CN114844396A - Ipmsm无位置传感器mtpa控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及内置式永磁同步电机技术领域，涉及一种IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其包括：一、在估计旋转参考坐标系的d^e、q^e轴交替注入幅值成一定比例的高频方波电压信号；二、位置误差信息解调及设计位置观测器；进行转子位置误差信息解调时采用标幺化处理以消除电感参数影响；在位置误差信息解耦后，构造龙伯格转子位置、转速观测器来实现IPMSM的速度和位置观测；三、MTPA在线跟踪；通过对高频电流响应提取和处理，同时实现转子位置估计和MTPA工作点跟踪；四、位置误差补偿；通过测量不同负载条件下的交叉饱和角θ_m，然后进行曲线拟合补偿，消除交叉饱和引起的位置估计误差。本发明具有较佳地有效性和可靠性。

Description

IPMSM无位置传感器MTPA控制方法

技术领域

本发明涉及内置式永磁同步电机(IPMSM)技术领域，具体地说，涉及一种IPMSM无位置传感器MTPA控制方法。

背景技术

内置式永磁同步电机(interior permanent magnet synchronous motor，IPMSM)具有结构简单、高功率密度、高效率、调速范围广等优势。为达到电机驱动系统的高精度矢量控制的目的，转子的位置信息的准确获取十分重要。通常转子位置是使用旋转变压器和光电编码器进行数字测量，这增加了驱动系统成本、硬件复杂度和电机尺寸，并且易受环境因素影响，鲁棒性和可靠性降低。因此，近十年无传感器控制技术成为电机控制的研究热点。此外，无传感器控制是可能提高电机功率因数和效率的有效方法。

无传感器控制方案大致分为两类：适用于中高速范围的基于模型的无传感器控制和适用于零低速范围的基于电机凸极性的无传感器控制。基于模型的无传感器方法具有较好的控制性能，但是由于该方法本质上是基于电机的反电动势(EMF)，当电机处于启动或静止状态时，反电动势很小甚至是没有，因此，不适合在零低速场合下使用。基于电机的凸极性的高频信号注入法是实现零低速范围无传感器控制的有效途径。该方法向定子电压端注入高频激励，利用电机的凸极性，从电流响应中提取包含转子位置信息的特定频率分量，该方法主要包括脉振高频信号注入法、旋转高频信号注入法和高频方波信号注入法。脉振高频信号注入法和旋转高频信号注入法不依赖于电机参数，但是提取包含转子位置信息的高频电流和基频反馈电流时需要解调函数、同步轴旋转滤波器、低通滤波器等多个环节，增加了算法复杂度，限制了系统带宽，制约了系统的动态性能。并且，正弦信号注入频率较低，通常只有几百Hz，较低的注入频率限制了IPMSM无位置传感器控制系统动态性能的进一步提升。Yoon等人提出了方波信号注入方法，将注入正弦电压改为方波信号，注入频率提高到PWM开关频率的一半，易于高频信号的提取和分离，增加了控制器的带宽，使得转子位置估计更加准确，系统鲁棒性更高。

为了简化控制，通常将id＝0控制用于无位置传感器控制技术。但是，为了充分利用IPMSM的磁阻转矩，提升电机系统效率，更应该采取MTPA控制。 MTPA控制是在一定的转矩输出下使得电机定子电流最小的控制策略，有利于减小电机损耗。对于基于信号注入的MTPA控制，根据是否有实际物理信号的注入，可分为实际信号注入与虚拟信号注入，其具有鲁棒性较高、对参数的依赖性小的优点。其本质上都是通过注入实际或虚拟的电流信号或者是电流角扰动，通过检测和处理信号注入引起的功率或速度扰动来获得MTPA判据。然而，上述方法同样受到电流环路带宽限制，系统的动态性能受到影响。

据现有文献可知，许多文献致力于将无位置传感器控制和MTPA控制相结合，以实现电机系统更加高效可靠的控制。然而，大多数无传感器控制算法和 MTPA控制策略是两个独立的过程，或者是注入两种不同的信号来分别实现，使得控制系统的复杂性增加。

