验算点
Figure BDA0003733687180000072
并在该验算点对两个结构功能函数进行泰勒一阶展开，可得
Figure BDA0003733687180000073
两个结构功能函数的非概率可靠性指标和相关系数可分别表示为
Figure BDA0003733687180000074
Figure BDA0003733687180000075
可得两个失效模式的共失效域体积
Figure BDA0003733687180000076
其中γlk＝arccos(ρlk)。
进一步地，步骤6中，所述采用O.Ditlevsen界限法计算串联结构体系失效域体积并求解最短区间，具体包括：
步骤601、串联结构体系非概率可靠性分析的O.Ditlevsen界限法：
根据O.Ditlevsen界限法的基本思想，分别采用一阶失效域体积和二阶失效域体积代替O.Ditlevsen界限法中的一阶失效概率和二阶失效概率，即可得到计算串联结构体系失效域体积的非概率窄界限法公式
Figure BDA0003733687180000081
然后针对非概率窄界限法的上下界表达式寻找合理失效模式排序方式从而确定窄界限法中的最大下界和最小上界；
步骤602、O.Ditlevsen界限法的最大下界：
非概率窄界限法中下界
Figure BDA0003733687180000082
如果对任意j都满足
Figure BDA0003733687180000083
则该下界可表示为
Figure BDA0003733687180000084
此时失效模式的排序对计算串联结构体系失效域体积的下界没有影响；而当非概率窄界限法下界
Figure BDA0003733687180000085
中存在j使得
Figure BDA0003733687180000086
这时失效模式的排列顺序对下界的求解就会产生影响，根据图论理论，最大下界的求解在于再相关权重图中选择一些点使得
Figure BDA0003733687180000087
最大，具体步骤为：(1)选择最大权值点并设置为序号a；(2)在其余点中选择满足max(Vx-Vax)的x点并将其设置为序号b；(3)再在其余点中选择满足max(Vx-Vax-Vbx)的x点并将其设置为序号c；(4)重复上述过程直到所有剩余点满足
Figure BDA0003733687180000088
可得O.Ditlevsen界限法最大下界
Figure BDA0003733687180000089
步骤603、O.Ditlevsen界限法的最小上界：非概率窄界限法的上界为
Figure BDA00037336871800000810
求最小上界实际是求
Figure BDA00037336871800000811
的最大值
Figure BDA00037336871800000812
根据图论理论，可通过寻找最大树的运算法则求解，具体步骤为：(1)将两个失效模式共失效域体积大小作为联结图中线的权重值，假设联结图中第lt条线对应的权重值为V(lt)，V(lt)与Vjk一一对应；(2)取权值最大的两条线作为最大树的分支；(3)选择另一条线，使之不与已选择的线构成封闭路且权重值为除已选中线外的最大者；(4)重复步骤(3)的过程直到联结图中的所有点都被以上所选择的线连接起来，即可得到最大树，相应线条权重值之和即为
Figure BDA0003733687180000091
将其代入公式
Figure BDA0003733687180000092
即可得最小上界
Figure BDA0003733687180000093
进一步地，所述不确定参数向量X包括惯性矩参数向量、荷载参数向量和弹性模量参数向量。
进一步地，不确定参数向量维数n满足n≥2。
进一步地，当不确定参数向量维数n＝2时，步骤205、步骤4和步骤5所求为面积；当n＝3时，步骤205、步骤4和步骤5所求为体积；当n＞3时，步骤205、步骤4和步骤5所求为多维体积；
步骤402和步骤5所述一阶失效体积公式和两个失效模式共失效域体积公式中β取值范围为(0,1)。
与现有技术相比，本发明至少具有以下有益效果：
1.可用于非线性功函数串联结构体系的非概率可靠性分析。弥补了现有方法竟能求解线性功能函数的串联结构体系可靠度的不足。
2.提出在来联合验算点对两个结构功能函数进行泰勒一阶展开，解决了两个非线性功能函数的失效模式共失效域体积难以求解的问题。
3.采用基于图论理论的排序方法求解O.Ditlevsen界限法的最大下界和最小上界，该方法精度高、效果好。
4.所采用的O.Ditlevsen界限法具有足够的求解精度和较之于数值模拟法更高的求解效率。
综上所述，本发明通过采用O.Ditlevsen界限法计算非线性功能函数串联结构体系的非概率失效度，使求解复杂的非线性功能函数串联结构体系可靠度问题成为可能。该方法极大简化了桁架结构非概率可靠性分析的复杂性。在满足工程实际问题精度要求的前提下实现了高效求解，其适用面广且应用前景广泛。本发明通过在设计点对非线性结构功能函数进行二阶近似，提高了对单个失效模式失效域体积的近似精度，然后在对两个失效模式影响最大的联合验算点进行一阶近似从而求解两个失效模式共失效域体积，在提高串联桁架结构体系非概率可靠度求解精度的同时还能保持较高的求解效率。
为使本发明的上述目的、特征和优点能更明显易懂，下文特举较佳实施例，并配合所附附图，作详细说明如下。
