CN114859731A - 基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法。本发明针对具有时变时滞的区间二型模糊时滞系统，用线积分型Lyapunov‑Krasovskii泛函，建立了使系统满足渐近稳定和广义耗散性能的充分条件。为了处理控制综合中的非线性矩阵不等式，提出了一种高阶矩阵解耦方法，结合锥补偿线性化算法将非线性的矩阵不等式转化为带有线性矩阵不等式约束的二次优化问题，从而设计出使闭环系统满足渐近稳定和广义耗散性能的状态反馈控制器。

Description

基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法

技术领域

本发明属于模糊控制技术领域，涉及一种基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法。

背景技术

1965年Zadeh教授提出了模糊集合理论，模糊系统引起了很多领域众多研究者的兴趣。Zadeh于1975年提出了二型模糊集合理论，之后Mendel等人通过限制二型模糊集的次隶属度为1，提出了区间二型模糊集合的概念，进而建立了区间二型模糊系统(IT2模糊时滞系统)。近年来，该模型的理论和应用已经得到了充分的发展。

对于IT2模糊时滞系统，其稳定性分析和控制器设计已经有了大量研究。通常以输入输出关系为特征的系统性能在各种场景中都发挥着重要的作用，包括H_∞性能、正则性、无源性在内的(Q；S；R)-耗散性已经做了相关的研究，张保勇团队针对连续线性马尔可夫跳变时滞系统提出了一种滤波器设计方法。还引入了一个新的性能指标---广义耗散性能，它包含了H_∞性能，L₂-L_∞性能、无源性和(Q；S；R)-耗散性能。

利用多个二次Lyapunov函数加权平均的模糊李雅普诺夫函数方法，可建立保守性较小的稳定性条件。然而，在稳定性分析中，会出现隶属函数的时间导数，在设计模糊控制器之前必须知道它们的上界。由于这些时间导数与系统的向量场有关，它们的上界很难获得，有时甚至不存在。在这种情况下，韩国作者Rhee提出了一种新的模糊基Lyapunov函数，即线积分Lyapunov函数。利用线积分函数，稳定性结果不涉及隶属函数时间导数的上界。许多学者利用线积分函数研究了T-S模糊系统的控制问题，但IT2模糊时滞系统的稳定性及广义耗散性能的研究较少。因此，提出了一种基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统，对IT2模糊时滞系统的稳定性及广义耗散性能进行优化。

发明内容

本发明的目的就是提供一种基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法。

本发明具体包括如下步骤：

步骤一、基于IF-THEN规则描述区间二型模糊时滞系统和IT2模糊控制器，利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，从而得到闭环IT2模糊时滞系统的模型；

其中

A_ij＝A_i+F_iK_j (4)；

给出由如下IF-THEN规则描述的IT2模糊时滞系统：

Plant Rule i：IFx₁is

…，andx_nis

Then

其中

表示系统状态，

表示状态的微分，

表示控制，

表示外部干扰输入且满足

表示控制输出，每一对(i,j)∈{1,···,s}×{1,···,n}，

表示第i条规则中基于前提变量x_j所对应的IT2模糊集，α_ij指定在第i条IF-THEN规则中前提变量x_j对应的模糊集合的序数，s表示规则总数；令S＝{1,···,s},N＝{1,···,n}；

