CN114754844A - 流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法 - Google Patents

Abstract

流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法具体包括了分段线性拟合和基于输入输出量相对变化量的两种判断方法。从非线性特性角度推导N阶非线性特性下重复性误差的放大倍数；根据放大倍数的单调性，提出分段线性拟合的方法，在最大流量或最小流量区域取两点，然后拟合得到截距项，快速计算放大倍数的最大值；定量推导放大倍数为m时任意两点的输入、输出量的临界关系式，依此，提出基于输入输出量相对变化量的方法，任意选取两点的数据，依据临界关系式快速确定放大倍数的数值范围，从而确定重复性误差是否被放大。

Description

流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法

技术领域

本发明涉及流量仪表领域，为一类在流量仪表修正非线性误差过程中或者修正非线性特性过程中，判断是否放大重复性误差的方法，特别地具体包括了两种流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法。

背景技术

对于具有非线性特性的流量仪表(流量计)，需要进行非线性误差修正，以满足流量仪表的性能指标的要求。但是，本发明发现在某些流量仪表的非线性误差修正过程中，仪表的重复性误差会被改变，以致流量仪表最终还是不能满足性能指标的要求。这是因为在流量仪表的性能指标中，不仅有对非线性误差的要求，还有对重复性误差的要求，必须同时满足，才算达到性能指标的要求。

以恒温差型热式质量流量计为例，它的质量流量与加热功率(或加热电流)存在严重的非线性关系。为此，在流量计出厂前需要通过整段多项式拟合或分段线性拟合的方式来修正非线性误差。但是，在实施过程中发现：非线性修正这一步骤改变了参量间的重复性误差。具体地说，在流量计出厂前的标定实验中，选取多个流量点进行实验，测得标准流量与加热功率P_w(或加热电流I_w)之间对应的实验数据。根据实验数据，计算每个流量点下加热功率的重复性误差，其结果满足预定的一级表精度的要求。依据实验数据，进行整段多项式拟合或者分段线性拟合，得到加热功率与流量之间的关系式。将此关系式设入恒温差型热式质量流量计变送器的程序里，以实现非线性误差修正。接下来，再进行流量计的检定实验，即针对国家检定规程中规定的流量点进行实验，以检验流量计是否达到一级表的精度要求。根据检定实验数据，计算重复性误差，发现其值是原来(标定实验)的几倍甚至十几倍。为什么在标定实验过程中，重复性误差是符合要求的；但是，在检定实验过程中，重复性误差就不符合要求了？与标定实验过程相比，检定实验过程只多了非线性修正这一步，所以说，非线性修正改变了参量间的重复性误差。

为此，本发明推导非线性误差修正放大重复性误差的关系式，并提出两种非线性误差修正是否会放大重复性误差的判断方法。

发明内容

针对修正流量仪表非线性误差放大重复性误差的问题，本发明从输入、输出的非线性特性角度出发，推导重复性误差的变化情况，得到N阶非线性特性下重复性误差的放大倍数

式中，

为输入量的平均值，

为输出量的平均值，

为输入量与输出量之间关系式的导数。为了降低重复性误差放大倍数的计算复杂性，以便快速判断非线性修正过程中重复性误差是否被放大，本发明依据放大倍数的函数特性及流量仪表的输入、输出特性，分别提出分段线性拟合和基于输入输出量相对变化量的这两种判断方法。

具体的技术方案如下：

根据输入、输出量之间的非线性函数和重复性误差的计算公式推导非线性修正过程中输入、输出量之间重复性误差的变化量。首先，从流量计的输入、输出特性为线性特性开始，即可以理解为使用分段线性插值的方法修正非线性，推导输出量的重复性误差与输入量的重复性误差之间的函数关系。然后，依次推导出二次、三次、四次函数关系下输出量的重复性误差，即使用整段高阶多项式近似的方法进行非线性修正时重复性误差的变化。最后，使用归纳法将输入、输出量之间重复性误差的变化关系式推广到N阶，得到概括性的重复性误差的放大倍数的计算公式：