附图说明
为了更清楚地说明本发明具体实施方式中的技术方案，下面将对具体实施方式描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明的方法流程框图。
图2为本实施例中平面串联二十九杆静定桁架结构体系。
图3为本实施例中以失效域体积作为权重值的权重图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1和图2所示，本发明的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，包括以下步骤：
步骤1、构建用于度量结构中不确定参数的椭球模型：根据结构中不确定参数的数字特征构建度量不确定参数的椭球模型为
Figure BDA0003733687180000111
其中，X为不确定参数向量且X＝(X1,X2,…,Xn)T，n为不确定参数向量X的维数，X中第i个元素Xi的边缘区间
Figure BDA0003733687180000112
为
Figure BDA0003733687180000113
为不确定参数Xi的下界，
Figure BDA0003733687180000114
为不确定参数Xi的上界，
Figure BDA0003733687180000115
为不确定参数的均值向量且其第i个元素为
Figure BDA0003733687180000116
Ωx为用于确定椭球模型尺寸和方向的特征矩阵且
Figure BDA0003733687180000117
ρij为第i个不确定参数Xi和第j个不确定参数Xj的相关系数，j为正整数且取值范围为1～n，当i＝j时，ρij＝1，Xi r为第i个不确定参数边缘区间的区间半径且
Figure BDA0003733687180000118
Rn为n维实数域；
本实施例中，以图2所示的平面二十九杆静定桁架结构体系为例，在平面二十九杆静定桁架结构体系中，按杆件截面积大小将所有杆件分为四类，即第1类杆件：上弦杆和侧杆，第2类杆件：斜腹杆，第3类杆件：竖直腹杆，第4类杆件：下弦杆。结构系统中的不确定参数包括对应于四类杆件的惯性矩X1,X2,X3,X4，作用在结构体系上的荷载X5和结构体系中材料的弹性模量X6，即结构中不确定参数向量X的维数为n＝6，相应的不确定参数向量为X＝(X1,X2,X3,X4,X5,X6)T。其中，第1类杆件惯性矩X1的边缘区间为
Figure BDA0003733687180000119
第2类杆件惯性矩X2的边缘区间为
Figure BDA00037336871800001110
第3类杆件惯性矩X3的边缘区间为
Figure BDA00037336871800001111
第4类杆件惯性矩X4的边缘区间为
Figure BDA00037336871800001112
作用在结构体系上的荷载X5的边缘区间为
Figure BDA00037336871800001113
材料的弹性模量X6的边缘区间为
Figure BDA0003733687180000121
四个惯性矩之间的相关系数为ρ12＝ρ13＝ρ14＝ρ23＝ρ24＝ρ34＝0.7，惯性矩、载荷和材料弹性模量之间的相关系数为0。不确定参数的均值为
Figure BDA0003733687180000122
边缘区间的区间半径为
Figure BDA0003733687180000123
其中
Figure BDA0003733687180000124
为第i个不确定参数的上界，
Figure BDA0003733687180000125
为第i个不确定参数的下界，故其边缘区间的均值向量为Xc＝(6774100mm4,966800mm4,1554300mm4,3754200mm4,68.2kN,210GPa)T，边缘区间的区间半径向量为Xr＝(203223mm4,29004mm4,46629mm4,112626mm4,2.046kN,0.63GPa)T，用于确定椭球模型方向和形状的特征矩阵为
Figure BDA0003733687180000126
则用于度量该桁架结构中不确定参数的椭球模型为
Figure BDA0003733687180000127
步骤2、获取具有单位半径等价球体模型并计算球体体积，过程如下：
步骤201、不确定参数向量的归一化处理：根据公式
Figure BDA0003733687180000128
获取不确定参数向量X的归一化不确定参数向量U，其中，U＝(U1,U2,…,Un)T，Ui为第i个不确定参数Xi对应的归一化不确定参数；
步骤202、构建不确定参数的多维归一化等价椭球模型：根据步骤201中对不确定参数的归一化处理获取归一化等价椭球模型
Figure BDA0003733687180000129
其中Ωu为椭球模型Ωx在归一化空间u中的等价特征矩阵且Ωu＝diag(Xr)Ωxdiag(Xr)，diag(Xr)为以Xr中元素为对角元素的n维对角矩阵；
本实施例中，不确定参数向量X的归一化不确定参数向量U为
Figure BDA0003733687180000131
根据公式Ωu＝diag(Xr)Ωxdiag(Xr)可得归一化空间中等价椭球模型的特征矩阵
Figure BDA0003733687180000132
则可得归一化空间中等价椭球模型
Figure BDA0003733687180000133