为已知的适当维数的常实数矩阵，假设在s个模糊规则中，所有前提变量x_j所对应的模糊集合的数量是s_j，则s_j为正整数且满足

d(t)是描述状态延迟的可微时变函数，假设该时变时滞函数满足：0<d(t)≤d，

其中d>0并且μ是已知常数，初始函数

是定义在区间[-d,0]上的向量值函数，即

对于x_j对应的IT2模糊集合

中的上标α_ij是所有基于s_j的有序索引；当α_ij＝ρ_j时，前提变量x_j属于第ρ_j个模糊集

显然1≤ρ_j<s_j；对于i∈S，j∈N和x_j∈R，满足

的

和

分别代表IT2模糊集

的上隶属函数和下隶属函数；规范化隶属函数定义如下：

其中

和

是非线性函数，且满足：

则规范化隶属度函数满足：

所以归一化隶属函数

x(t)＝(x₁,···,x_n)∈Rⁿ,i∈S；由以上可知：

利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，则IT2模糊模型表示为：

与上述系统有相同前提变量和模糊集的IT2控制器，其IF-THEN规则描述如下：

Controller Rule i：IFx₁is

…，andx_nis

Then

u(t)＝K_ix(t)；

其中u(t)是IT2控制器，K_i是将要被设计的控制增益。

利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，整体状态反馈模糊控制器表示为：

进而得到闭环IT2模糊时滞系统的模型；

步骤二、对式(3)所示闭环IT2模糊时滞系统的广义耗散性能进行定义：

利用线积分Lyapunov-Krasovskii泛函式(2)中的状态反馈模糊控制器，使得式(3)中具有时变时滞的闭环IT2模糊系统满足以下条件：

(Ⅰ)当ω(t)≡0,闭环IT2模糊时滞系统是渐近稳定的；

(Ⅱ)对于任何非零

闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能；

步骤三、基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定和广义耗散的充分条件；使得闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能，当ω(t)≡0，得

当ω(t)≡0，闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定性能；

步骤四、基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立基于二次型LKF的推论；

步骤五、设计IT2模糊控制器：由于步骤三中不等式是非线性的，为了获得控制增益，引入高阶矩阵解耦；结合锥补偿线性化算法将非线性的矩阵不等式转化为带有线性矩阵不等式约束的二次优化问题，设计使闭环系统满足渐近稳定和广义耗散性能的状态反馈控制器。

由于二次Lyapunov函数是线积分Lyapunov函数的一种特殊情况，因此本发明基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立的充分条件比二次型Lyapunov-Krasovskii泛函得到的结果保守性小。

本发明针对具有时变时滞的区间二型(IT2)模糊系统，用线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函，建立了使系统满足渐近稳定和广义耗散性能的充分条件。为了处理控制综合中的非线性矩阵不等式，提出了一种高阶矩阵解耦方法，结合锥补偿线性化算法将非线性的矩阵不等式转化为带有线性矩阵不等式约束的二次优化问题，设计使闭环系统满足渐近稳定和广义耗散性能的状态反馈控制器。

附图说明

图1为系统满足渐近稳定性与L₂-L_∞性能的区域；

图2为系统满足渐近稳定性和无源性能的区域：ο代表定理一,★代表推论一；

图3为在初始函数[2cos(πt),-1.8cos(4t)]^T的无源性情况下，闭环IT2模糊时滞系统的状态响应；

图4为初始函数[cos(5t),-cos(16t)]^T的耗散情况下，闭环IT2时滞系统的状态响应。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步的解释说明。

步骤一、基于IF-THEN规则描述区间二型模糊时滞系统和IT2模糊控制器，从而得到闭环IT2模糊时滞系统的模型：

基于一组IF-THEN规则描述如下区间二型模糊时滞系统：

Plant Rule i：IFx₁is

…，andx_nis

Then

其中

表示系统状态，

表示状态的微分，

表示控制，

表示外部干扰输入且满足

表示控制输出，每一对(i,j)∈{1,···,s}×{1,···,n}，

表示第i条规则中基于前提变量x_j所对应的IT2模糊集，α_ij指定在第i条IF-THEN规则中前提变量x_j对应的模糊集合的序数，s表示规则总数。令S＝{1,···,s},N＝{1,···,n}。

