CN114819167A - 一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法及装置，方法包括：分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，根据第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，稀疏近似矩阵M为A^‑1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J，分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的量子线路的量子态，且第二矩阵A′＝MA，第二向量b′＝Mb。利用量子的叠加特性，实现一种可以满足稀疏近似逆量子预处理技术，用于量子计算的模拟，填补量子计算领域相关技术空白。

Description

一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法及装置

技术领域

本发明属于量子计算技术领域，特别是一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法及装置。

背景技术

大型稀疏线性方程组的求解是许多科学和工程计算中的重要问题。当前计算机技术发展飞速，大型科学计算已经进入大规模并行计算时代，基于并行计算环境研究大型稀疏线性系统的高效并行算法显得尤为重要。稀疏近似逆方法具有良好的并行性特点，且已经被证实具有较强的健壮性，它也能克服诸如不稳定等问题，所以对稀疏近似逆方法研究具有较大的理论研究和实际意义。

量子计算是一种新型计算方式，原理是用量子力学理论构建了一种计算框架。在求解一些问题时，比起最优的经典算法，量子计算有指数加速的效果。大型稀疏线性方程组求解就是一类可以利用量子计算来解决的问题，量子计算利用量子的叠加性，在量子稀疏线性求解器求解大型稀疏线性系统时有指数加速的效果，所以量子稀疏线性求解器有希望加速科学与工程领域的很多实际问题的求解过程。

但是，量子稀疏线性求解器的复杂度与稀疏线性系统的条件数κ的多项式相关，复杂度表示为

所以当稀疏线性系统条件数太大时，量子稀疏线性求解器加速性能会受到很大影响，方程不容易求解。量子预处理技术就是为了解决稀疏线性系统条件数很大时，量子计算加速性能受影响而发展起来的技术。现有的稀疏近似逆量子预处理技术太过匮乏，尚未提出有效的基于稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理技术。

基于此，有必要实现一种可以满足稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理技术，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

发明内容

本发明的目的是提供一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法及装置，以解决现有技术中的不足，它能够实现一种可以满足稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理技术，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

本申请的一个实施例提供了一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，包括：

分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其中，优选的是，所述特定类元素为：非零元素。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其中，优选的是，所述分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，包括：

构建

和

用于提取所述第二矩阵A′中非零元素的元素信息，其中，

的作用为

的作用为

所述f′(j,l)为所述第二矩阵A′中第j行第l个非零元的列序号，所述A′_jk为所述第二矩阵A′中第j行第k列的非零元素且k＝f′(j,l)。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其中，优选的是，所述分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，包括：

构建OracleO_b′用于提取所述第二向量b′的元素信息，以将所述第二向量b′的元素信息编码到所述量子线路的量子比特位上，其中，编码后的所述量子线路的量子比特位上的量子态的振幅与归一化后所述第二向量b′的元素一一对应。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其中，优选的是，所述OracleO_b′,用于实现：

其中，所述c′是第二向量b′的归一化常数，所述s为第二向量b′的元素个数。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其中，优选的是，所述根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，包括：

获取所述稀疏近似矩阵M对应第k列的稀疏结构为J_k的n维向量集合和表示第一矩阵A(·,J_k)的非零行指标集I_k，其中所述J_k＝{i|(i,k)∈J}，

且表示所述预设稀疏结构；

根据所述非零行指标集I_k和所述J_k，构建第三矩阵A_k，其中，所述A_k＝A(I_k,J_k)；

根据所述第三矩阵A_k，计算

并构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M＝(m₁,m₂,...,m_k,...,m_n)，其中，所述

e_k表示单位矩阵，所述m_k由

确定。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其中，优选的是，所述

由量子算术运算构建量子线路得到的U_k算子实现：

所述U_k具体实现以下量子态的演化：

本申请的又一实施例提供了一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，所述装置包括：

获取模块，用于分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

构建模块，用于根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

执行模块，用于分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，其中，优选的是，所述执行模块，包括：

第一提取模块，用于构建

和

用于提取所述第二矩阵A′中非零元素的元素信息，其中，

的作用为

的作用为

所述f′(j,l)为所述第二矩阵A′中第j行第l个非零元的列序号，所述A′_jk为所述第二矩阵A′中第j行第k列的非零元素且k＝f′(j,l)。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，其中，优选的是，所述执行模块，包括：

第二提取模块，用于构建OracleO_b′用于提取所述第二向量b′的元素信息，以将所述第二向量b′的元素信息编码到所述量子线路的量子比特位上，其中，编码后的所述量子线路的量子比特位上的量子态的振幅与归一化后所述第二向量b′的元素一一对应。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，其中，优选的是，所述第二提取模块，包括OracleO_b′模块,用于实现：

