CN114911265A - 一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法 - Google Patents

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CN114911265A CN202210662476.6A CN202210662476A CN114911265A CN 114911265 A CN114911265 A CN 114911265A CN 202210662476 A CN202210662476 A CN 202210662476A CN 114911265 A CN114911265 A CN 114911265A
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CN
China
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unmanned aerial
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aerial vehicle
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derivative
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余翔
张文宇
郭雷
郭克信
贾金豆
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Hangzhou Innovation Research Institute of Beihang University
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05D—SYSTEMS FOR CONTROLLING OR REGULATING NON-ELECTRIC VARIABLES
    • G05D1/00—Control of position, course or altitude of land, water, air, or space vehicles, e.g. automatic pilot
    • G05D1/10—Simultaneous control of position or course in three dimensions
    • G05D1/101—Simultaneous control of position or course in three dimensions specially adapted for aircraft
    • G05D1/104—Simultaneous control of position or course in three dimensions specially adapted for aircraft involving a plurality of aircrafts, e.g. formation flying
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    • Y02T10/10—Internal combustion engine [ICE] based vehicles
    • Y02T10/40—Engine management systems

Abstract

本发明涉及一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，包括根据四旋翼无人机的非线性模型，建立起平坦空间轨迹到系统全部状态的内生转换关系；引入可变放缩系数，并建立协同机动约束，生成单机轨迹求解模型；根据航点和机动需求，建模四旋翼编队机动约束，表征为虚拟质心轨迹与可变放缩系数的参数化线性等式/不等式约束，并采用最小化加速度的二阶导数作为优化指标，转化为二次规划问题；给出各单机的轨迹、姿态及其导数参考信号的解析形式，用于生成单机的电机控制指令，完成四旋翼无人机的编队协同机动控制。本方法可使四旋翼无人机编队行为近似于可整体放缩的六自由度刚体，能在瞬态实现姿态层级的一致行为，具有编队控制精度高、算力需求低、易部署等特点。

Description

一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法
技术领域
本发明属于无人飞行器控制技术领域，具体涉及一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法。
背景技术