步骤203、对归一化等价椭球模型的特征矩阵Ωu进行Choleskey分解，即
Figure BDA0003733687180000134
其中，L0为Choleskey分解得到的下三角矩阵；
步骤204、将归一化等价椭球模型转化到标准参数空间获取具有单位半径的等价球体模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}，其中，
Figure BDA0003733687180000135
为标准参数空间中的不确定参数，δi为对应于不确定参数Xi的标准不确定参数；
对归一化空间中等价椭球模型的特征矩阵进行Choleskey分解，可得下三角矩阵为
Figure BDA0003733687180000136
根据公式
Figure BDA0003733687180000137
即可将原空间中的不确定参数向量转化到标准参数空间δ空间，得具有单位半径的等价球体模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}；
步骤205、计算单位半径等价球体模型的体积：根据公式
Figure BDA0003733687180000141
计算多维等价单位球体模型Eδ的体积Vn，其中，Γ(·)为Gamma函数；
本实施例中，不确定参数维数为n＝6，根据公式
Figure BDA0003733687180000142
可得单位半径等价球体模型的体积为
Figure BDA0003733687180000143
步骤3、获取桁架结构体系失效模式的结构功能函数并转换至标准参数空间，过程如下：
步骤301、确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数：根据桁架结构失效准则确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)，其中，l为结构体系失效模式的编号且l＝1,2,…,m，m为结构体系失效模式的总个数；
本实施例中，根据受压杆件满足压杆稳定性条件和桁架下弦中点最大竖直位移不超过13mm确定了该二十九杆静定桁架结构的七个主要失效模式，即失效模式总个数m＝7，七个失效模式对应的结构功能函数为：
Figure BDA0003733687180000151
Figure BDA0003733687180000152
Figure BDA0003733687180000153
Figure BDA0003733687180000154
Figure BDA0003733687180000155
Figure BDA0003733687180000156
Figure BDA0003733687180000157
步骤302、获取标准参数空间中的结构功能函数：按照不确定参数向量X与标准参数空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系
Figure BDA0003733687180000158
对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)进行变量代换，得到标准参数空间δ空间中相应失效模式的结构功能函数gl(δ)；
本实施例中，根据不确定参数向量X与标准参数空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure BDA0003733687180000159
可得
Figure BDA00037336871800001510
将其代入原变量空间的七个失效模式对应的结构功能函数中，得标准参数空间δ空间中相应失效模式的结构功能函数gl(δ)：
g1(δ)＝2.1622e-8(6.2179δ6+2072.6)(126500δ1+38574δ2+59759δ3+142266δ4+6.7741e6)-8.8546δ5-295.15
g2(δ)＝6.25e-8(6.2179δ6+2072.6)*(126500δ1+38574δ2+59759δ3+142266δ4+6.7741e6)-8.928δ5-297.6
g3(δ)＝3.3058e-8(6.2179δ6+2072.6)(33299δ3+32640δ4+1.5543e6)-3.069δ5-102.3
g4(δ)＝6.25e-8(6.2179δ6+2072.6)(126500δ1+38574δ2+59759δ3+142266δ4+6.7741e6)-11.16δ5-372；
g5(δ)＝2.1622e-8(6.2179δ6+2072.6)(18876δ2+8528.9δ3+20303δ4+966800)-1.2649δ5-42.165
g6(δ)＝6.25e-8(6.2179δ6+2072.6)(126500δ1+38574δ2+59759δ3+142266δ4+6.7741e6)-11.16δ5-372
Figure BDA0003733687180000161
步骤4、获取结构功能函数的二阶近似功能函数并计算单个结构功能函数对应的一阶失效域体积，过程如下：
