CN114670808A - 基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，包括轮胎纵滑侧偏特性实验，获得轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据、构建轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型、构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型、获取最终附加横摆力矩、设计最优四轮转矩分配算法，得到四个车轮实时最优转矩、装车应用等步骤。有益效果：本发明采用分段仿射辨识方法对轮胎纵滑侧偏力学特性进行建模，并采用全局快速终端滑模控制策略综合考虑各个失稳因素计算出当前车辆所需最优附加横摆力矩，利用等式约束带入目标函数的仿射得到四个车轮实时所需最优转矩，特殊行驶工况下提高电动汽车在特殊行驶工况下的横向稳定性和安全性。

Description

基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法

技术领域

本发明涉及一种汽车横向稳定性的控制方法，特别涉及一种基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，属于车辆控制技术领域。

背景技术

随着社会的飞速发展，电动汽车在汽车和交通运输行业中占据越来越重要的作用。其中横向稳定性控制是分布式驱动电动汽车安全行驶的关键技术之一。通常横向稳定性控制是指汽车在特殊行驶工况下，例如在冰雪路面行驶面对突发情况急转弯时可能会出现的失稳情况加以回稳。

目前，用户对车辆行驶稳定性和安全性能的要求不断提高，要求车辆在较为恶劣的行驶工况下依然保持良好的稳定性和可靠性。然而，由于车辆的失稳现象与多个参数相关并且在湿滑路面上高速行驶轮胎的纵向力和横向力存在复杂的耦合关系，在以往的研究中通常考虑的因素不全面，因此车辆在很多特殊行驶工况下容易出现失稳的危险，车辆的横向稳定性有待进一步提升。

随着汽车运动控制系统的不断发展，尤其是电动汽车对于运动控制性能在全工况道路行驶条件下提出的更高要求，目前的建模方法精度不高导致系统控制性能提升受限已成为不可回避的问题。与此同时，从车辆动力学控制综合的角度出发，模型既要准确描述客观系统的物理本质，又要适合动力学控制理论的应用，即使复杂的机理模型能够有效反映被控过程中各变量之间的非线性关系，但对于控制系统的设计可能会造成不便。因此，尽管轮胎纵滑侧偏力学特性的复杂机理模型已有研究涉及，但大多形式复杂、参数拟合困难，单纯针对轮胎力学特性进行研究，并未考虑后续在此基础上进行运动控制系统综合导致设计的控制器无法发挥其性能。

发明内容

发明目的：针对现有技术中目前的建模方法精度不高导致系统控制性能提升受限，以及轮胎纵滑侧偏力学特性模型复杂导致设计的控制器无法发挥其性能的问题，本发明提供一种基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法。本发明采用分段仿射辨识方法对轮胎纵滑侧偏力学特性进行建模，并采用全局快速终端滑模控制策略综合考虑各个失稳因素计算出当前车辆所需最优附加横摆力矩，利用等式约束带入目标函数的仿射得到四个车轮实时所需最优转矩，针对特殊行驶工况下提高电动汽车在特殊行驶工况下的横向稳定性和安全性。

技术方案：一种基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，包括以下步骤：

步骤1、轮胎纵滑侧偏特性实验，进行轮胎纵滑侧偏特性实验，获得轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据；

步骤2、构建轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型，根据轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系通过分段仿射辨识建立的轮胎纵滑侧偏特性模型；

步骤3、构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型，基于轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型结合车身横摆角速度和质心侧偏角构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型；

步骤4、获取最终附加横摆力矩，根据横摆角速度和质心侧偏角实际值和参考值的误差利用全局快速终端滑模控制律求解出两个最优附加横摆力矩，基于质心侧偏角与质心侧偏角速度相图失稳判定结果给两者赋予不同权重得到最终附加横摆力矩；

步骤5、设计最优四轮转矩分配算法，以四个车轮的负荷率之和最低为目标函数，结合前后车轮分配权重系数，得到四个车轮实时最优转矩；

步骤6、装车应用，根据步骤1-5中的方法设计控制系统刷写至分布式驱动电动汽车车载控制单元上，通过车上现有的传感器得到控制器所需要的参数判定车辆的稳定性状态，控制系统计算出实时所需横摆力矩，再计算出四个车轮转矩分配给各车轮。

本发明采用分段仿射辨识方法对轮胎纵滑侧偏力学特性进行建模，并采用全局快速终端滑模控制策略综合考虑各个失稳因素计算出当前车辆所需最优附加横摆力矩，利用等式约束带入目标函数的仿射得到四个车轮实时所需最优转矩，针对特殊行驶工况下提高电动汽车在特殊行驶工况下的横向稳定性和安全性。

优选项，所述步骤2中轮胎纵滑侧偏特性模型的构建步骤包括数据聚类、仿射子模型参数估算和超平面系数矩阵的计算，具体实现方法如下：

(1)定义轮胎纵滑侧偏力学特性的分段仿射模型形式

模型数学表达式如下：

其中y_j∈R^p为系统的输出，θ_i(i＝1,...,s)为每个子模型的参数，x_j∈Rⁿ为系统的回归向量，总是包含系统过去的输入输出，x_j可以表示成：

其中n_y和n_u表示分段仿射模型的阶数，u_j为系统输入，n＝p n_y+m n_u.χ_i(i＝1,…,s)为回归集合χ的完全分区，每一个区域是一个凸多面体子集，可以写作：