其中，所述c′是第二向量b′的归一化常数，所述s为第二向量b′的元素个数。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，其中，优选的是，所述构建模块，包括：

第一构建单元，用于获取所述稀疏近似矩阵M对应第k列的稀疏结构为J_k的n维向量集合和表示第一矩阵A(·,J_k)的非零行指标集I_k,其中所述J_k＝{i|(i,k)∈J}，

且表示所述预设稀疏结构；

第二构建单元，用于根据所述非零行指标集I_k和所述J_k，构建第三矩阵A_k，其中，所述A_k＝A(I_k,J_k)；

第三构建单元，用于根据所述第三矩阵A_k，计算

并构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M＝(m₁,m₂,...,m_k,...,m_n)，其中，所述

e_k表示单位矩阵，所述m_k由

确定。

如上所述的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，其中，优选的是，所述第三构建单元，包括：

实现单元，用于所述

由量子算术运算构建量子线路得到的U_k算子实现：

所述U_k具体实现以下量子态的演化：

本申请的又一实施例提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中所述的方法。

本申请的又一实施例提供了一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中所述的方法。

与现有技术相比，本发明提供一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，首先分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，根据第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J，分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态，其中，第二矩阵A′＝MA，第二向量b′＝Mb。利用量子的叠加特性，实现一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

附图说明

图1是本发明实施例提供的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法的计算机终端的硬件结构框图；

图2是本发明实施例提供的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法的流程示意图；

图3是本发明实施例提供的一种关于T的量子线路示意图；

图4是本发明实施例提供的一种关于行走算子W的量子线路示意图；

图5是本发明实施例提供的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置的结构示意图。

具体实施方式

下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。

本发明实施例首先提供了一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，该方法可以应用于电子设备，如计算机终端，具体如普通电脑、量子计算机等。

下面以运行在计算机终端上为例对其进行详细说明。图1为本发明实施例提供的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法的计算机终端的硬件结构框图。如图1所示，计算机终端可以包括一个或多个(图1中仅示出一个)处理器102(处理器102可以包括但不限于微处理器MCU或可编程逻辑器件FPGA等的处理装置)和用于存储数据的存储器104，可选地，上述计算机终端还可以包括用于通信功能的传输装置106以及输入输出设备108。本领域普通技术人员可以理解，图1所示的结构仅为示意，其并不对上述计算机终端的结构造成限定。例如，计算机终端还可包括比图1中所示更多或者更少的组件，或者具有与图1所示不同的配置。

存储器104可用于存储应用软件的软件程序以及模块，如本申请实施例中的实现一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法对应的程序指令/模块，处理器102通过运行存储在存储器104内的软件程序以及模块，从而执行各种功能应用以及数据处理，即实现上述的方法。存储器104可包括高速随机存储器，还可包括非易失性存储器，如一个或者多个磁性存储装置、闪存、或者其他非易失性固态存储器。在一些实例中，存储器104可进一步包括相对于处理器102远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至计算机终端。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。

传输装置106用于经由一个网络接收或者发送数据。上述的网络具体实例可包括计算机终端的通信供应商提供的无线网络。在一个实例中，传输装置106包括一个网络适配器(Network Interface Controller，NIC)，其可通过基站与其他网络设备相连从而可与互联网进行通讯。在一个实例中，传输装置106可以为射频(Radio Frequency，RF)模块，其用于通过无线方式与互联网进行通讯。

需要说明的是，真正的量子计算机是混合结构的，它包含两大部分：一部分是经典计算机，负责执行经典计算与控制；另一部分是量子设备，负责运行量子程序进而实现量子计算。而量子程序是由量子语言如QRunes语言编写的一串能够在量子计算机上运行的指令序列，实现了对量子逻辑门操作的支持，并最终实现量子计算。具体的说，量子程序就是一系列按照一定时序操作量子逻辑门的指令序列。

在实际应用中，因受限于量子设备硬件的发展，通常需要进行量子计算模拟以验证量子算法、量子应用等等。量子计算模拟即借助普通计算机的资源搭建的虚拟架构(即量子虚拟机)实现特定问题对应的量子程序的模拟运行的过程。通常，需要构建特定问题对应的量子程序。本发明实施例所指量子程序，即是经典语言编写的表征量子比特及其演化的程序，其中与量子计算相关的量子比特、量子逻辑门等等均有相应的经典代码表示。

量子线路作为量子程序的一种体现方式，也称量子逻辑电路，是最常用的通用量子计算模型，表示在抽象概念下对于量子比特进行操作的线路，其组成包括量子比特、线路(时间线)，以及各种量子逻辑门，最后常需要通过量子测量操作将结果读取出来。

