CN114547543A - 一种圆形截面流道的电势分布计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种圆形截面流道的电势分布数值计算方法，包括：根据流道中电解质溶液的离子浓度估计固‑液双电层的类型；对泊松‑玻尔兹曼方程线性化近似，根据zeta电势大小对流道内电势变化率进行区域划分；通过二分搜索的方法确定区域之间的连接点半径；对不同区域进行离散化并计算电势分布；与常规的有限差分方法不同，本发明通过划分区域边界并分别进行不同步长的离散化，从而减少了电势较低变化率区域的计算量，增加了较高变化率区域计算精度，最终获得了电解质溶液在任意离子浓度条件下的圆管流动的电势分布。

Description

一种圆形截面流道的电势分布计算方法

技术领域

本发明属于微观技术领域，具体涉及一种圆形截面流道的电势分布计算方法。

背景技术

基于界面双电层效应的角加速度计是近年来发展起来的一种直接测量角加速度的传感器。该传感器以电解质溶液作为液相质量体，以颗粒堆积型多孔介质作为固相转换器，在固-液界面产生的双电层基础上，根据流动电势这一动电现象感应外界输入的角加速度。

由于上述角加速度传感器中使用的多孔介质固相转换器内部孔隙管道的尺寸分布在0.1微米至50微米之间，因此在研究流动电势的产生机理的同时，研究该多孔介质内部微流道的电势分布是十分必要的。由于实际需求中使用的电解质溶液浓度的不同、形成的双电层结构也有所不同，导致双电层中的zeta电势可能出现较高的情况。并且多孔介质的微孔隙结构上形成的双电层电势分布难以直接进行测量，因此可以借助理论模型实现电势分布的模拟计算。

一般地，流道的电势分布计算需要数值求解泊松-玻尔兹曼方程，通常使用有限差分法和打靶法等数值方法求解这类非线性微分方程的边值问题，也可通过使用Debye-Hückle线性化近似求解。然而前者的算法复杂度相对较高，后者使用线性化近似时需要满足浓度和zeta电势的取值条件，在不满足条件时求解难以获得精确可靠的数值结果。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种圆形截面流道的电势分布计算方法，能够对任意离子浓度及zeta电势条件下圆形流道上形成的双电层电势分布进行计算。一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，包括如下步骤：

步骤1：对流道中电解质溶液与管壁形成的固-液界面双电层厚度κ^-1进行估计，对比圆形流道的半径a与双电层厚度κ^-1的关系，对流道是厚双电层、薄双电层还是过渡态双电层进行判别；

步骤2：在极坐标形式下，圆形流道中的双电层内的电势分布Ψ(r)通过泊松-玻尔兹曼方程线性近似化，由以下方程组描述：

则根据边界条件求得电势分布Ψ(r)的解析解为：

本步骤中，r表示流道内任意点到中心轴的距离；基本电荷e₀＝1.602×10^-19，ε_f＝ε₀ε_r为液体的介电常数，ε₀为真空介电常数，ε_r为液体相对介电常数，温度为T；R₁和R₂表示流道双电层厚度对变化率不同的区域之间的连接点位置；

其中LCM(x,y)用于计算x与y的最小公倍数，I₀为第一类修正Bessel函数，e≈2.718为自然指数，

此时根据通道中zeta电势ξ大小对电势变化率区域进行划分，分为3个区域或者2个区域，其中：3个区域划分方式为：低变化率区域为0<r<R₁，中变化区域为R₁<r<R₂，高变化率区域为R₂<r<a；2个区域分方式为：低变化率区域为0<r<R₁，中变化区域为R₁<r<R₂，R₂＝a；

步骤3：根据双电层厚度对变化率不同的区域之间的连接点位置R₁和R₂进行初步估计，得到对应的初始连接点R′₁和R′₂；根据R₁和R₂初始边界[R′₁,R₂]和[R′₂,a]，采用二分搜索方法对实际的连接点位置R₁和R₂进行估计；