χ_i＝{F_ix_j+g_i≤0}

其中F_i和g_i为超平面系数矩阵，令H_i＝[F_i g_i],(i＝1,...,s)，则凸多面体区域可以重写成：

χ_i＝{H_i[x_j 1]^T≤0}

1)数据聚类

将原始数据集划分为s个不相关联的聚类，采用基于高斯混合模型的统计数据聚类方法，假设N个数据样本表示为：

基于高斯混合模型，数据样本z_j的概率密度可以表示成：

对于Φ＝(α,μ,∑)其中标量参数α:＝(α₁,α₂,…,α_s)满足

(n+p)维向量和(n+p)×(n+p)维协方差矩阵Σ:＝(Σ₁,Σ₂,…,Σ_s)，函数p_i(z；μ_i,∑_i)是用来定义表达多元高斯密度，具体如下：

当获得了最佳参数Ф后，数据样本j被划分为聚类Γ_i的概率可以表示为：

上述概率作为数据聚类的标准，剩余部分给出在最大似然估计方法的基础上找到最佳参数Ф，根据N个数据样本，找到能使对数似然函数达到最大值的最佳参数Ф：

使用期望最大化(EM)算法，通过迭代更新参数Ф来获得最大值，EM算法由两个步骤组成，即期望步骤(E步骤)和最大化步骤(M步骤)，在M步骤，涉及到对数似然函数的最大化，该函数在每次迭代的E步骤重新定义；

EM算法的执行过程如下所示：从Ф⁽⁰⁾的几个初始参数开始，EM算法可以提高最大值，

EM算法：

1)初始化Φ⁽⁰⁾＝(α⁽⁰⁾,μ⁽⁰⁾,Σ⁽⁰⁾)同时设置迭代计数器l＝0同时设置ε>0；

2)Φ^(l)＝(α^(l),μ^(l),Σ^(l))执行以下步骤

E步骤:：计算

j＝1,2,…,N,i＝1,2,…,s

M步骤：更新Φ^(l)＝(α^(l),μ^(l),Σ^(l))计算

3)若满足规定的收敛条件

则设l^*＝l+1，对Ф的最优估计得到为

否则输入l＝l+1返回步骤2)；

数据聚类过程是基于已知的仿射子模型数量，由于实际情况无法预先知道子模型的数量，进一步引入了基于极大似然估计相关信息准则的子模型数量估计：

首先，给出两个正整数s_min和s_max，使子模型的个数在区间[s_min,s_max]内，其次，对所有s＝s_min,…,s_max，计算参数估计Ф_s，Ф_s表示固定s下Ф的估计，s的估计由下式获得：

其中J(Ф_s,s)表示如下所示的准则，在现有模型选择信息准则的基础上，采用一致的Akaike信息准则(CAIC)和MDL准则，上述标准有以下形式：

J(Φ_s,s)＝-2L(Φ_s)+A(N)D(s)

式中L(Ф_s)为上式定义的Ф_s的对数似然函数，准则的第二项表示对数据和簇数的惩罚，其中D(s)表示Ф_s中独立参数的个数，其表达式为：

而A(N)为数据样本个数N的函数，分别为

(2)子模型参数估计

完成数据聚类任务后，根据集合Г_i中收集的数据点估计仿射子模型的参数，该任务通过最小二乘算法来完成，N个数据样本被分为s个不相交的簇，假设第i个簇中有N_i个样本，分别表示为j_i1,j_i2，…，j_iNi；第一个下标表示簇的个数，第二个下标表示第i个簇中的样本个数，根据上述描述，可以得到以下方程和变量：

利用最小二乘算法，可按下式估计各仿射子模型的参数：

(3)超平面系数矩阵的计算

实现了各仿射子模型的数据聚类和参数估计，最后一步是计算用于分类两个相邻簇Г_i和Г_j的超平面系数矩阵；数据样本被划分为s个不相交的簇，通过计算将Г_i中的数据点与Г_j中的数据点分离的超平面系数矩阵，对于任意一对i,j且i≠j，重建整个集合，实现s(s-1)/2模式的识别；

根据统计学习方法的原理，选择改进的近端支持向量机方法计算超平面系数矩阵：

首先，找到两个相邻簇Г_i和Г_j，定义计算的基本方程如下:

其次，结合改进的近似支持向量机(PSVM)算法，通过求解以下优化问题来获取分界面系数矩阵：

s.t.W_i(F_ix_i-eg_i)＝λ_i-ξ_i

其中V_i和W_i为对角矩阵，ξ_i为误差向量，e为单位向量，当W_i＝1时，V_i＝v(v为惩罚因子)，λ_i＝1，而W_i＝-1时，V_i＝v(n⁺/n^-)，λ_i＝a_i(a_i为正数)，n⁺为正样本个数，n^-为负样本个数，当0<a_i<1时，分类超平面向负样本方向移动，当a_i>1时，分类超平面向正样本方向移动，通过调整a_i的值来调整分类超平面的偏差；根据KKT(Karush-Kuhn-Tucher)条件可以构造如下拉格朗日方程：

其中η_i是拉格朗日系数，利用拉格朗日条件极值，进一步得到下列方程：

根据上述方程，可进一步得到：

在此基础上进一步得到：

将上述两个公式相减，可以得到:

将上述公式的两边同时乘以W_i，可以得到：

结合上式可以得到:

所以

计算出超平面系数矩阵F_i和g_j。

优选项，所述步骤3中构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型的方法如下：

描述车辆横向运动和横摆运动的车辆二自由度模型的方程如下：

其中，F_xij和F_yij分别表示轮胎的纵向力和侧向力，第一个下表i＝f或者r代表前轴或者后轴，第二个下标j＝l或者r代表左右轮；其中，m和v_x分别代表车辆质量，纵向速度，l_f和l_r分别代表车辆前后轴长度，B代表轮距，r为车辆横摆角速度，I_z为车辆Z轴的惯性矩；ΔM为附加横摆力矩，

为车辆横摆角速度对时间求导，

为质心侧偏角对时间求导；

由分段仿射轮胎模型，在特定垂直载荷下的4个轮胎纵向力和侧向力可描述为：

其中上式M_i，N_i和b_i为车辆纵向力在不同仿射子模型上的参数，M_j，N_j和b_j为车辆横向力在不同仿射子模型上的参数，α₁和α₃分别为前后轮的侧偏角，λ₁，λ₂，λ₃，λ₄分别为各个车辆的滑移率；