不同于传统电路是用金属线所连接以传递电压信号或电流信号，在量子线路中，线路可看成是由时间所连接，亦即量子比特的状态随着时间自然演化，在这过程中按照哈密顿运算符的指示，一直到遇上逻辑门而被操作。

一个量子程序整体上对应有一条总的量子线路，本发明所述量子程序即指该条总的量子线路，其中，该总的量子线路中的量子比特总数与量子程序的量子比特总数相同。可以理解为：一个量子程序可以由量子线路、针对量子线路中量子比特的测量操作、保存测量结果的寄存器及控制流节点(跳转指令)组成，一条量子线路可以包含几十上百个甚至千上万个量子逻辑门操作。量子程序的执行过程，就是对所有的量子逻辑门按照一定时序执行的过程。需要说明的是，时序即单个量子逻辑门被执行的时间顺序。

需要说明的是，经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门。使用量子逻辑门，能够使量子态发生演化，量子逻辑门是构成量子线路的基础，量子逻辑门包括单比特量子逻辑门，如Hadamard门(H门，哈德玛门)、泡利-X门(X门)、泡利-Y门(Y门)、泡利-Z门(Z门)、RX门、RY门、RZ门等等；多比特量子逻辑门，如CNOT门、CR门、iSWAP门、Toffoli门等等。量子逻辑门一般使用酉矩阵表示，而酉矩阵不仅是矩阵形式，也是一种操作和变换。一般量子逻辑门在量子态上的作用是通过酉矩阵左乘以量子态右矢对应的矩阵进行计算的。

本领域技术人员可以理解的是，在经典计算机中，信息的基本单元是比特，一个比特有0和1两种状态，最常见的物理实现方式是通过电平的高低来表示这两种状态。在量子计算中，信息的基本单元是量子比特，一个量子比特也有0和1两种状态，记为|0＞和|1＞，但它可以处于0和1两种状态的叠加态，可表示为

其中，a、b为表示|0＞态、|1＞态振幅(概率幅)的复数，这是经典比特不具备的。测量后，量子比特的状态会塌缩至一个确定的状态(本征态，此处为|0＞态、|1＞态)，其中，塌缩至|0＞的概率是|a|²，塌缩至|1＞的概率是|b|²，|a|²+|b|²＝1，|＞为狄拉克符号。

量子态，即指量子比特的状态，其本征态在量子算法(或称量子程序)中用二进制表示。例如，一组量子比特为q0、q1、q2，表示第0位、第1位、第2位量子比特，从高位到低位排序为q2q1q0，该组量子比特的量子态为2³个本征态的叠加态，8个本征态(确定的状态)是指：|000＞、|001＞、|010＞、|011＞、|100＞、|101＞、|110＞、|111＞，每个本征态与量子比特位对应一致，如|000＞态，000从高位到低位对应q2q1q0。简言之，量子态是各本征态组成的叠加态，当其他态的概率幅为0时，即处于其中一个确定的本征态。

参见图2，图2为本发明实施例提供的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法的流程示意图，可以包括如下步骤：

S201：分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息。

线性系统是一种数学模型，是指用线性算子组成的系统，且同时满足叠加性与均匀性(又称为齐次性)的系统，目前，线性系统是很多科学和工程领域的核心。稀疏线性系统，是对线性系统对应的线性矩阵进行恒等变换，使之尽量多的出现0元素。这样做的目的是简化系统设计和计算，其应用领域十分广泛,譬如复杂的流体动力学问题,结构分析,电磁场计算等等。

示例性的，获取稀疏线性系统

中第一矩阵A、第一向量b的信息，具体包括分别获取第一矩阵A、第一向量b的元素信息及维数。具体的，对于一个P*P的第一矩阵A和一个P维第一向量b，输出p维向量x，满足

即

由此，第一矩阵A需要满足为可逆矩阵，且由于下述需要将第一向量b的数据加载到量子线路的缘故，第一向量b的维数P需要能表示为2的正整数次幂。若P不符合2的正整数次幂的形式，则在第一向量b的元素中补零直至满足符合2的正整数次幂的形式。同样的，第一矩阵A的维数信息也需符合2的正整数次幂的形式，若需进行补零操作的原理和方法与上述在第一向量b的元素中补零的方法相同，在此不再赘述。

示例性的，一个4维第一向量b＝[1,2,3,4]。

需要说明的是，在稀疏线性系统复杂的应用场景或领域，例如流体动力学、电磁场计算等问题中，上述第一矩阵的维数都较大，计算较为复杂，因此为了清楚说明本申请的方案，在此仅举上述简单示例加以说明，方便理解。