步骤4：对根据步骤3得到的连接点R₁和R₂划分的不同电势变化率的区域进行离散化，即对r进行离散，再通过式(2)计算得到完整的电势分布；其中，不同区域的离散步长不同，变化率越大的区域，离散步长越小。

较佳的，所述步骤3中，采用二分搜索方法对实际的连接点位置R₁和R₂进行估计的方法为：

步骤341、首先对R₂进行估计，其搜索域左边界为R′₂，右边界为a，则以

作为R₂新的估计值；

步骤342、将R₂新的估计值代入式(2)计算相应的估计电势Ψ′₁(r)，并根据电势边界条件Ψ(a)＝ξ以及电势分布函数连续性条件，即电势Ψ′₁(r)在r＝a处的左导数

等于其右导数

估计得到边界值Ψ′₁(a)，从而计算估计误差

步骤343、若估计误差|E₁|>∈，此时根据E₁的正负性分别重新设定搜索边界：若E₁<0则重新调整二分搜索的左边界，作为R₂新的估计值，更新m₁；若E₁>0则重新调整二分搜索的右边界，作为R₂新的估计值，更新m₁；返回步骤342，计算并比较误差E₁；其中，∈表示设定的精度误差限；

若|E₁|<∈，终止搜索，此时得到R₂的精确估计值R₂＝m₁；

步骤344、再对低变化率区域的连接点位置R₁进行估计，其搜索域左边界为R′₁，右边界为R₂；

步骤345、则以

作为R₁新的估计值，同样进行二分搜索，代入式(2)求解对应的电势分布Ψ′₂(r)，根据低变化率电势边界条件Ψ(R₁)＝4.3103×10^-5×T，以及根据边界估计值Ψ′₂(m₂)计算当前估计误差

步骤346、若估计误差|E₂|>∈，此时根据E₂的正负性分别重新设定搜索边界：若E₂<0,则重新调整二分搜索的左边界作为R₁新的估计值，并更新m₂；若E₂>0则重新调整二分搜索的右边界，作为R₁新的估计值，并更新m₂；返回步骤345，计算并比较误差E₂；

若|E₂|<∈则终止搜索，此时得到R₁的精确估计值R₁＝m₂。

较佳的，所述步骤3中，得到对应的初始连接点R′₁和R′₂的方法为：

步骤31、若为薄双电层，则低、中、高变化率区域均存在，且低、中变化率区域连接点初始位置

中、高变化率区域连接点处的初始位置

其中w₁＝5，w₂＝2.43；

步骤32、若为过渡态双电层，则低变化率区域可能部分存在，此时低、中变化率区域连接点初始位置

中、高变化率区域连接点处的初始位置

步骤33、若为厚双电层，则低变化率区域不存在，中变化率区域可能部分存在，此时低、中变化率区域连接点初始位置R′₁＝σ，中、高变化率区域连接点处的初始位置

其中

w₁＝5，w₂＝2.43。

较佳的，所述步骤1中，当κ·a<5时认为是厚双电层；κ·a>10时认为是薄双电层；5<κ·a<10时则是过渡态双电层。

较佳的，所述步骤1中，双电层的厚度κ^-1的计算公式为：

流道内电解质溶液的溶质离子种类数为N，每种离子的化合价为z_i，浓度为n_i，i＝1,2,…,N。

较佳的，所述步骤2中，根据通道中zeta电势ξ大小对电势变化率区域进行划分的方法为：

若ξ>8.6205×10^-5×T，则将电势分布沿流道径向划分为3个区域；若ξ<8.6205×10^-5×T，则将电势分布沿流道径向划分为2个区域。

较佳的，所述步骤3中，∈＝0.05％。

较佳的，所述步骤4中，低变化率区域的离散步长

中变化率区域的离散步长

高变化率区域的离散步长

本发明具有如下有益效果：

(1)本发明实现了任意浓度和zeta电势下，对泊松-玻尔兹曼方程进行组合近似，实现了圆形截面流道内电势分布的精确计算，相比于采用Debye-Hückle线性化近似再进行数值求解的方案，计算精度更高，更适用于溶液浓度较低、双电层内zeta电势较高的情况。

