CN114611455B - 一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法 - Google Patents

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CN114611455B CN202210265663.0A CN202210265663A CN114611455B CN 114611455 B CN114611455 B CN 114611455B CN 202210265663 A CN202210265663 A CN 202210265663A CN 114611455 B CN114611455 B CN 114611455B
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Abstract

本发明公开一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，以解决现有技术在求解精度和运行时间两个方面折中的问题，属于计算、推算或计数的技术领域。首先，输入求解区域和导体的几何信息，利用最短步长、倍增因子、导体周围均匀划分的宽度对求解区域进行非均匀网格划分；然后，将格点相对坐标哈希映射为待求电势向量，对未知电势进行基于差值法的拟合，将拉普拉斯方程转换为矩阵方程Ax=b后，求解得到每个格点处电势；最后，根据高斯定理对导体周围格点的电势进行积分获取电荷Q，输出主导体的单位长度总电容、主导体和相邻导体之间的单位长度耦和电容。通过对网格进行非均匀划分构建FDM的不对称系数矩阵，提高求解精度并减少运行时间。

Description

一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法
技术领域
本发明涉及EDA(Electronic Design Automation，电子设计自动化)技术，具体公开一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，属于计算、推算或计数的技术领域。
背景技术
目前，随着纳米技术的发展，集成电路(Integrated circuit，IC)中的互连线布线非常密集。因此，互连线间的寄生电容对于IC设计变得非常重要，需要精确地布局寄生提取(Layout Parasitic Extraction，LPE)工具和电容求解器。
区域离散化方法和边界元法(Boundary Element Method，BEM)是场解算器的两种主要方法，尤其适用于为LPE工具建立电容库。前者包括有限差分法(Finite DifferenceMethod，FDM)和有限元法(Finite Element Method，FEM)。与边界元法相比，有限差分法中的区域离散化更容易实现，因此基于有限差分法的电容解算器具有较高的精度，在工业上得到了广泛的应用。由于有限差分法需要离散整个二维区域，变量很多，导致现有的基于有限差分法的二维电容求解器计算速度受到很大限制。传统的二维电容提取方法对网格进行均匀划分，参数步长d唯一确定，即将求解空间划分为一个个边长为d的小正方形，尽管简洁直观，但是在导体附近容易失去精度。另一种倍增的划分方式，由初始步长和倍增因子两者来确定，已经有“近密远疏”的雏形，但是由于导体附近网格线依然不够密，并且根本上来讲，无法自由平衡提取精度与运行时间，因此依然有优化空间。
发明内容
本发明的发明目的是针对上述背景技术的不足，提供一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，对求解区域进行非均匀的网格划分，获得导体周围预留空间内网格密集、导体周围预留空间以外的网格逐渐稀疏的非均匀网格分布方式，通过哈希算法填写系数矩阵，通过有限差分法估计各格点电势，构建替代拉普拉斯方程的线性方程组，求解线性方程组获得各网格点处的电势，进而获得二维电容的提取结果，通过调整非均匀网格划分的参数调整网格分布的疏密程度，进而调整不对称系数矩阵的取值，提高求解精度，通过非均匀网格划分方法以及梯形横截面导体的处理，最大限度地保证导体周围网格线的密度，从而极大程度地降低误差，减少运行时间，实现更快更准地求解二维电容的发明目的，解决现有二维电容提取技术不能在提高求解精度的同时降低运行时间的技术问题。
本发明为实现上述发明目的采用如下技术方案：
一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，包括以下四大步骤。
第一步，根据输入导体数据判断是否是矩形导体，如果是矩形导体，则直接输入；如果是梯形导体，则将构成梯形导体的四个矩形导体作为一组，然后输入。