S202：根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J。

具体的，设N＝{1,2,3,...,n},

表示给定的稀疏结构，稀疏近似逆预处理技术旨在显式的构造A^-1的稀疏近似，其最基本的前提是给定稀疏第一矩阵A，存在A^-1在某种意义下的稀疏近似矩阵M，使得M≈A^-1，如何快速捕捉A^-1大元素的位置信息确定M稀疏结构是该算法成功的关键。

需要说明的是，F-范数最小化的稀疏近似逆预处理技术通过最小化残量矩阵||AM-I||_F来计算A^-1的稀疏近似M，其中M满足某确定的稀疏结构(M要么预先给定，要么在算法执行过程中动态确定)。由矩阵F-范数的特点，最小化||AM-I||_F可以转化为独立求解n个最小二乘问题，因此有天然的并行特性。但是对于一般的第一矩阵A，往往很难预先确定M的合理有效的稀疏结构，当A^-1的大元素较少时，先验的结构可能并不能有效捕捉其位置信息；或者只有当先验结构非常稠密时，以计算和存储为代价才能得到与A^-1近似程度较高的M。为了克服上述困难，提出动态的确定M的稀疏结构的策略，该策略往往从一个简单的初始结构(如单位矩阵的结构或者稀疏化的第一矩阵A的结构等)开始，然后根据某种规则逐步扩充或自适应地调整，直到残量矩阵关于某种范数满足给定精度||AM-I||_F≤ε，其中，ε代表预设的精度值，或者M的非零元个数达到预先给定的最大值。

具体的，根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，包括：

S2021：构建稀疏结构为J_k的n维向量集合和表示第一矩阵A(·,J_k)的非零行指标集I_k,其中所述J_k＝{i|(i,k)∈J}，

且表示所述预设稀疏结构。

具体的，在预设稀疏结构J中，构建稀疏结构为J_k的n维向量集合，考虑M的第k列，令J_k代表A(I_k,·)的非零列指标集，A(I_k,·)表示由I_k中指标对应的行构成的子矩阵；第一矩阵A(·,J_k)的非零行指标集I_k，其中A(·,J_k)代表第一矩阵A的由J_k中指标对应的列构成的子矩阵，且J_k＝{i|(i,k)∈J}。

S2022：根据所述非零行指标集I_k和所述J_k，构建第三矩阵A_k，其中，所述A_k＝A(I_k,J_k)。

示例性的，接上述示例，获取稀疏线性系统中一个4*4的第一矩阵A：

可知，当k＝2时，J_k＝{1,2}，根据矩阵A得到：I_k＝{1,2,3}，构建第三矩阵A_k，设n₁＝|I_k|为指令集|I_k|的元素个数，同样的，n₂＝|J_k|，A_k＝A(I_k,J_k),则最小二乘问题简化为小规模的n₁×n₂的无约束最小二乘问题。

S2023：根据所述第三矩阵A_k，计算

并构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M＝(m₁,m₂,...,m_k,...,m_n)，其中，所述

e_k表示单位矩阵，所述m_k由

确定。

具体的，稀疏近似矩阵M＝(m₁,m₂,...,m_k,...,m_n)，则有：

即：上述问题可分解为n个独立带约束的最小二乘问题可以进行并行处理，有

根据A_k＝A(I_k,J_k)，则最小二乘问题简化为小规模的n₁×n₂的无约束最小二乘问题：

其中，R为实数集，

e_k表示单位矩阵。

第一矩阵A是非奇异的，第三矩阵A_k是列满秩的，因此求解上述最小二乘问题，可根据修正的Gram-Schmidt正交化过程，对第三矩阵A_k做紧致的QR分解，即：

A_k＝QR

其中，R是一个非奇异的n₂×n₂上三角矩阵，Q是一个列正交矩阵，满足Q^T＝Q^-1。令

则有

得到

从而得到A^-1的稀疏近似M。

S203：分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

在量子应用中，通过构造一种Oracle或Oracle组合，该Oracle或组合的内部原理即为本发明的方法流程。具体的，Oracle可以理解为在量子算法中完成特定功能的模块(类似黑盒)，在具体问题中会有具体的实现方式。

示例性的，针对稀疏线性系统

中第一矩阵A、第一向量b，给定第一矩阵A、第一向量b的数据读取

其功能如下：

f(j,l)表示第一矩阵A第j行第l个非零元的列序号；

A_jk表示第一矩阵A第j行第k列非零元的列序号；

g(j,l)表示第一矩阵A第j列第l个非零元的行序号；

O_b|0＞＝|b＞，其中

c是第一向量b的归一化常数。

构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′各特定类元素的量子态演化的量子线路，具体包括：

构建

和

用于提取所述第二矩阵A′中非零元素的元素信息，其中，

的作用为

的作用为

所述f′(j,l)为所述第二矩阵A′中第j行第l个非零元的列序号，所述A′_jk为所述第二矩阵A′中第j行第k列的非零元素且k＝f′(j,l)。

具体的，

用于提取所述第二矩阵A′中非零元素的位置信息，以将所述第二矩阵A′中第j行第l个非零元的列序号编码到量子线路的量子比特位上，用于实现：

其中，将第二矩阵A′中对应的目标行非0元素在该行所有非0中元素的序号，编码到一组量子比特位中，用以实现量子态的转换：|j,l＞→|j,f′(j,l)＞；其中，转换后的量子态包含第二矩阵A′中的列序号信息。