轮胎的侧偏角可表示为：

其中，β为质心侧偏角，r为横摆角速度，l_f为前轴长度，v_x为纵向速度，δ为前轮转角；

根据上述公式，车辆横动力学模型可改写为关于质心侧偏角β和横摆角速度r的方程：

L₁～L₁₆为横向动力学数学模型相关系数，具体如下：

结合轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据，在车辆横向动力学系统分段仿射数学模型构建过程中，依据为轮胎侧偏角及滑移率的不同，将纵向力的数学模型的工作区域和横向力的数学模型的工作区域分别划分为纵向仿射子模型和横向仿射子模型。

优选项，所述步骤4中获取最终附加横摆力矩的方法如下：

描述车辆侧向运动和横摆运动的横向二自由度模型的方程如下：

其中，m为车辆的质量，l_f、l_r分别为质心到前轴、后轴的距离，δ前轮侧偏角，β为质心侧偏角，k_f和k_r为前后轮的侧偏刚度，I_z为转动惯量，v_x为车辆坐标系中汽车的纵向速度，r是车辆的横摆角速度，ΔM为附加横摆力矩；

通过对上述公式的求解得到横摆角速度和质心侧偏角的参考值如下：

其中L为轴距，μ为路面附着系数，K为稳定性因数表达式为：

(1)首先定义实际横摆角速度和参考横摆角速度之差和全局快速终端滑模面为：

其中ρ_r，γ_r>0，p_r和q_r(p_r>q_r)都为正奇数；

车辆的横摆力矩可以表示为：

其中，F表示轮胎力的影响，ΔM为附加横摆力矩，两者可以被表示为：

通过上式，得到了滑模面s_r对时间的导数：

选择指数趋近律，将指数趋近律中的符号函数换为饱和函数来减小系统的抖振：

基于横摆角速度跟踪误差得到的最优附加横摆力矩表达式为：

(2)其次定义实际质心侧偏角和参考质心侧偏角之差，全局快速终端滑模面以及滑模面对时间的导数为：

其中ρ_β，γ_β>0，p_β和q_β(p_β>q_β)都为正奇数；

选择带有饱和函数的指数趋近律来减小系统的抖振：

其中，K_β和k_β为滑模面趋近律的系数，K_β>0，k_β>0；

基于质心侧偏角跟踪误差得到的最优附加横摆力矩表达式为：

(3)质心侧偏角阈值的取值范围用两条平行线表示的稳定性区域，其表达式如下：

其中，B₁和B₂为稳定性系数；当满足

时，车辆可以被认为处于稳定状态，当

时，车辆被认为处于不稳定状态；

当车辆的质心侧偏角相轨迹处于稳定区域内选择横摆角速度和质心侧偏角联合控制，当车辆的质心侧偏角相轨迹超出稳定区域选择控制质心侧偏角；

将ΔM_r和ΔM_β两者的权重分别设为1-P和P，P由相平面中的稳定区域表达式计算得到，最终得到的附加横摆力矩为ΔM为：

ΔM＝(1-P)ΔM_r+PΔM_β

其中P为

其中，B₁和B₂为稳定区域的相关系数。

优选项，所述步骤5中设计最优四轮转矩分配算法，以四个车轮的负荷率之和最低为目标函数，结合前后车轮分配权重系数，得到四个车轮实时最优转矩；具体分配算法如下：

(1)根据实际速度和目标速度之间的差异，使用比例积分(PI)控制器计算总扭矩，控制过程可以表示如下：

其中，v_xd和v_x为目标速度和实际速度,k_pu和k_iu为PI控制器的参数，T_o为四轮总驱动力矩；

(2)在车轮转矩控制中，以各个轮胎负荷率之和为目标函数，轮胎负荷率表征车辆的稳定裕度；当J越大，稳定裕度越小，车辆发生失稳的可能性越大；相反，车辆则有更多的稳定裕度，以克服可能出现的失稳状况；定义各个轮胎的负荷率表示为：

电机只能控制纵向力，同时将F_xij＝T_ij/R带入其中，其中R为轮胎半径，则轮胎负荷率变成了：

以各个轮胎的负荷率并赋于不同权重之和为目标函数：

minJ＝minξ_flJ_fl+ξ_frJ_fr+ξ_rlJ_rl+ξ_rrJ_rr

其中，minJ为各个车轮的轮胎利用率权重总和，minξ_flJ_fl为左前轮的轮胎权重利用率，minξ_frJ_fr为右前轮的轮胎权重利用率，minξ_rlJ_rl为左后轮的轮胎权重利用率，minξ_rrJ_rr为右后轮的轮胎权重利用率；

定义各个车轮的权重系数分别为：

其中，B₁和B₂为质心侧偏角相平面稳定区域相关系数，Δr为横摆角速度实际值与参考值的差异；

总的驱动力矩与横摆力矩和各个车轮力矩的关系如下：

两个前轮转矩可以被求解为：

把上述公式带入目标函数得到：

把目标函数J对T_rl和T_rr求偏导得到：

令

得到四轮最优转矩为：

有益效果：本发明技术方案通过完成轮胎纵滑侧偏力学特性的分段仿射辨识，进而在此基础上完成整车横向动力学系统分段仿射数学模型的构建，通过全局快速终端滑模求解横摆角速度和质心侧偏角实际值与参考值的误差得到了两个横摆力矩，再通过对质心侧偏角相图对车辆横向稳定性进行分析给两者不同权重得到最终的横摆力矩，下层转矩控制器中利用等式约束带入目标函数的方式获得实时的四轮转矩，提高特殊行驶工况下智能汽车的横向稳定性控制性能。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据提供的附图获得其他的附图；

图1为本发明轮胎纵滑侧偏力学特性分段仿射辨识流程图；

图2为本基于分段仿射系统横向动力学控制流程图；

图3为本发明整车动力学控制流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，第一特征在第二特征之“上”或之“下”可以包括第一和第二特征直接接触，也可以包括第一和第二特征不是直接接触而是通过它们之间的另外的特征接触。而且，第一特征在第二特征“之上”、“上方”和“上面”包括第一特征在第二特征正上方和斜上方，或仅仅表示第一特征水平高度高于第二特征。第一特征在第二特征“之下”、“下方”和“下面”包括第一特征在第二特征正下方和斜下方，或仅仅表示第一特征水平高度小于第二特征。

