CN114598071B - 优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法。通过半插入双层三段Halbach阵列内外层磁极磁化角度与中心永磁极弧系数，达到获取最优气隙磁密的方法。转子与对应的定子配合构成具有内外层磁极最优边磁磁化角度与中心永磁极弧系数的半插入双层三段Halbach阵列永磁电机。本发明可以提高插入式永磁电机的无槽径向气隙磁密基波幅值，从而在相同的体积和成本下，可以提高输出转矩，因此可提高该类电机的转矩密度和功率密度，同样适用于无转子铁心电机和外转子电机。

Description

优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法

技术领域

本发明涉及永磁电机技术领域，尤其涉及一种优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法。

背景技术

永磁电机在各个领域都得到了广泛的应用，许多学者对此做了大量的研究。与传统磁体相比，使用Halbach阵列磁体的永磁电机具有更多的正弦场波形和更低的电磁转矩脉动，由于这些优点，Halbach阵列被应用于多种永磁机器。许多研究人员在两段/三段Halbach阵列上做了大量工作，并且已经有研究人员提出了双层两段Halbach永磁电机。相比于插入式双层三段Halbach阵列永磁电机的性能来说，半插入双层三段Halbach阵列永磁电机气隙磁密具有更高的基波幅值以及较低的谐波。

发明内容

本发明目的就是为了弥补已有技术表面插入式永磁电机存在空载感应电动势较小、转矩较小的缺陷，提供一种优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法。

本发明是通过以下技术方案实现的：

一种优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法，通过优化双层Halbach阵列表面半插入永磁电机的各层磁极最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数组合以获取最优气隙磁密。

所述的Halbach阵列表面插入式永磁电机为半插入双层三段Halbach阵列永磁电机。

所述的半插入双层Halbach阵列的永磁电机具有最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数组合的Halbach阵列，包括转子以及与转子对应的定子，所述转子由双层三段Halbach阵列和嵌入铁构成，该阵列内外两层分别由一段中心永磁和一对两两对称的永磁体构成，对称轴为中心永磁的几何中心，且内外层几何中心保持一致；中心永磁的磁化方式平行磁化，内外层磁极每对边磁的磁化角η₁与η₂均为锐角，N极中心对称轴左侧永磁的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角；N极中心对称轴右侧永磁的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极中心对称轴左侧永磁的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极中心对称轴右侧永磁的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角。嵌入铁占据到磁极厚度的一半之处，与内层磁极永磁体高度保持一致。转子与对应的定子配合构成具有最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数组合的半插入双层三段Halbach永磁电机。

所述的内外层磁极的对应的最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数由解析法获得：首先通过解析方法得到永磁电机空载径向气隙磁密的函数表达式，然后通过将内外层磁极空载径向气隙磁密的函数表达式分别对内外层磁极的磁化角进行求导，以获取最大气隙磁密时，分别对应内外层磁极的最优边磁磁化角度和中心永磁极弧系数的组合值。

当求解半插入双层三段Halbach阵列永磁电机最优气隙磁密时，分别求出内外层磁极所产生的径向气隙磁密，再通过线性叠加的方式获得最终表达式；当求解外层磁极所产生径向气隙磁密时，将内层磁极区域看作空气，所述的解析法具体过程如下：

在极坐标下，磁化强度由磁体的方向决定，写成

式中：M_r为磁化强度径向分量；M_θ为磁化强度切向分量；和/>分别为两个方向的单位矢量。

一个电周期内，半插入双层三段Halbach阵列永磁电机外层磁极具有三段Halbach阵列的磁化强度，写成分段函数如下：

式中：p为极对数，B_rm为永磁体剩磁，η₁为外层永磁的磁化角，θ为转子的位置角，ε₁为外层磁极中心永磁极弧系数，ε为永磁的极弧系数，δ₁为边磁的中心偏移角，其数值为δ₁＝((ε₁+ε)π)/(4p)，μ₀为真空的磁导率，M_r1和M_θ1分别为外层磁极磁化强度径向分量和切向分量。