第二步，根据输入导体的几何信息，采用分段预留法对求解区域进行网格划分，具体是利用最短步长、倍增因子、导体周围均匀划分的宽度这三个参数对求解区域的二维平面结构进行非均匀网格划分，三个参数主要由导体图形尺寸的最小精度所决定，其中，导体周围均匀划分的宽度小于导体间最近距离。
第三步，根据拉普拉斯方程计算得到矩阵方程Ax＝b的系数A和常数列向量b，其中，x表示要求解得电势
Figure BDA0003551713530000021
利用第三方库SuiteSparse求解线性方程组Ax＝b，得到每个格点处电势。
第四步，根据高斯定理对导体周围格点的电势进行积分获取电荷Q，最终输出主导体的单位长度总电容、主导体和相邻导体之间的单位长度耦和电容。
本发明采用上述技术方案，具有以下有益效果：
(1)本发明所涉及的改进有限差分法，对求解区域的网格进行了非均匀划分，在非均匀网格分布的基础上通过哈希变换建立电势向量与格点坐标的映射关系，再结合网格的边界性以及电势是否已知的情形建立条件方程，对于未知电势采用基于插值法的二次函数拟合方法估计未知电势处的二阶偏导，进而将拉普拉斯方程转换为形如Ax＝b线形方程组，通过调节非均匀划分参数实现分段预留的网格划分，根据导体分布情况灵活调整网格疏密程度，在提高求解精度的同时和缩短运行时间。
(2)本发明根据网格单元的边界性建立条件方程后确定系数矩阵和常数项列，因此得到的系数矩阵为非对称的系数矩阵，系数矩阵中的非零数据可以通过修正非均匀划分参数进行调整，算法的空间复杂度与系数矩阵A中非零元的个数成正比，时间复杂度为系数矩阵阶数的1.5次方，相较于现有有限差分法具有复杂度低的优势。
附图说明
为了更清楚地说明本发明的实施方式，下面将对实施方式描述中所需要使用的附图作简单地介绍。
图1为求解区域内的电容为矩形导体的示意图。
图2为求解区域内的电容为梯形导体的示意图。
图3为本发明提取二维电容的流程图。
图4为本发明的划分非均匀网格的示意图。
图5为本发明采用插值法建立
Figure BDA0003551713530000031
及其邻居
Figure BDA0003551713530000032
五处电势的一个线性齐次关系的示意图。
图6为本发明采用的插值法在x方向上用二次函数拟合的示意图。
图7为本发明采用的插值法在y方向上用二次函数拟合的示意图。
具体实施方式
为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合说明书附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。基于本发明中的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都应当属于本发明的保护的范围。
本发明提取二维电容的方法主要包括以下六个步骤，如图3所示：
(1)读取输入导体信息。如果是矩形导体，则读入每个矩形导体的左下角、右上角的绝对坐标，如图1所示；如果是四个矩形导体堆叠而成的梯形导体，按照从上向下的顺序，为每个矩形导体安排一个指向第一个矩形导体的头指针，基于第一个矩形导体的绝对坐标获得梯形导体的绝对坐标，如图2所示。
(2)进行非均匀网格划分。根据步骤(1)所得每个导体的几何信息，需要根据每个导体的绝对坐标进行网格划分。划分策略为“分段预留”，即导体附近采用均匀网格划分的方式；“近密远疏”，即导体附近网格划分密，离导体越远网格划分越疏。其中，三个参数最短步长min_d、倍增因子delta、导体周围均匀划分的宽度gap根据导体绝对坐标表示的几何信息确定，三个参数根据导体图形尺寸的最小精度确定。
如图4所示，在导体外间距gap(小于导体间最近距离)范围内，按照最短步长min_d进行均匀网格划分，在导体外间距gap范围之外，按照倍增因子delta对最短步长min_d逐步增长间距后将网格向外扩展。沿着矩形导体四条边的四个方向进行网格划分，并将网格划分的结果存储起来。接下来进行循环判重操作，如果划分的网格线有重合的地方就删去其中之一，保留下来的就是我们最终划分完成的网格线。将划分得到的网格点坐标(横纵网格线数组)进行排序，得到表示网格线位置分布的两个非均匀的递增浮点型数组x和y，并用xi(0≤i＜xsize)和yj(0≤j＜ysize)来分别表示从左至右第i条纵网格线和从下至上第j条横网格线，xsize为递增浮点型数组x的有效长度，xsize即为纵向网格线的总数，ysize为递增浮点型数组y的有效长度，ysize即为横向网格线的总数。
至此，求解域中的每个格点不仅有绝对坐标(xi,yj)，还有相对(也称离散化)坐标(i,j)。同理，在无歧义的情况下，用
Figure BDA0003551713530000041
来表示绝对坐标为(x,y)处的电势，用
Figure BDA0003551713530000042
来表示相对坐标为(i,j)处的电势，非格点处无相对坐标。