为已知的适当维数的常实数矩阵，假设在s个模糊规则中，所有前提变量x_j所对应的模糊集合的数量是s_j，则s_j为正整数且满足

d(t)是描述状态延迟的可微时变函数，假设该时变时滞函数满足：0<d(t)≤d，

其中d>0并且μ是已知常数，初始函数

是定义在区间[-d,0]上的向量值函数，即

对于x_j对应的IT2模糊集合

中的上标α_ij是所有基于s_j的有序索引。当α_ij＝ρ_j时，前提变量x_j属于第ρ_j个模糊集

显然1≤ρ_j<s_j。对于i∈S，j∈N和x_j∈R，满足

的

和

分别代表IT2模糊集

的上隶属函数和下隶属函数。规范化隶属函数定义如下：

其中

和

是非线性函数，且满足：

则规范化隶属度函数满足：

所以，

x(t)＝(x₁,···,x_n)∈Rⁿ,i∈S；由以上可知：

利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，则IT2模糊模型可以表示为：

与上述系统有相同前提变量和模糊集的IT2控制器，其IF-THEN规则描述如下：

Controller Rule i：IFx₁is

…，andx_nis

Then

u(t)＝K_ix(t)；

利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，整体状态反馈模糊控制器表示为：

进而得到闭环IT2模糊时滞系统的模型：

其中

A_ij＝A_i+F_iK_j (4)；

步骤二、对式(3)所示闭环IT2模糊时滞系统的广义耗散性能进行定义：

定义：如果对于任意的

和

存在一个标量δ使得对于任意的t_f∈(0,∞)，使得闭环IT2模糊时滞系统的轨迹x(t)满足如下不等式：

那么闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能，其被积函数J(t)给定如下：J(t)＝z^T(t)Ψ₁z(t)+2z^T(t)Ψ₂z(t)+ω^T(t)Ψ₃ω(t)；

ψ,ψ₁,ψ₂,ψ₃为实际输入量，定义中的矩阵ψ,ψ₁,ψ₂,ψ₃满足：1.ψ＝ψ^T，ψ₁＝ψ₁ ^T；2.ψ≥0，ψ₁≤0；3.‖D_i‖·‖ψ‖＝0；4.(‖ψ₁‖+‖ψ₂‖)‖ψ‖＝0；5.