四旋翼无人机因其成本低、可垂直起降、小巧灵活等特点，已经被广泛地应用到航拍、运输、农业、巡检等领域。近些年来，随着自动化、人工智能等技术的发展，四旋翼无人机编队场景逐渐引起了学术界、工业界的共同关注。编队能发挥协同优势，极大拓宽了四旋翼无人机的应用范围，例如，增强运输能力、提高搜索效率、提高表演观赏性等。但是，无人机的编队飞行相比于单机场景下带来了许多新的问题。一方面，传统的无人机轨迹规划方法难以直接拓展到多机任务场景下，不仅需要考虑环境和任务需求给轨迹生成带来的挑战，还需要考虑如何协调地规划各单机轨迹的同时避免机间碰撞。另一方面，编队飞行也造成了新的技术挑战，包括多机的系统架构安排、轨迹一致性等问题。因此，结合现有的技术，设计新的四旋翼无人机编队协同机动控制方法，对无人机产业的发展非常重要，且具有广阔的应用前景。
目前，对于四旋翼无人机编队控制的研究主要集中在对编队的绝对空间位置一致性实现层面，对于四旋翼无人机编队的协调机动问题的研究较少。文献《四旋翼无人机高阶一致性编队控制方法》把四旋翼无人机非线性数学模型简化为两个四阶线性子系统和两个二阶线性子系统，利用位置偏差矩阵描述编队队形，对于线性模型设计了高阶一致性编队控制算法，能够实现编队的集结和保持。中国发明专利CN201810980595.X中提出了一种基于人工势场法的四旋翼无人机集群控制方法，利用速度控制函数进行单机的运动控制，能实现编队朝向目标运动以及避障。中国发明专利CN202011509312.7中设计了一种分层式的控制框架，利用一致性理论生成虚拟位置和速度，在跟踪控制层中设计PID控制律跟踪虚拟位置和速度。上述三种方法均可实现编队的基本功能，但总的来说存在三个方面的不足：一是基于线性系统模型设计的控制方法，对系统运动学、动力学特性描述不够充分，不能充分考虑系统约束；二是仅实现空间绝对位置层面的编队行为，不能达到姿态层级的编队行为；三是无法生成平滑的单机轨迹高阶导数信号，不利于跟踪控制器的设计，对编队精度造成影响。
综上所述，现有方法难以应用于快速的四旋翼无人机编队机动场景中，缺乏对编队行为的完整数学描述，不利于单机跟踪控制的实现，亟需攻克四旋翼无人机的协同机动控制方法。
发明内容
针对四旋翼无人机编队飞行时的编队数学模型表征、轨迹高阶导数连续性和单机轨迹求解等问题，为克服现有技术不足，本发明提供一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，实现了四旋翼无人机近似于可整体放缩的六自由度刚体的编队行为，能在瞬态实现姿态层级的一致行为，同时能保证各单机轨迹高阶导数连续。
为达到上述目的，本发明采用的的技术方案为：
一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，包括以下步骤：
第一步，根据四旋翼无人机动力学模型，基于微分平坦理论，建立单机轨迹到系统状态的内生转换关系；
第二步，以虚拟刚体为基础，引入可变放缩系数，表征编队的空间构型，并引入协同机动约束，生成单机轨迹求解模型；
第三步，设计编队机动动作，建模为虚拟刚体质心轨迹及放缩系数的参数化约束，采用最小化加速度的二阶导数作为优化指标，转化为二次规划问题进行求解；
第四步，根据内生转换关系和单机轨迹映射，给出各单机的轨迹、姿态及其导数的参考信号，用于生成单机的电机控制指令。
进一步地，采用欧拉角表示四旋翼无人机的姿态，对应的旋转矩阵R定义为：
Figure BDA0003691432020000021
上式中，φ,θ,ψ为机体坐标系到惯性坐标系的欧拉角，分别对应于滚转角、偏航角和俯仰角；
建立四旋翼无人机非线性动力学模型如下：
Figure BDA0003691432020000031
上式中，右上标表示向量对应的坐标系，其中B表示四旋翼无人机的机体系，E表示惯性坐标系，其采用地球坐标系)；GE＝[0 0 mg]T表示重力，FE＝R[0 0 f]T表示惯性系中的总升力，
Figure BDA0003691432020000032
表示体轴系下的角速度测量值和欧拉角导数的投影关系，其中：
Figure BDA0003691432020000033
由微分平坦理论，可得：
Figure BDA0003691432020000034
其中，
Figure BDA0003691432020000035
表示无人机位置的二阶时间导数，
Figure BDA0003691432020000036
和
Figure BDA0003691432020000037
由下式求得：
Figure BDA0003691432020000038
其中，
Figure BDA0003691432020000041
结合旋转矩阵的定义，由R求解出对应的俯仰、滚转角；
令ωB＝[p q r]T，由微分平坦特性可得：
Figure BDA0003691432020000042
Figure BDA0003691432020000043
其中：
Figure BDA0003691432020000044