步骤401、判断串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(δ)是否为不确定参数向量δ的线性函数：对功能函数gl(δ)进行求导处理，当功能函数gl(δ)关于不确定参数向量δ的一阶偏导数均为常数，表明功能函数gl(δ)是关于不确定参数向量δ的线性函数，执行步骤402；当功能函数gl(δ)关于不确定参数向量δ的一阶偏导数存在非常数，表明功能函数gl(δ)是关于不确定参数向量δ的非线性函数，执行步骤403；
步骤402、功能函数gl(δ)是不确定参数向量δ的线性函数，gl(δ)可记为：
Figure BDA0003733687180000162
其中，al0表示功能函数gl(δ)的常数项，al表示功能函数gl(δ)中不确定参数向量δ的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T，假设该结构功能函数的非概率可靠性指标为βl，则相应的一阶失效体积可表示为：
Figure BDA0003733687180000171
步骤403、结构功能函数gl(δ)是不确定参数向量δ的非线性函数。根据优化问题
Figure BDA0003733687180000172
求得标准参数空间中第l个结构功能函数设计点
Figure BDA0003733687180000173
并在该设计点对结构功能函数进行泰勒二阶展开，得第l个结构功能函数的二阶近似结构功能函数为
Figure BDA0003733687180000174
其中
Figure BDA0003733687180000175
表示结构功能函数gl(δ)在设计点处的梯度向量且
Figure BDA0003733687180000176
Figure BDA0003733687180000177
表示海森矩阵且
Figure BDA0003733687180000178
考虑到设计点
Figure BDA0003733687180000179
在失效面上，因此有
Figure BDA00037336871800001710
同时令αlδ表示与结构功能函数gl(δ)在设计点处的梯度向量
Figure BDA00037336871800001711
同方向的单位向量，且令
Figure BDA00037336871800001712
则第l个结构功能函数的非概率可靠性指标可表示为
Figure BDA00037336871800001713
令
Figure BDA00037336871800001714
则可得
Figure BDA00037336871800001715
通过正交变换δ＝HlY，其中
Figure BDA00037336871800001716
且可通过施密特正交化构建，可得y变量空间的极限状态方程为glY(Y)＝glY(Y1,Y2,…,Yn)，通过上述变换即可将失效面近似成一个以
Figure BDA0003733687180000181
的方向为对称轴的抛物面，其功能函数可表示为
Figure BDA0003733687180000182
其中
Figure BDA0003733687180000183
是一个n-1维实对称方阵且有n-1个特征向量及相应的特征值κli,i＝1,2,…,n-1，然后根据公式
Figure BDA0003733687180000184
求得近似曲面在设计点处得平均曲率，其中
Figure BDA0003733687180000185
其中
Figure BDA0003733687180000186
分别为第l个结构功能函数对应的矩阵Ml和Ql的对角元素，可得
Figure BDA0003733687180000187
考虑到y空间中椭球域可表示为Y1+Y2+…+Yn＝1，将
Figure BDA0003733687180000188
代入Y1+Y2+…+Yn＝1可得
Figure BDA0003733687180000189
可得该区域的多维体积为
Figure BDA00037336871800001810
最后单个失效模式的二阶失效面积可表示为
Figure BDA00037336871800001811
本实施例中，通过求导可知，七个结构功能函数对标准参数空间中的不确定参数向量δ的一阶偏导均存在非常数，表明七个结构功能函数均是关于不确定参数的非线性函数，故执行步骤403，七个结构功能函数的非概率可靠性指标和设计点分别为：
Figure BDA00037336871800001812
Figure BDA0003733687180000191
根据表中数据可知失效模式g2(δ)、g4(δ)和g6(δ)的非概率可靠性指标分别为20.9222、17.7184和17.7184，非概率可靠性指标大于1表明该失效模式的失效域与凸集模型无交集，既该失效模式为无效的，因此，以下仅对非概率可靠性指标小于1的四个失效模式g1(δ)、g3(δ)、g5(δ)和g7(δ)进行分析，根据步骤403计算得四个结构功能函数对应的单个失效模式的二阶失效面积A1为：
g<sub>1</sub>(δ) g<sub>3</sub>(δ) g<sub>5</sub>(δ) g<sub>7</sub>(δ)
V<sub>cap</sub> 0.135859 0.000330342 0.165834 0.106155
V<sub>pan</sub> 0.00001536 0.0000001181 0.00002978 0.0000003188
凹凸性 凸 凸 凹 凸
V<sub>1</sub> 0.13587436 0.0003304601 0.16580422 0.1061553188