有了上述重复性误差放大倍数的计算公式，就可以判断流量计在非线性修正中是否会放大重复性误差了。但是，当非线性阶数较高时，通过拟合高阶参数项、再逐点计算重复性误差的放大倍数无疑是非常麻烦的。因此，本发明从放大倍数的函数特性入手，分别提出分段线性拟合方法和基于输入输出量相对变化量的方法，以便较为快速和简便地判断非线性误差修正是否放大重复性误差。

(1)分段线性拟合的方法

由于流量计的输入、输出关系具有单调特性，因此，放大倍数也具有单调特性。对于非线性趋势逐渐增加的情况，重复性误差的放大倍数会随着流量的增大而增大，在最大流量时达到最大值。对于非线性趋势逐渐减小的情况，重复性误差的放大倍数会随着流量的增大而减小，在最小流量时达到最大值。故可以利用分段线性的方法，在这两种情况下，分别在最大流量或最小流量的区域取两点进行拟合，以得到截距项，再根据线性情况下放大倍数的计算公式，即可快速计算出放大倍数的最大值，从而确定重复性误差是否被放大。

(2)基于输入输出量相对变化量的方法

将N阶非线性特性的放大倍数看作输入输出量的连续函数，定量推导放大倍数大于或小于某一数值m时输入量与输出量之间的关系，即

(或

)时，输入量x与输出量f(x)之间的大小关系，得到任意两点的输入量、输出量在放大倍数

的充分必要条件：

(当

时，其充要条件是

)。由此，将放大倍数为m时的输入量与输出量之间的关系定义为临界关系式。任意选取两点的数据，依据该临界关系式即可快速确定放大倍数的数值范围，从而判断输出量的重复性误差是否满足流量仪表精度的要求。

附图说明

图1是加热功率与标准流量的曲线特性，也是流量仪表非线性逐渐增大的特性；

图2是流量仪表非线性逐渐减小的特性。

具体实施方法

1.本发明首先从流量计的输入输出特性为线性特性开始，即可以理解为使用分段线性插值的方法修正非线性，推导输出量的重复性误差与输入量的重复性误差之间的函数关系。然后，依次推导出二次、三次、四次函数关系下输出量的重复性误差，即使用整段高阶多项式近似的方法进行非线性修正时重复性误差的变化。最后使用归纳法得到N阶非线性情况下重复性误差的放大倍数。

(1)分段线性特性

定义非线性修正前的特征量(如加热功率)为流量计的输入量，非线性修正后的流量为输出量。

假设流量计在标定过程中输入量为x，其重复性误差为R_x；输出量为y，由于输出量为输入量的函数，因此，也可以将输出量表示为f(x)，其重复性误差为R_y。输入量和输出量的线性关系式为：y＝f(x)＝a₁x+a₀(系数项a₁和a₀在标定实验中由加热功率与标准流量的拟合关系获取，以加热功率为自变量，标准流量为因变量(输出量))。

重复性误差由相对标准偏差给出，其计算公式为：

式中，x_i为同一测量条件下第i次的输入量，

为平均值。下面通过函数关系式将流量计输出量的重复性误差与输入量的重复性误差进行关联，即

式中，

为输出量的平均值，

为输入量与输出量之间关系式的导数。

根据式(2)可以看出分段线性修正过程中输出量的重复性误差是输入量的

倍。当常数项a₀相对于输出量较小时，

例如，像电磁流量计这类的线性特性的流量计，在标定实验中，a₀为仪表的零点，其值远小于电磁流量计的测量下限(一般为0.5m/s)，因此，该项的存在基本不会改变参量间的重复性误差。但是，若a₀较大且为负值时，