Figure BDA0003691432020000045
上式中，f为无人机升力矢量模长，
Figure BDA0003691432020000046
表示无人机加速度的一阶、二阶时间导数；
选取平坦输出为σ＝[x y z ψ]T，其中x,y,z为无人机位置，ψ为无人机偏航角，即可从平坦输出空间的轨迹及其各阶导数得到对应的四旋翼无人机包含位置、姿态及其各阶导数的全部状态的参考信号，这一过程为内生转换。
进一步地，所述第二步中，编队中第i架无人机轨迹Pr i表示为：
Figure BDA0003691432020000047
其中，Pv为编队虚拟质心的轨迹，α为可变放缩系数，Rv为编队整体姿态的旋转矩阵，ri为第i架无人机相对于编队中心的位置矢量，由指定的编队队形决定；
引入协同机动约束为：
Figure BDA0003691432020000048
其中，Φ代表第一步中建立的内生转换关系，
Figure BDA0003691432020000049
表示编队虚拟质心轨迹的二阶时间导数，ψv表示编队整体的偏航角；该约束实现了四旋翼无人机编队的协同机动行为，即编队行为类似于一个可整体放缩的六自由度刚体。
进一步地，所述第三步中，编队虚拟质心轨迹和放缩系数生成过程如下：
首先，把三维空间的轨迹Pv(t)和时变放缩系数α(t)视为四个独立的维度，对于任一维度，都采用分段多项式进行描述，以必须通过的航点作为节点进行分段，各维度的时间函数用多项式表示为：
Figure BDA0003691432020000051
其中，k为轨迹的段数，pi为第i短轨迹的参数向量c；
编队要求经过的航迹点位置、速度、加速度等式/不等式约束，转换为关于p的线性等式/不等式；在节点处的连续性要求也通过关于p的线性等式表达；对于放缩系数，同样在不同的节点处指定相应的值，来控制编队平滑地散开或收缩；
对第二步建立的单机轨迹求解模型进行链式求导可得各单机的加速度为：
Figure BDA0003691432020000052
其中，
Figure BDA0003691432020000053
是第i个无人机位置的二阶时间导数，
Figure BDA0003691432020000054
和
Figure BDA0003691432020000055
是可变放缩系数的一阶、二阶时间导数，
Figure BDA0003691432020000056
和
Figure BDA0003691432020000057
是虚拟刚体转动矩阵的一阶、二阶时间导数。
由第一步的内生转换关系可知，在tw时刻，无人机单机对应的姿态参考值由
Figure BDA0003691432020000058
决定；引入如下瞬态约束：
Figure BDA0003691432020000059
其中，
Figure BDA00036914320200000510
表示虚拟质心位置轨迹的四阶导数。
上式实现在任意指定的tw时刻，使得所有无人机的姿态保持一致，且与编队整体姿态相同；
上述的所有约束均写为如下形式：
Figure BDA00036914320200000511
其中，A和Al是由节点时刻决定的常值矩阵，b和bl是根据系统约束设定的常值向量。最后，借助常用的二次规划求解器求解由加速度的二阶导数最优指标和线性等式/不等式组合成的二次规划问题。
进一步地，第i个单机的状态参考信号求解过程如下：
Figure BDA00036914320200000512
其中，
Figure BDA0003691432020000061
和
Figure BDA0003691432020000062
均通过链式求导法则得到解析的形式，所有的欧拉角、角速度、旋转矩阵及其导数的参考信号通过第一步中建立的内生转换关系得到。
本发明与现有技术相比的优点在于：
本发明中使用非线性的四旋翼无人机动力学模型，对系统动态特性、约束考虑更加贴近工程实际，并通过引入协同机动约束、瞬态姿态约束等，实现了姿态层级的编队行为，且生成的编队轨迹的高阶导数连续，更利于单个无人机的跟踪控制设计，能显著提高编队机动性能和队形保持精度。
附图说明
图1为本发明一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法的流程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
本发明的一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，通过四旋翼无人机非线性模型建立内生转换关系，在虚拟刚体的基础上引入放缩系数和协同机动约束，建立起单机的轨迹模型，以最小化加速度的二阶导数作为优化指标，考虑各节点处的参数化等式/不等式约束，实现虚拟质心的轨迹规划，进而求解单机的全部状态参考信号，最终完成编队协同机动控制。如图1所示，具体实现步骤如下：
第一步，根据四旋翼无人机动力学模型，基于微分平坦理论，建立单机轨迹到系统状态的内生转换关系。