发明内容

本发明的内容是提供一种高频方波信号注入的IPMSM无位置传感器MTPA 控制方法，其能够克服现有技术的某种或某些缺陷。

根据本发明的IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其包括以下步骤：

一、在估计旋转参考坐标系的d^e、q^e轴交替注入幅值成一定比例的高频方波电压信号；

二、位置误差解调及设计位置观测器；进行转子位置误差信息解调时采用标幺化处理以消除电感参数影响；在位置误差信息解耦后，构造龙伯格转子位置、转速观测器来实现IPMSM的速度和位置观测；

三、MTPA在线跟踪；通过对高频电流响应提取和处理，同时实现转子位置估计和MTPA工作点跟踪；

四、位置误差补偿；通过测量不同负载条件下的交叉饱和角θ_m，然后进行曲线拟合补偿，消除交叉饱和引起的位置估计误差。

作为优选，步骤一中，高频方波电压信号如下式：

其中，γ为q轴注入高频方波电压信号幅值与d轴注入高频方波电压信号幅值的比值；A、B、C和D表示信号注入周期的四个阶段，用区间表示为：

在A和C阶段，将幅值为V_h的正负电压信号分别注入到估计旋转坐标系 d^e轴，而在B和D阶段，将幅值为γV_h的正负电压信号分别注入到估计旋转坐标系q^e轴。

作为优选，步骤二中，在信号注入周期的A、C阶段和B、D阶段分别选择不同的位置误差解调模式；

龙伯格Luenberger转子位置和转速观测器如下式所示：

其中，f(θ_err)为任意正比于θ_err的信号，观测器中K_i、K_p和K_d分别是位置跟踪观测器比例、积分和微分增益；J、

分别为转动惯量及其估计值，通过调节 K_i、K_p和K_d的值，最终获得转子位置和转速，用于坐标变换和转速控制；

转子位置误差解调模式的选择阶段作为一个离散的采样块，由一个零阶保持器建模为：

作为优选，步骤三中，基于IPMSM的数学模型通过拉格朗日法推导出最优电流参考，结合永磁同步电动机瞬时无功功率表达式将MTPA判别式改写以相应电流纹波的形式表示来消除原有的电机参数影响，具体为：

用拉格朗日乘法求解可以得到基于以下方程的MTPA决策方法，在静止坐标系中表示为：

其中，

将上式的左边通过电流波纹来重新表示为下式，而不是通过估计动态电感及磁通来计算；

等式的左边根据当前的电流响应来计算，不依赖于任何电机参数；等式的右边，由瞬时功率理论可知，永磁同步电动机瞬时无功功率为：

将等式(20)的右边乘上3/2ω_e与等式(21)的右边作差，记为△Q；通过调整θ_comp对转子位置进行MTPA跟踪补偿，控制△Q为零；通过在线检测电压电流响应自动调整运行点追踪MTPA轨迹。

本发明提出一种零低速范围内的IPMSM高频交替方波电压信号注入的方法，该方法在估计位置坐标系交替注入幅值成一定比例的高频方波信号，减少相同幅值电压注入的转矩脉动，通过对高频电流响应提取和处理，同时实现转子位置估计和MTPA工作点跟踪，该过程易于实现，不需要大量的滤波环节，提升了系统的动态性能。同时，对转子位置估计误差进行在线补偿，提升位置估计精度。在Matlab/Simulink软件平台上，通过仿真实验验证了该方法的有效性和可靠性。

附图说明

图1为实施例1中一种高频方波信号注入的IPMSM无位置传感器MTPA 控制方法的流程图；

图2为实施例1中不同参考坐标系之间的关系示意图；

图3为实施例1中电机转矩与i_d、i_q关系曲线示意图；

图4为实施例1中注入序列波形图；

图5为实施例1中转子位置误差信息解调方法示意图；

图6为实施例1中转子位置跟踪观测器示意图；

图7为实施例1中MTPA跟踪补偿示意图；

图8为实施例1中补偿前后的转子位置示意图；

图9为实施例1中无传感器MTPA控制总框图；

图10为实施例1中高频信号注入电流响应示意图；

图11为实施例1中i_d＝0控制切换为MTPA控制的实验结果示意图；

图12为实施例1中转速为40r/min，负载转矩为10N·m、20N·m、15N·m 的实验结果示意图；

图13为实施例1中负载转矩为12N·m，转速为20r/min、60r/min、40r/min 的实验结果示意图。

具体实施方式

为进一步了解本发明的内容，结合附图和实施例对本发明作详细描述。应当理解的是，实施例仅仅是对本发明进行解释而并非限定。

实施例1

如图1所示，本实施例提供了一种高频方波信号注入的IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其包括以下步骤：