在一种实现方式中，经过

的量子态的形式可以如下：

简写为：

其中，j为目标取值，表示矩阵的第j行；

表示张量积或张乘；d为第j行的非0元素总数；l为非0元素在第j行所有非0中元素的序号,表示第l个非0元素，|k＞对应的量子比特位可定义为第一比特位。

根据第二矩阵A′中的矩阵信息及列下标信息，确定非0元素的元素数值，并将元素数值编码到一组量子比特位中，即将所述第二矩阵A′中第j行第k列的元素信息编码到量子线路的量子比特位上。

具体的，所述

用于提取第二矩阵A′中非零元素的元素信息，以将所述第二矩阵A′中第j行第k列的元素信息编码到量子线路的量子比特位上。

所述

用于实现：

在一种可选的实施方式中，首先，可以获取初始态为0态的一组量子比特，将所述第二矩阵A′中第j行和第k列用二进制表示，分别编码到第二矩阵A′的行数和列数对应的一组量子比特位上，获得二进制表示的量子态|j,k,0＞，此处0态对应的量子比特位用于后续编码二进制元素值。然后，将当前第二矩阵A′中第j行第k列的非零元素信息编码到|j,k,0＞中0态对应的量子比特位上，以获得二进制表示的量子态|j,k,A_j′_k＞。

在另一种实现方式中，经过

的量子态的形式可以如下：

其中，A_j′_k为矩阵第j行第k列的非0元素数值，为了区分量子比特位，可定义|A_j′_k＞对应的量子比特位为第二比特位。

需要说明的是，如果A_j′_k为复数，可以将实部和虚部编码到第二比特位上，即|A_j′_k＞＝|real＞|imag＞，real表示实部，image表示虚部；如果A_j′_k写成欧拉形式re^iθ，则可将r和θ的信息编码到第二比特位，即|A_j′_k＞＝|r＞|θ＞。

将经过

的量子态

进行预设变换，变换后的末态，其形式|Ψ_j>由用户预设设定，也就是用户想要获得的特定量子态，用于量子随机行走技术领域，以解决哈密顿量的模拟及求解线性方程组等问题。该量子态|Ψ_j>的预设形式可以为：

其中，A_j′_k ^*为第二矩阵A′第j行第k列的非0元素数值的共轭，A′_max为第二矩阵A′中绝对值最大的元素数值

需要说明的是，已知第二矩阵A′＝MA，所述

由构建量子线路的U_k算子实现：

所述U_k具体实现以下量子态的演化：

具体的，

由于此处n₁,n₂很小，可直接用量子线路表示出经典最小二乘问题求解过程。其最小二乘法的解

可以表示为

可直接算出

的表达式

即

的每一项是A_k中某些元素的表达式(由于A_k的矩阵规模较小，因此可以给出其数学计算表达式，其最基本的方法是计算

的伴随矩阵来计算其逆矩阵)。由于每一个A_k的维数可能不一样，第一矩阵A是稀疏矩阵，n₁,n₂取最大，规模就一样了，或者可以根据A_k的矩阵维数来动态计算，U_k实现原理为用读取A_k元素的操作构建出表达式，执行过程如下：

在一种可选的实施方式中，首先，可以获取初始态为0态的四组量子比特，将所述第三矩阵A_k中第j行和第k列分别用二进制表示，编码到第三矩阵A_k的行数和列数对应的一组量子比特位上，获得二进制表示的量子态|k>|j>|0>|0>，此处0态对应的量子比特位均用于后续编码二进制元素值。

然后，将当前第三矩阵A_k中第j行第k列的非零元素信息编码到|k>|j>|0>|0>中0态对应的量子比特位上，以获得二进制表示的量子态|k>|j＞|A_k＞|0>，依照相同的方法及原理，继续进行量子态的演化操作，得到