采用欧拉角表示四旋翼无人机的姿态，对应的旋转矩阵R定义为：
Figure BDA0003691432020000063
上式中，φ,θ,ψ为机体坐标系到惯性坐标系的欧拉角，分别对应于滚转角、偏航角和俯仰角；
建立四旋翼无人机非线性动力学模型如下：
Figure BDA0003691432020000071
上式中，右上标表示向量对应的坐标系，其中B表示四旋翼无人机的机体系，E表示惯性坐标系(此处采用地球坐标系)。GE＝[0 0 mg]T表示重力，FE＝R[0 0 f]T表示惯性系中的总升力，
Figure BDA0003691432020000072
表示体轴系下的角速度测量值和欧拉角导数的投影关系，其余各项参数的含义在表1中列出。
表1四旋翼无人机非线性模型参数含义
Figure BDA0003691432020000073
由微分平坦理论，可得：
Figure BDA0003691432020000074
其中，
Figure BDA0003691432020000075
表示无人机位置的二阶时间导数，
Figure BDA0003691432020000076
和
Figure BDA0003691432020000077
由下式求得：
Figure BDA0003691432020000081
其中，
Figure BDA0003691432020000082
结合旋转矩阵的定义，由R求解出对应的俯仰、滚转角。
令ωB＝[p q r]T，由微分平坦特性可得：
Figure BDA0003691432020000083
Figure BDA0003691432020000084
其中：
Figure BDA0003691432020000085
Figure BDA0003691432020000086
上式中，f为无人机升力矢量模长，
Figure BDA0003691432020000087
表示无人机加速度的一阶、二阶时间导数；
选取平坦输出为σ＝[x y zψ]T，其中x,y,z为无人机位置，ψ为无人机偏航角，即可从平坦输出空间的轨迹及其各阶导数得到对应的四旋翼无人机全部状态(含位置、姿态及其各阶导数)的参考信号，这一过程也称为内生转换。
第二步，以虚拟刚体方法为基础，引入可变放缩系数，表征编队的空间构型，并引入协同机动约束，生成单机轨迹求解模型；
编队中第i架无人机轨迹
Figure BDA0003691432020000088
表示为：
Figure BDA0003691432020000089
其中，Pv为编队虚拟质心的轨迹，α为可变放缩系数，Rv为编队整体姿态的旋转矩阵，ri为第i架无人机相对于编队中心的位置矢量，由指定的编队队形决定。
引入协同机动约束为：
Figure BDA00036914320200000810
其中，Φ代表第一步中建立的内生转换关系，
Figure BDA00036914320200000811
表示编队虚拟质心轨迹的二阶时间导数，ψv表示编队整体的偏航角；该约束实现了四旋翼无人机编队的协同机动行为，即编队行为类似于一个可整体放缩的六自由度刚体。
第三步，设计编队机动动作，建模为虚拟刚体质心轨迹及放缩系数的参数化约束，采用加速度的二阶导数指标，转化为二次规划问题进行求解；
首先，把三维空间的轨迹Pv(t)和时变放缩系数α(t)视为四个独立的维度。对于任一维度，都采用分段多项式进行描述，以必须通过的航点作为节点进行分段，各维度的时间函数用多项式表示为：
Figure BDA0003691432020000091
其中，k为轨迹的段数，pi为第i短轨迹的参数向量，ti，i＝1,2,...,n为时间的各阶幂函数；
采用加速度的二阶导数作为优化指标，即：
Figure BDA0003691432020000092
上式中，p(4)(t)表示虚拟质心轨迹的四阶时间导数，pi和
Figure BDA0003691432020000093
为一段多项式系数组成的列向量及其转置，p和pT表示所有多项式系数组成的列向量及其转置，
Figure BDA0003691432020000094
其中，r和c分别为矩阵的行索引和列索引，diag(Q1,Q2,...,Qk)表示子矩阵组成对较块矩阵；编队要求经过的航迹点位置、速度、加速度等式/不等式约束，转换为关于p的线性等式/不等式；类似的，在节点处的连续性要求也通过关于p的线性等式表达；对于放缩系数，同样在不同的节点处指定相应的值，来控制编队平滑地散开或收缩。例如在需要协同穿过窄缝时，可在窄缝所处的航点上把放缩系数设置为(0,1)区间内的值，使得编队在收紧通过窄缝的同时，避免机间的碰撞。
对第二步建立的单机轨迹求解模型进行链式求导可得各单机的加速度为：
Figure BDA0003691432020000095
其中，
Figure BDA0003691432020000096
是第i个无人机位置的二阶时间导数，