从而对式(1-1)中M_r和M_θ分别进行傅里叶分解，得到：

式中：M_ru，M_θu为通过对(1-2)中各分段磁化分量进行积分所得，u为谐波次数。

因此得到：

M_nu＝M_ru+upM_θu (1-4)

式中：M_nu为外层磁极磁化强度。

在求解外层磁极的磁场时，将内层永磁区域视为真空区域，即此时求解域为空气域Ⅰ、Ⅲ及永磁域Ⅱ，联立磁化强度、拉普拉斯方程及准泊松方程，可以得到这三个区域中标量磁位的通解：

式中：μ_r是永磁的相对磁导率，G_μⅠ，T_μⅠ，G_μⅡ，T_μⅡ，G_μⅢ，T_μⅢ为未知系数， 及/>为三个求解域的标量磁位表达式，v为谐波次数，β为插入铁间区域极弧系数。

求解外层磁极磁场的边界条件是：

式中：r为某点与圆心的距离，R_s是半插入电机定子内半径，R_m2是外层磁极的外半径，H_θΙ(r＝R_s)、H_θΙ(r＝R_m2)是区域Ⅰ磁场强度在R_s、R_m2处值，B_rΙ(r＝R_m2)是区域Ⅰ磁通密度在R_m2处值，H_θΙΙ(r＝R_m2)、B_rΙΙ(r＝R_m2)分别是区域Ⅱ磁场强度、磁通密度在R_m2处值，H_θΙIΙ(r＝R_s)是区域Ⅲ磁场强度在R_s处值。

根据式(1-5)～式(1-8)，得到区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中径向磁场强度与切向磁通密度表达式为：

式中：B_rⅠ、B_rⅡ、B_rⅢ分别是三个求解域的径向磁通密度，H_θⅠ、H_θⅡ、H_θⅢ分别是三个求解域的切向磁场强度，C_m、C_n、B₁、B₂为系数，G_u1、G_v3是待求系数。

在r＝R_m处根据连续条件，建立积分表达式：

为得到G₁和G₃的值，可以通过建立并求解如下的矩阵方程：

式中：A_uu和D_vv为对角矩阵，B_uv和C_vu为满阵，G₁，G₃，E_u和Fv为列矩阵。

当求解内层磁极产生的磁场时，将外层磁极所在区域视作空气，所述的解析法具体过程如下：

一个电周期内，半插入永磁电机内层磁极具有由半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的磁化强度，写成分段函数如下：

式中：p为极对数，B_rm为永磁体剩磁，θ为转子的位置角，η₂为内层永磁的磁化角，ε₂为内层磁极中心永磁极弧系数，ε为永磁的极弧系数，δ₂为内层磁极边磁的中心偏移角，其数值为δ₂＝((ε₂+ε)π)/(4βp)，M_r2和M_θ2分别为内层磁极磁化强度径向分量和切向分量。

通过对(1-22)中磁化分量分别进行积分得到M_rv与M_θv,从而对M_r和M_θ分别进行傅里叶分解，得到：

式中：M_rv，M_θv为通过对(1-22)中各分段磁化分量进行积分所得，v为谐波次数。

进而得到：

M_nv＝M_rv+vpM_θv (1-24)

式中：M_nv为外层磁极磁化强度。

在求解半插入结构的内层磁场时，其边界条件为：

式中：r为某点与圆心的距离，R_s是半插入电机定子内半径，R_r是转子的外半径，H_θΙ(r＝R_s)是区域Ⅰ中磁场强度在R_s处值，H_θΙIΙ(r＝R_r)是区域Ⅲ中磁场强度在R_r处值。

利用式(1-22)～式(1-25)、拉普拉斯方程及准泊松方程，可以得到内层磁极所产生磁场；再建立方程组，得到内外层磁极最优边磁磁化角和中心永磁极弧系数，对于半插入双层三段Halbach阵列的永磁电机来说，其外层优化方程组分别是：