(3)获取方程系数矩阵。根据步骤(2)所得到的网格线分布，将求解空间近似为离散化空间。在已知相邻网格线间距的前提下，对每个未知电势点用差分法估计微分值，并以此替代拉普拉斯方程。
替代拉普拉斯方程时，用哈希函数hash(i,j)＝i·ysize+j来将求解域中每个格点的相对坐标映射到列向量x上。对每个已知电势点(从分布在导体内部、导体边界、多个导体位于的集成电路版图区域边界上的电势点中选取)直接建立条件方程。即：
①当相对坐标(i,j)处在相邻导体内以及边界上或求解域边界上时建立方程：
Figure BDA0003551713530000043
并填入系数矩阵和常数列向量：
A[hash(i,j)][hash(i,j)]:＝1
b[hash(i,j)]:＝0
②当相对坐标(i,j)处在主导体内以及边界上时建立方程：
Figure BDA0003551713530000044
并填入系数矩阵和常数列向量：
A[hash(i,j)][hash(i,j)]:＝1
b[hash(i,j)]:＝1
③当相对坐标(i,j)处在空旷处(即求解域内所有导体外区域，也即未知电势处)时建立方程：
Figure BDA0003551713530000051
并填入系数矩阵和常数列向量：
Figure BDA0003551713530000052
其中，
Figure BDA0003551713530000053
为与相对坐标(i,j)处网格的左边界相邻的格点的电势，
Figure BDA0003551713530000054
为与相对坐标(i,j)处的网格右边界相邻的格点的电势，
Figure BDA0003551713530000055
为与相对坐标(i,j)处网格的上边界相邻的格点的电势，
Figure BDA0003551713530000056
为与相对坐标(i,j)处网格的下边界相邻的格点的电势，五个系数k0,kl,kr,ku,kd在本发明中用插值法确定。
在具体拟合电势的过程中，本发明采用插值法。如图5所示，在已知网格划分的前提下，网格相邻交叉点的距离(即l,r,u,d)也随之确定。为建立
Figure BDA0003551713530000057
及其邻居
Figure BDA0003551713530000058
五处电势的一个线性齐次关系，可以在
Figure BDA0003551713530000059
处建立新坐标系，以O′为坐标原点，并在x和y两个方向上分别用二次函数进行拟合，从而估计
Figure BDA00035517135300000510
处的二阶偏导，并以此作为该方程的系数填入系数矩阵A，在x方向上用二次函数拟合的示意图如图6所示，在y方向上用二次函数拟合的示意图如图7所示。推导过程如下(此处仅举例x方向上的拟合，y方向同理)：
设
Figure BDA00035517135300000511
带入坐标得
Figure BDA00035517135300000512
Figure BDA00035517135300000513
解得
Figure BDA00035517135300000514
从而
Figure BDA00035517135300000515
同理可估计
Figure BDA00035517135300000516
由
Figure BDA00035517135300000517
得齐次线性方程
Figure BDA0003551713530000061
从而
Figure BDA0003551713530000062
为避免失去精度，可以在等式两边同时乘以一个较小的数再填入矩阵。至此，可以得到常数列向量b和系数矩阵A所有非零元的相关信息(行、列、值)。
因此，每个电势点与每个方程构成双射，不妨设系数矩阵为方阵A，由拉普拉斯方程确定常数列向量为b。为证明方阵A满秩，构造同阶解向量x'满足齐次线性方程组Ax'＝0。x'的物理意义为：当求解空间的边界、相邻导体和主导体电势都为0时，整个求解空间的电势分布。不难得到x'可以且只能取零向量(否则，在电势极大处，电势必然在x和y两个方向上均为凹函数，从而与拉普拉斯方程矛盾)。至此，可以证明Ax'＝0仅有零解，从而Ax＝b有且仅有一组解。
(4)求解矩阵方程。根据步骤(3)所得线性方程组Ax＝b，利用第三方库SuiteSparse求解线性方程组，解得x即为每个格点处电势
Figure BDA0003551713530000063
(5)计算导体电荷Q。根据步骤(4)所求得电势，依据高斯定理对导体周围格点电势进行积分获取电荷。由于导体周围的点电势不满足拉普拉斯方程，为求解区域的“奇异点”，故高斯面必须紧贴导体。恰当选取高斯面之后，采用估计
Figure BDA0003551713530000064
以及
Figure BDA0003551713530000065
从而带入静电学高斯定理求得各个导体的电荷
Figure BDA0003551713530000071