Figure BDA0003691432020000097
和
Figure BDA0003691432020000098
是可变放缩系数的一阶、二阶时间导数，
Figure BDA0003691432020000099
和
Figure BDA00036914320200000910
是虚拟刚体转动矩阵的一阶、二阶时间导数。
由第一步的内生转换关系可知，在tw时刻，无人机单机对应的姿态参考值由
Figure BDA00036914320200000911
决定；引入如下瞬态约束：
Figure BDA0003691432020000101
其中，
Figure BDA0003691432020000102
表示虚拟质心位置轨迹的四阶导数。
上式实现在任意指定的tw时刻，使得所有无人机的姿态保持一致，且与编队整体姿态相同；
上述的所有约束均写为如下形式：
Figure BDA0003691432020000103
其中，A和Al是由节点时刻决定的常值矩阵，b和bl是根据系统约束设定的常值向量。最后，借助常用的二次规划求解器求解(例如：Gurobi)由最小化加速度二阶导数指标和线性等式/不等式组合成的二次规划问题。
第四步，根据内生转换关系和单机轨迹映射，给出各单机的轨迹、姿态及其导数等参考信号，用于生成单机的电机控制指令。
第i个单机的状态参考信号求解过程如下：
Figure BDA0003691432020000104
类似地，
Figure BDA0003691432020000105
和
Figure BDA0003691432020000106
均可通过链式求导法则得到解析的形式，而所有的欧拉角、角速度、旋转矩阵及其导数等参考信号等，均可通过第一步中建立的内生转换关系得到。
在单机控制律设计过程中，可采用串级PID的形式，在各级控制中引入对应的参考信号信息作为前馈，或用于求解跟踪误差，用以提高跟踪精度。需要说明的是，本发明不涉及四旋翼无人机单机的控制律设计，本发明中为编队飞行设计的高阶可导的参考轨迹信号可与大多数的飞行控制算法结合应用，用以提升编队飞行控制精度。
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
第一步，根据四旋翼无人机动力学模型，基于微分平坦理论，建立单机轨迹到系统状态的内生转换关系；
第二步，以虚拟刚体为基础，引入可变放缩系数，表征编队的空间构型，并引入协同机动约束，生成单机轨迹求解模型；
第三步，设计编队机动动作，建模为虚拟刚体质心轨迹及放缩系数的参数化约束，采用加速度的二阶导数指标，转化为二次规划问题进行求解；
第四步，根据内生转换关系和单机轨迹映射，给出各单机的轨迹、姿态及其导数的参考信号，用于生成单机的电机控制指令。
2.根据权利要求1所述的一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，其特征在于：所述第一步具体实现如下：
采用欧拉角表示四旋翼无人机的姿态，对应的旋转矩阵R定义为：
Figure FDA0003691432010000011
上式中，φ,θ,ψ为机体坐标系到惯性坐标系的欧拉角，分别对应于滚转角、偏航角和俯仰角；
建立四旋翼无人机非线性动力学模型如下：
Figure FDA0003691432010000012
上式中，右上标表示向量对应的坐标系，其中B表示四旋翼无人机的机体系，E表示惯性坐标系，其采用地球坐标系；GE＝[0 0 mg]T表示重力，FE＝R[0 0 f]T表示惯性坐标系中的总升力，
Figure FDA0003691432010000013
表示体轴系下的角速度测量值和欧拉角导数的投影关系，p表示四旋翼无人机的位置矢量，v表示速度矢量，ω表示角速度矢量，η＝[φ θ ψ]T为欧拉角，J＝[Jxx Jyy Jzz]T是无人机的转动惯量，τ为无人机执行器产生的力矩，F为无人机的升力，m是无人机质量，g为重力加速度；
由微分平坦理论，可得：
Figure FDA0003691432010000021
其中，
Figure FDA0003691432010000022
Figure FDA0003691432010000023
表示无人机位置的二阶时间导数，
Figure FDA0003691432010000024
和
Figure FDA0003691432010000025
由下式求得：
Figure FDA0003691432010000026
其中，
Figure FDA0003691432010000027
结合旋转矩阵的定义，由R求解出对应的俯仰、滚转角；
令ωB＝[p q r]T，由微分平坦特性可得：
Figure FDA0003691432010000028
Figure FDA0003691432010000029
其中：
Figure FDA00036914320100000210
Figure FDA00036914320100000211