其中0<η₁<90°，0<ε₁<ε。

同理，其内层优化方程组为：

式中：0<η₂<90°；0<ε₂<ε。

最后通过线性叠加，得到半插入双层三段Halbach阵列无槽永磁电机的最优气隙磁密为：

B_r-slotless＝B_r-out+B_r-in (1-28)

式中：B_r-out为外层磁极气隙磁密，B_r-in为内层磁极气隙磁密，B_r-slotless为无槽气隙磁密。

本发明的优点是：本发明是利用电机结构与Halbach阵列的特点，将工业中常用的一种表面插入式永磁电机的Halbach阵列设计成为最优内外层磁极边磁磁化角和中心永磁极弧系数组合值的半插入双层Halbach阵列，以达到提高该电机径向气隙磁密基波幅值，优化气隙磁密的目的，从而在相同的体积和成本下，提高气隙磁密幅值，优化电机性能。本优化方法同样适用于无转子铁心电机和外转子电机。

附图说明

图1是本发明半插入双层三段Halbach阵列的结构示意图。

图2是本发明提供进行对比的全插入双层三段Halbach阵列的结构示意图。

图3是本发明半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的结构示意图。

图4是半插入双层三段Halbach阵列永磁电机与全插入双层三段Halbach阵列永磁电机谐波分量的比较。

图5是半插入双层三段Halbach阵列永磁电机径向气隙磁密的解析法与有限元法对比验证。

具体实施方式

一种优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法，通过优化双层三段Halbach阵列永磁电机的内外层磁极的边磁磁化角与中心永磁的极弧系数以获取最优气隙磁密；

所述的双层三段Halbach阵列永磁电机为半插入双层三段Halbach阵列永磁电机。

半插入双层三段Halbach阵列永磁电机，其阵列模型如图1所示，电机结构如图3所示。使用半插入双层三段Halbach阵列的永磁电机，包括有转子1.14和与转子1.14对应的定子1.15，所述的转子1.14是由具有内外层磁极最优边磁磁化角和最优中心永磁极弧系数组合的半插入双层Halbach阵列构成，且磁极区域有插入铁1.7。所述的半插入双层Halbach阵列的每极的内外层磁极分别由一段中心永磁和一对对称磁极构成，外层磁极N、S极中心永磁1.3、1.10的磁化方式为平行磁化，内层磁极N、S极中心永磁1.4、1.11的磁化方式为平行磁化，各对称磁极的磁化角均为锐角，转子1.14与对应的定子1.15配合构成具有内外层磁极最优边磁磁化角的半插入双层三段Halbach阵列永磁电机。

所述的内外层磁极对应的最优边磁磁化角和中心永磁极弧系数由解析法获得：首先通过解析方法得到永磁电机空载径向气隙磁密的函数表达式，然后通过将内外层磁极空载径向气隙磁密的函数表达式分别对内外层磁极的边磁磁化角与中心永磁极弧系数进行求偏导，并求解偏导方程组，以获取最大气隙磁密时，分别对应的内外层磁极的最优边磁磁化角度与中心永磁极弧系数的组合值。

在极坐标下，磁化强度由磁体的方向决定，写成

式中：M_r为磁化强度径向分量；M_θ为磁化强度切向分量；和/>分别为两个方向的单位矢量。

一个电周期内半插入双层三段Halbach阵列永磁电机外层磁极具有由三段Halbach阵列的磁化强度，写成分段函数如下：

式中：p为极对数，B_rm为永磁体剩磁，η₁为外层永磁的磁化角，θ为转子的位置角，ε₁为外层磁极中心永磁极弧系数，ε为永磁的极弧系数，δ₁为边磁的中心偏移角，其数值为δ₁＝((ε₁+ε)π)/(4p)，μ₀为真空的磁导率，M_r1和M_θ1分别为外层磁极磁化强度径向分量和切向分量；