(2)本发明提供的这种电势分布计算方法，通过分析电势分布函数的单调性及变化率趋势，结合双电层厚度类型及电势函数不同变化率的区域划分，在不同区域上采用不同步长分别离散化，更为精细地刻画了电势的变化，并在变化率较小的区域减小计算量，实现了计算效率与精度的均衡化。

(3)本发明给出了任意溶质的泊松-玻尔兹曼方程线性化近似后的描述形式，通过常规微积分方法可对对称型和非对称型溶质溶液进行求解，不限定于特定溶质，适用范围广。

附图说明

图1为圆形流道的区域划分示意图；

图2厚双电层算例A的正则化电势分布计算结果；

图3为厚双电层算例A的电势分布计算误差；

图4为过渡态双电层算例B的正则化电势分布计算结果；

图5为过渡态双电层算例B的电势分布计算误差；

图6为薄双电层算例C的正则化电势分布计算结果；

图7为薄双电层算例C的电势分布计算误差。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述，需要说明的是本实施例是叙述性的，而非限定性的，不以此限定本发明的保护范围。

本实例提供一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，该计算方法采用组合近似泊松-玻尔兹曼方程，适用于流道中任意浓度的溶液，计算精度不受双电层结构中zeta电势ξ大小的限制。

本实施例中，流道内的电解质溶液为对称型溶质，例如NaCl溶液(1：1型)，此时有z_p＝z_n＝1；温度范围可取273K<T<373K。

步骤1：根据电解质溶液主要溶质确定离子种类数N，每种离子的化合价为z_i，浓度为n_i，对单一溶质而言显然有

取z_p＝max(z_i)，n_p为使z_p＝max(z_i)成立的n_i，z_n＝-min(z_i)，n_n为使z_n＝-min(z_i)成立的n_i。对流道中电解质溶液与管壁形成的固-液界面双电层厚度κ^-1进行估计。对比圆形流道的半径a与双电层厚度κ^-1的关系，可对双电层类型进行区别：当κ·a<5时认为是厚双电层；κ·a>10时认为是薄双电层；5<κ·a<10时则是过渡态双电层。

其中，双电层的厚度κ^-1的计算公式为：

步骤2：在极坐标形式下，圆形流道中的双电层内的电势分布Ψ(r)可通过泊松-玻尔兹曼方程线性近似化，由以下方程组描述：

由于1：1型对称型溶质中z_p＝z_n＝1，则根据边界条件求得电势分布的解析解为：

本步骤中，r表示流道内任意点到中心轴的距离；基本电荷e₀＝1.602×10^-19，ε_f＝ε₀ε_r为液体的介电常数，ε₀为真空介电常数，ε_r为液体相对介电常数，温度为T，单位为K(开尔文)；R₁和R₂表示流道双电层厚度对变化率不同的区域之间的连接点位置；

其中LCM(x,y)用于计算x与y的最小公倍数，I₀为第一类修正Bessel函数，e≈2.718为自然指数，

此时根据通道中zeta电势ξ大小(可通过测量获得)对电势变化率区域进行划分，若在较高zeta电势情况下，即ξ>8.6205×10^-5×T，则将电势分布沿流道径向划分为3个区域，即低变化率区域为0<r<R₁，中变化区域为R₁<r<R₂，高变化率区域为R₂<r<a；反之，若ξ<8.6205×10^-5×T，则将电势分布沿流道径向划分为2个区域，即低变化率区域为0<r<R₁，中变化区域为R₁<r<R₂(R₂＝a)。