如图所示，一种基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，包括以下步骤：

步骤1、在高性能平板试验台进行轮胎复合工况下的力学特性以获得能够反映轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据。分析得到在特定垂直载荷下轮胎纵向力侧向力主要受轮胎滑移率，侧偏角和路面附着系数三个因素的影响，此外由实验结果还得到轮胎纵向力侧向力之比近似等于路面附着系数之比，因此将轮胎纵滑侧偏特性的建模确认为一个三维分段仿射辨识问题。

步骤2、构建轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型，基于试验数据对轮胎的非线性力学特性进行分段仿射辨识，其步骤主要包括：数据聚类、仿射子模型参数估计和超平面系数矩阵的计算。

完成轮胎纵滑侧偏力学特性试验数据聚类、仿射子模型参数估计以及分界面系数矩阵求解的具体实现方法如下：

(1)定义轮胎纵滑侧偏力学特性的分段仿射模型形式

模型数学表达式如下：

其中y_j∈R^p为系统的输出，θ_i(i＝1,...,s)为每个子模型的参数，x_j∈Rⁿ为系统的回归向量，总是包含系统过去的输入输出，x_j可以表示成：

其中n_y和n_u表示分段仿射模型的阶数，u_j为系统输入，n＝p n_y+m n_u.χ_i(i＝1,…,s)为回归集合χ的完全分区，每一个区域是一个凸多面体子集，可以写作：

χi＝{F_ix_j+g_i≤0}

其中F_i和g_i为超平面系数矩阵。令H_i＝[F_i g_i],(i＝1,...,s)则凸多面体区域可以重写成：

χ_i＝{H_i[x_j 1]^T≤0}

1)数据聚类

本实施例中，数据聚类工作的目标是将原始数据集划分为s个不相关联的聚类。为此采用基于高斯混合模型的统计数据聚类方法。假设N个数据样本表示为：

基于高斯混合模型，数据样本z_j的概率密度可以表示成：

对于Φ＝(α,μ,∑)其中标量参数α:＝(α₁,α₂,…,α_s)满足

(n+p)维向量和(n+p)×(n+p)维协方差矩阵Σ:＝(Σ₁,Σ₂,…,Σ_s)，函数p_i(z；μ_i,∑_i)是用来定义表达多元高斯密度，具体如下：

当获得了最佳参数Ф后，数据样本j被划分为聚类Γ_i的概率可以表示为：

这个概率可以作为数据聚类的标准。因此，剩余部分，给出了如何在最大似然估计方法的基础上找到最佳参数Ф。根据N个数据样本，找到能使对数似然函数达到最大值的最佳参数Ф：

对于单高斯模型，可以通过推导得到使上述函数值最大化的最佳参数Ф。但是，对于采用的高斯混合模型，这种方法是不可行的。因此，使用著名的期望最大化(EM)算法，通过迭代更新参数Ф来获得(可能是局部的)最大值。EM算法由两个步骤组成，即期望步骤(E步骤)和最大化步骤(M步骤)。在M步骤，涉及到对数似然函数的最大化，该函数在每次迭代的E步骤重新定义。EM算法的执行过程如下所示。从Ф⁽⁰⁾的几个初始参数开始，EM算法可以提高最大值。

EM算法：

4)初始化Φ⁽⁰⁾＝(α⁽⁰⁾,μ⁽⁰⁾,Σ⁽⁰⁾)同时设置迭代计数器l＝0同时设置ε>0.

5)Φ^(l)＝(α^(l),μ^(l),Σ^(l))执行以下步骤

E步骤:：计算

j＝1,2,…,N,i＝1,2,…,s

M步骤：更新Φ^(l)＝(α^(l),μ^(l),Σ^(l))计算

6)如果满足规定的收敛条件

则设l^*＝l+1，对Ф的最优估计得到为

否则输入l＝l+1返回步骤2)。

根据以上描述，可以看出数据聚类过程是基于已知的仿射子模型数量的。然而，由于实际情况无法预先知道子模型的数量，因此进一步引入了基于极大似然估计相关信息准则的子模型数量估计。

首先，给出两个正整数s_min和s_max，使子模型的个数在区间[s_min,s_max]内。其次，对所有s＝s_min,…,s_max，计算参数估计Ф_s，Ф_s表示固定s下Ф的估计。s的估计由下式获得：

其中J(Ф_s,s)表示如下所示的准则。在现有模型选择信息准则的基础上，采用一致的Akaike信息准则(CAIC)和MDL准则。上述标准有以下形式：

J(Φ_s,s)＝-2L(Φ_s)+A(N)D(s)

式中L(Ф_s)为上式定义的Ф_s的对数似然函数，准则的第二项表示对数据和簇数的惩罚，其中D(s)表示Ф_s中独立参数的个数，其表达式为：

而A(N)为数据样本个数N的函数，分别为

(2)子模型参数估计

完成数据聚类任务后，可以根据集合Г_i中收集的数据点估计仿射子模型的参数。很明显，这个任务可以通过最小二乘算法来完成。由于N个数据样本被分为s个不相交的簇，因此假设第i个簇中有N_i个样本，分别表示为j_i1,j_i2，…，j_iNi。第一个下标表示簇的个数，第二个下标表示第i个簇中的样本个数。根据上述描述，可以得到以下方程和变量:

在此基础上，利用最小二乘算法，可按下式估计各仿射子模型的参数：

(3)超平面系数矩阵的计算

到目前为止，已经实现了各仿射子模型的数据聚类和参数估计。最后一步是计算用于分类两个相邻簇Г_i和Г_j的超平面系数矩阵。值得注意的是，一旦数据样本被划分为s个不相交的簇，通过计算将Г_i中的数据点与Г_j中的数据点分离的超平面系数矩阵，对于任意一对i,j且i≠j，就可以重建整个集合。这项工作实际上是解决s(s-1)/2模式识别问题。根据统计学习方法的原理，选择改进的近端支持向量机方法来解决这一问题。然后详细介绍了用该方法计算超平面系数矩阵的过程。首先，找到两个相邻簇Г_i和Г_j，定义计算的基本方程如下:

其次，切换超平面的参数计算了表面最小化以下成本函数建立了通过改进PSVM:

s.t.W_i(F_ix_i-eg_i)＝λ_i-ξ_i

其中V_i和W_i为对角矩阵，ξ_i为误差向量，e为单位向量，当W_i＝1时，V_i＝v(v为惩罚因子)，λ_i＝1，而W_i＝-1时，V_i＝v(n⁺/n^-)，λ_i＝a_i(a_i为正数)。n⁺为正样本个数，n^-为负样本个数。当0<a_i<1时，分类超平面向负样本方向移动，当a_i>1时，分类超平面向正样本方向移动。因此，可以通过调整a_i的值来调整分类超平面的偏差。对于上述，根据KKT条件可以构造如下拉格朗日方程：

其中η_i是拉格朗日系数。利用拉格朗日条件极值，可以进一步得到下列方程：

根据上述方程，可进一步得到:

在此基础上进一步得到：

将上述两个公式相减，可以得到：

将上述公式的两边同时乘以W_i，可以得到：

结合上式可以得到:

所以

于是可以计算出超平面系数矩阵F_i和g_j。

步骤3、构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型，基于轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型结合车身横摆角速度和质心侧偏角构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型；

基于所述轮胎纵滑侧偏分段仿射辨识模型，进一步构建智能汽车横向动力学系统分段仿射数学模型，所述横向动力学系统模型主要用于反映车身横摆角速度和质心侧偏角的变化。

描述车辆横向运动和横摆运动的车辆二自由度模型的方程如下：

其中，F_xij和F_yij分别表示轮胎的纵向力和侧向力，第一个下表i＝f或者r代表前轴或者后轴，第二个下标j＝l或者r代表左右轮；其中，m和v_x分别代表车辆质量，纵向速度，l_f和l_r分别代表车辆前后轴长度，B代表轮距，r为车辆横摆角速度，I_z为车辆Z轴的惯性矩；ΔM为附加横摆力矩，

为车辆横摆角速度对时间求导，

为质心侧偏角对时间求导；

由分段仿射轮胎模型，在特定垂直载荷下的4个轮胎纵向力和侧向力可描述为：

其中上式M_i，N_i和b_i为车辆纵向力在不同仿射子模型上的参数，M_j，N_j和b_j为车辆横向力在不同仿射子模型上的参数，α₁和α₃分别为前后轮的侧偏角，λ₁，λ₂，λ₃，λ₄分别为各个车辆的滑移率；

轮胎的侧偏角可表示为：

其中，β为质心侧偏角，r为横摆角速度，l_f为前轴距离，v_x为纵向速度，δ为前轮转角。

根据上述公式，车辆横动力学模型可进一步改写为关于质心侧偏角β和横摆角速度r的方程：

L₁～L₁₆为横向动力学数学模型相关系数，具体如下：

结合轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据，在车辆横向动力学系统分段仿射数学模型构建过程中，依据为轮胎侧偏角及滑移率的不同，将纵向力的数学模型的工作区域划分为14个部分，将横向力的数学模型的工作区域划分为10个部分。

步骤4、获取最终附加横摆力矩，根据横摆角速度和质心侧偏角实际值和参考值的误差利用全局快速终端滑模控制律求解出两个最优附加横摆力矩，基于质心侧偏角与质心侧偏角速度相图失稳判定结果给两者赋予不同权重得到最终附加横摆力矩；

横摆角速度和质心侧偏角都对车辆在转向过程中的横向稳定性有着很大影响，基于质心侧偏角与质心侧偏角速度相平面的策略来分析车辆的稳定性状态。

能准确反映车辆侧向运动和横摆运动的横向二自由度状态方程如下：

其中，m为车辆的质量，l_f、l_r分别为质心到前轴、后轴的距离，δ前轮侧偏角，β为质心侧偏角，k_f和k_r为前后轮的侧偏刚度，I_z为转动惯量，v_x为车辆坐标系中汽车的纵向速度，r是车辆的横摆角速度，ΔM为附加横摆力矩。

通过对上述公式的求解由此得到横摆角速度和质心侧偏角的参考值如下：

其中L为轴距，μ为路面附着系数，K为稳定性因数表达式为：

(1)首先定义实际横摆角速度和参考横摆角速度之差和全局快速终端滑模面为：

其中ρ_r，γ_r>0，p_r和q_r(p_r>q_r)都为正奇数；

车辆的横摆力矩可以表示为：

其中，F表示轮胎力的影响，ΔM为附加横摆力矩，两者可以被表示为：

通过上式，进一步得到了滑模面s_r对时间的导数

针对特殊行驶工况下常见的大阶跃响应控制问题，选择了指数趋近律，这能让系统以更快的速度接近滑模面，在此基础上进一步把指数趋近律中的符号函数换为饱和函数来减小系统的抖振：

由此，基于横摆角速度跟踪误差得到的最优附加横摆力矩表达式为：

(2)其次定义实际质心侧偏角和参考质心侧偏角之差，全局快速终端滑模面以及滑模面对时间的导数为：

其中ρ_β，γ_β>0，p_β和q_β(p_β>q_β)都为正奇数；

同样的选择带有饱和函数的指数趋近律来减小系统的抖振。

其中，K_β和k_β为滑模面趋近律的系数，K_β>0，k_β>0。

由此，基于质心侧偏角跟踪误差得到的最优附加横摆力矩表达式为：

(3)横向稳定性控制系统的主要功能是确保车辆横向运动的相位轨迹处于稳定区域。在湿滑路面的稳定性分析中质心侧偏角与质心侧偏角速度相平面对稳定性分析的精度较好。以给定的道路附着系数为例，通过给出不同的初始值(β(0)，r(0))得到了质心侧偏角的相轨迹。在相图中，存在一个可以用两条平行线表示的稳定性区域，其表达式如下：