从而对式(1-1)中M_r和M_θ分别进行傅里叶分解，得到：

式中：M_ru，M_θu为通过对(1-2)中各分段磁化分量进行积分所得，u为谐波次数。

因此得到：

M_nu＝M_ru+upM_θu (1-4)

式中：M_nu为外层磁极磁化强度。

在求解外层磁极的磁场时，将内层永磁区域视为真空区域，即此时求解域为空气域Ⅰ、Ⅲ及永磁域Ⅱ，联立磁化强度、拉普拉斯方程及准泊松方程，可以得到这三个区域中标量磁位的通解：

式中：μ_r是永磁的相对磁导率，G_μⅠ，T_μⅠ，G_μⅡ，T_μⅡ，G_μⅢ，T_μⅢ为未知系数， 为三个求解域的标量磁位表达式，v为谐波次数，β为插入铁间区域极弧系数。

求解外层磁极磁场的边界条件是：

式中：r为某点与圆心的距离，R_s是半插入电机定子内半径，R_m2是外层磁极的外半径，H_θΙ(r＝R_s)、H_θΙ(r＝R_m2)是区域Ⅰ磁场强度在R_s、R_m2处值，B_rΙ(r＝R_m2)是区域Ⅰ磁通密度在R_m2处值，H_θΙΙ(r＝R_m2)、B_rΙΙ(r＝R_m2)分别是区域Ⅱ磁场强度、磁通密度在R_m2处值，H_θΙIΙ(r＝R_s)是区域Ⅲ磁场强度在R_s处值。

根据式(1-5)～式(1-8)，得到区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ径向磁场强度与切向磁通密度表达式为：

式中：B_rⅠ、B_rⅡ、B_rⅢ分别是三个求解域的径向磁通密度，H_θⅠ、H_θⅡ、H_θⅢ分别是三个求解域的切向磁场强度，C_m、C_n、B₁、B₂为系数，G_u1、G_v3是待求系数。

在r＝R_m处根据连续条件，建立积分表达式：

为得到G₁和G₃的值，可以通过建立并求解如下的矩阵方程：

式中：A_uu和D_vv为对角矩阵，B_uv和C_vu为满阵，G₁，G₃，E_u和Fv为列矩阵。

当求解内层磁极产生的磁场时，将外层磁极所在区域视作空气，所述的解析法具体过程如下：

一个电周期内半插入永磁电机内层磁极具有由半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的磁化强度，写成分段函数如下：

式中：p为极对数，B_rm为永磁体剩磁，θ为转子的位置角，η₂为内层永磁的磁化角，ε₂为内层磁极中心永磁极弧系数，ε为永磁的极弧系数，δ₂为内层磁极边磁的中心偏移角，其数值为δ₂＝((ε₂+ε)π)/(4βp)，M_r2和M_θ2分别为内层磁极磁化强度径向分量和切向分量。

通过对(1-22)中磁化分量分别进行积分，得到M_rv与M_θv,从而对M_r和M_θ分别进行傅里叶分解，得到：

式中：M_rv，M_θv为通过对(1-22)中各分段磁化分量进行积分所得，v为谐波次数。

进而得到：

M_nv＝M_rv+vpM_θv (1-24)

式中：M_nv为外层磁极磁化强度。

在求解半插入结构的内层磁场时，其边界条件为：

式中：r为某点与圆心的距离，R_s是半插入电机定子内半径，R_r是转子的外半径，H_θΙ(r＝R_s)是区域Ⅰ磁场强度在R_s处值，H_θΙIΙ(r＝R_r)是区域Ⅲ磁场强度在R_r处值。

利用式(1-22)～式(1-25)、拉普拉斯方程及准泊松方程可以计算内层磁极所产生磁场；再建立方程组，得到内外层磁极最优边磁磁化角和中心永磁极弧系数，对于半插入双层三段Halbach阵列的永磁电机来说，其外层优化方程组分别是：