线积分V₁(x)定义如下：

其中，Γ(0,x)表示从原点0到当前状态x的路径，

是积分虚拟向量，dΦ为无穷小位移向量，

是关于x的被积向量函数。

利用式(5)中的线积分Lyapunov-Krasovskii泛函式(2)中的状态反馈模糊控制器，使得式(3)中具有时变时滞的闭环IT2模糊系统满足以下条件：

(Ⅰ)当ω(t)≡0,闭环IT2模糊时滞系统是渐近稳定的；

(Ⅱ)对于任何非零

闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能。

步骤三、基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定和广义耗散的充分条件；

给定标量0<ε<1,d>0,μ<1以及满足步骤二定义的矩阵ψ,ψ₁,ψ₂,ψ₃，对于任意满足0<d(t)≤d，

的时变时滞d(t)，如果存在矩阵

对称矩阵P满足0<P≤P_i和矩阵Q₁>0,Q₂>0,Q₃>0,使得下面的矩阵不等式对于任意的i,j,l∈S均成立：

那么闭环IT2模糊时滞系统是渐近稳定的且满足广义耗散性能。此时，

通过上式得到闭环IT2模糊时滞系统的Lyapunov-Krasovskii函数V(t,x_t)＝V₁(x(t))+V₂(t,x_t)+V₃(t,x_t)，其中：

V₁(x(t))的Lie导数为：

将h_ix(t)记为h_ix，则V₂(t,x_t)的导数为：

V₃(t,x_t)的导数

由此得如下不等式：

令，ξ(t)＝[x^T(t),x^T(t-d(t)),x^T(t-d,ω^T(t))]^T；

得，

因为Ξ_ijl<0，则

考虑J(t)中的量‖Ψ‖＝0和‖Ψ‖≠0两种情况，结合渐近稳定和广义耗散性能的定义及其性能分析得如下不等式：

使得闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能，当ω(t)≡0，得

当ω(t)≡0，闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定性能。

步骤四、基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立基于二次型LKF的推论：

给定标量0<ε<1,d>0,μ<1以及满足步骤二定义的矩阵ψ,ψ₁,ψ₂,ψ₃，对任意满足0<d(t)≤d，

的时变时滞d(t),如果存在对称矩阵P>0,Q₁>0,Q₂>0,Q₃>0，使得下面的矩阵不等式对于任意的所有i,j∈S均成立：

则闭环IT2模糊时滞系统是渐进稳定的且满足广义耗散性能，此时，

步骤五、验证步骤三建立的闭环IT2模糊时滞系统的充分条件的保守性小于步骤四种基于二次型LKF的推论；

本实施例中给出如下数值案例：

闭环IT2模糊时滞系统的输入参数矩阵为：

C₁＝[0.2 -0.1],C₂＝[0.3 -0.2],C₃＝[0.2 -0.3]；

C₄＝[0.21 -0.31],C_d1＝[0.3 -1],C_d2＝[-0.2 -0.12]；

C_d3＝[0.11 -0.13],C_d4＝[0.21 -0.23],F_i＝0；

其中a和b是实参数。所有序数α_ij,i＝1,···,4；j＝1,2,3取：

α₁₁＝1，α₂₁＝2，α₃₁＝2，α₄₁＝1；

α₁₂＝1，α₂₂＝1，α₃₂＝2，α₄₂＝2；

α₁₃＝1，α₂₃＝1，α₃₃＝1，α₄₃＝1；

其中s₁＝s₂＝2,s₂＝1。

对于L₂-L_∞性能，取D₁＝D₂＝D₃＝D₃＝0,Ψ＝0.1,Ψ₁＝Ψ₂＝0,Ψ₃＝40；对于无源性能，取D₁＝0.1,D₂＝0.02,D₃＝0.1,D₄＝0.2,Ψ＝0,Ψ₁＝0,Ψ₂＝3,Ψ₃＝10.图1和图2分别给出了系统满足L₂-L_∞性能和无源性能时系统的稳定域，仿真结果表明基于线积分方法得到的系统稳定域比基于二次型方法得到的系统稳定域大，所以线积分方法建立的结果保守性较小。

步骤六、设计IT2模糊控制器：

由于步骤三中的不等式含有项P_iA_ij，使得步骤三中的矩阵不等式是非线性的，现有的矩阵解耦方法都不能处理该非线性。为了获得控制增益，引入如下的高阶矩阵解耦：

对于矩阵{A_ij:i,j＝1,···,4},

定义以下三个矩阵

并且

若存在矩阵{Ω_ij:1≤i≤j≤4},

使得：

则：

根据步骤二中Ψ≥0,Ψ₁≤0，存在

和

满足

引入辅助矩阵Ω_ij和Y_ij，将上述高阶矩阵包含项

的4×4矩阵不等式转化为不包含项

的12×12矩阵不等式；

给定标量0<ε<1,d>0,μ<1以及满足假设一的矩阵ψ,ψ₁,ψ₂,ψ₃.对满足满足0<d(t)≤d，

的时变时滞d(t)，如果存在对称矩阵H_i>0,P>0,Q₁>0,Q₂>0,

以及矩阵

是如下二次优化问题的解：

线性约束为：

则闭环IT2模糊时滞系统是渐进稳定的且满足广义耗散性能，此时控制增益K_l由下式确定：

结合式(4)与式(12)使用schur补，将式(10)中第一个不等式等价于：

其中

且

令，

将高阶矩阵用于不等式(13)，结合式(11)中的第一个不等式得：

在式(14)左右分别乘以diag{P_i,I,I,I}和其转置有：

再次使用Schur补引理，步骤二中的第二个不等式等价于式(10)中的第二个不等式。因此，步骤中的所有条件都得到满足；利用锥补偿线性化算法，即得到该定理中优化问题。

本实施例中具有时变时滞的连续时间IT2模糊控制系统具有以下模糊规则：

R₁：Ifx₁is

andx_nis

then

z＝C₁x(t)+C_d1x(t-d(t))+D₁ω(t).

R₂：Ifx₁is

andx_nis

then

z＝C₂x(t)+C_d2x(t-d(t))+D₂ω(t).

R₃：If x₁is

and x_nis

then

z＝C₃x(t)+C_d3x(t-d(t))+D₃ω(t).

R₄：If x₁is

and x_nis

then

z＝C₄x(t)+C_d4x(t-d(t))+D₄ω(t).

系统输入矩阵为：

C₁＝[-0.5 0.1],C₂＝[0.5 -1],C₃＝[0.8 -0.3],C₄＝[1 -0.8]；

C_d1＝[0.002 0.005],C_d2＝[0.008 0.003],C_d3＝[0.003 0.004]；

C_d4＝[0.009 0.001],

序数α_ij,i＝1,…,4；j＝1,2为：

α₁₁＝1，α₂₁＝2，α₃₁＝2，α₄₁＝1；

α₁₂＝1，α₂₂＝1，α₃₂＝2，α₄₂＝2；

s₁＝s₂＝2；

定义IT2模糊集

的上、下隶属函数

如下：

验证IT2模糊系统在同一框架下同时满足L₂-L_∞、H_∞、无源和耗散四种性能。此处仅分析无源性和耗散性能。

无源性性能分析：

令ε＝0.5，μ＝0.1,d＝0.43,Ψ＝0,Ψ₁＝0,Ψ₂＝1,Ψ₃＝0.36。在这种情况下，假设D₁＝0.1,D₂＝0.02，D₃＝0.1，D₄＝0.2；解决优化问题(8)-(11)，得一组输出量；