最终恢复|A_k＞态为|0＞，得到演化后的量子比特位的量子态为

需要说明的是，上述方法为量子静态构造稀疏近似逆的方法，而量子动态构造稀疏近似逆的方法与上述方法类似，区别在于量子动态构造稀疏近似逆的方法需要进行迭代，例如第0次迭代时，可以构建出提取M⁽⁰⁾稀疏结构及元素的操作U⁽⁰⁾，假设已经迭代了h次，得到了提取M^(h)稀疏结构及元素的操作U^(h)；接下来执行第h+1次迭代,确定新的稀疏结构时，需要多次调用U^(h)和上述Oracle，而U^(h)是由U^(h-1)和上述Oracle得到的，所以U⁽⁰⁾和上述Oracle的调用次数随着迭代次数指数增加。当迭代次数设置为某个常数时，稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理过程也可以实现。

需要说明的是，在上述过程中，假设构造M^(h)的第k列

选取

的初始稀疏结构为

进行h次填充后

的稀疏结构为

定义

是

对应的非零行指标集。令

假设

是最小二乘问题的解，对应的残差为

而r_k的范数与

的范数完全相等。

如果||r_k||₂＞ε，定义L_k＝{i|r_k(i)≠0}，令N_k是A(L_k·)对应的非零列指标集。令

构成下次填充的候选指标集合，则填充

的方法，可以如下：

对于每一个

考虑一维的优化问题：

可得到解为：

其中，e_j为第j列单位向量，μ_j为可变的中间参量。

新残差r_k+μ_jAe_j的2-范数ρ_j满足：

选取集合

中若干个最小的ρ_j对应的指标j作为最有利的指标，然后填充到

得到

(ρ_j小表示指标j的元素对减小r_k起作用，即需要把j也添加到J_k中。)

构建表示稀疏线性系统中第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，包括：

构建OracleO_b′用于提取所述第二向量b′的元素信息，以将所述第二向量b′的元素信息编码到所述量子线路的量子比特位上，其中，编码后的所述量子线路的量子比特位上的量子态的振幅与归一化后所述第二向量b′的元素一一对应。

所述OracleO_b′,用于实现：

其中，所述c′是第二向量b′的归一化常数，所述s为第二向量b′的元素个数。

需要说明的是，归一化就是要把需要处理的数据经过处理后限制在预设的数值，例如将r个元素数值归一化处理，使其满足所有元素数值平方和为1。其目的是为了后续数据处理的方便，其次是保证数据编码时效率加快。

示例性的，b′＝[b₁,b₂,b₃,b₄]，则，将第一向量b′的数据编码到量子态振幅上，得到:

从而实现：将第二向量b′的数据加载到量子线路中2个量子比特的量子态振幅上，且编码后的量子线路的量子比特位上的量子态的振幅与归一化后第二向量b′的元素一一对应。

需要说明的是，已知

和

构建出提取M元素的操作(O_M1,O_M2)则基于相同的功能，通过

和

利用量子行走构建出第二向量b′，即Mb。

具体的，通过公式WⁿT|b＞＝TΓ_n(M)|b＞+|⊥_b>和|0^m>|b>→|0^m＞Γ_n(M)|b＞+|Φ^⊥＞可知，当n＝1、m＝1时，即公式可转化为：WT|b＞＝TΓ(M)|b＞+|⊥_b＞和|0＞|b＞→|0＞Γ(M)|b＞+|Φ^⊥＞，其中|Φ^⊥＞为非归一化的量子态，∏|Φ^⊥＞＝0且

因此，仅需构建出算子W和T即可利用量子行走构建出Mb。

参见图3，图3为本发明实施例提供的一种关于T的量子线路示意图。本领域技术人员可以理解的是，H表示H门，O_F、O_H、M₁表示不同功能的Oracle，

表示O_H的转置共轭，T表示H门及Oracle组合的整体功能模块，T模块的功能即为将|j＞变换为|Ψ_j＞。并且，获得的输入该T模块的矩阵为N阶矩阵，上方|j＞处

中的N表示行数，下方

中的N表示列数,其余表示同上。构建的T模块在量子线路中可等效于量子逻辑门，其矩阵形式为：

其中，

为量子态左矢。

具体的，利用H门，构建叠加态：

O_F实现变换：

O_H实现变换：

M₁实现变换：

最后，再调用一次O_H进行转置共轭操作，将编码A_j′_k的量子比特回收，进而输出|Ψ_j＞。

需要说明的是，该示意图只示出了与本申请相关的部分量子线路，图中各标识及连接关系，仅仅作为示例，并不构成对本发明的限定。

参见图4，图4为本发明实施例提供的一种关于行走算子W的量子线路示意图。本领域技术人员可以理解的是，任何一个简单的函数都可以线性近似为其他函数的线性组合，可以通过Chebyshev切比雪夫多项式近似矩阵的逆函数。具体如下：