的计算结果就会大于1，就会放大输出量的重复性误差。

(2)二次非线性特性

设流量计的输入量和输出量的二次函数关系式为：y＝f(x)＝a₂x²+a₁x+a₀。首先考虑输出量的均值

因为某个变量的方差等于这个变量平方的均值减去均值的平方，所以，

式中，D(x)是输入量x的样本方差，

根据式(1)，D(x)可以被表示为：

则

可以表示为：

对于流量计的精度一般为1至5级精度，即最大允许误差为1％到5％。而重复性误差要求不超过最大允许误差的1/3或1/5。例如，一级精度的流量计，要求重复性误差R_x≤0.33％，因此，

也就是说：

则输出量y的重复性误差为：

由于仪表精度的要求，x_i的波动量小，此时可以认为式(3)中的

约等于

据此，对公式(3)进一步化简得到：

则输出量的重复性误差被放大了

倍。

考虑上述近似项

给重复性误差的放大倍数带来的误差，用相对误差来表示为：

式中，e是流量计的相对示值误差，它要小于仪表的最大允许误差。例如，对于1级精度的流量计，此假设给重复性误差的放大倍数的计算带来的最大误差为0.5％。这在工程上是可以接受的。

(3)三次非线性特性

设输入量和输出量的三次函数关系式为：y＝f(x)＝a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀。对

进行化简，以方便求解重复性误差的放大倍数。

则输出量y的重复性误差为：

近似认为式(6)中的

对式(6)继续化简有：

则输出量的重复性误差被放大了

倍。

在以上推导中，近似项

给重复性误差的放大倍数带来的计算误差σ₂为

(4)四次非线性特性

进一步推算四次非线性特性：y＝f(x)＝a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀下输出量y的均值和重复性误差。

式中，D(x²)是x²的方差。

因此，

能被进一步化简为：

输出量的重复性误差为：

则输出量的重复性误差被放大了

倍。

近似项

带来的计算误差σ₃为：

(5)N阶非线性特性

根据上述对线性特性以及二、三、四次非线性特性的推导，N次非线性特性的输出量y的均值可以近似表示为：

其重复性误差相对于输入量的放大倍数K约为：

通过观察二、三和四次非线性特性的近似项给重复性误差放大倍数的计算带来的误差，可以发现非线性每增加一次，误差增加

则N次非线性特性的近似项带来的计算误差为

总之，本发明从非线性特性角度推导了流量计输出量的重复性误差与输入量的重复性误差之间的关系，得出的结论是：在流量仪表非线性误差的修正过程中，可能会放大重复性误差，其重复性误差的放大倍数为：

式中，

为输入量的平均值，

为输出量的平均值，

为输入量与输出量之间关系式的导数。

2.在工程应用中，若通过拟合高阶参数项、再逐点计算重复性误差的放大倍数，这无疑是非常麻烦的。为此，本发明从重复性误差放大倍数的函数特性和流量仪表的输入输出特性的变化趋势出发，提出两种相对简单且非常有效的判断非线性修正是否放大重复性误差的方法。其中，一种是分段线性拟合求取放大倍数最大值的方法，即分段线性拟合方法，另一种是基于输入量和输出量的相对变化量的临界关系式，即基于输入输出量相对变化量的方法。

(1)分段线性拟合方法

由于流量计的输入输出特性具有单调特性，因此，考虑放大倍数也具有单调特性，即放大倍数在最大流量或最小流量时具有最大值。利用分段线性的方法，在最大流量或最小流量区域取两点，然后拟合得到截距项，即可快速计算放大倍数的最大值，从而确定重复性误差是否被放大。更详细地说，针对非线性趋势逐渐增加的情况，重复性误差的放大倍数随着流量的增大而增大，在最大流量时达到最大值。因此，只需要判断大流量情况下重复性误差是否被放大；针对非线性趋势逐渐减小的情况，重复性误差的放大倍数随着流量的增大而减小，因此，只需要判断小流量情况下重复性误差是否被放大。在这两种情况下，只要分别取最大两点或最小两点，利用分段线性的方法拟合直线方程得到截距，即可快速地计算出放大倍数。