E₁＝[-0.0013 -0.0496],E₂＝[-0.0027 -0.0477]，

E₃＝[-0.0013 -0.0496],E₄＝[-0.0013 -0.0496]，

此时反馈控制增益求得如下；

K₁＝[-0.0039 -1.3055],K₂＝[0.0569 -1.2909],

K₃＝[-0.0049 -1.3052],K₄＝[-0.0034 -1.3055]；

耗散性能分析：

令ε＝0.5，μ＝0.1,d＝0.43,Ψ＝0,Ψ₁＝-1,Ψ₂＝1,Ψ₃＝2.在这种情况下，假设D₁＝0.1,D₂＝0.02，D₃＝0.1，D₄＝0.2；此时式(9)-(11)中的LMI是可行的，输出量求得如下：

E₁＝[-0.0389 -0.8202]，

E₂＝[-0.0428 -0.8212],E₃＝[-0.0390 -0.8200],E₄＝[-0.0390 -0.8202]，

反馈控制增益为：

K₁＝[-0.0254 -1.2709],K₂＝[-0.0084 -1.2767]，

K₃＝[-0.0254 -1.2708],K₄＝[-0.0252 -1.2710]。

对于无源性能，选择初始函数[2cos(πt),-1.8cos(4t)]^T，对于耗散性能，选择初始函数[cos(5t),-cos(16t)]^T，闭环IT2模糊时滞系统的状态响应图分别为如图3和图4所示，由图可知该系统满足广义耗散性能。

Claims (3)

1.一种基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法，其特征在于：具体包括如下步骤：

步骤一、基于IF-THEN规则描述区间二型模糊时滞系统和IT2模糊控制器，利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，从而得到闭环IT2模糊时滞系统的模型；

A_ij＝A_i+F_iK_j (4)；

给出由如下IF-THEN规则描述的IT2模糊时滞系统：

Plant Rule i：IF x₁ is

…，and x_n is

Then

其中

表示系统状态，

表示状态的微分，

表示控制，

表示外部干扰输入且满足

表示控制输出，每一对(i,j)∈{1,…,s}×{1,…,n}，

表示第i条规则中基于前提变量x_j所对应的IT2模糊集，α_ij指定在第i条IF-THEN规则中前提变量x_j对应的模糊集合的序数，s表示规则总数；令S＝{1,…,s},N＝{1,…,n}；