上式中，E是高斯面上电场，ε是电介质常数,dS是高斯面上的变化面积，
Figure BDA0003551713530000072
是高斯面，
Figure BDA0003551713530000073
表示电势的梯度，
Figure BDA0003551713530000074
表示高斯面S上的第i部分，
Figure BDA0003551713530000075
表示单位高斯面上的电位。
(6)依格式输出导体电容。由电荷与电容的关系，即
Figure BDA0003551713530000076
上式中，第k个导体为主导体，第i个导体为与第k个导体相邻的导体，Qk是第k个导体的电荷，Cik是第k个导体和第i个导体的耦合电容，
Figure BDA0003551713530000077
和
Figure BDA0003551713530000078
是第k个导体和第i个导体的电势，
Figure BDA0003551713530000079
NumNet是总导体个数。
当计算导体电容时，根据Dirichlet边界条件假设主导体电势为1V，相邻导体以及边界电势为0V，则求主导体电容和耦合电容问题可转化为求导体电荷Q。故由步骤(5)得到导体电荷Q后可直接计算求得主导体的单位长度总电容、主导体和相邻导体之间的单位长度耦和电容。
下表所示为均匀划分、倍增划分以及分段预留法的相对误差和用时对比结果。case0～case6代表7个不同的测试用例，这7个测试用例表示7种不同数目的输入导体以及不同类型的梯形和矩形导体，其中，case0仅仅包含简单的三个矩形导体；case1包含三个梯形导体；case2包含4个矩形导体和5个梯形导体；case3包含2个梯形导体和3个矩形导体；case4包含6个梯形导体和3个矩形导体；case5共包含72个不同导体，具体包含40个梯形导体和32个矩形导体；case6共包含98个不同导体，具体包含67个梯形导体和32个矩形导体。
case0 case1 case2 case3 case4 case5 case6 平均误差
均匀 609.26 516.34 13.78 36.03 18.61 14.32 25.78 176.303
倍增 228.25 104.56 13.78 36.03 18.61 12.63 21.45 62.187
分段预留 -0.21 0.74 1.41 1.95 1.09 0.75 0.22 0.850
表1相对误差(单位：％)
case0 case1 case2 case3 case4 case5 case6 平均用时
均匀 0 0.23 2.99 0.22 2.81 19.21 507.83 76.184
倍增 0 0.22 1.13 0.06 0.68 5.76 70.74 11.227
分段预留 0.08 0.19 0.66 0.22 1.25 15.03 25.15 6.083
表2用时(单位:s)：
精度上，均匀划分法和倍增划分法，由于并没有对导体周围的大电场做特殊处理，所以不如“分段预留”的方法。这种情况在小样例(case0，case1，case2，case3，case4)上尤为明显。时间上，均匀划分法大量冗余计算了小电势、小电场处的信息，各个样例上表现得低效；倍增均匀与分段预留效率上不分伯仲，分段预留法在大样例(case5，case6)上效率稍高。

Claims (9)

1.一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，
获取求解区域的几何信息以及求解区域内导体的几何信息；
利用最短步长、倍增因子、导体周围均匀划分宽度对求解区域进行非均匀网格划分，得到靠近导体边界均匀且稠密、远离导体边界不均匀且稀疏的网格形态，具体为：在导体周围均匀划分宽度的范围内，按照最短步长进行均匀网格划分；在导体周围均匀划分宽度的范围外，按照倍增因子对最短步长逐步增长间距后进行非均匀网格划分，所述导体周围均匀划分宽度小于导体间的最近距离；
对格点相对坐标进行哈希变换得到与哈希值具有映射关系的电势向量x，直接建立已知电势格点的条件方程后填写系数矩阵和常数列向量，根据未知电势格点及其相邻格点电势建立未知电势格点条件方程并填写常数列向量，对未知电势进行基于插值法的电势拟合后得到未知电势格点条件方程的系数矩阵，将求解各格点电势的拉普拉斯方程转换为线性方程组Ax＝b，A为系数矩阵，b为常数列向量，求解线性方程组得到各格点的电势；
根据高斯定理对导体周围格点的电势积分获取各导体电荷，再由各导体电荷与电容的关系计算主导体的单位长度总电容、主导体和相邻导体之间的单位长度耦和电容。
2.根据权利要求1所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，求解区域内的导体为矩形导体时，获取矩形导体左下角、右上角的绝对坐标。