步骤3：根据双电层厚度对变化率不同的区域之间的连接点位置R₁和R₂进行初步估计，得到对应的初始半径R′₁和R′₂。

步骤31、若为薄双电层，则低、中、高变化率区域均存在，且低、中变化率区域连接点初始位置

中、高变化率区域连接点处的初始位置

其中w₁＝5，w₂＝2.43；

步骤32、若为过渡态双电层，则低变化率区域可能部分存在，此时低、中变化率区域连接点初始位置

中、高变化率区域连接点处的初始位置

步骤33、若为厚双电层，则低变化率区域不存在，中变化率区域可能部分存在，此时低、中变化率区域连接点初始位置R′₁＝σ，中、高变化率区域连接点处的初始位置

其中

w₁＝5，w₂＝2.43。

步骤34、在本实施例中，采用二分搜索方法对实际的连接点位置R₁和R₂进行估计，其初始边界可以分别设置为[R′₁,R₂]和[R′₂,a]，搜索精度误差限为∈，具体包括如下步骤：

步骤341、首先对R₂进行估计，其搜索域左边界为R′₂，右边界为a，则以

作为R₂新的估计值；

步骤342、将R₂新的估计值代入式(2)计算相应的估计电势Ψ′₁(r)，并根据电势边界条件(Ψ(a)＝ξ)以及电势分布函数连续性条件(电势Ψ′₁(r)在r＝a处的左导数

等于其右导数

)，估计得到边界值Ψ′₁(a)，从而计算估计误差

步骤343、若估计误差|E₁|>∈则说明R₂的当前估计值m未满足上述条件，此时根据E₁的正负性分别重新设定搜索边界：若E₁<0则重新调整二分搜索的左边界，作为R₂新的估计值，更新m₁；若E₁>0则重新调整二分搜索的右边界，作为R₂新的估计值，更新m₁；返回步骤342，计算并比较误差E₁；

若|E₁|<∈则说明R₂的当前估计值满足精度要求，可以终止搜索，此时得到R₂的精确估计值R₂＝m₁。

步骤344、再对低变化率区域的连接点位置R₁进行估计，其搜索域左边界为R′₁，右边界为R₂，

步骤345、则以

作为R₁新的估计值，同样进行二分搜索，代入式(2)求解对应的电势分布Ψ′₂(r)，根据低变化率电势边界条件(Ψ(R₁)＝4.3103×10^-5×T)，以及根据边界估计值Ψ′₂(m₂)(r＝m₂)计算当前估计误差

步骤346、若估计误差|E₂|>∈则说明R₁的当前估计值未满足上述条件，此时根据E₂的正负性分别重新设定搜索边界：若E₂<0,则重新调整二分搜索的左边界作为R₁新的估计值，并更新m₂；若E₂>0则重新调整二分搜索的右边界，作为R₁新的估计值，并更新m₂；返回步骤345，计算并比较误差E₂；

若|E₂|<∈则说明R₁的当前估计值m满足精度要求，可以终止搜索，此时得到R₁的精确估计值R₁＝m₂。

本实施例中，设置的二分搜索的精度误差限∈＝0.05％。

步骤4：对上一步骤划分的不同电势变化率的区域进行离散化，即对r进行离散，再通过式(2)计算得到完整的电势分布。由于在低变化率区域中电势增长较慢且需要计算贝塞尔函数值，因此设置较大的步长h_l，从而在不降低计算精度的同时，减小低变化率区域的计算量；中变化区域中电势增长稍快，设置步长h_m，将这一区域离散化获得较密的离散点集{R₁,R₁+h_l,…,R₂}；高变化区域中电势增长最快，设置步长h_h，获得更加密集的离散点集{R₂,R₂+h_h,…,a}。在划分的各区域的离散点集上进行电势分布的计算，从而获得流道内完整的电势分布。低变化率区域的离散步长