为已知的适当维数的常实数矩阵，假设在s个模糊规则中，所有前提变量x_j所对应的模糊集合的数量是s_j，则s_j为正整数且满足

d(t)是描述状态延迟的可微时变函数，假设该时变时滞函数满足：0<d(t)≤d，

其中d>0并且μ是已知常数，初始函数

是定义在区间[-d,0]上的向量值函数，即

对于x_j对应的IT2模糊集合

中的上标α_ij是所有基于s_j的有序索引；当α_ij＝ρ_j时，前提变量x_j属于第ρ_j个模糊集

显然1≤ρ_j<s_j；对于i∈S，j∈N和x_j∈R，满足

的

和

分别代表IT2模糊集

的上隶属函数和下隶属函数；规范化隶属函数定义如下：

其中

和

是非线性函数，且满足：

则规范化隶属度函数满足：

所以归一化隶属函数为

x(t)＝(x₁,…,x_n)∈Rⁿ,i∈S；由以上可知：

0≤h_i(x)≤1，

利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，则IT2模糊模型表示为：

与上述系统有相同前提变量和模糊集的IT2控制器，其IF-THEN规则描述如下：

Controller Rule i：IF x₁ is

…，and x_n is

Then

u(t)＝K_ix(t)；

其中u(t)控制器，K_i是将要被设计的控制增益；

利用单点模糊化、乘积推理和加权平均反模糊化，整体状态反馈模糊控制器表示为：

进而得到闭环IT2模糊时滞系统的模型；

步骤二、对式(3)所示闭环IT2模糊时滞系统的广义耗散性能进行定义：

利用线积分Lyapunov-Krasovskii泛函式(2)中的状态反馈模糊控制器，使得式(3)中具有时变时滞的闭环IT2模糊系统满足以下条件：

(Ⅰ)当ω(t)≡0,闭环IT2模糊时滞系统是渐近稳定的；

(Ⅱ)对于任何非零

闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能；

步骤三、基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定和广义耗散的充分条件；使得闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能，当ω(t)≡0，得

当ω(t)≡0，闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定性能；

步骤四、基于线积分型Lyapunov-Krasovskii泛函建立基于二次型LKF的推论；

步骤五、设计IT2模糊控制器：由于步骤三中不等式是非线性的，为了获得控制增益，引入高阶矩阵解耦；结合锥补偿线性化算法将非线性的矩阵不等式转化为带有线性矩阵不等式约束的二次优化问题，设计使闭环系统满足渐近稳定和广义耗散性能的状态反馈控制器。

2.如权利要求1所述的基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法，其特征在于：所述步骤三具体为：给定标量0<ε<1,d>0,μ<1以及满足步骤二条件的矩阵，对于任意满足0<d(t)≤d，

的时变时滞d(t)，如果存在矩阵H_i>0，

对称矩阵P满足0<P≤P_i和矩阵Q₁>0,Q₂>0,Q₃>0,使得下面的矩阵不等式对于任意的i,j,l∈S均成立：

那么闭环IT2模糊时滞系统是渐近稳定的且满足广义耗散性能；此时，

通过上式得到闭环IT2模糊时滞系统的Lyapunov-Krasovskii泛函V(t,x_t)＝V₁(x(t))+V₂(t,x_t)+V₃(t,x_t)，其中：

V₁(x(t))的Lie导数为：

将h_ix(t)记为h_ix，则V₂(t,x_t)的导数为：

V₃(t,x_t)的导数

由此得如下不等式：

令，ξ(t)＝[x^T(t),x^T(t-d(t)),x^T(t-d,ω^T(t))]^T；

得，

因为Ξ_ijl<0，则

考虑J(t)中的量‖Ψ‖＝0和‖Ψ‖≠0两种情况，结合渐近稳定和广义耗散性能的定义及其性能分析得如下不等式：

使得闭环IT2模糊时滞系统满足广义耗散性能，当ω(t)≡0，得

当ω(t)≡0，闭环IT2模糊时滞系统满足渐近稳定性能。

3.如权利要求1所述的基于线积分方法的区间二型模糊时滞系统控制器设计方法，其特征在于：所述步骤六具体为：

对于矩阵{A_ij:i,j＝1,…,4},

定义以下三个矩阵

并且

若存在矩阵{Ω_ij:1≤i≤j≤4},

使得：

则：

根据步骤二中Ψ≥0,Ψ₁≤0，存在

和

满足

引入辅助矩阵Ω_ij和3_ij，将上述高阶矩阵包含项

的4×4矩阵不等式转化为不包含项

的12×12矩阵不等式；

给定标量0<ε<1,d>0,a<1以及满足假设一的矩阵ψ,ψ₁,ψ₂,ψ₃.对满足满足0<d(t)≤d，

的时变时滞d(t)，如果存在对称矩阵H_i>0,P>0,Q₁>0,Q₂>0,

以及矩阵

{Ω_pql:1≤q≤p≤4,l∈S}，

是如下二次优化问题的解：

线性约束为：

则闭环IT2模糊时滞系统是渐进稳定的且满足广义耗散性能，此时控制增益K_l由下式确定：

结合式(4)与式(12)使用schur补，将式(10)中第一个不等式等价于：

其中

且

令，

将高阶矩阵用于不等式(13)，结合式(11)中的第一个不等式得：

在式(14)左右分别乘以diag{P_i,I,I,I}和其转置有：

再次使用Schur补引理，步骤二中的第二个不等式等价于式(10)中的第二个不等式；因此，步骤中的所有条件都得到满足；利用锥补偿线性化算法，即得到该定理中优化问题。

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