r＝m+t，还有

本申请中求逆矩阵，它满足O(||A^-1-F||)＝∈。线性组合为：

此处

b＝κ²log(κ/∈)，g(x)是2∈，

在D_κ：＝(-1,-1/κ)∪(1/κ,1)。

是第一类Chebyshev多项式。

量子游走：为了实现Chebyshev多项式，需要在量子行走框架中进行。

因为量子游走被执行在空间

中的一些态

上，定义一个映射

从

到

和行走算子：

算子S执行

中的乘积态的翻转操作。于是有：

是第一类Chebyshev多项式。

示例性的，例如图4所示，说明游走算子W的量子线路。因为

S可以由一群交换操作构造出来(例如一个SWAP门，图4量子比特中两个标粗X相连的符号，即表示一个SWAP门)，剩下来的就是

所以

算子T在量子线路中是酉算子，它把|j＞|0＞变为|ψ_j>。它不同于维数为4N²×2N的T：＝∑_j∈N|ψ_j＞<j|。为了区别，用T_qc来定义该量子线路：

且：K＝2|0><0|-I_2N。

目前，现有的量子线路构建往往只能够利用现有的单量子逻辑门、双量子逻辑门等等，通常存在以下问题：

对于功能比较复杂的量子线路，需要用到的量子比特数量会非常多，使用经典计算机进行模拟的时候会消耗巨大的内存空间，需要用到的逻辑门数量会非常多，模拟耗时会非常长。并且，一些复杂的算法难以用量子线路进行实现。

基于此，通过改用Oracle模拟的方式实现特定的复杂功能，并实现受控和转置共轭操作。用户传入Oracle的参数，可以包括：Oracle名称(用于识别Oracle的功能用途，如O_b′)、量子比特位、矩阵元素等等。

这种方式的好处是，整体上将Oracle作为已知模块，无需关注其内部的实现细节，在量子应用场景例如量子线路的表示上，非常的简单明了。由于可以将经典模拟的Oracle功能模块等效成量子逻辑门，使得构建的量子线路得以简化，因此节省了运行时所需的内存空间，并加快量子算法的模拟验证。

量子Oracle是一个黑盒表示某种量子态的转变。量子Oracle的一个典型例子是线性系统：O|x>|0＞＝|x＞|f(x)＞，此处计算f(x)用第一个量子寄存器作为输入，第二个量子寄存器作为输出。另外一个例子就是QRAM可以被视为一种Oracle。很多量子算法用到Oracle，许多量子算法都使用Oracle，但他们不关心Oracle的实现,它可以分解成量子门，也可以实现QRAM。在QPanda中，可以使用“Oracle”函数来定义。Oracle被认为是具有用户提供的名称。

可见，本申请通过将稀疏线性系统的矩阵及向量信息编码到量子态，将经典的数据结构与量子领域的量子态联系起来，并执行经典的数据结构编码到量子态的演化操作，得到演化后的量子线路的量子态，其能够利用量子的叠加特性，加速条件数较大的稀疏线性系统的求解问题，扩展量子计算的模拟应用场景。

与现有技术相比，本发明提供一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，首先分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，根据第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J，分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态，其中，第二矩阵A′＝MA，第二向量b′＝Mb。利用量子的叠加特性，实现一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

参见图5，图5为本发明实施例提供的一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置的结构示意图，与图2所示的流程相对应，可以包括：

获取模块501，用于分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

构建模块502，用于根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

执行模块503，用于分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

具体的，所述特定类元素为：非零元素。

具体的，所述执行模块，包括：

第一提取模块，用于构建

和

用于提取所述第二矩阵A′中非零元素的元素信息，其中，

的作用为

的作用为

所述f′(j,l)为所述第二矩阵A′中第j行第l个非零元的列序号，所述A′_jk为所述第二矩阵A′中第j行第k列的非零元素且k＝f′(j,l)。

具体的，所述执行模块，包括：

第二提取模块，用于构建OracleO_b′用于提取所述第二向量b′的元素信息，以将所述第二向量b′的元素信息编码到所述量子线路的量子比特位上，其中，编码后的所述量子线路的量子比特位上的量子态的振幅与归一化后所述第二向量b′的元素一一对应。

具体的，所述第二提取模块，包括Orac leO_b′模块,用于实现：

其中，所述c′是第二向量b′的归一化常数，所述s为第二向量b′的元素个数。

具体的，所述构建模块，包括：

第一构建单元，用于获取所述稀疏近似矩阵M对应第k列的稀疏结构为J_k的n维向量集合和表示第一矩阵A(·,J_k)的非零行指标集I_k,其中所述J_k＝{i|(i,k)∈J}，