中变化率区域的离散步长

高变化率区域的离散步长

实施例：

以浓度为0.0002mol/L的NaCl溶液为例，此时由于溶液浓度较低因此其zeta电势较高，约为73.3mV；根据式(1)可计算双电层厚度为0.007μm；液体电导率为2.44mS/m；表面电导约为0.007μS。在微米尺度下，分别设置半径为a₁＝0.044μm、a₂＝0.1094μm和a₃＝0.567μm的三种毛细圆管A、B和C作为算例，按照所述步骤进行电势计算：

步骤(1)：κa₁＝2.047，属于厚双电层；κa₂＝5.087，属于过渡态双电层；κa₃＝26.367，属于薄双电层。

步骤(2)及(3)：算例A仅存在高变化率区域，其中R′_A2＝4.4×10^-5μm；算例B仅存在高变化率区域，其中R′_B2＝5.712×10^-2μm；算例C存在低、中和高变化率区域，其中R′_C1＝0.4071μm,R′_C2＝0.5146μm。根据各算例的初始位置进行二分搜索，得到R₂的估计值分别为1.152×10^-2μm、8.762×10^-2μm以及0.5469μm，算例C的R₁估计值为0.4394μm。

步骤(4)：根据三种算例的管径大小，对低、中及高变化率区域的步长进行设定，得到各算例的管径内正则化电势分布，如图2、图4和图6所示。其中以微分方程数值解为真值，分别对所述的组合近似方法以及Hückle线性化近似方法得到的结果计算误差，如图3、图5及图7所示。从误差结果中可以看出，组合近似方法对于浓度较低、zeta电势较高的溶液具有绝对的计算优势，在所有类型的双电层中都表现出较小的误差，尤其是厚双电层及过渡态双电层这两种状态中具备计算精度的优势，并且计算效率相比于微分方程数值求解高。

该种电势分布计算方法对于任意溶质及任意管径的圆形截面流道均可得到与理论解接近的数值结果，可以根据不同溶质中离子价态比值构造不同区域的电势分布函数，再结合边界条件对不同的变化率区域的电势分布进行计算，以研究溶质及双电层厚度对管径内电势分布的影响。

该种电势分布计算方法对于双电层厚度敏感，根据圆管半径与双电层厚度的相对关系适配不同的变化率区域划分，从而对任意浓度的电解质溶液均可进行电势分布的计算，以研究溶液浓度对管径内电势分布的影响。

综上，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：对流道中电解质溶液与管壁形成的固-液界面双电层厚度κ^-1进行估计，对比圆形流道的半径a与双电层厚度κ^-1的关系，对流道是厚双电层、薄双电层还是过渡态双电层进行判别；

步骤2：在极坐标形式下，圆形流道中的双电层内的电势分布Ψ(r)通过泊松-玻尔兹曼方程线性近似化，由以下方程组描述：

则根据边界条件求得电势分布Ψ(r)的解析解为：

本步骤中，r表示流道内任意点到中心轴的距离；基本电荷e₀＝1.602×10^-19，ε_f＝ε₀ε_r为液体的介电常数，ε₀为真空介电常数，ε_r为液体相对介电常数，温度为T；R₁和R₂表示流道双电层厚度对变化率不同的区域之间的连接点位置；

其中LCM(x,y)用于计算x与y的最小公倍数，I₀为第一类修正Bessel函数，e≈2.718为自然指数，

此时根据通道中zeta电势ξ大小对电势变化率区域进行划分，分为3个区域或者2个区域，其中：3个区域划分方式为：低变化率区域为0<r<R₁，中变化区域为R₁<r<R₂，高变化率区域为R₂<r<a；2个区域分方式为：低变化率区域为0<r<R₁，中变化区域为R₁<r<R₂，R₂＝a；

步骤3：根据双电层厚度对变化率不同的区域之间的连接点位置R₁和R₂进行初步估计，得到对应的初始连接点R′₁和R′₂；根据R₁和R₂初始边界[R′₁,R₂]和[R′₂,a]，采用二分搜索方法对实际的连接点位置R₁和R₂进行估计；