其中，B₁和B₂为稳定性系数；当满足

时，车辆可以被认为处于稳定状态，当

时，车辆被认为处于不稳定状态。结合具体研究的车辆参数，得到了不同路面附着系数下的稳定性区域。

此处指定的联合控制策略为当车辆的质心侧偏角相轨迹处于稳定区域内选择横摆角速度和质心侧偏角联合控制，当车辆的质心侧偏角相轨迹超出稳定区域选择控制质心侧偏角。

由此将ΔM_r和ΔM_β两者的权重分别设为1-P和P,P由相平面中的稳定区域表达式计算得到，最终得到的附加横摆力矩为ΔM为：

ΔM＝(1-P)ΔM_r+PΔM_β

其中P为

其中，B₁和B₂为稳定区域的相关系数。

步骤5、设计最优四轮转矩分配算法，以四个车轮的负荷率之和最低为目标函数，结合前后车轮分配权重系数，得到四个车轮实时最优转矩；

以四轮的负荷率之和最低为目标函数，考虑实际情况给各个车轮分配不同权重系数，权重系数与质心侧偏角速度与质心侧偏角相平面失稳判定表达式相关，得到各个车轮实时转矩。

(1)车辆的纵向速度应实时跟踪该路径下速度的目标值，因此设计了速度跟踪控制器以确定作用在四个车轮上的总扭矩。根据实际速度和目标速度之间的差异，使用比例积分(PI)控制器计算总扭矩。控制过程可以表示如下：

其中，v_xd和v_x为目标速度和实际速度，k_pu和k_iu为PI控制器的参数。T_o为四轮总驱动力矩。

(2)在车轮转矩控制模块中，以各个轮胎负荷率之和为目标函数，轮胎负荷率可以用来表征车辆的稳定裕度。当J越大，稳定裕度越小，车辆发生失稳的可能性越大。相反，车辆则有更多的稳定裕度，以克服可能出现的失稳状况。可以定义各个轮胎的负荷率表示为：

因为电机只能控制纵向力，同时将F_xij＝T_ij/R带入其中，其中R为轮胎半径，则轮胎负荷率变成了：

以各个轮胎的负荷率并赋于不同权重之和为目标函数：

min J＝minξ_flJ_fl+ξ_frJ_fr+ξ_rlJ_rl+ξ_rrJ_rr

其中，min J为各个车轮的轮胎利用率权重总和，minξ_flJ_fl为左前轮的轮胎权重利用率，minξ_frJ_fr为右前轮的轮胎权重利用率，minξ_rlJ_rl为左后轮的轮胎权重利用率，minξ_rrJ_rr为右后轮的轮胎权重利用率；

为了提高车辆的稳定性，车辆应具有一定程度的转向不足。因此，后轴的权重值应大于前轴的权重，同时前轴与后轴的重量系数差距不应该太大。

因此定义各个车轮的权重系数分别为：

其中，B₁和B₂为质心侧偏角相平面稳定区域相关系数，Δr为横摆角速度实际值与参考值的差异。

由上可知我们得到总的驱动力矩与横摆力矩和各个车轮力矩的关系如下：

两个前轮转矩可以被求解为：

把上述公式带入目标函数得到：

把目标函数J对T_rl和T_rr求偏导得到：

令

得到四轮最优转矩为：

步骤6、装车应用，将设计好的系统控制律刷写至分布式驱动电动汽车车载控制单元上，通过量产车上现有的传感器得到控制器所需要的参数，通过速度传感器可得到纵向速度，轮速传感器得到各个车轮轮速，车辆的ESP可输出横摆角速度，车身质心侧偏角传感器可以输出质心侧偏角，侧偏角传感器可以输出轮胎的侧偏角。通过这些信号参数来判定车辆的稳定性状态，并依据上层横摆力矩决策模块计算出实时所需横摆力矩传递至下层转矩分配模块，计算出的转矩分配给各车轮。

本说明书中各个实施例采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似部分互相参见即可。对于实施例公开的装置而言，由于其与实施例公开的方法相对应，所以描述的比较简单，相关之处参见方法部分说明即可。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (5)

1.一种基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、轮胎纵滑侧偏特性实验，进行轮胎纵滑侧偏特性实验，获得轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据；

步骤2、构建轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型，根据轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系通过分段仿射辨识建立的轮胎纵滑侧偏特性模型；

步骤3、构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型，基于轮胎的纵滑侧偏分段仿射辨识模型结合车身横摆角速度和质心侧偏角构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型；

步骤4、获取最终附加横摆力矩，根据横摆角速度和质心侧偏角实际值和参考值的误差利用全局快速终端滑模控制律求解出两个最优附加横摆力矩，基于质心侧偏角与质心侧偏角速度相图失稳判定结果给两者赋予不同权重得到最终附加横摆力矩；

步骤5、设计最优四轮转矩分配算法，以四个车轮的负荷率之和最低为目标函数，结合前后车轮分配权重系数，得到四个车轮实时最优转矩；

步骤6、装车应用，根据步骤1-5中的方法设计控制系统刷写至分布式驱动电动汽车车载控制单元上，通过车上现有的传感器得到控制器所需要的参数判定车辆的稳定性状态，控制系统计算出实时所需横摆力矩，再计算出四个车轮转矩分配给各车轮。

2.根据权利要求1所述的基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，其特征在于：所述步骤2中轮胎纵滑侧偏特性模型的构建步骤包括数据聚类、仿射子模型参数估算和超平面系数矩阵的计算，具体实现方法如下：

(1)定义轮胎纵滑侧偏力学特性的分段仿射模型形式

模型数学表达式如下：

其中y_j∈R^p为系统的输出，θ_i(i＝1,...,s)为每个子模型的参数，x_j∈Rⁿ为系统的回归向量，总是包含系统过去的输入输出，x_j可以表示成：

其中n_y和n_u表示分段仿射模型的阶数，u_j为系统输入，n＝pn_y+mn_u.χ_i(i＝1,…,s)为回归集合χ的完全分区，每一个区域是一个凸多面体子集，可以写作：