其中0<η₁<90°，0<ε₁<ε。

同理，其内层优化方程组为：

式中：0<η₂<90°；0<ε₂<ε。

最后通过线性叠加得到半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的无槽最优气隙磁密为：

B_r-slotless＝B_r-out+B_r-in (1-28)

式中：B_r-out为外层磁极气隙磁密，B_r-in为内层磁极气隙磁密，B_r-slotless为无槽气隙磁密。

图1为本发明具有最优内外层磁极磁化角与中心永磁极弧系数的半插入双层三段Halbach阵列结构示意图。每极的内外层磁极分别由一段中心永磁和一对对称磁极构成，对称轴为中心永磁的几何中心，且内外层磁极中心永磁极弧系数不同。所有的边磁磁化角η₁、η₂都是锐角。且外层磁极边磁磁化角η₁定义为：N极对称轴左侧永磁1.1的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角；N极对称轴右侧永磁1.5的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极对称轴左侧永磁1.9的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极对称轴右侧永磁1.13的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角。内层磁极边磁磁化角η₂定义为：N极对称轴左侧永磁1.2的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角；N极对称轴右侧永磁1.6的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极对称轴左侧永磁1.8的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极对称轴右侧永磁1.12的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角；在内层磁极N极与S极间存在插入铁1.7。外层两对磁极边磁的磁化角为η₁，内层两对磁极边磁的磁化角为η₂。于是形成了N、S极相交替的磁极。

图2为为本发明具有内外层磁极最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数全插入双层三段Halbach阵列结构示意图。每极的内外层磁极分别由一段中心永磁和一对对称边磁构成，对称轴为中心永磁的几何中心，且内外层磁极中心永磁极弧系数不同。全插入双层三段Halbach阵列与半插入双层三段Halbach阵列内外层磁极永磁结构保持一致，但全插入结构插入铁与磁极高度保持一致。

图3是本发明具有最优内外层磁极磁化角组合的半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的结构示意图。为了进行比较，给出一实例半插入双层三段Halbach阵列永磁电机。该实例电机是10极12槽结构。额定转速为2000r/min。定子铁心和转子铁心均采用50WW470硅钢片，永磁体采用的是钕铁硼N35H。该实例电机的主要结构参数为：定子外径为70mm，内径为40mm，定子轭高6mm，转子外径37.5mm，内层磁极永磁高度1mm，外层磁极永磁高度1mm，转子表面铁高度为1mm，转子铁每极极弧为1/9，且磁极与嵌入铁之间无空气区域。且该实例电机为平行齿，齿宽为12mm，槽口宽度为1mm，每相绕组串联匝数为42，中心永磁磁化方式为平行磁化。

图4是半插入双层三段Halbach阵列永磁电机与全插入双层三段Halbach阵列永磁电机优化后的无槽径向气隙磁密谐波分量的比较。进行比较的全插入永磁电机的主要结构参数为：定子外径为70mm，内径为40mm，定子轭高6mm，转子外径37.5mm，内层磁极永磁高度1mm，外层磁极永磁高度1mm，转子表面铁高度为2mm，转子铁每极极弧为1/9，且磁极与嵌入铁之间无空气区域。且该实例电机为平行齿，齿宽为12mm，槽口宽度为1mm，每相绕组串联匝数为42，中心永磁磁化方式为平行磁化。优化后半插入外层磁极最优边磁磁化角为57.393°，最优中心永磁极弧系数为0.7013；内层磁极最优边磁磁化角为30.080°，最优中心永磁极弧系数为0.8512。优化后全插入外层磁极最优边磁磁化角为60.212°，最优中心永磁极弧系数为0.7321；内层磁极最优边磁磁化角为33.032°，最优中心永磁极弧系数为0.8623。通过分别对两种电机的气隙磁密进行FFT分析可以得到：半插入与全插入电机气隙磁密基波幅值分别为1.1731T和1.1625T；磁通密度的THD值分别为26.71％和28.93％。显然，在对内外层磁极磁化角度与中心永磁极弧系数优化的情况下，半插入双层三段Halbach阵列永磁电机比全插入双层三段Halbach阵列永磁电机的气隙磁密波形要好，幅值更高，且THD较小。