一、在估计旋转参考坐标系的d^e、q^e轴交替注入幅值成一定比例的高频方波电压信号；

二、位置误差解调及设计位置观测器；进行转子位置误差信息解调时采用标幺化处理以消除电感参数影响；在位置误差信息解耦后，构造龙伯格转子位置、转速观测器来实现IPMSM的速度和位置观测；

三、MTPA在线跟踪；通过对高频电流响应提取和处理，同时实现转子位置估计和MTPA工作点跟踪；

四、位置误差补偿；通过测量不同负载条件下的交叉饱和角θ_m，然后进行曲线拟合补偿，消除交叉饱和引起的位置估计误差。

下面进行具体说明：

1高频信号注入无位置传感器控制及MTPA原理

1.1高频方波信号注入无位置传感器控制

当考虑IPMSM的磁路饱和及交叉耦合效应时，在同步旋转参考坐标系下的瞬态电压方程表示为

其中，u^r _d、u^r _q为d、q轴电压；R_s为绕组电阻；ω_e为转子电角速度；L_d、L_q分别为d、q轴电感；L_dh、L_qh为d、q轴增量电感；L_dqh、L_qdh分别为d、q轴动态交叉耦合电感，它们都是i_d、i_q的非线性函数；p为微分算子；上标“r”表示同步旋转参考坐标系。

动态电感和动态交叉耦合电感定义为：

当IPMSM在零低速运行时，可以忽略反电动势和定子电阻电压降，则同步旋转参考坐标系内注入高频电压信号后的电压方程用式(3)表示

其中，下标“h”表示相应的高频信号。通常，L_dqh≠L_qdh，然而，在大多数实际应用中，为简化分析认为L_dqh＝L_qdh，本实施例也考虑了这一点。

对于传统的基于高频方波注入法的IPMSM无位置传感器控制，将如式(4) 所示高频方波信号注入估计旋转坐标系的d^e轴

其中，T_s为正负电压持续时间，V_h为注入电压幅值，k为序列数。

由式(3)，当高频方波信号注入后，得到静止坐标系下高频电流响应为

其中，坐标变换矩阵R(x)表示为

求解式(5)可得静止参考系中高频电流响应，表示为式(7)

其中，θ_err是转子位置误差，定义为θ_err＝θ_r-θ_e。θ_r和θ_e分别为实际的转子位置和估计的转子位置，它们之间的关系如图2所示。

静止坐标系中的高频电流响应可以通过时间延时器获取，具有最小相移的优点。注意到，当估计误差θ_err趋于0时，具有转子位置信息的感应高频电流的包络可以由式(7)化简为式(8)

其中，交叉饱和角θ_m是由IPMSM的交叉饱和效应产生的相移，与q轴电感和交叉耦合电感有关；L_sh为等效电感。

θ_m＝arctan(L_qh/L_dqh) (9)

由式(8)可知，其包含转子位置信息和交叉饱和角，如果预先对交叉饱和角进行检测和补偿，通过信号解调并设计合适的位置观测器很容易的得到转子位置信息。

1.2 MTPA原理

电机运行时的损耗主要包括定子绕组铜损、定子和转子铁芯损耗，最小化电机的铜损和铁损可以实现其高效运行。在线的MTPA控制在给定转矩、速度、电压电流极限的状态下，获取定子电流幅值最小的电流工作点作为MTPA电流追踪轨迹。如图3为恒转矩和恒电流大小轨迹图，在每一条恒转矩曲线中都存在某一个电流幅值最小的工作点M(即MTPA工作点)使得定子电流矢量的幅值I_s最小。

在MTPA控制区域，可将上述表述为一个优化问题，即在电压和电流限制内寻找相应的电流角使电磁转矩最大化，可表示为

其中，P_n为电机极对数，T_e*为参考转矩。

2基于交替高频方波信号注入的无位置传感器MTPA控制方法

本节介绍了采用交替高频方波信号注入来估计IPMSM转子位置并追踪 MTPA轨迹的方法。首先，描述了所采用得交替高频方波注入序列。然后，提出能同时实现无传感器转子位置估计和MTPA控制的方法，解耦位置误差信息并设计转子位置观测器。最后，采用查表法对交叉饱和效应引起的位置误差进行补偿。