步骤5、在两两功能函数的联合验算点进行一阶泰勒展开并计算两个失效模式共失效域体积，过程如下：
取标准参数空间δ空间中的m个结构功能函数中的任意两个记为gl(δ)和gk(δ)。通过求解优化问题
Figure BDA0003733687180000192
求得两个结构功能函数的联合验算点
Figure BDA0003733687180000193
并在该验算点对两个结构功能函数进行泰勒一阶展开，可得
Figure BDA0003733687180000194
两个结构功能函数的非概率可靠性指标和相关系数可分别表示为
Figure BDA0003733687180000195
Figure BDA0003733687180000201
可得两个失效模式的共失效域体积
Figure BDA0003733687180000202
其中γlk＝arccos(ρlk)；
本实施例中，通过优化问题求得的四个结构功能函数g1(δ)、g3(δ)、g5(δ)和g7(δ)两两之间的联合验算点
Figure BDA0003733687180000203
为：
Figure BDA0003733687180000204
在联合验算点对结构功能函数进行泰勒一阶展开，然后求得两个失效模式的共失效域体积为：
Figure BDA0003733687180000205
步骤6、采用O.Ditlevsen界限法计算串联结构体系失效域体积并求解最短区间，过程如下：
步骤601、串联结构体系非概率可靠性分析的O.Ditlevsen界限法：根据O.Ditlevsen界限法的基本思想，分别采用一阶失效域体积和二阶失效域体积代替O.Ditlevsen界限法中的一阶失效概率和二阶失效概率，即可得到计算串联结构体系失效域体积的非概率窄界限法公式
Figure BDA0003733687180000211
然后针对非概率窄界限法的上下界表达式寻找合理失效模式排序方式从而确定窄界限法中的最大下界和最小上界；
步骤602、O.Ditlevsen界限法的最大下界：非概率窄界限法中下界
Figure BDA0003733687180000212
如果对任意j都满足
Figure BDA0003733687180000213
则该下界可表示为
Figure BDA0003733687180000214
此时失效模式的排序对计算串联结构体系失效域体积的下界没有影响。而当非概率窄界限法下界
Figure BDA0003733687180000215
中存在j使得
Figure BDA0003733687180000216
这时失效模式的排列顺序对下界的求解就会产生影响，根据图论理论，最大下界的求解在于再相关权重图中选择一些点使得
Figure BDA0003733687180000217
最大，具体步骤为：(1)选择最大权值点并设置为序号a；(2)在其余点中选择满足max(Vx-Vax)的x点并将其设置为序号b；(3)再在其余点中选择满足max(Vx-Vax-Vbx)的x点并将其设置为序号c；(4)重复上述过程直到所有剩余点满足
Figure BDA0003733687180000218
可得O.Ditlevsen界限法最大下界
Figure BDA0003733687180000219
本实施例中，根据步骤4中求得的单个失效模式的失效域体积和步骤5中求得的两个失效模式的共失效域体积，绘制出以失效域体积作为权重值的权重图如图3所示，根据步骤602求得O.Ditlevsen界限法最大下界对应失效模式排序为g5(δ)→g7(δ)→g1(δ)→g3(δ)，对应最大下界为
Figure BDA00037336871800002110
步骤603、O.Ditlevsen界限法的最小上界：非概率窄界限法的上界为
Figure BDA00037336871800002111
求最小上界实际是求
Figure BDA0003733687180000221
的最大值
Figure BDA0003733687180000222
根据图论理论，可通过寻找最大树的运算法则求解，具体步骤为：(1)将两个失效模式共失效域体积大小作为联结图中线的权重值，假设联结图中第lt条线对应的权重值为V(lt)，V(lt)与Vjk一一对应；(2)取权值最大的两条线作为最大树的分支；(3)选择另一条线，使之不与已选择的线构成封闭路且权重值为除已选中线外的最大者；(4)重复步骤(3)的过程直到联结图中的所有点都被以上所选择的线连接起来，即可得到最大树，相应线条权重值之和即为
Figure BDA0003733687180000223
将其代入公式
Figure BDA0003733687180000224
即可得最小上界
Figure BDA0003733687180000225
本实施例中，基于步骤602中的权重图，然后根据步骤603求得O.Ditlevsen界限法最小上界对应失效模式排序为g1(δ)→g5(δ)→g3(δ)→g7(δ)，对应最大下界为
Figure BDA0003733687180000226
步骤7、计算串联桁架结构体系的非概率失效度：考虑到结构体系的非概率可靠度Rs和非概率失效度fs满足Rs+fs＝1，为了方便起见，本发明采用非概率失效度作为结构体系可靠性的度量，根据非概率失效度的定义，即非概率失效度定义为凸集模型陷入结构体系失效域部分的体积与整个椭球模型体积之比，即串联桁架结构体系的非概率失效度区间为