图5是实例所述的半插入双层三段Halbach阵列永磁电机在是用来本方法优化后所获得的最优内外层磁极边磁磁化角组合时，无槽径向气隙磁密的解析法与有限元法的对比图。由图5可以看出，两种方法得到的波形吻合度较高，验证了本优化方法的正确性。

本发明所述的对半插入双层三段Halbach阵列永磁电机气隙磁密的优化方法，充分利用了电机结构与Halbach阵列的特点，在电机体积和生产成本不变的前提下，提高了插入式永磁电机的径向气隙磁密幅值。

Claims (1)

1.一种优化半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的方法，其特征在于：通过优化双层三段Halbach阵列永磁电机的内外层磁极的边磁磁化角与中心永磁的极弧系数以获取最优气隙磁密；

所述的双层三段Halbach阵列永磁电机为半插入双层三段Halbach阵列永磁电机；

所述的半插入双层三段Halbach阵列永磁电机具有最优内外层磁极边磁磁化角组合的Halbach阵列，包括转子以及与转子对应的定子，所述转子由双层三段Halbach阵列和嵌入铁构成，双层三段Halbach阵列内外两层分别由一段中心永磁和一对对称的永磁体构成，对称轴为中心永磁的几何中心，且内外层几何中心保持一致；中心永磁的磁化方式平行磁化，内外层每对边磁的磁化角均为锐角，N极中心对称轴左侧永磁的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角；N极中心对称轴右侧永磁的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极中心对称轴左侧永磁的磁化角为磁化方向与逆时针圆周切向方向的夹角；S极中心对称轴右侧永磁的磁化角为磁化方向与顺时针圆周切向方向的夹角；嵌入铁占据磁极厚度的一半，与内层磁铁高度保持一致；转子与对应的定子配合构成具有最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数组合的半插入双层三段Halbach永磁电机；

所述的内外层磁极分别对应的最优边磁磁化角和中心永磁极弧系数由解析法获得：首先通过解析法得到永磁电机空载径向气隙磁密的函数表达式，然后通过将内外层磁极空载径向气隙磁密的函数表达式分别对内外层磁极的边磁磁化角与中心永磁极弧系数进行求偏导，并求解偏导方程组，以获取最大气隙磁密时，分别对应的内外层磁极的最优边磁磁化角与中心永磁极弧系数的组合值；

当求解半插入双层三段Halbach阵列永磁电机最优气隙磁密时，分别求出内外层磁极所产生的径向气隙磁密，再通过线性叠加的方式获得最终表达式；当求解外层磁极所产生径向气隙磁密时，将内层磁极区域看作空气，所述的解析法具体过程如下：

在极坐标下，磁化强度由磁体的方向决定，写成

式中：M_r为磁化强度径向分量；M_θ为磁化强度切向分量；和/>分别为两个方向的单位矢量；

一个电周期内，半插入双层三段Halbach阵列永磁电机外层磁极具有三段Halbach阵列的磁化强度，写成分段函数如下：

式中：p为极对数，B_rm为永磁体剩磁，η₁为外层永磁的磁化角，θ为转子的位置角，ε₁为外层磁极中心永磁极弧系数，ε为永磁的极弧系数，δ₁为边磁的中心偏移角，其数值为δ₁＝((ε₁+ε)π)/(4p)，μ₀为真空的磁导率，M_r1和M_θ1分别为外层磁极磁化强度径向分量和切向分量；

从而对式(1-1)中M_r和M_θ分别进行傅里叶分解，得到：

式中：M_ru、M_θu分别为通过对(1-2)中各分段磁化分量进行积分所得，u为谐波次数；

因此得到：

M_nu＝M_ru+upM_θu (1-4)

式中：M_nu为外层磁极磁化强度；

在求解外层磁极的磁场时，将内层永磁区域视为真空区域，即此时求解域为空气域Ⅰ、Ⅲ及永磁域Ⅱ；联立磁化强度、拉普拉斯方程及准泊松方程，得到这三个区域中标量磁位的通解：