且表示所述预设稀疏结构；

第二构建单元，用于根据所述非零行指标集I_k和所述J_k，构建第三矩阵A_k，其中，所述A_k＝A(I_k,J_k)；

第三构建单元，用于根据所述第三矩阵A_k，计算

并构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M＝(m₁,m₂,...,m_k,...,m_n)，其中，所述

e_k表示单位矩阵，所述m_k由

确定。

具体的，所述第三构建单元，包括：

实现单元，用于所述

由量子算术运算构建量子线路得到的U_k算子实现：

所述U_k具体实现以下量子态的演化：

与现有技术相比，本发明提供一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，首先分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，根据第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J，分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态，其中，第二矩阵A′＝MA，第二向量b′＝Mb。利用量子的叠加特性，实现一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

本发明实施例还提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中方法实施例中的步骤。

具体的，在本实施例中，上述存储介质可以被设置为存储用于执行以下步骤的计算机程序：

S201：分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

S202：根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

S203：分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

具体的，在本实施例中，上述存储介质可以包括但不限于：U盘、只读存储器(Read-Only Memory，简称为ROM)、随机存取存储器(Random Access Memory，简称为RAM)、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储计算机程序的介质。

与现有技术相比，本发明提供一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，首先分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，根据第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J，分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态，其中，第二矩阵A′＝MA，第二向量b′＝Mb。利用量子的叠加特性，实现一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

本发明实施例还提供了一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中方法实施例中的步骤。

具体的，上述电子装置还可以包括传输设备以及输入输出设备，其中，该传输设备和上述处理器连接，该输入输出设备和上述处理器连接。

具体的，在本实施例中，上述处理器可以被设置为通过计算机程序执行以下步骤：

S201：分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

S202：根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

S203：分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

与现有技术相比，本发明提供一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，首先分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息，根据第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J，分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态，其中，第二矩阵A′＝MA，第二向量b′＝Mb。利用量子的叠加特性，实现一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，用于量子计算的模拟，降低稀疏线性系统的条件数，填补相关技术空白。

以上依据图式所示的实施例详细说明了本发明的构造、特征及作用效果，以上所述仅为本发明的较佳实施例，但本发明不以图面所示限定实施范围，凡是依照本发明的构想所作的改变，或修改为等同变化的等效实施例，仍未超出说明书与图示所涵盖的精神时，均应在本发明的保护范围内。

Claims (10)

1.一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理方法，其特征在于，包括：

分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述特定类元素为：非零元素。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，包括：

构建

和

用于提取所述第二矩阵A′中非零元素的元素信息，其中，

均作用为

的作用为

所述f′(j，l)为所述第二矩阵A′中第j行第l个非零元的列序号，所述A′_jk为所述第二矩阵A′中第j行第k列的非零元素且k＝f′(j，l)。

4.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，包括：

构建OracleO_b′用于提取所述第二向量b′的元素信息，以将所述第二向量b′的元素信息编码到所述量子线路的量子比特位上，其中，编码后的所述量子线路的量子比特位上的量子态的振幅与归一化后所述第二向量b′的元素一一对应。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述OracleO_b′，用于实现：

其中，所述c′是第二向量b′的归一化常数，所述s为第二向量b′的元素个数。

6.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，包括：

获取所述稀疏近似矩阵M对应第k列的稀疏结构为J_k的n维向量集合和表示第一矩阵A(·，J_k)的非零行指标集I_k，其中所述J_k＝{i|(i，k)∈J}，

且表示所述预设稀疏结构；

根据所述非零行指标集I_k和所述J_k，构建第三矩阵A_k，其中，所述A_k＝A(I_k，J_k)；

根据所述第三矩阵A_k，计算

并构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M＝(m₁，m₂，...，m_k，...，m_n)，其中，所述

e_k表示单位矩阵，所述m_k由

确定。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述

由量子算术运算构建量子线路得到的U_k算子实现：

所述U_k具体实现以下量子态的演化：

8.一种稀疏线性系统的稀疏近似逆量子预处理装置，其特征在于，包括：

获取模块，用于分别获取稀疏线性系统中第一矩阵A、第一向量b的信息；

构建模块，用于根据所述第一矩阵A，构建用于稀疏线性系统预处理的稀疏近似矩阵M，其中，所述稀疏近似矩阵M为A^-1的稀疏近似且满足预设稀疏结构J；

执行模块，用于分别构建表示稀疏线性系统中第二矩阵A′、第二向量b′各特定类元素的量子态演化的量子线路，分别执行量子态的演化操作，得到演化后的所述量子线路的量子态；其中，所述第二矩阵A′＝MA，所述第二向量b′＝Mb。

9.一种存储介质，其特征在于，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行所述权利要求1至7任一项中所述的方法。

10.一种电子装置，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行所述权利要求1至7任一项中所述的方法。

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