Figure BDA0003733687180000227
本实施例中，根据步骤602获得的串联结构体系失效域体积的最大下界
Figure BDA0003733687180000228
步骤603获得的串联结构系体失效域体积的最小上界
Figure BDA0003733687180000229
以及步骤步骤205获得的单位半径等价球体模型的体积
Figure BDA00037336871800002210
即可通过
Figure BDA00037336871800002211
给出该串联桁架结构体系的非概率失效度区间为[0.0546884,0.0599835]。
最后应说明的是：以上所述实施例，仅为本发明的具体实施方式，用以说明本发明的技术方案，而非对其限制，本发明的保护范围并不局限于此，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改或可轻易想到变化，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改、变化或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明实施例技术方案的精神和范围，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应所述以权利要求的保护范围为准。

Claims (10)

1.非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、构建用于度量桁结构中不确定参数的椭球模型；
步骤2、获取具有单位半径等价球体模型并计算球体体积；
步骤3、获取桁架结构体系失效模式的结构功能函数并转换至标准参数空间；
步骤4：获取结构功能函数的二阶近似功能函数并计算单个结构功能函数对应的一阶失效域体积；
步骤5、在两两功能函数的联合验算点进行一阶泰勒展开并计算两个失效模式共失效域体积；
步骤6、采用O.Ditlevsen界限法计算串联结构体系失效域体积并求解最短区间；
步骤7、计算串联桁架结构体系的非概率失效度。
2.根据权利要求1所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，步骤1中，所述构建用于度量桁结构中不确定参数的椭球模型具体为：
根据结构中不确定参数的数字特征构建度量不确定参数的椭球模型，如下：
Figure FDA0003733687170000011
其中，X为不确定参数向量且X＝(X1,X2,…,Xn)T，n为不确定参数向量X的维数，X中第i个元素Xi的边缘区间
Figure FDA0003733687170000012
为
Figure FDA0003733687170000013
Figure FDA0003733687170000014
为不确定参数Xi的下界，
Figure FDA0003733687170000015
为不确定参数Xi的上界，
Figure FDA0003733687170000016
为不确定参数的均值向量且其第i个元素为
Figure FDA0003733687170000017
Ωx为用于确定椭球模型尺寸和方向的特征矩阵且
Figure FDA0003733687170000021
ρij为第i个不确定参数Xi和第j个不确定参数Xj的相关系数，j为正整数且取值范围为1～n，当i＝j时，ρij＝1，
Figure FDA0003733687170000022
为第i个不确定参数边缘区间的区间半径且
Figure FDA0003733687170000023
Rn为n维实数域。
3.根据权利要求2所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，步骤2中，所述获取具有单位半径等价球体模型并计算球体体积，具体包括：
步骤201、不确定参数向量的归一化处理：
根据公式
Figure FDA0003733687170000024
获取不确定参数向量X的归一化不确定参数向量U，其中，U＝(U1,U2,…,Un)T，Ui为第i个不确定参数Xi对应的归一化不确定参数；
步骤202、构建不确定参数的多维归一化等价椭球模型：
根据步骤201中对不确定参数的归一化处理获取归一化等价椭球模型
Figure FDA0003733687170000025
其中Ωu为椭球模型Ωx在归一化空间u中的等价特征矩阵且Ωu＝diag(Xr)Ωxdiag(Xr)，diag(Xr)为以Xr中元素为对角元素的n维对角矩阵；
步骤203、对归一化等价椭球模型的特征矩阵Ωu进行Choleskey分解，即
Figure FDA0003733687170000026
其中，L0为Choleskey分解得到的下三角矩阵；
步骤204、将归一化等价椭球模型转化到标准参数空间获取具有单位半径的等价球体模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}，其中，
Figure FDA0003733687170000027
为标准参数空间中的不确定参数，δi为对应于不确定参数Xi的标准不确定参数；
步骤205、计算单位半径等价球体模型的体积：
根据公式
Figure FDA0003733687170000031