3.根据权利要求1所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，求解区域内的导体为至少两个矩形导体堆叠而成的梯形导体时，按照自上而下的顺序为每个矩形导体设置一个指向第一个矩形导体的头指针，获取第一个矩形导体左下角、右上角的绝对坐标。
4.根据权利要求1所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，对格点相对坐标进行哈希变换的具体表达式为：hash(i,j)＝i·ysize+j，(i,j)为求解区域内格点的相对坐标，hash(i,j)为相对坐标(i,j)的哈希值，所述格点相对坐标通过排序求解区域内所有格点横纵坐标得到表征横纵网格线位置关系的浮点型数组x和y获得，xi为浮点型数组x的第i个元素，xi表示第i条纵向网格线，0≤i＜xsize，yj为浮点型数组y的第j个元素，yj表示第j条横向网格线，0≤j＜ysize，ysize为横向网格线的总数。
5.根据权利要求4所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，直接建立已知电势格点的条件方程后填写系数矩阵和常数列向量的具体方法为：
在求解区域内格点处于相邻导体内以及边界上或处于求解区域边界上时，已知电势格点的条件方程为
Figure FDA0003860879300000021
系数矩阵为A[hash(i,j)][hash(i,j)]:＝1，常数列向量为
Figure FDA0003860879300000022
为(i,j)处格点的电势；
在求解区域内格点处于导体内以及边界上时，已知电势格点的条件方程为
Figure FDA0003860879300000023
系数矩阵为A[hash(i,j)][hash(i,j)]:＝1，常数列向量为b[hash(i,j)]:＝1。
6.根据权利要求4所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，根据未知电势格点及其相邻格点电势建立的未知电势格点条件方程为：
Figure FDA0003860879300000024
其中，
Figure FDA0003860879300000025
为与(i,j)处网格的左边界相邻的格点的电势，
Figure FDA0003860879300000026
为与(i,j)处网格的右边界相邻的格点的电势，
Figure FDA0003860879300000027
为与(i,j)处网格的上边界相邻的格点的电势，
Figure FDA0003860879300000028
为与(i,j)处网格的下边界相邻的格点的电势，未知电势格点条件方程的系数矩阵和常数列向量为：
Figure FDA0003860879300000029
k0、kl、kr、ku、kd构成未知电势格点条件方程的系数矩阵。
7.根据权利要求6所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，对未知电势进行基于插值法的电势拟合后得到未知电势格点条件方程的系数矩阵的具体方法为：以未知电势格点为原点并在x方向和y方向上分别进行二次函数拟合得到未知电势处的二阶偏导，将未知电势处的二阶偏导带入拉普拉斯方程得到未知电势格点及其四周相邻格点的电势满足的线性齐次关系，求解所述线性齐次关系表达式得到未知电势格点条件方程的系数矩阵。
8.根据权利要求7所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，所述未知电势格点及其四周相邻格点的电势满足的线性齐次关系为
Figure FDA00038608793000000210
求解该线性齐次关系表达式后得到
Figure FDA0003860879300000031
其中，
Figure FDA0003860879300000032
为未知电势格点处的电势，
Figure FDA0003860879300000033
为未知电势格点四周相邻格点的电势，l为与未知电势格点左边界相邻的网格的电势，r为与未知电势格点右边界相邻的网格的电势，u为与未知电势格点上边界相邻的网格的电势，d为与未知电势格点下边界相邻的网格的电势。
9.根据权利要求1至8中任意一项所述一种基于改进有限差分法的二维电容提取方法，其特征在于，所述各导体电荷与电容的关系为
Figure FDA0003860879300000034
其中，Qk是为k个导体的电荷，Cik是第k个导体和第i个导体的耦合电容，
Figure FDA0003860879300000035
和
Figure FDA0003860879300000036
是第k个导体和第i个导体的电势，NumNet是总导体个数。
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