2.1交替高频方波注入序列

为减小电压信号注入引起的转矩脉动，同时提升转子位置估计精度，本实施例采用一种新的高频方波信号注入方法。与传统高频方波注入法仅向估计旋转坐标系d^e轴注入高频电压信号不同的是，本方法在估计旋转参考坐标系的d^e、 q^e轴交替注入幅值成一定比例的高频方波电压信号如式(12)，其波形图如图4。

其中，γ为q轴注入高频方波电压信号幅值与d轴注入高频方波电压信号幅值的比值。A、B、C和D表示信号注入周期的四个阶段，用区间表示为

在A和C阶段，将幅值为V_h的正负电压信号分别注入到估计旋转坐标系 d^e轴，而在B和D阶段，将幅值为γV_h的正负电压信号分别注入到估计旋转坐标系q^e轴。

2.2位置误差解调及位置观测器设计

由式(8)，得到的高频电流响应受到转子位置θ_r和交叉饱和角θ_m调制，如果预先检测和补偿交叉饱和角θ_m，那么采用交替方波注入的静止坐标系下的电流响应推导为式(14)和(15)，其中，电流纹波中的第二个下标“d^e”、“q^e”表示注入高频信号的轴。

由于静止参考坐标系的高频电流响应包络中含有位置信息，常用的方法是通过包络检测器提取△i^s _αh和△i^s _βh，可直接采用式(16)的反正切函数计算来跟踪转子位置，以d^e轴注入信号为例的转子位置估计表达式为

然而反正切函数对测量噪音较为敏感，鲁棒性较差。因此，不宜直接将该值用于位置环控制或坐标变化，而需要构造一个滤波器来平滑位置信号并获取相应的转速。如图5所示，本实施例在进行转子位置误差信息解调时采用标幺化处理以消除电感参数影响。在信号注入周期的A、C阶段(即d轴注入)和B、 D阶段(即q轴注入)分别连接图5中的①和②，进行位置误差解调模式的选择。

在位置误差信息解耦后，构造式(17)的龙伯格(Luenberger)转子位置、转速观测器来实现IPMSM的速度和位置观测，其结构图表示为图6。观测器中 K_i、K_p和K_d分别是位置跟踪观测器比例、积分和微分增益；J、

分别为转动惯量及其估计值。

其中，f(θ_err)为任意正比于θ_err的信号，通过合适的调节K_i、K_p和K_d的值，可最终获得转子位置和转速，用于坐标变换和转速控制。

电机运行在零低速时，由于注入时间短，转子位置运动相对较小。位置误差解调模式的选择阶段作为一个离散的采样块，可以由一个零阶保持器建模为

2.3 MTPA在线跟踪方法

由于磁饱和、交叉耦合效应以及IPMSM运行环境的变化，很难找到最佳的电流指令。MTPA控制算法较多，目前研究较多是查表法、搜索法和高频信号注入法。查表法避免了在线运算，操作简单，但查表法需要较大的存储空间，且不能拓展至其他电机；搜索法不依赖于电机参数，但是收敛速度较慢，动态性能交差；高频信号注入法分为实际信号注入和虚拟信号注入，实际的高频信号注入不依赖电机参数，鲁棒性高，但是额外的注入会增加电机损耗和转矩脉动；虚拟的信号虽然能克服上述实际信号注入的缺点，但是其部分依赖于电机参数，通常需要结合参数辨识技术来提升MTPA控制精度。另外，基于IPMSM 的数学模型发展了基于计算的方法，通常通过拉格朗日法推导出最优电流参考，然而，需要获取电机电感和磁通等参数来实现MTPA运行。本实施例在估计d、 q坐标系中结合永磁同步电机瞬时无功功率表达式将MTPA判别式改写以相应电流纹波的形式表示来消除原有的电机参数影响。

用拉格朗日乘法求解式(11)可以得到基于以下方程(19)的MTPA决策方法，在静止坐标系中表示为

其中，

将等式(19)的左边通过电流波纹来重新表示为式(20)，而不是通过估计动态电感及磁通来计算。等式(20)的左边根据当前的电流响应来计算，不依赖于任何电机参数。

对于等式(20)的右边，由瞬时功率理论可知，永磁同步电动机瞬时无功功率为

将等式(20)的右边乘上3/2ω_e与等式(21)的右边作差，记为△Q。如图 7，通过调整θ_comp对转子位置进行MTPA跟踪补偿，控制△Q为零，其中，K_c为调节增益。该方法不用估计电机参数，通过在线检测电压电流响应自动调整运行点追踪MTPA轨迹。