步骤4：对根据步骤3得到的连接点R₁和R₂划分的不同电势变化率的区域进行离散化，即对r进行离散，再通过式(2)计算得到完整的电势分布；其中，不同区域的离散步长不同，变化率越大的区域，离散步长越小。

2.如权利要求1所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤3中，采用二分搜索方法对实际的连接点位置R₁和R₂进行估计的方法为：

步骤341、首先对R₂进行估计，其搜索域左边界为R′₂，右边界为a，则以

作为R₂新的估计值；

步骤342、将R₂新的估计值代入式(2)计算相应的估计电势Ψ′₁(r)，并根据电势边界条件Ψ(a)＝ξ以及电势分布函数连续性条件，即电势Ψ′₁(r)在r＝a处的左导数

等于其右导数

估计得到边界值Ψ′₁(a)，从而计算估计误差

步骤343、若估计误差|E₁|>∈，此时根据E₁的正负性分别重新设定搜索边界：若E₁<0则重新调整二分搜索的左边界，作为R₂新的估计值，更新m₁；若E₁>0则重新调整二分搜索的右边界，作为R₂新的估计值，更新m₁；返回步骤342，计算并比较误差E₁；其中，∈表示设定的精度误差限；

若|E₁|<∈，终止搜索，此时得到R₂的精确估计值R₂＝m₁；

步骤344、再对低变化率区域的连接点位置R₁进行估计，其搜索域左边界为R′₁，右边界为R₂；

步骤345、则以

作为R₁新的估计值，同样进行二分搜索，代入式(2)求解对应的电势分布Ψ′₂(r)，根据低变化率电势边界条件Ψ(R₁)＝4.3103×10^-5×T，以及根据边界估计值Ψ′₂(m₂)计算当前估计误差

步骤346、若估计误差|E₂|>∈，此时根据E₂的正负性分别重新设定搜索边界：若E₂<0,则重新调整二分搜索的左边界作为R₁新的估计值，并更新m₂；若E₂>0则重新调整二分搜索的右边界，作为R₁新的估计值，并更新m₂；返回步骤345，计算并比较误差E₂；

若|E₂|<∈则终止搜索，此时得到R₁的精确估计值R₁＝m₂。

3.如权利要求1或2所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤3中，得到对应的初始连接点R′₁和R′₂的方法为：

步骤31、若为薄双电层，则低、中、高变化率区域均存在，且低、中变化率区域连接点初始位置

中、高变化率区域连接点处的初始位置

其中w₁＝5，w₂＝2.43；

步骤32、若为过渡态双电层，则低变化率区域可能部分存在，此时低、中变化率区域连接点初始位置

中、高变化率区域连接点处的初始位置

步骤33、若为厚双电层，则低变化率区域不存在，中变化率区域可能部分存在，此时低、中变化率区域连接点初始位置R′₁＝σ，中、高变化率区域连接点处的初始位置

其中

w₁＝5，w₂＝2.43。

4.如权利要求1或2所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤1中，当κ·a<5时认为是厚双电层；κ·a>10时认为是薄双电层；5<κ·a<10时则是过渡态双电层。

5.如权利要求4所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤1中，双电层的厚度κ^-1的计算公式为：

流道内电解质溶液的溶质离子种类数为N，每种离子的化合价为z_i，浓度为n_i，i＝1,2,…,N。

6.如权利要求1或2所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤2中，根据通道中zeta电势ξ大小对电势变化率区域进行划分的方法为：

若ξ>8.6205×10^-5×T，则将电势分布沿流道径向划分为3个区域；若ξ<8.6205×10^-5×T，则将电势分布沿流道径向划分为2个区域。

7.如权利要求1或2所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤3中，∈＝0.05％。

8.如权利要求1或2所述的一种圆形截面流道的电势分布的计算方法，其特征在于，所述步骤4中，低变化率区域的离散步长

中变化率区域的离散步长

高变化率区域的离散步长

Images