计算多维等价单位球体模型Eδ的体积Vn，其中，Γ(·)为Gamma函数。
4.根据权利要求3所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，步骤3中，所述获取桁架结构体系失效模式的结构功能函数并转换至标准参数空间，具体包括：
步骤301、确定桁架结构体系各失效模式的功能函数：
根据桁架结构失效准则确定桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)，其中l为桁架结构体系失效模式的编号且l＝1,2,…,m，m为桁架结构体系失效模式总个数；
步骤302、获取标准参数空间中的结构功能函数：
按照不确定参数向量X与标准参数空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系
Figure FDA0003733687170000032
对桁架结构体系各失效模式功能函数gl(X)进行变量代换，得到标准参数空间δ空间中相应失效模式的结构功能函数gl(δ)。
5.根据权利要求4所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，步骤4中，所述获取结构功能函数的二阶近似功能函数并计算单个结构功能函数对应的一阶失效域体积，具体包括：
步骤401、判断串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(δ)是否为不确定参数向量δ的线性函数：
对功能函数gl(δ)进行求导处理，当功能函数gl(δ)关于不确定参数向量δ的一阶偏导数均为常数，表明功能函数gl(δ)是关于不确定参数向量δ的线性函数，执行步骤402；当功能函数gl(δ)关于不确定参数向量δ的一阶偏导数存在非常数，表明功能函数gl(δ)是关于不确定参数向量δ的非线性函数，执行步骤403；
步骤402、功能函数gl(δ)是不确定参数向量δ的线性函数，gl(δ)记为：
Figure FDA0003733687170000041
其中，al0表示功能函数gl(δ)的常数项，al表示功能函数gl(δ)中不确定参数向量δ的系数向量且
Figure FDA0003733687170000042
假设该结构功能函数的非概率可靠性指标为βl，则相应的一阶失效体积表示为
Figure FDA0003733687170000043
步骤403、结构功能函数gl(δ)是不确定参数向量δ的非线性函数，根据优化问题
Figure FDA0003733687170000044
求得标准参数空间中第l个结构功能函数设计点
Figure FDA0003733687170000045
并在该设计点对结构功能函数进行泰勒二阶展开，得第l个结构功能函数的二阶近似结构功能函数为
Figure FDA0003733687170000046
其中，
Figure FDA0003733687170000047
表示结构功能函数gl(δ)在设计点处的梯度向量且
Figure FDA0003733687170000048
Figure FDA0003733687170000049
表示海森矩阵且
Figure FDA00037336871700000410
考虑到设计点δl *在失效面上，因此有
Figure FDA00037336871700000411
同时令αlδ表示与结构功能函数gl(δ)在设计点处的梯度向量
Figure FDA00037336871700000412
同方向的单位向量，且令
Figure FDA00037336871700000413
则第l个结构功能函数的非概率可靠性指标表示为
Figure FDA0003733687170000051
令
Figure FDA0003733687170000052
则得到
Figure FDA0003733687170000053
通过正交变换δ＝HlY，其中，Hl＝[Hl1,Hl2,…,Hl(n-1),αlδ]，
Figure FDA0003733687170000054
通过施密特正交化构建，得到y变量空间的极限状态方程为glY(Y)＝glY(Y1,Y2,…,Yn)，通过上述变换将失效面近似成一个以
Figure FDA0003733687170000055
的方向为对称轴的抛物面，其功能函数表示为
Figure FDA0003733687170000056
其中
Figure FDA0003733687170000057
Figure FDA0003733687170000058
是一个n-1维实对称方阵且有n-1个特征向量及相应的特征值κli,i＝1,2,…,n-1，然后根据公式
Figure FDA0003733687170000059
求得近似曲面在设计点处的平均曲率，其中
Figure FDA00037336871700000510
其中
Figure FDA00037336871700000511
分别为第l个结构功能函数对应的矩阵Ml和Ql的对角元素，得到
Figure FDA00037336871700000512
考虑到y空间中椭球域表示为Y1+Y2+…+Yn＝1，将
Figure FDA00037336871700000513
代入Y1+Y2+…+Yn＝1得到
Figure FDA00037336871700000514