2.5位置误差补偿

在电机的实际运行过程中，d、q轴之间存在公共磁路，产生的互感L_dq、 L_qd易受磁链饱和的影响，被认为是位置估计误差的主要来源。磁路饱和及交叉耦合效应可能会降低电机的凸极性，导致错误的角度估计，从而降低驱动效率，产生的扭矩的偏差。在文献中，通过多种方法研究和抑制交叉耦合效应的影响。如果忽略旋转参考坐标系的互感，即认为L_dqh＝0，则在静止坐标系中会产生位置估计误差。由上述的分析，在信号注入周期的A、C阶段和B、D阶段交叉饱和角与d、q轴电感和交叉耦合电感有关，分别表示为θ_m1和θ_m2：

研究表明，估计的转子位置的相移θ_m近似为q轴电流的线性函数。通过测量不同负载条件下的θ_m，然后进行曲线拟合补偿，可以消除交叉饱和引起的位置估计误差，本实施例直接采用该方法。图8为IPMSM在转速为20r/min、转矩为8N·m下稳定运行时，对θ_m进行补偿和没有补偿时的转子位置估计结果。可以看出，在没有对进行交叉饱和补偿时，转子估计位置与实际位置误差大约为0.1rad，而采用补偿方法后的转子位置估计误差约为0rad，有效提高了位置估计的精度。

根据上述方法，基于交替高频方波注入的IPMSM无传感器MTPA控制系统实现原理如图9所示，主要包括高频电压注入、高频电流提取、转子位置解调和电感误差在线补偿四个部分。

3仿真验证

为验证本实施例研究的基于高频方波信号的无传感器MTPA控制策略的有效性，首先在Matlab/Simulink软件平台上搭建IPMSM的仿真模型，控制结构框图如图9所示，电机参数如表1所示。实验中，直流侧电压为500V，采样频率为10kHz，高频方波信号注入频率设置为5KHz，估计d轴注入信号幅值为 20V，q轴注入幅值为5V。需要注意的是，若注入电压幅值过低则估计精度不高，而注入幅值过高则会增加输出转矩脉动。实验部分主要为验证MTPA工作点跟踪效果、转子位置估计精度和该方法的动态性能。

表1 电机参数

图10显示了IPMSM在100r/min的恒速运行时，在d、q轴交替注入高频方波信号时，i^s _αh、i^s _βh和Δi^s _αh、Δi^s _βh的响应波形，由于高频信号的注入电流响应信号中含有电流纹波。

为验证MTPA算法的有效性，进行了将控制算法从id＝0控制切换为 MTPA控制的仿真实验，切换时刻为3s时。电机转速为50r/min，负载转矩为 16N·m，其结果如图11中的(a)-(c)所示，图11中，(a)定子电流(b)电流矢量角(c)电流幅值。可以看出从i_d＝0控制切换为MTPA控制后d、q轴电流减小，电流角从90°增加至111.2°，矢量电流幅值从23.41A减小至21.89A，在相同转矩下，MTPA控制的矢量电流减小。

为了验证该方法的动态性能，图12中的(a)-(e)显示了当电机在40r/min的转速下运行时，负载转矩在2s时从10N·m增加至20N·m，再在4s时降至15N·m，总共仿真时长为6s的A相电流、电机转速和速度误差、d、q轴电流和矢量电流幅值、转子位置角和位置估计误差，图12中，(a)A相电流(b)转速(c)定子电流和矢量电流幅值(d)转矩(e)转子位置。当给定的负载转矩从10N·m 增至到20N·m时，d轴电流从-2.1A降低-5.4A，q轴电流从9.3A增加至16.9A，矢量电流幅值从9.5A增加至17.8A；当负载转矩减小至15N·m时，d轴电流增加至-3.4A，q轴电流降低至13.4A，矢量电流幅值减小至13.8A；稳态时，转子位置角最大估计误差约为0.04rad；转矩波动小于4％。因此，当电机的负载给定转矩发生突变时，d、q轴定子电流能快速响应以跟踪MTPA点，使得给定转矩下的定子电流矢量最小，从而提升电机的效率。同时，速度和转子位置跟踪精度不受影响。