由于流量传感器特性的单调性，因此，可以将流量计的非线性输入输出特性分为两类：(1)非线性趋势逐渐增加(曲线斜率逐渐增大)，如恒温差热式质量流量计的曲线特性，如图1所示；(2)非线性趋势逐渐变缓(曲线斜率逐渐减小)，类似于图1反函数，如图2所示。

当非线性趋势逐渐增加(曲线斜率逐渐增大)时，重复性误差的放大倍数是随着输入量的增加而逐渐增加的。将N阶非线性下的放大倍数看作输入输出量的连续函数，曲线f(x)单调递增，f′(x)≥0，考虑到输入量的单次测量值和平均值具有相同的单调特性，且重复性误差小，因此，不妨用单次测量值近似代替平均值，则根据式(14)，放大倍数

为了得到判断放大倍数函数的单调性的一些关系式，构造函数g(x)＝f′(x)x-f(x)，通过其导数g′(x)＝f″(x)x判断其增减性。函数f(x)为凹函数，且二阶连续可导，则有f″(x)>0，由于x≥0恒成立，因此，g′(x)≥0，g(x)为单增函数，进而可以得到：

g(x)＝f′(x)x-f(x)≥g(0)＝-f(0)＝-a₀ (15)

f′(x₂)x₂-f(x₂)≥f′(x₁)x₁-f(x₁),x₁<x₂∈I (16)

接下来，依据式(15)和(16)，通过定义判断放大倍数的单调性。假设放大倍数K连续且可导，当x₁<x₂∈I时有：

在一般情况下，对于图1这种特性，a₀为正，且f(x₂)-f(x₁)≥0，因此，放大倍数也跟随输入、输出量，具有单调递增的特性。

当非线性趋势逐渐变缓(曲线斜率逐渐减小)时，函数y为凸函数，f″(x)<0，g(x)为单减函数，放大倍数K也为单减函数，会随着输入量x的增加而减小，这里不再证明。

根据上述分析，非线性趋势逐渐增加(曲线斜率逐渐增大)时，放大倍数也会逐渐增大，在最大输入量x_n时达到最大值，因此，在此情况下只需要计算x_n时的放大倍数。通过分段线性的方法，取最大两点的数据拟合直线方程，得到截距项，再根据公式(2)的结论即可快速得到放大倍数。此时，得到的是放大倍数的最大值，即最坏情况的结果。如果该值大于1，则需要考虑放大后的重复性误差是否能被接受；如果不能，则需要考虑更换传感器或者更换测量方式。

当非线性趋势逐渐变缓(曲线斜率逐渐减小)时，放大倍数也会逐渐减小，在最小输入量x₀时具有最大值，因此，在此情况下只需要通过分段线性的方法计算x₀时的放大倍数，即可判断非线性误差修正是否会放大重复性误差。

(2)基于输入输出量相对变化量的方法

将N阶非线性特性的放大倍数看作输入输出量的连续函数，推导放大倍数大于或小于某一数值m(正有理数)时输入与输出量之间的关系，即将放大倍数直接反映在输入输出量上。并将放大倍数等于m时的输入与输出之间的关系定义为临界关系式。依据该临界关系式快速确定放大倍数的数值范围，从而判断输出量的重复性误差是否满足流量仪表精度的要求。换句话说，根据放大倍数的函数关系，推导放大倍数在某一数值时输入量和输出量之间的临界关系式。依据该临界关系，快速判断放大倍数的数值范围，从而确定非线性修正是否放大重复性误差。

对于流量仪表，输出量f(x)一般随着输入量x单调递增，设函数f(x)在x的区间I上连续且可导，则有f′(x)≥0。且考虑到输入量的重复性误差小，可以用单次测量值近似代替平均值。进而公式(14)被改写为：