得到该区域的体积为
Figure FDA00037336871700000515
最后单个失效模式的二阶失效体积表示为
Figure FDA00037336871700000516
6.根据权利要求5所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，步骤5中，所述在两两功能函数的联合验算点进行一阶泰勒展开并计算两个失效模式共失效域体积，具体包括：
取标准参数空间δ空间中的m个结构功能函数中的任意两个记为gl(δ)和gk(δ)，通过求解优化问题
Figure FDA0003733687170000061
求得两个结构功能函数的联合验算点
Figure FDA0003733687170000062
并在该验算点对两个结构功能函数进行泰勒一阶展开，得到
Figure FDA0003733687170000063
两个结构功能函数的非概率可靠性指标和相关系数分别表示为
Figure FDA0003733687170000064
Figure FDA0003733687170000065
得到两个失效模式的共失效域体积
Figure FDA0003733687170000066
其中γlk＝arccos(ρlk)。
7.根据权利要求6所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，步骤6中，所述采用O.Ditlevsen界限法计算串联结构体系失效域体积并求解最短区间，具体包括：
步骤601、串联结构体系非概率可靠性分析的O.Ditlevsen界限法：
根据O.Ditlevsen界限法的基本思想，分别采用一阶失效域体积和二阶失效域体积代替O.Ditlevsen界限法中的一阶失效概率和二阶失效概率，得到计算串联结构体系失效域体积的非概率窄界限法公式
Figure FDA0003733687170000071
然后针对非概率窄界限法的上下界表达式寻找合理失效模式排序方式从而确定窄界限法中的最大下界和最小上界；
步骤602、O.Ditlevsen界限法的最大下界：
非概率窄界限法中下界
Figure FDA0003733687170000072
如果对任意j都满足
Figure FDA0003733687170000073
则该下界表示为
Figure FDA0003733687170000074
此时失效模式的排序对计算串联结构体系失效域体积的下界没有影响；而当非概率窄界限法下界
Figure FDA0003733687170000075
中存在j使得
Figure FDA0003733687170000076
这时失效模式的排列顺序对下界的求解就会产生影响，根据图论理论，最大下界的求解在于再相关权重图中选择一些点使得
Figure FDA0003733687170000077
最大，具体步骤为：(1)选择最大权值点并设置为序号a；(2)在其余点中选择满足max(Vx-Vax)的x点并将其设置为序号b；(3)再在其余点中选择满足max(Vx-Vax-Vbx)的x点并将其设置为序号c；(4)重复上述过程直到所有剩余点满足
Figure FDA0003733687170000078
得到O.Ditlevsen界限法最大下界
Figure FDA00037336871700000712
步骤603、O.Ditlevsen界限法的最小上界：非概率窄界限法的上界为
Figure FDA0003733687170000079
求最小上界实际是求
Figure FDA00037336871700000710
的最大值
Figure FDA00037336871700000711
根据图论理论，通过寻找最大树的运算法则求解，具体步骤为：(1)将两个失效模式共失效域体积大小作为联结图中线的权重值，假设联结图中第lt条线对应的权重值为V(lt)，V(lt)与Vjk一一对应；(2)取权值最大的两条线作为最大树的分支；(3)选择另一条线，使之不与已选择的线构成封闭路且权重值为除已选中线外的最大者；(4)重复步骤(3)的过程直到联结图中的所有点都被以上所选择的线连接起来，得到最大树，相应线条权重值之和即为
Figure FDA0003733687170000081
将其代入公式
Figure FDA0003733687170000082
得到最小上界
Figure FDA0003733687170000083
8.根据权利要求7所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，所述不确定参数向量X包括惯性矩参数向量、荷载参数向量和弹性模量参数向量。
9.根据权利要求7所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，不确定参数向量维数n满足n≥2。
10.根据权利要求9所述的非线性功能函数串联桁架结构体系非概率可靠性分析方法，其特征在于，当不确定参数向量维数n＝2时，步骤205、步骤4和步骤5所求为面积；当n＝3时，步骤205、步骤4和步骤5所求为体积；当n＞3时，步骤205、步骤4和步骤5所求为多维体积；
步骤402和步骤5所述一阶失效体积公式和两个失效模式共失效域体积公式中β取值范围为(0,1)。
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