χ_i＝{F_ix_j+g_i≤0}

其中F_i和g_i为超平面系数矩阵，令H_i＝[F_i g_i],(i＝1,...,s)，则凸多面体区域可以重写成：

χ_i＝{H_i[x_j 1]^T≤0}

1)数据聚类

将原始数据集划分为s个不相关联的聚类，采用基于高斯混合模型的统计数据聚类方法，假设N个数据样本表示为：

基于高斯混合模型，数据样本z_j的概率密度可以表示成：

对于Φ＝(α,μ,∑)其中标量参数α:＝(α₁,α₂,…,α_s)满足

(n+p)维向量和(n+p)×(n+p)维协方差矩阵Σ:＝(Σ₁,Σ₂,…,Σ_s)，函数p_i(z；μ_i,∑_i)是用来定义表达多元高斯密度，具体如下：

当获得了最佳参数Ф后，数据样本j被划分为聚类Γ_i的概率可以表示为：

上述概率作为数据聚类的标准，剩余部分给出在最大似然估计方法的基础上找到最佳参数Ф，根据N个数据样本，找到能使对数似然函数达到最大值的最佳参数Ф：

使用期望最大化(EM)算法，通过迭代更新参数Ф来获得最大值，EM算法由两个步骤组成，即期望步骤(E步骤)和最大化步骤(M步骤)，在M步骤，涉及到对数似然函数的最大化，该函数在每次迭代的E步骤重新定义；

EM算法的执行过程如下所示：从Ф⁽⁰⁾的几个初始参数开始，EM算法可以提高最大值，EM算法：

1)初始化Φ⁽⁰⁾＝(α⁽⁰⁾,μ⁽⁰⁾,Σ⁽⁰⁾)同时设置迭代计数器l＝0同时设置ε>0；

2)Φ^(l)＝(α^(l),μ^(l),Σ^(l))执行以下步骤

E步骤:：计算

M步骤：更新Φ^(l)＝(α^(l),μ^(l),Σ^(l))计算

3)若满足规定的收敛条件

则设l^*＝l+1，对Ф的最优估计得到为

否则输入l＝l+1返回步骤2)；

数据聚类过程是基于已知的仿射子模型数量，由于实际情况无法预先知道子模型的数量，进一步引入了基于极大似然估计相关信息准则的子模型数量估计：

首先，给出两个正整数s_min和s_max，使子模型的个数在区间[s_min,s_max]内，其次，对所有s＝s_min,…,s_max，计算参数估计Ф_s，Ф_s表示固定s下Ф的估计，s的估计由下式获得：

其中J(Ф_s,s)表示如下所示的准则，在现有模型选择信息准则的基础上，采用一致的Akaike信息准则(CAIC)和MDL准则，上述标准有以下形式：

J(Φ_s,s)＝-2L(Φ_s)+A(N)D(s)

式中L(Ф_s)为上式定义的Ф_s的对数似然函数，准则的第二项表示对数据和簇数的惩罚，其中D(s)表示Ф_s中独立参数的个数，其表达式为：

而A(N)为数据样本个数N的函数，分别为

(2)子模型参数估计

完成数据聚类任务后，根据集合Г_i中收集的数据点估计仿射子模型的参数，该任务通过最小二乘算法来完成，N个数据样本被分为s个不相交的簇，假设第i个簇中有N_i个样本，分别表示为j_i1,j_i2，…，j_iNi；第一个下标表示簇的个数，第二个下标表示第i个簇中的样本个数，根据上述描述，可以得到以下方程和变量：

利用最小二乘算法，可按下式估计各仿射子模型的参数：

(3)超平面系数矩阵的计算

实现了各仿射子模型的数据聚类和参数估计，最后一步是计算用于分类两个相邻簇Г_i和Г_j的超平面系数矩阵；数据样本被划分为s个不相交的簇，通过计算将Г_i中的数据点与Г_j中的数据点分离的超平面系数矩阵，对于任意一对i,j且i≠j，重建整个集合，实现s(s-1)/2模式的识别；

根据统计学习方法的原理，选择改进的近端支持向量机方法计算超平面系数矩阵：

首先，找到两个相邻簇Г_i和Г_j，定义计算的基本方程如下:

其次，结合改进的近似支持向量机(PSVM)算法，通过求解以下优化问题来获取分界面系数矩阵：

s.t.W_i(F_ix_i-eg_i)＝λ_i-ξ_i

其中V_i和W_i为对角矩阵，ξ_i为误差向量，e为单位向量，当W_i＝1时，V_i＝v(v为惩罚因子)，λ_i＝1，而W_i＝-1时，V_i＝v(n⁺/n^-)，λ_i＝a_i(a_i为正数)，n⁺为正样本个数，n^-为负样本个数，当0<a_i<1时，分类超平面向负样本方向移动，当a_i>1时，分类超平面向正样本方向移动，通过调整a_i的值来调整分类超平面的偏差；根据KKT(Karush-Kuhn-Tucher)条件可以构造如下拉格朗日方程：

其中η_i是拉格朗日系数，利用拉格朗日条件极值，进一步得到下列方程：

根据上述方程，可进一步得到：

在此基础上进一步得到：

将上述两个公式相减，可以得到:

将上述公式的两边同时乘以W_i，可以得到：

结合上式可以得到:

所以

计算出超平面系数矩阵F_i和g_j。

3.根据权利要求2所述的基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，其特征在于，所述步骤3中构建车辆横向动力学系统分段仿射数学模型的方法如下：

描述车辆横向运动和横摆运动的车辆二自由度模型的方程如下：

其中，F_xij和F_yij分别表示轮胎的纵向力和侧向力，第一个下表i＝f或者r代表前轴或者后轴，第二个下标j＝l或者r代表左右轮；其中，m和v_x分别代表车辆质量，纵向速度，l_f和l_r分别代表车辆前后轴长度，B代表轮距，r为车辆横摆角速度，I_z为车辆Z轴的惯性矩；ΔM为附加横摆力矩，