式中：μ_r是永磁的相对磁导率，G_μⅠ，T_μⅠ，G_μⅡ，T_μⅡ，G_μⅢ，T_μⅢ为未知系数，及/>为三个求解域的标量磁位表达式，v为谐波次数，β为插入铁间区域极弧系数；

求解外层磁极磁场的边界条件是：

式中：r为某点与圆心的距离，R_s是半插入电机定子内半径，R_m2是外层磁极的外半径，H_θΙ(r＝R_s)、H_θΙ(r＝R_m2)是区域Ⅰ磁场强度在R_s、R_m2处值，B_rΙ(r＝R_m2)是区域Ⅰ磁通密度在R_m2处值，H_θΙ(_Ιr＝R_m2)、B_rΙ(_Ιr＝R_m2)分别是区域Ⅱ磁场强度、磁通密度在R_m2处值，H_θΙ(_Ιr_Ι＝R_s)是区域Ⅲ磁场强度在R_s处值；

根据式(1-5)～式(1-8)，得到区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ径向磁场强度与切向磁通密度表达式为：

式中：B_rⅠ、B_rⅡ、B_rⅢ分别是三个求解域的径向磁通密度，H_θⅠ、H_θⅡ、H_θⅢ分别是三个求解域的切向磁场强度，C_m、C_n、B₁、B₂为系数，G_u1、G_v3是待求系数；

在r＝R_m处根据连续条件，建立积分表达式：

为得到G₁和G₃的值，通过建立并求解如下的矩阵方程：

式中：A_uu和D_vv为对角矩阵，B_uv和C_vu为满阵，G₁，G₃，E_u和Fv为列矩阵；

当求解内层磁极产生的磁场时，将外层磁极所在区域视作空气，所述的解析法具体过程如下：

一个电周期内半插入永磁电机内层磁极具有由半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的磁化强度，写成分段函数如下：

式中：p为极对数，B_rm为永磁体剩磁，θ为转子的位置角，η₂为内层永磁的磁化角，ε₂为内层磁极中心永磁极弧系数，ε为永磁的极弧系数，δ₂为内层磁极边磁的中心偏移角，其数值为δ₂＝((ε₂+ε)π)/(4βp)，M_r2和M_θ2分别为内层磁极磁化强度径向分量和切向分量；

通过对(1-22)中磁化分量分别进行积分，得到M_rv与M_θv,从而对M_r和M_θ分别进行傅里叶分解，得到：

式中：M_rv，M_θv为通过对(1-22)中各分段磁化分量进行积分所得，v为谐波次数；

进而得到：

M_nv＝M_rv+vpM_θv (1-24)

式中：M_nv为外层磁极磁化强度；

在求解半插入结构的内层磁场时，其边界条件为：

式中：r为某点与圆心的距离，R_s是半插入电机定子内半径，R_r是转子的外半径，H_θΙ(r＝R_s)是区域Ⅰ磁场强度在R_s处值，H_θΙΙ(r_Ι＝R_r)是区域Ⅲ磁场强度在R_r处值；

利用式(1-22)～式(1-25)、拉普拉斯方程及准泊松方程，计算得到内层磁极所产生磁场；再建立方程组，得到内外层磁极最优边磁磁化角和中心永磁极弧系数，对于半插入双层三段Halbach阵列的永磁电机来说，其外层优化方程组分别是：

其中0<η₁<90°，0<ε₁<ε；

同理，其内层优化方程组为：

式中：0<η₂<90°；0<ε₂<ε；

最后通过线性叠加，得到半插入双层三段Halbach阵列永磁电机的无槽最优气隙磁密为：

B_r-slotless＝B_r-out+B_r-in (1-28)

式中：B_r-out为外层磁极气隙磁密，B_r-in为内层磁极气隙磁密，B_r-slotless为无槽气隙磁密。