上式中，f为无人机升力矢量模长，
Figure FDA00036914320100000212
表示无人机加速度的一阶、二阶时间导数；
选取平坦输出为σ＝[x y z ψ]T，其中x,y,z为无人机位置，ψ为无人机偏航角，即从平坦输出空间的轨迹及其各阶导数得到对应的四旋翼无人机包含位置、姿态及其各阶导数的全部状态的参考信号，这一过程为内生转换。
3.根据权利要求2所述的一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，其特征在于：所述第二步中，编队中第i架无人机轨迹
Figure FDA00036914320100000213
表示为：
Figure FDA00036914320100000214
其中，Pv为编队虚拟质心的轨迹，α为可变放缩系数，Rv为编队整体姿态的旋转矩阵，ri为第i架无人机相对于编队中心的位置矢量，由指定的编队队形决定；
引入协同机动约束为：
Figure FDA0003691432010000031
其中，Φ代表第一步中建立的内生转换关系，
Figure FDA0003691432010000032
表示编队虚拟质心轨迹的二阶时间导数，ψv表示编队整体的偏航角；该约束实现了四旋翼无人机编队的协同机动行为，即编队行为类似于一个可整体放缩的六自由度刚体。
4.根据权利要求3所述的一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，其特征在于：所述第三步中，编队虚拟质心轨迹和放缩系数生成过程如下：
首先，把三维空间的轨迹Pv(t)和时变放缩系数α(t)视为四个独立的维度，对于任一维度，都采用分段多项式进行描述，以必须通过的航点作为节点进行分段，各维度的时间函数用多项式表示为：
Figure FDA0003691432010000033
其中，k为轨迹的段数，pi为第i短轨迹的参数向量，ti，i＝1,2,...,n为时间的各阶幂函数；
采用最小化加速度的二阶导数作为优化指标，即：
Figure FDA0003691432010000034
上式中，p(4)(t)表示虚拟质心轨迹的四阶时间导数，pi和
Figure FDA0003691432010000035
为一段多项式系数组成的列向量及其转置，p和pT表示所有多项式系数组成的列向量及其转置，
Figure FDA0003691432010000036
其中，r和c分别为矩阵的行索引和列索引，diag(Q1,Q2,...,Qk)表示子矩阵组成对较块矩阵；
编队要求经过的航迹点位置、速度、加速度等式/不等式约束，转换为关于p的线性等式/不等式；在节点处的连续性要求也通过关于p的线性等式表达；对于放缩系数，同样在不同的节点处指定相应的值，来控制编队平滑地散开或收缩；
对第二步建立的单机轨迹求解模型进行链式求导可得各单机的加速度为：
Figure FDA0003691432010000041
其中，
Figure FDA0003691432010000042
是第i个无人机位置的二阶时间导数，
Figure FDA0003691432010000043
和
Figure FDA0003691432010000044
是可变放缩系数的一阶、二阶时间导数，
Figure FDA0003691432010000045
和
Figure FDA0003691432010000046
是虚拟刚体转动矩阵的一阶、二阶时间导数；
由第一步的内生转换关系可知，在tw时刻，无人机单机对应的姿态参考值由
Figure FDA0003691432010000047
决定；引入如下瞬态约束：
Figure FDA0003691432010000048
其中，
Figure FDA0003691432010000049
表示虚拟质心位置轨迹的四阶导数；
上式实现在任意指定的tw时刻，使得所有无人机的姿态保持一致，且与编队整体姿态相同；
上述的所有约束均写为如下形式：
Figure FDA00036914320100000410
其中，A和Al是由节点时刻决定的常值矩阵，b和bl是根据系统约束设定的常值向量；最后，借助常用的二次规划求解器求解由最小化加速度的二阶导数指标和线性等式/不等式组合成的二次规划问题。
5.根据权利要求4所述的一种四旋翼无人机编队协同机动控制方法，其特征在于：所述第四步中，第i个单机的状态参考信号求解过程如下：
Figure FDA00036914320100000411
类似地，更高阶的时间导数
Figure FDA00036914320100000412
和
Figure FDA00036914320100000413
均可通过链式求导法则得到解析的形式，所有的欧拉角、角速度、旋转矩阵及其导数的参考信号通过第一步中建立的内生转换关系得到。
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