式中，x为输入量，y为输出量，f′(x)为输入量与输出量之间关系式的导数；当放大倍数

时，由于输入量和输出量均为实际参量，均大于0，因此有

f′(x)x-mf(x)≥0 (17)

将式(17)看作某一函数的导数的一部分，该函数联立了输入、输出和放大倍数m。且该函数具有单调递增特性，由此可以得到当放大倍数为m时任意两点的输入、输出量之间的大小关系。

根据式(17)构造连续且可导的函数

并通过其导数

检验它的单调性是否满足预期。根据式(17)，z′(x)≥0,因此，函数z(x)单调递增。当x₁<x₂∈I(整数集)时有：

进而可以得到：

将该式(18)作为先决条件，返回去推导，仍可得

这里不再赘述。因此，

是K≥m的充分必要条件。这也就是说：任意两点的输出量的比值大于输入量的m次幂的比值时，重复性误差至少会被放大m倍。同样地，当

时，重复性误差的放大倍数小于m。需要指出的是，虽然不同的非线性流量仪表输入量与输出量的单位、变化范围等参量可能不同，但是，这并不影响上述结论。而且，函数f(x)单调递减的情况也具有类似性，不再赘述。

特别是当m＝1时，

是K≥1的充分必要条件，即重复性误差至少被放大1倍。将该式变形可以得到：

令Δx＝x₂-x₁，Δf＝f(x₂)-f(x₁)，则有：

该式反映了：当输入量的变化量Δx相比于自身的值非常小时，非线性修正就会导致重复性误差的放大；而将上式取倒数可以得到：

即输入量的相对变化量小于输出量的相对变化量时，非线性修正就会导致重复性误差的放大。

在标定实验中采集到输入量和输出量的数据后，任意取两点，根据公式(18)，就可以快速判断非线性修正过程中重复性误差是否被放大。或者，在最大和最小流量区域各取两点，根据放大倍数的单调性及式(18)即可判断放大倍数位于哪一数值区间。比如，当

时，放大倍数的数值范围为1≤K≤2。由此快速判断出输出量的重复性误差的变化区间，从而确定仪表是否满足精度的要求。

Claims (3)

1.流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法，其特征在于：根据输入、输出量之间的非线性函数和重复性误差的计算公式，推导出N阶非线性特性下重复性误差的放大倍数：

式中，

为输入量的平均值，

为输出量的平均值，

为输入量与输出量之间关系式的导数；基于重复性误差的放大倍数，具体给出分段线性拟合和基于输入输出量相对变化量这两种判断方法。

2.如权利要求1所述的流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法，其特征在于：

分段线性拟合的方法源于重复性误差的放大倍数的单调性，具体地，针对流量计非线性趋势逐渐增加的情况，重复性误差的放大倍数随着流量的增大而增大，在最大流量时达到最大值；针对非线性趋势逐渐减小的情况，重复性误差的放大倍数随着流量的增大而减小，在最小流量时达到最大值；因此，利用分段线性的方法，在最大流量或最小流量区域取两点，然后拟合得到截距项，快速计算放大倍数的最大值，从而确定重复性误差是否被放大。

3.如权利要求1所述的流量仪表修正非线性特性是否放大重复性误差的判断方法，其特征在于：

基于输入输出量相对变化量的方法通过输入、输出量的临界关系判断放大倍数的数值范围，具体地，将N阶非线性特性的放大倍数看作输入输出量的连续函数，定量推导放大倍数大于或小于某一数值m时输入量与输出量之间的关系，得到任意两点的输入量、输出量在放大倍数

的充分必要条件是

当

时，其充要条件是

由此，将放大倍数为m时的输入量与输出量之间的关系定义为临界关系式；在标定实验中任意选取两点，依据临界关系式快速确定放大倍数的数值范围，从而判断输出量的重复性误差是否满足仪表精度的要求。

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