同理，图13中的(a)-(d)显示了当电机在12N·m的给定转矩下，速度在2s 时从20r/min增加至60r/min，再在4s时降至40r/min的实验结果，图13中，(a) A相电流(b)转速(c)定子电流和矢量电流幅值(d)转子位置。可以看出，电机的定子电流在速度突变时经过较小的波动后能快速恢复稳定值。d、q轴定子电流分别为-3.0A和10.64A，矢量电流幅值为11.0A；稳态时，转子位置角最大估计误差约为0.06rad。因此，当电机的速度发生突变时，表明该系统依然具有较好的动态性能和稳定性。

本实施例提出一种基于交替高频方波信号注入的永磁同步电机无位置传感器MTPA控制策略。该方法通过向转子位置估计坐标系的d、q轴分别注入幅值成一定比例的方波信号，通过位置误差和位置跟踪观测器可实现电机转子位置的在线估计，通过提取电流响应进行MTPA在线决策实现MTPA运行点的追踪。该方法不依赖于电机参数，信号处理过程简单，估计精度高，系统动态性能好。仿真实验表明，该方法具有良好的位置估计效果，系统鲁棒性好，动态跟踪性能良好。

以上示意性的对本发明及其实施方式进行了描述，该描述没有限制性，附图中所示的也只是本发明的实施方式之一，实际的结构并不局限于此。所以，如果本领域的普通技术人员受其启示，在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造性的设计出与该技术方案相似的结构方式及实施例，均应属于本发明的保护范围。

Claims (4)

1.IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

一、在估计旋转参考坐标系的d^e、q^e轴交替注入幅值成一定比例的高频方波电压信号；

二、位置误差解调及设计位置观测器；进行转子位置误差信息解调时采用标幺化处理以消除电感参数影响；在位置误差信息解耦后，构造龙伯格转子位置、转速观测器来实现IPMSM的速度和位置观测；

三、MTPA在线跟踪；通过对高频电流响应提取和处理，同时实现转子位置估计和MTPA工作点跟踪；

四、位置误差补偿；通过测量不同负载条件下的交叉饱和角θ_m，然后进行曲线拟合补偿，消除交叉饱和引起的位置估计误差。

2.根据权利要求1所述的IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其特征在于：步骤一中，高频方波电压信号如下式：

其中，γ为q轴注入高频方波电压信号幅值与d轴注入高频方波电压信号幅值的比值；A、B、C和D表示信号注入周期的四个阶段，用区间表示为：

在A和C阶段，将幅值为V_h的正负电压信号分别注入到估计旋转坐标系d^e轴，而在B和D阶段，将幅值为γV_h的正负电压信号分别注入到估计旋转坐标系q^e轴。

3.根据权利要求2所述的IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其特征在于：步骤二中，在信号注入周期的A、C阶段和B、D阶段分别选择不同的位置误差解调模式；

龙伯格Luenberger转子位置和转速观测器如下式所示：

其中，f(θ_err)为任意正比于θ_err的信号，观测器中K_i、K_p和K_d分别是位置跟踪观测器比例、积分和微分增益；J、

分别为转动惯量及其估计值，通过调节K_i、K_p和K_d的值，最终获得转子位置和转速，用于坐标变换和转速控制；

位置误差解调模式的选择阶段作为一个离散的采样块，由一个零阶保持器建模为：

4.根据权利要求3所述的IPMSM无位置传感器MTPA控制方法，其特征在于：步骤三中，基于IPMSM的数学模型通过拉格朗日法推导出最优电流参考，结合永磁同步电动机瞬时无功功率表达式将MTPA判别式改写以相应电流纹波的形式表示来消除原有的电机参数影响，具体为：

用拉格朗日乘法求解可以得到基于以下方程的MTPA决策方法，在静止坐标系中表示为：

其中，

将上式的左边通过电流波纹来重新表示为下式，而不是通过估计动态电感及磁通来计算；

等式的左边根据当前的电流响应来计算，不依赖于任何电机参数；等式的右边，由瞬时功率理论可知，永磁同步电动机瞬时无功功率为：

将等式(20)的右边乘上3/2ω_e与等式(21)的右边作差，记为△Q；通过调整θ_comp对转子位置进行MTPA跟踪补偿，控制△Q为零；通过在线检测电压电流响应自动调整运行点追踪MTPA轨迹。

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