为车辆横摆角速度对时间求导，

为质心侧偏角对时间求导；

由分段仿射轮胎模型，在特定垂直载荷下的4个轮胎纵向力和侧向力可描述为：

其中上式M_i，N_i和b_i为车辆纵向力在不同仿射子模型上的参数，M_j，N_j和b_j为车辆横向力在不同仿射子模型上的参数，α₁和α₃分别为前后轮的侧偏角，λ₁，λ₂，λ₃，λ₄分别为各个车辆的滑移率；

轮胎的侧偏角可表示为：

其中，β为质心侧偏角，r为横摆角速度，l_f为前轴长度，v_x为纵向速度，δ为前轮转角；根据上述公式，车辆横动力学模型可改写为关于质心侧偏角β和横摆角速度r的方程：

L₁～L₁₆为横向动力学数学模型相关系数，具体如下：

结合轮胎纵向力和侧向力与轮胎运行参数之间非线性关系的实验数据，在车辆横向动力学系统分段仿射数学模型构建过程中，依据为轮胎侧偏角及滑移率的不同，将纵向力的数学模型的工作区域和横向力的数学模型的工作区域分别划分为纵向仿射子模型和横向仿射子模型。

4.根据权利要求3所述的基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，其特征在于，所述步骤4中获取最终附加横摆力矩的方法如下：

描述车辆侧向运动和横摆运动的横向二自由度模型的方程如下：

其中，m为车辆的质量，l_f、l_r分别为质心到前轴、后轴的距离，δ前轮侧偏角，β为质心侧偏角，k_f和k_r为前后轮的侧偏刚度，I_z为转动惯量，v_x为车辆坐标系中汽车的纵向速度，r是车辆的横摆角速度，ΔM为附加横摆力矩；

通过对上述公式的求解得到横摆角速度和质心侧偏角的参考值如下：

其中L为轴距，μ为路面附着系数，K为稳定性因数表达式为：

(1)首先定义实际横摆角速度和参考横摆角速度之差和全局快速终端滑模面为：

其中ρ_r，γ_r>0，p_r和q_r(p_r>q_r)都为正奇数；

车辆的横摆力矩可以表示为：

其中，F表示轮胎力的影响，ΔM为附加横摆力矩，两者可以被表示为：

通过上式，得到了滑模面s_r对时间的导数：

选择指数趋近律，将指数趋近律中的符号函数换为饱和函数来减小系统的抖振：

基于横摆角速度跟踪误差得到的最优附加横摆力矩表达式为：

(2)其次定义实际质心侧偏角和参考质心侧偏角之差，全局快速终端滑模面以及滑模面对时间的导数为：

其中ρ_β，γ_β>0，p_β和q_β(p_β>q_β)都为正奇数；

选择带有饱和函数的指数趋近律来减小系统的抖振：

其中，K_β和k_β为滑模面趋近律的系数，K_β>0，k_β>0；

基于质心侧偏角跟踪误差得到的最优附加横摆力矩表达式为：

(3)质心侧偏角阈值的取值范围用两条平行线表示的稳定性区域，其表达式如下：

其中，B₁和B₂为稳定性系数；当满足

时，车辆可以被认为处于稳定状态，当

时，车辆被认为处于不稳定状态；

当车辆的质心侧偏角相轨迹处于稳定区域内选择横摆角速度和质心侧偏角联合控制，当车辆的质心侧偏角相轨迹超出稳定区域选择控制质心侧偏角；

将ΔM_r和ΔM_β两者的权重分别设为1-P和P，P由相平面中的稳定区域表达式计算得到，最终得到的附加横摆力矩为ΔM为：

ΔM＝(1-P)ΔM_r+PΔM_β

其中P为

其中，B₁和B₂为稳定区域的相关系数。

5.根据权利要求4所述的基于分段仿射辨识轮胎滑模控制的车辆稳定性控制方法，其特征在于，所述步骤5中设计最优四轮转矩分配算法，以四个车轮的负荷率之和最低为目标函数，结合前后车轮分配权重系数，得到四个车轮实时最优转矩；具体分配算法如下：

(1)根据实际速度和目标速度之间的差异，使用比例积分(PI)控制器计算总扭矩，控制过程可以表示如下：

其中，v_xd和v_x为目标速度和实际速度,k_pu和k_iu为PI控制器的参数，T_o为四轮总驱动力矩；

(2)在车轮转矩控制中，以各个轮胎负荷率之和为目标函数，轮胎负荷率表征车辆的稳定裕度；当J越大，稳定裕度越小，车辆发生失稳的可能性越大；相反，车辆则有更多的稳定裕度，以克服可能出现的失稳状况；定义各个轮胎的负荷率表示为：

电机只能控制纵向力，同时将F_xij＝T_ij/R带入其中，其中R为轮胎半径，则轮胎负荷率变成了：

以各个轮胎的负荷率并赋于不同权重之和为目标函数：

minJ＝minξ_flJ_fl+ξ_frJ_fr+ξ_rlJ_rl+ξ_rrJ_rr

其中，minJ为各个车轮的轮胎利用率权重总和，minξ_flJ_fl为左前轮的轮胎权重利用率，minξ_frJ_fr为右前轮的轮胎权重利用率，minξ_rlJ_rl为左后轮的轮胎权重利用率，minξ_rrJ_rr为右后轮的轮胎权重利用率；

定义各个车轮的权重系数分别为：

其中，B₁和B₂为质心侧偏角相平面稳定区域相关系数，Δr为横摆角速度实际值与参考值的差异；

总的驱动力矩与横摆力矩和各个车轮力矩的关系如下：

两个前轮转矩可以被求解为：

把上述公式带入目标函数得到：

把目标函数J对T_rl和T_rr求偏导得到：

令

得到四轮最优转矩为：

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